School of Mthemtics nd Systems Engineering Reports from MSI - Rpporter från MSI En skrp version v Iliev-Sendovs hypotes Elin Berggren Feb 009 MSI Report 09005 Växjö University ISSN 650-647 SE-35 95 VÄXJÖ ISRN VXU/MSI/MA/E/--09005/--SE
Abstrct The Iliev-Sendovs conjecture consists of the following sttement: When p(z) = (z z )(z z ) (z z n ) is polynomil of degree n, whose ll zeros re in the unit disc, there is t lest one zero of the derivtive p (z) within unit length from ech given zero of the polynomil p(z). The hypothesis is proven for polynomils of degrees n 8. The purpose of this essy is to investigte the Iliev-Sendovs conjecture. Bsed on given zero point in the unit disc, I would like to identify sufficient nd possibly smller region E n () thn the circulr region within unit length from the zero t, where ech point of E n () should correspond to zero of the derivtive p (z). I lso wnt to serch for prts of E n () for polynomils of degree n 3. Alredy for polynomils of degree two the cse is tht the idel re E () is significntly smller, in prticulr { E () = z : z } For polynomils of degree three I hve shown tht z z : 3 6 E 3() Furthermore, I hve shown tht { E n (0) = z : z } n n When 0 <, I find tht the ellipse described by the eqution ( x ) + y = 4 nd its interior, is subset of E n ().
Smmnfttning Iliev-Sendovs hypotes består v följnde påstående: Då p(z) = (z z )(z z ) (z z n ) är ett polynom v grd n, vrs ll nollställen ligger i enhetsskivn, ligger det åtminstone ett nollställe till derivtn p (z) inom en längdenhet från vrje nollställe till polynomet p(z). Hypotesen är bevisd för polynom v grdtl n 8. Syftet med denn uppsts är tt studer Iliev-Sendovs hypotes. Utifrån ett givet nollställe i enhetsskivn vill jg identifier ett tillräckligt och eventuellt mindre område E n () än det som begränss inom en längdenhet från nollstället, där vrje punkt motsvrs v ett nollställe till derivtn p (z). Jg vill också sök efter delr v E n () för polynom v grd n 3. Redn för polynom v grd två gäller det tt det optiml området E () är betydligt mindre än det som begränss v cirkeln med rdien en längdenhet, nämligen E () = { z : z }. { För polynom v grd tre hr jg vist tt z : } z 3 E 3 (). 6 För ll polynom jg hr studert hr jg börjt med tt fixer ett nollställe i origo och hr då funnit tt { E n (0) = z : z } n n När jg fixerr ett nollställe till ett polynom v grd n i en punkt z =, där 0 <, finner jg tt ellipsen som beskrivs v ekvtionen ( x ) + y = 4 och dess innndöme är en delmängd v E n ().
Innehåll Inledning 4. Iliev-Sendovs hypotes...................... 9 Andrgrdspolynom. Två exempel............................ Ett godtyckligt ndrgrdspolynom med nollställen i enhetsskivn................................. 3.3 Fllet: = 0, b = re iθ (r ).................. 5.4 Fllet: godtyckligt i enhetsskivn, b = re iθ (r )..... 8.5 Smmnfttning v ndrgrdspolynom............ 9.6 Två exempel på polynom v grd tre.............. 3 Inlednde resultt kring polynom v grd n 5 3. Sträckor som ingår i E n ()................... 7 4 Teoribkgrund 3 4. Konvexitet............................ 3 4. Fllet då nollstället till ett polynom p(z) v grd n, ligger på enhetscirkeln.......................... 36 5 Tredjegrdspolynom 4 5. Krftkällor och jämviktspunkter................ 4 5. E 3 (0)............................... 43 5.3 E 3 ()............................... 46 5.4 E 3 ()............................... 48
6 Polynom v grd n 54 6. E n (0)............................... 54 6. E n ()............................... 56 7 Resultt 66 3
Inledning Ett komplext polynom är ett uttryck som kn skrivs på formen p(z) = 0 + z + z +... + n z n där 0,... n är givn komplex tl. Om z är ett nollställe till polynomet p(z) så säger fktorstsen tt (z z ) är en delre till p(z) och enligt lgebrns fundmentlsts så hr vrje polynom v grd minst ett nollställe. [5] Vrje polynom p(z) v grd n, kn därmed lltid skrivs på formen: p(z) = n (z z )(z z ) (z z n ) där z,z...z n är nollställen till polynomet. Kn mn skp ett polynom utifrån ett ändligt ntl givn punkter i plnet? J, om mn låter punktern vr nollställen till något polynom så finns det oändligt mång polynom tt välj på. Kn mn flytt punkter i plnet för tt studer dem i ett visst område? J, mn kn lltid förflytt ett system v punkter i plnet genom trnsltion, rottion och diltion. Jg kommer tt illustrer dett med tre exempel. Jg kommer tt förflytt tre punkter i plnet vrv jg låter två v dem, z och z, vr nollställen till ett ndrgrdspolynom. Im z w = z z 0 Im w z z 0 z w w 0 w Re w Bilden visr hur punktern z 0, z och z hr trnslterts genom funktionen w = z z 0. 4
Om mn förflyttr nollställen till ett polynom p(z), vd händer då med polynomet och dess derivt p (z)? Låt oss börj med tt studer polynomet med vseende på trnsltion. Exempel.. Sätt p(z) = (z z )(z z ) och förflytt z och z som i bilden ovn. Jg måste då uttryck z och z på ett nnt sätt då de ej ligger kvr på sin plts. Kll z och z för w respektive w på sin ny plts. Jg får då en ny vribel, kll den w som beror v z, i ett nytt koordintsystem. w = (z z 0 ) w = (z z 0 ) w = (z z 0 ) Kll det ny polynomet med nollställen i w och w, för q(w). q(w) = (w w )(w w ) = ((z z 0 ) (z z 0 ))((z z 0 ) (z z 0 )) = (z z )(z z ) = p(z) Jg hr här förvisst mig om tt polynomet q(w) är det smm som polynomet p(z) i ett nnt koordintsystem. I följnde exempel studerr vi ett polynom med vseende på rottion. Exempel.. Sätt z = 4 i 4, z 0 = 0 och z = 4 4i. Jg vill nu vrid punktern z och z kring origo med vinkeln π 4. Avståndet melln punktern z och z 0 respektive z och z 0 är då längdenheter och kommer tt bevrs genom vridningen. Låt z och z vr nollställen till polynomet p(z) = (z z )(z z ). z och z kn nu vrids kring origo genom tt jg flyttr dem till ett nytt koordintsystem med en ny vribel w. Dett görs med hjälp v funktionen w = e i π 4 z. w = e i π 4 z w = e i π 4 z w = e i π 4 z 5
