MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 1 / del 78 II 1 Stickprov Två yttiga fördeligar Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, / del 78 II

Stickprov Målsättige är att få iformatio om slumpvariabel X. För att få iformatio gör ma tex. mätigar som ger resultate x 1, x,..., x och ma täker att x j är värdet av e slumpvariabel X j. Slumpvariablera X 1, X,..., X är ett stickprov med storleke och x 1, x,..., x är ett observerat stickprov med storleke. Vi atar (valige och uta att säga det explicit att X 1, X,..., X är oberoede och har samma fördelig, som är fördelige av de slumpvariabel vi är itresserade av. Mätskalor Nomialskala: Olika grupper uta aturlig ordig. Ordialskala: Olika grupper med e aturlig ordig. Itervallskala: Numeriska värde, skillader meigsfulla, olla godtycklig. Kvotskala: Numeriska värde, aturligt ollvärde. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 3 / del 78 II Obs! Atagadet att slumpvariablera X j i ett stickprov är oberoede förutsätter att vi aväder dragig med återläggig, me detta villkor uppfylls sälla! Det fis dessutom måga adra större svårigheter är ma i praktike skall ta ett stickprov och detta är ett viktigt problem som ite behadlas här! Fördelige av de observerade värdea och hur de beskrivs Av de observerade värdea x 1, x,..., x i ett stickprov ka ma bilda e diskret saolikhetsfördelig, e sk. empirisk fördelig så att Pr(H = x = 1 { j : x j = x } (som alltså är e jäm diskret fördelig om värdea är olika. Ma ka beskriva dehär fördelige med vätevärdet, variase, mediae, adra kvatiler mm. me också med stapeldiagram eller histogram beroede på situatioe. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 4 / del 78 II

Stapeldiagram Om mätskala är e omial- eller ordialskala och/eller de ursprugliga slumpvariabel är diskret så ka det observerade stickprovet x 1, x,..., x beskrivas med ett stapeldiagram där höjde av varje stapel y k är de observerade frekvese f k = { j : x j = y k } och alla staplar har samma bredd. 4 3 1 y 1 y y 3 y 4 Histogram Om slumpvariabel är kotiuerlig 3 och mätskala är e itervall- eller kvotskala så ka det observerade stickprovet x 1, x,..., x beskrivas med ett histogram, 1 dvs. klassidelade frekveser så att ma väljer klassgräser a 0 < a 1 <... < a m, räkar frekvesera f k = { j : a k 1 < x j a k } och 0.5.5 3.5 4.5 ritar dessa som rektaglar vars ytor är proportioella mot frekvesera. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 5 / del 78 II Medelvärde Om X j, j = 1,..., är ett stickprov av slumpvariabel X så är dess (aritmetiska medelvärde X = 1 X j och E(X = E(X och Var(X = 1 Var(X, eftersom vätevärdet är lijärt, variase av e summa av oberoede slumpvariabler är summa av variasera och Var(cX = c Var(X. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 6 / del 78 II

Stickprovsvarias Om X j, j = 1,..., är ett stickprov av slumpvariabel X så är dess stickprovsvarias S = 1 (X j X 1 och E(S = Var(X, så att stickprovsvariase är e vätevärdesriktig estimator av variase vilket är motiverige för valet av 1 istället för i ämare. Obs Om x 1, x,..., x är observerade värde i ett stickprov av slumpvariabel X så är deras medeltal x = 1 x j och (observerade stickprovsvarias s = 1 1 (x j x. Om ma i Matlab/Octave har observatioera i vektor x så räkar ma medelvärdet med kommadot mea(x och stickprovsvariase med kommadot var(x. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 7 / del 78 II χ -fördelige Ifall X j N(0, 1, j = 1,,..., m, är oberoede och m C = i=1 så säger vi att C är χ -fördelad med m frihetsgrader eller C χ (m. Då är E(C = m och Var(C = m, X i och C har täthetsfuktioe och f C (t = 0 då t < 0. f C (t = 1 m ( t m 1 e t, t 0. Γ m Stickprovsvarias för ormalfördelige Om X j, j = 1,,..., är ett stickprov av e N(µ, σ fördelad slumpvariabel så gäller för stickprovsvariase 1 σ S χ ( 1. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 8 / del 78 II

t-fördelige Ifall Z N(0, 1 och C χ (m är oberoede och W = Z 1 m C så säger vi att W är t-fördelad med m frihetsgrader eller W t(m. Då är E(W = 0 om m > 1 och Var(W = m m ( f W (t = 1 Γ m+1 ( mπ Γ m om m > och W har täthetsfuktioe ( 1 + t m m+1, t R. Stickprov av ormalfördelige Om X j, j = 1,,..., är ett stickprov av e N(µ, σ -fördelad slumpvariabel så är X µ 1 S t( 1. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 9 / del 78 II Puktestimat och estimator Atag att vi vet (eller tror att X är e slumpvariabel med frekves- eller täthetsfuktio f (x, θ där parameter θ (som också ka vara e vektor är okäd. Vad ka vi göra för att estimera eller skatta θ? Vi tar ett observerat stickprov x j, j = 1,..., av X. Vi räkar ut ett estimat ˆθ = g(x 1, x,..., x där g är ågo fuktio. Observera att ˆθ är ett tal eller e vektor me om vi byter ut tale x j mot motsvarade slumpvariabler X j så får vi slumpvariable ˆΘ = g(x 1, X,..., X. Iblad är det fuktioe g som avses med ordet estimator och iblad slumpvariabel ˆΘ. Itervallestimat Istället för att bara räka ut ett tal (eller e vektor som estimat för e parameter ka ma också räka ut ett itervall. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 10 / del 78 II

Exempel: Mometmetode Av slumpvariable X har vi fått följade observatioer 0.46, 0.0, 0.19, 0.09, 0.46 och 0.16. Vi har skäl att tro att X är Exp(λ-fördelad me vi käer ite till parameter λ. Hur ka vi uppskatta, dvs. estimera λ? Eftersom vi vet att E(X = 1 λ så är det aturligt att räka medelvärdet av de observerade värdea och vi får x = 1 6 6 = 1 (0.46 + 0.0 + 0.19 + 0.09 + 0.46 + 0.16 = 0.6, 6 och seda aväda detta tal istället för E(X i formel E(X = 1 λ så att vi får estimatet ˆλ = 1 0.6 3.8. För expoetialfördelige ka vi alltså som estimator för parameter aväda 1. X Dehär estimator är ite vätevärdesriktig eftersom E( 1 X växer ärmar de sig det riktiga värdet, dvs. lim Pr ( λ ( 1 X 1 j > ɛ = 0 för alla ɛ > 0. > λ me då G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 11 / del 78 II Mometmetode Om frekves- eller täthetsfuktioe f (x, θ för e saolikhetsfördelig är såda att θ ka skrivas som e fuktio av E(X, dvs. θ = h(e(x så är mometestimator av θ ˆΘ = h 1 X j. Om parameter, eller parametrara ka skrivas som e fuktio h(e(x, E(X blir estimator på motsvarade sätt ( ˆΘ = h 1 X j, 1 Xj. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 1 / del 78 II

