Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter utn miniräknre 0 Del I # (/0) Deriver.......................... 0 Del I # (/0) Loklt mimum..................... 0 Del I # (/0) Miml höjd....................... Del I # 4 (/0) Brt ut och förenkl................... Del I # 5 (/0) Förenkl.......................... Del I # 6 (/0) Konstnt lutning?.................... Del I # 7 (0/) Lös ekvtion........................ 4 Del I # 8 (// ) Är lg 9 <?....................... 5 Del I # 9 (/) Lik lutning hos grfer.................. 8 Del I # 0 (0// ) Ett bevis......................... 9 Förslg på lösningr till uppgifter med miniräknre 0 Del II # (/0) Geometrisk summ.................... 0 Del II # (/) Beräkn mimum.................... Del II # (/0) Grfritnde miniräknre................. Del II # 4 (0/) Eponentilfunktionen.................. Del II # 5 (// ) Formler i sjukmp.................... 4 Del II # 6 (// ) Derivering på olik sätt................. 7 Del II # 7 (0/4/ ) Eponentiell vsvlning................. 9 Del II # 8 (/4/ ) Volmoptimering v pket................ c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Förord Uppgifter till kursen Mtemtik C duger utmmärkt för träning till kurser enligt G 0. Denn version v lösningrn refererr till den FORMELSAMLING som hör till kursen Mtemtik. Kom ihåg Mtemtik är tt vr tdlig och logisk Använd tet och inte br formler Rit figur (om det är lämpligt) Förklr införd beteckningr Du sk vis tt du kn Formuler och utvecklr problem, nvänd generell metoder/modeller vid problemlösning. Anlser och tolk resultt, dr slutstser smt bedöm rimlighet. Genomför bevis och nlser mtemtisk resonemng. Värder och jämför metoder/modeller. Redovis välstrukturert med korrekt mtemtiskt språk. 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 M 4 5 4 M 4 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 Mb 4 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
NpMC vt 005 Version Skolverket hänvisr generellt beträffnde provmteril till bestämmelsen om sekretess i 4 kp. sekretesslgen. För dett mteril gäller sekretessen frm till och med den 0 juni 005. Anvisningr NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Provtid 40 minuter för Del I och Del II tillsmmns. Vi rekommenderr tt du nvänder högst 60 minuter för rbetet med Del I. Hjälpmedel Del I: Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs C, D och E. Observer tt miniräknre ej är tillåten på denn del. Del II: Miniräknre och Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs C, D och E. Provmterilet Provmterilet inlämns tillsmmns med din lösningr. Skriv ditt nmn och komvu/gmnsieprogrm på de ppper du lämnr in. Lösningr till Del I sk lämns in innn du får tillgång till miniräknren. Redovis därför ditt rbete på Del I på seprt ppper. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Provet Provet består v totlt 8 uppgifter. Del I består v 0 uppgifter och Del II v 8 uppgifter. Till någr uppgifter (där det står Endst svr fordrs) behöver br ett kort svr nges. Till övrig uppgifter räcker det inte med br ett kort svr utn det krävs tt du skriver ned vd du gör, tt du förklrr din tnkegångr, tt du ritr figurer vid behov och tt du vid numerisk/grfisk problemlösning visr hur du nvänder ditt hjälpmedel. Uppgift 8 är en större uppgift, som kn t upp till en timme tt lös fullständigt. Det är viktigt tt du försöker lös denn uppgift. I uppgiften finns en beskrivning v vd lärren sk t hänsn till vid bedömningen v ditt rbete. Försök tt lös ll uppgiftern. Det kn vr reltivt lätt tt även i slutet v provet få någon poäng för en påbörjd lösning eller redovisning. Även en påbörjd icke slutförd redovisning kn ge underlg för positiv bedömning. Poäng och Provet ger mimlt 44 poäng. betgsgränser Efter vrje uppgift nges miml ntlet poäng som du kn få för din lösning. Om en uppgift kn ge g-poäng och vg-poäng skrivs dett (/). Någr uppgifter är mrkerde med, vilket innebär tt de mer än ndr uppgifter erbjuder möjligheter tt vis kunskper som kn koppls till MVG-kriteriern. Undre gräns för provbetget Godkänd: poäng. Väl godkänd: Mcket väl godkänd: 6 poäng vrv minst 6 vg-poäng. Utöver krven för Väl godkänd sk du h vist prov på flertlet v de MVG-kvliteter som de -märkt uppgiftern ger möjlighet tt vis. Du sk dessutom h minst vg-poäng. Nmn: Skol: Komvu/gmnsieprogrm:
NpMC vt 005 Version Del I Denn del består v 0 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din lösningr på denn del görs på seprt ppper som sk lämns in innn du får tillgång till din miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre.. Bestäm derivtn till ) f ( ) = 6 Endst svr fordrs (/0) b) f 4 ( ) = 5e Endst svr fordrs (/0). Funktionen = f () hr ett loklt mimum för = 5 Vilket värde hr f (5)? Endst svr fordrs (/0). Kninen Tösen från Dnmrk stte 997 världsrekord i höjdhopp för kniner. Enligt en modell gäller tt Tösens höjd under hoppet ges v h( ) = 4 4 där h är höjden i meter över golvet och där är vståndet i meter längs golvet från vstmpet. Beräkn med hjälp v derivt Tösens miml hopphöjd. (/0) 4. Brt ut och förenkl 4 7 (/0) 5. Använd konjugtregeln och förenkl + 9 (/0)
NpMC vt 005 Version 6. En kompis till dig funderr på hur kurvn = + ser ut och påstår sedn: Lutningen är lltid lik med 4, överllt på kurvn. Hr din kompis rätt? Motiver ditt svr. (/0) 7. Lös ekvtionen (8 6) = 0 (0/) 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) 9. Figuren visr grfern till = f () och = g() För vilket eller vilk gäller tt f ( ) = g ( )? Motiver ditt svr med tet och/eller genom tt rit en figur. (/) 5 0. Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// )
