Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4. Algormr för smlnd rglrng Prnn för smlnd rglrng Blo Smlng r mo onnrlg sgnlr o r sm dsrsrr dm ll lföljdr o r,,, I rn är d n A/D-omvndlr. Blo Håll r mo lföljdn,,,, från rglrlgormn o sr vdr n svs dsonnrlg sgnl,. I rn är d n D/A-omvndlr. Rglrn II llsåndsmodr 493 4
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4. dsdsr PID-rglorr 4.. dsonnrlg formr v PID-rglorr Idl PID-rglor d K d d PID 4.. d Idl PID-rglor som n drvrr örvärd d K d d PID 4.. d PID-rglor som drvrr flrrd sgnl dx K d d, d f x x PIDx 4..3 I ss vonn så n ävn rsäs md. Anm: fnns md för möjlggör sonärllsånd md o sm mnll rglrng K md ; lämns do of från rglorv. Rglrn II llsåndsmodr 493 4
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. dsonnrlg PID-rglorr Blosmn för PID-rglorr En PID-rglor n nl rlsrs,.x. Smln, md jäl v losm. dn gs losmn för vrnrn PID o PID. PID PID Vrnn PIDx v n PID-rglor rålls gnom ddon v : ordnngns flr frmför drvrngslo. Rn drvrng rävr Drvv o Gn lo. Smlng dsrsrng v n rglor dfnrd gnom losm n of rålls dr md jäl v frågvrnd rogrmvr.x. Smln. 4. dsdsr PID-rglorr 4 3
4. dsdsr PID-rglorr 4. Algormr för smlnd rglrng 4 4 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Dsrsrng v onnrlg PID-rglorr V r ndl r dsonnrlg ssm md svs onsn nsgnlr n smls. En rglor r do n svs onsn nsgnl om d rglrd ssms sgnl är n onnrlg vrl. Ovnnämnd smlngsmod är därför rn norr för n rglor. E sä sämm n dsdsr vrson v n PID-rglor är rsä d nls rn för ngron o drvrng md nmrs mosvrgr. För n dl PID-rglor som n drvrr örvärd PID n v srv d d d d d d d d K K 4..4 där o.
4.. Dsrsrng v PID-rglorr 4. dsdsr PID-rglorr 4 5 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rnglroxmon v ngrln Om är onsn smlngsnrvll fås md roxmonrn d o d d 4..5 dn dsdsr PID-rglorn d K 4..6 llr md dn förnlnd nngn f f d K PID- 4..7 Efrsom n ror v,, lls dnn form v PID-rglorn för n osonsform. Mär är n onsn.
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Dsrsrng v PID-rglorr I ngrlroxmonn nogs rglrvvlsn vr onsn = l smlngsnrvll,. Efrsom smlngsnrvll själv vr är ö ll ögr, dvs nrvll är,, vor d rn nrlgr nvänd roxmonn Dnn roxmon gr dn dsdsr PID-rglorn d 4..8 d K PID- 4..9 som vvr från dn dgr rglorn PID- nds sållvd smmrngn sr från ll säll för från ll. 4. dsdsr PID-rglorr 4 6
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Dsrsrng v PID-rglorr Aroxmon v ngrln md rsmodn Båd roxmonrn ovn r dn ndln rglrvvlsn ns vr svs onsn smlngsnrvlln, vl n är fll rn. Mr movr är n rglrvvlsn förändrs lnjär från smlngsnrvll. Ingrlroxmonn lr då, D gr dn dsdsr PID-rglorn ll d 4.. K d PID-3 4.. 4. dsdsr PID-rglorr 4 7
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. dsdsr PID-rglorr 4..3 Ingrorvrdnng I d fls fsls rossr fnns gränsnngr.x. rörnd srsgnlrns sorl. Ang n ross säs för n så rfg sörnng, dn n n lmnrs från sgnln md srsgnln g fsls gränsnngr.x. n ön rglrvnl. Flsmmn n dsdsr PID-rglor ommr väx så läng sörnngn vrr ngs, lså rglorns sgnl, mn ngn rglrng v rossns sgnl sr frsom srsgnln n n rlsrs g gränsnngn områd A fgrn. Om är sörnngn sådn rossns sgnl mns. 4. Algormr för smlnd rglrng 4 8
