F7 PP kap 4.1, linjära överbestämda ekvationssystem

Relevanta dokument
Föreläsningsanteckningar till Linjär Regression

Linjär Algebra. Linjära ekvationssystem. Ax = b. Viktiga begrepp. Linjära ekvationssystem. Kolumnerna i A. Exempel. R (A) spänns upp av t.ex.

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

Kontrollskrivning (KS1) 16 sep 2019

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

EKVATIONER MED KOMPLEXA TAL A) Ekvationer som innehåller både ett obekant komplext tal z och dess konjugat z B) Binomiska ekvationer.

F15 ENKEL LINJÄR REGRESSION (NCT )

SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14)

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s.

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

Något om beskrivande statistik

Tentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrning, MSN320/TMS070 Lördag , klockan Lärare: Jan Rohlén

101. och sista termen 1

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Föreläsning 10: Kombinatorik

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng

Väntevärde för stokastiska variabler (Blom Kapitel 6 och 7)

Fyra typer av förstärkare

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.

- 1 - Linjära ekvationssystem. B Ax = b. n obekanta & n ekvationer. B Ortogonalitet. B Linjärt oberoende Ax = 0 L x = 0 spänner upp vektorrum.

Introduktion till statistik för statsvetare

Formler och tabeller i statistik

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

En utvärdering av två olika sätt att skatta fördelningen till stickprovsmedelvärden från olikfördelade data - normalapproximation kontra resampling

Lösning till TENTAMEN

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B,

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna

( ik MATRISER ELEMENTÄRA RÄKNEOPERATIONER. Definition 1. Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema... a1

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

Räkning med potensserier

TAMS15: SS1 Markovprocesser

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Stort massflöde Liten volym och vikt Hög verkningsgrad. Utföranden Kolv (7) Skruv (4) Ving (4) Roots (1,5) Radial (2-4) Axial (1,3) Diagonal.

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Orderkvantiteter i kanbansystem

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Grundläggande matematisk statistik

F6 PP kap 4.1, linjära ekvationssystem

Uppgift 3. (1p) Beräkna volymen av pyramiden vars hörn är A=(2,2,2), B=(2,3,4), C=(3,3,3) och D=(3,4,9).

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

Repetition DMI, m.m. Några begrepp. egenskap d. egenskap1

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Experiment, Försök, Utfall, Händelse, Sannolikhet. Kaptiel1: Slump, Utfall, Händelse, Sannolikhet... Kaptiel2: Stokastiska variabler

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

RÄKNESTUGA 2. Rumsakustik

Kap. 1. Gaser Ideala gaser. Ideal gas: För en ideal gas gäller: Allmänna gaslagen. kraft yta

KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (=TECKENINTERVALL )

Sammanfattning, Dag 1

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1

REGRESSIONSANALYS S0001M

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

b) Om du nu hade oturen att du köpt en trasig dator, vad är sannolikheten att den skulle ha tillverkats i Litauen?

CONSTANT FINESS SUNFLEX

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ

F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik

Parametriska metoder. Icke-parametriska metoder. parametriska test. Icke-parametriska test. Location Shift. Vilket test ersätts med vilket?

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =

S0005M V18, Föreläsning 10

Formelsamling Ljud i byggnad och samhälle

F9 Hypotesprövning. Statistikens grunder 2 dagtid. p-värden. Övning 1 från F8

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år

SOS HT Punktskattningar. Skattning från stickprovet. 2. Intuitiva skattningar. 3. Skattning som slumpvariabel. slump.

1. Test av anpassning.

TAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer

Välkommen in i konfirmandens egen bibel!

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Lycka till och trevlig sommar!

F3 PP kap 3, ekvationslösning och iteration, forts.

