3. Samplade system 3 Samplade system Vad är ett samplat system? I ett tidsotiuerligt system är alla variabler x (t), y (t) och u (t) otiuerliga (futioer) i tide i de meige att de är defiierade för alla t. I ett tidsdisret system är sigalera äda edast vid disreta tidputer t, t 2,. Ett samplat system är ett system där e eller flera (tidsotiuerliga) sigaler mäts vid disreta tidputer t, t 2, ( sampel = sticprov). Ett samplat system är således e tidsdisret besrivig av ett tidsotiuerligt system. Valigtvis är (eller atas) isigaler vara stycvis ostata över sampligsitervalle t i, t i. Reglertei II Tillstådsmetoder (4930) 3
3. Samplade system Varför samplig? Nuförtide är så gott som alla reglersystem implemeterade digitalt i e dator. E regleralgoritm i e dator arbetar sevetiellt med ädligt måga mätdata. De avläser mätdata vid disreta tidputer och beräar styrsigaler vid disreta tidputer baserade på dessa mätdata. Nacdelar med samplade reglerig I pricip är det svårare att reglera ett system med e samplade regulator ä med e tidsotiuerlig, eftersom e samplade regulator bara förfogar över e delmägd av de sigaler som e otiuerlig regulator a aväda. Samplade regulatorer a således i pricip ite ge bättre reglerig ä lasse av tidsotiuerliga regulatorer. Om sampligsitervallet är lågt, a betydade saer se mella sampligsögoblice vilet regulator ite får iformatio om. Istabilitet i återopplade system beror på att ma litar för mycet på för gammal iformatio. Samplade regulatorer aväder iformatio som a vara upp till ett sampligsitervall gammal. 3. Samplade system 3 2
3. Samplade system Fördelar med samplade reglerig Datorimplemeterig är elare och billigare ä aalog implemeterig. Ma har iga pricipiella begräsigar på aratäre av reglermeaismera omplexa och sofistierade reglerlagar a eelt implemeteras i ett program. Olijäriteter och villor av olia slag (t.ex. variabelbegräsigar) a beatas elare ä vid tidsotiuerlig reglerig. System som iehåller tidsfördröjigar (dödtider) a elare behadlas med samplad reglerig ä med tidsotiuerlig reglerig. Vid tidsfördröjigar sys effete av isigaler ite geast i utsigalera. För att veta de ommade effete bör regulator mias vila isigaler som påverat systemet; detta är elare vid samplad reglerig, där isigalera är ostata över sampligsitervallet, ä vid tidsotiuerlig reglerig, där isigalera varierar godtycligt och ite a registreras för alla t. 3. Samplade system 3 3
3. Samplade system Två typisa situatioer för samplig Det fis två typisa situatioer då ma vill besriva ett tidsotiuerligt system med hjälp av ett tidsdisret system: Vi har utgåede frå e tidsotiuerlig systembesrivig desigat e tidsotiuerlig regulator, som vi vill implemetera i e dator med hjälp av e tidsdisret regleralgoritm. De tidsotiuerliga regulator bör således samplas. Vi har e tidsotiuerlig besrivig av ett system, som vi först samplar (disretiserar) för att därefter aväda tidsdisret desigteori för att diret bestämma e tidsdisret regulator. Vi ommer att behadla båda falle, doc mera igåede det tidsdisreta desigproblemet. 3. Samplade system 3 4
