Statistik för biotekik SF9 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller Ht 206 Numeriska sammafattigar (statistikor) För ett datamaterial x, x 2,..., x beräkas Stickprovsmedelvärde x = i= x i = Stickprovsvarias s 2 = i= (x i x) 2 = ( i= x2 i x 2 ) Om a och b kostater och y i = a x i + b, i =,..., så är y = a x + b s 2 y = a 2 s 2 x För grupperade data där värdea {a 0, a, a 2,...} har relativ frekves {p 0, p, p 2,...} beräkas µ = i a i p i σ 2 = i (a i µ) 2 p i. Tjebychovs olikhet I ett datamaterial x,..., x är åtmistoe /k 2 av observatioer iom k stadardavvikelser frå medelvärdet. 2 Grudläggade saolikhetsteori 2. De Morgas lagar 2.2 Kombiatorik (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Atalet sätt som ma ka välja k elemet av distikta Med återläggig återläggig Uta Med Ordigshäsy k! ( ( k)! Uta Ordigshäsy + k ) ( ) k k =! 2.3 Räkeregler för saolikheter ( k)!k! P (A c ) = P A P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)
2 Betigade saolikheter P (A B) P (A B) = (defiitio) P (B) P (A B) = P (A)P (B A) = P (B)P (A B) P (B) = P (B A)P (A) + P (B A c )P (A c ) (lage om total saolikhet) Om A och B är oberoede så är P (A B) = P (A)P (B) (defiitio) P (A B) = P (A) P (B A) = P (B) 3 Saolikhetsfördeligar 3. Discrete Distributios Beroulli Distributio Let X Ber (p). X has two values, usually umerically coded as 0 ad. The p.m.f. is p x = p X (x) = () q = p x = 0. E [X] = p, Var [X] = p( p). Discrete Uiform Distributio X U (, 2,..., ), where >. The p.m.f. is x =, 2,..., p X (x) = 0 else. (2) E [X] = +, Var [X] = 2 2 2. Geometric Distributio 0 < p <, q = p. The p.m.f. of X Ge(p) is p X (x) = q x p, x = 0,, 2,... E [X] = q p, Var [X] = q p 2. First Success Distributio X Geom(p), 0 < p <, q = p. The p.m.f. is p X (x) = q x p, x =, 2,.... E [X] = p, Var [X] = q p 2.
3 Biomial Distributio X Bi (, p), 0 p, q = p, ad the p.m.f. is ( ) p X (x) = p x q x, x = 0,,...,. x E [X] = p, Var [X] = qp. Hypergeometric Distributio X HG(m, k, ), the hypergeometric distributio with parameters (m, k, ) ad x {o,..., mi(, k)} ( k m k ) p X (x) = x)( x ( m ) E[X] = k m Varias Var[X] = k m k m m m m Poisso Distributio X Poi(λ), λ > 0, the its p.m.f. is p X (x) = e λ λx, x = 0,, 2,... (3) x! E [X] = λ, Var [X] = λ. Negative Biomial Distributio X is said to follow the Negative Biomial distributio, X N B(, p), 0 < p <, q = p, if its p.m.f. is ( ) + x p X (x) = p q x, x = 0,, 2,... (4) x Obs! Ge(p) = N B(, p). E [X] = q p, Var [X] = q p 2. 3.2 Cotiuous Distributios Uiform Distributio X U(a, b), a < b is a radom variable with the p.d.f. a x b, b a f X (x) = 0 elsewhere. (5) E [X] = a + b 2 (b a)2, Var [X] =. 2 Normal Distributio a.k.a. Gaussia Distributio X N (µ, σ 2 ), µ is a real umber, σ > 0 meas that the p.d.f. of X is f X (x) = σ /2σ2 e (x µ)2, < x < +. (6) 2π We say that X has a ormal distributio or a Gaussia distributio with the parameters µ ad σ 2, where E [X] = µ, Var [X] = σ 2.