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..3 Ingrorvrdnng Ang sörnngn ör. Efrsom srsgnln g dn dgr vrnd sörnngn, som gv r, är sådn rlgsläg som mxmrr, lr dvs r när sörnngn o dss ff å ör. Efrsom flsmmn rglorn lv m sor mdn sörnngn vrd, ommr dn forfrnd vr sor g ll gml ros n. ommr då oså forsänngsvs vr sor o åll srsgnln områd B fgrn. Usgnln vr vd s rlgsläg, ros r ll sl lr smmn rglorn ll fll så ln mnsr ll n nvå som mosvrr n rlsrr srsgnl o rglrngn örjr fngr gn. Rglrngn r do vr m dålg. Dn onödg ngrln mlln rvn B o örvärd är ngfär l sor som ngrln mlln örvärd o rvn A. Dnn ff lls ngrorvrdnng, llr vnlgr, rs wnd. Mn n förndr ngrorvrdnng gnom ol rglorn å mnll rglrng, llr gnom någon mnsm som förndrr fors smmrng när srsgnln är vd n gränsnng. 4. dsdsr PID-rglorr 4 9
4. dsdsr PID-rglorr 4. Algormr för smlnd rglrng 4 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..4 PID-rglorns nrmnform Ingrorvrdnng n rn förndrs rlv nl om mn säll för PIDrglorns osonsform nvändr n s.. nrmnform, där sgnln räns som llägg ll förgånd sgnl. Om mn rr osonsformn vd vå å vrndr följnd dnr o sm srrr från fås för PID-rglorn PID- K d llr d K PID- 4..
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..4 PID-rglorns nrmnform Inrmnformn för PID- rsv PID-3 lr nlog d K PID- 4..3 d K 4. dsdsr PID-rglorr 4 PID-3 4..4 Inrmnformrn förndrr ngrorvrdnng om mn för nvändr dn srsgnl som sns vrlgn nd rlsrs, dvs n nödvändgvs sns ränd. Inrmnformrn möjlggör oså söfr övrgång från n rglrlgorm.x. mnll srnng ll n nnn om dn sns rlsrd rglrsgnln är änd. Dss fördlg gnsr rävr vnlgvs mn mär llr smrr, llr mn v gränsnngrn å o ållr nom dss.
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..5 Egnsr os osonso nrmnformrn Illsron v lmnrd ngrorvrdnng md nrmnformn Posonsformn Inrmnformn ndrs fgrn ss I, n I 4. dsdsr PID-rglorr 4
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. dsdsr PID-rglorr 4..5 Egnsr os osons- o nrmnformrn Posonsformn d K PID- 4..7 Om I-vrn mds dvs PI- llr PID-rglor: Sonärllsånd rävr smmn lgormn n växr, vl rävr, dvs v r ngn rglrvvls vd sonärllsånd. Om I-vrn n mds dvs P- llr PD-rglor, : Sonärllsånd rävr nds om D-vrn mds sm s onsn, dvs s rävs n o rglrvvls fås llmän som vän. Rglrfl vd sonärllsånd md lr s s / s K 4..5 Ends vd d sonärllsånd som mosvrr s lr rglrvvlsn noll. 4. Algormr för smlnd rglrng 4 3
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..5 Egnsr os osonso nrmnformrn Inrmnformn d K Sonärllsånd rävr PID- 4.. s o. Då gällr K s 4..6 Om I-vrn mds dvs PI- llr PID-rglor: Vd sonärllsånd gällr, dvs, o rglrvvls sns. s Om I-vrn n mds dvs P- llr PD-rglor, : Vd sonärllsånd gällr då lld orond v s, dvs sonärllsånd n l l godlg. Prolm n ndvs gnom nlsr, nnrs n n nrmnformn nvänds n ngrrnd vrn. 4. dsdsr PID-rglorr 4 4
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. dsdsr PI-rglorr 4..6 Dsrsrng gnom orormm dsonnrlg o smld ssm sm smnd mlln dm n rs md jäl v drvrngsororn o försjnngsororn, dvs d/d o Bådffrnsroxmon f f f f 4..7 Dn vd rglordssrngn nvänd roxmonn d 4..8 d n md ororformlsm rs dvs 4..9 4.. 4. Algormr för smlnd rglrng 4 5
4..6 Dsrsrng gnom orormm 4. dsdsr PID-rglorr 4 6 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Dn dsonnrlg PID-rglorn som n drvrr örvärd PID n md jäl v drvrngsororn srvs os. nr smm ls som Llvrln s d K PID 4.. sm srvlngn gr d d K K 4.. dvs då,, o då rgmn d K PID- PID- 4..