3. Lijära tidsivariata modeller 3. Lijära tidsivariata modeller Samplig av ett tidsotiuerligt system Tillstådsmodelle x ( t) Ax( t) Bu( t) (3..) y( t) Cx( t) Du( t) har eligt tidigare lösige Eftersom A t At e At t A( t ) x( t ) e x(0) e Bu( ) d (3..2) e I a detta äve srivas För t t resp. t t fås då e At t A u 0 0 t e At A x( t ) x(0) e Bu( ) d (3..3) 0 x( t ) x(0) e B ( ) d och e x( t ) x(0) e Bu( ) d 3. Samplade system 3 5 At t A 0
3. Lijära tidsivariata modeller Subtratio av evatioe till höger frå de till väster ger Defiitioe h Om (t) 0 h, fås där t A( t t At A u t ) x( t ) e x( t ) e e B ( ) d (3..4) t t och byte av itegratiosvariabel (allas doc fortfarade ) ger u är ostat u t ) h Ah t 0 A x( t ) e x( ) e Bu ( )d (3..5) över sampligsitervallet ( x( t ) Fx( t ) Gu( t ) F t, dvs u ) u( t ), t (, (3..6) Ah e, h t G e dt A B (3..7) 0 3. Samplade system 3 6
3. Lijära tidsivariata modeller Om varje sampligsitervall har lägde h, gäller Atag att u () t är ost. u t ) ( t h, 0,, 2,. t, 0,, 2, över varje sampligsitervall Då gäller (3..6) för godtycliga heltal, och vi a sriva x(( ) h) Fx( h) Gu( h), 0,, 2,, t. (3..8) eller ortare, med uderförstått sampligsitervall (eller tide ormerad så att h ), x( ) Fx( Gu( (3..9) ( ( ( y Cx Numerist beräas matrisera F och G elast eligt F I AS, G SB (3..0) där h S e 0 At dt I 2! Ah 3! 3. Samplade system 3 7 A Du 2 h 2 4! A 3 h 3 h (3..) Matrise F, dvs systemmatrise för ett tidsdisret system, allas valige övergågsmatrise.
3. Lijära tidsivariata modeller Exempel Sampla de lijära otiuerliga tillstådsmodelle x ( t) 0,x ( t) 2u( t) y( t) x( t) med sampligsitervallet h tidsehet. Vi får S e 0 0,t dt 0, 2 0,0 6 0,00 24 0,000 20 0,956258 och F I AS 0, 0,956258 0, 9048, G SB 0,956258 2, 9033 dvs x( ) y( 0,9048x(,9033u( x( Figure tidigare visar utsigale för detta system med de i figure giva stegvist varierade isigale; heldrage sigal = ot. modell, puter = samplad modell. 3. Samplade system 3 8
3. Lijära tidsivariata modeller Frå samplat system till tidsotiuerligt system Betrata det tidsdisreta systemet x( ) Fx( Gu( Vi söer de tidsotiuerliga systembesrivige (3..2) x( t) Ax( t) Bu( t) (3..) som vid samplig med det ostata sampligsitervallet h ger de tidsdisreta systembesrivige. Problemet är i pricip eelt att lösa. Vi löser först A ur och därefter B ur A h e F (3..3) h A B S G t e d t 0 G (3..4) 3. Samplade system 3 9
3. Lijära tidsivariata modeller Förutom det ret matematisa/umerisa problemet att bestämma A fis två täbara ompliatioer: A h e F a saa lösig A h e F a ha flera lösigar Exempel på ige lösig Det tidsdisreta systemet x( ) x( u( y( x( har ige otiuerlig motsvarighet med ordigstalet eftersom e lösig för a. ah saar reell 3. Samplade system 3 0
3. Lijära tidsivariata modeller Exempel på flera lösigar Det samplade systemet ( de harmoisa oscillator ) cos( h) si( h) cos( h) ( ) ( x x u( si( h) cos( h) si( h) med sampligsitervallet h ger e otiuerlig systembesrivig med 0 0 A, B 0 där 2 h, 0,, 2, vilet eelt a verifieras geom samplig av det otiuerliga systemet. Det fis således oädligt måga otiuerliga system som i detta fall ger ett och samma samplade system. 3. Samplade system 3