NpMC vt 005 Version Del II Denn del består v 8 uppgifter och är vsedd tt genomförs med miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre.. En viss geometrisk summ kn beräkns med 5 4000 (,0 ),0 ) Skriv ut termern i den geometrisk summ som kn beräkns med uttrcket ovn. (/0) b) Formuler ett problem som hndlr om en verklig sitution. Ditt problem 5 4000 (,0 ) sk kunn löss genom tt beräkn uttrcket,0 (/0). Fältforskningsenheten vid Sveriges Lntbruksuniversitet hr undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkr skördens storlek för olik kornsorter. För kornsorten Bronesse gäller funktionen f ( ) = 0,00 0,8 + 05,6 + 600 0 80 där f () är skördens storlek i kg/hektr och är mängden tillstt kväve i kg/hektr. Hur mcket kväve sk tillsätts för tt skördens storlek sk bli miml? (/). Anders hr fått en grfritnde miniräknre. Förklr för Anders hur hn sk gör för tt lös ekvtionen 6 = 9 med sin grfritnde miniräknre. (/0) 4. I börjn v år 000 köpte Krin ndelr i en IT-fond till ett värde v 000 kr. Fem år senre hde värdet gått ner till 7 kr. Beräkn den årlig procentuell värdeminskningen för hennes fondndelr. (0/)
5. Crolin Klüft tävlr i sjukmp och är en v Sveriges främst medljkndidter i världsmästerskpen i friidrott 005. I sjukmp tävlr deltgrn i olik grenr. För tt kunn summer resultten från dess grenr räkns resulttet i vrje gren om till poäng. Interntionell friidrottsförbundet (IAAF) hr bestämt de två formler som nvänds för poängberäkning. NpMC vt 005 Version För löpgrenr nvänds: Poäng = ( b M ) c För kst- och hoppgrenr nvänds: Poäng = ( M b) c Förklring: M = Uppmätt resultt (löpning i sekunder, hopp i centimeter, kst i meter), b, c = konstnter, se tbellen nedn (b är det sämst resultt som ger poäng) Konstnter Gren b c 00 m 4,99087 4,5,8 800 m 0,9 54,88 00 m häck 9,076 6,7,85 Höjdhopp,845 75,48 Längdhopp 0,88807 0,4 Kul 56,0,5,05 Spjut 5,980,8 ) Det svensk rekordet i längdhopp för dmer är 699 cm. Hur mång poäng får Crolin om hon hoppr så långt i en sjukmp? (/0) b) Värdet på konstnten c för spjutkstning hr fllit bort i tbellen. Bestäm c om du vet tt ett kst på 48 meter ger 8 poäng. (/0) c) Vid OS i Aten 004 hde Crolin 6047 poäng inför sist grenen som vr 800 m. Vilken tid hde hon behövt spring på för tt slå det då gällnde europrekordet 7009 poäng? (/) d) Vrför nvänds två olik formler? (0// )
NpMC vt 005 Version 6. I denn uppgift sk du bestämm derivtns värde till f ( ) = + i den punkt på kurvn där = 4 ) Lös uppgiften med hjälp v deriveringsregler. (/0) b) Lös uppgiften med hjälp v lämplig ändringskvot. (/0) c) Lös uppgiften med hjälp v derivtns definition. (0// ) 7. En termos flls med hett kffe och plcers direkt utomhus där temperturen ligger kring noll grder. Temperturen på kffet vtr eponentiellt med tiden. Efter 4 timmr är temperturen 76 C och vid smm tidpunkt minskr temperturen med hstigheten 4, C per timme. ) Vilken vr temperturen på kffet då det hälldes i termosen? (0// ) b) Kffet nses drickbrt så länge dess tempertur inte understiger 55 C. Hur lång tid efter tt mn hällt kffet i termosen är det fortfrnde drickbrt? (0/)
NpMC vt 005 Version Vid bedömning v ditt rbete med denn uppgift kommer lärren tt t etr hänsn till Hur generell din lösning är Hur väl du motiverr din slutstser Hur väl du utför din beräkningr Hur väl du redovisr ditt rbete Hur väl du nvänder det mtemtisk språket 8. Micke och Peter hr strtt ett företg inom Ungt Företgnde (UF). De säljer tröjor med trcket "Mmm... mtemtik" och hr kunder i ll delr v lndet. Därför tänker de skick tröjorn med posten. För tt t red på vd som gäller för tt skick pketen går de in på Postens hemsid. Där hittr de en måttguide som innehåller informtionen nedn: Längd + bredd + bredd + höjd + höjd får vr m 00 cm Längd: Bredd: Höjd: m 50 cm m 70 cm m 5 cm De vill skick tröjorn i pket som hr så stor volm som möjligt, utn tt överskrid Postens mimimått. Micke tror tt ett kubiskt pket ger störst volm. Peter tror tt volmen blir ännu större om pketet inte hr formen v en kub, men bredd och höjd är lik. Vilken v de två tpern v pket ger störst möjlig volm? Är smm tp v pket störst om begränsningen 00 cm ändrs? (/4/ )
NpMC vt 005 Version Kurs plnering Del I.se NpMC vt005 0(5) Denn del består v 0 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din lösningr på denn del görs på seprt ppper som sk lämns in innn du Del får tillgång I # till din (/0) miniräknre. Deriver Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre.. Bestäm derivtn till ) f ( ) = 6 Endst svr fordrs (/0) b) f 4 ( ) = 5e Endst svr fordrs (/0) Använd FORMELSAMLINGEN.. Funktionen = f () hr ett loklt mimum för = 5 f() Vilket = värde hr f (5)? NpMC vt 005 Version 6 Endst svr fordrs (/0) f () = 6 Del I Denn del består v 0 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Svr. Din ) Kninen lösningr f () Tösen = på denn från Dnmrk 6. del görs stte på seprt 997 världsrekord ppper som i höjdhopp sk lämns för kniner. innn du får tillgång Enligt en till modell din miniräknre. gäller tt Tösens höjd under hoppet ges v Observer f() h( ) = tt 4 5 rbetet e 4 4 med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. f () = 5 4 e 4 = 0 e 4. där Bestäm h är derivtn höjden i meter till över golvet och där är vståndet i meter längs golvet från vstmpet. Svr b) ) f () f ( ) = 0 e 4 6. Endst svr fordrs (/0) Beräkn med hjälp v derivt Tösens miml hopphöjd. (/0) b) f 4 ( ) = 5e Endst svr fordrs (/0) Del I # (/0) Loklt mimum. Funktionen = f () hr ett loklt mimum för = 5 Vilket värde hr f (5)? Endst svr fordrs (/0) Vid loklt etremvärde (mimum eller minimum) är lltid derivtn 0.. Kninen Tösen från Dnmrk stte 997 världsrekord i höjdhopp för kniner. Enligt en modell gäller tt Tösens höjd under hoppet ges v Svr f (5) = 0. h( ) = 4 4 där h är höjden i meter över golvet och där är vståndet i meter längs golvet från vstmpet. 4 4. Brt ut och förenkl (/0) Beräkn med hjälp v derivt 7 Tösens miml hopphöjd. (/0) 5. Använd konjugtregeln och förenkl + 9 c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06 (/0)
