a VEKTORRUMMET R, - dimesioella etorer.. STANDARDBASEN i R. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER LINJÄRT BEROENDE OCH OBEROENDE VEKTORER LINJÄRT HÖLJE (LINJÄRT SPAN) ----------------------------------------------------------------- VEKTORRUMMET R, - dimesioella etorer.. Vi a töa etorbegrepp och betrata rader ( eller oloer) med reella elemet som -dimesioella etorer. Mägde a alla sådaa etorer betecar i RR och allar etorrmmet RR. Vetorer i R betecar i oftast med små bostäer och pil oaför eller med små bostöer i fetstil. T e betratar i (,,, 8, ) och som -dimesioella etorer. 8 DEFINITION: Vetorrmmet R är mägde a alla reella -tipplar (ordade listor med reella tal) ds a a R {, där a, a,, a R } ( om i srier etorer på oloform ) a eller, om i aäder radetorer, RR {(aa, aa,., aa ) ddärr aa,., aa RR} ------------------------------------------------------------------------------------------------- Tå etorer (aa, aa,, aa ) ooooh (bb, bb,, bb ) är lia om och edast om aa bb, aa bb, ooooh aa bb Vi defiierar additio a tå etorer i (tal) λλ eligt eda R och mltipliatio med e reell salär (aa, aa,., aa ) (bb, bb,., bb ) (aa bb, aa bb,., aa bb ) Nolletor i rmmet RR är (,,.,). λλ(aa, aa,., aa ) (λλaa, λλλλ,., λλaa )

a Låt (aa, aa,, aa ) ooooh (bb, bb,, bb ) Lägde a e etor (aa, aa,, aa ) defiieras som (aa ) (aa ) (aa ) Ehetsetor är e etor ars lägde är. Salärprodt ( dot prodct) defiieras på följade sätt: Uppebart gäller aa bb aa bb aa bb Vi säger att tå etorer i RR, ooooh är ielräta ( ormala eller ortogoala) om. ----------------------------------------------------------------------------------------------- Defiitio. Låt λλ, λλ, λλ ara salärer (tal) och,,, etorer. Ett trc a följade tp λλ λλ λλ allas e lijär ombiatio a etorer,,,. --------------------------------------------------------------------------------------------------- STANDARDBASEN Vetorera ee (,,,,), ee (,,,,), ee (,,,,), ee (,,,,) ( som i ocså a sria som oloetorer) e, e,, e allas för stadardbase i R. Dem är ehetsetorer och paris ortogoala ( ielräta) mot aradra. Varje etor (aa, aa,, aa ) a ppebart srias som e lijär ombiatio a basetorera: (aa, aa,, aa ) aa ee aa ee aa ee

a Eempel a) (,,) (,,) (,,)(,,) ee ee ee Eempel b) ee ee ee ee Uppgift. Låt. Bestäm tå ehetsetorer som är parallella med. Lösig:. Vi har tå ehetsetorer som är parallella med : / / / och / / / Uppgift. Bestäm alla etorer som är ielräta ( ortogoala) mot både ooooh där. Lösig: Låt c ara e etor som är ielrät( ortogoal) Då är c ds och c ds. För att fia alla sådaa etorer löser i sstemet (t e Gassmetode)

a ( tå ledade ar, och tå fria och ) Låt t, s ; då s t, s t Hära Sar: s t c s t, där s och t är godtcliga ( reella) tal. s t s t s t. s t LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. LINJÄRT HÖLJE (LINJÄRT SPAN) Defiitio. Låt λλ, λλ,, λλ ara salärer och,,, etorer. Ett trc a följade tp λλ λλ λλ allas e lijär ombiatio a etorer,,,. Defiitio. Låt,,, ara etorer i R. Mägde a alla lijära ombiatioer a etorera,,, allas det lijära höljet (eller lijära spaet) a gia etorer och betecas Spa(,,, ) Alltså är SSSSSSSS (,,, ) {λλ λλ λλ, där λλ,, λλ RR} allas e lijär ombiatio a etorer,,,. Eempel. Beräa lijära ombiatioe - där Sar: 9 Eempel.