2.3 Samplade system 3.2 Isigal-utsigalsambad 3.2. Pulsöverförigsoperator H (q) I aalogi med överförigsoperatormatrise G (p) för e otiuerlig systembesrivig, där p d/dt är deriverigsoperator så att y( t) G(p) u( t), a vi äve för e tidsdisret systembesrivig härleda e överförigsoperator H (q) allad pulsöverförigsoperator. Defiiera försjutigsoperator (äve allad siftoperator) q eligt q f ( t) f ( t h) q f ( f ( ) (3.2.) där f ( betecar de :te samplige av sigale f (t). Operator q försjuter således e sigal e samplig framåt i tide. För systemet x( ) Fx( Gu(, y( Cx( Du(, fås då dvs q x( x( ) Fx( Gu( y( Cx( Du( qix( x( (qi F) Gu( 3.2. Pulsöverförigsoperator 3 2 C(qI F) G D u( y( H(q) u( där H q) C(qI F) G D ( (3.2.2)
3.2 Isigal-utsigalsambad 3.2.2 Differesevatioer 3 3 Laboratoriet för 3.2.2 Differesevatioer Varje elemet ) (q H i matrise ) (q H är pulsöverförigsoperator för sambadet mella e give utsigal ) ( y och e give isigal ) ( u. Dessa elemet är ratioella uttryc i q och a allmät srivas (q) (q) (q) A B H där a a a A b b b b B q q q (q) q q q (q) 0 (3.2.3) Eftersom ) ( (q) ) ( u H y fås ) ( ) q q q ( ) ( ) q q (q ) ( (q) ) ( (q) 0 u b b b b y a a a u B y A (3.2.4) som vid upprepad avädig av defiitioe på q ger differesevatioe ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 u b b u u b y a y a y eller ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 u b b u u b y a y a y (3.2.5)
3.2 Isigal-utsigalsambad Frå differesevatio till tillstådsform Precis som för otiuerliga systembesrivigar är det för tidsdisreta besrivigar möjligt att bestämma e tillstådsmodell utgåede frå ett isigal-utsigalsambad, i detta fall e differesevatio. Exempel Överför systemet y (,80y( ),05y( 2) u( ) på tillstådsform. Systemets ordig bestäms av atalet tidsförsjutigar av utsigale och är lia med gradtalet för polyomet A (q). I detta fall är systemet av adra ordige. Vi sriver systemet som y( ),80y(,05y( ) u( och väljer (t.ex.) tillstådsvariablera x ( y( ) och x ( y( ), vilet ger x ( 2 2 2( ) y( ),80x2(,05x ( u( ) x ( ), x ), y ( ) x 2( ) eller i matrisform ( ) 0 ( 0 u( x,05,80 x, y( 0 ( x 3.2.2 Differesevatioer 3 4
3.2 Isigal-utsigalsambad Exempel: E eel disret modell för ett curligspel för e pesärmsdator. Positioe på figret: u och u 2 Positioe för stee: x och x 2 Vårt figer påverar stee med rafte s ( ui xi) Fritiosrafte blir f x i Newtos lag: mx i s( ui xi) fx i. x( x( ) Approximera x x h x( ) x( x( ) 2 x( x( ), 2 h h x ( ) 2 ab x ( b x ( ) au (, Vilet ger i i i i Med defiitioera x3( x( ) och x4( x2( ), fås 2ab 0 b 0 a 0 0 2ab 0 b 0 a x( ) x( u ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a h s m 2 b h f m 3.2.2 Differesevatioer 3 5
3.2 Isigal-utsigalsambad Amärigar: f och s är valbara parametrar, och ma a evetuellt påvera f geom att sopa på baa. För att modellera det att vi släppt taget om stee (eller lyft upp figret) så sall vi sätta a 0. Rotatiosrörelse för stee a äve eelt modelleras, som äve iför ya rafter i systemet (e roterade ste rör sig ite rat, därför att ma får mera fritio på de sida som rotatiosrörelse går i mot stees rörelse). För umerisa beräigar så är differesevatioera saolit effetivare dea gåg. Differesapproximatioera av derivatora är lämpligare dea gåg ä atagadet om att isigale är ostat mella sampligstidera (vilet de u appast är), som vi gjorde tidigare. Mera om detta i apitel 4. i sambad med disretiserig av regulatorer. Om vi sulle ha avät baåtdifferes i båda derivata-approximatioera så sulle vi få x ( ) att bero på u ( ), vilet sulle räva att vi i tillstådsevatioe sulle behöva iföra e D-matris. Ataglige midre realistist så. 3.2.2 Differesevatioer 3 6