) f ( ) = 6 Endst svr fordrs (/0) b) f 4 ( ) = 5e Endst svr fordrs (/0) Kurs plnering.se NpMC vt005 (5). Funktionen = f () hr ett loklt mimum för = 5 f? Endst svr fordrs (/0) Del Vilket I # värde hr (/0) (5) Miml höjd. Kninen Tösen från Dnmrk stte 997 världsrekord i höjdhopp för kniner. Enligt en modell gäller tt Tösens höjd under hoppet ges v h( ) = 4 4 där h är höjden i meter över golvet och där är vståndet i meter längs golvet från vstmpet. Beräkn med hjälp v derivt Tösens miml hopphöjd. (/0) Höjden h ges v 4 4. Brt ut och förenkl h() = 4 4 7 Deriver. Använd FORMELSAMLINGEN. h () = 4 4 = 4 8 Vid mimum är derivtn 0. + 5. Använd 0 = konjugtregeln 4 8 och förenkl 9 Beräkn miml höjd h(0,5) h(0,5) = 4 0,5 4 0,5 = = (/0) (/0) Svr Mimipunktens -koordint är 0,5 och miml höjd är meter. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
där h är höjden i meter över golvet och där är vståndet i meter längs golvet från vstmpet. Beräkn med hjälp v derivt Tösens miml hopphöjd. (/0) Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Del I # 4 (/0) Brt ut och förenkl 4. Brt ut och förenkl 4 7 (/0) M M 4 (7 ) = 5. 7Använd konjugtregeln 7 och = förenkl = + 9 (/0) Svr. 4. Brt ut och förenkl 4 7 Del I # 5 (/0) Förenkl 5. Använd konjugtregeln och förenkl Använd FORMELSAMLINGEN Algebr + Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs 9 (/0) (6) (/0) M M Regler ( + b) = + b + b ( b) = b + b ( + b)( b) = b ( b) = b + b b ( + b) = + b + b + b + b = ( + b)( b + b b = ( b)( + b + b ) ) Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 + 9 = + ( + )( ) = ( ) p = ± p q Aritmetik Svr Prefi T G M k h d c m µ n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 0 0 9 0 6 0 0 0-0 - 0-0 -6 0-9 0 - Potenser = + = ( ) = = c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se = n n 0 05-04-06 = b = ( b) b b = Geometrisk summ + k + k +... + k n n ( k ) = k där k
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Del I # 6 (/0) Konstnt lutning? NpMC vt 005 Version 6. En kompis till dig funderr på hur kurvn = + ser ut och påstår sedn: Lutningen är lltid lik med 4, överllt på kurvn. Hr din kompis rätt? Motiver ditt svr. (/0) Lutning betder derivt. Deriver funktion = 7. Lös ekvtionen +. (8 6) = 0 (0/) Använd FORMELSAMLINGEN. Vi får = = 4 och denn funktion är inte konstnt. 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) Svr Lutningen är inte konstnt. 9. Figuren visr grfern till = f () och = g() För vilket eller vilk gäller tt f ( ) = g ( )? Motiver ditt svr med tet och/eller genom tt rit en figur. (/) 5 0. Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// ) c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
NpMC vt 005 Version 6. En kompis till dig funderr på hur kurvn = + ser ut och påstår sedn: Kurs plnering Lutningen.se är lltid lik med 4, överllt NpMCpå vt005 kurvn. 4(5) Hr din kompis rätt? Motiver ditt svr. (/0) Del I # 7 (0/) Lös ekvtion (6) 7. Lös ekvtionen (8 6) = 0 (0/) Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs Städ Algebr och brt ut fktorn 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) Regler 0 = ( 8 6 ) } {{ ( + b) } = }{{} + b + b ( b) = b + b b : grdsekv =0 ( b) = b + b ( + b) = + b + b + b Vi hr nu en lösning ( + b)( b) = b = 0. + b = ( + b)( b + b ) Lös 9. :Figuren grdsekvtionen visr grfern medtill pq-formeln = f () och som finns = g( ) i FORMELSAMLINGEN. b = ( b)( + b + b ) Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 p = ± p q :Aritmetik grdsekvtionen är 0 = 8 +6. Prefi }{{} T } {{ } G M k h d c m µ n p pq-formeln ger ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko = +4 + 0 4 6 0= 9 4 + 0 6 0 = 0 4 0 0-0 - 0-0 -6 0-9 0 - = +4 4 6 = 4 0 = 4. Svr = 0, = 4 och = + 4. Potenser = = ( ) = = Kommentr En tredjegrdsekvtion hr lltid minst en rot och högst tre rötter. På sidn uppgift finns grfer som illustrerr = b = ( b) de olik möjlig fllen. n n b b = 0 = För vilket eller vilk gäller tt f ( ) = g ( )? Kommentr Du får inte svr Motiver ditt svr med tet och/eller = 0 och genom = 4. Du måste h med den tredje roten ntt rit en figur. (/) = Geometrisk 4. n ( k ) + k + k +... + k = där k summ k Logritmer = 0 = lg = e = ln 5 0. Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// ) lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg Absolutbelopp p= 8 q=+6 om 0 = om < 0 c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Lutningen är lltid lik med 4, överllt på kurvn. Aritmetik Hr din kompis rätt? Motiver ditt svr. (/0) Prefi T G M k h d c m µ n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Kurs plnering.se NpMC vt005 5(5) 0 0 9 0 6 0 0 0-0 - 0-0 -6 0-9 0-7. Lös ekvtionen (8 6) = 0 (0/) Del I # 8 (// ) Är lg 9 <? Potenser = + = ( ) = = 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) = b = ( b) n n b b = 0 = Använd Geometrisk FORMELSAMLINGEN n ( k ) + k + k +... + k = där k summ 9. Figuren visr grfern till = f () och k = g() n Logritmer = 0 = lg = e = ln lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg Följnde tbell visr Absolutbelopp om 0 tt = lg 9 <. om < 0 = 0 0 nnorlund uttrckt lg = 0 (6) 9 = 0 lg 9 lg 9 < 0 0 = 0 nnorlund uttrckt lg 0 = Differentil- och integrlklkl Enligt uppgiften krävs ett motiv. Finns det någon möjlighet tt lg 9? Är funktionen = 0 Derivtns definition f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) strikt vände? Ger ett större f ( ) = limockså ett h större =? lim h 0 Enligt FORMELSAMLINGEN gäller -0- Skolverket För vilket eller vilk gäller tt f ( ) g Derivtor Funktion = ( ) Derivt? Motiver ditt svr med tet och/eller genom tt rit en figur. (/) n n där n är ett reellt tl n ( > 0) ln 5 0. Vis = tt 0 f ( ln ) 0 0> e för 0. ll om f ( ) = A + e B och A och B är positiv Funktionen konstnter. = 0 är lltså strikt vände för ll. (0// ) k k e k e Svr lg 9 <. Kommentr 6 och 7. Skolverkets f ( ) rättningsnorm + g( ) för denn f ( ) uppgift + g ( ) finns på de följnde sidorn Primitiv Funktion Primitiv funktion c funktioner G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06 k k + C n e ( n ) + n + C n + e + C
Uppg. Bedömningsnvisningr Poäng 7. M 0/ Kurs plnering Uppg. Bedömningsnvisningr Poäng Godtgbr.se nsts, t e fktoriserr NpMC uttrcket vt005 + vg 6(5) 7. M 0/ med korrekt svr ( =, 4 ) + vg 0, = NpMC vt 005 Version Godtgbr nsts, t e fktoriserr uttrcket 8. med korrekt svr ( = 0,, = 4 ) M + // vg Korrekt svr ( lg 9 < ) med försök till motivering, t e genom tt hänvis 8. till tt lg 0 = M // + g Korrekt med godtgbr svr ( lg motivering, 9 < ) med t försök e genom till motivering, tt försök t påvis e genom tt funktionen tt hänvis är vände till tt lg 0 genom = tt nge värden för någr olik logritmer + + vg g med godtgbr motivering, t e genom tt försök påvis tt funktionen är vände genom tt nge värden för någr olik logritmer + vg MVG-kvlitet visr eleven i denn uppgift genom tt: Formulerr och utvecklr problem, nvänd generell metod: Eleven strker tt lg 9 < nvänder generell metoder/modeller med ett generellt resonemng, t e genom tt hävd vid problemlösning MVG-kvlitet tt = visr lg är eleven en vände i denn funktion. uppgift genom tt: Anlserr Formulerr och och tolkr utvecklr resultt, problem, drr nvänd generell metod: Eleven strker tt lg 9 < slutstser nvänder generell smt bedömer metoder/modeller rimlighet med ett generellt resonemng, t e genom tt hävd Genomför vid problemlösning bevis och nlserr genomför tt = lg bevis: är en vände Eleven gör funktion. t e en omskrivning mtemtisk Anlserr och resonemng tolkr resultt, drr med hjälp v definitionen och kn därigenom slutstser smt bedömer rimlighet diskuter värdet v lg 9 på ett obestridligt sätt. Värderr Genomför och bevis jämför och metoder/modeller nlserr genomför bevis: Eleven gör t e en omskrivning mtemtisk resonemng med hjälp v definitionen och kn därigenom Redovisr välstrukturert med korrekt diskuter värdet v lg 9 på ett obestridligt sätt. mtemtiskt Värderr och språk jämför metoder/modeller Redovisr välstrukturert med korrekt mtemtiskt Eempel språk på elevlösningr och hur de poängsätts ges nedn. Andr lösningsförslg sk bedöms på likvärdigt sätt. Eempel på elevlösningr och hur de poängsätts ges nedn. Andr lösningsförslg Elevlösning sk bedöms ( g på och likvärdigt vg) sätt. + vg Elevlösning ( g och vg) Kommentr: Eleven försöker, med någr specilfll, påvis tt funktionen är vände. Elevlösningen är knpphändig, vilket gör tt kvliteten i elevlösningen bedöms vr precis över gränsen för erhållnde v g och vg-poäng. Kommentr: Eleven försöker, med någr specilfll, påvis tt funktionen är vände. Elevlösningen är knpphändig, vilket gör tt kvliteten i elevlösningen bedöms vr precis över gränsen för erhållnde v g och vg-poäng. 8 8 c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
NpMC vt 005 Version Kurs plnering.se NpMC vt005 7(5) Uppg. Bedömningsnvisningr NpMC vt 005 Version Poäng Elevlösning ( g och vg och en v MVG-kvlitetern) Uppg. Bedömningsnvisningr Poäng Elevlösning ( g och vg och en v MVG-kvlitetern) Kommentr: Eleven hävdr tt = lg är vände i ett intervll och försöker därmed, på ett generellt pln, förklr vrför lg 9 <. Elevlösningen uppvisr MVG-kvlitet. Elevlösning Kommentr: Eleven ( g och hävdr vg tt och två = lgv MVG-kvlitetern) är vände i ett intervll och försöker därmed, på ett generellt pln, förklr vrför lg 9 <. Elevlösningen uppvisr MVG-kvlitet. Elevlösning ( g och vg och två v MVG-kvlitetern) Kommentr: Eleven nvänder definitionen för tt övergå till värden som lätt kn rngordns i storlek. Lösningen är generell och hr krktären v ett bevis. Den uppvisr två MVGkvliteter. Kommentr: Eleven nvänder definitionen för tt övergå till värden som lätt kn rngordns i storlek. Lösningen är generell och hr krktären v ett bevis. Den uppvisr två MVGkvliteter. M 9. / Bedömningsnvisningen nedn visr hur elevens lösning sk poängsätts. 9. M / Lägre Högre Bedömningsnvisningen nedn visr hur elevens lösning sk poängsätts. Eleven ger ett Eleven ger ett godtgbrt svr (, 5 ) och en godtgbrt Lägre svr godtgbr motivering, f () hr smm lutning Högre som (, 5 ) g () Eleven ger ett Eleven ger ett godtgbrt svr (, 5 ) och en eller godtgbrt svr eller godtgbr motivering, f () hr smm lutning som (, 5 ) en godtgbr g () en godtgbr motivering som underförstått innehåller ett motivering, eller t e godtgbrt svr, t e Det för vilket f () hr smm f () hr smm eller lutning som g () lutning en godtgbr som g () en godtgbr motivering som underförstått innehåller ett motivering, t e f () hr g godtgbrt svr, t e Det smm g och för vilket vg f () hr smm lutning som g () lutning som g () g g och vg 9 c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06 9
