NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Relevanta dokument
NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.

Föreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

Analys av polynomfunktioner

Tentamen i Envariabelanalys 1

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

Kontrollskrivning 2 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: To Σ p P/F Extra Bonus

EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i närheten av punkten )

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, olikheter och binomialkoefficienter

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Förslag till övningsuppgifter FN = Forsling/Neymark, K = Kompendiet Vektorer, linjer och plan, ÖT = Övningstentamen

Betygsgränser: För (betyg Fx).

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Matematisk statistik

c k P ), eller R n max{ x k b dx def lim max n f ( def definition. [a,b] om

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

Multiplikationsprincipen

Stokastiska variabler

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal

Räkning med potensserier


= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

Sätesventiler (PN 16) VF 2-2-vägsventil, fläns VF 3-3-vägsventil, fläns

betecknas = ( ) Symmetriska egenskaper hos derivator av andra ordningen. (Schwarzs sats)

RELATIONER OCH FUNKTIONER

vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i en öppen omgivning D av punkten ) A =.

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

101. och sista termen 1

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

KTH/ICT IX1501:F7 IX1305:F2 Göran Andersson Statistik: Skattningar

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektrovetenskap. Tentamen i Digital Signalbehandling ESS040 (ETI240/ETI275)

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

= BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. a) Maclaurins formel

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik

Analys av funktioner och dess derivata i Matlab.

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Föreläsning 10: Kombinatorik

Tentamen i Elektronik, ESS010, del 2 den 14 dec 2009 klockan 14:00 19:00.

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. använder vi oftast induktionsbevis.

är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.

3-fastransformatorn 1

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Föreläsning G70 Statistik A

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

Taylors formel används bl. a. vid i) numeriska beräkningar ii) optimering och iii) härledningar inom olika tekniska och matematiska områden.

Icke-lineära ekvationer

Av Henrik 01denburg\ Radikaler. För att lösa ekv.: x n = a (n helt, pos. tal) konstruerar man kurvan

Ett system är asymptotiskt stabilt om det efter en övergående störning återgår till sitt begynnelsetillstånd.

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då

1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser.

IV. Ekvationslösning och inversa funktioner

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

arcsin(x) udda ( x) varken udda eller jämn alla reella tal ( 0, ) 1. y=a 1 x udda/jämn Värdemängd derivatan Definitionsmängd Arcusfunktioner

Andra ordningens lineära differensekvationer

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.

Introduktion till statistik för statsvetare

3 Samplade system. 3. Samplade system. Vad är ett samplat system? I ett tidskontinuerligt system är alla variabler x (t), y (t)

Något om funktionsföljder/funktionsserier

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Transkript:

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod ör umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder ör att bestämma e approimativ lösig till e såda evatio. E umeris metod som aväds ota är s.. NEWTON-RAPHSONS METOD. Amärig: För ummerisa beräigar i dea stecil a du aväda ett dataprogram (t e Maple eller miiräare. Fall. ENKEL ROT. Först betratar vi allet med eel rot till evatioe ( (eller rot av udda multiplicitete i itervallet [a,b]. Grae till utioe y ( sär -ael i e put som ligger i [a,b]. Låt y ( vara e otiuerlig deriverbar utio i itervallet [a,b]. Ata vidare att utioe har ett ollställe c i itervallet [a,b] och att är e put som ligger ära utioes ollställe (se edaståede igur. Alltså betecar c de eata lösige till evatioe (, meda är e approimatio av lösige. För att å bättre approimatio bestämmer vi särigspute mella -ael och tagete i pute P, ( ( Tagete geom pute P har evatioe y ' ( (. Särigspute med -ael år vi ör y= dvs ( ( (. ( Alltså är ( e y approimatio av lösige c. Vi a u aväda som ett ytt startvärde och beräa e y approimatio (. På samma sätt har vi ( '( av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod (Iteratiosormel ör Newto-Raphsos metod När ma umerist löser evatioe ( med Newto-Raphsos metod måste ma välja ett start värde som ligger i ärhete av de söta lösige. Detta a vi göra geom att rita grae till y ( med hjälp av dator eller miiräare (eller grovt sissera och rå grae välja de örsta approimatioe. Däreter aväder vi ormel ( ' ( och bestämmer ågra approimatioer till de eata lösige. (Formler av ovaståede typ, där beräas med hjälp av allas iterativa ormler. Precisiosravet (oggrahets rav ages ota på orme c. Amärig : Det är pratist att staa är (dvs är dierese mella två oseutiva värde är midre ä me detta garaterar ite att c. Däreter a vi olla om precisiosravet c är uppylld på öljade sätt. Tillräcligt villor ör precisiosravet c. Om ( och ( har olia tece (dvs ( ( då ligger e lösig mella putera ( och (. Med adra ord är avstådet mella och de eata lösige c midre ä och precisiosravet c är uppylld. Amärig: Vi a äve aväda ett räv till: ( ( där är ett givet litet tal som garaterar att utioes värde i pute är ära. I pratisa tillämpigar räver ma ota att båda rav: rav c ( tillräcligt villor ör detta är ( ( och rav ( är uppyllda. ============================================================== Eempel. Lös evatioe l(. 4 med Newto-Raphsos metod. Age e approimativ lösig med tre orreta decimaler dvs bestäm så att avstådet till det eata läsige c uppyller ravet c. 5. av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod Lösig: Steg. [Sriv evatioe på orme (. Rita grae ör utioe y ( och bestäm ett (litet itervall rut varje ollställe.] Först l(.4 l(.4 Futioe ( l(.4 har öljade gra Vi ser att ett ollställe ligger mella ochh dvs i itervallet [,]. Steg. [Välj startvärde ] Vi väljer startpute. ( Etersom utioe är oav i itervallett väljer vi pute i vile utioe har egativtt värde. Då ligger mella och de eata lösige Steg. [ Iteratioer dvs beräigar eligt ormel ( ]. Vi har ( l(.4 och därmedd ( Iteratio. Vi har ( ( ( l(.4.44 samt ( ( Därör Alltså. ( '(,4. I. (. (. '(. =.964787. av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod (Vi avrudar till tre decimaler etersom vi söer tre orreta decimaler i dea uppgit ( I..96667. De örsta tre decimaler i. örädras ite så har vi troligt tre orreta decimaler. Steg 4. Kotroll om ravet c. 5 är uppylld. Vi har aledig att ata att det eata ollstället ligger i itervallet (..5,..5 För att vara sära beräar vi utios värde i ädputera: (..5.5497 (..5.9949 Alltså de otiuerliga utioe ( har olia tece i itervallets ädputer. Därör måste ett ollställe ligga i itervallet (..5,..5. Därmed är. e approimativ lösig med tre orreta decimaler. Svar.. Amärig : Om vi beräar (..66 ser vi att utioes värde i pute. är ära. Amärig : Lösige (med 9 orreta decimaler är c=.96668. Amärig : Beräige går sabbare om vi örst bildar e utio (som besriver högra ledet i N-R ormel. ( g(, i vårt all l(.4 g ( och däreter beräar diret g(., g(.964787 och g(.96667 Eempel. (Uppgit 4 TEN5 apr. Evatioe har e egativ rot. Bestäm dea med tre orreta decimaler. Aväd Newto-Raphsos metod. Iteratiosormel och startvärde sall ramgå samt vila värde som räats ram ia slutvärdet. (p 4 av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod Lösig. Steg. Vi sriver om evatioe (lyttarr allt till e sida. Låt ( Grae till (:. Vi ser att e egativ rot liggerr mella och. Steg. Val av startpute. Vi väljer. Steg. Beräig: Vi har: ( och ( 6. Därör ( ( 6 Härav 4.667.549.5.5 Steg 4. Kotroll om precisiosravet är uppylld. 5 av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod De örsta tre decimaler i 5 örädras ite så har vi troligt tre orreta decimaler. Vi har aledig att ata att det eata ollstället ligger i itervallet (.5.5,.5.5 För att vara sära beräar vi utios värde i ädputera: (.5.5.6645, (.5.5,7869, Alltså de otiuerliga utioe ( har olia tece i itervallets ädputer. Därör måste ett ollställe ligga i itervallet (.5.5,.5.5. Därmed är. 5 e approimativ lösig med tre orreta decimaler. Svar:. 5 =========================================================== Sammaattigsvis har vi öljade steg ör att umerist lösa evatioe ( med Newto-Raphsos metod: Steg. Rita grae ör utioe y ( och bestäm ett (litet itervall rut varje ollställe. (Välj ice överlappade itervall om det is lera ollställe. Brå att veta. Låt utioe y ( är otiuerlig i itervallet [a,b]. Om (a och (b har olia tece då har utioe mist ett ollställe i [a,b]. (Med adra ord har evatioe ( mist e lösig i [a,b]. Steg. Välj e start put i itervallet [a,b]. Valet av är vitigt. Felatigt val av a leda till att processe divergerar eller att hamar utaör utioes deiitiosmägd. Några tips rig val av : i Välj ite e put ära utioes etremput. Tagete i e såda put är ästa parallell med -ael och örsta approimatio a hama lågt bort rå lösige äve utaör utioes deiitiosmägd. 6 av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod ii Ata att, ( i itervallet [a,b] samt ( a ( b (dvs ( a och ( b har olia tece. Sa vi välja a eller b ör start put? * Om utioe är ove ( ( i itervallet [a,b] då väljer vi ör startpute de ädputput i vile är utioe positiv. (se edaståede igurer * * Om utioe är oav ( ( i itervallet [a,b] då väljer vi ör startpute de ädputput i vile är utioe egativ. (se edaståede igurer Steg. Beräigar ( Steg 4. Kotroll om precisiosravet är uppylld dvs är c. 7 av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod Om ( och ( har olia tece då ligger e lösig mella putera ( och (. Med adra ord är avstådet mella och de eata lösige midre ä. Amärig. Om ( och iteratioer. har samma tece ortsätterr vi med lera ( Eempel. Bestäm alla lösigar, med tre orreta decimaler, till evatioe.. Lösig: Grae till (. Frå grae ser vi att evatioe har tre reella lösigar. Frå (. har vi ( 6 och därmedd iteratiosormel ( blir. 6 i För att bestämma örsta lösige (som ligger ära - väljer vi =.7888888889 =.74988 och år öljade iteratioer 8 av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod =.748484689 4 =.74848896 Vi har aledig att ata att vi har ått e approimativ lösig.748 med tre orreta decimaler. För att vara sära beräar vi utios värde i ädputera: (.748.5, (.748.5.6695. Alltså har de otiuerliga utioe ( olia tece i itervallets ädputer. Därör måste ett ollställe ligga i itervallet (.748.5,.748.5. Med adra ord har vi ått e approimativ lösig.748 med tre orreta decimaler. ii För att å de adra lösige som ligger väldigt ära a vi t e välja, Vi år =. och =.4569 Alltså är. e lösig med tre orreta decimaler. iii För att å de adra lösige a vi t e välja. 