RIEMANNSUMMOR OCH DEFINITIO ONEN AV INTEGRALI LEN f ( x) dx Låt f ( Låt P={xx 0,x 1,...,x } där = x 0 x 1,..., x = =, vr e idelig vv itervllet [,]. I vrje delitervll [x -1, x ] väljer och e put c. Alltså x -1 c x. Uttrycet f ( S x) vr e reell futio defiierd och egräsd på itervllet [,], 1 c ( f, P ), eller R ( f, P). )(x x 1) lls för e Riemsumm ochh etecss oftst S, S, R Vi väder oft etecig x x x 1, för lägde v itervll (r. ) smt P mx{ x x 1 } dvs "orme", P, v delige P är lägde v störst delitervllet. ( Amärig: Norme vv idelige P etecs äve som P ) De estämd itegrle defiiers som gräsvärdett ( om det existerr) v f ( x ) dx f (x ) dx def def P mx x lim lim 0 1 Vd mer vi med gräsvärdet v precisers p v följde (Riems)) defiitio. Defiitio 1: ( Riems defiitio v x 1 0 f ( f ( 1 c c ) x. )(x x 1) f ( x) dx ). ) eller ortre Låt f (x) vr e reell futio defiierd och egräsd på itervllet i [,], Vi säger tt f (x) är itegrerr på itervllet [,] om det existerr ett tl A så tt följde gäller: 1
För vrje 0 existerr 0 så tt för vrje idelig P={x 0,x 1,...,x }, v itervllet [,] och puter {c 1,...,c } där = x 0 c 1 x 1,..., c x =, gäller P A f ( c ) x. 1 I dett fll sriver vi f ( x) dx A. UNDERSUMMOR OCH ÖVERSUMMOR Om vi etrtr e futio som är otiuerlig i itervllet, då tr futioe sitt mist värde och si störst värde i vrje slute itervll,. Därför vi defiier e udersumm och e översumm,,. { Amärig: Om futioe ite är otiuerlig då väder vi m if ( f ( x)) och M sup ( f ( x)) }. x( 1) xx x( 1) xx Låt P={x 0,x 1,...,x } där = x 0 x 1,..., x =, vr e idelig v itervllet [,]. I vrje delitervll [x -1, x ] väljer och e put c. Alltså x -1 c x. Då gäller m ( x x 1) f ( c )( x x 1) M ( x x 1). 1 De estämd itegrle f ( x) dx defiiers med hjälp v uder- och översummor. Följde defiitio (frå ursoe Adms Clculus) är evivlet med ovståede defiitio 1. Defiitio 1: ( Kursoe Adms Clculus). Låt f (x) vr e reell futio defiierd och egräsd på itervllet [,], Vi säger tt f (x) är itegrerr på itervllet [,] om det existerr EXAKT ETT TAL A så tt för VARJE idelig P gäller: L( f, P) A U ( f, P). Nedståede sts väds för tt evis itegrerrhet för e futio. 2
Sts. E futio f (x) är itegrerr på [, ] om för vrje 0 existerr e översumm U och e udersumm L såd tt e U L. Vi väder l för tt 1. pproximer itegrle 2. härled grudegesper för estämd itegrler 3. härled formler som iluderr estämd itegrler (t ex eräig v reor, volymer och åglägder) 4. erä ågr typer v gräsvärde 5. uppstt eller erä summor. Stser om itegrerr futioer ( på ett slutet och egräst itervll [,] ): Sts 1. { f (x) otiuerlig på [,]} { f (x) itegrerr på [,]} Sts 2. { f (x) är egräst och otiuerlig på [,] förutom i ädligt tl puter} { f (x) itegrerr på [,]} Sts 3. { f (x) sär mooto på [,]} { f (x) itegrerr på [,]} 3 Exempel: ) f ( x) x 2si( x) 3cos( x) 4 l( x) är itegrerr på itervllet [12, 23] eftersom f (x) är otiuerlig på itervllet. Exempel: ) Futioe x för 1 x 2 f ( x) är itegrerr på itervllet [1, 3] eftersom si x för 2 x 3 f (x) är otiuerlig på itervllet förutom i e put. EGENSKAPER HOS INTEGRERBARA FUNKTIONER (Vi tr tt f (x) och g (x) i edståede uttryc är itegrerr futioer. ) 3
1, cdx c( ) (där c är e ostt) 2. { f ( x) 0 på [,] } f ( x) dx 0 3. { f ( x) 0 på [,] } f ( x) dx 0 4. { f ( x) g( x) på [,] } f ( x) dx g( x) dx 5. f ( x) dx f ( x) dx def 6. f ( x) dx 0 def 7. f ( x) dx f ( x) dx c 8. f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx 9. 1 f ( x) c2g( x) dx c1 f ( x) dx c2 c c g( x) dx INTEGRAL ÖVER ETT SYMMETRISKT INTERVAL [ -, ] i) Itegrle v e jäm futio över ett symmetrist itervll rig oll ( d v s frå till ) är två gåger itegrle v edst e hlv (frå 0 till ): Exempel: 2 ä ä / / / / 2 2 2102. ii) Itegrle v e udd futio över ett symmetrist itervll rig oll ( d v s frå till ) är li med 0: 4