4 Stadard Normal Distributio or Stadard Gaussia Distributio The special case X N (0, ) of (6) is the stadard ormal distributio or the stadard Gaussia distributio. φ(x) def = e x2 /2, < x < +. (7) 2π The correspodig distributio fuctio is desigated by Φ(x), i.e., Φ(x) def = x φ(t)dt, < x < +. (8) It follows readily that Φ( x) = Φ(x), (9) Φ (0) = 2. (0) Expoetial Distributio X E (λ), λ > 0, ad the p.d.f. is λe λx 0 x f X (x) = 0 x < 0. () E [X] = λ, Var [X] = λ 2. Double expoetial Distributio X DE (a), a > 0. f X (x) = 2a e x /a, < x < +. (2) E [X] = 0, Var [X] = 2a 2. χ 2 (f)- Distributio with f Degrees of Freedom The p.d.f. for f =, 2,... x f 2 e x/2 if x > 0 f X (x) = Γ(f/2)2 f/2 0 if x 0, the X is said to be χ 2 (f)- distributed with f degrees of freedom. X χ 2 (f). Note that χ 2 (f) = Γ (f/2, 2). E [X] = f, Var [X] = 2f 2. Studet s t-distributio If the radom variable X has the p.d.f. for =, 2,... f X (x) = Γ ( ) + 2 ( πγ ) ( ) 2 + x 2 (+)/2, < x <, the X is said to be t()- distributed with degrees of freedom. We write X t(). E [X] = 0, Var [X] = + 2.
5 Beta Distributio The Beta fuctio B (x, y) is defied for real r > 0 ad s > 0 as B (r, s) = 0 Γ(r + s) Γ(r)Γ(s) x r ( x) s dx = Γ(r)Γ(s) Γ(r + s). (3) 0 x r ( x) s dx =. (4) f X (x) = { Γ(r+s) Γ(r)Γ(s) xr ( x) s 0 x 0 elsewhere, (5) is a p.d.f. to be called the Beta desity. We write X Be (r, s), if X is a radom variable that has a Beta desity. This p.d.f. plays a importat role i Bayesia statistics. E [X] = r rs, Var [X] = r + s (r + s) 2 (r + s + ). Pareto Distributio A cotiuous radom variable X has the p.d.f. f X (x) = { αk α x α+ x > k, 0 x k, (6) where k > 0, α > 0, which is called a Pareto desity with parameters k ad α. X Pa(k, α). E [X] = 4 Normalfördelig αk α, Var [X] = αk 2 (α 2)(α ) 2, α > 2. Om X är N (µ, σ 2 ) är X µ N (0, ). σ Om X är N (µ, σ 2 ) så är Y = ax + b N aµ + b, a 2 σ 2 ) Om X är N (µ x, σ 2 x) och Y är N (µ y, σ 2 y) så är X + Y N (µ x + µ y, σ 2 x + σ 2 y) om X och Y är oberoede. Om X är N (µ x, σ 2 x) och Y är N (µ y, σ 2 y) så är X Y N (µ x µ y, σ 2 x + σ 2 y) om X och Y är oberoede. Om X, X 2,..., X är oberoede, alla ormalfördelade N (µ, σ 2 ) och X = X + X 2 + + X, så är X N (µ, σ 2 /).
6 5 Approximatioer HG(N,, p) N N p( p) 0 {}}{ N (p, pq) /N 0. {}}{ Bi(, p) pq 0 {}}{ N (p, pq) p 0. {}}{ Poi( p }{{} =µ µ 5 {}}{ ) N (µ, µ) 6 Statistiska skattigar 6. Maximum likelihood metode Låt x i vara oberoede observatioer på X i, i =, 2,...,, där fördelige för X i beror på e okäd parameter θ. Det värde θ mle som maximerar likeihoodfuktioe L(θ) (diskreta data) L(θ) = p X (x ; θ) p X (x ; θ) (kotiuerliga data) L(θ) = f X (x ; θ) f X (x ; θ) kallas maximum likelihood skattige (ML skattige) av θ. 6.2 Mometmetod Mometmetode är e metod för estimerig av θ. Vi behöver e ekvatio som relaterar ett populatiosmomet (t.ex., vätevärde) till θ, som vi vill skatta, t.ex E[X] = g(θ) Med observatioera tar ett stickprovsmomet de okäda populatiosmometets plats och ekvatioe löses m.a.p. θ, x = g(θ) θ mm = g ( x). vilket ger mometskattige θ mm. 7 Valiga kofidesitervall och test 7. Normalfördelad populatio. Okäd µ, käd σ Kofidesitervall σ σ x z α/2 µ x + z α/2
