EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET

EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET INLEDNING Ett polyom ( i variabel λ ) av grad är ett uttryc på forme P( λ) a λ + aλ + aλ + a, där a Polyomets ollställe är lösigar ( rötter) till evatioe a λ + a λ + a λ + a FAKTORISERING AV ETT POLYNOM, ALGEBRAISK MULTIPLICITET Om λ i är e lösig till (*) då är polyomet delbart med (λ λ i ) --------------------------------------------------------------------------------------- FAKTORSATSEN Vare polyom P( λ) a λ + aλ + aλ + a,, ( med reella eller omplexa oefficieter a ) a fatoriseras eligt fölade aλ + aλ + aλ + a a( λ λ )( λ λ) ( λ λ ) (F) där λ i är polyomets ollställe ( reella eller omplexa) ------------------------------------------------------------------------------ Defiitio a) Om vi grupperar lia liära fatorer då a vi sriva (F) på evivaleta forme K a λ + a λ + a λ + a a Π( λ ) (F) λ där λ är distita rötter (olia sys emella) Expoetera K visar hur måga gåger upprepas fator ( λ λ ) i formel F Vi säger att λ är e rot av multiplicitete K eller evivalet att λ har de algebraisa multiplicitete K Om t ex K är (eller ) då säger vi att λ är e dubbel rot ( trippel rot) till evatioe, eller att λ har de algebraisa multiplicitete ( eller ) Amärig: Ma a äve defiiera de algebraisa multiplicitete på fälade evivaleta sätt: Defiitio b) ( E evivalet defiitio för de algebraisa multiplicitete) Om λ i är ett ollställe till polyomet P (λ) och K P( λ) ( λ λi ) g( λ) där g( λ i ), för ett positivt heltal K, då säger vi att λ i har de algebraisa multiplicitete K ------------------------------------------------------------------------------------ K 4 Låt a λ + a λ + a λ + a a Π( λ ) Då gäller: λ Summa av algebraisa multipliciteter (för reella och omplexa rötter) är lia med polyomets grad, dvs Sida av 4

---------------------------------------------------------------------------------------------- 5 Om polyomets oefficieter a är reella tal då evetuella omplexa ollställe föreommer i ougerade par λ a + bi, λ + a bi Om vi ösar fatoriserig i reella fatorer då grupperar vi motsvarade liära fatorer: ( λ ( a + bi))( λ ( a bi)) ( λ a bi)( λ a + bi) ( λ a) ( bi) ( λ a) + b λ aλ + a + b Alltså för att få e reell fatoriserig, ersätter vi ( λ ( a + bi))( λ ( a bi)) i F med adragradspolyomet λ a λ + a + b Uppgift Låt P ( λ) λ + 5λ + 6λ a) Bestäm polyomets ollställe b) Fatorisera polyomet i liära fatorer c) Bestäm rötteras algebraisa multipliciteter d) Beräa K där K är de algebraisa multiplicitete av λ Lösig: a) Vi får ollställe frå λ + 5λ + 6λ Vi ombierar fatoriserig och formel för adragradsevatioer: Först bryter vi ut λ och får evatioe λ ( λ + 5λ + 6) Härav först λ och ( frå adragradsevatioe λ + 5λ + 6 ) λ, λ b) Fatoriserig: P ( λ) a( λ λ )( λ λ)( λ λ) ( λ )( λ + )( λ + ) c) Alla rötter är ela dvs har de algebraisa multiplicitete d) K + + ( polyomets grad) Svar a) λ, λ, λ b) P ( λ) ( λ )( λ + )( λ + ) c) Alla rötter är ela dvs har de algebraisa multiplicitete d) K K Uppgift Låt P ( λ) λ 4λ + 5λ a) Bestäm polyomets ollställe Sida av 4

