Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod ör umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder ör att bestämma e approimativ lösig till e såda evatio. E umeris metod som aväds ota är s.. NEWTON-RAPHSONS METOD. Amärig: För ummerisa beräigar i dea stecil a du aväda ett dataprogram (t e Maple eller miiräare. Fall. ENKEL ROT. Först betratar vi allet med eel rot till evatioe ( (eller rot av udda multiplicitete i itervallet [a,b]. Grae till utioe y ( sär -ael i e put som ligger i [a,b]. Låt y ( vara e otiuerlig deriverbar utio i itervallet [a,b]. Ata vidare att utioe har ett ollställe c i itervallet [a,b] och att är e put som ligger ära utioes ollställe (se edaståede igur. Alltså betecar c de eata lösige till evatioe (, meda är e approimatio av lösige. För att å bättre approimatio bestämmer vi särigspute mella -ael och tagete i pute P, ( ( Tagete geom pute P har evatioe y ' ( (. Särigspute med -ael år vi ör y= dvs ( ( (. ( Alltså är ( e y approimatio av lösige c. Vi a u aväda som ett ytt startvärde och beräa e y approimatio (. På samma sätt har vi ( '( av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod (Iteratiosormel ör Newto-Raphsos metod När ma umerist löser evatioe ( med Newto-Raphsos metod måste ma välja ett start värde som ligger i ärhete av de söta lösige. Detta a vi göra geom att rita grae till y ( med hjälp av dator eller miiräare (eller grovt sissera och rå grae välja de örsta approimatioe. Däreter aväder vi ormel ( ' ( och bestämmer ågra approimatioer till de eata lösige. (Formler av ovaståede typ, där beräas med hjälp av allas iterativa ormler. Precisiosravet (oggrahets rav ages ota på orme c. Amärig : Det är pratist att staa är (dvs är dierese mella två oseutiva värde är midre ä me detta garaterar ite att c. Däreter a vi olla om precisiosravet c är uppylld på öljade sätt. Tillräcligt villor ör precisiosravet c. Om ( och ( har olia tece (dvs ( ( då ligger e lösig mella putera ( och (. Med adra ord är avstådet mella och de eata lösige c midre ä och precisiosravet c är uppylld. Amärig: Vi a äve aväda ett räv till: ( ( där är ett givet litet tal som garaterar att utioes värde i pute är ära. I pratisa tillämpigar räver ma ota att båda rav: rav c ( tillräcligt villor ör detta är ( ( och rav ( är uppyllda. ============================================================== Eempel. Lös evatioe l(. 4 med Newto-Raphsos metod. Age e approimativ lösig med tre orreta decimaler dvs bestäm så att avstådet till det eata läsige c uppyller ravet c. 5. av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod Lösig: Steg. [Sriv evatioe på orme (. Rita grae ör utioe y ( och bestäm ett (litet itervall rut varje ollställe.] Först l(.4 l(.4 Futioe ( l(.4 har öljade gra Vi ser att ett ollställe ligger mella ochh dvs i itervallet [,]. Steg. [Välj startvärde ] Vi väljer startpute. ( Etersom utioe är oav i itervallett väljer vi pute i vile utioe har egativtt värde. Då ligger mella och de eata lösige Steg. [ Iteratioer dvs beräigar eligt ormel ( ]. Vi har ( l(.4 och därmedd ( Iteratio. Vi har ( ( ( l(.4.44 samt ( ( Därör Alltså. ( '(,4. I. (. (. '(. =.964787. av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod (Vi avrudar till tre decimaler etersom vi söer tre orreta decimaler i dea uppgit ( I..96667. De örsta tre decimaler i. örädras ite så har vi troligt tre orreta decimaler. Steg 4. Kotroll om ravet c. 5 är uppylld. Vi har aledig att ata att det eata ollstället ligger i itervallet (..5,..5 För att vara sära beräar vi utios värde i ädputera: (..5.5497 (..5.9949 Alltså de otiuerliga utioe ( har olia tece i itervallets ädputer. Därör måste ett ollställe ligga i itervallet (..5,..5. Därmed är. e approimativ lösig med tre orreta decimaler. Svar.. Amärig : Om vi beräar (..66 ser vi att utioes värde i pute. är ära. Amärig : Lösige (med 9 orreta decimaler är c=.96668. Amärig : Beräige går sabbare om vi örst bildar e utio (som besriver högra ledet i N-R ormel. ( g(, i vårt all l(.4 g ( och däreter beräar diret g(., g(.964787 och g(.96667 Eempel. (Uppgit 4 TEN5 apr. Evatioe har e egativ rot. Bestäm dea med tre orreta decimaler. Aväd Newto-Raphsos metod. Iteratiosormel och startvärde sall ramgå samt vila värde som räats ram ia slutvärdet. (p 4 av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod Lösig. Steg. Vi sriver om evatioe (lyttarr allt till e sida. Låt ( Grae till (:. Vi ser att e egativ rot liggerr mella och. Steg. Val av startpute. Vi väljer. Steg. Beräig: Vi har: ( och ( 6. Därör ( ( 6 Härav 4.667.549.5.5 Steg 4. Kotroll om precisiosravet är uppylld. 5 av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod De örsta tre decimaler i 5 örädras ite så har vi troligt tre orreta decimaler. Vi har aledig att ata att det eata ollstället ligger i itervallet (.5.5,.5.5 För att vara sära beräar vi utios värde i ädputera: (.5.5.6645, (.5.5,7869, Alltså de otiuerliga utioe ( har olia tece i itervallets ädputer. Därör måste ett ollställe ligga i itervallet (.5.5,.5.5. Därmed är. 5 e approimativ lösig med tre orreta decimaler. Svar:. 5 =========================================================== Sammaattigsvis har vi öljade steg ör att umerist lösa evatioe ( med Newto-Raphsos metod: Steg. Rita grae ör utioe y ( och bestäm ett (litet itervall rut varje ollställe. (Välj ice överlappade itervall om det is lera ollställe. Brå att veta. Låt utioe y ( är otiuerlig i itervallet [a,b]. Om (a och (b har olia tece då har utioe mist ett ollställe i [a,b]. (Med adra ord har evatioe ( mist e lösig i [a,b]. Steg. Välj e start put i itervallet [a,b]. Valet av är vitigt. Felatigt val av a leda till att processe divergerar eller att hamar utaör utioes deiitiosmägd. Några tips rig val av : i Välj ite e put ära utioes etremput. Tagete i e såda put är ästa parallell med -ael och örsta approimatio a hama lågt bort rå lösige äve utaör utioes deiitiosmägd. 6 av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod ii Ata att, ( i itervallet [a,b] samt ( a ( b (dvs ( a och ( b har olia tece. Sa vi välja a eller b ör start put? * Om utioe är ove ( ( i itervallet [a,b] då väljer vi ör startpute de ädputput i vile är utioe positiv. (se edaståede igurer * * Om utioe är oav ( ( i itervallet [a,b] då väljer vi ör startpute de ädputput i vile är utioe egativ. (se edaståede igurer Steg. Beräigar ( Steg 4. Kotroll om precisiosravet är uppylld dvs är c. 7 av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod Om ( och ( har olia tece då ligger e lösig mella putera ( och (. Med adra ord är avstådet mella och de eata lösige midre ä. Amärig. Om ( och iteratioer. har samma tece ortsätterr vi med lera ( Eempel. Bestäm alla lösigar, med tre orreta decimaler, till evatioe.. Lösig: Grae till (. Frå grae ser vi att evatioe har tre reella lösigar. Frå (. har vi ( 6 och därmedd iteratiosormel ( blir. 6 i För att bestämma örsta lösige (som ligger ära - väljer vi =.7888888889 =.74988 och år öljade iteratioer 8 av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod =.748484689 4 =.74848896 Vi har aledig att ata att vi har ått e approimativ lösig.748 med tre orreta decimaler. För att vara sära beräar vi utios värde i ädputera: (.748.5, (.748.5.6695. Alltså har de otiuerliga utioe ( olia tece i itervallets ädputer. Därör måste ett ollställe ligga i itervallet (.748.5,.748.5. Med adra ord har vi ått e approimativ lösig.748 med tre orreta decimaler. ii För att å de adra lösige som ligger väldigt ära a vi t e välja, Vi år =. och =.4569 Alltså är. e lösig med tre orreta decimaler. iii För att å de adra lösige a vi t e välja. 