7 Test av µ = µ 0 utyttjar z = x µ 0 σ/. Alterativhypotes Förkastelseområde µ < µ 0 z z α µ > µ 0 z z α µ µ 0 z z α/2 eller z z α/2 7.2 Normalfördelad populatio. Okäd µ, okäd σ Kofidesitervall s s x t α/2 µ x + t α/2 med t-kvatiler ur t( )-fördelige. Test av µ = µ 0 utyttjar t = x µ 0 s/. Kofidesitervall för σ Alterativhypotes Förkastelseområde µ < µ 0 t t α µ > µ 0 t t α µ µ 0 t t α/2 eller t t α/2 ( )s 2 χ 2 α/2 σ ( )s 2 χ 2 α/2 med χ 2 -kvatiler ur χ 2 ( )-fördelige. Test av σ = σ 0 utyttjar χ 2 = ( )s2 σ 2 0 Alterativhypotes Förkastelseområde σ < σ 0 χ 2 χ 2 α σ > σ 0 χ 2 χ 2 α σ σ 0 χ 2 χ 2 α/2 eller χ2 χ 2 α/2 För stora fis ett approximativt kofidesitervall s + z σ α/2 2 s z α/2 2 och tillhörade stadardormalfördelade teststorhet z = s σ 0 σ 0 / 2. 7.3 Normalfördelade populatioer. Okäda µ, µ 2, käda σ, σ 2 Kofidesitervall för skillader µ µ 2 σ 2 (x x 2 ) z α/2 + σ2 2 Test av µ µ 2 = δ utyttjar 2 µ µ 2 (x x 2 ) + z α/2 σ 2 + σ2 2 2 z = x x 2 δ. σ 2 + σ2 2 2 Alterativhypotes Förkastelseområde µ µ 2 < δ z z α µ µ 2 > δ z z α µ µ 2 δ z z α/2 eller z z α/2
8 7.4 Normalfördelade populatioer. Okäda µ, µ 2, okäd σ = σ = σ 2 Kofidesitervall för skillader µ µ 2 (x x 2 ) t α/2 s p + 2 µ µ 2 (x x 2 ) + t α/2 s p + 2 med t-kvatiler ur t( + 2 2)-fördelige. Test av µ µ 2 = δ utyttjar t = x x 2 δ, s 2 s p + p = 2 ( )s 2 + ( 2 )s 2 2. + 2 2 Alterativhypotes Förkastelseområde µ µ 2 < δ t t α µ µ 2 > δ t t α µ µ 2 δ t t α/2 eller t t α/2 7.5 Två stickprov x, x 2,..., x frå N (µ, σ 2 ) respektive y, y 2,..., y 2 frå N (µ 2, σ 2 2), kofidesitervall för µ µ 2, kofidesgrad α. x ȳ ± z α σ 2 / + σ 2 2/ 2, om σ, σ 2 käda x ȳ ± t (α, + 2 2)s / + / 2 om σ, σ 2 okäda me lika och där s 2 och s 2 2 är stickprovsvariasera i de två stick- där s 2 = ( )s 2 + ( 2 )s 2 2 + 2 2 prove. 7.6 Stickprov i par Atag att ma vill jämföra två metoder på ett atal prov som har helt olika värde. På varje prov görs e aalys med var och e av metodera. Vi atar att skillade mella de två metoderas resultat har samma förvätade värde, oavsett prov. Data: Prov 2 3... Metod x x 2 x 3... x Metod 2 y y 2 y 3... y Skillad z z 2 z 3... z Här är alltså z i = x i y i, i =, 2,...,. Atag att de kostata förvätade skillade är. Det är då ite så svårt att visa att z-observatioera är ormalfördelade med förvätat värde, och att testa om metodera är likvärdiga, d.v.s. om = 0, ka vi göra utgåede frå z-data. Vi har återfört problemet till fallet ett stickprov. Hypotese = 0 förkastas om 0 ite tillhör itervallet z ± t α, s/ eller om t > t α, där t = z s. z/
9 7.7 Normalfördelade populatioer. Okäda µ, µ 2, okäda σ, σ 2 Test av σ = σ 2 utyttjar Alterativhypotes Teststorhet, F Förkastelseområde σ < σ 2 s 2 2/s 2 F F α ( 2, ) σ > σ 2 s 2 /s 2 2 F F α (, 2 ) σ σ 2 max( s2 2, s2 s 2 ) F F s 2 α/2 2 7.8 Adelar i oädliga populatioer Approximativt kofidesitervall för p utyttjar ˆp = x/ och Test av p = p 0 utyttjar z = ˆp p 0 ˆp z α/2 ˆp( ˆp) p 0 ( p 0 ). p ˆp + z α/2 ˆp( ˆp) Alterativhypotes Förkastelseområde p < p 0 z z α p > p 0 z z α p p 0 z z α/2 eller z z α/2 Approximativt kofidesitervall för skillad p p 2 utyttjar ˆp ( ˆp ) ˆp ˆp 2 z α/2 + ˆp 2( ˆp 2 ) p p 2 ˆp ˆp 2 + z α/2 2 Test av p = p 2 utyttjar ˆp ( ˆp ) + ˆp 2( ˆp 2 ) 2 z = ˆp ˆp 2 ( ), ˆp = ˆp( ˆp) + 2 x + x 2 + 2 Alterativhypotes Förkastelseområde p < p 2 z z α p > p 2 z z α p p 2 z z α/2 eller z z α/2 8 Kotigestabeller, Homogeitetstest, χ 2 -test av fördelig Med observatioer x ij på tabellform Radsumma x x 2 x r x 2 x 22 x 2r 2. x s x s2 x sr s Kolumsumma m m 2 m r N 8. Homogeitetstest... χ 2 = i,j (x ij im j N )2 i m j N E hypotes om samma kolumfördelig över s kategorier i r mätserier förkastas om χ 2 > χ 2 α med χ 2 α frå χ 2 ((r )(s ))-fördelig.