b) Fatorisera polyom i liära fatorer c) Bestäm rötteras algebraisa multipliciteter d) Beräa K där K är de algebraisa multiplicitete av λ e) Fatorisera polyomet i reella fatorer ( som då får iehålla adragradspolyom) Lösig: a) λ 4λ + 5λ λ( λ 4λ + 5) λ, λ + i, λ i b) Fatoriserig i liära fatorer: P( λ) a( λ λ )( λ λ)( λ λ) ( λ )( λ ( + i))( λ ( i)) λ( λ i)( λ + i) c) Alla rötter är ela dvs har de algebraisa multiplicitete d) K + + ( polyomets grad) e) Fatoriserig i reella fatorer ( som då a iehåller adragradspolyom) : Vi multiplicerar i två sista fatorer ( för att bli av med omplexa dele) och får P ( λ ) λ( λ i)( λ + i) { Vi aväder formel (A B)(A+B) A B på uttrycet (( λ ) i )(( λ ) + i) } Vi får P ( λ) λ(( λ ) i ) λ( λ 4λ + 5) Svar a) λ, λ + i, λ i b) P ( λ ) λ( λ i)( λ + i) c) Alla rötter är ela dvs har de algebraisa multiplicitete d) K e) P ( λ) λ( λ 4λ + 5) Uppgift Låt a) P ( λ) λ + λ 6λ b) P ( λ) λ + 6λ + 9λ i) Bestäm polyomets ollställe ii) Fatorisera polyomet i liära fatorer iii) Bestäm rötteras algebraisa multipliciteter iv) Beräa K där K är de algebraisa multiplicitete av λ Lösig: i) λ + λ 6λ λ( λ + λ 6) λ, λ, λ Alltså har polyomet ollställea λ, λ och λ ii) Fatoriserig: P ( λ) λ( λ )( λ + ) Sida av 4

iii)eftersom vare fator λ, ( λ ) och ( λ + ) föreommer exat e gåg i fatoriserige, ser vi att vare ollställe har de algebraisa multiplicitete iv) K + + b) i) λ + 6λ + 9 λ λ ( λ + 6λ + 9) λ, λ, λ Alltså har polyomet ollställea λ, och λ, ( dubbelrot) ii) Fatoriserig: P ( λ) λ( λ + )( λ + ) λ( λ + ) iii) Härav ser vi att evatioe har två distita (olia) rötter ( tre totalt om ma räar med deras multipliciteter) : Rote λ ( dvs λ ) har de algebraisa multiplicitete meda rote λ ( dvs λ, ) har de algebraisa multiplicitete iv) K + Uppgift 4 Låt P ( λ) λ + λ + λ + Bestäm polyomets ollställe, fatorisera polyomet i liära fatorer, och bestäm ollställeas multiplicitet Beräa K (summa av algebraisa multipliciteter) Tipps: Ma a aväda formel ( a + b) a + a b + ab + b Lösig: Om vi aväder formel ( a + b) a + a b + ab + b med a λ och b får vi λ + λ + λ + ( λ + ) ( λ + )( λ + )( λ + ) [ Alterativt a ma fia e rot blad heltals delare ( + och ) till de ostata terme ( dvs ) i polyomet ] Härav får vi diret att evatioe P( λ) har e trippelrot λ,, Alltså λ är e rot med de algebraisa multiplicitete K Svar: λ,, P ( λ) ( λ + )( λ + )( λ + ) ( λ + ) Rote λ har de algebraisa multiplicitete 5 4 Uppgift 5 Låt P ( λ ) λ + λ + λ + λ Bestäm polyomets ollställe, fatorisera polyomet i liära fatorer, och bestäm ollställeas multiplicitet Beräa K (summa av algebraisa multipliciteter) Svar: λ,, λ,4,5 (Två distita rötter och ) P ( λ) λ λ( λ + )( λ + )( λ + ) λ ( λ + ) Rote λ har de algebraisa multiplicitete Rote λ har de algebraisa multiplicitete K + 5 Sida 4 av 4

EGENRUM OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET Låt λ vara ett egevärde till matrise A av typ dvs e lösig till evatioe det( A λ I ) Motsvarade egevetorer är alla ollsilda lösigar till evatioe ( A λ I ) v Alla lösigar till (**) dvs äve, bildar ett uderrum som vi betecar E λ och allar egerummet tillhörade λ Med adra ord är E λ er( A λi ) er(a-λi) Med adra ord: E λ är ollrummet till A λi Defiitio ( E λ ) Låt λ vara ett egevärde till matrise A av typ Uderrummet E λ er(a-λi) { v R : ( A λ I ) v } allas egerummet tillhörade λ Amärig: Lägg märe till att, eligt defiitioe uderrummet E λ iehåller, förutom alla egevetorer tillhörade λ, äve ollvetor Defiitio (Geometris multiplicitet för λ ) Dimesioe för egerummet E λ allas de geometrisa multiplicitete för λ Amärig: Notera att dim(e λ ) dim( er(a-λi)) I måga fall är det elare att bestämma rag(a-λi) Eligt dimesiossatse har vi dim( er(a-λi))+ rag(a-λi) Därför dim(e λ ) dim( er(a-λi)) rag(a-λi) 4 Exempel: Låt A 4 Bestäm a) matrises egevärde och de algebraisa multiplicitete för vare egevärde b) tillhörade egerum och e bas till egerum c) de geometrisa multiplicitete för vare egevärde d) egevetorer för vare egevärde Lösig: a) Frå de arateristisa evatioe (4 λ) det( A λi ) c (4 λ) får vi ett egevärde λ 4 som har de algebraisa multiplicitete Sida 5 av 4