Kll det ny polynomet med nollställen i w och w för q(w). q(w) = (w w )(w w ) = (e i π 4 z e i π 4 z )(e i π 4 z e i π 4 z ) = e i π (z z )(z z ) = e i π p(z) w = e i π 4 z Im z Im w z z 0 w w 0 w z Re w Polynomet q(w) hr smm egenskper som p(z) i ett nnt koordintsystem, det vill säg tt nollställen till polynomet q(w) förhåller sig till vrndr på smm sätt som nollställen till p(z) förhåller sig till vrndr. w =, w 0 = 0 och w =. Bilden visr hur funktionen w = ei π 4 z överför punktern z, z 0 och z från tlplnet med z som vribel, till punktern w, w 0 och w i tlplnet med w som vribel. Funktionen w = e i π 4 z vrider punktern en vinkel π 4 så tt de hmnr på den reell xeln. I följnde exempel studerr vi ett polynom med vseende på diltion. Exempel.3. Sätt z =, z 0 = 0 och z =. Avståndet melln z och z 0 respektive z och z 0 är längdenheter. Jg vill nu sträck ut dett vstånd till en längdenhet genom en diltion. Jg nvänder mig v vribeln w och polynomet q(w). z, z 0 och z sträcks isär med hjälp v funktionen w = z. Jg får då en längdenhet melln nollställen istället. 6
Polynomet q(w) i det ny koordintsystemet kommer tt förhåll sig till p(z) = (z z )(z z ) på följnde sätt q(w) = (w w )(w w ) = ( z z )( z z ) = 8(z z )(z z ) = 8p(z) w = z Im z Im w z z 0 z w w 0 w Re w Nollställen jg förflyttt i föregående tre exempel kn förflytts med en end funktion. Denn funktion ser i dett fll ut på följnde sätt w = e i π 4 (z z0 ) Det slutlig polynomet q(w), i sist exemplet, förhåller sig till det ursprunglig polynomet p(z), i det först exemplet, på följnde sätt 7
q(w) = (w w )(w w ) = ( e i π 4 (z z 0 ) e i π 4 (z z 0 ))(( e i π 4 (z z 0 ) e i π 4 (z z 0 )) = 8e i π (z z )(z z ) = 8e i π p(z) Allmänt kn en smmnsättning v rottion, trnsltion och diltion skrivs w = re iθ (z z 0 ) Förhållndet melln q(w) och p(z) kn för ndrgrdspolynom då skrivs q(w) = r e iθ p(z) För polynom v grdtl n skrivs dett smbnd q(w) = r n e inθ p(z) Hur förhåller sig då q (w) till p (z) vid förflyttningen med en funktion w = r(z z 0 )e iθ? För tt se smbndet melln derivtorn till ndrgrdspolynomen p(z) = (z z )(z z ) och q(w) = (w w )(w w ), måste jg deriver polynomet q(w) med vseende på w som i sin tur är en vribel som beror på z. Jg vet tt w = re iθ (z z 0 ). q (w) = w w w = re iθ (z z 0 ) re iθ (z z 0 ) re iθ (z z 0 ) = re iθ (z z z ) = re iθ p (z) För polynom v grd n kn vi skriv dett smbnd på följnde sätt 8
q (w) = d dw q(w) = d dw rn e inθ p(z) = d dz rn e inθ p(z) dz dw = d dz rn e inθ p(z) re iθ = r n e i(n )θ p (z) Där r n e i(n )θ är en konstnt. Jg är intresserd v tt studer smbndet melln nollställen till ett polynom och nollställen till dess derivt. I det här vsnittet hr jg vist tt funktionen w = re iθ (z z 0 ) bevrr smbndet melln polynomets nollställen och derivtns nollställe. Vidre vet jg tt denn funktion innebär en smmnsättning v trnsltion, rottion och diltion. Det spelr då inte någon roll vr i plnet jg studerr ett system v punkter eller nollställen då jg lltid kn förflytt det.. Iliev-Sendovs hypotes Om vi studerr enhetsskivn kn vi dr slutstser om ndr skivor också. Vi kn lltid flytt en skiv till enhetsskivn genom trnsltion och normering v skivn. Vi får ett smbnd melln polynomet i först skivn och polynomet i enhetsskivn. Motsvrnde smbnd finns melln polynomens derivtor. I följnde bild viss hur en cirkelskiv med rdien r och medelpunkt i z 0 överförs på enhetscirkeln genom funktionen w = r (z z 0). 9
Im z w = r (z z 0) Im w i i r z 0 Re w Jg rbetr hädnefter enbrt med polynom vrs nollställen ryms i enhetsskivn. Om p(z) = (z z )(z z ) (z z n ) är ett polynom v grd n, vrs ll nollställen ligger i enhetsskivn, gäller det då tt det inom en längdenhet till vrje nollställe finns åtminstone ett nollställe till derivtn p (z)? Denn hypotes klls för Iliev-Sendovs hypotes och är bevisd för polynom v grd 8 []. Im z z k i I bilden viss området det tls om i hypotesen, som det streckde området kring z k. Området som begränss inom en längdenhet från z k i hypotesen är en cirkel- 0
skiv. Denn cirkelskiv är ett onödigt stort område. All nollställen till derivtn ligger nämligen i enhetsskivn då nollställen till polynomet ligger i enhetsskivn. [7] Jg återkommer till dett lite längre frm.
Andrgrdspolynom. Två exempel Betrkt ett polynom v grd två som hr sin nollställen i enhetsskivn. T till exempel polynomet p(z) = (z )(z i) med nollställen i och i. En beskrivning v derivtns nollställe får jg på följnde sätt. p (z) = (z i) + (z ) = z i p (z) = 0 z i = 0 z = + i Derivtn hr ett nollställe i z = + i som är mittpunkten melln och i. Im z i z = + i I bilden viss mittpunkten z = + i, melln punktern i och. För tt nu ge läsren något tt jämför med, betrkt ett polynom v grd tre, till exempel polynomet q(z) = (z ) (z + ) med ett nollställe i och ett dubbelt nollställe i. En beskrivning v derivtns nollställen får jg på smm sätt som tidigre. q (z) = (z )(z + ) + (z ) = (z )((z + ) + (z )) = (z )(3z + )
q (z) = 0 (z )(3z + ) = 0 z =,z = 3 Derivtns nollställen ligger på en linje melln polynomets nollställen, det en i polynomets dubbelnollställe och det ndr i 3. Im z Im z i i 3 Polynomets nollställen. Derivtns nollställen.. Ett godtyckligt ndrgrdspolynom med nollställen i enhetsskivn Ett komplext polynom v grd två, med lednde koefficient, kn skrivs p(z) = (z )(z b) där och b är nollställen till polynomet p(z). Polynomets derivt kn beskrivs på följnde sätt Nollstället z 0 till derivtn fås genom p (z) = z b p (z 0 ) = 0 z 0 = + b Dett betyder tt nollstället till derivtn ligger precis på mittpunkten melln och b. Bildern nedn visr tre exempel på hur dett kn se ut. 3
b z 0 z 0 b z 0 b Smm resultt fås med en godtycklig lednde koefficient. Mitt mål är tt kunn tl om exkt inom vilket område, i det komplex tlplnet, det lönr sig tt let efter z 0 i om och b ligger i enhetsskivn och då eller b är känt. Avståndet melln ett nollställe, till ett polynom v grd två, och nollstället z 0 till derivtn kn beskrivs som z 0 = + b = b b + b = + = Avståndet melln och b kn ldrig vr större än l.e. då och b ligger i enhetsskivn. Dett medför tt vståndet melln och z 0 smt b och z 0 ldrig kn vr större än l.e. Mn kn här se tt Iliev-Sendovs hypotes stämmer för n =. Bildern nedn visr tre exempel på vstånden melln, b och z 0 då och b ligger i enhetsskivn. 4
b z 0 z 0 b b z 0 Låt följnde figur beskriv enhetscirkeln där z 0 är mittpunkten på sträckn [,b]. I figuren kn mn geometriskt förviss sig om tt vståndet melln z 0 och respektive z 0 och b ldrig kn överstig l.e. z 0 b.3 Fllet: = 0, b = re iθ (r ) Låt ett nollställe vr fixt i origo och låt nollstället b vrier fritt i enhetsskivn. Jg vill nu identifier det område som innehåller ll z 0. Jg vet 5
