DN1240 numi12 1

Relevanta dokument
NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Tentamen i Envariabelanalys 1

Interpolation. Interpolation. Teknisk-vetenskapliga beräkningar 1. Några tillämpningar. Interpolation. Basfunktioner. Definitioner. Kvadratiskt system

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

MATLAB-metoderna är (från MATLAB help): fler än vi behöver! men här är de. Computes the model's state at the next time step using a multistep

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET

Ordinära differentialekvationer,

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.

Hur simuleras Differential-Algebraiska Ekvationer?

============================================================ ============================================================

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

Föreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

Korrelatio n : Korrelation Korrelation är samma sak som faltning med. Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 12

101. och sista termen 1

KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

1 av 10. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

Motivet finns att beställa i följande storlekar

Ordinära differentialekvationer Matematiska institutionen Vårterminen 1996 Anders Källström (Uppdaterad )

Laborationstillfälle 4 Numerisk lösning av ODE

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Lösningar till Matematisk analys IV,

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

Begreppet rörelsemängd (eng. momentum)

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Programmering Emme-makro rvinst_ic.mac version 2

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0


Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Digital signalbehandling Digital signalbehandling

c k P ), eller R n max{ x k b dx def lim max n f ( def definition. [a,b] om

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

FOURIERSERIER. Definition 1. (Trigonometrisk serie) Ett utryck av följande form. är en trigonometrisk serie.

APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL

Differentialekvationssystem

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

= BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. a) Maclaurins formel

Multiplikationsprincipen

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Kvinnors arbetsmiljö. Rapport 2012:11. Tillsynsaktivitet 2012 inom regeringsuppdraget om kvinnors arbetsmiljö. Delrapport

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

Analys av polynomfunktioner

Mekaniska vibrationer. Hjulupphängning. Fria odämpade svängningar. Svängningstiden för pendelrörelsen. Approximationen sin

Stången: Cylindern: G :

1 Elektromagnetisk induktion

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Grundläggande matematisk statistik

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Föreläsning 19: Fria svängningar I

Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.

Stokastiska variabler

1. Hur gammalt är ditt barn?

Formelsamling Ljud i byggnad och samhälle

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, olikheter och binomialkoefficienter

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

3-fastransformatorn 1

helst. poäng. (betyg Fx). Vem som Komplettering sker c:a Uppgift Uppgift Uppgift veta hur vänd! Var god

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik

Matematisk statistik

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl

Sätesventiler (PN 16) VF 2-2-vägsventil, fläns VF 3-3-vägsventil, fläns

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6

Datastrukturer och algoritmer

Föreläsning G04: Surveymetodik

a) Beräkna E (W ). (2 p)

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer:

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

Fyra typer av förstärkare

Väntevärde för stokastiska variabler (Blom Kapitel 6 och 7)

Räkning med potensserier

Lösningar till Matematisk analys

{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1

Transkript:

F7 Ssem av ODE - iiialvärdesproblem Exises & edige Lipsciz Euler overges fel overgesordig Lösigssaror fasrum Sabilie äslige Högre ord. evaio ill försa ord. ssem Ruge-Kua-meoder seglägdsreglerig Sva evaioer & Implicia meoder 0-0- DN40 umi

Lösigars egesaper Iiialvärdesproblem I: Maemai. E försa ordiges lijär evaio med osaa oefficieer d/d a 0 c: ce a Oberoede variabel e begelsevillor som väljer u e lösig ur lösigssara. Lösige är ui oc exiserar för alla.. E försa ordiges o-lijär evaio separabel: d/ d d/d 0 c > 0: c/ c för 0 < </c Lösige är ui me exiserar bara i e begräsa iervall. 3. E aa olijär evaio: d / d 0 c 0 : c /? Uppebarlige är 0 e lösig för c 0. Me ocså /4 alla > 0 Lösige är ie ui för c 0. 0-0- DN40 umi

Iiialvärdesproblem II: Maemai IVP för ssem av försa ordigs differeialevaioer d / d f a c c är ormalforme i umerisa meoder för ordiära differeialevaioer. är de oberoede variabel ofa id e ssem av försa ordiges differeialevaioer med begelsevärde iiialvärde giva vid a ofa 0. Kolumveor allas illsåds-veor. De fuioera f i i av a allas ögerlede. Ex. Newo massa-fjäder-dämpare mv x : v x v Kx Dv si d d A mx Kx Dx f A 0 K f D R f 0 si 0-0- DN40 umi 3

Iiialvärdesproblem III: Uicie Def. Lipsciz-oiuie: f allas L-oiuerlig i e domä D om de fis e osa L så a f x f L f x f för alla x i D. Om f är deriverbar duger L max f x D Ex. avla är oiuerlig me ie L-oiuerlig i 0 på Sas. Om f är L-oiuerlig i i e omgivig ill iiialvärde c så exiserar e ui lösig e or sud. Ma a bevisa sase geom a visa a e umeris lösig overgerar är seglägde går mo oll. 0-0- DN40 umi 4

Iiialvärdesproblem IV: Fasrum mm. Exempel: saelli. E masspu x med asige uv rör sig ru e mce sörre massa uder ivera av graviaio. Tillsådrum 4D xuv fasrum faspla i D u x / r v / r Visualiserig av lösigar. Ploa ompoeera i illsådsveor mo ide. Fra periodisa urvor xuv. 3 3 x u ; r v x 0-0- DN40 umi 5

Iiialvärdesproblem V: Fasrum mm. Mera geomeris isi: illsådsveor som e urva i e - dimesioell rum: e dimesio för varje ompoe oc e för ide. I saellimodelle är 4 så de är svår me ma a. Projicera på ex e -D uderrum x baa som parameerurva 3. Aväda 3D x. dx/d oc d/d visas som e asiges pil äve i. 0-0- DN40 umi 6