4..6 Dsrsrng gnom orormm 4. dsdsr PID-rglorr 4 7 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Alrnv n v lå orr å dn onnrlg rglorns sgnl för få d d K K 4..3 är onsn vrfr gr d d K K 4..4 dvs d K PID- 4..
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..6 Dsrsrng gnom orormm Blnjär roxmon Aroxmonn d 4..8 d är smmrs sållvd ögr ld vor n är roxmon ll drvn någonsns mlln o,.x. vd, 5, än vd. En är roxmon d änsnd är dn lnjär roxmonn d d 4..5 d d ävn lld sns roxmonsforml. Md orormm fås 4..6 dvs 4..7 4. dsdsr PID-rglorr 4 8
4..6 Dsrsrng gnom orormm 4. dsdsr PID-rglorr 4 9 Loror för rglrn Rglrn II / KEH llämnng v dn lnjär roxmonn å PID-rglorn d K PID 4.. gr för osonsformn md lljäl v srvlngr d K PID-4 4..8 För nrmnformn fås d K PID-4 4..9 Mär dn gml sgnlrmn är, n, om mn som är vll lmnr smmn nnållnd gml sgnlr.
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..6 Dsrsrng gnom orormm ros lnjär rnsform norml är äs å dsrsr rglorr, så är PID-4 onvändr. Rglorns nämnr z lr vd sfrvnsn /, vl gr ov ll oändlg försärnng v dnn frvns. D ror å dn lnjär roxmonn lrr d onnrlg ssms försärnng vd oändlg frvns ll d dsrsrd ssms försärnng vd sfrvnsn. O för n dl PID r v oändlg försärnng vd oändlg frvns! Mn n vjäl d gnom lågssflrr rglorn llr drvrngn nnn mn gör lnjär roxmon. För förs ordnngns flr md donsnn f som flrrr l PID-rglorn så fås följnd lnjär roxmon: K d f 4f f PID-4f 4..9 f f Drvrnd vrn å örvärd =o g flrrng rålls gnom rsä md. 4. dsdsr PID-rglorr 4
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..6 Dsrsrng gnom orormm I Bod-dgrmm jämförs n dl PID md 4d 6 o d fm ol dsrsrngrn. PID-...3 övrlr vrndr vd ög frvnsr, o PID-4f är f d / GPID /,378, som gr dn smm försärnng vd s-frvnsn som dn dl PID:n. PID PID- PID- PID-3 PID-4 PID-4f - - 5-5 - - - 4. dsdsr PID-rglorr 4
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..6 Dsrsrng gnom orormm Slsområd för orordsrsrd rglorr D smld rglorrn är dsdsr ssm o drs slsområd är områd nnnför nsrln d omlx lln, dvs z, när d rs md jäl v Z-rnsformn. är onnrlg ssm dsrsrs gnom roxmon vrs d onnrlg ssms slsgnsr n nödvändgvs. Fgrn ll vänsr llsrrr d onnrlg ssms slsområd R s årförs å rlformg områd z,5, 5 d omlx lln när ådffrnsroxmon nvänds. Vss nsl ssm n sålds l sl z mn z,5,5 gnom dnn roxmon. ll ögr vss dn lnjär roxmonn rs vrr slsgnsrn. 4. dsdsr PID-rglorr 4
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor Om d vld smlngsnrvll är l jämförls md ssms dsonsnr, o n v. dödd är ln, n mn sämm rmrrn för n onnrlg rglor nlg någon sndrdrodr.x. Zglr-ols o dr nj dss någon v d smld rglorformrn. Efrsom mäd är ll smlngsnrvll gml vd rglrng md n smlnd rglor, är d movr vd rglordsgnn md llr ö n fnlg dödd md n dödd l md lv smlngsnrvll rossmodlln. Zglr-ols rommndonr gr llmän ggrssv rglrng, o rs för nsl förlggr. Bsr å smm rossnformon som Zglr-ols rommndonr, rommndrr rs o Ln för PI-rglrng K K,, P 4.., 3,mx där P är rodn för sånd svängnngr o K, mx P-rglorns försärnng. E lllnd lrnv är gör någon form v dr sns såsom IMC-dsgn gånd från n dsdsr smld modll. 4.. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 3
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Insällnng v dsr PID-rglor Sndrdlosm för årold rglrng Fgrn vsr losm för årold rglrng md nonvnonr o d vgs vrlrn mär. Vd modr srd å dr sns nvändr mn sg v dn sln slngns övrförngsfnon från r ll, som är är G r s Y s G s G s R s G s G s 4.. För d dsdsr fll fås l nlog r md lsövrförngsororr llr -fnonr. 4. Algormr för smlnd rglrng 4 4