tt z 0 måste ligg precis på mittpunkten melln och b. z 0 = + b = 0 + reiθ = r eiθ När b vndrr runt på enhetscirkeln, dvs då r =, så måste även z 0 vndr runt på en rnd. Denn rnd bildr en cirkel c med medelpunkt i origo och rdie. b b c Bilden till vänster visr någr möjlig nollställen till derivtn som är smmnbundn till en cirkel. Bilden till höger visr cirkeln c med medelpunkt i och rdien l.e. Cirkeln c utgörs v ll nollställen till derivtn då ligger i origo och b ligger på enhetscirkeln. Låt nu b vndr in mot som hålls fixerd i origo. 6
b z 0 Då b vndrr in mot längs en rät linje krymper vståndet melln och b, vilket resulterr i tt även vståndet melln och z 0 krymper längs den rät linjen. Dett sker kontinuerligt och innebär då tt hel linjen melln och z 0 i figuren längst till vänster kommer tt tillhör området jg söker. När b ligger på rnden så är det ett mximlt vstånd till z 0 från eftersom jg hr begränst mig till enhetsskivn. När b vndrr in i enhetsskivn längs en rät linje dvs när r < så kommer även z 0 tt vndr in längs smm rät linje i den skiv som hr c som rnd. Låter jg nu denn rät linje roter ett helt vrv, får jg med mig hel cirkelskivn med rnden c. c b Det streckde området i bilden är det område jg sökt. 7
Dett område kn beskrivs som mängden v ll z 0 sådn tt p (z 0 ) = 0, p(z) = z(z b) och b. { z0 : p (z 0 ) = 0,p(z) = z(z b), b } { = z : z }.4 Fllet: godtyckligt i enhetsskivn, b = re iθ (r ) Låt nu nollstället vr fixt i en godtycklig punkt i enhetsskivn. Låt det ndr nollstället b vrier i enhetsskivn. Jg vet tt om och b är känd så finner vi derivtns nollställe z 0 mh ekvtionen z 0 = + b Derivtns nollställe ligger lltså mitt på sträckn melln och b. Bildr ll sådn mittpunkter också en cirkelskiv? b b b Bildern ovn illustrerr följnde resonemng. Låt z 0 vr nollstället till p (z). Nollstället z 0 kn då beskrivs på följnde sätt. z 0 = + b = + reiθ = + r eiθ Dett uttryck beskriver en cirkel med medelpunkt i z = och rdien r l.e. 8
Då vi låter b vrier i enhetsskivn kommer rdien r l.e. tt vrier melln 0 och l.e. Vi får då en hel cirkelskiv. Mn kn även se det som tt är fixerd medn b vrierr i z. Dennn mängd kn skrivs på följnde sätt. { z 0 : z 0 } Mängden beskriver en cirkelskiv med rdien l.e. är en fixerd punkt som bestämmer vr cirkelskivn sk ligg. är lltså medelpunkten i den sökt cirkelskivn. Svret på min fråg, om vilken form det sökt området hr, är lltså en cirkelskiv..5 Smmnfttning v ndrgrdspolynom Ett polynom v grd två med lednde koefficient ett, kn skrivs p(z) = (z )(z b) där och b är nollställen till polynomet. Antg tt och b ligger i enhetsskivn. p(z) hr en derivt vrs nollställe z 0 ligger inom en längdenhet från både och b vilket viss nedn. z 0 = + b z 0 = b + b + = Avståndet melln och z 0 är lltså mindre än eller lik med l.e. Det minst område där jg kn finn åtminstone ett nollställe till derivtn, beskrivs v en cirkelskiv med rdie l.e. och medelpunkt i z =. 9
I figuren viss det minst område för ndrgrdspolynom, där vi kn finn nollstället till derivtn, som den streckde cirkelskivn med medelpunkt i och rdien l.e. vilket även beskrivs v uttrycket z. Jg vill kunn prt om dett område som ett område där vrje punkt motsvrs v derivtns nollställe till något ndrgrdspolynom med ett nollställe i z =. Det skulle vr br med ett smlingsnmn på dess polynom. Jg formulerr därför följnde definitioner. Definition.. De polynom v grd två, med lednde koefficient, med båd nollställen i enhetsskivn vrv ett ligger i z =, bildr en klss v polynom som jg betecknr P (). P () = {p(z) p(z) = (z )(z b), b } Definition.. Låt E () beteckn det område som utgörs v ll nollställen till derivtor p (z) sådn tt p(z) P (). E () = { z 0 p (z 0 ) = 0,p(z) P () } där tvån står för polynomets grdtl och är ett nollställe till p(z). Med hjälp v definitionern ovn kn jg nu formuler följnde sts. Sts.3. { E () = z : z } 0
Im z Im z E () Bilden till vänster visr den cirkel som omsluter mängden E () med medelpunkt i. Bilden till höger illustrerr hur hel mängden E () ser ut för ett visst nollställe z =..6 Två exempel på polynom v grd tre I följnde exempel vill jg studer hur derivtns nollställen till ett polynom v grd tre, förhåller sig till polynomets nollställen. Exempel.4. Studer polynomet p(z) = (z )(z + i)(z i). p (z) kn skrivs på följnde sätt. p(z) = (z )(z + i) + (z )(z i) + (z + i)(z i) = 3z z + Derivtns nollställen finner vi på följnde sätt.
p (z) = 0 z 3 z + 3 = 0 ( z ) 3 9 + 3 = 0 ( z ) = 3 9 z 3 = ± 3 i z = 3 ± 3 i Derivtn hr lltså två nollställen, ett i z = 3 + 3 i och ett i z = 3 3 i. Kll dess nollställen för z respektive z. Bilden nedn visr geometriskt vr derivtns nollställen ligger i förhållnde till nollställen till polynomet p(z). i z z i Vilket v nollställen z och z sk vi då låt tillhör E 3 ()? Då = i (i exemplet ovn) är det självklrt tt vi väljer z då det ligger närmst z = i och vi vill h ett så litet område E 3 () som möjligt. På smm sätt då = i väljer vi tt låt z tillhör området E 3 (). Då = får vi problem med urvl om vi väljer ett v nollställen. Jg väljer därför tt låt båd två tillhör E 3 ().
Låt näst exempel vis vd som kn händ med derivtns nollställen när ett tredjegrdspolynom hr ett dubbelt nollställe i en punkt. Exempel.5. Låt p(z) vr ett polynom med ett nollställe i z = och ett dubbelt nollställe i z =. p(z) = (z )(z + ) p (z) = (z + ) + (z )(z + ) = (z + )(3z ) p (z) = 0 (z + )(3z ) = 0 { z + = 0 3z = 0 { z = z = 3 Im z 3
Ett nollställe till derivtn hmnr lite närmre z = än z =. Det ndr nollstället till derivtn hmnr i dubbelnollstället z =, vilket är mrkert med en ring i figuren ovn, till polynomet p(z). På smm sätt som i exempel.4 måste jg nu välj ett lämpligt nollställe till derivtn som sk ingå i E 3 (). Jg väljer det nollställe till derivtn som ligger närmst z = och låter det tillhör E 3 (). I dett fllet blir det z = 3. Om det är området E 3( ) jg är intresserd v så är det z = som sk ingå då det ligger närmst. Mn kn nu fråg sig hur det område jg söker skulle se ut för ett nollställe till ett polynom v grd tre då dett kn h fler nollställen till derivtn. Området skulle beteckns E 3 () för ett nollställe till ett polynom tillhörnde en klss som skulle klls P 3 (). Jg är intresserd v ett område kring där jg kn finn åtminstone ett nollställe till derivtn. En observtion jg kn gör redn nu är tt nollstället måste tillhör området E 3 () då det finns ett polynom p(z) = (z ) 3 där är det end nollstället till derivtn p (z). För tt dett område sk bli så litet som möjligt räcker det tt det innehåller åtminstone ett v nollställen till derivtn v vrje polynom med ett nollställe i z =. Det är då lämpligt tt låt det nollställe som i någon mening ligger så när som möjligt vr med. Jg återkommer till dett i näst kpitel. 4