Iiialvärdesproblem VI: Eulers meod Då a ma approximera lösige med e seg-meod som ger som approximaio ill 0 0 Approximera derivaa med differesvo d d så får vi Eulers meod a 0 f 0... c 0-0- DN40 umi 7

Iiialvärdesproblem VII: Fel 0-0- DN40 umi 8 Loal fel τ τ τ L E E E f f E E f Om ma ar N seg frå 0 ill N b är b/n Toal N fel summeras Fel proporioell mo : oggraesordig b N max max

Iiialvärdesproblem VIII: Hur fugerar Euler? Exempel: Ria e eescirel! Parameerurva x cos si ger dx/d -si - d/d cos x Eulers meod med seg π/m ger x x x 0 x 0 0 M 00: Spiral! r r M e u π T u M O 3 π O....4 e M / u 4 T u... r 0-0- DN40 umi 9

Iiialvärdesproblem: Bäre meoder I O fel för sor me spiral a eel ågärdas: Tag sease x-värde i -uppdaeríge: x x x 0 x 0 0 Ellips med alvaxlar ± / Dea aväds för Hamiloias dami ex moleldami Maxwells evaioer: Verle s meod Mv Mv Fx x x v 0-0- DN40 umi 0

Iiialvärdesproblem: Bäre meoder II 0-0- DN40 umi Trapesregel > rapesmeode för IVP ger Adra ordiges fel: oggraase lijära esegs-meode IMPLICIT evaioslösig i varje seg Eulers meod EXPLICIT Baå Euler: IMPLICIT ordig 3 O f f ds s s f ds s f f f

Iiialvärdesproblem: Ruge-Kuameoder I Ersä i rapesmeode med si Euler-approximaio så blir meode explici: f f f oc ar fel O. Kosruioe implemeeras som f f ½ ½ e vå-sage explici Ruge-Kuameod Äu ögre ordig? 0-0- DN40 umi

Iiialvärdesproblem: Ruge-Kuameoder II geom a evaluera f.. > gåger sages i sege För -sage-meoder Ordig < Ordig bara för 34 Klassis Ruge-Kua fra sages ordig 4 NAM RK4 f f / / 3 f / / 4 f 3 /6 3 4 MATLAB ode3 oc ode45 0-0- DN40 umi 3

Iiialvärdesproblem: Sva problem I 0-0- DN40 umi 4 Exempel Radioaiv söderfall A söderfaller ill B som söderfaller ill C. i allas asigesoefficieer. a b oc c oceraioera Varje A som försvier blir e B oc varje B som försvier blir e C: a b c är osa. Småigom försvier all A oc B oc C ar samla all. 000 sor: /s 0.00 Euler : C B A 0 0 0 0 0 0 0 0 A A c b a d d b c b a b a a 0 0.005 0.0 0.05 0.0 : 0.00 A B C

Iiialvärdesproblem: Sva problem II a a a a b b a b c c b För > 0.00 växer a expoeiell < - umeris Isabilie. L blir 000! För > 0.005 säg är a äsa 0 oc lösiges idssala är se. Tros de rävs e usedels se. idsseg: STYVT problem Fix: Implici Baå Euler beadlig av sabba variabel a: a a a : a a / b b a b c c b 0-0- DN40 umi 5

Iiialvärdesproblem: Sva problem III I allmäe är de ie så lä a ideifiera de sabba variablera oc då får ma aväda.ex Baåeuler på ela sseme. De blir ill a lösa evaiossseme I - A i varje seg. Auomais val av seglägd viig Vår exempel: sar med 0.000 öa ill säg 0. Om ice-lijär lös z - f z z med Newo. Jacobia-marise df/dz beövs. Bra sargissig fis ex z 0 Effeiv aerig av gles maris viig för sora ssem 0-0- DN40 umi 6

MATLAB I Måga för måga? meoder fis. E lämplig sadardmeod är [ouou] ode45fuspa0; Dormad-Prices RK4 oc RK5. Evaluerig med vå olia meoder i varje seg avädes för feluppsaig oc för auomais val av sege. ode3 ordig & 3 dd fu är ögerlede i evaioe reell omplex salär eller veorform spa är veor som börjar med 0 oc forsäer med de värde där lösige ösas 0 är begelsevärdesveor: dd0 KOLUMNER! För sva problem: ode5fuspa0 Högre ordigs ssem måse allså förs srivas som försa ordigs ssem. Föreommer allid på ea. 0-0- DN40 umi 7

MATLAB II Auomais reglerig av seglägde: Avses sras så a loala fele över varje seg ålls midre ä de giva oleraser: relol oc absol säs med ops odese relol e-5; [ouou] ode45fuspa0ops; Observera: sillade mella exa lösig oc umeris uppsaas INTE. spa påverar ie seglägdsreglerig aa ä spa & spaed Ma förväar sig overges så a för e give problem fele blir proporioell mo olerase. voe a ie lä uppsaas fele som fuio av oleras blir midre regelbude ä vid global successiv segalverig. 0-0- DN40 umi 8

MATLAB III Vi udersöer 4 beräad med ode3 oc ode45 oleraser 0 -/. Exa resula resulae med srägase olerase. d Observerad overges-ordig p fel C p blir 0 3 cos x 0 dx ode3: p.7 ---- ode3 fel/oleras frå vid 0.3 ill > 00 vid 0.00. ode45: p 4.7 ---- ode45. ode45 ar mis 0 seg. fel/oleras ugefär 0. för alla fall. 0-0- DN40 umi 9