Institutionen fö fysik, kemi och biologi (IFM) Macus Ekholm TFYA16/TEN Tentamen Mekanik 4 augusti 018 14:00 19:00 TER Tentamen bestå av 6 uppgifte som vadea kan ge upp till 4 poäng. Lösninga skall vaa välmotiveade samt följa en tydlig lösningsgång. Låt gäna din lösning åtföljas av en figu. Numeiska väden på fysikaliska stohete skall anges med enhet. Det skall tydligt famgå av edovisningen vad som ä det slutgiltiga svaet på vaje uppgift. Makea gäna ditt sva med exempelvis Sva:. Skiv baa på ena sidan av pappet, och behandla högst en uppgift pe blad. Skiv AID-numme på vaje blad! Tillåtna hjälpmedel: äknedosa (även gafitande) med tömt minne bifogat fomelblad Peliminäa betygsgänse: betyg 3 betyg 4 betyg 5 10 poäng 15 poäng 19 poäng Om du fick godkänt betyg på kontollskivningen (KTR1) 017 få du tillgodoäkna dig din skivningspoäng på uppgift 1. Om du välje att behandla uppgift 1 vid dagens tentamenstillfälle så komme det mest födelaktiga esultatet att äknas. Examinato, Macus Ekholm, besöke skivningssalen vid två tillfällen och nås i övigt via telefon, n 013-8 5 69. Lycka till!
18084 TFYA16 1 Uppgift 1 a) En patikel befinne sig i punkten x =0ochböja öa sig längs x-axeln vid tidpunkten t = 0. Dess hastighet beo på tiden t enligt: v(t) =v 0 (1 t ) 0 apple t apple 4s Bestäm tidpunkten då patikeln ä tillbaka i oigo. b) En bil patikel ö sig längs en cikelbåge med adie. Faten, v, vaiea enligt: v(t) =v 0 e t/t 0. Vid tiden t =t 0 ä patikelns centipetal- och tangentialacceleation lika stoa. Bestäm adien. Uppgift a) Ett paket glide fån vila stäckan L =5,0m nedfö ett stävt lutande plan och däefte stäckan s på ett hoisontellt undelag, enligt figuen nedan. Fiktionstalet ä 0,4 mellan paketet och undelaget unde hela öelsen. Planets lutningsvinkel ä = 30.Bestäm stäckan s som paketet glide innan det stanna. L θ s b) En tädgådsslang med diamete 1,59 cm hålls hoisontellt. Vatten flöda med hastigheten,4 m/s genom slangen och sputas ut genom ett munstycke med adie 0,64 cm. Beäkna skillnaden mellan tycket i slangen och omgivningen. Uppgift 3 Te klossa med masso m 1, m och M sitte ihop med ett masslöst och otänjbat snöe. Klossen med massan M ligge på ett fiktionslöst bod, och snöet löpe öve tisso som kan anses vaa masslösa. Det gälle också att m >m 1. M M M a) Bestäm systemets acceleation, då man låte det öa sig fitt. b) Bestäm spännkaftena i snöet.
18084 TFYA16 Uppgift 4 a) En elastisk fjäde med fjädekonstant k och natulig längd ` hänge i ett tak. En kopp med massa m fästs i fjäden och släpps fån vila i det läge dä fjäden ä ospänd, dvs på avstånd ` fån taket. Hu sto bli amplituden i den efteföljande svängningsöelsen? b) Koppen få nu svänga i ett medium som dämpa öelsen, så att svängningens amplitud minska till hälften efte fem hela svängninga. Den dämpande kaften kan skivas på fomen F = bv, dä b ä en konstant. Bestäm b, uttycktikända stohete. Uppgift 5 a) Ett snöe ä uppullat på en cylinde med adie R. Genom att da i snöets ena ände få man cylinden att otea utan att cylindens masscentum ö sig. Bestäm acceleationen fö en punkt P på snöet? P R g b) En cikulä cylinde med massan m och adien R placeas på ett stävt lutande plan med lutningsvinkel 45. Cylinden hålls i vila med hjälp av en lina som ä lindad king cylinden och löpe ut vetikalt enligt figuen. Bestäm spännkaften i linan. g 45 Uppgift 6 En boll med massan m ligge i vila på ett fiktionsfitt bod. En homogen stav med längd L och massa m glide på bodet med hastighet v 0, utan att otea. Stavens ena ände kollidea fullständigt elastiskt med bollen. Efte kollisionen få stavens centum hastigheten v. a) Bestäm ett samband mellan bollens hastighet och stavens hastighet, v, samt eventuellt öviga kända stohete. b) Bestäm hastighten v fö stavens centum. v 0 (1 p) (3 p)
