Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning Grundläggande idé. Linjära transformer. Linjära transformer ( ) ( ) ( )

Relevanta dokument
Föreläsning 10. Digital signalbehandling. Kapitel 7. Digitala FourierTransformen DFT. LTH 2011 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

Institutionen för data- och elektroteknik samplingsvillkoret f. Den diskreta fouriertransformen ges av

Föreläsning 7. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 5. LTI system Signaler genom linjära system

Fyr-fältingen, utvidgad. Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 6. Ex) på användning av z-transform: En avancerad hörapparat

Definition 1a: En talföljd är en reell (eller komplex) funktion vars definitionsmängd är mängden av naturliga tal {0,1,2,3,4, }.

Föreläsning 6. Kapitel 4. Fouriertransform av analog signal, FT Fouriertransform av digital signal, DTFT fortsättning

Inlämningsuppgift 2 i Digital signalbehandling ESS040, HT 2010 Måndagen den 22 november 2010 i E:B.

TSDT18/84 SigSys Kap 7 Fouriertransformanalys av tidskontinuerliga signaler 1 1 Kap 7 Fouriertransformanalys av tidskontinuerliga signaler 2

Investering = uppoffring av konsumtion i dag för högre konsumtion i framtiden

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Anmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om

FÖRELÄSNING 13: Analoga o Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga filter = tidskontinuerliga filter

om X har följande sannolikhetsfunktion λ λ . Då gäller a) väntevärdet E(X) = λ b) variansen σ = λ och därmed c) standardavvikelsen σ = λ

Statistisk mekanik (forts) Kanonisk ensemble. E men. p 1. Inledande statistisk mekanik:

Fyr-fältingen, utvidgad. Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 12. Ex) på användning av z-transform: ljud. z-transform och TDFT, formler

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.

TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektrovetenskap. Tentamen i Digital Signalbehandling ESS040 (ETI240/ETI275)

1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser.

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

Digital signalbehandling Sampling och vikning på nytt

Tentamen TEN1, HF1012, 1 juni Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:00-12:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Om i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).

Tunnling. Förra gången: Spridning mot potentialbarriär. B T T + R = 1. Föreläsning 9. Potentialmodell (idealiserad): U = U B U = 0

HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Digital signalbehandling Digital signalbehandling

Frikort utskrivet 14/6 2013, giltigt t.o.m 23/ / kr 150 kr Första avgift erlagd för nytt avgiftsåret

F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik

Algebra och geometri 5B Matlablaboration

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)

spänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.

ATLAS-experimentet på CERN (web-kamera idag på morgonen) 5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

som gör formeln (*) om vi flyttar första integralen till vänsterledet.

(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

Föreläsning 6. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 4

Digital signalbehandling

Föreläsning 6. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 4

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Föreläsning 9. Digital signalbehandling. Kapitel 6. Sampling. LTH 2014 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

Har du sett till att du:

EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET

Digital signalbehandling

P (A) = k A P (A ) = 1 P (A) P (A B) P (B) P (M i ) = 1 P (A) P (X = k) = p X (k) p X (k) = 1 P (A B) p X (k)

Stokastiska variabler

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

Matematisk statistik

KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)

= BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. a) Maclaurins formel

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B

Föreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

Tentamenn. som har. del II. Handbook av Råde. Del I. Modul 1. fasporträttt. x 2 är en 0, x. Sida 1 av 25

Recept och inspiration

HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik

TNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.

TAMS15: SS1 Markovprocesser

24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Handbok. för evenemang och möten i Borås. Framtagen av Säkerhetsnålen Borås välplanerat värdskap

1. Hur gammalt är ditt barn?

Kontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Uppskatta lagerhållningssärkostnader

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

INTRODUKTION. Akut? RING:

Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ

Formelsamling. Enkel linjär regressionsananalys: Modell: y i = β 0 + β 1 x i + ε i. Anpassad regressionslinje: ŷ = b 0 + b 1 x. (x i x) (y i ȳ) ( x)2

Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic

Kontextfri grammatik (CFG)

3 Signaler och system i tidsplanet Övningar 3.1 Skissa följande signalers tidsförlopp i lämpligt tidsintervall

Datastrukturer och algoritmer

2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

Kontrollskrivning 2 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: To Σ p P/F Extra Bonus

INGENJÖRSMATEMATISK FORMELSAMLING

Något om funktionsföljder/funktionsserier

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Räkneövningar populationsstruktur, inavel, effektiv populationsstorlek, pedigree-analys - med svar

Tentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrning, MSN320/TMS070 Lördag , klockan Lärare: Jan Rohlén

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.

