Tetame i Matematisk aals, HF5 atum: feb Skivti: 8:-: Läae: Maia Aakela, Joas Steholm, Ami Halilovic Eamiato: Ami Halilovic Jouhavae läae: Ami Halilovic tel 8 7 8 Fö gokät betg kävs av ma poäg Betgsgäse: Fö betg A, B, C,, E kävs,, 6, espektive poäg Kompletteig: poäg på tetame ge ätt till kompletteig (betg( F Vem som ha ätt till kompletteig famgå av betget F på MNA SOR Kompletteig ske iom se vecko efte att esultatt meelats Hjälpmeel: East bifogat fomelbla (miiäkae ä ite tillåte Till samtliga uppgifte kävs fullstäiga lösiga ( East sva s uta tillhöae lösig ge poäg Skiv east på e sia av pappeet Skiv TYLGT NAMN och PERSONNUMMER på vaje bla, b (speciellt tligt på omslaget, eftesom tetoma skaas s och automatiskt kopplas till am/pesoumme som fis på omslaget lämae uppgifte skall makeas me kss på omslaget Age omslagsblaet klasstillhöighet : Klass A, Klass B, Klass C elle Omegistea et hä blaet läma u i tillsammas me lösiga (p (Stuet som ä gokä på KS hoppa öve uppgift E kuva beskivs av följae ekvatio: Bestäm kuvas taget i pukte (, (p (Stuet som ä gokä på KS hoppa öve uppgift Vi betakta fuktioe f (, 6 Bestäm fuktioes statioäaa pukte och eas tp (mi/ma/saelpukt (p (Stuet som ä gokä på ilämigsuppgifte hoppa öve uppgift Beäka ubbelitegal (, å efiieas geom, --------------------------------------------------------------------------------------- Va go vä Sia av
(p Beäka följae gäsväe cos( a lim 5( l( b lim 5 5(p Vi betakta fuktioe f ( a Bestäm evetuella asmptote (loäta/vågäta/sea b Bestäm samtliga statioäa pukte och eas kaaktä (mi/ma/teass c Rita gafe 6 (p Ett omåe Ω efiieas av och (se figue a Beäka aea av Ω b Låt T ( c, c vaa omåets tgpukt Bestäm tgpuktes kooiate c Beäka omåets ttöghetsmomet kig -ael = 7 (p a Bestäm e allmäa lösige till iffeetialekvatioe ( cos e ( b Age lösige på eplicit fom (vs på fome f ( 8 (p Bestäm e lösig till iffeetialekvatioe 5 6 som uppflle ( och ( (p Låt ( si ( si ( cos( Bevisa att ( ( Tips: Skiv högeleet si ( si ( si( och avä patiell itegatio på itegale i Lcka till Sia av
FACT (p (Stuet som ä gokä på KS hoppa öve uppgift E kuva beskivs av följae ekvatio: Bestäm kuvas taget i pukte (, Lösig: Vi impliciteivea ekvatioe och få Häav Vi substituea (, i och få Alltså Tagetes ekvatio: ( vs Sva: Rättigsmall: Koekt eiveig vs koekt till ge p Allt koekt=p (p (Stuet som ä gokä på KS hoppa öve uppgift Vi betakta fuktioe f (, 6 Bestäm fuktioes statioäaa pukte och eas tp (mi/ma/saelpukt Lösig: f 6 f f f 6 E statioä pukt P(, A f B f C f AC B Eftesom AC B och A (, ä e mipukt Gafe till fuktioe: Sva: Fuktioe ha e statioä pukt (, som ä e mipukt Rättigsmall: Koekt bestämigs av pukte (, ge p Allt koekt=p Sia av
(p (Stuet som ä gokä på ilämigsuppgifte hoppa öve uppgift Beäka ubbelitegal (, å efiieas geom, Lösig: ( ( ( 5 Sva: 6 Rättigsmall: Koekt till ( Koekt till ge p Allt koekt=p 5 6 ge p (p Beäka följae gäsväe cos( a lim 5( l( b lim 5 Lösig: cos( a lim 5( sättig visa att gäsväet ä av tp f ( f( Ma ka å aväa L Hospitals egel: lim lim, a g ( a g( Alltså: cos( si( cos( lim lim [tp ] lim 5 ( ( 5 (ä L Hospitals egel ha aväts gg eftesom e fösta gåge gav ett tt gäsväe av tp l( b lim 5 Täljae och ämae gå båa mot å Äve hä ka ma aväa L Hospitals egel: l( ( lim [tp ] lim lim 5 5 5 ( Sia av