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

Fördelningen för populationen som stickprovet togs ifrån är känd så nära som på ett antal parametrar, t.ex: N med okända

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

a) Beräkna E (W ). (2 p)

Transkript:

F7 BE3 & 3 Page of 5 F7 PP ka 4., ljära överbestäda ekvatossste Här behadlas dels ljära överbestäda sste oh dels tlläge å odellaassg ed stakvadrat-etode so kaske ufas av Gauss. V börjar ed ljära algebra. lltså, f de bästa lösge tll ssteet b där är oh >. Då fs ju allähet ge eakt lösg. Låt koloera vara a,,,,. Då söker v de ljärkobato av de dvs. e ukt s koloru so lgger ärast b: era geo val av avstådet ella a oh b, dvs. lägde å resdualvektor r a b O v äter lägde ed Eukldsk or blr det ekelt a erar då sua av kvadratera av r s kooeter, därav aet å etode. Det vktga ed dea or är att de koer frå e skalärrodukt, r r r. V ska härleda vllkore å ljär-algebra-vs. tag alltså att * ger sta värde å avstådet, så att * b < * v b för tllräklgt så. Skrv olkhete ed skalärrodukt: * b * b < * v b * v b r v r v r < r r v v r v v r r r v v v r För att detta skall vara st för för alla v åste v r för alla v, dvs. r eller b, a r,,,, Dessa oral-ekvatoer säger alltså att resdualvektors skalärrodukt ed varje kolo är oll, dvs. att de är vkelrät ot s koloru. Det är u klart att resdualvektor r, oh däred, är ukt bestäd, e blr uk bara o s koloer är ljärt oberoede, rag. För Gauss-elatoe av oral-ekvatoera blr kodtostalet Eukldsk or för vktgt. Det blr κ λ a /λ där λ är egevärdea tll. Me kodtostalet för själv blr bara kvadratrote ur λ a /λ så bldadet av oralekvatoera är ogsat ur uersk sukt. Ma aväder därför te LU-faktorserg av uta så kallad Q-faktorserg av själv. Ma beräkar först de ortogoala atrse -atrse Q oh de höger-tragulära -atrse så att Q oh löser seda Q b. Q-faktorserge ger e usättg ortogoala basvektorer för s koloru oh ka, ed e uersk odfkato, göras ed Gra-Shdt-ortogoalserg, so ljära algebra, av vektorera a,,,,, lte lågsaare ä LU-faktorserg. MLB gör så o de fer att har rag, e o har lägre rag blr lösge te uk oh MLB väljer då e reresetat för lösgsruet. Så här otveras kalkle ova / ågot utvdgad verso av resetatoe å föreläs.: Q blr. Me a ka fortsätta ed Gra-Shdt, te oh lägga tll - koluer so bldar - atrse Q så att [Q Q] U blr e atrs ed alla koluer ortogoala ot varadra, dvs. e ortogoal bas för, U U I. Däred ka geo att bgga ut ed - rader ed ollor skrva

F7 BE3 & 3 Page of 5 Nu har v då [ Q Q ] U b U b U U b U b Q Q b b Q Q b oh detta blr so st Q b o v väljer Q b. V har avät att Eukldska ore te ädras av de ortogoala trasforato U so ju bara är e vrdg oh ev. seglg av koordatssteet. Me ultlkatoe ed Q, so avbldar å -, ädrar förstås lägde. Störgskäslghet tag att b störs ed δb. Hur ket, δ, ädras då? O har ljärt oberoede koloer så gäller: δ < δb / σ där σ, sgulärvärdea, är egevärdea tll. V har ju - Q b δ δb a σ oh a Lkhet är δb är arallell ed egevektor tll svarade ot σ. Ma frågar sg förstås å vlket sätt sta-kvadrat-etode är bra so r uto att de ger ekla räkgar. Gauss vsste, oh så här ka a forulera det. Ma atar att odelle är uta ssteatskt fel så att avvkelse ser ut so sluässg. Det är okså vktgt att feles varas är desaa. Gauss-Markovs sats tag att e, där e k är oralfördelade, okorrelerade stokastska varabler ed edelvärde oh saa varas σ. Då ger sta-kvadratskattge ˆ b e de edelvärdesrktga skattge av so har st ovarasatrs: [ ˆ ˆ ] E σ σ ka skattas ed σ r / vlket vsar hur felet skar ed atalet ätgar.