b) met som hör till λ 4 är mägde av alla lösigar (äve ollvetor) till evatioe (4 4) x x ( A λ I ) v (4 4) y y x som är evivalet med evatiossystemet x x Systemet har e ledade variabel x och e fri variabel y t Alltså t y Därmed är E λ { t, } ( ) t R spa egerummet som hör till λ 4 Base till egerummet E λ är ( ) c) De geometrisa multiplicitete för λ dim( E λ ) x d) Egevetorer som hör till λ är vetorera t, t dvs alla vetorer i E λ y förutom I ovaståede exempel är de geometrisa multiplicitete för λ midre ä de algebraisa multiplicitete Vi sa visa eda att för ett egevärde λ gäller alltid ( de geom multiplicitete för λ ) (de algeb multiplicitete för λ ) Först sa vi visa e sats om similära matriser Defiitio 4 Två matriser A och B är similära om det fis e iverterbar matris P så att A PBP Sats (Satse om similära matriser) Låt A och B vara två similära matriser och λ ett tal Då gäller a) det(a)det(b) b) det(a λi) det(b λi) Bevis: a) det(a) det( PBP ) det( P)det(B) det(p ) det( P)det(B) det( P ) det(b) b) det(a λi) det(pbp λi) (eftersom IPP ) det(pbp λ PP ) det(pbp P λ P ) det(p(b λ I)P ) det( P) det(b λ I) det(b λ I) det( P ) Sats Låt λ vara ett egevärde för matrise A Då gäller ( de geom multiplicitete av λ ) (de algeb multiplicitete av λ ) Bevis: Låt λ vara ett egevärde för matrise A med geometrisa multiplicitete p Då är Sida 6 av 4

dim( Eλ ) p Låt B( v,, v p ) vara e bas till E λ Vi ompletterar base B till e bas C C C C C ( v,, v p, u p+,, u ) för hela rummet R Vi bildar matrise P geom att aväda basvetorera v,, v p, u p+,, u som oloer i P Matrise P är uppebart iverterbar Vi har Pe i v, för p i i,, där e i är ehetsvetor (otera att Pe i är olo i i matrise P) Därför är P v i ei Låt F P AP Då gäller Fei P APei P Avi P λ vi λei för i,, p Detta betyder att F har oloer λ e i för i,, p dvs fölade form: λ * * λ * * * * F (med p st λ på diagoale) λ * * * * p Därför är det( F λi ) ( λ λ) g( λ) Matriser A och F P AP är similära och, eligt sats gäller det( A λi ) det( F λi ) Alltså p det( A λi ) ( λ λ) g( λ) som visar att de algebraisa multiplicitete av λ är större eller lia med p Vi har därmed bevisat att ( de geom multiplicitete för λ ) (de algeb multiplicitete för λ ) Notera att vi i de här urse betratar reella matriser och diagoaliserig över reella tal Vi upprepar grudsatse om diagoaliserbara matriser: Sats Satse om diagoaliserbara matriser och liärt oberoede egevetorer Låt A vara e vadratis matris av typ Matrise A är diagoaliserbar om och edast om matrise har e uppsättig av st liärt oberoede egevetorer Vi har visat tidigare att egevetorer som hör till olia egevärde är oberoede Sats a vi formulera på evivalet sätt: Sats 4 Satse om diagoaliserbara matriser och egerum Låt A vara e vadratis matris av typ som har p distita egevärde λ,, λ p Matrise A är diagoaliserbar om och edast om p dim( Eλ ) Låt m algebraisa multiplicitete för egevärde λ Eligt Sats gäller då dim( Eλ ) m Sida 7 av 4