3 Inlednde resultt kring polynom v grd n Då vi hr tt gör med polynom v grd två, med ett nollställe på rnden till enhetscirkeln och det ndr godtyckligt vlt i enhetsskivn, så förvissr mn sig lätt om tt området E () är lik med denn cirkelskiv som tngerr enhetscirkeln i z =. För polynom tillhörnde P () gäller lltid tt E () = { z : z }. För polynom v högre grd än två är området som innehåller åtminstone ett nollställe till derivtn lik med { z : z } om och endst om = dvs om nollstället ligger på rnden till enhetscirkeln [7,s.648]. Medelpunkten i dett område är z =. Då dett gäller för polynom v ll grdtl väljer jg hädnefter tt t med det eller de nollställen till derivtn som ligger närmst punkten z =, i det sökt området. Definition 3.. De polynom v grd n med ll nollställen i enhetsskivn, vrv ett är, bildr en klss v polynom som jg betecknr P n (). { } n P n () = p(z) : p(z) = (z ) (z z k ), z k, k n k= Definition 3.. Låt E n () beteckn det område som utgörs v ll punkter z 0, sådn tt p (z 0 ) = 0 för något p(z) i P n () och z 0 är det nollställe eller ett v de nollställen som ligger närmst punkten z =. { E n () = z 0 : p (z 0 ) = 0, z 0 { w } } = min : p (w) = 0,p P n () w Så här långt hr vi sett tt området kring ett nollställe till ett polynom p(z) som innehåller åtminstone ett nollställe till derivtn inte behöver vr så stort som en cirkelskiv med rdien en längdenhet. Målet med rbetet är tt geometriskt och mtemtiskt beskriv områden E (), E 3 () och E n () så exkt som möjligt. För någr speciell nollställen kn områden identifiers fullständigt. Jg kommer tt utgå från exempel där jg tr frm nollställen och derivtns nollställen till någr utvld polynom. Jg kommer även tt behöv nvänd mig v mer teori och generell egenskper hos nollställen till polynom och dess derivts nollställen i enhetsskivn. Följnde två stser är generell observtioner som vi behöver senre. 5
Sts 3.3. För vrje n och vrje med, gäller tt E n () Bevis. Vi kn skp ett polynom p(z) = (z ) n tillhörnde P n (). Derivtn kn då skrivs p (z) = n(z ) n p (z) = 0 n(z ) n = 0 z = Alltså: z = är det end nollstället till derivtn p (z) och därmed E n () Sts 3.4. För vrje n och vrje med, gäller tt 0 E n () Bevis. Vi kn skp ett polynom p(z) = z n n där vrje nollställe z till p(z) uppfyller Vilket visr tt p(z) P n (). z n = n z n = n z = Bilden nedn visr hur nollställen till exempelvis polynomet p(z) = z 8 8 ligger jämnt fördelde längs en cirkel med medelpunkt i z = 0 och rdien längdenheter. 6
Im z Derivtn p (z) kn skrivs på följnde sätt p (z) = 0 nz n = 0 z = 0 p (z) = nz n Alltså: z = 0 är ett nollställe till derivtn p (z) och därmed vet jg tt 0 E n (). I kommnde vsnitt kommer jg tt diskuter resultt och observtioner utifrån det jg nu vet om området E n (). Då jg är ute efter området E n () där vrje punkt tillhörnde E n () motsvrr ett nollställe till derivtn till något polynom med ett nollställe i z =, börjr jg med tt titt på någr punkter som måste tillhör området. 3. Sträckor som ingår i E n () Studer återigen polynomet p(z) = z n n Dett polynom hr ett nollställe i z =. p (z) hr ett end nollställe i z = 0. Polynomet p(z) hr sin nollställen jämnt fördelde på en cirkel med rdien längdenheter och medelpunkt i origo. 7
Om vi krymper denn cirkel in mot z = får vi en cirkel som tngerr den ursprunglig från insidn i z =. Medelpunkten m i denn mindre cirkeln är då nollstället till derivtn till det krympt polynomet. Dett illustrers i bilden nedn. 0 m Bildern nedn illustrerr hur jg genom sklning v cirklr kn få vilken punkt som helst på sträckn [0, ] tt vr det end nollstället till derivtn till något polynom p(z), dvs en medelpunkt m, till vilken cirkel som helst i de två bildern till höger, är ett nollställe till derivtn till något polynom p(z). m m Dett ger tt hel sträckn [0,] måste tillhör området E n () då 0. 8
Alltså { E n () 0 E n () = [0,] E n (), 0 Om jg låter ligg en bit in i enhetsskivn så kn jg få med lite till utöver sträckn [0,] i E n (). Låt för enkelhetens skull ligg på den reell xeln. Jg kn bild cirklr som går genom z = och som tngerr enhetscirkeln i z = och z =, se bild nedn. En sådn cirkel kommer tt h sin medelpunkt utnför sträckn [0, ]. Då jg kn skp ett polynom med nollställen jämnt fördelde på en cirkel så måste denn cirkelns medelpunkt vr det end nollstället till derivtn till något polynom med ett nollställe i z =. Den vänstr figuren nedn visr cirklr som går genom punkten z = och som tngerr enhetscirkeln i z = och z =. Im z Dess cirklrs medelpunkter ligger då i z = respektive z = +. Då jg [ kn krymp dess cirklr in mot z = så vet jg tt vrje punkt på sträckn, + ] motsvrs v ett nollställe till derivtn till något polynom med ett nollställe i z =. Den högr bilden ovn visr sträckn [, + ] med ett grövre streck. Jg kn nu formuler följnde sts. Sts 3.5. För 0 gäller tt [, + ] E n () 9
Noter tt mittpunkten på sträckn [, + ] är just z =. När jg låter vr ett godtyckligt komplext tl i enhetsskivn kn sträckn som ingår i E n () se ut som i följnde figur. Im z 30
4 Teoribkgrund Vd kn mn säg om läget v derivtns nollställen då polynomets nollställen är känd? 4. Konvexitet I dett vsnitt sk jg vis tt om polynomets nollställen ligger i enhetsskivn så ligger även derivtns nollställen i enhetsskivn. Jg kommer vidre tt undersök vilk geometrisk egenskper E n () hr. Definition 4. (Konvexitet). [6,s.9] En mängd M i ett lineärt rum, är konvex om det för vrje pr v punkter i mängden gäller tt sträckn som smmnbinder dett pr också tillhör mängden. Definition 4. (Konvext hölje). [6,s.30] Låt M vr en mängd. Snittet v ll konvex mängder som innehåller M utgör det konvex höljet till M. Det är självklrt tt området E () både är stjärnkonvext med vseende på och konvext då det är en cirkelskiv. Om jg hr ett polynom v grd n, ligger då nollställen till dess derivt i det konvex höljet till polynomets nollställen? Jg vill nu formuler en sts och för tt kunn redogör för den behöver jg nvänd mig v följnde lemm. Lemm 4.3 (Den logritmisk derivtn). Givet n stycken punkter i plnet betecknde,,... n. Till dess punkter finns ett polynom p(z) = n (z k ) k= med punktern som nollställen. z k, k =,,...n. Då gäller följnde påstående. p (z) n p(z) = () z k k= 3