F7 BE3 & 3 Page 3 of 5 E. ; Vad häder är är så ltet att askartetkes reso? V beräkar egevärde fat:,, oh 3 oh kodtostal, oh sta-kvadrat-lösge tll,,3,4 b oh gräsvärdet är ->. Här ka det assa ed aulera rag-ett atrser ab. V söker lösge tll d eller I d: d dvs. / d α, α / d α Τ, α d / 3 oh / d / 3 d / I / 3 d Nu är d b b b, / I / 3 b b / b b 3b / 3 - b/ 3 / b 3b / 3 b/ 3 b oh gräsvärdet esterar bara o b, eller b. Kurvaassg: olo So eeel tar v sta-kvadrat-aassg av ett -- grads olo där v urerat koeffetera so MLB brukar, tll dataukter,,,,,. V skrver öskeåle so överbestät sste se förel. F6 : K Msta-kvadrat-lösge so koeffeter ger då elgt ova oh fås ed MLB s K\ ; K ka kostrueras å flera sätt frå e kolovektor, så här t.e.: K zeros,; K:, oes,; for k :-: K:,k- K:,k.*; ed För e aa usättg -värde l ka oloet seda evalueras ed l olval,l;

F7 BE3 & 3 Page 4 of 5 Ma ka skaa dervata-oloet ed r older; roots har v reda stftat bekatska ed, e te hur. Här är de atrs so roots räkar ut egevärde tll. Koajo-atrse tll ett olo ed högstagrads-koeffet har röttera tll so egevärde, C, Cv v för o egevektor v har kooeter v j, så gäller uebarlge v j v j, j,, - oh ssta rade ger - v - - v - - v - v - eller - v - - v - - v - - - v - v dvs. - - - - Hela koeffet-bestäge ka göras ed olft,,-; oh a ka göra Q-faktorserge sabbare geo att utttja egeskaer hos olo; detaljer o detta å astå tll fortsättgskurser aroato. Ljära aassgsroble ed adra fuktosklasser behadlas aalogt: F koeffetera j so erar kvadratsueavvkelse jϕ j j där ϕ j är e usättg av st. ljärt oberoede basfuktoer. Ma kostruerar atrse K so ova. Eeel πj πj. Fourer-aals, -erodsk fukto ϕ j os, ϕ j s, j,, /. Eoetal-aassg j ϕ e, j,,.. ed gva tds-skalor j. j Återstår att dskutera uerska eeel. val av gradtal, störgskäslghet, % O 4. 63 w [6 3 6 ]'*e-3; [ ; ; ; 5]; ds' hadräkg ed oralekv ' K '* % koeffatrs oralekv b '*w; ds['b ',ustrb'] % högerled d:o K\b; ds[' ',ustr'] % lösg r *-w; ds['r ',ustrr'] % resdual koll '*r ; ds['koll ',ustrkoll'] % bör bl oll d sqrtegk; ds['sga ',ustrd:'] % ds' atlab '

F7 BE3 & 3 Page 5 of 5 \w; ds[' ',ustr'] % Q-faktorserg? r *-w; ds['r ',ustrr'] koll '*r; ds['koll ',ustrkoll'] d svd; % bättre egevärde hadräkg ed oralekv K 5 5 3 b.58.8.68588 -.7588 r.594.765e-5 -.5594.884 koll -.48e-7-6.75e-8 sga.4799 6.98 fel.487 atlab.68588 -.7588 r.594.765e-5 -.5594.884 koll.76e-7 3.358e-7 fel.487 % O 4.3 t [ 4 6 8 ]'; H [.6.4.6..8]'; [oesszet,s**t/,os**t/]; ds' '; ds; ds''; ds'* \H; ds[' : ',ustr'] r *-H; ds['r : ',ustrr'] koll '*r; ds['koll : ',ustrkoll'] d svd; ds['sga : ',ustrd:'] %....866.5..866 -.5.. -.. -.866 -.5. -.866.5 6.. -.. 3.. -.. 3. :.93333.57735.6667 r :. -.33333 -..66667. -.3333 koll :.949e-5 -.498e-6 7.776e-6 sga :.4495.73.73 % f. sqrt6 oh sqrt3