Eftersom summa m ( om ma räar summa av multipliciteter för alla reella och omplexa rötter ) får vi, frå Sats 4, fölade sats: Sats 5 Låt A vara e (reell) vadratis matris av typ Matrise A är diagoaliserbar (över reella tal) om och edast om alla lösigar till de atrateristisa evatioe det( A λi ) är reella tal och ( de geometrisa multiplicitete för λ ) (de algebraisa multiplicitete för λ ) för vare egevärde λ Därmed har vi fölade två földsatser: Sats 6 Matrise är ite diagoaliserbar (över reella tal) om mist e lösig till de atrateristisa evatioe det( A λi ) är omplext tal Sats 7 Matrise är ite diagoaliserbar om för mist ett egevärde λ gäller ( de geometrisa multiplicitete för λ ) < (de algebraisa multiplicitete för λ ) Uppgift 6 i) Bestäm alla egevärde till A För vare egevärde bestäm tillhörade, ii) algebrais multiplicitet, iii) egevetorer, iv) egerum, v) geometris multiplicitet vi) Är matrise diagoaliserbar? a) A b) A 4, c) A Lösig a) a) A 4 i) Först löser vi dddddd(aa λλ I) ( λλ) dddddd 4 ( λλ) Sida 8 av 4

λλ 4λλ + 4 Ett egevärde λ med de algebraisa multiplicitete Svar i) Ett egevärde λ ii) λ har de algebraisa multiplicitete Vi bestämmer tillhörade egevetorer Låt vv xx yy Vetorevatioe (AA λλ I) vv ger ( ) 4 ( ) xx yy 4 xx yy Vi får systemet xx + yy 4xx + yy ~ xx ( xx, eeee ffffff vvvvvvvvvvvvvvvv yy tt ) iii) Härav får vi alla tillhörade egevetorer vv xx yy tt tt där t iv) met E λ består av alla lösigar till ( A λ I ) v ( ollvetor och egevetorer) E λ spa ( ) v) De geometrisa multiplicitete är dimesioe av egerummet: dim(e λ) vi) Matrise är ite diagoaliserbar eftersom, för egevärdet λ gäller (de geometrisa multiplicitete) < (de algebraisa multiplicitete) (Därmed a vi ite bilda e bas till R med egevetor) Lösig b) A i) dddddd(aa λλ I) ( λλ) dddddd ( λλ) Sida 9 av 4

λλ 6λλ + 9 Ett egevärde λ med de algebraisa multiplicitete Svar i) Ett egevärde λ ii) λ har de algebraisa multiplicitete Vi bestämmer tillhörade egevetorer Låt vv xx yy Vetorevatioe (AA λλ I) vv ger xx yy Vi får system xx + yy xx + yy ~ ( ttttå ffffff vvvvvvvvvvvvvvvv xx ss, yy tt ) iii) Härav får vi alla tillhörade egevetorer vv xx yy ss tt ss + tt förutom fallet där både s och t samtidigt iv) met E λ består av alla lösigar till ( A λ I ) v ( ollvetor och egevetorer) E λ spa (,, ) v) De geometrisa multiplicitete är dimesioe av egerummet: dim(e λ) vi) Ja (matrise är reda e diagoal matris) c) A Egevärde: dddddd(aa λλ I) ger λ + 4λ 5λ + Geom att testa alla fatorer till ostata terme ( vi prövar ±, ± ) får vi att λλ är e lösig Polyom divisio : ( λ 4λ + 5λ )( λ ) λ λ + Evatioe λ λ + ger två lösigar till : λλ och λλ Alltså har vi e dubbel rot λ (dvs med alg multiplicitete ) Sida av 4

och e eel rot λ (dvs med alg multiplicitete ) Matrise har två egevärde: λ med alg multiplicitete och λ med alg multiplicitete Egevetorer: För λ får vi xx zz zz (AA λλλλ)vv yy zz zz (ttttå ffffffff vvvvvvvvvvvvvvvvvv xx ss, yy tt) ss vv tt ss + tt Därmed är tillhörade egerum E (λ ) spa{, } och har dimesio För λ har vi motsvarade egevärde tt ( ddärr tt ) och tillhörade egerum E (λ ) spa{} Matrise har total tre liärtoberoede egevärde ( vi a bilda iverterbar matris P av typ ) och därmed är matrise A (av typ ) diagoaliserbar Svar c) λλ, de algeb multip, E (λ ) ssssssss(, ), dim(e (λ ) ), (de geom multiplicitete ) λλ, de algeb multip, E (λ ) ssssssss(), dim(e (λ ) ),( de geom multiplicitete ) Matrise A (typ x) är diagoaliserbar eftersom dim(e (λ ) )+ dim(e (λ ) ) + Uppgift 7 För vila värde på reella tal a, b och c är matrise diagoaliserbar? ( a λ) Lösig: det( A λi ) det( ( λ)( λ) ( λ) a b c b Evatioe det( A λi ) har två lösigar λ a och λ b a A c b Fall Om a b så har matrise A (av typ x) två olia egevärde och är därmed diagoaliserbar (för alla c) Sida av 4