3.2 Isigal-utsigalsambad 3.2.3 Pulsöverförigsfutioe H ( z) Aalogt med Laplacetrasforme för tidsotiuerliga systembesrivigar a ma för tidsdisreta besrivigar aväda e s.. Z-trasform, som för e tidsdisret sigal ( f defiieras där z är e omplex variabel. 0 3.2.3 Pulsöverförigsfutioe 3 7 F ( z) f ( z (3.2.6) Med hjälp av Z-trasforme a isigal-utsigalsambadet för ett tidsdisret MIMOsystem srivas (z (z Y( z) H( z) U( z) (3.2.7) y ( resp. isigale ( där Y ) och U ) är Z-trasformera av utsigale ) H (z) är systemets pulsöverförigsmatris (pulsöverförigsfutio). u och Pulsöverförigsfutioe a erhållas frå e tillstådsbesrivig för systemet eligt H( z ) C( zi F) G D (3.2.8)
3.2 Isigal-utsigalsambad Av ovaståede följer att pulsöverförigsfutioe H (z) (eller matrise H (z) erhålles geom att ersätta operator q i pulsöverförigsoperator (q) H (q)) med de omplexa variabel z. Observera aalogi med överförigsfutioe ) otiuerliga system. Övig 3.2. Bestäm Z-trasformes pulsöverförigsfutio för systemet ( ) 0 ( 0 u( x,05,80 ) elast H (eller matrise G (s och överförigsoperator (p) y(. x, ) 0 x( ) G för 3.2.3 Pulsöverförigsfutioe 3 8
3.2 Isigal-utsigalsambad 3.2.4 Baåtsiftoperator - q Operator q försjuter e sigal e samplig framåt i tide. Aalogt a vi defiiera e försjutigsoperator q som verar baåt i tide eligt Allmät gäller där är ett godtycligt heltal. q q f ( f ( ) (3.2.9) f ( f ( ) (3.2.0) 3.2.4 Baåtsiftoperator 3 9
3.2 Isigal-utsigalsambad 3.2.5 Frevessvar I aalogi med det otiuerliga fallet så a ma äve utyttja överförigsfutioe för ett disret system för att beräa frevessvaret för systemet. I det otiuerliga fallet gjorde vi det geom att ersätta s med j, där j och är freves. j h e, eller evivalet ersätta I det disreta fallet ersätter ma z med är sampligstid. Ma a äve diret aväda e tillstådsmodell (,,, ) j h frevessvar, geom att ersätta z med e i (3.2.8). q med FG CD för att beräa Frevessvaret för disreta system blir som vätat bara för frevesitervallet, mera om det i ästa apitel. 0, / h j h e, där h 3.2.5 Frevessvar 3 20
3. Samplade system 3.3 Val av sampligsitervall Vad påverar valet av sampligsitervall? De samplade systembesrivige x( ) Fx( Gu( (3..2) ger de exata lösige till det otiuerliga systemet x ( t) Ax( t) Bu( t) (3..) i sampligstidputera t h, 0,,2, ifall isigalera är ostata i varje esilt sampligsitervall h,( ) h. Spelar det då ågo roll hur vi väljer sampligsitervallet uder förutsättig att ravet på ostata isigaler alltid a uppfyllas? Svar: Ja! För att det samplade systemet sall ge rätt bild av det otiuerliga systemets egesaper rävs att iget väsetligt hier se i systemet mella sampligsputera. Sampligsitervallet bör således vara tillräcligt litet, me hur litet? 3.3 Val av sampligsitervall 3 2
