Ordinära differentialekvationer Matematiska institutionen Vårterminen 1996 Anders Källström (Uppdaterad )

Transkript

1 Uppsala Uiversie Ordiära differeialevaioer Maemaisa isiuioe Vårermie 1996 Aders Källsröm Uppdaerad INNEHÅLL 1 Lijära sysem av ODE 1 Variaio av paramerar 3 3 Lijära sysem med osaa oefficieer 4 4 Beräig av e A 5 5 Wrosi-deermiae 8 Lå 1 LINJÄRA SYSTEM AV ODE x 1 x x vara e fuio R R sam a 11 a 1 A a 1 a e -maris, vars eleme är oiuerliga fuioer Defiiio 1 E lijär homoge sysem är av forme 1 x Ax E lijär ihomoge sysem är av forme x Ax + b där b är e give veorfuio R R Sas 1 Huvudsas för lijära sysem Lå L {x C 1 ; x Ax} vara mägde av lösigar ill 1 Då gäller a L är e lijär rum b diml Bevis: a lå x 1, x L Då fås om w c 1 x 1 + c x, w c 1 x 1 + c x c 1 Ax 1 + c Ax Ac 1 x 1 + c x w Aw w L b Lå e 1,,e vara e bas i R Elig exisessase fis e eydig lösig ill begyelsevärdesprobleme { x Ax 3 x0 e i

2 för varje i 1,, Kalla lösige ill 3 för w i Pås: w 1,,w ugör e bas för L Vi måse visa a 1 w 1,,w är lijär oberoede och w 1,,w späer upp L 1 Aag a c 1 w c w 0 för alla Speciell är för 0 c 1 e c e 0 Me e 1,,e är lijär oberoede vile ger a c 1 c 0 Allså är w 1,,w lijär oberoede Lå x Ax De fis al α 1,,α så a x0 α 1 e α e Vi säer y x α 1 w 1 α w Då gäller elig a i sase a y Ay sam y0 0 Me då följer av eydighessase för lösigar ill begyelsevärdesprobleme a y 0 för alla Allså är x α 1 w α w, vile visar Därmed är b bevisad Defiiio E bas w 1,,w i L allas e fudamealsysem ill 1 Sas Sruursas för lösigar ill Varje lösig ill är av forme 4 x x H + x P, där x H är e lösig ill 1 och x P är e fix lösig ill pariulärlösig Bevis: Varje x av forme 4 är e lösig ill y x x H + x P Ax H + Ax P + b Ax H + x P + b Ax + b Omvä, lå x P vara e fix lösig ill och x e godyclig aa lösig Då blir x x P x x P Ax + b Ax P + b Ax x P dvs x x P är e lösig x H ill 1 Allså följer a x x H + x P Lå w 1,,w vara e fudamealsysem av lösigar ill 1 såda a w i 0 e i, i 1,,, där e 1,,e är sadardbase i R Lå Φ vara de -maris vars oloer ugörs av w 1,,w, 5 Φ w 1 w

3 Dea maris allas e fudamealmaris ill 1 Efersom oloera är lijär oberoede så har Φ rag oberoede av, dvs Φ är ivererbar för varje Vidare ser ma Φ w 1 w Aw 1 Aw A w 1 w där de sisa produe är e marisprodu Vidare är Φ0 e 1 e E Φ uppfyller således 6 { Φ AΦ Φ0 E ehesmaris Om ma har fui e lösig ill 6 så har vi ocså fullsädig lös 1 Lå ämlige c c 1 c vara e veor i R Sä x Φc De följer a sam x Φ c AΦc Ax x0 Φ0c Ec c, dvs x är e lösig ill 1 med begyelsevärde c 3 Aag a vi vill lösa sam a vi reda har lös VARIATION AV PARAMETRAR x Ax + b x Ax fullsädig Vi äer då e fudamealmaris Φ ill 1 och de allmäa lösige ill 1 är av forme 7 x H Φc där c är e godyclig veor i R Vi asäer u e lösig ill av forme 8 x Φc