Fall Om a b så är λ a ett egevärde med alg multiplicitete ( A λ I ) ( A λi ) Rag ( A λi ) beror av c c Fall a) Om c så är ( A λ I ) Rag ( A λi ) och därmed dim(e (λa) dim(ker ( A λi )) Rag ( A λi ) Med adra ord har vi två li oberoede egevetorer för A (som är e x matris) Därmed är matrise A diagoaliserbar Fall b) Om c så är ( A λ I ) c I detta fall är Rag ( A λi ) och därmed dim(e (λa) dim(ker ( A λi )) Rag ( A λi ) (Med adra ord har vi max e li oberoede egevetorer för A ( x matris) Matrise A är ite diagoaliserbar Svar:Matrise A är diagoaliserbar i fölade fall: f: a b, alla c R f: a b och c 4 Uppgift 8 För vila värde på a och b är matrise A a diagoaliserbar? b (4 λ) Lösig: det( λ ) det( ( λ) (4 λ)( λ)( λ) A I a a b ( b λ) Evatioe det( A λi ) har tre lösigar λ 4, λ a och λ b Vi udersöer tre fall: Fall Alla lösigar till de arat evatioe det( A λi ) är olia Fall E eel och e dubbel rot Fall E trippel rot Fall Om alla tre lösigar är olia tal dvs a b, a 4 och b 4 så har matrise A (av typ x) tre olia egevärde och är därmed är A diagoaliserbar Fall Ata u att exat två lösigar är lia Vi betratar fölade situatioer: Fall a a 4, meda b 4 Vi har två egerum E (λa) och E (λb) Först dim(e (λb) ) eftersom λ b är e eel rot Frå A ai får vi att Rag ( A ai ) (otera att olo och tre är ( b 4) oberoede ) och därmed gäller dim(e (λa) ) dim(ker ( A ai ) ) Rag ( A ai ) Sida av 4

Därmed dim(e (λa) + dim(e (λb) )+ < Med adra ord har matrise A (av typ x) max li oberoede egevetorer och är därmed ite diagoaliserbar Fall b b 4, meda a 4 Vi har två egerum E (λa) och E (λb) Först dim(e (λa) ) eftersom λ a är e eel rot Frå A bi ( a 4) får vi att Rag ( A bi ) beror av a Vi ser att olo och olo är parallella om och edast om ( a 4) / / dvs om a 4 / Fall b i) Om a 4 / blir Rag ( A bi ) och därmed dim(e (λb) ) dim(ker ( A bi ) ) Rag ( A bi ) Därmed dim(e (λa) + dim(e (λb) )+ Därför är matrise diagoaliserbar Fall b ii) Om a 4 / blir Rag ( A bi ) och därmed dim(e (λb) ) dim(ker ( A bi ) ) Rag ( A bi ) Därmed dim(e (λa) + dim(e (λb) )+ Matrise är ite diagoaliserbar Fall c a b, meda a 4 Vi har två egerum E (λa) och E (λ4) Först dim(e (λ4) ) eftersom λ 4 är e eel rot 4 a Frå A ai får vi att Rag ( A ai ) (otera att olo och tre är oberoede ) och därmed gäller dim(e (λa) ) dim(ker ( A ai ) ) Rag ( A ai ) Därmed dim(e (λa) + dim(e (λb) )+ < Med adra ord har matrise A (av typ x) max li oberoede egevetorer och är därmed ite diagoaliserbar Fall a b 4 Vi har ett egerum E (λ4) Frå A 4I får vi att Rag ( A 4I ) (otera att olo och tre är oberoede ) och därmed gäller dim(e (λ4) ) dim(ker ( A 4I ) ) Rag ( A ai ) Därmed dim(e (λ4) < Med adra ord har matrise A (av typ x) max li oberoede egevetor och är därmed ite diagoaliserbar Uppgift 9 E vadratis matris A av typ har två egevärde: λ med tillhörade egevetor v och λ 5 med tillhörade egevetor v Bestäm A Sida av 4

Lösig: Metod : Vi har två villor: Villor : 4 A v Av, Villor : 5 5 5 A v Av som vi a uttryca med e matrisevatio 5 4 5 A 8 4 5 4 5 5 4 5 A Metod Eftersom vi har två liärt oberoede egevetorer (för e matris), är matrise diagoaliserbar och vi a lösa uppgifte med hälp av diagoaliserigsformel: A PDP där P och 5 D 8 4 5 4 5 5 PDP A Sida 4 av 4