Bevis. n = : p(z) = (z ) p (z) = VL= p (z) p(z) = z =HL Induktionsntgnde: Antg tt ekvtion () är snn för n = m dvs tt D( m k= (z k)) m k= (z = k) m k= z k Jg vill nu vis tt ekvtion () då även är snn för n = m + dvs tt D( m+ k= (z m+ k)) m+ k= (z = k) k= z k D( m+ k= (z k)) m+ k= (z k) = D((z m+) m k= (z k)) (z m+ ) m k= (z k) = (z m+)d( m k= (z k))+ m k= (z k)) (z m+ ) m k= (z k) = m k= (z k) (z m+ ) m k= (z k) + (z m m+)d( k= (z k)) (z m+ ) m k= (z k) = z m+ + m k= = m+ k= z k z k Dett tillsmmns med induktionsxiomet bevisr lemmt. Jg sk nu redogör för svret på frågn om nollställen till p (z) ligger i det konvex höljet till nollställen till polynomet p(z). För tt gör det behöver jg följnde sts. Sts 4.4. Det konvex höljet till en ändlig mängd punkter i plnet, bildr en polygon. Bildern nedn illustrerr stsen. En ändlig mängd punkter i plnet begränss v rät linjer som bildr en polygon. 3
En konvex polygon kn ses som skärningr melln ändligt mång hlvpln, där vrje hlvplns rnd är den linje som fås genom tt förläng en sid i polygonen. Från vrje ändlig mängd punkter i plnet kn mn bild en polygon. Dett görs på följnde sätt. Börj med tt dr en rät linje sådn tt ll punkter ligger på smm sid om linjen. Låt linjen närm sig punktern tills den går genom en punkt. Vrid sedn linjen i denn punkt så tt den går genom ytterligre en punkt. Jg hr nu två punkter på linjen och resternde smlde på smm sid om linjen. Mn kn se det som tt ll punkter ligger i det hlvpln som hr min linje som rnd. Jg hr nu bildt en sid i polygonen. Bild näst sid genom tt vrid linjen ytterligre tills den går genom två punkter igen. All punkter ligger nu i det hlvpln som hr denn linje som rnd och det är nu näst sid i polygonen. Fortsätt på smm sätt tt vrid linjen åt smm håll tills först punkten nås igen. Bilden i mitten ovn visr hur det kn se ut när vi hr vridit linjen runt hel mängden punkter. Bilden längst till höger visr den konvex polygon vi får då vi tr snittet v ll hlvpln med den rät linjen som rnd. Sts 4.5. [7] Nollställen till p (z) ligger i det konvex höljet till nollställen till polynomet p(z). Bevis. Sorter nollställen till p(z). Låt,,... m vr nollställen till p(z) och hörn i den polygon P som utgörs v det konvex höljet till nollställen till p(z). Kll de eventuellt resternde nollställen till p(z) för m+, m+,... n Låt k0 vr ett godtyckligt hörn i polygonen P, där k 0 m. Min 33
strtegi är nu tt trnslter polygonen så tt k0 hmnr i origo för tt sedn vrid polygonen en vinkel θ så tt ll hörn i polygonen får en icke negtiv reldel och en sid i polygonen smmnfller med den imginär xeln. Sätt den ny vribeln till w. Då jg nu flyttt koordintsystemet så tt origo ligger i nollstället k0 och gjort en vridning en vinkel θ, kn jg beskriv den ny vribeln som w = e iθ (z k0 ). Vrje nollställe k till p(z) motsvrs nu v ett nollställe b k till ett polynom q(w) i det ny koordintsystemet, dvs b k = e iθ ( k k0 ). Även derivtorn p (z) och q (w) hr motsvrnde smbnd. Kll den ny polygonen för Q. Bildern nedn beskriver förloppet jg tänker mig när jg trnslterr och vrider polygonen P och bildr polygonen Q. Im w Im z k0 Q P θ b k0 Re w Låt vidre w 0 vr ett godtyckligt nollställe till q (w). Jg vill nu vis tt Re(w 0 ) måste vr ickenegtiv. Sätt q(w) = (w b )(w b ) (w b n ) = n k= (w b k) Enligt Lemm 4.3 så gäller tt q(w) = n k= (w b k) = n k= eiθ (z k ) = e inθ p(z) q (w) n q(w) = k= w b k 34
Antg tt Re(w 0 ) < 0. Jg skriver nu om högerledet i uttrycket ovn. n k= w b k = n k= Jg tittr nu på reldelen v dett uttryck w b k w b k Re( q (w 0 ) n q(w 0 ) ) = w k= 0 b k Re(w 0 b k ) }{{} =Re(w 0 b k )(negtivt) Vrje term i summn är negtiv eftersom lltid är positivt och w 0 b k Re(w 0 b k ) < 0 då jg ntgit tt Re(w 0 ) < 0. Alltså är Re( q (w 0 ) ) < 0, så q (w 0 ) q(w 0 ) 0 och därmed är q (w 0 ) 0. Jg hr nu vist tt Re(w 0 ) < 0 q (w 0 ) 0 q(w 0 ) och kn nu med hjälp v stslogikens kontrposition dr slutstsen tt q (w 0 ) = 0 Re(w 0 ) 0 w 0 måste därmed h en icke negtiv reldel. Då jg kn vrid och trnslter polygonen Q så tt vrje sid kn smmnfll med den imginär xeln och så tt hel polygonen hmnr i högr hlvplnet, så måste w 0 ligg inuti polygonen eller på dess rnd. Dvs w 0 som är ett godtyckligt nollställe till q (w) ligger i det konvex höljet till nollställen till polynomet q(w). Dett innebär tt motsvrnde nollställe z 0 till p (z) ligger i polygonen P, dvs i det konvex höljet till nollställen till polynomet p(z). Jg kn nu formuler följnde följdstser. Sts 4.6. Om p(z) hr ll nollställen i enhetsskivn så hr p (z) ll nollställen i enhetsskivn. Bevis. Antg tt ll nollställen till p(z) ligger i enhetsskivn. Enligt sts 4.4 bildr det konvex höljet till nollställen till p(z), en polygon. Enligt sts 4.5 ligger nollställen till p (z) i det konvex höljet till nollställen till p(z) och därmed i polygonen. Denn polygon är en delmängd v enhetsskivn. Alltså ligger även ll nollställen till p (z) i enhetsskivn. 35
Sts 4.7. E n () är en delmängd v enhetsskivn. Bevis. Då ll nollställen till p(z) ligger i enhetsskivn så ligger, enligt föregående sts, även ll nollställen till p (z) i enhetsskivn. Då E n () utgörs v nollställen till p (z) är E n () en delmängd v enhetsskivn. 4. Fllet då nollstället till ett polynom p(z) v grd n, ligger på enhetscirkeln Låt p(z) vr ett polynom med ett nollställe på enhetscirkeln och med övrig nollställen i enhetsskivn. Det hr vist sig tt då nollstället till polynomet p(z) ligger på enhetscirkeln så kn vståndet, en längdenhet från, det tls om i Iliev-Sendovs hypotes, krymps. Området kn beskrivs som den cirkelskiv med en rdie på längdenhet som tngerr enhetscirkeln inifrån i nollstället. [7] Beviset som följer finns redogjort för i [4]. För tt underlätt formuleringen vrider jg mitt koordintsystem så tt nollstället hmnr i z =. Antg tt p(z) är ett polynom v grd n+ med ll nollställen i enhetsskivn vrv ett i z =. n p(z) = (z ) (z z k ) Jg vill nu vis tt det då ligger åtminstone ett nollställe till derivtn i cirkelskivn med medelpunkt i z = och rdien längdenhet. Dvs tt det finns ett w sådnt tt p (w) = 0 och w k=. 36