3.3 Val av sampligsitervall E avvägig av olia aspeter som borde beatas vid valet av sampligsitervall i ett reglersystem ibegriper det öppa (dvs oreglerade) systemets egesaper det sluta (dvs reglerade) systemets ösade egesaper metoder för desig av samplade regulatorer mätoggrahet I pricip vill ma sampla så sälla som möjligt eftersom ett oödigt litet sampligsitervall a ge problem med datorimplemeterig, slitage på ställdo samt ev. umerisa problem pga stor datamägd med redudat iformatio. Kravet att uppå ösade reglerprestada (t.ex. i form av stabilitetsmargialer) räver doc att ma samplar tillräcligt ofta (dvs tillräcligt sabbt). Dessa motstridiga rav räver ompromisser och valitativa avvägigar. Två mätteisa fatorer, som har betydelse för valet av sampligsitervall och som a aalyseras mera oret, är de s.. aliaseffete och behovet av mätvärdesfiltrerig. 3.3. Aliaseffete 3 22
3.3 Val av sampligsitervall Aliaseffete Ett problem vid samplig är att höga freveser a uppträda i form av falsa lägre freveser. I illustratioe till höger har ma geom samplig (mellersta figure) fått fram ett saolit beteede (edersta figure) som ite alls existerar (översta figure). Omvät a ma geom samplig med det aväda sampligsitervallet ite silja på frevesera i översta och edersta figure sampligsresultatet blir i båda falle det i de mellersta figure. 3.3. Aliaseffete 3 23
3.3 Val av sampligsitervall Vad göra åt aliaseffete? Orsae till aliaseffete är att vi samplar för lågsamt i förhållade till e (relevat) freves i de samplade sigale. Vi bör således sampla sabbare. Me hur sabbt? Några defiitioer Sampligsfrevese f s / h [Hz], där h är sampligsitervallet [se] Sampligs(viel)frevese 2 / h [rad/se] Nyquistfrevese Sampligsteoremet N s / 2 / h [rad/se] s E otiuerlig sigal som ite iehåller ågo freves högre ä Nyquistfrevese a exat reostrueras frå samplade data. N Omvät gäller att ige freves som är högre ä Nyquistfrevese N a efter samplig siljas frå e lägre freves i itervallet 0, N. Freveser N som samplas så uppträder i de samplade sigale uder aliasfrevese a 2N. 3.3. Aliaseffete 3 24
3.3 Val av sampligsitervall Valet av sampligsitervall Av sampligsteoremet följer att iformatio om freveser som är högre ä Nyquistfrevese går förlorad vid samplige. Ma bör därför välja sampligsitervallet så, att freveser högre ä Nyquistfrevese / h är oitressata, dvs mest brus. Om ma är itresserad av freveser upp till frevese itervallet 0,, bör sampligsitervallet h då väljas så, att max N max, dvs av freveser i h / max (3.3.) Mär att valet av sampligsitervall utgåede frå sampligsteoremet är motiverat av iformatios-/mätteisa fatorer. Det a fias adra fatorer, t.ex. rav på reglerprestada, som gör att ma väljer ett sampligsitervall h / max. Då gäller att N max, dvs dessa freveser är ite idetisa. 3.3. Aliaseffete 3 25
3.3 Val av sampligsitervall 3.3.2 Filtrerig Oberoede av eligt vila riterier ma valt sampligsitervallet h gäller att ma ite a få tillförlitlig iformatio om freveser högre ä Nyquistfrevese / h. Om freveser högre ä Nyquistfrevese föreommer i e samplad sigal är detta ebart till sada, eftersom de pga av aliaseffete ommer att tolas som lägre freveser. Mätbrus bidrar typist med sådaa freveser, me det a ocså vara fråga om mera regelbuda systemegesaper med freveser N, som ma av ågo aledig ite vill beata. Pga aliaseffete bör sådaa freveser elimieras (eller dämpas) geom filtrerig före samplige (dvs mätige). Därför sall sigale före samplige filtreras med ett lågpassfilter som elimierar freveser N / h. Ett dylit försampligsfilter allas äve atialiasfilter. 3.3.2 Filtrerig 3 26 N