0 8.2 Kotigestabell E hypotes om oberoede mella rader och koloer förkastas om χ 2 > χ 2 α med χ 2 α frå χ 2 ((r )(s ))-fördelig. 8.3 χ 2 -test av fördelig E hypotes om fördelige p, p 2,..., p s över s kategorier i r mätserier förkastas om χ 2 > χ 2 α där (x ij m j p i ) 2 χ 2 = i,j m j p i och χ 2 α hämtas ur frå χ 2 ((s )r)-fördelig. 9 Korrelatio Datamaterial (x, y ),..., (x, y ). Korrelatioskoefficiet för stickprov beteckas r och för populatioer med ρ. Båda beräkas eligt r xy def = s xy sxx s yy där s xx = (x i x) 2 s yy = (y i y) 2 s xy = i= i= Ett approximativt test av ρ = ρ 0 utyttjar (x i x)(y i y). i= z = ( ) 3 ( + r)( ρ0 ) l. 2 ( r)( + ρ 0 ) Alterativhypotes Förkastelseområde ρ < ρ 0 z z α ρ > ρ 0 z z α ρ ρ 0 z z α/2 eller z z α/2 0 Regressio Modell: Y = α + βx + ε, ε N (0, σ 2 ). Datapukter (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ). Skattigar: β = i= (x i x)y i i= (x i x) 2, α = ȳ β x σ 2 = s 2 = i= (y i ŷ) 2 2 = i= (y i ȳ) 2 ( i= (x i x)y i ) 2 / i= (x i x) 2 2 där ŷ = α + βx i. t-kvatiler ur t( 2)-fördelige. Följade algebraiska likhet gäller: i= (x i x)y i = i= (x i x)(y i ȳ) = i= x i(y i ȳ) = i= x iy i xȳ
Test av α = α 0 utyttjar t = s α α 0 + x 2 i= (x i x) 2. Alterativhypotes Förkastelseområde α < α 0 t t α α > α 0 t t α α α 0 t t α/2 eller t t α/2 med t-kvatiler ur t( 2)-fördelige. Test av β = β 0 utyttjar t = β β 0 s. i= (x i x) 2 Alterativhypotes Förkastelseområde β < β 0 t t α β > β 0 t t α β β 0 t t α/2 eller t t α/2 Kofidesitervall med kofidesgrad p: α : α ± t (p, 2) s + x 2 i= (x i x), β : β ± t(p, 2) s / (x 2 i x) 2 i= α + βx 0 : α + βx 0 ± t (p, 2) s + (x 0 x) 2 i= (x i x) 2 Kofidesitervall för okät x 0 vid observerat y 0 (kofidesgrad approximativt lika med p): s x 0 ± t (p, 2) + β + ( x 0 x) 2 i (x i x) 2 där x 0 = (y 0 α)/ β. Kofidesitervall för α + βx 0 α + βx 0 t α/2 s + (x 0 x) 2 i= (x i x) α + βx 2 0 α + βx 0 + t α/2 s + (x 0 x) 2 i= (x i x) 2 med t-kvatiler ur t( 2)-fördelige. Test av α + βx 0 = µ 0 utyttjar t = α + βx 0 µ 0 s + (x 0 x) 2 Kofidesitervall för σ i= (x i x) 2. ( 2)s 2 χ 2 α/2 Alterativhypotes Förkastelseområde α + βx 0 < µ 0 t t α α + βx 0 > µ 0 t t α α + βx 0 µ 0 t t α/2 eller t t α/2 σ ( 2)s 2 χ 2 α/2 med χ 2 -kvatiler ur χ 2 ( 2)-fördelige. Test av σ = σ 0 utyttjar χ 2 = ( 2)s2 σ 2 0 Alterativhypotes Förkastelseområde σ < σ 0 χ 2 χ 2 α σ > σ 0 χ 2 χ 2 α σ σ 0 χ 2 χ 2 α/2 eller χ2 χ 2 α/2