Transkript:

6 8 6 Grudläggad idé Atag att vi parar ihop lmt i bild i bloc om två Om vi väljr att aat oordiatsystm, t.x rotrar gradr 8 6 6 och plottar dssa par som xy oordiatr i graf 6 ( rad frå Labild) 8 6 8 6 8 så blir spridig myct midr i d a ritig. Dt räcr därför md myct färr vatisrigsivår i yld ä i xld. 8 6 är rävs gasa måga vatisrigsivår på båda axlara för att alla putr sall få lit vatisrigsbrus. Grudidé md trasformodig är att hitta trasform som gör att variatiora i dt ya oordiatsystmt huvudsalig octrras till tt fåtal dimsior (axlar). Trasform a bsrivas mha trasformmatris A: v Au y Ax Lijära trasformr Varj matris A av storl (Mx) utgör trasform frå dt lijära vtorrummt R till R M. Dfiitio Uitär trasform: E trasform allas för uitär om dss trasformatiosmatris är uitär, dvs om AA M y R A A I x R I uitär matris är alla olum och radvtorr ortoogoala och ormrad. E uitär trasform bvarar rgi/lägd på vtorra: y Ax x E uitär matris/trasform är alltid ivrtrbar. x A y A otatio xa y öppar för altrativ tolig av trasform. Vtor x är lijärombiatio av olumra a i A : x A y a y y ( ) Lijära trasformr Lijär trasform/basbyt: Låt {φ } vara ortoormrad bas till rummt R. Varj vtor x i R a då srivas som: x φ y Där officitra i d ya bas {φ } gs av y x, φ x φ Srivr vi om dtta på matrisform blir dt idtist md d tidigar otatio vi had för uitär matristrasform. x Φy y ( ) ( ) ( ) ( ) Φ Exmpl DFT: D ormrad DFT a srivas som X i π / ( ) x( ) x( ) X ( ) iπ/ Basvtorra är: φ ( ) / Vilt gr trasformmatris: A Φ φ L φ x φ φ M iπ /

dimsiolla trasformr För tvådimsiolla sigalr a grll trasform/basbyt srivas på form: v, l a m, u m, u ( ), l ( ) ( ) m ( m, ) a, l ( m, ) v(, l) Oftast väljs trasformära som sparabl: a m, a m c ( ) ( ) ( ), l l och då a trasform srivas md matrisotatio U A Dssutom väljr ma ästa alltid AC. V AUC T VC Ivrstrasform a ocså tolas som lijärombiatio av tt atal basbildr: U B v l där basbildra gs av: B l, l a a l ( ), l, l och a btcar :t olumvtor i A. KarhuLoèv trasform R Y Låt x vara stoastis vtor md autoorrlatiosmatris R x R X E[ xx ] Eftrsom orrlatiosmatris är symmtris a d diagoalisras R X QΛ Q där Q är ortoormal (uitär) matris ihållad gvtorra till R x och Λ är diagoalmatris ihållad motsvarad gvärd. KarhuLoèv trasform dfiiras som y Q Korrlatiosmatris för y (trasform av x) blir diagoalmatris Λ. [ Q xx Q] Q R Λ E Q x X Vid trasformodig av bildr bruar bild först dlas upp i atal midr dlbloc. Discrt Cosi Trasform U U U U Varj dlbloc trasformras för sig och därftr vatisras varj trasformofficit (oordiat) idividullt. U i AU i A T Vi Rostrutio av bild sr md d ivrsa trasform Vi A U i A Ui Q Vi v D dimsiolla disrta cosiustrasform dfiiras som där v π [ ] α[ ] u[ ] cos ( + / ) α [ ] Ivrstrasform gs av u π [ ] α[ ] v[ ] cos ( + / ) D dimsiolla dfiiras som [, ] α[ ] α[ ] u[ m, ] M m π + cos M ( m ) π ( ) + cos