7. Lös ekvtionen (8 6) = 0 (0/) Kurs plnering.se NpMC vt005 8(5) 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) NpMC vt 005 Version Del I # 9 (/) Lik lutning hos grfer 6. En kompis till dig funderr på hur kurvn = + ser ut och påstår sedn: Lutningen är lltid lik med 4, överllt på kurvn. 9. Figuren visr grfern till = f () och = g() Hr din kompis rätt? Motiver ditt svr. (/0) 7. Lös ekvtionen (8 6) = 0 (0/) 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) 9. Figuren visr grfern till = f () och = g() För vilket eller vilk gäller tt f ( ) = g ( )? Motiver ditt svr med tet och/eller genom tt rit en figur. (/) Vi sk lltså finn det -värde där f() och g() hr smm lutning. 5 0. Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// ) Det gäller tt g ( ) är positiv och f ( ) negtiv, lltså är g ( ) > f ( ). I punkten = 4 är detför tvärtom, vilket eller g (4) vilk < f (4). gäller Någonstns tt f ( ) = i gintervllet ( )? [, 4] måste derivtorn vr lik. Det Motiver är svårt ditt tt svr vgör med tet ekt och/eller vr. För genom,5 tt rit seren lutningrn figur. ut tt vr lik. (/) Svr För,5 ser det ut som derivtorn är lik. 5 0. Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// ) c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Kurs plnering För vilket.seeller vilk gäller tt NpMC f ( ) = g vt005 ( )? 9(5) Motiver ditt svr med tet och/eller genom tt rit en figur. (/) Del I # 0 (0// ) Ett bevis 5 0. Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// ) Givet f() = A 5 + B då blir f () = A } {{ 5} 4 + B } {{ }. >0 >0 Det gällr tt { = > 0 : 0 = 0 : = 0. Produkten v positiv tl är positiv och summn v positiv tl är positiv. Produkt med fktorn 0 blir 0. För ll gäller då f () = (A 5 + B ) } {{ } }{{} >0 0 vilket skulle viss. 0 c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Regler ( + b) = + b + b ( b) = b + b b NpMC vt 005 Version ( b) = b + b ( + b) = + b + b + b ( + b)( b) = b Del II + b = ( + b)( b + b Kurs Denn plnering del består.se v 8 uppgifter och NpMC är vsedd vt005 tt genomförs b = ( b)( med + miniräknre. b + b ) 0(5) Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. ) Del II # (/0) Geometrisk summ p p Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 = ± q Mb. En viss geometrisk summ kn beräkns med Aritmetik 5 4000 (,0 ),0 Prefi ) Skriv ut termern T G i den M geometrisk k summ h d som kn c beräkns m med µ n p uttrcket ovn. (/0) ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko b) Formuler 0ett problem 0 9 0 som 6 hndlr 0 om 0 en 0 verklig - 0sitution. - - Ditt 0problem -6-9 0-5 4000 (,0 ) sk kunn löss genom tt beräkn uttrcket (/0) +,0 = = ( ) = = Potenser Använd FORMELSAMLINGEN. = b = ( b) n b b n = 0 =. Fältforskningsenheten vid Sveriges Lntbruksuniversitet hr undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkr skördens storlek för olik kornsorter. n Geometrisk n ( k ) + k + k +... + k = där k summ För kornsorten Bronesse gäller funktionen k f ( ) = 0,00 0,8 + 05,6 + 600 0 80 Noter Logritmer hur n och n= 0 förekommer = lg i formeln = för e summ = ln v geometrisk serie. Termern blir där f () är skördens storlek i kg/hektr och är mängden tillstt kväve i kg/hektr. lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg 4000 Hur mcket (,0 5 kväve ) sk = tillsätts för tt skördens storlek sk bli miml? (/) Absolutbelopp 4000 + 4000,0 + 4000,0 + 4000,0 + 4000,0 4.,0 om 0 = om < 0 Svr ) Termern är 4000; 4000,0; 4000,0 ; 4000,0 ; 4000,0 4. Svr. b) Anders Hur hr mcket fått en pengr grfritnde blirminiräknre. det om mnförklr sprrför 4 000:-/år Anders hur under hn 5sk år? Räntn är %. gör för tt lös ekvtionen 6 = 9 med sin grfritnde miniräknre. (/0) 4. I börjn v år 000 köpte Krin ndelr i en IT-fond till ett värde v 000 kr. Fem år senre hde värdet gått ner till 7 kr. -0- Skolverket Beräkn den årlig procentuell värdeminskningen för hennes fondndelr. (0/) c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
) Skriv ut termern i den geometrisk summ som kn beräkns med uttrcket ovn. (/0) b) Formuler ett problem som hndlr om en verklig sitution. Ditt problem 5 Kurs plnering 4000 (,0 ) sk kunn löss genom tt beräkn uttrcket (/0).se NpMC vt005,0 (5) Del II # (/) Beräkn mimum. Fältforskningsenheten vid Sveriges Lntbruksuniversitet hr undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkr skördens storlek för olik kornsorter. För kornsorten Bronesse gäller funktionen f ( ) = 0,00 0,8 + 05,6 + 600 0 80 där f () är skördens storlek i kg/hektr och är mängden tillstt kväve i kg/hektr. Hur mcket kväve sk tillsätts för tt skördens storlek sk bli miml? (/) För tt finn etremvärden undersöker vi vr f () = 0. Deriver f().. Anders hr fått en grfritnde miniräknre. Förklr för Anders hur hn sk f gör () för = tt 0,00 lös ekvtionen 0,08 6 + = 05,6 9 med sin grfritnde miniräknre. Lös (/0) 0 = 0,00 0,08 + 05,6 } {{ } 0,006 Normliser ekvtion, lltså divider med 0,006. Vi får 4. I börjn 0 = v år 000 70 köpte + 7600. Krin ndelr i en IT-fond till ett värde v 000 kr. Fem år senre hde värdet gått ner till 7 kr. Använd pq-formeln (den står i FORMELSAMLINGEN). Beräkn = den 5 årlig + 5 procentuell 7600 värdeminskningen = 5 + 65 = för 5 hennes + 5 fondndelr. = 60 (0/) = 5 5 7600 = 5 65 = 5 5 = 0 Vi konstterr tt både = 60 och = 0 ligger i intervllet 0 < < 80. f () = 0,006 ( 0) ( 60) Gör en teckentbell och studer även gränsern. = 0 0 < < 0 = 0 0 < < 60 = 60 60 < < 80 = 80 f () + + 0 0 + + f() 600 6066 596 600 Svr En tillsts v konstgödsel med 0 kg/hektr ger miml skörd. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