4 4 där c är e sö veorfuio Vi får x Φ c + Φc AΦc + Φc Ax + Φc Vi ser a x är e lösig ill Φc b Me Φ är e fudamealmaris, allså ivererbar, och vi får c Φ 1 b Iegraio ger Isäig i 8 ger seda a vile är de allmäa lösige ill c c + Z Φs 1 bsds, c osa x Φc + ΦZ Φs 1 bsds 3 LINJÄRA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Om a 11 a 1 A a 1 a är e osa maris säges ha osaa oefficieer Beraa { x Ax 9 x0 c där A är e osa maris Dea sysem är evivale med x c + Z 0 Axs ds Picards meod med successiv approximaio ger följde x 0 c x 1 c +Ac E +Ac x c +Ac + A c E +A + A c x c +Ac + + A! c A c! När overgerar dea mo e lösig x Φc där Φ är e fudamealmaris ill 9 Formell blir allså A Φ lim! I aalogi med MacLauri-uveclige av e x a vi allså sriva fudamealmarise 10 Φ e A

5 5 Ma a visa a dea fuio har de valiga egesapera hos e exp-fuio e A e sa e +sa e 0A E e A e A e A 1 e A me e A e B e A+B gäller i allmähe bara om AB BA De allmäa lösige ill 9 a u srivas 11 x e A c, c R 4 BERÄKNING AV e A Vi börjar med e eel fall då ma a beräa e A dire ur poesseriedefiiioe Aag a A är e diagoalmaris λ λ 0 A diagλ 1,λ,,λ 0 0 λ Poesera av dea maris är läa a beräa Då följer a A diagλ 1,λ,,λ, 0,1,, e A diag λ 1!, λ!,, λ! e λ e λ Nu aar vi a A är diagoaliserbar, dvs a de fis e diagoalmaris D och e ivererbar maris P så a A PDP 1 Här är då elemee i D:s diagoal egevärdea för A, och oloera i P är mosvarade egeveorer Poesera av A a srivas om på följade sä A PDP 1 PDP 1 PDP 1 PDP 1 PDP 1 P P 1 PDP 1 PDD DP 1 PD P 1 Beräige av e A går då ill så här e A! A! PD P 1 P! D P 1 Pe D P e Exempel 1 Om A , så blir ea 0 e e e λ 1

6 6 Exempel Beräa e A 1 då A 1 Lösig: Marise är symmeris, så ma ve a de är diagoaliserbar och a rasformaiosmarise P a ill och med väljas orogoal Karaerisisa evaioe för A är λ 4λ och egevärdea är allså λ 1 1, λ 3 Mosvarade egeveorer a as som u 1 1, 1/, u 1,1/ Om P har dessa veorer som oloer blir P 1 P T Vi får e A Pe D P T e e e e e e 3 1 e + e 3 e + e e + e 3 e + e 3 e e Exempel 3 Samma uppgif för A Lösig: Marise har egevärdea,1, 1 Efersom de har re silda egevärde är de säer diagoaliserbar Egeveorer är u 1 1,1,0, u 1, u 3 1,0,1 Ma får orollera räigara e A Pe D P e e e e 1 + e + e λ 1 Exempel 4 E exempel på e ice-diagoaliserbar maris ges av A Om vi räar 0 λ u ågra poeser fier vi A λ λ 0 λ, A 3 λ 3 3λ 0 λ 3, allmä A λ λ 1 0 λ De sisa formel a ma beräfa med e iduiosbevis Ma får då e A λ λ 1 e λ e λ! 0 λ 0 e λ I räigara aväder ma a! λ 1 1 1! λ 1 +1! λ! λ e λ Som exempel 4 visar, a de bli gasa råglig om A har mulipla egevärde Vi avsår i dea framsällig frå a behadla dea fall fullsädig och hävisar ill mer djuplodade lieraur Däremo ar vi med e exempel på hur de a gå är ma har omplexa egevärde Förs påmier vi om Eulers formler: och formlera e ib cosb + isib e ib cosb isib cosb eib + e ib sib eib e ib i i 1 i, ea+ib e a cosb + isib