0 ä Exempel. si 0 Exempel. Itegrle i följde exempel eräs över ett symmetrist itervl, me itegrde är vre udd eller jäm. Trots dett vi förel eräig geom tt seprer udd dele v futioe. / 5 / / / / 5 / 0 5 5 För tt förel eräig i smd med väder vi oft ideligsitervller med smm lägd h. ( Amärig: vi del itervll äve i t ex 2 eller 3.. delr om det förelr eräig) Om vi delr i delitervll då är Då är 0 evivlet med. Motsvrde Riemsumm lir då och. och lim lim. Vi äve välj e put på ett eelt sätt: Eligt defiitioe, i vrje itervll, väljer vi fritt e put och erär futioes värde i de put. Därför vi äve välj för e v ädputer eller. Därmed lir li med eller. 5
A) Om vi t ex väljer då lir uttrycet för summ äu elre ( Lägg märe till tt ite fiss i summ (**) ) B) Om vi t ex väljer dvs,., får vi summ s ( Lägg märe till tt ite fiss i summ (***) ) Amärig: Medelvärdet 2 2 2 ocså väds för umeris pproximtio v itegrle : 2 2 2 2 ÖVNINGAR: BERÄKNING AV RIEMANNSUMMOR MED HJÄLP AV INTEGRALENS DEFINITION OCH Uppgift 1. Vis med hjälp v och itegrles defiitio (lltså ut vädig v isättigs formel) ) tt 1 xdx 1. 2 0 6
( Tips: Du väd följde formel för ritmetis summ 1 2 ) Lösig: Vi delr itervllet [,]=[0,1] i delitervll med smm lägd Alltså hr vi följde idelig 1 0 1 : 0 1 Därför 0 20 2 1 01 0 0 Vi etrtr Riemsumm för futioe f(x)=xx och väljer. Därför f. Vi hr: ( lägg märe till tt ) 1 1 2 1 2 7
Eftersom 0 är evivlet med hr vi lim lim 1 2 1 2... Uppgift2. (gmml KS) Vis med hjälp v och itegrles defiitio (lltså ut vädig v isättigs formel) tt Lösig: Vi delr itervllet [,]=[3,5] i delitervll med smm lägd Alltså hr vi följde idelig. 5 3 2 : 3 5 Därför 3 23 2 1 31 3 3 Vi etrtr Riemsumm 8
för futioe och väljer 31. Vi hr: ( lägg märe till tt ) Vi väder formel för geometris summ och får Eftersom 1 1 1 1 lim erär vi gräsvärdet v då h går mot 0 ( eller evivlet, då går mot ) : i) Vi vet tt 1 å 0 (stdrdgräsvärde eller l Hospitls regel) ii) 1 1 1 Härv 1 1 1 1... Udd och jäm futioer Uppgift3 : Bevis tt följde futio är jäm: 3 3 3 Lösig: f( x) 3 3 3 3 3 3. Alltså ö och därför är futioe jäm. Uppgift4 : Bevis tt följde futio är udd: 3 Lösig: 3 3 3. Alltså ö och därför är futioe udd. Uppgift 5. Bestäm om följde futioer är udd, jäm eller vre udd eller jäm. 9
) 3 3 10 ) c) Svr: ) jäm ) udd c) vre udd eller jäm Uppgift 6. Berä följde itegrler ) ) ) si 5 Svr: ) 0 ) 100 UPPSKATNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR Om vi etrtr e futio som är otiuerlig i itervllet, då tr futioe sitt mist värde och si störst värde i vrje slute itervll,. Därför vi pproximer itegrle med åde e udersumm och e översumm ö. { Amärig: Om futioe ite är otiuerlig då väder vi m M sup x ( 1) xx ( f ( x )) } Vi pproximer itegrle frå åd sidor if x( 1) xx ( f ( x)) och ö Följde sts väds för tt vis tt e futio är itegrerr. Sts. E futio f (x) är itegrerr på [,] om för e udersumm L såd tt e U L. vrje 0 existerr e översumm U och Atg tt f(x) är mooto ( växde eller vtgde) på [, ]. Då tr futioe si störst och mist värde i, i itervllets ädputer. i) Om är växde i [, ] och h=(-)/ då och ö,, och 10
ii) Om är vtgde i [, ] och h=(-) )/ då och ö, och, Uppgift 7. Låt f (x ) vr e mooto futio på itervllet [, ]. Vis tt f (x) är itegrerr på f (x). Lösig. At tt f (x) är växde på [, ]. (På smm sätt visr m m påståedet om f (xx ) är vtgde. ) Vi delr [, ] i delitervll som hr smm lägd h. Låt = x 0 x 1,..., x =, vr e idelig v itervllet [, ] där d x x1 1 h. Låt och etec futioes mist och störst värde i itervllet [ f (x) är växde) x 1, x ]. Då gäller ( eftersom m f ( x ) 1 y 1 och M f ( ) x y Då lir motsvrde udersumm L= 1 m h h( y 0 y1 y2 y1) och översumm U= Härv UU L h( y y0 ) ( f ( ) f ( )) 0 om. (Därför vi för vrje 0 fi e översumm U och e udersumm L såd tt e U L. ) Därmed 1 M h h ( y 1 y2 ). är f (x) itegrerr. (Vd sulle eviss). y 11
Uppgift 8. Vis tt l l 1l Tips: Betrt itegrle: l. l Lösig: Först erär vi itegrle l. Härv l l l 1 x l l 1 Futioe l är positiv och växde. Tlet l är li med re mell grfe v och x xel för 1. Alltså l l 1 Vi delr itervllet 1, i ( 1) delitervll v med deligsputer 1,2,3,,. Vrje delitervll hr lägde 1. 12
Are A 1 pproximerr vi med uderre A 2 och överre A 3. Då gäller A 2 A 1 A 3 Först erär vi uderre A 2 (=summ är smmlgd re v de retglr som ligger uder grfe ) 11 l 11 l 2 1 l 1 På smm sätt erär vi A 3 1 l 2 1 l 3 1 l Nu hr vi A 2 A 1 A 3 l 1l 2 l 1 l1 1 l 21 l 3 1 l V.S.B. 13