Maximum likelihood - metode Om f (x, θ är e frekves- eller täthetsfuktio för e saolikhetsfördelig så är Maximum likelihood -estimatet av θ talet θ sådat att L( θ, x 1, x,..., x = max L(θ, x 1, x, x, θ där L(θ, x 1, x, x = f (x 1, θ f (x, θ... f (x, θ är de sk. likelihood -fuktioe och x j, j = 1,..., är ett observerat stickprov av e slumpvariabel med frekves- eller täthetsfuktioe f (x, θ. I det diskreta fallet är L(θ, x 1, x, x saolikhete för att ma då parameter är θ får det observerade stickprovet x j, j = 1,...,. I fallet med täthetsfuktio är (h L(θ, x 1,..., x för små positiva h ugefär saolikhete att få ett observerat stickprov y j, j = 1,..., så att y j x j < h för alla j. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 13 / del 78 II Exempel: Maximum-likelihood metode mm Du aläder till e främmade stad och på flygfältet ser du tre taxibilar med umrora 57, 113 och 758. Hur måga taxibilar fis det i dehär stade? Vi atar att att det fis N taxibilar med umrora 1,,..., N och att saolikhete att e taxibil på flygfältet har ummer j är 1 N för alla j = 1,,..., N. Om vi aväder mometmetode så skall vi räka vätevärdet av e slumpvariabel X som är jämt fördelad i mägde {1,..., N} och det är E(X = N i=1 i 1 N = N(N+1 N = N+1, så att N = E(X 1. Seda räkar vi medelvärdet av observatioera x = 1 3 (57 + 113 + 758 = 309.33 och som estimat får vi ˆN = 309.33 1 618 vilket är ett för litet atal. E aa möjlighet är att aväda maximum-likelihood metode: Om atalet taxibilar är N så är saolikhete 1 N att vi ser bile med ummer 57. Samma saolikhet gäller för bilara med ummer 113 och 758, förutsatt att N 758 för aars är saolikhete 0 att vi ser e bil med ummer 758. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 14 / del 78 II

Exempel: Maximum-likelihood metode mm, forts. Dethär betyder att 1 L(N = Pr( Du ser umrora 57, 113 och 758 = N 3, N 758, 0, N < 758. I elighet med maximum-likelihood metode väljer vi estimatet ˆN så att likelihoodfuktioe L(N får ett så stort värde som möjligt, dvs. i detta fall ˆN = 758. Motsvarade resultat gäller också mera allmät, dvs. om X 1, X,..., X k är ett stickprov av e slumpvariabel som är jämt fördelad i mägde {1,,..., N} (eller i det kotiuerliga fallet i itervallet [0, N] så är maximum-likelihood estimatet av N ˆN = max(x 1, X,..., X k. Detta är ite ett vätevärdesriktigt estimat för det är klart att E( ˆN < N me vad är E(max(X 1, X,..., X k? G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 15 / del 78 II Exempel: Maximum-likelihood metode mm, forts. Nu är Pr(max(X 1, X,..., X k m = Pr(X j m, j = 1,..., k = ( m N av vilket följer att Pr(max(X 1, X,..., X k = m = ( m k ( N m 1 k N och vätevärdet blir E ( max(x 1, X,..., X k ( N (m ( k m 1 k = m. N N E följd av detta är att m=1 k k + 1 N < E(max(X 1, X,..., X k < k k + 1 N + 1. Dethär betyder att e bättre estimator för N kude vara k + 1 k max(x 1, X,..., X k, som är vätevärdesriktigt i det kotiuerliga fallet Ett bättre estimat för atalet taxibilar är alltså 4 3 758 1011. k G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 16 / del 78 II

Exempel: Kofidesitervall för parameter i expoetialfördelige Vi atar att vi har ett stickprov av e Exp(λ-fördelad slumpvariabel så att stickprovets storlek är 50 och medelvärdet är 0.8. Med mometmetode får vi då estimatet ˆλ = 1 0.8 = 1.5 för parameter λ me här gäller det att bestämma ett itervall så att om vi med måga olika stickprov med samma metod bestämmer ett itervall så kommer i stort sett tex. 95% av itervalle att vara sådaa att parameter hör till det itervall vi räkat ut med hjälp av de observerade värdea i det fallet. För detta behöver vi e slumpvariabel vars fördelig vi åtmistoe approximativt käer till, dvs. de iehåller iga okäda parametrar. Med stöd av de cetrala gräsvärdessatse aväder ma för dethär ofta ormalfördelige N(0, 1 och det gör vi u också. Vi strutar för e stud i de umeriska värdea och atar att vi har ett stickprov X 1, X,..., X 50 av e slumpvariabel X Exp(λ. Vätevärdet av medelvärdet X = 1 50 X j är då E(X = E(X = 1 λ och variase Var(X = 1 50 Var(X = 1 50 1. λ G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 17 / del 78 II Exempel: Kofidesitervall för parameter i expoetialfördelige, forts. Om vi tror att = 50 är tillräckligt stort så är X 1 λ 1 50λ a N(0, 1. Ifall Z N(0, 1 så gäller ( Pr F 1 1 N(0,1 (0.05 Z FN(0,1 (0.975 = Pr( 1.96 Z 1.96 = 0.95, så att Nu är Pr 1.96 X 1 λ 1.96 0.95. 1 50λ 1.96 X 1 λ 1 1.96 50λ 1 1.96 50 X λ 1 + 1.96 50, X G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 18 / del 78 II

Exempel: Kofidesitervall för parameter i expoetialfördelige, forts. så att saolikhete att λ ligger mella slumpvariablera 0.7 1.8 och X X också är ugefär 0.95. Detta betyder att ett 95% approximativt kofidesitervall för parameter i expoetialfördelige då stickprovets storlek är 50 är [ 0.7 X, 1.8 ]. X I dethär fallet blir kofidesitervallet [0.9, 1.6]. För expoetialfördelige är det ite speciellt svårt att få fram olikheter för parameter, me om detta ite skulle ha varit fallet (detta gäller tex. Beroulli-fördelige så skulle vi i uttrycket 1 λ för variase ha kuat aväda estimator X 1 för λ och då skulle kofidesitervallet ha blivit 1 X + 1.96 X, 1 X 1.96 = X 50 50 [ 0.78 X, 1.38 ], X och dethär kofidesitervallet blir [0.97, 1.73] om x = 0.8. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 19 / del 78 II Kofidesitervall Ett kofidesitervall med kofidesgrade 1 α för e parameter θ i e saolikhetsfördelig är e itervallestimator I (X 1, X,..., X = [a(x 1, X,..., X, b(x 1, X,..., X ] så att Pr ( θ I (X 1, X,..., X = 1 α. Oftast aväds också ordet kofidesitervall för itervallet I (x 1, x,..., x, dvs. värdet av slumpvariabel är ma fått ett observerat stickprov x j, j = 1,...,. Obs! Valige väljer ma kofidesitervallet symmetriskt så att Pr(θ < a(x 1, X,..., X = Pr(θ > b(x 1, X,..., X = 1 α. Oftast får ma öja sig med att villkore för kofidesitervallet gäller edast approximativt. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 0 / del 78 II