8 Vi har =.78 =.756564 =.757 Alltså är.75 e lösig med tre orreta decimaler. [ Det är eelt att otrollera att (.75.5 och (.75.5 har olia tece.] Svar: Tre reella lösigar:.748,. och.75, Eempel 4. Lös evatioe log med Newto-Raphsos metod. Age alla lösigar med 5 orreta decimaler. Lösig: Vi sriver om evatioe: log. Frå ( log har vi (. l Därmed ( log l 9 av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod Frå grae ser vi att utioe mella och. ( log har två ollställe, e e väldigt ära oll och e Lägg märe till att utioe är deiierad ör >. Vi måste vara v örsitiga med valet av så att ige put hamarr på de egativa dele av ael. i Vi börjar med ollställe som ligger ära. Etersom utioe är ove väljer vii startput ära i vile utioe har et positivt värde. Vi väljer. ( då blir ( =. dvs positivt och beräar =.56857 =.85586 Vi atar att.4 är e approimativ lösig med 5 orreta decimaler. Kotroll: (.4-.5 =.475 ochh (.4+.5=.6696 har olia tece. Därör måste ett ollställe ligga i itervallet (.4-.5,.4+ +.5.. Därmed är.4 e approimativ lösig med em orreta decimaler. Svar i.4 ii Vi väljer och år öljade iteratioer av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod =.886477 =.758979 =.75888 =.75888 4 ( Kotrollera själv att ( 4.5 och Svar ii.758 ( 4.5 har h olia tece Fall (Iormativt, ej obligatoris i dea urs. DUBELL ROT. R Om utioe har e dubbel rot c (eller e rot med jäm j multiplicitet i itervallet [a,b] då är c e etrem put (ma eller mi. ( Vi a aväda samma iteratiosormel, trots att processe overgerar ' ( lågsammare de här gåge. Feluppsattig. Vi staar är. Lägg märe till att utioe ( i det här allet har samma tece på båda sidor av ollställe. (Alltså vi a ite aväda riterium ( ( ör att bevisa att vi har uppått de söta oggrahete. För att bevisa att det eata lösige c uppyller c a vi aväda ( hjälputioe g( som har e e eel rot i samma put c. Därör a vi testa t om ' ( g( g(. Alltså, om g ( och g( har olia tece då ligger c i itervallet (, och vi har ått de söta oggrahe te. h( c. Därör g(.alltså är =c ett ollställe tilll g( av multiplicitete. Eempel 7. Bestäm alla lösigar, med två orreta decimaler, till evatioe 5. 7. 865 9. 75. Förlarig: Vi säger att ( har e rot c av multiplicitet omm ( ( c h( där ( ' ( ( c ( c h ( h( ( c Lösig: Grae till y ( 5. 7. 865 97. 75 ( c h( h( h( ( c h( av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod Frå grae ser vi att evatioe har e eel lösig mella och o och ase e dubbelrot mella och. (Det är ite % säert att maimum ligger påå -ael. Det a häda att utioes etremvärde är väldigt ära, t e lite midre ä, som är svårt att avgöra ebart med hjälp av grae. För att vara sära plottar vi äve hjälputioe ( 5. 7. 865.975 g(. ' (.4 7. 865 g ( och ( har samma ollställe me g ( (eter örortig har edast ollställe av multiplicitet. Grae till g( Grae till g( visar att både ( och g( har ett ollställe i itervallet (, och ett i (,. Nu a vi aväda NR-metod och bestämma rötter. i Först bestämmer vi de ela rote som ligger mella och.frå ( 5. 7. 865.975 har vi (.4 7. 865 Vi börjar med =.69 =.55 =.5 =.5 4 (. Iteratiosormel 5. 7. 865.975.4 7. 865 ger Vi har aledig att ata att vii har ått e approimativ lösig.5 med två orreta decimaler. För att vara sära beräar vi utios värde i ädputera: (.5.5.8 och (.5.5. 8 har olia tece drar vi slutsats att vi har ått e approimativ lösig.5 med två orreta decimaler. av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod ii Vi börjar med. Iteratiosormel ( 5. 7. 865 975. ger.4 7. 865 Vi har aledig att ata att vi har ått e approimativ lösig.5 med två orreta decimaler. (Notera att ( har samma tece på båda sidor av pute,5. För att vara sära att vi har ått två orreta decimaler beräar vi värde av hjälputioe g( i putera.5. 5 och.5. 5. Etersom g (.5.5.495 och g (.5.5.5495 har olia tece drar vi slutsats att. 5 är ett ollställe till g( och därmed till ( med två orreta decimaler. Svar:.5 och.5 (där.5 är e dubbelrot av