7 7 0 1 Exempel 5 Lå A Egevärdea är ±i Mosvarade egeveorer besäms För 1 0 λ 1 i får vi evaiossyseme i i med e lösig u 0 1 i,1 och på liade sä fier vi u i,1 Vi får i i P, P i 1 ; e i 1 A e i 0 P 0 e i P 1 1 e i + e i ie i + ie i cos si ie i ie i e i + e i si cos I mer omplicerade fall ä så här gör ma lo i a alia räehjälpmedel Maple, Derive ec För de iresserade ayds här doc, ua bevis, e mer djupsiig meod som iblad a avädas Vi sa u se hur ma a beräa f A i de fall då f är e aalyis fuio För bevise hävisas ill läroböcer i fuioalaalys Lå A vara e -maris med araerisis evaio 1 pλ dea λe 0 Dea har s röer Aag a dessa är λ 1,,λ med muliplicie m 1,,m respeive där de gäller a m m För a beräa f A asäer vi e polyom 13 gλ c 0 + c 1 λ + + c 1 λ 1 av grad 1 Koefficieera c 0,,c 1 besäms av a fuioe f λ gλ sall ha ollsälle λ 1,,λ med muliplicie m 1,,m Dea besämmer oefficieera eydig Marise f A ges u av polyome ga, dvs f A ga c 0 E + c 1 A + + c 1 A 1 1 Exempel 6 A pλ 1 1 λ { 1 λ λ1 1 λ 3 Asä gλ c 0 + c 1 λ För a beräa e A väljs f λ e λ varur fås och vi får ill slu λ 1 ollsälle ill f λ gλ e c 0 c 1 λ 3 ollsälle ill f λ gλ e 3 c 0 + 3c 1 c e A c 0 E + c 1 A c c0 + c 1 c 1 c 1 c 0 + c 1 e 3 e c e e 1 + c e 3 + e 1 1 e 3 e 1 e 3 e e 3 + e 0 1 Exempel 7 A 1 0 Beräa e A Här väljer vi f λ e λ Dea ger a pλ λ 1 { 1 λ λ1 i λ i

8 8 Asä gλ c 0 + c 1 λ Dea ger λ 1 1 e i c 0 + c 1 i λ 1 e i c 0 c 1 i e A c0 c c E + c 1 A 1 c 1 c 0 } c 0 1 ei + e i cos c 1 1 ei e i si cos si si cos 1 1 Exempel 8 A 0 1 beräa A 100 Vi väljer f λ λ 100 pλ 1 λ λ λ 1 λ 1 dubbelro Asä gλ c 0 + c 1 λ λ 1 dubbelro ill λ 100 c 0 c 1 λ ger { { 1 c0 + c 1 c c 1 c vile ger a A 100 c0 + c c 0 E + c 1 A 1 c c 0 + c WRONSKI-DETERMINANTEN Lå w 1,,w vara e fudamealsysem ill 1 Sä W deφ dew 1,,w Dea deermia allas Wrosi-deermiae ill fudamealsyseme w 1,,w Sas 3 Liouvilles formel De gäller 14 W W 0 e R 0 rasds ra a 11 + a + + a är de så allade spåre eg race ill marise A där Bevis: Derivaa av e deermia fås med hjälp av regel för deriverig av e produ ill w 11 w 1 w 1 w 11 w 1 w 1 W w 1 w 1 w w 11 w 1 w 1 w w 1 w w w 1 w w w 1 w w

9 9 där w i w i1 w i Om vi beraar de :e ompoee av evaioe w i Aw i ser vi a w i a jw i j j1 Dea ger a w 11 w 1 w 1 w 1 w a j j1 w 1 w Om j så är deermiae 0 y vå rader är lia Om j så är deermiae W Dea ger isa i evaioe ova w 11 w 1 w 1 w 1 j w j w 1 w rad W a 11 W + a W + + a W Om vi iegrerar dea differeialevaio för W fås formel 14 1 a W Amärig: Formel 14 visar a om W 0 i e pu 0 så är W 0 överall Dea visar a för e godyclig fudamealsysem w 1,,w så är marise Φ w 1 w ivererbar Dea ises aurligvis ocså av de faum a rage för Φ är