a Sri, om möjligt, etor som e lijär ombiatio a etorera, då a) b) Lösig: a) Vi ollar om sstemet har ågra lösigar på och. [Gass elim] Till slt, Sar a) b) Vi ollar om sstemet har ågra lösigar på och. implicerar [Gass elim] 9 [ige lösig] Sar b) Vetor a ite srias som e lijär ombiatio a och. Eempel. Låt,. Bestäm a) Spa( ) b) Spa (,)

6 a och tola geometris betdelse. Lösig: a) Spa() { t, t R} som är e rät lije geom origo. b) Spa (,) { t s, s, t R} som är ett pla geom origo. LINJÄRT BEROENDE OCH OBEROENDE VEKTORER Defiitio Låt V ara ett etorrm t e RR. Vetorera,, är LINJÄRT OBEROENDE om λλ λλ λλ λλ λλ λλ. ( ds eatioe har edast de triiala lösige) Vetorera,, LINJÄRT BEROENDE om eatioe λλ λλ λλ (eeeeeeee) har ice triiala lösigar ( ds om det fis e lösig där mist ett λλ ii ) och därmed mist e etor blad,, är e lijär ombiatio a adra etorer. Om,, är beroede etorer då är mist e a λλ ii sild frå, då a i ttrca etor ii som e lijär ombiatio a adra etorer. Därför begrepp BEROENDE etorer. Om i t e i relatioe (eeeeeeee) får λλ då är λλ (λλ λλ ) ds etor " beror" a adra etorer. Vi säger att är e lijär ombiatio a,. Eempel. Är följade tre etorer lijärt oberoede? och. Lösig: Eligt defiitioe, etorera,, är lijärt oberoede om ( och edast om) eatioe

a (*) har edast de triiala lösige,,., Alltså har eatioe (*) edast de triiala lösige,, och därför är etorera,, oberoede. Eempel. a) Är följade tre etorer lijärt oberoede? b) Om etorera är beroede bestäm maimalt atal lijärtoberoede etorer blad dem. c) Om etorera är beroede sri e etor som e lijär ombiatio a adra etorer och. Lösig: Vetorera,, är oberoede om ( och edast om) eatioe har edast de triiala lösige,,. ( Vi bter plats på tredje och fjärde e.),,

8 a Sstemet är lösbart, med tå ledade ariabler, och e fri ariabel, t. Lösbart sstem och mist e fri ariabel implicerar oädligt måga lösigar. ( t, t, t ) I årt fall betder detta att etorera är lijärt beroede. c) t t t för alla t. Vi förortar med t eller t e sbstiterar toch får e lijär ombiatio Hära ( d s är e lijärombiatio a och ) Sar a) Vetorera,, är beroede. b) Maimalt atal lijärt oberoede etorer blad dem är ( ledade ariabler). c) Eempel. a) För ila ärde på talet är följade tre etorer lijärt oberoede? b) Bestäm om det fis ett ärde på talet så att etorera blir beroede och, för detta, ttrc e etor som e lijär ombiatio a tå adra etorer. och. Lösig: Vetorera,, är oberoede om ( och edast om) eatioe har edast de triiala lösige,,. ( Vi bter plats på tredje och fjärde e.) ) ( ) (

9 a ( Först mltiplicerar i tredje e med. Därefter bter i plats på adra och tredje e.) ) ( ) ( [ -(-)*e e ] ) ( N har i följade tå fall: a) Om ( i a dela med -) har sstemet eat e lösig, de triiala lösige,, och därmed är etorera oberoede. b) Om blir sstemet I det här fallet har i e fri ariabel och därmed har sstemet oädligt måga lösigar t t t och därmed är etorera beroede Vi a sria ( om i t e äljer t och därmed, - och ) eller t e Kotroll: Om i sbstiterar i etor, ser i diret att relatioe stämmer för etorera och.

a Eempel 6. Låt och ara tå lijärt oberoede etorer i ett etorrm V. Bestäm om a och b är lijärt oberoede där i) a och b ii) a och b i) Lösig: a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eftersom och är eligt atagade oberoede (*) är möjligt edast om Sstemet har edast de triiala lösige och. Därför är a och b lijärt oberoede etorer. ii) Lösig: a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eftersom och är eligt atagade oberoede (*) är möjligt edast om Sstemet har oädligt måga lösigar ( t och t) Därför är a och b lijärt beroede etorer. Amärig: Det är ppebart att bb aa.