2 0. Variasaalys 0.2 Variasaalystabell, esidig idelig y ij är j:te data frå stickprov ummer i, i =, 2,..., k, j =, 2,..., i. Totala atalet data är N = + 2 + + k. Variatioskälla Frihetsgrader Kvadratsumma Medelkvadratsumma Mella stickprov k k i= i(ȳ i. ȳ.. ) 2 kvs/fg Iom stickprov N k k i i= j= (y ij ȳ i. ) 2 σ 2 =kvs/fg Totalt N k i i= j= (y ij ȳ.. ) 2 σ 2 ka beräkas som viktat medelvärde av stickprovsvariasera, σ 2 = ( )s 2 +( 2 )s 2 2 + +( k )s 2 k N k. 0.3 Variasaalystabell, tvåsidig idelig, r A-ivåer och s B- ivåer e obs/cell y ij, i =, 2,..., r, j =, 2,..., s, är observatio frå ivåkombiatio A i B j som atas vara N(a i + b j, σ 2 ), additiv modell. Variatioskälla Frihetsgrader Kvadratsumma Mkvs Mella rader (A) r s r i= (ȳ i. ȳ.. ) 2 kvs/fg Mella kolumer (B) s r s j= (ȳ.j ȳ.. ) 2 kvs/fg Residual (r )(s ) i j (y ij ȳ i. ȳ.j + ȳ.. ) 2 σ 2 =kvs/fg Totalt rs r s i= j= (y ij ȳ.. ) 2
3 Variasaalystabell, tvåsidig idelig, obs/cell y ijk, i =, 2,..., r, j =, 2,..., s, k =, 2,...,, är k:te observatioe frå ivåkombiatio A i B j som atas vara N(µ ij, σ 2 ). Variatioskälla Frihetsgrader Kvadratsumma Mkvs Mella rader r s r i= (ȳ i.. ȳ... ) 2 kvs/fg Mella kolumer s r s j= (ȳ.j. ȳ... ) 2 kvs/fg Samspel (r )(s ) r s i= j= (ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2 kvs/fg Iom celler=residual rs( ) r s i= j= k= (y ijk ȳ ij. ) 2 σ 2 =kvs/fg Totalt rs s j= k= (y ijk ȳ... ) 2 r i= σ 2 ka beräkas som medelvärdet av stickprovsvariasera iom celler. Variasaalystabell, 2 2 -försök, observatioer per cell Variatioskälla Frihetsgrader Kvadratsumma Mkvs Huvudeffekt T 2 2 T 2 =Kvs Huvudeffekt K 2 2 K 2 =Kvs Samspel T K 2 2 T K 2 =Kvs Iom celler=residual 2 2 ( ) i j k (y ijk ȳ ij. ) 2 σ 2 =Kvs/fg Totalt 2 2 k (y ijk ȳ... ) 2 i j σ 2 ka beräkas som medelvärdet av stickprovsvariasera för försökspuktera. Om = försvier residualrade. Variasaalystabell, 2 3 -försök, observatioer per cell Variatioskälla Frihetsgrader Kvadratsumma Mkvs Huvudeffekt A 2 3Â2 =Kvs Huvudeffekt B 2 3 B 2 =Kvs Huvudeffekt C 2 3Ĉ2 =Kvs Samspel AB 2 3 ÂB2 =Kvs Samspel AC 2 3 ÂC2 =Kvs Samspel BC 2 3 BC 2 =Kvs Samspel ABC 2 3 ÂBC 2 =Kvs Iom celler=residual 2 3 ( ) (yijkl ȳ ijk. ) 2 σ 2 =Kvs/fg Totalt 2 3 i j k r (y ijkl ȳ... ) 2 Om = försvier residualrade. σ 2 ka beräkas som medelvärde av stickprovsvariasera för försökspuktera. I 2 k -försök ka kvadratsummor för försumbara effekter avädas för σ 2 -skattige: Addera kvadratsummor för försumbara effekter och residualkvadratsumma samt dividera med summa av atalet frihetsgrader. Kofidesitervall för effekt: effektskattig ±t (α,f) σ/ 2 k där f är atalet frihetsgrader i σ 2 -skattige. Variasaalystabell för 2 k -försök och reducerade försök fås på aalogt sätt. I reducerade försök blir effektera kopplade.