Kofidesitervall för vätevärdet då X N(µ, σ Om X 1, X,..., X är ett stickprov med medelvärde X och stickprovsvarias S av e N(µ, σ -fördelad slumpvariabel så är [ X F 1 ( t( 1 1 α S, X + F 1 ( ] t( 1 1 α S, ett kofidesitervall för µ med kofidesgrade 1 α. Varför? Ifall W är e t( 1-fördelad slumpvariabel och t α = F 1 ( ( t( 1 1 α = F 1 α t( 1 så är Pr( t α u W = X µ S edast om X t α W så är t α S t α = 1 α. Om W t α µ X + t α om och S. α t α 1 α t α α G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 1 / del 78 II Kofidesitervall för p då X Beroulli(p Om X 1, X,..., X är ett stickprov med medelvärde X av e Beroulli(p-fördelad slumpvariabel så är X F 1 N(0,1 ( 1 α X (1 X, X + F 1 N(0,1 ( 1 α X (1 X ett approximativt kofidesitervall för µ med kofidesgrade 1 α. Varför? Om Z är approximativt N(0, 1-fördelad och z α = F 1 N(0,1 Pr( z 1 α Z z α 1 α. Nu är X p p(1 p ämare med estimator X och om Z = precis då X z α X (1 X p X + z α ( 1 α så är a N(0, 1 me p ersätts i X p X (1 X X (1 X. så är z 1 α Z z α G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, / del 78 II

Obs! Ofta aväds beteckige t α = t α,m = F 1 1 t(m (α = Ft(m (1 α, vilket alltså betyder att om X är e t(m-fördelad slumpvariabel så är Pr(X t α = Pr(X t α = α och Pr( X t α = α. Motsvarade beteckig för ormalfördelige N(0, 1 är z α så att om Z N(0, 1 så är Pr(Z z α = Pr(Z z α = α och Pr( Z z α = α. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 3 / del 78 II Kofidesitervall för σ då X N(µ, σ Om X 1, X,..., X är ett stickprov med stickprovsvarias S av e N(µ, σ fördelad slumpvariabel så är [ ] ( 1S ( 1S F 1 (, χ ( 1 1 α F 1 ( α χ ( 1 ett kofidesitervall för σ med kofidesgrade 1 α. Varför? Om C är e χ ( 1 fördelad slumpvariabel så gäller Pr(C < F 1 χ ( 1 ( α = α och Pr(C > F 1 χ ( 1 (1 α = α. Om u α 1 α F 1 χ ( 1 ( α α F 1 χ ( 1 (1 α C = ( 1S så är σ < ( 1S 1 då C > F σ F 1 χ (1 α χ ( 1 (1 α och ( 1 σ > ( 1S 1 då C < F F 1 χ ( α χ ( 1 ( α så att saolikhete för båda ( 1 hädelsera är α. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 4 / del 78 II

Hypotesprövig Vi udersöker om det fis skäl att förkasta e hypotes H 0, de sk. ollhypotese, för att de resultat vi fått är mycket osaolika om ollhypotese gäller eller om allt bara beror på slumpe. Nollhypotese är valige ett motpåståede eller atites som vi behöver argumet för att förkasta. För att kua göra ågra beräkigar måste ma som ollhypotes välja ett tillräckligt etydigt påståede, tex. θ = θ 0 och ite θ θ 0 som är för diffust. Oftast räcker det om ollhypotese har ett etydigt extremfall, tex. θ θ 0. I ollhypotese igår oftast måga adra atagade om fördeligar, oberoede osv. som ka ha stor betydelse för resultatet me som ma ite ödvädigtvis försöker förkasta. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 5 / del 78 II Hypotesprövig, forts. När ma tagit ett stickprov räkar vi ut värdet på e testvariabel som vi valt så att om ollhypotese gäller så har testvariabel (åtmistoe approximativt ågo stadardfördelig som vi käer väl till. Med stöd av ollhypotese räkar ma ut saolikhete, det sk. p-värdet, för att testvariabel får ett mist lika extremt värde i förhållade till ollhypotese som det observerade stickprovet gav. Om p-värdet är midre ä e give sigifikasivå förkastar ma ollhypotese. Sigifikasivå är alltså saolikhete (ofta ett ärmevärde och om ollhypotese iehåller olikheter, e övre gräs för att ma förkastar ollhypotese trots att de gäller. För att beräka saolikhete att ma ite förkastar ollhypotese fastä de ite gäller behövs specifika tilläggsatagade vilket gör dea fråga svårare att behadla. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 6 / del 78 II

Exempel: Hypotestestig Till e polikliik kommer i geomsitt 9 patieter i timme. E dag då det varit halt väglag kommer det 130 patieter uder 1 timmar. Kommer det mera patieter på grud av det dåliga väglaget eller är det fråga om slumpmässiga variatioer? Om det kommer i geomsitt 9 patieter i timme så ka vi räka med att vätevärdet av atalet patieter uder 1 timmar är 9 1 = 108 och vi ka som ollhypotes ta atitese till fråga om det kommit ovaligt måga patieter att vätevärdet av atalet patieter är högst 108. Dessutom gör vi också atagadet att atalet patieter uder 1 timmar är Poisso(λ-fördelat där alltså λ 108. För räkigara aväder vi ädå extremfallet λ = 108. Det är ige idé att räka bara saolikhete för att Pr(X = 130 om X är atalet patieter, me däremot skall vi räka saolikhete Pr(X 130. Om vi räkar med Poisso-fördeliges fördeligsfuktio får vi p = Pr(X 130 = 1 Pr(X 19 = 1 F Poisso(108 (19 = 0.01645. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 7 / del 78 II Exempel: Hypotestestig, forts. Om vi aväder ormalapproximatio så får vi p = Pr(X 130 = Pr = Pr ( X E(X Var(X ( X E(X Var(X 130 E(X Var(X ( 130 108 X E(X = Pr.117 0.01713. 108 Var(X (Geom att räka 1 Pr(X 19 med ormalapproximatio kommar ma ärmare det exakta svaret. Slutsatse är i alla fall att ollhypotese ka förkastas på sigifikasivå 0.05 me ite på sigifikasivå 0.01. Om vi istället som ollhypotes tagit λ = 108, vilket skulle ha varit föruftigt om vi frågat om det varit e ovalig dag på polikliike, så borde vi också beakta möjlighete att det kommit väldigt få patieter och då skulle p-värdet ha blivit det dubbla (vilket ite exakt är Pr(X 130 + Pr(X 86. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 8 / del 78 II