Basfutior. Discrt Cosi Trasform Basfutiora för av lägd 8 sr ut såhär. a a. 6 7 8.. 6 7 8. a bsrivas mha till d symmtrist utvidgad sigal: a a. 6 7 8.. 6 7 8. 8 6 6 8 a. 6 7 8. a a 6 a 7. 6 7 8.. 6 7 8.. 6 7 8 8 6 6 8 iπ / [ x ] β [ x ] β [ ] / där är d uitära. Lijäritt Sparabilitt Egsapr hos { u[ m, ] } { { u[ m, } m } ] Basfutior hos Dim Ergirlatio (Parcvals sats) Faltigssats gällr it grllt! [, ] v[, ] u,, { u[] h[ ] } { u[] } { h[] } Gr myct bra rgioctratio för bildr. Är ästa trasform för Marovprocssr md hög orrlatiosfator (ρ>.9) Dt fis bräigsfftiva algoritmr jämförbara md. aväds framförallt i bildodigssammahag.

adamardtrasform adamardtrasform 8 + adamardtrasform är trasform som dast rävr additior. Trasformmatris dfiiras ligt följad rursio För blocstorl 8 sr matris ut som da om ma sortrar olumra (llr radra) ftr atal tcsift. adamard har bra rgipacigsgsapr för bildr md stor orrlatio. Trasform har låg bräigsomplxitt O(log). adamard adamard Basfutior Basfutior Brdvid sys basfutiora för adamardtrasform av lägd 8. 6 7 8 a 6 7 8 a 6 7 8 a 6 7 8 a 6 7 8 a 6 7 8 a 6 7 8 a 6 6 7 8 a 7 adamard adamardtrasform trasform Basfutior (bildr) för dim adamardtrasform. aar trasform aar trasform 8 adamardtrasform är glig Wavlttrasform, m d a ocså srivas som bloctrasform. För blocstorl 8 sr matris ut som da. aar har i rgl dåliga rgipacigsgsapr för bildr. Trasform har myct låg bräigsomplxitt O(). Dt fis adra typr av Wavlttrasform som är myct bra för bildr. JPG byggr på Wavlttrasform.

aartrasform aartrasform Brdvid sys basfutiora för aartrasform av lägd 8. a a.. 6 7 8.. 6 7 8 Basfutior (bildr) för dim aartrasform. a a 6 7 8 a 6 7 8 a 6 7 8 a 6 6 7 8 a 7 6 7 8 6 7 8 Jämförls mlla olia trasformr Jämförls mlla olia trasformr dimsioll blocvis trasform på sigal x md af r [ ] x. 9 dimsioll blocvis trasform av Labild (radvis). c a c a Blocsiz Blocsiz 6 c a c a Blocsiz 6 Blocsiz 6 Variac B) Variac B) Blocsiz Blocsiz 6 Variac B) Variac B) Blocsiz 6 6 Blocsiz 6 6 6 8

Kofficitstatisti Gom att studra varias för officitra ftr trasform så sr ma lätt vila som är mr llr midr vitiga för bild. Kofficitr md lit varias har it så stor påvra på bild och a i pricip stryas uta att bildvalité försämras. Logaritm av varias hos officitra på Labild Bitallorig är officitra sall vatisras gällr dt att välja rätt atal bitar till rsptiv officit. Lår f(b) fara futio som bsrivr distorsio är b bitar aväds för vatisrig av sigal md htsvarias. D totala distorsio blir då D M σ ( ) f b Om vi tilldlar xtra bit till officit så förbättras distorsio md D σ ( f ( b ) f ( b + ) ) 6 8 6 6 8 6 Givt dt totala atalt bitar b tot för tt bloc a följad algoritm avädas för att räa ut bitallorig. Börja md all b. Dla ut bit till d officit där distorsiosvist blir störst.. Om dt fortfarad fis bitar var att fördla, gå till. aars är vi lara. Måga officitr tilldlas i rgl it ågo bit alls, dssa masas bort och lagras/avodas aldrig. Kofficitmasig är bitallorig är lar måst ma dfiira mas som bsrivr vila officitr som har vatisrats och vila som har masats bort. Iblad aväds fördfiirad stadardmasr (som d på sid 6 i Jai) för bitallorig. Da mas bhövr då it lagras/övrföras tillsammas md rst av datat. M om optimal bitallorigsmas aväds måst d iformatio ocså lagras. Dtta a t.x. Göras gom att läsa av mas i tt ziczac möstr och surlägdsoda iformatio. 8 7 7 6