Im z Im z i i z 4 z 3 z z z 0 = w Den vänstr figuren visr ett slumpvis urvl v nollställen till något polynom p(z) med ett nollställe i z =. Den högr bilden beskriver det jg vill vis, dvs tt det ligger åtminstone ett nollställe w till derivtn inom den fylld cirkelskivn. (w sk tillhör den fylld cirkelskivn men behöver nödvändigtvis inte ligg på ngiven plts i figuren.) Jg börjr med tt deriver polynomet p(z) två gånger och ntr tt p(z) inte hr något dubbelnollställe i z =, dvs ntg tt z k. n n n p k= (z) = (z z k ) + (z ) (z z k) z z k k= k= p (z) = n n k= (z z k) k= z z k + n n k= (z z k) k= z z k + (z )r(z) = n n k= (z z k) k= z z k + (z )r(z) där polynomet r(z) inte är v betydelse då jg sk studer fllet z = och termen (z )r(z) då försvinner. Ett knep är nu tt titt på kvoten melln ndrderivtn och förstderivtn till polynomet p(z) i punkten z =. 37
p () p () = n n k= ( z k) k= z k n k= ( z k) n = z k k= Å ndr sidn är p (z) ett polynom v grd n och kn skrivs på formen n p (z) = c (z w k ) k= Antg här tt w k. Om w k = så är vi klr då { w : } w Andrderivtn till polynomet p(z) kn då skrivs på följnde sätt n n p k= (z) = c (z w k) z w k k= och kvoten p () p () kn då istället skrivs som nedn. p () n p () = k= w k Titt nu på den vbildning då z vbilds på z. Denn vbildr en cirkel som går genom punkten z =, på en rät linje. Enhetscirkeln vbilds på den lodrät linje som går genom z =. Cirkeln med medelpunkt i z = och rdie längdenhet vbilds på den lodrät linje som går genom z =. Im z w = z Im w Re w 38
Im z w = z Im w Re w Titt nu på reldelen v kvoten p () p () = n k= z k. Eftersom vrje z k ligger i enhetsskivn så gäller följnde. Därv förljer tt Re z k Re p () n p () = Re n z k = n k= Använd nu tt p () p () även kn skrivs som n k= w k och därv följer tt n k= w k Re n k= w k n hr n st termer, vilket innebär tt för åtminstone en v dem gäller tt Re w k, för något k. Dett innebär tt w k (för något k) tillhör cirkelskivn med medelpunkt i z = och rdien längdenhet som innehåller åtminstone ett w sådnt tt p (w) = 0. Vilket skulle beviss. 39
Jg hr nu redogjort för beviset v tt det inom en cirkelskiv med medelpunkt i z = och rdien finns åtminstone ett nollställe till derivtn v polynomet p(z) då p(z) hr ett nollställe z = på enhetscirkelns rnd och övrig nollställen i enhetsskivn. Därmed kn jg formuler följnde följdsts. Sts 4.8. E n () { z : z } och för ll med = gäller { E n () z : z } För området E () är likhet visd i stsen ovn. Se sts.3. 40
5 Tredjegrdspolynom Ett godtyckligt polynom p(z) v grd tre, med lednde koefficient ett, kn skrivs p(z) = (z z )(z z )(z z 3 ) där z, z och z 3 är nollställen till polynomet. Dess derivt kn då skrivs på följnde sätt. p (z) = (z z )(z z 3 ) + (z z )(z z 3 ) + (z z )(z z ) Jg börjr dett vsnitt med tt beskriv hur mn kn se på nollställen till p (z) och p(z) som jämviktspunkter respektive krftkällor i plnet [7,s644]. Dett under förutsättning tt nollstället till p (z) inte är något nollställe till p(z). 5. Krftkällor och jämviktspunkter T en titt på konjugtet till den logritmisk derivtn för ett tredjegrdspolynom med tre olik nollställen. p (z) p(z) = + + = z z z z z z z z 3 z z z z + z z z z z z + z z 3 z z 3 z z 3 Jg hr förlängt vrje term i summn med z z k och utnyttjt tt z z = z. I dett uttryck kn jg tolk z z k och z z k z z k där k =,,3, som en vektor respektive normerd vektor. Fktorn z z k är positiv och kn tolks som storleken v vektorn z z k. Jg väljer tt tolk denn vektor som en krft. Vi hr lltså summn v tre olik krfter i plnet. z z z z z z + z z z z z z + z z 3 z z 3 z z 3 Vi ser också tt krften från vrje nollställe eller krftkäll, vtr när vståndet till nollstället ökr, eftersom fktorn z z k då minskr. 4
Summn v de tre krftern ovn utgör krftresultnten i plnet. Där krftresultnten är noll hr vi jämvikt. I de fll v tredjegrdspolynom som hr två nollställen till derivtn, hr vi två jämviktspunkter i ett system med tre krftkällor. Vi hr en krftkäll i vrje nollställe till tredjegrdspolynomet. I bilden nedn visr jg med krftpilr hur två punkter är påverkde v nollställen z =, z = i och z = i till polynomet i exempel.4. i i Summn v dess krfter blir noll då punktern de verkr i är nollställen till derivtn p (z) och krftkällorn z =, z = i och z = i är nollställen till p(z). Dess punktern är lltså jämviktspunktern till krftkällorn z =, z = i och z = i. Med hjälp v dett tnkesätt kn mn lättre förstå tt ett nollställe till ett polynoms derivt ldrig kn ligg utnför det konvex höljet till polynomets nollställen. Krftern från krftkällorn kn ldrig t ut vrndr i en punkt utnför det konvex höljet. All punkter utnför det konvex höljet är påverkde v krfter bort från det konvex höljet och skulle därför ldrig kunn vr jämviktspunkter till krftkällorn. I kommnde vsnitt kommer jg tt studer vståndet melln ett fixert nollställe i origo, till ett tredjegrdspolynom p(z), och ett nollställe till derivtn för tt t red på hur området E 3 (0) ser ut. 4
5. E 3 (0) Betrkt nu ett polynom p(z) v grd tre med tre olik nollställen z = z 0, z = z och z = z i enhetsskivn. Låt z = z 0 ligg i origo och låt de övrig nollställen till polynomet vr z = e i π 6 respektive z = e i π 6. Låt tredjegrdspolynomets nollställen vr krftkällorn i plnet. p(z) = (z z 0 )(z z )(z z ) = z(z z )(z z ) Nollställen till polynomet p(z) bildr hörn i en liksidig tringel med sidn längdenhet. Låt hörnen i tringeln vr krftkällor i plnet. Jämviktspunkten till krftkällorn ligger i tringelns tyngdpunkt då vi hr en liksidig tringel. Tyngdpunkten i en liksidig tringel finner vi i medinerns skärningspunkt vilken delr vrje medin i förhållndet : räknt från motsvrnde hörn [9,s.33-34]. I en liksidig tringel är medinern lik med bisektrisern vilk är 3 längdenheter lång. På följnde sätt får jg då frm hur långt in från ett hörn i tringeln tyngdpunkten ligger. 3 3 = 3 Tyngdpunkten finner jg då 3 längdenheter från ett godtyckligt hörn i tringeln. Utgår jg nu från hörnet som ligger i origo så ser jg tt tringelns tyngdpunkt ligger i z = 3. Im z 43
Låter jg nu denn liksidig tringel roter kring origo så kommer jämviktspunkten till tringelns hörn tt ligg på cirkeln z = 3. Vrje punkt på denn cirkel tillhör därmed E 3 (0). Om jg krymper tringlrn mot z = 0 inses tt hel skivn tillhör E 3 (0). { z : z } E 3 (0) 3 Figurern nedn visr vd som händer med jämviktspunktern om vi låter polynomets nollställen ligg i origo, i en godtycklig punkt på enhetscirkeln och dess konjugt på enhetscirkeln. Im z Im z 3 3 Bildern visr med pilr hur jämviktspunktern förflyttr sig då nollställen till polynomet flyttr sig längs enhetscirkeln. När polynomets nollställen inte bildr en liksidig tringel längre så kommer vi tt h två jämviktspunkter i systemet och vi kommer lltid tt hitt åtminstone en inom vståndet 3 längdenheter från origo. Dett formulers i följnde sts. Sts 5.. Låt p(z) vr ett P 3 (0)-polynom. Låt vidre w och w vr nollställen till p (z). Då gäller tt w 3 eller w 3. Det vill säg E 3 (0) { z : z } 3 44
