KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade lösigar ger full poäg! Förekla svare så lågt som möjligt Skriv di lösig på samma blad som uppgifte (aväd baksida om det behövs) Lösigsförslag kommer att läggas på kurssida efter skrivige Efteram: Nam: Persoummer: Program: Lycka till! otalpoäg: Bedömig (G/U): Sida av 9
Sida av 9
(3p) a) (p) Aväd Laplacetrasformer för att lösa följade differetialekvatio y + 7y + y( δ, y ( ), y ( ), där δ ( är Diracs deltafuktio b) (p) (Oberoede av a-dele) Låt F(s) vara Laplacetrasforme av f ( Härled (bevisa) följade formel för Laplacetrasformerig as L[ f ( t a) U ( t a)] e F( s), där U ( t a) är Heavisides stegfuktio Lösig: a) Först trasformerar vi båda lede av ekvatioe och föreklar: ( s Y ( s) sy() y'()) + 7( sy ( s) y()) + Y ( s), s Y ( s) + 7sY ( s) + Y ( s), Vi löser ut Y (s) och får: Y ( s) { s + 7s + ( s + 3)( s + 4) ( s + 3) ( s + 4) } Vi iverstrasformerig (Beta eller partialbråksuppdelig) ger y( 3t 4t e e def b) Bevis: L( f ( t a) U ( t a)), t a U ( t a) ), t < a a st f ( t a) U ( t a) e dt (eftersom st f ( t a) e dt (substitutioe t a x, dt dx ) s( x+ a) sa sx f ( x) e dx e f ( x) e dx e as F(s) def VSB Svar a) y( 3t 4t b) se beviset e e Rättigsmall: a) Korrekt till Y ( s) ger poäg Allt korrekt p s + 7s + b) rätt eller fel Sida 3 av 9
(3p), t < Låt f, t <, f ( t + ) f Låt S f ( betecka Fourierserie till f ( a) (p) Rita grafe till S f ( i itervallet [ 3, 3 ] och pricka i värdet av S f ( diskotiuitetspuktera b) (p) Bestäm Fourierserie till f ( Lösig: i a) Notera att i diskotiuitetspuktera gäller kursboke) S f f ( t ) + f ( t + ) (Se sats i Grafe till S f ( : -3p -p -p p p 3p b) Metod (direkt beräkig), Ω, a f dt f dt För,,3, har vi dt + dt a f cos Ωt dt f cos t dt cost dt + cost dt si t Sida 4 av 9
b f si Ωt dt f si t dt si t dt + si t dt cost [cos cos( )] ( otera att cos( ) cos( ) ( ) ] [ ( ) ] [( ) ] Därmed är a S + [ a cos( + b si( ] [( ) ] + si( f Metod Vi ser att fuktioe är ästa udda Om vi drar grafe edåt för ehet då blir grafe symmetrisk i origo Med adra ord, om vi defiierar g f ( därmed f g( + ) då är om < t < g e udda fuktio om t < Alltså utvecklar vi först fuktioe g ( och därefter adderar [eftersom f g( + S S ] f + g Först utvecklar vi g ( i siusserie: 4 Vi aväder formlera b g( si( Ω dt, a, (F) där (och ), Ω Alltså b 4 f ( x) si( Ω dt si( dt Sida 5 av 9
cos( [ ] ( ) [( ) ] [ cos( ) cos() ] [( ) ] illhörade siusserie är sg b si( Ω si( [( ) ] Därför S f + Sg + si( Svar a) Se grafe b) S f + [( ) ] si( Rättigsmall: a) rätt eller fel ( poäg om diskotiuitetspukter sakas) b) Metod : poäg för korrekta a och a poäg för korrekt Metod : poäg för korrekt relatio S f + Sg om < t < fuktioe g poäg för korrekt om t < b Allt korrekt p och korrekt uttryck för udda b Allt korrekt p 3 (3p) a) (p) Bestäm alla produktlösigar u( x, X ( x) Y till ekvatioe u( x, u( x, 5, < x <, t > (ekv) x t b) (p) Bestäm alla produktlösigar som uppfyller följade villkor: V: u (,, för alla t >, V: u(, för alla t >, Lösig: Vi börjar med produktasatse och variabelseparatio Låt u ( x, X ( x) Y (P) Vi substituerar P i (ekv) och får 5X ( x) Y Y X ( x) eller Sida 6 av 9
