Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner. Generliserde integrler v oändlig funktioner och generliserde integrler över oändlig intervll. Volum v kroppr. Metod med skivor. Vi vill inför begreppet volum v en godtycklig kropp och börjr med tt skär kroppen i stort ntl tynn prllell skivor med pln ortogonl till /x - xeln som på bilden. Låt snittet melln sådn pln och kroppen h ren A(x) beroende på punkten x där plnet skär x - xeln. Vi förutsätter dessutom tt A(x) är en kontinuerlig funktion v x. Låt och b beteckn miniml och mximl x - koordinter för punkter inom kroppen. För tt beskriv bilden ovn med formler inför vi en indelning v intervllet [; b] med punktern x ; x ; x ; :::; x n, så tt = x och b = x n och betrktr skivor som pln genom dess punkter skär v koppen. Den konstruktioner påminner resonemng som vi genomförde för tt de nier Riemnns summor och bestämd integrl. Det är nturligt tt tänk om kroppens volum som summn v volum för ll skivor som kroppen består v. Sedn pproximerr vi vrje skiv med en (väldigt t om n är stort!) cylindrisk skiv som hr bottens ren A(c i ) och höjden (x i ) = x i x i :Punkten c i är någon punkt melln x i och x i, se på bilden
Dess cylindrr hr volum V i = A(c i ) (x i ). Vi pproximerr kroppens volum med summn v volumer v ll dess cylindrisk skivor: A(c i )(x i ) Dett är Riemnns summ för kontinuerlig funktionen A(x) över intervll [; b]: Med tt beräkn gränsvärdet v den summ med n! och j(x i )j! får vi en bestämd integrl v snittens re A(x) som är nturligt tt betrkt som kroppens volum: V = A(x)dx = lim n! j(x i )j! A(c i )(x i ) () I prktisk situtioner är det ett särskild problem tt beräkn ren A(x) för en konkret kropp. Den typ v problem kommer tt betrkts i tredje läsperioden. Volum v rottionskroppr. Metoden med skivor. I fll med rottionskroppr är det lätt tt beräkn ren A(x) eftersom snittet v en rottionskropp med pln ortogonl mot rottionsxeln är cirkelskivor. Om guren R begränsd med kurvn y = f(x), linjen y =, och linjer x = och x = b, roters runt x - xeln, den bugger en rottionssymmetrisk kropp. Snittet v den kroppen med ett pln ortogonlt mot x - xeln genom punkten x;är cirkel med rdien jf(x)j. Aren A(x) v det snittet är lim med (f(x)). Formeln för volum ör rottionskroppen följer då från llmänn formeln ovn. Exempel. Volum v ett klot. _Beräkn volum v ett klot med rdien. Ett klot kn generers med rottion en hlv cirkelskiv v rdien, runt x- xeln, see bilden Rnden v cirkelskivn är en cirkel med ekvtion y(x) = p x. Volum beräkns då
enligt llmänn formeln: x x 3 3 Z V = Z Z p (y(x)) dx = = x dx jmn_funktion = = 3 3 = 4 3 3 3 x dx Z x dx = Svr: V olum = 4 3 3 : Exempel Beräkn volum v kropp genererd med rottion v begränsde guren melln y - xeln och kurvn x = y y - runt y xeln. Se bilden. Prbeln x = y y hr rötter y = och y =. Ett pln genom punkt y på y xeln, ortogonl mot y - xeln som är rottionsxeln, skär v en cirkelskiv med rdien r(y) = y y från kroppen. Volum representers med integrl med vseende på y i det fllet. V olum = Z Z (y y ) dy = 4 4 = 3 y3 4 y4 + 5 y5 = 3 = 6 + 3 = 6 3 5 5 4y 4y 3 + y 4 dy Svr: V olum = 6 5 : 3
Volum v rottionskroppr. Metoden med cylindrisk skl. Iblnd är det lättre tt betrkt nnn metod för tt beräkn volum v rottionskroppr. Det händer om vi hr en kurv de nierd som grf v en funktion v x: y = f(x), men rottionsxeln är inte x xeln men y - xeln. För tt nvänd metoden med skivor i det fllet, måste mn uttryck x som funktion v y: Det kn vr svårt eller helt omöjligt, speciellt om funktionen f ovn sknr inversfunktionen. I det fllet är det lättre tt pproximer kroppen inte med cirkelskivor, men med cylindrisk skl som på bilden. Volumen dv v tynn cylindrisk sklet med tjöckleken dx som på bilden, kn pproximers som dv = f(x)xdx () där xdx är ren v botten v cylindrisk sklet och f(x) är dess höjd, så tt volumen är produkten v bottens re och höjden. Totl kroppens volum kn frmställs då med integrlen V = f(x)xdx (3) genom gränsövergången v Riemnns summor på smm sätt som tidigre volum med hjälp v skivor. 4
Exempel. Beräkn volumen v rottionskroppen som är byggd då guren begränsd v prbeln y = x x, och intervll [; ] på x - xeln, roters runt y - xeln. Vi betrktr här smm gur melln prbeln och koordintxeln som innn, men roterr den runt nnn xel. Bilden på roternde kurvn y = x x : y.75.5.5.5.5 x Formeln för volum med hjälp v cylindrisk skl: Z Z Svr: V olum = 8 3. V olum = x x x dx = xf(x)dx = x x 3 dx = 3 x3 4 x4 6 6 = 3 4 Mer volumberäkning med hjälp v skivor x= = 3 4 3 = 3 3 4 4 = 8 3 5