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Insällnng v dsr PID-rglor 4.. Smlng v ssm md dödd E llmän ssm md dödd E onnrlg ssm md n dödd för ll nsgnlr r llsåndsvonn Ax B x 4..3 Om ssm smls md smlngsnrvll n lösnngn nlog md dgr srvs A A A x x B d 4..4 där o är vå närlggnd smlngsnr så. Ang nldnngsvs döddn är mndr än smlngsnrvll, dvs. Ävn om nsgnln är svs onsn övr smlngsnrvlln, är n onsn övr smlngsnrvll frsom dss värd ändrs från ll nn. 3. Algormr för smlnd rglrng 3 5
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Smlng v ssm md dödd En svs onsn nsgnl övr ngronsområd fås om ngrln dls så A A d A A A x x B d B 4..5 Lösnngn n srvs x Fx G G 4..6 llr md o lämnng v onsnn från rgmnn x Fx G G 4..7 där fr v ngronsvrl, do forfrnd lld A A F, G B A A d, G B d 4..8 Om v r n dödd L så L, där är ll, rsäs md o md. Om L, dvs, så lr G, o 4..8 lr då smm som.3.7, o F o G n nls räns nlg.3. o.3.. Döddn nnär då nr fördröjs md smlngsdr. 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 6
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Smlng v ssm md dödd Plsövrförngsororn för ssm md dödd Br ssm x Fx G G Cx D D 4..9 där D nds om ssm n är sr ror. Md jäl v sfororn fås x o sålds llr där I F G G I F G G C I F G G D D 4.. H 4.. H C I F G G D D 4.. 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 7
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Smlng v ssm md dödd Smlng v ndr ordnngns ssm md dödd E ndr ordnngns ssm md vå ol sor dsonsnr o, äljrdonsnn 3, döddn L o försärnngn K r övrförngsfnonn där G s Y s U s Ls K 3s s s s /, / K 3, s Ls 4..3 4..4 K 3 4..5 Ssm n srvs å dgonlformn x Λx x L Λ,, 4..6 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 8
4.. Smlng v ssm md dödd 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 9 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Efrsom Λ är dgonl n smlng nl förs. Md L får v x G G Fx x 4..7 där Λ F 4..8 d G Λ d Λ Λ G
4.. Smlng v ssm md dödd 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 3 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Md jäl v lsövrförngsororn n ssm srvs H 4..9 där H G G F I 4.. Insänng v mrsr o vor gr fr fsnng 3 3 H 4.. där,,,,,, 4..,,,,,,, 3,,,,
4.. Smlng v ssm md dödd 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 3 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Om döddn är n jämn mll v smlngsnrvll, dvs, förnls rn vsvär. V får H 4..3 där 4..4, För förs ordnngns ssm, mn n nödvändgvs, fås H 4..5 /, / K, / K 4..6
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Smlng v ssm md dödd Övnng 4.. Bsäm lsövrförngsororn H för ssm G s Ls K s s då K, L mn, mn,, 5 mn o smlngsnrvll, mn. 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 3
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Insällnng v dsr PID-rglor 4.. Sns v dsdsr PID-rglor Inrmnformn v n dl dsdsr PID-rglor r formn 4..7 där r. Md jäl v åsfororn fås 4..8 som gr rglorns lsövrförngsoror H 4..9 Om ssm md lsövrförngsororn H / rglrs md dnn rglor gs d rglrd ssms lsövrförngsoror v H H H r 4..3 r H H Idén är välj rglorns rmrr 4. Algormr för smlnd rglrng 4 33 H så H r får önsd form.