4 Effektskattigara i fullstådiga och reducerade 2 k -försök beräkas utifrå data och teckeschema och med divisor 2 k eller utifrå cellmedelvärdea och teckeschema med divisor 2 k. Tecketabell 3 faktorer I A B AB C AC BC ABC + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Skattigar av effekter fås geom att bilda medelvärde av data med tecke eligt tabell.
F -fördeliges kvatiler 5 % sigifikasivå 5
6 f 2 /f 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 6 200 26 225 230 234 237 239 24 242 243 244 245 245 2 8.5 9 9.2 9.2 9.3 9.3 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 3 0. 9.55 9.28 9.2 9.0 8.94 8.89 8.85 8.8 8.79 8.76 8.74 8.73 8.7 4 7.7 6.94 6.59 6.39 6.26 6.6 6.09 6.04 6 5.96 5.94 5.9 5.89 5.87 5 6.6 5.79 5.4 5.9 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.7 4.68 4.66 4.64 6 5.99 5.4 4.76 4.53 4.39 4.28 4.2 4.5 4. 4.06 4.03 4 3.98 3.96 7 5.59 4.74 4.35 4.2 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.6 3.57 3.55 3.53 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35 3.3 3.28 3.26 3.24 9 5.2 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.8 3.4 3. 3.07 3.05 3.03 0 4.96 4. 3.7 3.48 3.33 3.22 3.4 3.07 3.02 2.98 2.94 2.9 2.89 2.86 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.0 2.95 2.9 2.85 2.82 2.79 2.76 2.74 2 4.75 3.89 3.49 3.26 3. 3 2.9 2.85 2.8 2.75 2.72 2.69 2.66 2.64 3 4.67 3.8 3.4 3.8 3.03 2.92 2.83 2.77 2.7 2.67 2.63 2.6 2.58 2.55 4 4.6 3.74 3.34 3. 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6 2.57 2.53 2.5 2.48 5 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.7 2.64 2.59 2.54 2.5 2.48 2.45 2.42 6 4.49 3.63 3.24 3.0 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42 2.4 2.37 7 4.45 3.59 3.2 2.96 2.8 2.7 2.6 2.55 2.49 2.45 2.4 2.38 2.35 2.33 8 4.4 3.55 3.6 2.93 2.77 2.66 2.58 2.5 2.46 2.4 2.37 2.34 2.3 2.29 9 4.38 3.52 3.3 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.34 2.3 2.28 2.26 20 4.35 3.49 3. 2.87 2.7 2.6 2.5 2.45 2.39 2.35 2.3 2.28 2.25 2.22 24 4.26 3.4 3.0 2.78 2.62 2.5 2.42 2.36 2.3 2.25 2.22 2.8 2.5 2.3 30 4.7 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.2 2.6 2.3 2.09 2.06 2.04 40 4.08 3.23 2.84 2.6 2.45 2.34 2.25 2.8 2.2 2.08 2.04 2.97.95 50 4.03 3.8 2.79 2.56 2.4 2.29 2.2 2.3 2.07 2.03.99.95.92.89 60 4 3.5 2.76 2.53 2.37 2.25 2.7 2. 2.04.99.95.92.89.86 80 3.96 3. 2.72 2.49 2.33 2.2 2.3 2.06 2.95.9.88.84.82 00 3.94 3.09 2.7 2.46 2.3 2.9 2. 