Institutionen fö fysik, kemi och biologi (IFM) Macus Ekholm TFYA16/TEN2 Tentamen Mekanik 18 apil 2017 14:00 19:00 Tentamen bestå av 6 uppgifte som vadea kan ge upp till 4 poäng. Lösninga skall vaa välmotiveade samt följa en tydlig lösningsgång. Låt gäna din lösning åtföljas av en figu. Numeiska väden på fysikaliska stohete skall anges med enhet. Det skall tydligt famgå av edovisningen vad som ä det slutgiltiga svaet på vaje uppgift. Makea gäna ditt sva med exempelvis Sva:. Skiv baa på ena sidan av pappet, och behandla högst en uppgift pe blad. Skiv AID-numme på vaje blad Tillåtna hjälpmedel: äknedosa (även gafitande) med tömt minne bifogat fomelblad Peliminäa betygsgänse: betyg 3 betyg 4 betyg 5 10 poäng 15 poäng 19 poäng Om du fick godkänt betyg på kontollskivningen (KTR1) 2016 få du tillgodoäkna dig din skivningspoäng på uppgift 1. Om du välje att behandla uppgift 1 vid dagens tentamenstillfälle så komme det mest födelaktiga esultatet att äknas. Examinato, Macus Ekholm, besöke skivningssalen vid två tillfällen och nås i övigt via telefon, n 013-28 25 69. Lycka till
170418 TFYA16 1 Uppgift 1 a) En patikel stata i oigo och ö sig längs en ät linje med hastigheten v(t) = (4t t 2 ) m/s unde tiden 0 t 4 s. Bestäm patikelns stösta avstånd fån oigo. b) En patikel stata ifån vila vid t = 0 s och ö sig sedan längs en cikelbana. Dess fat öka likfomigt, och efte 1,5 s ä faten 12 m/s samtidigt som acceleationens belopp ä 17 m/s 2. Beäkna cikelbanans adie. Uppgift 2 En fallskämshoppae ha massan 80 kg. Innan fallskämen löses ut utsätts hoppaen fö en luftmotståndskaft, f = kv 2, dä k = 0,25 kg/m och v ä faten. Hoppaens fat visas i vidstående gaf. Vid tiden t 1 = 20 s kan faten anses vaa konstant, vilket kallas gänshastigheten, och betecknas v f i gafen. a) Beäkna gänshastigheten, v f. b) Beäkna medelvädet av nettokaften som veka unde tiden 0 t t 1 på hoppaen. c) Beäkna minskningen i hoppaens totala enegi pe sekund, då t > t 1. vf v t1 t Uppgift 3 a) Ett täblock med höjden 15 mm ä inklämt mellan två gummiblock, som pessas samman av två stoa täblock, enligt vidstående Monday, Apil 10, figu. 2017 gummi Täblocket i mitten föskjuts 1 mm i föhållande till de ytte blocken, i pilens iktning. Gummits skjuvmodul ä 0,010 GPa. Beäkna skjuvspänningen som gummiblocken utsätts fö. 40 b) Fö astonaute som vistas länge peiode i ymden ä det viktigt att bevaka sin koppsvikt, dvs sin massa. Eftesom en vanlig badumsvåg inte fungea i tyngdlöshet så använde man sig av en stol som ä montead på en metallfjäde, och som kan svänga hamoniskt. Fjädekonstanten ä 606 N/m, och då stolen ä tom svänge den med peiodtiden 0,901 s. Då en viss astonaut sitte i stolen svänge den med peioden 2,37 s. Beäkna denne astonauts massa. gummi 10 15 10 10 (mm)
170418 TFYA16 2 Uppgift 4 Ett otänjbat snöe hänge öve ett fiktionsfitt cikulät stöd. I snöets ena ände finns en kloss med massa M. I den anda änden finns en kloss med massa m 1, och i denna kloss hänge ytteligae en kloss med massa m 2. Systemet släpps fitt fån vila. a) Beäkna systemets acceleation. b) Antag att m 1 = 1,0 kg, m 2 = 2,0 kg och M = 4,0 kg. Beäkna klossanas fat då de öt sig 30 cm. c) Bestäm ett numeiskt väde på spännkaften i snöet som föbinde m 1 och m 2. M m 1 m 2 g Uppgift 5 Ett homogent klot stata fån vila vid höjden H ovanfö maken, och ulla utan att glida nedfö en halvcikelfomad bana. Till vänste om punkten P ä banan helt fiktionsfi, och dä glide klotet. Hu högt ovanfö P komme klotet att nå? P H (4 p) Uppgift 6 En homogen stav med massa M och längd 2l ä upphängd i sin mittpunkt på en vägg. Stången kan otea fiktionsfitt. En liten kula med massa m skjuts mot stången med hastighet v, och kollidea i en elastisk stöt. Kulans öelseiktning ä densamma föe och efte stöten. M a) Bestäm stångens vinkelhastighet efte kollisionen. l l u m (3 p) b) Antag att m = 1 kg. Fö vilka väden på M komme kulan att studsa tillbaka?