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Sns v dsdsr PID-rglor Förs ordnngns ssm md dödd E förs ordnngns ssm md n dödd L, där är smlngsnrvll, r lsövrförngsororn H 4..3 V får H H 4..3 Om v väljr dvs ngn D-vrn o fås H H o H r 4..33 där rglorns försärnng är n vrsånd dsgnrmr. Vl / 4..34 gr sgsvr md mnml övrsväng 4 % o n sgd å 3 ll 4 döddr. 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 34
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Sns v dsdsr PID-rglor Sgsvr för. ordnngns ssm rglrd md rglorr nsälld md 4% rgln.,,8,6,4, =L =L/ =L/3 =L/5 =L/7 =L/ 3 4 5 6 7 8 9 döddr 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 35
4.. Sns v dsdsr PID-rglor 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 36 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Andr ordnngns ssm md dödd Dsgnmodn ovn är väldg ändg mn n nl rän d övlg rglorrmrrn o då ssmrmrrn, o är änd. Kn smm mod, llr någon lnnd som nl n ärlds, nvänds för ssm v ndr ordnngn md dödd? Om v nr döddn är n jämn mll v smlngsnrvll r ndr ordnngns ssm lsövrförngsororn H 4..35 Md n dsr PID-rglor H får v H H 4..36 V n välj rglorns rmrr så nämnrn för H lmnrs, mn äljrn lr vr o därmd får v n smm form å H H o dsgnmodn gällr n.
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Sns v dsdsr PID-rglor V n do välj n nnn v rglor. En rglor md lsövrförngsororn gr md vln H 4..37 d, H Dn n själv vr ols som n PID-rglor + flr som flrrr, som mosvrr von 4..3, som llds PIDx. 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 37, d / 4..38 H 4..39 o smm vl v n görs som ovn för förs ordnngns ssm, dvs / 4..34 Dnn rglor är n n rn PID-rglor, n dn r dffrnsformn d 4..4
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4.3 Dr sns md döddsomnson 4.3. Dln-Hgms lgorm Dln o Hgm r förslg n mod srd å dr sns som gr n rglor md ngrrnd vrn o x omnson för dödd. En godlg rglor md lsövrförngsororn H gr för ssm H sl ssm H H H r 4.3. r H H Om mn lösr H fås där mn n sfr som rlsrr d. Prossrglrng 385 3 38 H H r 4.3. H H r H r å öns sä o rän dn rglor H
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3. Dln-Hgms lgorm E sl ssm md mndr dödd än döddn d orglrd ssm n gvvs n rålls. Om ssms dödd är L, där är smlngsnrvll, är r H 4.3.3 dvs förs ordnngns ssm md försärnngn, nl sl ssm. Om d / sln ssms önsd dsonsn är r, så är r. Os. d dsr ssms försärnng fås när mn rsär ororn md, llr för vln som ls frvns / så fås frvnssvr för n j lsövrförngsfnon gnom rsä md. D vl v H gr r H r H r 4.3.4 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 39
4.3. Dln-Hgms lgorm 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 4 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rglrng v : ordnngns ssm md dödd För H 4.3.5 fås H 4.3.6 dvs n rglor md dffrnsformn 4.3.7 D n ols som n PI-rglor md xl döddsomnson. Efrsom rglorn o md rmn nvändr nformon som n vr m gmml n dn förväns vr änslg för modllfl, sll rörnd döddn.
4.3. Dln-Hgms lgorm 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 4 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rglrng v : ordnngns ssm md dödd Ävn om ssm som sll rglrs är v ndr ordnngn, n mn sfr d sln ssm vr v förs ordnngn. För H 4.3.8 fås då fr fsnng d H 4.3.9 där / d. D är n rglor md dffrnsformn d d d 4.3. Rglorn n förväns vr änn änslgr för modllfl än dn förgånd.
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3 Sns md döddsomnson 4.3. E llämnngsxml I övnng 4.. vr gfn sämm lsövrförngsororn H för ssm G md smlngsnrvll, Rsl lv H s K s s 4. Algormr för smlnd rglrng 4 4 Ls mn då K, L mn, mn o, 5,956,736 Här sll fr ol rglordsgnr llsrrs o jämförs:,894,748 Dsrsrd PID-rglor nsälld nlg Zglr-ols rommndonr Dsr PID-rglor nsälld för 4 % övrsläng Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o fl modll förs ordnngn + dödd d Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o orr modll mn.