Testa vätevärde, ormalfördelig, exempel Var mars 014 e ovalig måad beträffade ederbörde? I mars 014 var ederbördsmägdera på vissa mätstatioer följade: 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Nederbörd 33 7 30 8 8 4 31 34 Motsarade medeltal för åre 1981 010 var 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Medeltal 39 37 38 36 36 6 35 9 30 1 Nu är det föruftigt att räka hur mycket värdea för år 014 avviker frå medelvärdea och skilladera är följade: 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Skillad -6-10 -8-14 -8-11 4 1 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 9 / del 78 II Testa vätevärde, ormalfördelig, exempel, forts. Eftersom fråga var om mars var e ovalig måad så väljer vi som ollhypotes att de ite var det. Vi ka ite som ollhypotes aväda atagadet att de var ovalig för det ger igetig som ka avädas i räkigar och här sägs igetig om på vilket sätt de evetuellt var ovalig. Nollhypotese blir därför att skillade mella ederbördsmägdera 014 och medelvärdea frå e lägre tid är N(µ, σ -fördelade med µ = 0 och att dehär skilladera på olika orter är oberoede. Medelvärdet av skilladera är 4.8 och stickprovsvariase är 41.733. Det betyder att testvariabel W = X 0 får värdet.3496. Eftersom W S 10 eligt ollhypotese har fördelige t(10 1 så blir p-värdet p = Pr( W 0.3496 0 = Pr(W.3496 eller W.3496 = F t(9 (.3496 + 1 F t(9 (.3496 = F t(9 (.3496 = 0.043333, så vi ka förkasta ollhypotese på sigifikasivå 0.05. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 30 / del 78 II

Testa vätevärde, ormalfördelig, exempel, forts. Om fråga skulle ha varit om ederbördsmägde i mars 014 var ovaligt lite skulle vi som ollhypotes ha valt påståedet att de ite var det, dvs. att fördelige av skilladera är N(µ, σ där µ 0. Testvariabel skulle ha varit precis desamma me p-värdet skulle ha blivit p = Pr(W.3496 = F t(9 (.3496 = 0.01667. Om fråga skulle ha varit om ederbördsmägde i mars 014 var ovaligt stor skulle vi som ollhypotes ha valt påståedet att de ite var det, dvs. att fördelige av skilladera är N(µ, σ där µ 0. Eftersom medelvärdet är egativt är resultate helt i elighet med de här ollhypotese så det fis iget skäl att förkasta de och vi behöver ite heller räka ut stickprovsvariase, det räcker att vi räkar medelvärdet. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 31 / del 78 II Normalfördelad slumpvariabel, testig av vätevärdet Ifall X j, j = 1,,..., är ett stickprov av slumpvariabel X som är N(µ, σ -fördelad och ollhypotese är µ = µ 0 (eller µ µ 0 eller µ µ 0 så väljer vi som testvariabel X µ 0 S t( 1, där X är medelvärdet och S stickprovsvariase. Obs! Det är e följd av atagadet om ormalfördelig att här ite aväds approximatioer så det är ite ödvädigtvis ett problem om stickprovsstorleke är lite. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 3 / del 78 II

Testig av adel eller saolikhet med ormalapproximatio Ifall X j, j = 1,,..., är ett stickprov av e Beroulli(p-fördelad slumpvariabel och ollhypotese är p = p 0 (eller p p 0 eller p p 0 så ka vi som testvariabel välja X p 0 p 0 (1 p 0 a N(0, 1. Vi ka lika väl räka summa Y = X j av stickprovet som är Bi(, p-fördelad och testvariabel (som ite ädras ka vi skriva i forme Y p 0 p0 (1 p 0 a N(0, 1. Obs! I dethär fallet aväder vi e approximativ fördelig och som e tumregel ka ma aväda att approximatioe är tillräckligt bra om mi(p 0, (1 p 0 10. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 33 / del 78 II p-värde, kritiskt område, t(m- eller N(0, 1-testvariabel Vi atar att testvariabel U är t(m- eller (approximativt N(0, 1-fördelad så att dess fördeligsfuktio är F U och att de i testet får värdet u. Om alterativet till ollhypotese är tvåsidigt, dvs. ollhypotese är µ = µ 0, p = p 0 osv., dvs. resultate är helt i elighet med ollhypotese då testvariabel är 0 så gäller: p-värdet är Pr(U u eller U u = F U ( u. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå α ifall p < α dvs. om testvariabels värde ligger i det kritiska området (, u α (u α, där u α = F 1 U ( α = F 1 U (1 α. α α u α u α G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 34 / del 78 II

p-värde, kritiskt område, t(m- eller N(0, 1-testvariabel, forts. Om alterativet till ollhypotese är esidigt, och ollhypotese är µ µ 0, p p 0 osv., dvs. resultate är helt i elighet med ollhypotese då testvariabel är 0 så gäller p-värdet är Pr(U u = 1 F U (u. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariables värde ligger i det kritiska området (u α, där u α = F 1 1 U (α = FU (1 α. α u α G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 35 / del 78 II p-värde, kritiskt område, t(m- eller N(0, 1-testvariabel, forts. Om alterativet till ollhypotese är esidigt, och ollhypotese är µ µ 0, p p 0 osv., dvs. resultate är helt i elighet med ollhypotese då testvariabel är 0 så gäller p-värdet är Pr(U u = F U (u. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabels värde ligger i det kritiska området (, u α där u α = F 1 1 U (α = FU (1 α. α u α G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 36 / del 78 II