Bevis. Sätt p(z) = z(z z )(z z ), z, z p (z) = (z z )(z z ) + z(z z ) + z(z z ) = 3z z(z + z ) + z z Välj nu tt skriv p (z) på följnde sätt: p (z) = 3(z w )(z w ) = 3z 3z(w + w ) + 3w w Den konstnt termen 3w w måste vr lik med konstnten z z. 3w w = z z w w = 3 z z w w = 3 z z 3 = 3 Eftersom w w 3 så är ntingen w 3 eller w 3 } Enligt Sts 5. gäller det tt E 3 (0) {z : z 3 och eftersom vi tidigre } vist tt {z : z 3 E 3 (0) så följer det tt E 3 (0) = { z : z } 3 Bilden nedn visr området E 3 (0), dvs det minst område som innehåller åtminstone ett nollställe till derivtn till ett P 3 (0)-polynom, som ett streckt område. 45
Im z 3 5.3 E 3 () Sedn tidigre vet jg tt E 3 () { z : z }. Jg vill här vis hur nollställen till derivtn följer med längs den lill cirkelns rnd z =, som konjugt till vrndr när de två rörlig nollställen till ett tredjegrdspolynom ligger på enhetscirkelns rnd som konjugt till vrndr. Se bilden nedn. Im z i Betrkt nu ett tredjegrdspolynom med ett nollställe i z = och låt de två övrig ligg på enhetscirkelns rnd som konjugt till vrndr. p(z) = (z )(z z )(z z ) där z = x + iy och z = x iy, x 46
p (z) = (z )(z z ) + (z )(z z ) + (z z )(z z ) = 3z (z + + z + + z + z )z + z + z + z z = 3z (4x + )z + x + p (z) = 0 z 4x + z + x + = 0 3 3 ( z x + ) ( ) x + + x + 3 3 3 z = x + ( ) x + x + ± i 3 3 3 = 0 Test om ett v dess nollställen uppfyller ekvtionen z =. z ( ) = x + x + x + + i 3 3 3 ( ) = 4x x + x + + i 6 3 3 (4x ) = + x + ( ) x + 6 3 3 6x = 8x + (x + ) + 4(4x + 4x + ) 36 36 36 9 = 36 = Dett visr tt en nollstället till derivtn p (z) ligger på rnden till den cirkel som går genom z = och z = 0 och hr rdien längdenheter. Av symmetriskäl ligger även det ndr nollstället på denn cirkel. 47
Genom krympning v polynomet och dess nollställen in mot z = kommer nollställen till derivtn tt följ med och kryp in mot z =. På så sätt kommer hel cirkelskivn z tt tillhör området E 3(). Från teoribkgrunden vet vi också tt denn cirkelskiv innehåller åtminstone ett nollställe till derivtn när polynomet hr ett nollställe i z =. Dett innebär tt området E 3 () är just denn cirkelskiv. Sts 5.. { E 3 () = z : z } Om = så är E 3 () = { z : z } 5.4 E 3 () Vi vet tt om = 0 så finner vi åtminstone ett nollställe till derivtn v ett tredjegrdspolynom i cirkelskivn med rdien 3 längdenheter och medelpunkt i origo. Då = så gäller det även för tredjegrdspolynom tt vi kn finn åtminstone ett nollställe till derivtn inom den cirkelskiv som tngerr enhetscirkeln i z = och hr rdien längdenheter. Jg är nu intresserd v vd som gäller då vi låter nollstället till ett tredjegrdspolynom, vndr in i enhetsskivn från dess rnd. Jg börjr med tt bild liksidig tringlr med två hörn på enhetscirkeln, z = x ± iy, z = x ± iy och ett i z =, där 0 < <. Dess tringlrs tyngdpunkter är då nollställen till derivtorn v de polynom med nollställen i tringlrns hörn. 48
Im z Im z Jg hr i föregående vsnitt vist med hjälp v någr exempel, hur nollstället till derivtn kommer tt del upp sig då tringeln inte är liksidig men likbent. Dett illustrers även här i figuren till höger där jg hr låtit nollställen på enhetscirkeln svep som konjugt till vrndr längs rnden. Det ligger nu när till hnds tt giss tt nollställen till derivtorn ovn bildr en cirkel. Jg börjr med tt t frm ett uttryck för derivtns nollställen som jg kn nvänd för tt säkerställ formen på det område som derivtns nollställen bildr. Polynomet med ett nollställe i z =, 0 och två nollställen som konjugt till vrndr på enhetscirkeln kn skrivs p(z) = (z )(z z )(z z ) där z = x + iy, z = x iy och z z = där x x x. p(z) = (z )(z z )(z z ) = (z )(z (x + iy))(z (x iy)) = (z )((z x) + y ) = (z )(z xz + ) p (z) = (z xz + ) + (z )(z x) = z xz + + z xz z + x = 3z (4x + )z + x + 49
Sätt 3z (4x + )z + x + = 0 z 4x + z + x + = 0 3 3 z = x + 3 z = x + 3 z = x + 3 z = x + 3 Jg hr nu ett uttryck för derivtns nollställen z 0. (x ) + ± x + 3 3 4x ± + 4x + 6x + 3 9 9 4x ± x + 3 3 x 4x ± + 3 i 3 z 0 = + x 3 x 4x ± + 3 i 3 Jg utnyttjr nu ovnstående uttryck för z 0 för tt t red på dimetern på den eventuell cirkeln. Sätt imginärdelen till noll för tt t frm det värde på x som ger ett nollställe till derivtn på den reell xeln så långt från z = som möjligt. Sätt x 4x + 3 = 0. x x + 3 4 = 0 x = 4 ± 6 3 4 x = 3 4 ± 4 Sätt nu in dess värden på x i uttrycket för z 0 50
z 0 = + x 3 = + ( ) 4 ± 3 4 3 = 3 ± 3 3 = ± 3 6 Jg vill nu vis tt ll z 0 ligger på rnden till en cirkelskiv. Rdien på cirkelskivn är i så fll 3 6 längdenheter och medelpunkten är z =. Jg sk lltså vis tt z 0 = +x z = 3 6 3 + x 4x +3 3 i uppfyller cirkelns ekvtion: 5
z + x = 3 + 4x 3 = 6 x 4x + + 3 i 3 x 4x + + 3 i 3 (4x ) = + x 4x + 3 6 9 = 6x 8x + 36 + 8x 6x 4 + 36 = 3 6 3 Dett visr tt ll nollställen z 0 ligger på cirkeln med rdien 6 längdenheter och medelpunkt i z =. I figuren nedn viss hur någr nollställen z 0 binds ihop med en cirkel. Im z Då vi kn krymp vrje polynom med två nollställen på enhetscirkelns rnd och ett i z =, mot z = så kommer nollställen z 0 till derivtn tt 5
följ med kontinuerligt in mot z = och vi får med oss hel cirkelskivn z 3 6 i området E 3 (). Jg vslutr nu dett kpitel genom tt formuler följnde sts. Sts 5.3. För 0 är cirkelskivn z 3 6 är en delmängd v området E 3 (). Generellt gäller tt z 0 : z 3 6 E 3() 53
6 Polynom v grd n I dett kpitel vill jg beskriv ett område som måste ingå i E n (). Jg börjr även här med tt lägg ett nollställe till polynomet i origo för tt se hur området E n (0) ser ut. 6. E n (0) Jg tittr nu på polynom v grdtl n med ett nollställe i origo. Jg är intresserd v hur området E n (0) ser ut för ett godtyckligt grdtl n och hur det kn förändrs då jg låter polynomets grdtl stig. Sätt p(z) = z(z z )(z z ) (z z n ), z i,i =,...n. Polynomet p(z) kn även skrivs på följnde sätt. p(z) = z(z z )(z z ) (z z n ) = z n +... + ( ) n z z z n z p (z) = nz n +... + ( ) n z z z n Välj nu tt skriv p (z) på följnde sätt: p (z) = n(z w )(z w ) (z w n ) = nz n +... + n( ) n w w w n Den konstnt termen n( ) n w w w n måste vr lik med konstnten ( ) n z z z n. nw w w n = z z z n w w w n = n z z z n w w w n = n z z z n w w w n n Dett ger oss tt w i n, för något i. n 54