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3. E llämnngsxml Dsrsrd PID nsälld nlg Zglr-ols Dn onnrlg rossmodlln gr rs frvnsn,5 rd/mn sm G, 44 K, 7, mx Enlg Zglr-ols rommndonr fås K,6K,36, /, 8 mn, d / 4, 5 mn, mx Inrmnformn för n dl PID-rglor smld gnom ådffrnsroxmon är d d d K som är gr 8,5 5,5 7,8 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 43
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3. E llämnngsxml Dsr PID nsälld för 4 % övrsläng För ssm H gr rglorn d md /,,, d / 4 % övrsläng. Här är. D smld ssms rmrr gr 5,6, 9, 6, 3, 9, d, 95 llr 5,6 9,6 3,9,95 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 44
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3. E llämnngsxml Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o fl modll Angs flg rossmodll Ls K G s s md K, L mn,, 5 mn. Smlng md, mn gr / H 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 45 md, 9355 o K K, 6449. / Dln-Hgms rglor för förs ordnngns ssm md är / Md r, 887 fås,8,63,8
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3. E llämnngsxml d Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o orr modll Dln-Hgms rglor för ndr ordnngns ssm md är d d d där d, 948. Md r, 887 fås / Smlrngr, 34,5,8 / 4,8,64 Zglr-ols PID PID md 4 % övrsläng Dln-Hgm md fl modll Dln-Hgm md orr modll,86,74 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 46
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3 Sns md döddsomnson 4.3.3 Rngnng I rglorsnsr v n dr sns sfrs d önsd sln ssm. är snsn görs för sml ssm, gällr sfonn nds smlngsnrn vd som sr mlln smlngsnrn r mn ngn dr onroll övr. Sonn n s som fgrn ndn, där smlngsnrvll är dsn. I smlngsnrn är sgnln ll vänsr l md örvärd, mn därmlln svängr dn. Bnd ror å nsgnln ll ögr svängr rfg rng läg fnomn lls rngnng. 4. Algormr för smlnd rglrng 4 47
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3.3 Rngnng Om v r l närmr å rsln förgånd xml så sr v ävn rngnng:.4. 5 5 Z- 4-% D-H fl D-H rä.8 5.6.4. Z- 4-% D-H fl D-H rä -5 - -5 3 4 5 6 7 8 9-3 4 5 6 7 8 9 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 48
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3.3 Rngnng Orsn ll rngnng Rngnng sår när dn dsdsr rglorn r n ngv ol z, sll om dn lggr när slsgränsn z. D lr of fll om rglorn nnållr nvrsn v modllns lsövrförngsfnon H z, såsom.x. Dln-Hgms rglor [s 4.3.]. Orsn är n smld modll of nnållr ngv nollsäll när z, som då ldr ll n mosvrnd ol rglorn. Vd x smlng v onnrlg ssm fås lld llr flr nollsälln om ssm är mns v : ordnngn förom v. dödd. Orond v v. nollsälln dn onnrlg modlln fås, ävn om döddn är n jämn mll v smlngsnrvll, för ndr ordnngns ssm n lsövrförngsfnon v formn z z z H z z 4.3. 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 49
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3.3 Rngnng Elmnrng v rngnng Dlns modfrd rglrlg För lmnr rngnng, r Dln förslg mn gör ssonn z dn for som förorsr rngnngn. För ndr ordnngns ssm dr d rn mn gör snsn å sn v modlln H z z 4.3. z z Rsl för smm xml som ovn vss fgrn ndn. Rngnngn r lmnrs, mn säll r n ln övrsläng så. 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 5
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3.3 Rngnng Vogl-Edgrs modfon I Dlns modfrd sns r mn ngn onroll övr r sor övrslängn lr. Vogl o Edgr r därför förslg mn n snsrr för få sr ror sl ssm v förs ordnngn md dödd, n för sl ssm v formn z Hr z z 4.3.3 z där z är dn for som förorsr rngnng dvs /. För smm ssm som ovn fås då rglrrsl ndn, dvs ngn rngnng o ngn övrsläng å osnd v någo långsmmr rsons. 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 5