Exempel. Beräkn volum v snittet v två likdn cylindrr med rdier lik med ; och med xlr som skär vrndr och är ortogonl mot vrndr. En åttonde del v kroppen är frmställd på bilden. Snittet v den åttonde delen v kroppen på höjden z är kvdrt med sidn p z. Dess re är A(z) = z : V olum = 8 Z Båglängden för funktions grf ( z )dz = 8 z z 3 = 6 3 3 3 Båglängden v en godtycklig kurv kommer tt betrkts i tredje läsperioden. Ideen med längdens begrepp följer smm spår som begreppet med Riemns summor och bestämd integrl. Mn pproximerr kurvn med hjälp v ett polygon och betrktr gränsvärdet v polygonets längd (i fll den existerr) då ntlet segment i polygonet går mot oändligheten och ländern v ll segment går mot noll. Vi kommer tt betrkt här br fllet då kurvn v intresse är grf till en funktion med kontinuerlig derivt. Låt f vr en funktion de nierd på ett slutet begränst intervll [; b] som hr kontinuerlig derivt f där. Låt C vr kurvn som är grf till funktionen f. Vi vill de nier längden v C som gränsvärdet v pproximtioner v den kurvn med polygon med längden v ll segment som går mot noll och ntlet segment som går mot oändlighet. För en indelning v intervllet [; b]: f = x ; x ; x ; :::; x n = bg vi betrktr polygon som går genom punkter P i = (x i ; f(x i )), i = ; ; :::; n. Längden v polygon genom dess punkter är summn v längdern v segment melln konsekvent punkter P i och P i : l i = jp i P i j = p (x i x i ) + (y i y i ) = = p (x i x i ) (f(x i ) f(x i )) Längden v hel polygonet genom punkter P, P,..., P n, P n är p L n = jp i P i j = (xi x i ) + (f(x i ) f(x i )) = (x i ) s + (f(x i) f(x i )) (x i x i ) 6
där (x i ) = jx i x i j : Vi lägger märke till tt enligt mellnvärdesstsen (för derivtor) nns det en punkt c i (x i ; x i ) sådn tt (f(x i ) f(x i ) = f(c i ) (x i x i ) Härifrån följer tt summn är Riemnns summ för funktionen (x i )! : s = s(c) = L n = (x i ) + (f (c i )) + (f (x)) och hr ett unikt gränsvärde då n! och + (f (x)) dx = s + df dx (4) dx som är nturligt tt tolk som båglängden v kurvn C. Mn kn också tolk den integrl lite fritt som integrl över båglängdens "element" ds: s = Z x=b dx där med hjälp v lite fri beteckningr ds = + df dx och reltionen (ds) = (dx) + (dy) x= där mnlätt observerr uttrycket v Pythgorstsen: ds df dx dx = dy kommer vi till 7
Exempel Bestäm längden v bågen på grfen v funktionen y = x =3 för x melln x = och x = 8. dy(x) = d dx dx x=3 = 3 x =3 och är kontinuerlig melln x = och x = 8 (inte överllt!) och x =3 > där. Längden v bågen är frmställd med formeln s = = Z 8 Z 8 = 8 + (y (x)) dx = p 9x =3 + 4 3x =3 dx = Z 4 3 Aren v rottionsytor r + 4 Z r 8 9x 9 x =3 + 4 =3 dx = dx = 9x 8 =3 9 < u = 9x=3 + 4 = : vribelbyte : du = 6x =3 dx ; u() = 3; u(8) = 4 Z 8 u = du = 7 u3= 4 3 = 4p 4 3 p 3 7 Aren v rottionsyt genererd med rottion v en grf v funktion y = f(x) runt x - xeln kn de niers som gränsvärdet v summn v reor v strimlor som på bilden som fås med tt skär ytn med pln ortogonl mot x - xeln genom punkter x i på x- xeln. Aren v en sådn tynn striml pproximers väl med produkt v dess längd och dess s i : S i = (Strimlnslngd) (x i ) s i Vrje striml hr längden lik med längden v cirkeln med rdien r(x i ) = f(x i ) i det fllet. Vi observerr ochså tt strimplns bredd är s i = p + (f (x i )) (x i ): Dett medför tt S i = r(x i ) s i och hel ytns re pproximers med A n = r(x i ) s i = r(x i ) p + (f (x i )) (x i ) 8
Det är en Riemnns summ v funktionen r(x) p + (f (x)) :Efter gränsövergången med n! ; fås uttrycket för ren Are = eller för r(x) = f(x) förenkls formeln till Are = r(x) p + (f (x)) dx (5) jf(x)j p + (f (x)) dx (6) Vi påminner tt i det fller roters grfen v funktionen y = f(x) runt x-xeln. I fll då grfen v funktionen y = f(x) roters runt y-xeln är det lätt tt se tt r(x) = jxj och smm formel ser ut som Are = jxj p + (f (x)) dx (7) Det kn uppstå två fll till då betrkts grfen v funktionen x = g(y) som kn roters runt x - xeln eller runt y - xeln. Det är inte rimpligt tt memorer ll dess formler och är mer prktiskt tt komm ihåg logiken bkom hur de uppstår i något fll, och skriv dem dem själv för vrje konkret fll. Exempel. Bestäm ren v ytn som är skpd med rottion v en båge v prbeln y = x för x runt y - xeln. Det är lätt tt se från biilden tt ren i det fllet frmställes v följnde llmän formel Aren = x p + (f (x)) dx 9
I vårt konkret fll med f(x) = x ser fomeln ut som Aren = Z x + (x) dx = Z x p + 4x dx Det är lämpligt tt inför en ny vribel u = (x) = + 4x, du = 8xdx, u() =, u() = 5: Aren utttrycks då som Aren = 4 Z 5 u = du = 6 u3= 5 = 6 5 p 5