Testig av två vätevärde, ormalfördelig, samma varias Om X j, j = 1,,..., x och Y j, j = 1,,..., y är (oberoede stickprov av slumpvariablera X och Y där X N(µ x, σ och Y N(µ y, σ och ollhypotese är µ x = µ y (eller µ x µ y eller µ x µ y så väljer vi som testvariabel Varför X Y (x 1S x +( y 1S y x + y ( 1 x + 1 y (x 1S x +( y 1S y x + y ( 1 x + 1 y t( x + y. Eftersom X j N(µ x, σ och Y j N(µ y, σ så gäller ( x 1S x χ ( σ x 1 och ( y 1Sy χ ( σ y 1 och eftersom X - och Y -slumpvariablera och därmed Sx och Sy är oberoede så är 1 (( σ x 1Sx + ( y 1Sy χ ( x 1 + y 1. Testvariabel ka Z alltså skrivas i forme där Z = X Y N(0, 1, 1 m C σ ( 1 x + 1 y m = x + y och C = 1 (( σ x 1Sx + ( y 1Sy. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 37 / del 78 II Exempel: Skillade mella adelar Uder åre 1660 1740 föddes i Paris 377 649 flickor och 393 535 pojkar och uder samma tid föddes i Lodo 698 900 flickor och 737 687 pojkar. Fis det skillader i adele flickor? Låt X j vara e slumpvariabel som får värdet 1 om bar ummer j i Paris är e flicka och 0 om det är e pojke och låt Y j vara motsvarade slumpvariabel för bare i Lodo. Dessutom atar vi att alla dehär slumpvariablera är oberoede och att Pr(X j = 1 = p P och Pr(Y j = 1 = p L. Nollhypotese är i detta fall H o : p P = p L. Nollhypotese säger ite vad p P = p L är me vi ka räka ett estimat ˆp för dehär saolikhete geom att kostatera att det föddes sammalagt 07 771 bar och av dessa var 1 076 549 flickor så att 1 076 549 ˆp = 0.4876. Vi ka också räka medelvärdea av de 07 771 observerade stickprove och de är x = 0.4897 och y = 0.4865. ˆp(1 ˆp Slumpvariabels X varias är ugefär där P = 771184 är P atalet bar födda i Paris. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 38 / del 78 II

Exempel: Skillade mella adelar, forts. ˆp(1 ˆp På samma sätt är variase av Y ugefär där L = 771184 är L atalet bar födda i Lodo. Det här betyder att slumpvariabels X Y varias är ugefär ˆp(1 ˆp ˆp(1 ˆp + så att testvariabel P L X Y Z = ˆp(1 ˆp( 1 P + 1 L är i stort sett N(0, 1-fördelad. I dethär fallet får testvariabel värdet 0.48970 0.48650 z = 0.4876 (1 0.4876 ( 1 771184 + 1 = 4.5350. 1436587 p-värdet blir u p Pr( Z 4.535 = F N(0,1 ( 4.5350 = 0.00000576, vilket betyder att vi har goda skäl att förkasta ollhypotese. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 39 / del 78 II Testig av två adelar eller saolikheter Om X j, j = 1,,..., x och Y j, j = 1,..., y är två (oberoede stickprov av slumpvariablera X och Y där X Beroulli(p x och Y Beroulli(p y och ollhypotese är p x = p y (eller p x p y eller p x p y så väljer vi som testvariabel X Y P(1 P( 1 x + 1 y a N(0, 1 där P = xx + y Y x + y. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 40 / del 78 II

Exempel: Skillade mella två vätevärde, allmät fall Frå e viss process har vi samlat i data för att säkerställa produktkvalitete och seda gjorde vi ädrigar i processe för att miska på variase. Detta lyckades också me vi hoppas och också mätvärdea, dvs. kvalitete också stigit. För att udersöka detta gjorde vi mätigar före och efter förädrigara: Stickprovsstorlek Medelvärde Stickprovsvarias Före 0 4.50 0.08 Efter 50 4.56 0.04 Här har vi alltså stickprov X 1, X,..., X 0 (före och Y 1, Y,..., Y 50 (efter och vi atar att alla dessa slumpvariabler är oberoede, slumpvariablera X j har samma fördelig och slumpvariablera har samma fördelig. Däremot atar vi ite att de har samma varias eller är ormalfördelade me og att de är sådaa att medelvärdea X och Y är ugefär ormalfördelade på gud av de cetrala gräsvärdessatse. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 41 / del 78 II Exempel: Skillade mella två vätevärde, allmät fall, forts. Då gäller också X Y a N ( µ X µ Y, σ X 0 + σ Y. 50 I dethär fallet väljer vi som ollhypotes µ X µ Y som motpåståede till vår förmoda att kvalitete förbättrades, dvs. µ Y > µ X. Vi vet ite vad σx och σ Y är me vi ka estimera dem med stickprovsvariasera S X och SY så att testvariabel blir Z = X Y S x 0 + S Y 50 a N(0, 1. Värdet av testvariabel är i detta fall.6 och eftersom positiva värde på testvariabel är i samklag med ollhypotese så blir p-värdet p = Pr(Z.6 F N(0,1 (.6 = 0.0044. Det här betyder att vi ka förkasta ollhypotese på sigifikasivå 0.01. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 4 / del 78 II

Apassig eller Goodess-of-fit Om X j, j = 1,..., är ett stickprov av slumpvariabel X vars värdemägd är m k=1 A k där mägdera A k är disjukta och ollhypotese är H 0 : Pr(X A k = p k, k = 1,..., m så väljer vi som testvariabel m k=1 (O k p k p k a χ (m 1, där O k är atalet elemet i mägde { j : X j A k }. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 43 / del 78 II Exempel: Sigla slat Atag att vi siglar slat 400 gåger och får 170 klavor och 30 kroor. Som ollhypotes tar vi H 0 : p = 0.5 där p = Pr(T. Om Y är atalet klavor så är Y Biom(, p med = 400 och p = 0.5. Y p Det betyder att a N(0, 1 så p-värdet blir, eftersom alterativet p(1 p till ollhypotese är tvåsidigt, p = Pr(Y 170 = Pr ( Y p p(1 p 170 00 400 0.5 0.5 ( Y p = Pr 3 0.006998. p(1 p G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 44 / del 78 II

Exempel: Sigla slat, forts. Ett aat sätt är att skriva de observerade tale i e tabell: T H 170 30 och räka värdet av testvariabel C = m k=1 χ -apassigstestet och det blir (O k p k p k i c = (170 400 0.5 400 0.5 + (30 400 0.5 400 0.5 = 30 00 + 30 00 = 9. Nu är C ugefär χ ( 1-fördelad och det är bara stora värde på C som motsäger ollhypotese så testets p-värde blir p = Pr(C 9 = 1 F χ (1(9 = 0.006998. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 45 / del 78 II Exempel: Sigla slat, forts. Hur kommer det sig att vi får exakt samma svar i båda falle? Om Y Biom(, p är atalet klavor så är Y atalet kroor och (Y p p = + (( Y (1 p = (1 p ( 1 p + 1 = 1 p (Y p (Y p p (Y p p(1 p = + ( ( Y + p (1 p Y p p(1 p, så att testvariabel i χ -testet är kvadrate av testvariabel i ormalapproximatioe av de biomialfördelade slumpvariabel Y och e χ (1-fördelad slumpvariabel är eligt defiitioe kvadrate av e N(0, 1-fördelad slumpvariabel. Ifall atalet klasser m i χ -testet är större ä så är det betydligt besvärligare att visa att C a χ (m 1. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 46 / del 78 II