3.3 Val av sampligsitervall Atialiasfiltret Atialiasfiltrets uppgift är således att elimiiera högre freveser ä Nyquistfrevese N. Detta a åstadommas med ett lågpassfilter med e badbredd B ågot större ä N. Badbredde är de freves där filtrets förstärigsförhållade är / 2. B () Ts Ett första ordiges system Gs är ett eelt aalogt lågpassfilter. Kravet ova iebär att ma bör välja dess tidsostat T 0,3h, där h är sampligsitervallet för de efterföljade samplige av de filtrerade sigale. Idealt borde lågpassfiltret släppa igeom alla freveser upp till Nyquistfrevese. Detta är doc ite möjligt i pratie, uta ma måste öja sig med e approximatio. E sarpare separerig av freveser som filtreras och ite filtreras a doc fås med ett filter av högre ordig, t.ex. G( s). ( T s) Det fis ocså mer avacerade filter såsom Besselfilter, Butterworthfilter, Chebysjevfilter, ITAE-filter. 3.3.2 Filtrerig 3 27
3.3 Val av sampligsitervall Observera att atialiasfiltret sall filtrera e sigal ia de samplas. Om ma aväder ett digitalt atialiasfilter bör sigale (dvs filtrets isigal) iledigsvis samplas med hög freves så att filtret approximativt beter sig som ett aalogt filter. Därefter samplas de filtrerade sigale på ytt med ett sampligsitervall som bestäms eligt de ormala riteriera ova. Ett digitalt lågpassfilter av första ordige har forme x( ( a) x( ) ay( (3.3.2) där x ( är filtrerat värde, y ( är mätvärde och a är e filterostat såda att ett midre värde i itervallet 0, ger raftigare filtrerig. 3.3.2 Filtrerig 3 28
3.3 Val av sampligsitervall Följade två exempel är taga ur Åström och Wittemar (984). Exempel. Aliasfeomeet. 3.3.2 Filtrerig 3 29
3.3 Val av sampligsitervall 3.3.2 Filtrerig 3 30
3.3 Val av sampligsitervall Exempel. Förfiltrerig. 3.3.2 Filtrerig 3 3
3.3 Val av sampligsitervall 3.3.2 Filtrerig 3 32
3 Samplade system 3.4 Stabilitet, poler och ollställe Egevärde Om det tidsotiuerliga systemet x ( t) Ax( t) Bu( t) har egevärdea i och västeregevetorera t i, i,,, gäller T T ti A iti, i,, (3.4.) För de samplade systembesrivige x( ) Fx( Gu( med sampligsitervallet h gäller Ah 2 2 3 3 F e I Ah A h A h (3.4.2)! 2! 3! Multipliatio frå väster med t i T ger såsom tidigare för expoetialfutioe t T i T i A h T h i e i F t e t (3.4.3) Av detta följer: Om i är ett egevärde till systemmatrise A för ett tidsotiuerligt system så är e ih ett egevärde till övergågsmatrise F för motsvarade samplade system med sampligsitervallet h. 3.4 Stabilitet poler och ollställe 3 33
3.4 Stabilitet, poler och ollställe 3.4. Stabilitet Ett tidsotiuerligt system är stabilt om och edast om systemmatrises A samtliga egevärde i, i,,, har egativ realdel, dvs om j, 0, i,, i i i i (3.4.4) Om det tidsotiuerliga systemet är stabilt måste ocså motsvarade samplade system vara stabilt eftersom sigalera sammafaller i sampligsputera. För det samplade systemets egevärde i h e, i,,, gäller e h i e h j h e i h i i h e h i e j h 2 i i 3.4. Stabilitet 3 34 e h Om 0 är e, dvs e. Av detta följer: i i h i cos( ih) jsi( ih) 2 i h (3.4.5) e i cos ( h) si ( h) e i (3.4.6) i h Det samplade systemet är stabilt om absolutbeloppet av samtliga egevärde till övergågsmatrise F är midre ä, dvs om e i h, i,,, vilet är evivalet med att alla egevärde ligger iaför ehetscirel i det omplexa talplaet.
