Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder för att bestämma e approimativ lösig till e såda evatio. E umeris metod som aväds ofta är s.. NEWTON-RAPHSONS METOD. Fall. ENKEL ROT. Först betratar vi fallet med eel rot till evatioe f ( = (eller rot av udda multiplicitete i itervallet [a,b]. Grafe till futioe y = f ( sär -ael i e put som ligger i [a,b]. Låt y = f ( vara e otiuerlig deriverbar futio i itervallet [a,b]. Ata vidare att futioe har ett ollställe c i itervallet [a,b] och att är e put som ligger ära futioes ollställe (se edaståede figur. Alltså betecar c de eata lösige till evatioe f ( =, meda är e approimatio av lösige. f( a c b För att få bättre approimatio bestämmer vi särigspute mella -ael och tagete i pute P =, f ( ( Tagete geom pute P har evatioe y f = f ' ( (. Särigspute med -ael får vi för y= dvs f ( f ( = ( =. ( Alltså är f ( = e y approimatio av lösige c. Vi a u aväda som ett ytt startvärde och beräa e y approimatio f ( =. På samma sätt har vi + = f ( (Iteratiosformel för Newto-Raphsos metod av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod När ma umerist löser evatioe f ( = med Newto-Raphsos metod måste ma välja ett start värde som ligger i ärhete av de söta lösige. Detta a vi göra geom att rita grafe till y = f ( med hjälp av dator eller miiräare (eller grovt sissera och frå grafe välja de första approimatioe. Därefter aväder vi formel och bestämmer ågra approimatioer till de eata lösige. + = f ( f ' ( (Formler av ovaståede typ, där + beräas med hjälp av allas iterativa formler. Precisiosravet (oggrahets rav ages ofta på forme c < ε. Amärig : Det är pratist att staa är oseutiva värde är midre ä ε me detta garaterar ite att olla om precisiosravet Tillräcligt villor för precisiosravet c < ε är uppfylld på följade sätt. c < ε. < ε (dvs är differese mella två c < ε. Därefter a vi Om f ( ε och f ( + ε har olia tece (dvs f ( ε f ( + ε < då ligger e lösig mella putera ( ε och ( + ε. Med adra ord är avstådet mella och de eata lösige c midre ä ε och precisiosravet Amärig: Vi a äve aväda ett räv till: f ( < ε ( där ε är ett givet litet tal som garaterar att futioes värde i pute är ära. I pratisa tillämpigar räver ma ofta att båda rav: c < ε är uppfylld. rav c < ε ( tillräcligt villor för detta är f ( ε f ( + ε < och rav f ( < ε är uppfyllda. ============================================================== Eempel. Lös evatioe l( = +. 4 med Newto-Raphsos metod. Age e approimativ lösig med tre orreta decimaler dvs bestäm så att avstådet till det eata läsige c uppfyller ravet c <. 5. Lösig: Steg. [Sriv evatioe på forme f ( =. Rita grafe för futioe y = f ( och bestäm ett (litet itervall rut varje ollställe.] Först l( = +. 4 l( +.4 = av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod Futioe f ( = l( +. 4 har följade graf Vi ser att ett ollställe ligger mella och dvs i itervallet [,]. Steg. [Välj startvärde ] Vi väljer startpute =. ( Eftersom futioe är oav i itervallet väljer vi pute i vile futioe har egativt värde. Då ligger mella och de eata lösige Steg. [ Iteratioer dvs beräigar eligt formel f ( + = ]. Vi har f ( = l( +. 4 och därmed f ( = + Iteratio. = f ( Vi har f ( = f ( = l( +.4 =. 4 samt f ( = f ( = + = f (,4 Därför = = =. Alltså =. I. f ( f (. = =. =.964787.. (Vi avrudar till tre decimaler eftersom vi söer tre orreta decimaler i dea uppgift f ( I. = =.96667. De första tre decimaler i. förädras ite så har vi troligt tre orreta decimaler. Steg 4. Kotroll om ravet c <. 