Sva: a 5 b Rättigsmall: a och b vaea poäg Rätt elle fel 5(p Vi betakta fuktioe f ( a Bestäm evetuella asmptote (loäta/vågäta/sea b Bestäm samtliga statioäa pukte och eas kaaktä (mi/ma/teass c Rita gafe Lösig: a Loäta (vetikala asmptote fås å ämae = och täljae Alltså ä = (-ael e loät asmptot Vågäta/sea asmptote fås me polomivisio, vilke bli mcket ekel i etta fall Alltså fis e se asmptot, åt höge och åt väste, me ige vågät (hoisotell asmptot b Statioäa pukte ä lösiga till ekvatioe f( : f( (två statioäa pukte Fuktioes väe i puktea (som vi aväe i gafe ea: f ( 6 och f ( ( 6 6 Pukteas kaaktä ka bestämmas me aaeivata: f( 6 f ( alltså ä = e mipukt 6 f ( alltså ä = e mapukt ( c Gafe: Sia 5 av
Sva: a = (-ael ä e loät asmptot ä e se asmptot åt höge och åt väste Vågät asmptot sakas b Två statioäa pukte = (e mipukt och = ( e mapukt m c Se gaf ova Rättigsmall: a p fö alla koekta asmptote b ma p E poäg fö båa statioäa pukte = och = E poäg om e pukt och puktes tp ä koekta p om allt ä koekt c p fö koekt gaf 6 (p Ett omåe Ω efiieas av och (se figue f a Beäka aea av Ω b Låt T ( c, c vaaa omåets tgpukt Bestäm tgpuktes kooiate c Beäka omåets ttöghetsmomet kig -ael = Lösig: a Meto : Aea: 8 A ( ( 8 8 8 Meto : A Sia 6 av
Sia 7 av b cos cos cos ( Aea c 6 si 6 cos 6 (si si si ( Aea c 6 cos 6 si 6 Alltså 6, T c Yttöghetsmomet me avseee på -ael si si ( (Vi aväe fomel cos( si 5 5 ( ( si( ( si( cos( Yttöghetsmomet me avseee på -ael ä 5 5 Sva: a Aea b Tgpukte: 6, T c Yttöghetsmomet me avseee på -ael ä 5 5 Rättigsmall: a Rätt aea ge p b (ma två p poäg fö vaje koekt kooiat Amäkig: get avag i b-ele fö felaktig aea få a-ele Me aa o +p om itegale ä koekt
6 +p om itegale ä koekt c Koekt ttöghetsmomet ge p 7 (p a Bestäm e allmäa lösige till iffeetialekvatioe ( cos e ( b Age lösige på eplicit fom (vs på fome f ( Lösig: a ( cos e ( (faktoisea ( cos e elle ( cos e Sepaea vaiable: cos e tegea: (cos e tegale i väste le löses me fomel 5 i fomelblaet, ä a acta( si e C b Lös ut fuktioe : acta( si 6e C ta(si 6e C ( ta(si 6 e Sva: a acta( si e C b ( ta(si 6 e Rättigsmall: a och b vaea poäg Rätt elle fel 8 (p Bestäm e lösig till iffeetialekvatioe 5 6 som uppflle ( och ( Lösig: Föst löse vi homogea ele 5 6 = Sia 8 av
Få e kaakteistiska ekvatioe 5 6, få vi och Lösig till e homogea ekvatioe bli å H ce ce Asatse fö e patikulä lösig p A B ge p A och p Vi substituea etta i ekvatioe 5 6 och få 5A 6( A B elle 6A 6B 5A Häav ha vi två ekvatioe : ekv: 6A A och 5 5 7 ekv: 6B 5A 6B 6B 6B B Vi ha fått e patikulä lösig: 7 p 7 e allmäa lösige ä ce ce Me hjälp av begelsevillkoe bestämme vi c och c 7 Få ( ha vi c c vs c c ekv (* Fö att aväa aa villkoet måste vi eivea lösige Vi ha ce ce Få ( ha vi c c elle c c c ekv (** Sstemet c c c c ka vi lösa på måga sätt, eempelvis me Gaussmetoe: c c c c [ ekv(* ekv(**ge] 7 c c c 7 Få c c ha vi c och äme c e lösig som satisfiea giva begelsevillko ä e e ce 7 e Sva: 7 7 e e Rättigsmall: poäg fö homogea ele poäg fö e patikulä lösig Allt koekt=p 7 7 Sia av
(p Låt ( si ( si ( cos( Bevisa att ( ( Tips: Skiv högeleet si ( si ( si( och avä patiell itegatio på itegale i Lösig: Vi ha ( si ( si ( si( Vi aväe patiell itegatio på itegale i högeleet u si ( v si( u ( si ( cos( v cos( och få ( si ( cos( ( si ( cos ( si si si Alltså Häav ( cos( ( si ( cos( ( ( cos( ( (si si ( ( si ( si ( ( ( ( ( si ( cos( ( ( ( och slutlige ( si vilket skulle bevisas Rättigsmall: ( si ( cos( ( ( cos( ( ( ( si ( Koekt till ( si ( cos( ( (si ( si ( ge poäg Allt koekt =p Sia av