För kornsorten Bronesse gäller funktionen f ( ) = 0,00 0,8 + 05,6 + 600 0 80 där f () är skördens storlek i kg/hektr och är mängden tillstt kväve i kg/hektr. Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Hur mcket kväve sk tillsätts för tt skördens storlek sk bli miml? (/) Del II # (/0) Grfritnde miniräknre. Anders hr fått en grfritnde miniräknre. Förklr för Anders hur hn sk gör för tt lös ekvtionen 6 = 9 med sin grfritnde miniräknre. (/0) Anders bör nvänd mtemtisk kunskp i kombintion med sin grfritnde miniräknre. En tredjegrdsekvtion hr lltid minst en rot och högst tre rötter. Följnde olik fll finns. 4. I börjn v år 000 köpte Krin ndelr i en IT-fond till ett värde v 000 kr. Fem år senre hde värdet gått ner till 7 kr. Beräkn den årlig procentuell värdeminskningen för hennes fondndelr. (0/) rot dubbelrot+rot rot+rot+rot rot+dubbelrot rot trippelrot Ekvtionen Anders sk lös är 6 = 9. En vrint är tt gör en grov skiss v () = 6 + 9 eempelvis i intervllet [ 0, 0] för tt kunn vgör hur mång rötter som finns och vr dess rötter pproimtivt ligger. Röttern ligger där grfen skär -eln. Sedn kn Anders zoom in och plott grfen kring roten (eller röttern). En nnn vrint är tt Anders ritr vänsterledet g() = 6 och högerledet h() = 9 och tittr efter skärningspunkter. Se figuren nedn. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
där f () är skördens storlek i kg/hektr och är mängden tillstt kväve i kg/hektr. Hur mcket kväve sk tillsätts för tt skördens storlek sk bli miml? (/) Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Kommentr. Anders hr Noter fått en vd grfritnde frågn miniräknre. gäller, lltså Förklr förklr för för Anders Anders. hur Du hn sk sk lltså inte beräkn gör roten för (det tt lös finns ekvtionen br en rot i dett problem) utn br förklr för Anders. 6 = 9 med sin grfritnde miniräknre. (/0) Del II # 4 (0/) Eponentilfunktionen M 4. (6) I börjn v år 000 köpte Krin ndelr i en IT-fond till ett värde v 000 kr. Fem år senre hde värdet gått ner till 7 kr. Beräkn den årlig procentuell värdeminskningen för hennes fondndelr. (0/) Funktioner Rät linjen Andrgrdsfunktioner Använd = kformelsamlingen. + m k = = + b + c 0 Potensfunktioner = C Eponentilfunktioner = C > 0 och 7 = 000 5 Sttistik och snnolikhet 7 Stndrdvvikelse = 5 000 } {{ } 0,5707 Lådgrm = 5 0,5707 = 5 0, = 0,89 ( ) + ( ) +... + ( ) s = n (stickprov) n Delen är 0,89 = 0, vilket ger tt minskningen är % Svr Årlig minskningen är % Normlfördelning c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Kurs plnering.se NpMC vt005 4(5) Del II # 5 (// ) NpMC Formler vt 005 Version i sjukmp 5. Crolin Klüft tävlr i sjukmp och är en v Sveriges främst medljkndidter i världsmästerskpen i friidrott 005. I sjukmp tävlr deltgrn i olik grenr. För tt kunn summer resultten från dess grenr räkns resulttet i vrje gren om till poäng. Interntionell friidrottsförbundet (IAAF) hr bestämt de två formler som nvänds för poängberäkning. För löpgrenr nvänds: Poäng = ( b M ) c För kst- och hoppgrenr nvänds: Poäng = ( M b) c Förklring: M = Uppmätt resultt (löpning i sekunder, hopp i centimeter, kst i meter), b, c = konstnter, se tbellen nedn (b är det sämst resultt som ger poäng) Konstnter Gren b c 00 m 4,99087 4,5,8 800 m 0,9 54,88 00 m häck 9,076 6,7,85 Höjdhopp,845 75,48 Längdhopp 0,88807 0,4 Kul 56,0,5,05 Spjut 5,980,8 ) Det svensk rekordet i längdhopp för dmer är 699 cm. Hur mång poäng får Crolin om hon hoppr så långt i en sjukmp? (/0) b) Värdet på konstnten c för spjutkstning hr fllit bort i tbellen. Bestäm c om du vet tt ett kst på 48 meter ger 8 poäng. (/0) c) Vid OS i Aten 004 hde Crolin 6047 poäng inför sist grenen som vr 800 m. Vilken tid hde hon behövt spring på för tt slå det då gällnde europrekordet 7009 poäng? (/) d) Vrför nvänds två olik formler? (0// ) c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Kurs plnering.se NpMC vt005 5(5) ) Längdhopp Formeln för kst- och hoppgrenr är Poäng = (M b) c där prmetrrn är = 0,88807, b = 0 och c =,4 och M är hoppets längd i cm. Ett hopp på 699 cm ger Poäng = 0,88807 (699 0),4 = 69 Svr 69 poäng. b) Spjut Formeln för kst- och hoppgrenr är Poäng = (M b) c där prmetrrn är = 5,980, b =,8 och c = sk beräkns. Ett kst M = 48 m ger 8 poäng. 8 = 5,980 (48,8) } {{ } 44, 8 5,980 } {{ } = 44, c 5,48 Logritmer. Räkneregler för logritmer finns i FORMELSAMLINGEN. Det går br både med 0- eller e-logritmer. lg 5,48 } {{ },7 Svr c =,04. = c lg 44, } {{ },6454 c =,04 c) Löpning Formeln för löpgrenr är Poäng = (b M) c där prmetrrn för 800 meter är = 0,9, b = 54 och c =,88. Hon sknr 7009 6047 = 96 poäng och behöver tiden M för tt tnger rekordet. 96 = 0, 9 (54 M) } {{ } 96 0, 9 } {{ } 8594,66 =,88 c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Kurs plnering.se NpMC vt005 6(5) Logritmer. Räkneregler för logritmer finns i FORMELSAMLINGEN. Det går br både med 0- eller e-logritmer. lg 8594, 66 } {{ } =, 88 lg,94 lg =,94,88 =,097 Svr = 0 lg = 0,097 =,79 M = 54 = 54,79 = 0, Hon hde behövt spring snbbre än 0, sekunder. d) Vrför nvänds två olik formler? I rättningsnormen står det Godtgbr förklring, t e I löpning sk formeln funger så tt den ger fler poäng åt mindre M, i kst mm sk det vr tvärtom. +vg Svret är korrekt men uttrcker inte hel snningen. Svret ger intrcket tt om mn tillämpr formeln för kstgrenr på löpning så skulle konsekvensen bli minsknde poäng. Så är det inte. Låt oss undersök sken. Formeln för kstgrenr är Poäng = (M b) c Använd prmetrr för 800 meter och tiden 0 sekunder och formeln för kstgrenr. Vi får då Poäng = 0, 9 (0 54),88 = 0, 9 ( 4 ),88 } {{ } negtivt Vd mens med ( 4),88? För tt få ett reellt tl (vnligt tl) måste tlet innnför prentesen vr positivt. Med mtemtik bortom gmnsiets kurser kn uttrck v tpen ( 4),88 beräkns men resulttet blir inte meningsfullt i dett smmnhng. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Kurs plnering.se NpMC vt005 7(5) Del II # 6 (// ) Derivering på olik sätt NpMC vt 005 Version 6. I denn uppgift sk du bestämm derivtns värde till f ( ) = + i den punkt på kurvn där = 4 ) Lös uppgiften med hjälp v deriveringsregler. (/0) b) Lös uppgiften med hjälp v lämplig ändringskvot. (/0) (6) c) Lös uppgiften med hjälp v derivtns definition. (0// ) Differentil- och integrlklkl Derivtns definition f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) ) Lös uppgiften medfhjälp ( ) = lim v deriveringsregler = lim h 0 7. En termos flls med hett kffe och plcers h direkt utomhus där temperturen Använd ligger FORMELSAMLINGEN. kring noll grder. Temperturen på kffet vtr eponentiellt med tiden. Derivtor Funktion Derivt n där n är ett reellt tl n n f() = + f () = e f (4) = 4 = 8 e ( > 0) ln k Ändringskvoten är Efter 4 timmr är temperturen f ( ) + g( ) 76 C och vid f smm ( ) + gtidpunkt ( ) minskr temperturen med hstigheten 4, C per timme. f f(4 + h) f(4) (4) h välj lämpligt ) Vilken värde vr på temperturen steget h. Med på h kffet = 0,då får det vi hälldes i termosen? (0// ) Primitiv Funktion Primitiv funktion funktioner f f(4 + 0,) f(4) b) (4) Kffet nses drickbrt så = (4, + ) (4 + ) (6,8 + ) (6 + ) länge dess tempertur inte = 0, understiger 55 C. Hur lång tid efter k 0, tt mn hällt kffet i termosen k + C 0, är det } fortfrnde {{ } 0,8 drickbrt? (0/) n n 0, + =8, f (4) 8, ( n ) + C n + e k k e b) Lös uppgiften med hjälp v lämplig ändringskvot e e + C k e e + C k k + C ln c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06 ( > 0, )
Kurs plnering.se NpMC vt005 8(5) c) Lös uppgiften med hjälp v derivtns definition Använd Differentil- FORMELSAMLINGEN. och integrlklkl (6) Derivtns definition f ( ) = lim h 0 f ( + h) f ( ) = lim h f ( ) f ( ) Enligt derivtns definition gäller Derivtor Funktion Derivt f f(4 + h) f(4) (4) = lim h 0 n n h där n är ett reellt tl n f [(4 + h) + ] [4 + ] (4) = lim h 0 ( h > 0) ln f [4 + 8 h + h + ] [4 + ] (4) = lim h 0 e h e f 8 h + h (4) = lim k k e = lim[8 + h] = 8 k e h 0 h h 0 f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) Primitiv funktioner Funktion k Primitiv funktion k + C n e ( n ) + n + C n + e + C k e e + C k k ( > 0, ) + C ln c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06-0- Skolverket
på kurvn där = 4 ) Lös uppgiften med hjälp v deriveringsregler. (/0) b) Lös uppgiften med hjälp v lämplig ändringskvot. (/0) Kurs plnering.se NpMC vt005 c) Lös uppgiften med hjälp v derivtns definition. 9(5) (0// ) Del II # 7 (0/4/ ) Eponentiell vsvlning 7. En termos flls med hett kffe och plcers direkt utomhus där temperturen ligger kring noll grder. Temperturen på kffet vtr eponentiellt med tiden. Efter 4 timmr är temperturen 76 C och vid smm tidpunkt minskr temperturen med hstigheten 4, C per timme. ) Vilken vr temperturen på kffet då det hälldes i termosen? (0// ) (6) b) Kffet nses drickbrt så länge dess tempertur inte understiger 55 C. Hur lång tid efter tt mn hällt kffet i termosen är det fortfrnde drickbrt? (0/) Funktioner Rät linjen Andrgrdsfunktioner ) Vilken vr temperturen på kffet då det hälldes i termosen? = k + m k = = + b + Använd FORMELSAMLINGEN. c 0 Potensfunktioner = C Eponentilfunktioner = C > 0 och Vid tidpunkten är temperturen () = C Sttistik och snnolikhet där C och är prmetrr. Bestäm C och. Givet är (4) = 76 Stndrdvvikelse och (4) = 4, ( ) + ( ) +... + ( ) s = n (stickprov) n c GLådgrm Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Algebr Regler ( + b) = + b + b ( b) = b + b Kurs plnering ( + b)( b) = b Differentil-.se och integrlklkl NpMC vt005 + b = ( + b)( b + b ) 0(5) b = ( b)( + b + b ) Derivtns definition f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) där minustecknet i 4, fkommer ( ) = limfrån tt temperturen = lim minskr. Använd h 0 h FORMELSAMLINGEN igen och deriver Andrgrdsekvtioner () = C p p. + p + q = 0 = ± q Derivtor Funktion Derivt Aritmetik n där n är ett reellt tl n n Prefi T G ( 0 M ) k h d c m µ n p ln Vi får () = C ln 0 e 0 9 0 6 0 0 e 0-0 - 0-0 -6 0-9 0 - k e k k e = ( ) = = vilket ger två ekvtioner med prmetrr C och som obeknt. 76 = C 4 + Potenser = 4, = C 4 ln Division v ndr ekvtionen med först ekvtionen ger 4, f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) = C = b 4 ln = ( b) n b b n = 0 = = ln. 76 C 4 Räkneregler för logritmer finns i FORMELSAMLINGEN. n Använd miniräknre för tt få Geometrisk n ( k ) numerisk summ värden. + k + k +... + k = där k k Primitiv Funktion Primitiv funktion funktioner k k + C Logritmer = 0 = lg = e = ln ( b) = b + b b ( + b) = + b + b + b ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko (6) n lg + lg ( n= lg ) + n + C lg lg = lg n + lg p = p lg e e + C = e ln Absolutbelopp om 0 = = e 4, om < 0 76 = 0,9475 k k e e + C C = 76 = 94, k 4 Vi hr nu temperturen som funktion v tiden () = 94, 0,9475 (. > 0, ) + C ln Kffet hälldes i termosen då = 0 vilket ger (0) = 94, 0,9475 0 = 94,. } {{ } -0- Skolverket Svr ) Kffets begnnelsetempertur vr 94 C. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06-0- Skolverket
Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 p = ± p q Aritmetik Kurs plnering Prefi.se T G M NpMC vt005 k h d c m µ n (5) p b) När når kffet 55 C? ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 0 0 9 0 6 0 0 0-0 - 0-0 -6 0-9 0 - Lös ekvtionen + 55 = 94, 0,9475 Potenser =. = ( ) = = Dett är en eponentilekvtion då det sökt är eponent till bsen 0,9475. För tt lös eponentilekvtioner logritmerr vi ekvtionen. Städ först, logritmer därefter. = b = ( b) n ( ) b b n = 0 = 55 lg = lg 0,9475 94, n Geometrisk n ( k ) Använd summ räknereglern + för k + logritmer k +... + kför tt = fltt från där k eponent k till rden. Logritmer = 0 = lg = e = ln lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg Absolutbelopp om 0 ( ) = 55 om < 0 lg = lg 0,9475 94, } {{ } } {{ } 0,47 0,049 = 0,47 = 9,9947 0 0,049 Svr b) Efter 0 timmr är temperturen 55 C. -0- Skolverket Kommentr Olik vrinter v denn uppgift förekommer i gmnsiets mtemtikkurser. Därför är dett en viktig uppgift. Från prktisk snpunkt är den här ktuell formuleringen v uppgiften konstig. Det går enkelt tt mät temperturen vid olik tidpunkter men det går inte tt mät vid smm tidpunkt minskr temperturen med hstigheten 4, C per timme. Om mn vill vet derivtn så får mn mät temperturen vid olik tidpunkter och därefter bestämm en modell v tpen = C. Från modellen kn derivtn sedn uppsktts. Att uppsktt derivtn ur mätdt som är behäftde med mätfel är ett svårt problem. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
NpMC vt 005 Version Vid bedömning v ditt rbete med denn uppgift kommer lärren tt t etr hänsn till Hur generell din lösning är Kurs plnering Hur väl du motiverr din slutstser.se NpMC vt005 (5) Hur väl du utför din beräkningr Hur väl du redovisr ditt rbete Del II Hur # väl 8 du nvänder (/4/ ) det mtemtisk Volmoptimering språket v pket 8. Micke och Peter hr strtt ett företg inom Ungt Företgnde (UF). De säljer tröjor med trcket "Mmm... mtemtik" och hr kunder i ll delr v lndet. Därför tänker de skick tröjorn med posten. För tt t red på vd som gäller för tt skick pketen går de in på Postens hemsid. Där hittr de en måttguide som innehåller informtionen nedn: Längd + bredd + bredd + höjd + höjd får vr m 00 cm Längd: Bredd: Höjd: m 50 cm m 70 cm m 5 cm De vill skick tröjorn i pket som hr så stor volm som möjligt, utn tt överskrid Postens mimimått. Micke tror tt ett kubiskt pket ger störst volm. Peter tror tt volmen blir ännu större om pketet inte hr formen v en kub, men bredd och höjd är lik. Vilken v de två tpern v pket ger störst möjlig volm? Är smm tp v pket störst om begränsningen 00 cm ändrs? (/4/ ) c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Hur väl du redovisr ditt rbete Hur väl du nvänder det mtemtisk språket 8. Micke och Peter hr strtt ett företg inom Ungt Företgnde (UF). De säljer Kurs plnering tröjor med.se trcket "Mmm... mtemtik" NpMCoch vt005 hr kunder i ll delr v lndet. (5) Därför tänker de skick tröjorn med posten. För tt t red på vd som gäller för tt skick pketen går de in på Postens hemsid. Där hittr de en måttguide Vi sk undersök som innehåller två informtionen sorters pket, nedn: en kub och ett rätblock med kvdrtisk bs. Vi hr följnde begränsningr på pketen: Längd + bredd + bredd + höjd + höjd får vr m 00 cm Längd: m 50 cm Bredd: m 70 cm Höjd: m 5 cm Vi hr två De vill frågor skick tröjorn i pket som hr så stor volm som möjligt, utn tt överskrid Postens mimimått. Vilken v de två tpern v pket ger störst möjlig volm? Micke tror tt ett kubiskt pket ger störst volm. Peter tror tt volmen blir ännu Är smm tp v pket störst om begränsningen 00 cm ändrs? större om pketet inte hr formen v en kub, men bredd och höjd är lik. Inför följnde beteckningr L längd B bredd H höjd Det gäller givetvis tt L > 0, B > 0 och H > 0. Kuben I det kubisk fllet gäller tt L = B = H =. De givn begränsningrn är + + + + 00 50 70 5 Smmntget betder dett tt Vilken v de två tpern 40 v pket ger störst möjlig volm? Miml volm Vkub m erhålles då = 40 Är smm tp v pket störst om begränsningen 00 cm ändrs? Vkub m = 40 = 64 000 (/4/ ) c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Kurs plnering.se NpMC vt005 4(5) Rätblocket I dett fll gäller tt B = H =. De givn begränsningrn är L + + + + 00 0 L 50 0 70 0 5 Dett betder tt volmen blir V rätblock = L Undersök funktionen V rätblock (). Det gäller tt L = 00 4 då blir V rätblock () = (00 4 ) = 00 4 Deriver V rätblock() = 00 4 = 400 = (400 ) För tt finn etremvärden löser vi ekvtionen V rätblock() = 0 0 = (400 ) } {{ } }{{} = 00 =0 Roten = 0 ger uppenbrligen miniml volm noll. Den ndr roten ger = 00 L = 00 V ( 00 ( ) 00 ( ) 00 ) = 00 4 = 7 06 74 000 Både = 00 (lltså H och B) smt L = 00 ligger inom de givn begränsningrn. Gör en teckentbell. = 0 0 < < 00 = 00 00 < < 50 = 50 V rätblock 0 + 0 0 V rätblock 0 6 0 7 = 00 ger miml volm V m rätblock = 06 74 000. Noter tt > 50 inte är möjligt då 7 det ger negtivt L och därmed negtiv volm. (Negtiv är inte tillåtn. Med negtiv kn vi få oändlig volm eftersom när så L och V.) Jämförelse Rätblocket ger störst volmen. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06
Kurs plnering.se NpMC vt005 5(5) Ändrd begränsning Bt gränsen 00 mot Z i resonemnget ovn och studer vd som händer. Vi får då V kub = ( ) Z = Z 5 5 För V rätblock gäller V rätblock () = (Z 4 ) = Z 4 V rätblock() = Z 4 = Z = (Z 6 ) } {{ } = Z 6 Den intressnt roten till V rätblock() = 0 är = Z som ger 6 ( Vrätblock m = Z 4 Z ) ( ) Z = Z 6 6 08 Studer de övrig gränsern { Jämförelse V m kub = V m rätblock = Z 5 : < 70 70 = 4 000 : 70 Z 08 : < 70 70 : 70 < 50 50 70 = 75 000 : 50 Rätblocket ger störst volmen oberoende v hur gränsen 00 ändrs. c G Robertsson buggr robertrobertsson@tele.se 05-04-06