Sist steget kn beviss på följnde sätt. Antg tt w i > n, för ll i =,,...,n. n Då är w w w n > ( Men ( n n ) n = n och jg vet tt w w w n n, lltså måste n- vr flskt. tgndet w i > n n n n) n. Alltså vet vi tt w i n, för något i =,...n. n Sts 6.. E n (0) är en delmängd v cirkelskivn med medelpunkt i origo och rdien n n längdenheter. E n (0) { z : z } n n { } Jg vill nu vis tt även z : z n E n n (0) gäller. Polynomet p(z) = z n z hr sin nollställen jämnt fördelde på enhetscirkeln. Derivtn p (z) = nz n hr sin nollställen jämnt fördelde på cirkeln med medelpunkt i origo och rdien n längdenheter. Dett ger oss tt hel cirkelskivn n z n n måste tillhör E n(0). Sts 6.. E n (0) = { z : z } n n Vd händer då med w i om vi låter n gå mot oändligheten? w i n n = n n = e ln n n = e n lnn = e ln n n n e 0 = Dett betyder tt den cirkelskiv, som rymmer något nollställe till derivtn, sväller och närmr sig enhetsskivn då vi låter polynomets grdtl gå mot oändligheten. Bilden nedn visr hur skivn med rdien n längdenheter går mot enhetsskivn. Det är denn inre skiv som beskriver området E n n (0). 55
n n (0, 0) Jg sk nu gå vidre med tt beskriv en delmängd v området E n (). 6. E n () Jg vill nu vis hur mn genom cirklr kn skp polynom v grdtl n med endst ett nollställe till derivtn. Jg kommer sedn tt sml ihop dess nollställen till derivtn för tt beskriv en delmängd v området E n (). Lägg en cirkel i enhetsskivn som går genom punkten z = och låt något polynom p(z) h ll sin nollställen jämnt fördelde längs denn cirkel, med utgångspunkt i z =. Vi vet då tt cirkelns medelpunkt är det end nollstället till derivtn p (z). Denn medelpunkt måste då tillhör området E n (). I bilden nedn viss någr exempel på cirklr som går genom punkten z = vilks medelpunkter tillhör E n (). 56
Im z Bild nu cirklr som går genom punkten z = och låt dem sväll så tt de tngerr enhetscirkeln inifrån. Dett för tt få störst möjlig vstånd till cirklrns medelpunkter från z =. Det område som vgränss v ll sådn cirklrs medelpunkter måste tillhör området E n (). I bilden nedn viss någr cirklr som går genom z = och som tngerr enhetscirkeln inifrån. I denn bild hr jg även vridit ner punkten z = så tt den ligger på den reell xeln, för tt underlätt räkningrn lite frmöver. Im z Jg undrr nu vd det är för typ v område som ll medelpunkter, till dess cirklr, bildr. 57
Jg vill komm åt ll de tngernde cirklrns medelpunkter för tt kunn beskriv området de bildr. Det är då lämpligt tt börj med beskrivningen v tngeringspunkten med enhetscirkeln. Vrid koordintsystemet så tt hmnr på den reell xeln. Tngeringspunkten kn beskrivs med hjälp v en vinkel θ och hr då koordintern (cos θ,sin θ). Im z m Då vi hr en cirkel som tngerr enhetscirkeln, kommer den rät linjen melln origo och tngeringspunkten tt gå genom den mindre cirkelns medelpunkt. Kll denn medelpunkt m. Antg nu tt punkten m ligger på ett vstånd s längdenheter från origo. m skulle då kunn beskrivs på ortsvektorform. m = s(cos θ,sin θ) Figuren nedn visr geometriskt hur jg får frm medelpunkten m. 58
Im z Im z s s m m θ Den lill cirkelns rdie är s längdenheter. Med både medelpunkt och rdie kn jg teckn den lill cirkelns ekvtion som följer. (x s cos θ) + (y s sin θ) = ( s) Då jg vet tt denn cirkel sk gå genom punkten (x,y) = (,0) kn jg lös ut s ur cirkelns ekvtion. ( s cos θ) + (s sin θ) = ( s) s cos θ + s cos θ + s sin θ = s + s s s cos θ = s( cos θ) = s = cos θ Jg hr nu även ett uttryck för medelpunkten m på vektorform. m = (cos θ,sin θ) cos θ För ögt ser det nu ut som tt området som ll medelpunkter till de inre 59
cirklrn bildr, kn vr en ellips. Så jg frågr mig nu om m ligger på en ellips? Im z Im z En godtycklig ellips med medelpunkt i (,b ) kn beskrivs på följnde sätt. (x ) r + (y b ) r = där r och r är hlv storxeln respektive hlv lillxeln i ellipsen. I sidled är ellipsens extrempunkter och +. Då måste = och r =. Ellipsens mittpunkt måste lltså vr (,0). Dett förvissr mn sig lätt om i figuren nedn. 60
Im z Dett ger ellipsens ekvtion följnde utseende. ( x 4 ) + y r = ( x ) y + 4r = 4 Sätt konstnten 4r = k vilket ger ekvtionen utseendet ( x ) + k y = 4 Sätt nu in en godtycklig medelpunkt m på ellipsen för tt få ut konstnten k. m = ( cos θ cos θ, ) cos θ sin θ ( cos θ cos θ ) + k ( ) ( cos θ) sin θ = 4 Sätt θ = π för tt lös ut konstnten k ur ekvtionen. 6
( cos π cos π ) + k ( ) ( cos π sin π ) = 4 4 + k ( ) 4 = 4 + k ( ) = k = Ellipsens ekvtion kn nu skrivs: ( x ) + y = 4. Bilden nedn visr ellipsens form för ett visst värde på. Im z I näst bild viss ellipsern för = 0.3, = 0.7 och = 0.97. 6
Im z Ellipsens lillxel går mot noll då går mot punkten z =. Alltså när så kommer ellipsen gå mot sträckn [0,]. För tt kunn konstter tt ll punkter m ligger på denn ellips, återstår det nu tt vis tt ekvtionen ( x ) + y = 4 ( gäller för ll punkter m = cos θ cos θ, cos θ ). sinθ 63
( ) ( ) cos θ cos θ + cos θ sin θ = = ( ) ( ) cos θ cos θ 3 cos θ cos θ + 4 + cos θ sinθ = ( ) cos θ ( cos θ)( 3 )cos θ + ( cos θ) + ( )sin θ ( cos θ) ( cos θ) 4( cos θ) ( cos θ) = cos θ cos θ+ 4 cos θ ( cos θ) cos θ 3 cos θ cos θ+ 4 cos θ ( cos θ) + 3 cos θ+ 4 cos θ ( cos θ) + sin θ sin θ ( cos θ) = cos θ+ sin θ ( cos θ) = cos θ+ ( cos θ) ( cos θ) = cos θ+ cos θ 4( cos θ) = ( cos θ) 4( cos θ) = 4 Jg hr nu vist tt ellipsen som beskrivs v ekvtionen ( x + ) y = 4 och det som finns innnför dess rnd måste tillhör området E n(). Ellipsen och området inuti är därmed en delmängd v området E n (). Bilden nedn visr hur ellipsens excentricitet beror v hur långt ut i enhetsskivn ligger. 64
Im z Im z Im z Sts 6.3. Då 0 < hr vi tt { ( z = (x,y) : x ) + y } E n () 4 65
7 Resultt Jg hr identifiert området E () vilket kn uttrycks på följnde sätt { E () = z : z } ( ) När det gäller polynom v godtycklig grd n hr jg redogjort för tt området E n () är en delmängd v den cirkelskiv med rdien l.e. och med medelpunkt i z =.[4] Av dett följer även: = : E n () { z : z } Jg hr vist tt { = : E 3 () = z : z } Vidre hr jg vist tt då tt z z : 3 6 E 3() Jg hr även kommit frm till tt E n (0) = { } z : z n. n När jg fixerr ett nollställe till ett polynom v grdtl n i en punkt z =, där 0 <, finner jg tt ellipsen som beskrivs v ekvtionen ( x ) + y = 4 och dess innndöme är en delmängd v området E n (). { ( z = x + iy : x ) + y } E n (), 0 < 4 Denn nsts skulle kunn ge en väg in tt ngrip Iliev-Sendovs hypotes på ett nytt sätt. Det vill säg tt istället för tt titt på det område som 66