8 Vi har =.78 =.756564 =.757 Alltså är.75 e lösig med tre orreta decimaler. [ Det är eelt att otrollera att (.75.5 och (.75.5 har olia tece.] Svar: Tre reella lösigar:.748,. och.75, Eempel 4. Lös evatioe log med Newto-Raphsos metod. Age alla lösigar med 5 orreta decimaler. Lösig: Vi sriver om evatioe: log. Frå ( log har vi (. l Därmed ( log l 9 av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod Frå grae ser vi att utioe mella och. ( log har två ollställe, e e väldigt ära oll och e Lägg märe till att utioe är deiierad ör >. Vi måste vara v örsitiga med valet av så att ige put hamarr på de egativa dele av ael. i Vi börjar med ollställe som ligger ära. Etersom utioe är ove väljer vii startput ära i vile utioe har et positivt värde. Vi väljer. ( då blir ( =. dvs positivt och beräar =.56857 =.85586 Vi atar att.4 är e approimativ lösig med 5 orreta decimaler. Kotroll: (.4-.5 =.475 ochh (.4+.5=.6696 har olia tece. Därör måste ett ollställe ligga i itervallet (.4-.5,.4+ +.5.. Därmed är.4 e approimativ lösig med em orreta decimaler. Svar i.4 ii Vi väljer och år öljade iteratioer av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod =.886477 =.758979 =.75888 =.75888 4 ( Kotrollera själv att ( 4.5 och Svar ii.758 ( 4.5 har h olia tece Fall (Iormativt, ej obligatoris i dea urs. DUBELL ROT. R Om utioe har e dubbel rot c (eller e rot med jäm j multiplicitet i itervallet [a,b] då är c e etrem put (ma eller mi. ( Vi a aväda samma iteratiosormel, trots att processe overgerar ' ( lågsammare de här gåge. Feluppsattig. Vi staar är. Lägg märe till att utioe ( i det här allet har samma tece på båda sidor av ollställe. (Alltså vi a ite aväda riterium ( ( ör att bevisa att vi har uppått de söta oggrahete. För att bevisa att det eata lösige c uppyller c a vi aväda ( hjälputioe g( som har e e eel rot i samma put c. Därör a vi testa t om ' ( g( g(. Alltså, om g ( och g( har olia tece då ligger c i itervallet (, och vi har ått de söta oggrahe te. h( c. Därör g(.alltså är =c ett ollställe tilll g( av multiplicitete. Eempel 7. Bestäm alla lösigar, med två orreta decimaler, till evatioe 5. 7. 865 9. 75. Förlarig: Vi säger att ( har e rot c av multiplicitet omm ( ( c h( där ( ' ( ( c ( c h ( h( ( c Lösig: Grae till y ( 5. 7. 865 97. 75 ( c h( h( h( ( c h( av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod Frå grae ser vi att evatioe har e eel lösig mella och o och ase e dubbelrot mella och. (Det är ite % säert att maimum ligger påå -ael. Det a häda att utioes etremvärde är väldigt ära, t e lite midre ä, som är svårt att avgöra ebart med hjälp av grae. För att vara sära plottar vi äve hjälputioe ( 5. 7. 865.975 g(. ' (.4 7. 865 g ( och ( har samma ollställe me g ( (eter örortig har edast ollställe av multiplicitet. Grae till g( Grae till g( visar att både ( och g( har ett ollställe i itervallet (, och ett i (,. Nu a vi aväda NR-metod och bestämma rötter. i Först bestämmer vi de ela rote som ligger mella och.frå ( 5. 7. 865.975 har vi (.4 7. 865 Vi börjar med =.69 =.55 =.5 =.5 4 (. Iteratiosormel 5. 7. 865.975.4 7. 865 ger Vi har aledig att ata att vii har ått e approimativ lösig.5 med två orreta decimaler. För att vara sära beräar vi utios värde i ädputera: (.5.5.8 och (.5.5. 8 har olia tece drar vi slutsats att vi har ått e approimativ lösig.5 med två orreta decimaler. av

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod ii Vi börjar med. Iteratiosormel ( 5. 7. 865 975. ger.4 7. 865 Vi har aledig att ata att vi har ått e approimativ lösig.5 med två orreta decimaler. (Notera att ( har samma tece på båda sidor av pute,5. För att vara sära att vi har ått två orreta decimaler beräar vi värde av hjälputioe g( i putera.5. 5 och.5. 5. Etersom g (.5.5.495 och g (.5.5.5495 har olia tece drar vi slutsats att. 5 är ett ollställe till g( och därmed till ( med två orreta decimaler. Svar:.5 och.5 (där.5 är e dubbelrot av