Fomelblad TFYA16 Mekanik utdelas vid skivningstillfälle vesion 3 Pefix p n µ m c d k M G T 10 12 10 9 10 6 10 3 10 2 10 1 10 3 10 6 10 9 10 12 Impuls I = p = F dt SI-enhete längd tid massa fekvens kaft enegi effekt tyck m s kg Hz = s 1 N = kg m/s 2 J = Nm W = J/s Pa = N/m 2 Centipetalkaft Fc = mv2 Abete W = F ds = F s cos α = mω 2 Måttenhete 1 lite = 1/1000 m 3 = 1 dm 3, 1 atm = 101,3 kpa, 1 u = 1,66 10 27 kg 1 Kinematik v = ẋ = dx dt dv, a = v = v dx = 1 2 d dx (v2 ) Kinetisk enegi Ek = mv2 2, W = E k Lägesenegi Ep = mgy Konsevativa kafte Fx = de p(x) dx, W 1 2 + W2 1 = 0 Cikulä öelse s = θ, ṡ = ω, s = α, ω = θ, α = θ a = a 2 + a 2 t, a = v2 Peiodisk öelse: ω = 2πf = 2π T Likfomig acceleation at = d dt v, f fekvens, T peiodtid 2 2 x(t) = 1 2 at2 + v0t + x0, 2as = v 2 v 0 2, s = v 2 θ(t) = 1 + ω0t +, 2αθ = ω 2 ω 2, θ = ω 0 + ω 2 αt2 θ0 0 2 2 Kastöelse x(t) = v0t cos α, y(t) = v0t sin α gt2 2, g = 9,81 m/s2 Relativ öelse Punkt P :s läge i systemet A ä P A = P B + BA 2 Patikeldynamik Röelsemängd p = mv m massa Newtons laga 1. En kopp som inte påvekas av en kaft föbli i sitt tillstånd av vila, elle likfomig öelse längs en ät linje. 2. Då en kopp påvekas av en kaft F, ändas dess öelsemängd enligt: dp dt = F 3. En kopp A som påveka en kopp, B, med kaften FAB, påvekas av kaften FBA = FAB. t t Enegilagen Ep + Ek = Wf, Wf icke-konsevativa kaftes abete Effekt P = dw = F v, vekningsgad η = P nyttig dt Ptillföd F Fiktionskaft statisk: fs µsfn, FN nomalkaft kinetisk: fk = µkfn µs, µk fiktionstal, Kaftmoment τ = F sin φ Röelsemängdsmoment L = p sin φ Hookes lag F = k l, k fjädekonstant Hamonisk svängning x(t) = A sin (ωt + α) = A sin m Total enegi: E = ka 2 /2 L Matematisk pendel T = 2π g, L pendellängd Reducead massa µ = mm m + M 3 Patikelsystem och stela koppa Masscentum g = 1 M Masscentums öelse M dv g dt F i m ii, M = i m i = Fext m p=mv ( ) 2π T t p=mv + α, T = 2π m k
Rullvillko vg = ωr Töghetsmoment I = i 2 i m i = 2 dm x x' Homogen cylinde y Iy = 1 2 MR2, Ix = 1 4 MR2 + 1 12 ML2 R Ix = 1 4 MR2 + 1 3 ML2 L Tunn stav (R = 0) Cikulä skiva (L = 0) Ix = 1 12 ML2, Ix = 1 3 ML2 Iy = MR2, Ix = 1 2 2 I y z Cikulä ing Iz = 1 2 M(R2 1 + R 2 2) Klot Ix = Iy = Iz = 2 5 MR2 Tunt sfäiskt skal Ix = Iy = Iz = 2 3 MR2 R 2 R 1 x y z Fysikalisk pendel T = 2π I O mgh, h avstånd fån svängningsaxeln O till masscentum Rotationsöelse L = Iω, dl dt = Iα = τ, W = τ dθ, E k ot = 1 2 Iω2 Allmän plan öelse Ek = 1 2 I gω 2 + 1 2 Mv2 g 4 Elasticitet Elasticitetsmodul E = σ/ε [ E ] = [ σ ] =N/m 2 = Pa spänningen σ = F/A, töjningen ε = L/L Δx A Skjuvmodul G = τ/γ [ G ] = [ τ ] = N/m 2 = Pa skjuvspänningen τ = F/A, skjuvningen γ = x/h Tyckmodul B = pv/ V [ B ] = [ p ] = N/m 2 = Pa tycket p = F/A, kompessibilitet κ = B 1 h A skjuvning 5 Fluidmekanik Densitet ρ = m V, V volym luft: ρ = 1,29 kg/m3, vatten: ρ = 997 kg /m 3 Akimedes pincip Flyft = ρgv, ρ mediets densitet, V föemålets volym F Vätsketyck p = ρgh h djup Kontinuitetsekvationen A1v1 = A2v2 Benoullis pincip p1 + 1 2 ρv2 1 + ρgy1 = p2 + 1 2 ρv2 2 + ρgy2 Luftmotstånd F = 1 2 CρAv2, C luftmotståndskoefficienten 6 Matematiska samband Geometi omkets ytaea volym cikel 2πR πr 2 sfä 4πR 2 4πR 3 /3 cylinde 2πRL πr 2 L a c b α c = a 2 + b 2 sin α = a c, cos α = b c, tan α = a b Tigonometiska samband sin (90 α) = cos α, cos (90 α) = sin α e ix = cos x + i sin x cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix d d dx sin x = cos x, dx 2 cos x = sin x 2i Andagadsekvationen x 2 + px + q = 0 ha lösninga x1,2 = 1 2 p ± 1 4 p2 q Diffeentialekvationen y + ay + by = f(x) ha lösningen y(x) = yh(x) + yp(x) Om f(x) = D och b = 0 ä yp(x) = Dx/a. Om f(x) = 0 ä yp = 0. { C1e 1x + C2e 2x om 1 2 yh(x) = (C1x + C2)e 1x om 1 = 2 dä 1,2 ä lösningana till ekvationen 2 + a + b = 0 Då 1,2 = α ± iβ : yh = e αx (A cos βx + B sin βx) McLauinutvecklinga f(x) = f(0) + f (0) 1 e x = 1 + x 1 + x2 sin x = x x3 cos x = 1 x2 x + f (0) 2 2 +... = 3 + x5 5... = x 2 +... = 2 + x4 4... = x n n ( 1) n (2n + 1) x2n+1 ( 1) n (2n) x2n f (n) (0) n x n