2.03.97.93.89.85.82.79 f 2 /f 5 6 7 8 9 20 24 30 40 50 60 80 00 246 246 247 247 248 248 249 250 25 252 252 253 253 2 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 3 8.7 8.69 8.68 8.67 8.67 8.66 8.64 8.62 8.59 8.58 8.57 8.56 8.55 4 5.86 5.84 5.83 5.82 5.8 5.8 5.77 5.75 5.72 5.7 5.69 5.67 5.66 5 4.62 4.6 4.59 4.58 4.57 4.56 4.53 4.5 4.46 4.44 4.43 4.4 4.4 6 3.94 3.92 3.9 3.9 3.88 3.87 3.84 3.8 3.77 3.75 3.74 3.72 3.7 7 3.5 3.49 3.48 3.47 3.46 3.44 3.4 3.38 3.34 3.32 3.3 3.29 3.27 8 3.22 3.2 3.9 3.7 3.6 3.5 3.2 3.08 3.04 3.02 3.0 2.99 2.97 9 3.0 2.99 2.97 2.96 2.95 2.94 2.9 2.86 2.83 2.8 2.79 2.77 2.76 0 2.85 2.83 2.8 2.8 2.79 2.77 2.74 2.7 2.66 2.64 2.62 2.6 2.59 2.72 2.7 2.69 2.67 2.66 2.65 2.6 2.57 2.53 2.5 2.49 2.47 2.46 2 2.62 2.6 2.58 2.57 2.56 2.54 2.5 2.47 2.43 2.4 2.38 2.36 2.35 3 2.53 2.5 2.5 2.48 2.47 2.46 2.42 2.38 2.34 2.3 2.3 2.27 2.26 4 2.46 2.44 2.43 2.4 2.4 2.39 2.35 2.3 2.27 2.24 2.22 2.2 2.9 5 2.4 2.38 2.37 2.35 2.34 2.33 2.29 2.25 2.2 2.8 2.6 2.4 2.2 6 2.35 2.33 2.32 2.3 2.29 2.28 2.24 2.9 2.5 2.2 2. 2.08 2.07 7 2.3 2.29 2.27 2.26 2.24 2.23 2.9 2.5 2. 2.08 2.06 2.03 2.02 8 2.27 2.25 2.23 2.22 2.2 2.9 2.5 2. 2.06 2.04 2.02.99.98 9 2.23 2.2 2.2 2.8 2.7 2.6 2. 2.07 2.03 2.98.96.94 20 2.2 2.8 2.7 2.5 2.4 2.2 2.08 2.04.99.97.95.92.9 24 2. 2.09 2.07 2.05 2.04 2.03.98.94.89.86.84.82.8 30 2.0.99.98.96.95.93.89.84.79.76.74.7.7 40.92.9.89.87.85.84.79.74.69.66.64.6.59 50.87.85.83.8.8.78.74.69.63.6.58.54.52 60.84.82.8.78.76.75.7.65.59.56.53.5.48 80.79.77.75.73.72.7.65.6.54.5.48.45.43 00.77.75.73.7.69.68.63.57.52.48.45.4.39
F -fördeliges kvatiler % sigifikasivå 7
8 f 2 /f 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 598 6022 6056 6083 606 626 643 2 98.5 99 99.2 99.2 99.3 99.3 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 3 34. 30.8 29.5 28.7 28.2 27.9 27.7 27.5 27.3 27.2 27. 27. 27 26.9 4 2.2 8 6.7 6 5.5 5.2 5 4.8 4.7 4.5 4.5 4.4 4.3 4.2 5 6.3 3.3 2..4 0.7 0.5 0.3 0.2 0. 9.96 9.89 9.82 9.77 6 3.7 0.9 9.78 9.5 8.75 8.47 8.26 8. 7.98 7.87 7.79 7.72 7.66 7.6 7 2.2 9.55 8.45 7.85 7.46 7.9 6.99 6.84 6.72 6.62 6.54 6.47 6.4 6.36 8.3 8.65 7.59 7.0 6.63 6.37 6.8 6.03 5.9 5.8 5.73 5.67 5.6 5.56 9 0.6 8.02 6.99 6.42 6.06 5.8 5.6 5.47 5.35 5.26 5.8 5. 5.05 5.0 0 0 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.2 5.06 4.94 4.85 4.77 4.7 4.65 4.6 9.65 7.2 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.46 4.4 4.34 4.29 2 9.33 6.93 5.95 5.4 5.06 4.82 4.64 4.5 4.39 4.3 4.22 4.6 4. 4.05 3 9.07 6.7 5.74 5.2 4.86 4.62 4.44 4.3 4.9 4. 4.02 3.96 3.9 3.86 4 8.86 6.5 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.4 4.03 3.94 3.86 3.8 3.75 3.7 5 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.4 4 3.89 3.8 3.73 3.67 3.6 3.56 6 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.2 4.03 3.89 3.78 3.69 3.62 3.55 3.5 3.45 7 8.4 6. 