X ( x) Y X ( x) 5 Y (*) Eftersom västerledet beror av x och högerledet ebart av t, måste de vara kostata och ha samma värde som vi beteckar med λ (Vi beteckar kostate med λ för att efterlika beteckig i kursboke, aars ka vi aväda λ ) Alltså X ( x) X ( x) 5 Y ( λ Y (**) där λ är ett reellt tal (just u vilket som hels Frå (**) får vi två ekla ODE med kostata koefficieter: Frå X ( x) X ( x) λ och 5 Y ( Y λ får vi X + λ X (ekv a) och Y + 5 λ Y (ekv b) Vi betraktar tre fall λ, λ < och λ > I) Om λ blir ovaståede ekvatioer X och Y som ger X Ax + B och Y Ct + D Därmed blir u ( x, X ( x) Y ( Ax + B)( Ct + D) II) Om λ < ka vi av praktiska skäll betecka λ α där α är ett positivt tal Frå (ekv a) får vi X α X som gör X αx αx + Ae Be Frå (ekv b) har vi Y 5α Y som ger Y Ce + De 5αt 5αt Därmed u ( x, X ( x) Y ( Ae III) Om λ > ka vi betecka + Be )( Ce αx αx + De ), där α > 5αt 5αt λ α där α är ett positivt tal Frå (ekv a) får vi X + α X som gör X Acos( α x) + Bsi( αx) Frå (ekv b) får vi Y + 5α Y som ger Y C cos( 5α + Dsi(5αt ) Därmed Sida 7 av 9
u ( x, X ( x) Y ( Acos( α x) + Bsi( αx) )( C cos( 5α + Dsi(5αt ) ), där α > Sammafattigsvis har vi fått följade produktlösigar till (ekv): I) u ( x, ( Ax + B)( Ct + D) II) u ( x, ( Ae + Be )( Ce α x α x + De ), där α > 5αt 5αt III) u ( x, ( Acos( α x) + Bsi( αx) )( C cos( 5α + Dsi(5αt ) ), där α > (just u vilket som helst positivt tal) b) Fråga är vilka av ovaståede lösigar till ekv uppfyller också villkore V och V Amärkig: Eftersom ekvatioe och båda villkor är homogea så är de triviala lösige u ( x, e lösig till problemet Kvarstå att bestämma adra (icke-triviala) lösigar Först apassar vi V och V till vår produktlösig Eftersom u ( x, X ( x) Y ka vi skriva V: u (,, för alla t >, som X ( ) Y för alla t > Detta ger X ( ) eller Y ( Om Y så är u ( x, s k triviala lösige till ekv Vi har reda kostaterat att de triviala lösige u( x, är e lösig till problemet ) På samma sätt drar vi slutsats att V: u(, för alla t >, medför X ( ) Y och därmed X ( ) eller Y ( där Y ger de triviala lösige) Nu udersöker vi vilka produktlösigar som uppfyller V : X ( ) och V : X ( ) I) Om X Ax + B då får vi frå V och V att B och A Därför blir X som ger de triviala lösige u ( x, som vi reda har fått På likade sätt ka vi visa att typ II lösigar också leder till u ( x, eftersom Sida 8 av 9
A Ae B + αl αl αl ( αl Ae A e e α L αl + Be Ae ) α medför A, B (eftersom L α e e L edast om α ) Detta i si tur ger ige de triviala lösige som vi reda har fått Kvarstår lösigar av typ III dvs X Acos( α x) + Bsi( αx) Vi ska bestämma alla värde på α så att X uppfyller både V och V V : Frå X ( ) har vi A cos( ) + Bsi() A Alltså X Bsi( αx) V : Frå X ( ) har vi B si( α ) Härav si( α ) (eftersom B leder till triviala lösige), och därför α α där,,3,4, (otera att α > eligt atagade) Därför är X Bsi(x), där,,3,4, och B e kostat Därför u ( x, B si(x) ( C cos( 5 + Dsi(5 ), Vi ka skriva B C E och B D F och därmed u ( x, si(x ) [ E cos( 5 + F si(5 ] där E, F är godtyckliga kostater (Om både E och F är då får vi de triviala lösige u( x, som är också e lösig till problemet ) Svar: u ( x, si(x ) [ E cos( 5 + F si(5 ] Rättigsmall: a) p (- för midre räke fel me korrekt metod) b) p) Rätt eller fel Sida 9 av 9