Fomelblad TFYA16 Mekanik utdelas vid skivningstillfälle vesion 4 Pefix SI-enhete p n µ m c d k M G T 10 1 10 9 10 6 10 3 10 10 1 10 3 10 6 10 9 10 1 längd tid massa fekvens kaft enegi e ekt tyck m s kg Hz = s 1 N=kgm/s J=Nm W=J/s Pa=N/m Måttenhete 1lite=1/1000m 3 =1dm 3, 1 atm = 101,3 kpa, 1 u = 1,66 10 7 kg 1 Kinematik v =ẋ = dx dt, dv a = v = v dx = 1 d dx (v ) Cikulä öelse s =, ṡ =!, s =,! =, = a = p a + a t, a = v a t = d dt v Peiodisk öelse:! = f =, f fekvens, T peiodtid T Likfomig acceleation x(t) = 1 at + v 0 t + x 0, as = v v0, s = v 0 + v t (t) = 1 t +! 0 t + 0, =!! 0, =! 0 +! t gt Kastöelse x(t) =v 0 t cos, y(t) =v 0 t sin, g =9,81 m/s Relativ öelse Punkt P :s läge i systemet A ä PA = PB + BA Patikeldynamik Röelsemängd p = mv m massa Newtons laga 1. En kopp som inte påvekas av en kaft föbli i sitt tillstånd av vila, elle likfomig öelse längs en ät linje.. Då en kopp påvekas av en kaft F, ändas dess öelsemängd enligt: dp dt = F 3. En kopp A som påveka en kopp, B, med kaften F AB, påvekas av kaften F BA = F AB. Impuls I = p = R F dt Centipetalkaft F c = mv Abete Kinetisk enegi Lägesenegi W = R F ds = Fscos = m! E k = mv, W = E k E p = mgy Konsevativa kafte F x = de p(x) dx, W 1! + W!1 =0 Enegilagen E p + E k = W f, W f icke-konsevativa kaftes abete E ekt P = dw = F v, vekningsgad = P nyttig dt P tillföd Fiktionskaft statisk: f s apple µ s F N, F N nomalkaft kinetisk: f k = µ k F N µ s, µ k fiktionstal, Kaftmoment = F sin Röelsemängdsmoment L = p sin! F m! p=mv Hookes lag F = k l, k fjädekonstant m Hamonisk svängning x(t) = A sin (!t + ) = A sin T t +, T = k Total enegi: E = ka / Dämpad svängning Retadeande kaft F d = bv x(t) =Ae bt/(m) sin (!t + ),! = L Matematisk pendel T = g, L pendellängd Reducead massa µ = mm m + M 3 Patikelsystem och stela koppa Masscentum g = 1 P i M m i i, M = P i m i Masscentums öelse M dv g dt = F ext k m b 4m
Rullvillko vg =!R Töghetsmoment I = P i i m i = R dm x x' Homogen cylinde y Iy = 1 MR, Ix = 1 4 MR + 1 1 ML R Ix 0 = 1 4 MR + 1 3 ML L Tunn stav (R = 0) Cikulä skiva (L = 0) Ix = 1 1 ML, Ix 0 = 1 3 ML Iy = MR, Ix = 1 I y z Cikulä ing Iz = 1 M(R 1 + R ) Klot Ix = Iy = Iz = 5 MR Tunt sfäiskt skal Ix = Iy = Iz = 3 MR R R 1 x y z Fysikalisk pendel T = I O mgh, h avstånd fån svängningsaxeln O till masscentum Rotationsöelse L = I!, dl dt = I =, W = R d, E k ot = 1 I! Allmän plan öelse Ek = 1 I g! + 1 Mv g 4 Elasticitet Elasticitetsmodul E = /" [ E ]=[ ] =N/m =Pa spänningen = F/A, töjningen " = L/L Δx A Skjuvmodul G = / [ G ]=[ ] = N/m =Pa skjuvspänningen = F/A, skjuvningen = x/h Tyckmodul B = pv/ V [ B ]=[p ] = N/m =Pa tycket p = F/A, kompessibilitet apple = B 1 h A skjuvning 5 Fluidmekanik Densitet = m V, V volym luft: =1,9 kg/m3, vatten: = 997 kg /m 3 Akimedes pincip Flyft = gv, mediets densitet, V föemålets volym F Vätsketyck p = gh h djup Kontinuitetsekvationen A1v1 = Av Benoullis pincip p1 + 1 v 1 + gy1 = p + 1 v + gy Luftmotstånd F = 1 C Av, C luftmotståndskoe cienten 6 Matematiska samband Geometi omkets ytaea volym cikel R R sfä 4 R 4 R 3 /3 cylinde RL R L a c b α c = p a + b sin = a c, cos = b c, tan = a b Tigonometiska samband sin (90 ) = cos, cos (90 ) =sin e ix = cos x + i sin x cos x = eix + e ix, sinx = eix e ix d d dx sin x = cos x, dx cos x = sin x i Andagadsekvationen x + px + q = 0 ha lösninga x1, = 1 p ± q 1 4 p q Di eentialekvationen y 00 + ay 0 + by = f(x) ha lösningen y(x) =yh(x)+yp(x) Om f(x) =D och b =0ä yp(x) =Dx/a. Om f(x) =0ä yp = 0. ( C1e 1x + Ce x om 1 6= yh(x) = (C1x + C)e 1x om 1 = dä 1, ä lösningana till ekvationen + a + b =0 Då 1, = ± i : yh = e x (A cos x + B sin x) McLauinutvecklinga f(x) = f(0) + f 0 (0) 1! e x = 1+ x 1! + x sin x = x cos x = 1 x 3 3! + x5 5! x! + x4 4! x + f 00 (0)!! +...= 1 P...= 1 P x +...= 1 P...= 1 P x n n! ( 1) n (n + 1)! xn+1 ( 1) n (n)! xn f (n) (0) n! x n