5.8 4.67 4.34 4. 3.93 3.79 3.68 3.59 3.52 3.46 3.4 3.35 8 8.29 6.0 5.09 4.58 4.25 4.0 3.84 3.7 3.6 3.5 3.43 3.37 3.32 3.27 9 8.8 5.93 5.0 4.5 4.7 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.36 3.3 3.24 3.9 20 8. 5.85 4.94 4.43 4. 3.87 3.7 3.56 3.46 3.37 3.29 3.23 3.8 3.3 24 7.82 5.6 4.72 4.22 3.89 3.67 3.5 3.36 3.26 3.7 3.09 3.03 2.98 2.93 30 7.56 5.39 4.5 4.02 3.7 3.47 3.3 3.7 3.07 2.98 2.9 2.84 2.79 2.74 40 7.3 5.8 4.3 3.83 3.5 3.29 3.2 2.99 2.89 2.8 2.73 2.66 2.6 2.56 50 7.7 5.06 4.2 3.72 3.4 3.9 3.02 2.89 2.78 2.7 2.62 2.56 2.5 2.46 60 7.08 4.98 4.3 3.65 3.34 3.2 2.95 2.82 2.72 2.63 2.56 2.5 2.44 2.39 80 6.96 4.88 4.04 3.56 3.26 3.04 2.87 2.74 2.64 2.55 2.48 2.42 2.36 2.3 00 6.9 4.82 3.98 3.5 3.2 2.99 2.82 2.69 2.59 2.5 2.43 2.37 2.3 2.27 f 2 /f 5 6 7 8 9 20 24 30 40 50 60 80 00 657 670 68 692 620 6209 6235 626 6287 6304 634 6327 6335 2 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 3 26.9 26.8 26.8 26.8 26.7 26.7 26.6 26.5 26.4 26.4 26.3 26.3 26.2 4 4.2 4.2 4. 4. 4 4 3.9 3.8 3.7 3.7 3.7 3.6 3.6 5 9.72 9.68 9.64 9.6 9.58 9.55 9.47 9.38 9.29 9.24 9.2 9.6 9.3 6 7.56 7.52 7.48 7.45 7.42 7.4 7.3 7.23 7.4 7.09 7.06 7.0 6.99 7 6.3 6.28 6.24 6.2 6.8 6.6 6.07 5.99 5.9 5.86 5.82 5.78 5.75 8 5.52 5.48 5.44 5.4 5.38 5.36 5.28 5.2 5.2 5.07 5.03 4.99 4.96 9 4.96 4.92 4.89 4.86 4.83 4.8 4.73 4.65 4.57 4.52 4.48 4.44 4.4 0 4.56 4.52 4.49 4.46 4.43 4.4 4.33 4.25 4.7 4.2 4.08 4.04 4.0 4.25 4.2 4.8 4.5 4.2 4. 4.02 3.94 3.86 3.8 3.78 3.73 3.7 2 4.0 3.97 3.94 3.9 3.88 3.86 3.78 3.7 3.62 3.57 3.54 3.49 3.47 3 3.82 3.78 3.75 3.72 3.69 3.66 3.59 3.5 3.43 3.38 3.34 3.3 3.27 4 3.66 3.62 3.59 3.56 3.53 3.5 3.43 3.35 3.27 3.22 3.8 3.4 3. 5 3.52 3.49 3.45 3.42 3.4 3.37 3.29 3.2 3.3 3.08 3.05 3 2.98 6 3.4 3.37 3.34 3.3 3.28 3.26 3.8 3. 3.02 2.97 2.93 2.89 2.86 7 3.3 3.27 3.24 3.2 3.9 3.6 3.08 3 2.92 2.87 2.83 2.79 2.76 8 3.23 3.9 3.6 3.3 3. 3.08 3 2.92 2.84 2.78 2.75 2.7 2.68 9 3.5 3.2 3.08 3.05 3.03 3 2.92 2.84 2.76 2.7 2.67 2.63 2.6 20 3.09 3.05 3.02 2.99 2.96 2.94 2.86 2.78 2.69 2.64 2.6 2.56 2.54 24 2.89 2.85 2.82 2.79 2.76 2.74 2.66 2.58 2.49 2.44 2.4 2.36 2.33 30 2.7 2.66 2.63 2.6 2.57 2.55 2.47 2.39 2.3 2.25 2.2 2.6 2.3 40 2.52 2.48 2.45 2.42 2.39 2.37 2.29 2.2 2. 2.06 2.02.97.94 50 2.42 2.38 2.35 2.32 2.29 2.27 2.8 2. 2.0.95.9.86.82 60 2.35 2.3 2.28 2.25 2.22 2.2 2.2 2.03.94.88.84.78.75 80 2.27 2.23 2.2 2.7 2.4 2.2 2.03.94.85.79.75.69.65 00 2.22 2.9 2.5 2.2 2.09 2.07.98.89.8.74.69.63.6
9