3.4 Stabilitet, poler och ollställe 3.4.2 Poler Det otiuerliga systemets poler är, om systemet är styrbart och observerbart, lia med A -matrises egevärde. Om äve det samplade systemet är styrbart och observerbart är F -matrises egevärde lia med det samplade systemets poler. Uder atagadet om styrbarhet och observerbarhet gäller då: Om det otiuerliga systemets poler är i, i,,, så är e ih, i,,, motsvarade samplade systems poler då sampligsitervallet är h. Vi a ostatera att om h 0, så gäller att e i h (dvs allmät e ih ). i 3.4.2 Poler 3 35
3.4 Stabilitet, poler och ollställe Sambad mella det otiuerliga och det samplade systemets poler Det strecade området ager lämplig polplacerig för ett reglerat system. 3.4.2 Poler 3 36
3.4 Stabilitet, poler och ollställe 3.4.3 Nollställe Det är svårt att besriva sambadet mella det tidsotiuerliga och det samplade systemets ollställe. Speciellt a oteras att Det samplade systemet a ha både fler och färre ollställe ä det tidsotiuerliga. Det samplade systemet a vara ice-miimumfas äve om det tidsotiuerliga är miimumfas och vice versa. Det samplade systemets pulsöverförigsfutio H (z) a doc aalyseras på liade sätt som det otiuerliga systemets överförigsfutio G (s) för att bestämma systemets ollställe. Speciellt gäller för ett system med e isigal och e utsigal att ollställea ges av B( z) B ( z) 0 då ( z) ( ) H (3.4.7) A z 3.4.3 Nollställe 3 37
3. Samplade system 3.5 Styrbarhet och observerbarhet 3.5. Styrbarhet Styrbarhet iebär såväl för samplade som otiuerliga system att tillstådet a frå ett godtycligt iitialtillståd styras till origo på ädlig tid. Vid styrig av ett samplat system förfogar ma bara över e delmägd av de isigaler som a avädas i ett tidsotiuerligt system, ämlige stycvis ostata sigaler. Detta medför att: Ett samplat system a vara styrbart edast om det otiuerliga systemet är det. Om sampligsitervallet är illa valt a det samplade systemet vara ice-styrbart äve om det otiuerliga systemet är styrbart. Test av styrbarhet Ett samplat system är styrbart om och edast om styrbarhetsmatrise 2 Γ G FG F G F G har full rag (dvs rage ). c (3.5.) 3.5. Styrbarhet 3 38
3.5 Styrbarhet och observerbarhet 3.5.2 Observerbarhet Observerbarhet defiieras som att edast tillstådet oll a producera e utsigalseves som är idetist oll då isigale är oll. Om adra tillståd a ge utsigale oll är systemet ice-observerbart. För ett tidsotiuerligt system rävs då att () system räcer att ( ) 0,, y h 0, y 3.5.2 Observerbarhet 3 39 t 0 för alla t, meda det för ett samplat Av detta följer att ett samplat system a vara ice-observerbart ( y( h) 0, 0,, ) trots att det otiuerliga systemet är observerbart ( y() t 0). Test av observerbarhet Det samplade systemet är observerbart om och edast om observerbarhetsmatrise CF C Γo (3.5.2) CF har full rag (dvs rage ).
3.5 Styrbarhet och observerbarhet Övig 3.5. Betrata dieselmotoratalysatorexemplet i Övig 2.2.2, där vi fuderade på om vi ude observera halte av NO x och NH 3 på base av e mätig som var summa av NO x och NH 3. Udersö observerbarhete om ma atar att dyamie i atalysator i stället för e tidostat är e dödtid som är a) lia stor b) olia stor för halte av NO x och NH 3. Ata i a) fallet för eelhets sull att dödtide är sampligstid låg, och i b) fallet att dödtide är respetive 2 sampligstider låg. 3.5.2 Observerbarhet 3 40