Test av variase, ormalfördelig Om X j, j = 1,,..., är ett stickprov av slumpvariabel X som är N(µ, σ -fördelad och ollhypotese är σ = σ0 (eller σ σ0 eller σ σ0 så väljer vi som testvariabel ( 1S σ 0 χ ( 1, där S är stickprovsvariase. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 47 / del 78 II p-värde, kritiskt område, χ -testvariabel Vi atar att testvariabel C är (approximativt χ (k-fördelad och att de i testet får värdet c. Om alterativet till ollhypotese är esidigt och små värde av testvariabel är föreliga med ollhypotese så gäller: p-värdet är Pr(C c = 1 F χ (k(c. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får sitt värde i det kritiska området (F 1 χ (k (1 α,. Om alterativet till ollhypotese är esidigt och stora värde av testvariabel är föreeliga med ollhypotese så gäller p-värdet är Pr(C c = F χ (k(c. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får sitt värde i det kritiska området (0, F 1 χ (k (α. Om alterativet till ollhypotese är tvåsidigt så gäller p-värdet är mi(f χ (k(c, 1 F χ (k(c. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får sitt värde i det kritiska området (0, F 1 χ (k ( α (F 1 χ (k (1 α,. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 48 / del 78 II

Exempel: Stickprovsvariases fördelig Om X j, j = 1, är ett stickprov av e N(µ, σ fördelad slumpvariabel så har ( 1S fördelige χ ( 1. Me vad häder om vi tar ett σ stickprov av e slumpvariabel X som är jämt fördelad i itervallet [0, 1] så att Var(X = 1 1? Som ollhypotes tar vi att ( 1S fortfarade är χ ( 1-fördelad, vi σ väljer = 5 och räkar variase för 100 stickprov. Klassera väljer vi som itervalle [0,, [, 4, [4, 6, [6, 8 och [8, och resultate blir följade då vi ser efter i vilket itervall (5 1s 1 1 hamar: A k [0, [, 4 [4, 6 [6, 8 [8, O k 16 41 5 16 Saolikhete att e χ (5 1-fördelad slumpvariabel ligger i itervallet [a k 1, a k är F χ (4(a k F χ (4(a k 1 och de här saolikhetera blir A k [0, [, 4 [4, 6 [6, 8 [8, p k 0.6441 0.39753 0.06858 0.107570 0.091578 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 49 / del 78 II Exempel: Stickprovsvariases fördelig, forts. Värdet av testvariabel C = 5 k=1 (O k 100 p k 100 p k blir u c = (16 6.441 6.441 + (41 3.9753 (5 0.6858 + 3.9753 0.6858 (16 10.757 ( 9.1578 + + 10.757 9.1578 = 15.115. Eftersom C är ugefär χ (5 1-fördelad och edast stora värde på C motsäger ollhypotese så blir testets p-värde p = Pr(C 15.115 = 1 F χ (4(15.115 = 0.0045. Det här betyder att det fis skäl att förkasta ollhypotese och om vi skulle ha räkat variase för äu flera stickprov skulle det här ha blivit äu tydligare. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 50 / del 78 II

Exempel Vi vill testa om saolikhete att få e kroa då ma siglar e viss slat faktiskt är 0.5. Hur måga gåger måste vi sigla slate för att saolikhete att ollhypotese H 0 : p = 0.5 förkastas på sigifikasivå 0.05 är åtmistoe 0.9 om p 0.5? Eftersom vi vill räka ut e övre gräs för atalet kast räcker det att ata att p = 0.5. Vi siglar alltså slat gågar och adele kroor blir då ˆp. Testvariabel är (för ormalapproximatio Z = ˆp p 0, p 0 (1 p 0 där p 0 = 0.5. Eftersom sigifikasivå är vald till 0.05 och alterativet till ollhypotese är tvåsidigt så är de kritiska värdea ±z 0.05 = F 1 N(0,1 (0.05 = ±1.96, dvs. ollhypotese förkastas om z > 1.96 eller z < 1.96. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 51 / del 78 II Exempel, forts. Om u i verklighete p = p 1 = 0.5 så är Pr ˆp p 0 p 0 (1 p 0 = Pr = Pr > 1.96 = Pr ˆp p 1 p 1 (1 p 1 ˆp p 1 p 1 (1 p 1 > 1.96 ( ˆp p 1 p 1 (1 p 1 ˆp > p 0 + 1.96 > p 0 + 1.96 Pr a N(0, 1, och vi får p0 (1 p 0 p 0 (1 p 0 p 1 (1 p 1 p 1 p 0 (1 p 0 p 1 (1 p 1 + p 0 p 1 p1 (1 p 1 ˆp p 1 p 1 (1 p 1 > 1.96 0.04. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 5 / del 78 II

Exempel, forts. Vi får också ett motsvarade uttryck för Pr ( ˆp p 0 p0 (1 p 0 < 1.96 me eftersom det räcker att få e edre gräs för och eftersom det är rimligt att ata att de seare saolikhete är mycket lite så blir kravet att vilket betyder att Pr(Z > 1.96 0.04 0.9 1.96 0.04 1.8 eftersom F 1 N(0,1 (1 0.9 1.8 och vi får villkoret ( 1.96 + 1.8 = 6569.1, 0.04 vilket betyder att det är skäl att välja 6600. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 53 / del 78 II Exempel, forts. Om u 6600 så visar e räkig att Pr ˆp p 0 p 0 (1 p 0 < 1.96 = Pr(Z < 1.96 0.04 < Pr(Z < 1.96 1.96 1.8 10 7, så det var helt korrekt att struta i dea term. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 54 / del 78 II

Korrelatio Korrelatioe eller korrelatioskoefficiete mella slumpvariablera X och Y är Cov(X, Y ρ XY = Cor(X, Y = = E( (X E(X (Y E(Y, Var(X Var(Y Var(X Var(Y och om (X j, Y j, j = 1,..., är ett stickprov av slumpvariabel (X, Y så är stickprovskorrelatioskoefficiete R XY = (X j X (Y j Y S xy (X j X =, (Y j Y Sx Sy där och S x = 1 1 S xy = 1 1 (X j X (Y j Y, (X j X, S y = 1 1 (Y j Y. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 55 / del 78 II Obs! Om X och Y är slumpvariabler med ädlig me positiv varias och a, b, c och d är tal (med a 0 och c 0 så är Cor(aX + b, cy + d = sig(accor(x, Y. Varför? Eftersom Cor(U, V = Cor(V, U så räcker det att visa att Cor(aX + b, Y = sig(acor(x, Y för då är Cor(aX + b, cy + d = sig(acor(x, cy + d = sig(acor(cy + d, X = sig(asig(ccor(y, X = sig(accor(x, Y Eftersom E(aX + b = ae(x + b så är Var(aX + b = E((aX + b ae(x b = a Var(X och Cov(aX + b, Y = E((aX + b ae(x b(y E(Y så att Cor(aX +b, Y = = ae((x E(X (Y E(Y = acov(x, Y, acov(x, Y a Var(X Var(Y = a Cor(X, Y = sig(acor(x, Y. a G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 56 / del 78 II

