UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Prov i matematik ES, K, KadKemi, STS, X ENVARIABELANALYS 0-03- Svar till teta 0-03-. Del A ( x Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y = f (x = arcta i pukte där x =. Lösig. E ekvatio för tagete till y = f (x i pukte (a, f (a är, som bekat, y = f (a + f (a(x a. Här har vi a =, f ( = π och f (x = + ( x = + x, f ( = 8 =. E ekvatio för tagete är alltså y = π + (x. Bestäm, om det existerar, gräsvärdet Lösig. Vi förläger med x 3 och får x 3 x + 5 x 6x 3 + x + 7 { x 3 x + 5 x 6x 3 + x + 7 = /x + 5/x 3 } 6 + /x + 7/x 3 = 6 = 3 3 Bestäm f ( e om f (x = e x x x. ( Lösig. Här behövs det logaritmisk deriverig. Vi har f ( e = e e e e =, l f (x = l f (x = x + x l x, D l f (x = + x x + l x = l x, f (x = f (x l x, f ( e = f ( e l e =. Svar. f ( e =.
. Bestäm, om det existerar, gräsvärdet 3x 6 si x + arcta 3x x 0 x x cos x geom att Maclauriutveckla de igåede fuktioera. Lösig. För täljare och ämare har vi utveckligara T = 3x 6 (x x3 6 + O(x5 + (3x 7x3 + O(x 5 = 8x 3 + O(x 5 3 respektive Detta ger oss x 0 { 3x 6 si x + arcta 3x x x cos x Svar. Gräsvärdet är 6. N = x x ( x + O(x = x3 + O(x5 = 8x3 + O(x 5 x 3 + O(x5 = 8 + } O(x + O(x = 8 = 6 5. Avgör om = e x dx e x + = I. Lösig. Substitutioe u = e x, du = e x dx, ger I = x= x= Påståedet att = I är alltså sat. e x dx e x + = u=e u=e du u + = [l u + ] u=e u=e = l(e + l(e + = l e + e(e + e(e + e = l + e(e = l = l e = + + e 6. Beräka itegrale I = π 0 (π x cos x dx. ( Lösig. Med partiell itegratio får vi Svar. I =. I = [ (π x si x = 0 0 [ cos x ] π x=π x=0 ( si x dx 0 ] x=π x=0 = ( cos π cos 0 =. 7. Beräka itegrale I = x x + x dx.
Lösig. Vi partialbråksutvecklar fuktioe: Detta ger oss x x(x + = A x + B (A + Bx + A = x + x(x + I = = A =, B =. ( x + dx = C l x + l x +. x + 8. Lös differetialekvatioe x y + y =, y(0 =. Lösig. Ekvatioe, som är lijär av första ordige, har stadardforme y + x y = x Vi har g(x = x, G(x = x. De itegrerade faktor är alltså e G(x = e x Efter multiplikatio med de itegrerade faktor ka ekvatioe skrivas [ ] d e x y = x e x dx Itegratio av båda lede ger e x y = De allmäa lösige är alltså Begyelsevillkoret ger Svar. y = + e x. x e x dx = e x + C y = + C e x = y(0 = + C = C =. 9. Lös differetialekvatioe y e x = xy med begyelsevillkoret y(0 =. Lösig. Ekvatioe är separabel. Lösige ges av y dy = x e x dx, y = x e x ( e x dx = (x + e x + C De allmäa lösige är alltså Begyelsevillkoret y(0 = ger Svar. y = (x + e x. y = = y(0 = + C (x + e x + C = C = 0.
0. Lös differetialekvatioe y y y = x + (IH. Lösig. Karakteristiska ekvatioe 0 = r r = (r + (r har röttera r =, r =. Motsvarade homogea differetialekvatio y y y = 0 har därför lösige y = y h = C e x + C e x Eftersom högerledet i (IH är ett förstagradspolyom asätter vi som partikulärlösig y = y p = ax + b, y = a, y = 0 och får x + = 0 a (ax + b = ax (a + b, = a, = a + b, = a =, b = +a =, y p = x +. Allmäa lösige till (IH ges därför av y = y p + y h = x + + C e x + C e x. Avgör kovergese hos serie + l = 3 + l ( Lösig. För att göra e uppskattig av storleksordige av terme a = + l 3 + l( så observerar vi först att l( = l och eftersom logaritme växer lågsammare ä polyom så blir de domierade terme i täljare och de domierade terme i ämare är 3. Därför uppskattar vi att a har samma storleksordig som b =. Serie = därför kvote a b = Eftersom a b b är diverget, eftersom de är e p-serie med p = ( + l 3 + l > 0 och (Grästestet att serie = Svar. Serie är diverget. <. Vi udersöker ( = 3 + l + l = ( 3 + l + l, då. 3 3 b är diverget, så ger kvotforme av jämförelsesatse = a är diverget.. Låt f (x = + x 3 + l x, x > 0. Visa att f är iverterbar samt bestäm ( f (5, dvs iverses derivata i pukte 5.