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3.3 Rngnng Övnng 4.3. Vs rglrlgn nlg Vogl-Edgrs modfon v Dln-Hgms rglor för sml ndr ordnngns ssm är följnd: H md Vln lr rglrlgn nmrs för ssm som smls Övnng 4..? 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 5
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3.3 Rngnng Smlrng v rglorrn för Övnng 4.3.. or sgnln för D-H nog r sg vr vd smlngsdnrn..4 5 D-H rä modll D-H rä modll. V-E rä modll V-E rä modll.8 5 5.6.4. -5 - -5 3 4 5 6 7 8 9-3 4 5 6 7 8 9 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 53
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4.4 Dd- rglrng Vd dr sns v n dsr rglor nlg Dln-Hgms mod önsds sl ssm som r sg som förs ordnngns ssm md dödd. Sll d vr möjlg dsgn för änn snr rsons så r H r 4.4. där r mndr r n n vr rlsrr? Lösnng v H r r för d sln ssms lsövrförngsoror s Dln-Hgm gr r H r H 4.4. r H H r H D ör g n rlsrr rglrlg för r frsom r äljrn då n förors or mo äljrn ll H. Vrför mås d gå föror or döddn H? En rglrsrg md dsgnrr H r r lls för dd- rglrng. D fnns ngn mosvrg ll dd- rglrng vd onnrlg rglrng. Dd- rglrng 4 54
4.4 Dd- rglrng 4. Algormr för smlnd rglrng 4 55 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.4. Förs ordnngns ssm För förs ordnngns ssm md dödd H 4.4.3 fås md r H 4.4.4 llr 4.4.5 som är n rlsrr rglrlg. r.x. sll g H o 4.4.6 som n är rlsrr g.
4.4 Dd- rglrng 4. Algormr för smlnd rglrng 4 56 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.4. Dd- rglrng v llsåndsvorn Br dsr ssm md llsåndsvonn G Fx x 4.4.7 där mosvrr n gmnsm dödd för l nsgnlvorn. Urd nvändnng v vonn för n smlngsdnr gr 3 3 G FG G F G F x F x G FG G F x F G FG x F G Fx x G FG x F G Fx x Dn ss vonn n oså srvs G F FG G x F x 4.4.8
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.4. Dd- rglrng v llsåndsvorn V njr nngn Γ G FG F G 4.4.9 Om nl llsånd är n r mrsn Γ n sn rdr. Ifll ssm är srr ommr mrsn rngn n för llrälg sor. För n är mrsn Γ n l md ssms srrsmrs som dgr lls Γ. Dnn mrs r lld rngn n om ssm är srr. Om ssm är srr fnns d sålds lld n mrs Γ, n, som r rngn n. D är då möjlg lös vorn v nsgnlr r r för x md jäl v dn s.. sdonvrsn v Γ, som n rävr Γ är vdrs. Efrsom r gällr för godlg, n smlngsögonln dssom fls frmå md sg. Då fås Γ x F x 4.4. 4.4 Dd- rglrng 4 57
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.4. Dd- rglrng v llsåndsvorn där d fll, då Γ r mns l mång olonnr som rdr, gällr Γ Γ Γ Γ 4.4. Mär Γ Γ om Γ är vdrs, vl lld är fll om nl nsgnlr =, då oså n rävs. Vd smlngsögonl mlmnrs nds srsgnln, n frmd srsgnlr. Dnn srsgnl rålls från r ovn nlg I Γ x F x 4.4. där x nr d önsd llsånd fr smlngr. D är do n n rlsrr srlg dnn form, frsom dn nnållr frmd llsånd x. För dss gällr do x Fx G FFx G G F x FG G 4.4.3 x F x F G FG G vl dr x gs som fnon v x o gml srsgnlr. 4.4 Dd- rglrng 4 58
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.4. Dd- rglrng v llsåndsvorn Gnom nj dfnonn å Γ n dd- srgn ävn rs som F G ΓΓ x F x 4.4.4 Kommnrr Vnlgn rävs n, där n är nl llsåndsvrlr. D är möjlg n rlsrr rglrlg n rålls för n, mn rglrrsl är of ollfrdssällnd. D är änr d sln ssm lr nsl llr llsåndn d onnrlg ssm svängr rfg mlln smlngsögonln g rngnng. Dd- srgn r nds n dsgnrmr smlngsnrvll. Smlngsnrvll sämmr r sn d önsd llsånd nås å dn n llr snr. Rglrsgnlrns sorl ör do drss md mnsnd smlngsnrvll, vl rn är n gränsnd for. Of är d önsd llsånd x. Om Γ är vdrs gällr Γ Γ. 4.4 Dd- rglrng 4 59