Stickprovskorrelatioskoefficietes fördelig Ifall (X j, Y j, i = 1,..., är ett stickprov av e slumpvariabel (X, Y där X och Y är oberoede, så att ρ xy = 0, och de ea av slumpvariablera är ormalfördelad och de adra är kotiuerlig så gäller R XY t(. 1 RXY Ifall (X j, Y j, i = 1,..., är ett stickprov av e ormalfördelad slumpvariabel (X, Y med 1 < ρ xy < 1 (och σx > 0 och σ y > 0 så gäller ( ( ( 1 1 + l RXY 1 1 + a N 1 R l ρxy, XY 1 ρ XY 1 3 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 57 / del 78 II Mista-kvadrat-metode då y b 0 + b 1 x Om ma atar att sambadet mella x och y är y b 0 + b 1 x, puktera (x j, y j, j = 1,..., är giva och ma bestämmer b 0 och b 1 så att (y j b 0 b 1 x j är så lite som möjligt så blir svaret b 1 = (x j x(y j y (x j x = s xy s x och b 0 = y b 1 x, där x = 1 x j och y = 1 y j. Varför? Vi ka skriva kvadratsumma (y j b 0 b 1 x j i forme f ( b 0, b 1 = (, (y j y b 0 b 1 (x j x och villkoret att de partiella derivata med avseede på b 0 är 0 ger b 0 = 0, dvs. b 0 = 0 och villkoret att de partiella derivata med avseede på b 1 är 0 ger ( b1 (x j x (y j y (x j x = 0 och dea ekvatio ger uttrycket för b 1. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 58 / del 78 II

Obs I räkigara ova förekommer iga slumpvariabler me vi ka bra täka oss att sambadet mella variabler x och y är y = β 0 + β 1 x me då ma mäter värdea av y-variabel så förekommer det slumpmässiga fel som leder till att de uppmätta värdea blir y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1,..., där ε j är slumpvariabler. Det faktum att ma miimerar (y j b 0 b 1 x j (och ite ågot aat uttryck är föruftigt om ma atar att det ite förekommer ågra fel i x j -värdea och att alla avvikelser frå e rät lije beror på felaktiga y j -värde. Att ma seda miimerar e kvadratsumma och ite tex. absolutbelopp är föruftigt om ma atar att slumpvariablera ε j är ormalfördelade. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 59 / del 78 II Exempel: Regressioslije Vi har följade observatioer x 1.0 1.9.7 3. 3.8 4.7 5.1 5.5 y -0.8-0.4-0.0 0.9 1. 1.3 1.7.1 Först räkar vi medelvärdea och de är x = 3.4875, y = 0.75. Seda skall vi räka stickprovsvariase av x och stickprovskovariase av variablera x och y och vi får s x = 1 1 s xy = 1 1 (x j x =.5184, (x j x(y j y = 1.611. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 60 / del 78 II

Exempel: Regressioslije, forts. Det här betyder att b 1 = s xy sx = 0.64015, b 0 = y b 1 x = 1.485. Puktera och lije ser ut på följade sätt: G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 61 / del 78 II Regressio Vi atar att slumpvariabel Y förutom på slumpe beror på variabel x så att Y = β 0 + β 1 x + ε där ε är e slumpvariabel som vi atar att är oberoede av x. Ett stickprov av Y är därför av type (x j, Y j, j = 1,..., där ε j = Y j β 0 β 1 x j är oberoede slumpvariabler med samma fördelig, som vi valige atar vara N(0, σ. Med mista kvadratmetode (som är föruftig precis då ε N(0, σ får vi följade estimatorer för β 1, β 0 och σ : B 1 = S xy sx, B 0 = Y B 1 x, S = 1 (Y j B 0 B 1 x j, där S xy = 1 1 (x j x(y j Y. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 6 / del 78 II

Regressio, testvariabler Atag att ε j N(0, σ, j = 1,..., är oberoede och Y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1,...,. Då är ( 1 B 0 N (β 0, σ + x ( 1sx, ( σ B 1 N β 1, ( 1sx, ( S σ χ (. Som testvariabler ka vi aväda W 0 = B 0 β 0 S ( 1 + x ( 1s x t(, W 1 = B 1 β 1 S t(. ( 1s x G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 63 / del 78 II Ett sambad mella estimatorera Av defiitioera ova följer också att S = 1 S y (1 R xy, Sx R xy = B 1 Sy, och B 1 S = R xy. 1 Rxy ( 1S x Det seare resultatet visar att test av ollhypotesera β 1 = 0 och ρ xy = 0 ger samma resulat (då ma atar ormalfördelig. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 64 / del 78 II

Ett sambad mella estimatorera, varför? Eftersom B 1 = S xy, B sx 0 = Y B 1 x, S = 1 (Y j B 0 B 1 x j och S xy = R xy sx Sy så är ( S = = B 1 ( ( B0 + B 1 x j y j = B1 (x j x (y j y (x j x B 1 (x j x(y j y + = ( 1 ( B 1 s x B 1 S xy + S y = ( 1 ( S xy s x S 4 x (y j y S xy s x + S y = ( 1 ( S y R xys y = ( 1S y (1 R xy, så att S = 1 S y (1 R xy. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 65 / del 78 II Ett sambad mella estimatorera, varför?, forts. E följd av det här är att B 1 S ( 1s x = s x S xy ( 1S y (1 R xy ( ( 1s x = S xy s x S y (1 R xy = R xy. 1 R xy G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 66 / del 78 II

Exempel: Trafikolyckor Eligt statistikcetrale var atalet förolyckade persoer i trafikolyckor uder åre 004 013 följade 004 005 006 007 008 009 010 011 01 013 375 379 336 380 344 79 7 9 55 48 I dethär fallet är det ädamålseligt att som x-variabel ta årtalet frå vilket vi subtraherar 015 så att tabelle ser ut på följade sätt: x -11-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3 - y 375 379 336 380 344 79 7 9 55 48 Frå det här stickprovet ka vi räka följade estimat: x y sx sy s xy 6.5 316 9.1667 77.8889 145.5556 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 67 / del 78 II Exempel: Trafikolyckor, regressioslije Nu får vi följade estimat för parametrara i regressiosmodelle Y j = β 0 + β 1 x j + ε j : b 1 = s xy sx = 15.879, b 0 = y b 1 x = 1.79, r xy = s xy s x s y = 0.9197. Lije och datapuktera ser ut på följade sätt: G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 68 / del 78 II