Lösig. Vi har f (x = + x 3 + l x = + x 3 + l x och f (x = x + x > 0 för alla x > 0. Det följer att f är strägt växade, och alltså har f ivers. Vi har ( f (5 = f, där f (a = 5. Eftersom f ( = 5 så är a =, och vi får (a ( f (5 = f ( = 5/ = 5. Del B 3. Låt D vara området i xy-plaet som ges av cos x y si x, π x π. Beräka volyme av de kropp som geereras då D roterar krig (a x-axel, (b y-axel. Lösig. Börja med att skissa området D. D π π (a Kroppe som bildas då D roteras krig x-axel har eligt skivformel volyme V = π = π π/ π/ ( si x cos x π/ ( dx = π cos x si x dx cos x dx = π (b Vid rotatio rut y-axel aväder vi skalformel: [ si x ] π/ = π (0 = π. π/ V = π x(si x cos x dx = [partiell itegratio] π/ = π [x( cos x si x] π/ + π (cos x + si x dx = π ( π + π + π [si x cos x] π/ = π ( + + π( 0 = π ( + π. Svar. (a ( π. (b π + π.
x 3. Rita kurva y =. Bestäm extrempukter och asymptoter. (x + Age itervall där kurva är kovex eller kokav. Lösig. Eftersom y = y = så är lije x = e lodrät asymptot edåt x + x på båda sidor. Med polyomdivisio får vi y = x + 3x +. Eftersom (x + (y x ± 3x + (x = x ± x = 0, så är lije y = x e sed asymptot till kurva. + x + Deriverig ger y = 3x (x + x 3 (x + (x + = x (x + 3 (x + 3, så de statioära puktera är x = 0 och x = 3. Teckestudietabell: x 3 0 y + 0 odef. + 0 + y max odef. terrass Vi ser att x = 3 är e lokal maxpukt med värde y( 3 = 7 och att x = 0 är e terrasspukt med värdet y(0 = 0. Vi avslutar med att udersöka kovexitet. Derivata ka skrivas y = (x 3 + 3x (x + 3 som vi deriverar med produktregel: y = (3x + 6x(x + 3 3(x + (x 3 + 3x = 3x(x + ( (x + (x + (x + 3x = 6x (x +. Alltså är adraderivata positiv för x > 0 och egativ för x < 0, vilket iebär att fuktioe är kovex för x > 0 och kokav för x < 0.
si 3x 5. För fuktioe f gäller att f (x = för x < 0, meda f (x = ax + b för x 0. x Bestäm kostatera a och b så att f blir kotiuerlig och deriverbar överallt. Lösig. Fuktioe är kotiuerlig och deriverbar för alla x = 0. Vi behöver udersöka x = 0. Fuktiosvärdet vid x = 0 är b. Alltså krävs att f (x = b. Då högergräsvärdet x 0 reda är klart = b, så behöver vi udersöka västergräsvärdet. Eftersom si 3x f (x = x 0 x 0 x si 3x = 3 x 0 3x = 3 = 3 eligt ett kät stadardgräsvärde, så krävs alltså b = 3. För att udersöka deriverbarhet, observera att deriverbarhet medför kotiuitet, så vi vet reda att b = 3, och alltså att f (0 = 3. Vi udersöker differeskvote frå väster sida, dvs h < 0. f (h f (0 = h 0 h h 0 si 3h h 3 si 3h 3h = h h 0 h = [Maclauriutv.] 3h 7h3 6 + O(h 5 3h 7h 6 = h 0 h = + O(h3 = 0 h 0 Eftersom högerderivata är a så krävs därför att a = 0. Svar. För kotiuitet krävs b = 3. För deriverbarhet krävs a = 0 och b = 3. 6. E likbet triagel har höre på ellipse x + y = så att spetse (där de lika bee möts ligger i pukte (, 0. Bestäm största möjliga area av e såda triagel. Lösig. Triagels spets ligger i pukte (, 0. Triagels bas är y, och dess höjd är avstådet mella x och på xaxel, och är därför x +. (Höjde är lägs x-axel. De övre dele av ellipse är fuktioe y = x. För < x < får vi därför följade uttryck för area av hela triagel: A(x = y(x + Vi deriverar med produktregel: = y(x + = (x + x. A (x = x x + (x + = ( x x(x + x x = ( x x x = ( x(x + x = ( x x + x.
Statioära pukter är x = och x =. Teckestudietabell: x / A (x 0 + 0 A(x 0 max Area blir alltså störst är x =. Då blir area A( = 3 3 3/ = 3.