Exempel: Trafikolyckor, β 1 Vi ka räka ett estimat för restvariase atige direkt med formel s = 1 10 10 (y j b 0 b 1 x j, me i allmähet är det eklare att aväda formel s = 1 s y (1 r xy = 9 8 77.8889 (1 ( 0.9197 = 519.35. Nu ka vi testa ollhypotese β 1 = 0 och då är testvariabel W 1 = B 1 0 S ( 1s x t(10, och de här testvariabel får värdet w 1 = 15.879 519.35 9 9.1667 = 6.387. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 69 / del 78 II Exempel: Trafikolyckor, β 1, forts. Eftersom ollhypotese är β 1 = 0 (och ite tex. β 1 0 vilket ma väl kude motivera så blir p-värdet p = F t(8 ( 6.387 = 0.0006, Exempel: Trafikolyckor, β 0 Eftersom vi subtraherade 015 frå årtale är β 0 vätevärdet av atalet förolyckade i trafikolyckor år 015. Om vi vill testa hypotese β 0 40 så aväder vi som testvariabel W 0 = B 0 β 0 S ( 1 + x ( 1s x t(. När vi sätter i de tal vi tidigare räkat ut i de här formel så får vi G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 70 / del 78 II

Exempel: Trafikolyckor, β 0, forts. w 0 = 1.79 40 ( = 1.561 519.35 1 10 + ( 6.5 (10 19.1667 Eftersom ollhypotese var β 0 40 så är det edast stora egativa värde på testvariabel som motsäger ollhypotese, dvs. alterativet är esidigt så p-värdet blir p = F t(8 ( 1.561 = 0.08749, och vi förkastar ite ollhypotese es på sigifikasivå 0.05. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 71 / del 78 II Exempel: Trafikolyckor, kofidesitervall för parametrara Kofidesitervall för parametrara β 0 och β 1 defiieras och beräkas på samma sätt som kofidesitervall för vätevärdet av e ormalfördelad slumpvariabel. Om vi tex. skall bestämma ett 99% kofidesitervall för parameter β 1 så kostatterar vi först att eftersom W 1 = B 1 β 1 S t( ( 1s x och F 1 1 t(8 (0.995 = Ft(8 (0.005 = 3.3554 så är Pr 3.3554 B 1 β 1 S ( 1s x 3.3554 = 1 0.005 0.005 = 0.99. Eftersom 3.3554 B 1 β 1 S 3.3554 om och edast om ( 1s x G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 7 / del 78 II

Exempel: Trafikolyckor, kofidesitervall för parametrara, forts. B 1 3.3554 Pr ( β 1 [ S ( 1s x B 1 3.3554 β 1 B 1 + 3.3554 S ( 1sx, B 1 + 3.3554 S ( 1s x S så är ( 1s x ] = 0.99. När vi sätter i de tal vi räkat ut tidigare så får vi som kofidesitervall med kofidesgrade 99% [ ] 519.35 519.35 15.879 3.3554, 15.8791 + 3.3554 9 9.1667 9 9.1667 = [ 4.95, 7.468 ]. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 73 / del 78 II Betigade fördeligar av ormalfördeligar, förklarigsgrad Om (X, Y är ormalfördelad så är ( σ (Y X = x N µ Y + ρ Y XY σ X (x µ X, (1 ρ XY σ Y, dvs. där E(Y X = x = µ Y + ρ XY σ Y σ X (x µ X = β 0 + β 1 x, σ Y β 1 = ρ XY = σ XY σ X σx, β 0 = µ Y β 1 µ X. Med mista kvadratmetode får vi estimat för parametrara β 0 och β 1 som är s y b 1 = r xy = s xy s x sx, b 0 = y b 1 x. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 74 / del 78 II

Betigade fördeligar av ormalfördeligar, förklarigsgrad, forts. Om (X, Y är ormalfördelad och X = x så ka vi alltså skriva där Y = β 0 + β 1 x + ε ε N(0, (1 ρ XY σ Y. Här är alltså restvariase (1 ρ XY σ Y de del av variase av Y som ite ka förklaras med beroedet på X och de del av variase av Y som ka förklaras med beroedet på X är ρ XY σ Y σ Y = ρ XY. Aalogt med detta säger vi att talet r xy, som är ett estimat av ρ XY är regressiosmodelles Y j = b 0 + b 1 x j förklarigsgrad. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 75 / del 78 II Iterpolerig och extrapolerig Om ma har gjort mätigar av ågot slag och fått resultate (x j, y j, j = 1,..., så vill ma ofta veta vilket värde y skulle få om x = x 0. Ett sätt att räka ut ett rimligt svar är att ata att y b 0 + b 1 x, bestämma b 0 och b 1 och seda räka ut b 0 + b 1 x 0. Ett ekelt sätt att förutom att göra dea räkig också få e uppfattig om hur stort felet ka bli är att ersätta värdea x j, j = 1,..., med x j = x j x 0 och seda i ormal ordig räka ut estimat och göra hypotesprövigar för β 0 i regressiosmodelle Y = β 0 + β 1 x + ε. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 76 / del 78 II

Logistisk regressio Atag att vi av friska och isjukaade persoer mätt följade kocetratioer av fibrioge i blodet: Friska.5.56.19.18 3.41.46 3..1 Friska 3.15.60.9.35 Isjukade 5.06 3.34.38 3.53.09 3.93 Om u fibriogekocetratioe i blodet på e viss perso är 3.1 så vad är saolikhete att he är frisk? Här atar vi alltså att saolikhete att e perso är frisk på ågot sätt beror på fibriogekocetratioe, som vi beteckar med x, dvs. Pr( Persoe är frisk = p(x. Nu är det ite föruftigt att ata att detta sambad är lijärt för d å går det lätt så att p(x får värde som ite ligger i itervallet [0, 1]. E bättre idé är att aväda odds och ata att log ( p(x 1 p(x = c 0 + c 1 x dvs. p(x = ec 0+c 1 x 1 + e c 0+c 1 x. För att estimera c 0 och c 1 aväder vi Maximum likelihood metode. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 77 / del 78 II Logistisk regressio, forts. Låt u f i, i = 1,..., 1 vara kocetratioera hos de friska persoera och s i, i = 1,..., kocetratioera hos de isjukade persoera. Låt u L(c 0, c 1 vara saolikhete, med de atagade vi gjort, att de friska är friska och de sjuka är sjuka, eller (eftersom 1 p(x = 1 1+e c 0 +c 1 x L(c 0, c 1 = e c 0+c 1 t1... e c 0+c 1 t 1 (1 + e c 0+c 1 t 1... (1 + e c 0 +c 1 t 1 1 (1 + e c 0+c 1 s 1... (1 + e c 0 +c 1 s. Det är ite helt ekelt att bestämma de pukt i vilke dea fuktio uppår sitt största värde me med umeriska metoder får vi c 0 5.4 och c 1 1.6 så att p(3.1 0.6. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 13 februari 015 och exempel, 78 / del 78 II