5är uppfylld. av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod Vi har aledig att ata att det eata ollställe ligger i itervallet (. +.5,..5 För att vara sära beräar vi futios värde i ädputera: f (. +.5 = +.5497 f (..5 =.9949 Alltså de otiuerliga futioe f ( har olia tece i itervallets ädputer. Därför måste ett ollställe ligga i itervallet (..5,. +.5. Därmed är. e approimativ lösig med tre orreta decimaler. Svar.. Amärig : Om vi beräar f (. =.66 ser vi att futioes värde i pute. är ära. Amärig : Lösige (med 9 orreta decimaler är c=.96668. Amärig : Beräige går sabbare om vi först bildar e futio (som besriver högra ledet i N-R formel. f ( g( =, i vårt fall l( +.4 g ( = + och därefter beräar diret = g(., = = g( =.964787 och = g(.96667 = Eempel. (Uppgift 4 TEN5 apr. Evatioe + = har e egativ rot. Bestäm dea med tre orreta decimaler. Aväd Newto-Raphsos metod. Iteratiosformel och startvärde sall framgå samt vila värde som räats fram ia slutvärdet. (p Lösig. Steg. Vi sriver om evatioe (flyttar allt till e sida + = + =. Låt f ( = +. Grafe till f(: 4 av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod Vi ser att e egativ rot ligger mella och. Steg. Val av startpute. Vi väljer =. Steg. Beräig: Vi har: f ( = + och f ( = 6. Därför + f ( = + f ( = 6 + Härav 4 = =.667 =.549 =.5 =.5 Steg 4. Kotroll om precisiosravet är uppfylld. De första tre decimaler i 5 förädras ite så har vi troligt tre orreta decimaler. Vi har aledig att ata att det eata ollstället ligger i itervallet (.5 +.5,.5.5 För att vara sära beräar vi futios värde i ädputera: f (.5.5 =.6645, f (.5 +.5 = +,7869, 5 av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod Alltså de otiuerliga futioe f ( har olia tece i itervallets ädputer. Därför måste ett ollställe ligga i itervallet (.5.5,.5 +.5. Därmed är. 5 e approimativ lösig med tre orreta decimaler. Svar:. 5 =========================================================== Sammafattigsvis har vi följade steg för att umerist lösa evatioe f ( = med Newto-Raphsos metod: Steg. Rita grafe för futioe y = f ( och bestäm ett (litet itervall rut varje ollställe. (Välj ice överlappade itervall om det fis flera ollställe. f( f(b f(a a c b Brå att veta. Låt futioe y = f ( är otiuerlig i itervallet [a,b]. Om f (a och f (b har olia tece då har futioe mist ett ollställe i [a,b]. (Med adra ord har evatioe f ( = mist e lösig i [a,b]. Steg. Välj e start put i itervallet [a,b]. Valet av är vitigt. Felatigt val av a leda till att processe divergerar eller att hamar utaför futioes defiitiosmägd. Några tips rig val av : i Välj ite e put ära futioes etremput. Tagete i e såda put är ästa parallell med -ael och första approimatio a hama lågt bort frå lösige äve utaför futioes defiitiosmägd. 6 av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod f( c ii Ata att, f ( i itervallet [a,b] samt f ( a f ( b < (dvs f ( a och f ( b har olia tece. Sa vi välja a eller b för start put? * Om futioe är ove ( f ( > i itervallet [a,b] då väljer vi för startpute de ädputput i vile är futioe positiv. (se edaståede figurer f( f(b a b f(a =b a =a b * * Om futioe är oav ( f ( < i itervallet [a,b] då väljer vi för startpute de ädputput i vile är futioe egativ. (se edaståede figurer =a a b a b =b Steg. Beräigar + = f ( Steg 4. Kotroll om precisiosravet är uppfylld dvs är c < ε. 7 av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod Om f ( ε och f ( + ε har olia tece då ligger e lösig mella putera ( ε och ( + ε. Med adra ord är avstådet mella och de eata lösige midre ä ε. Amärig. Om f ( ε och f ( + ε har samma tece fortsätter vi med flera iteratioer. Eempel. Bestäm alla lösigar, med tre orreta decimaler, till evatioe +. =. Lösig: Grafe till f ( = +. Frå grafe ser vi att evatioe har tre reella lösigar. Frå f ( = +. har vi f ( = 6 och därmed iteratiosformel f ( + = blir + = 6 +. i För att bestämma första lösige (som ligger ära - väljer vi = och får följade iteratioer =.7888888889 =.74988 8 av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod =.748484689 4 =.74848896 Vi har aledig att ata att vi har fått e approimativ lösig.748 med tre orreta decimaler. För att vara sära beräar vi futios värde i ädputera: f (.748.5 =, f (.748 +.5 = +.6695. Alltså har de otiuerliga futioe f ( olia tece i itervallets ädputer. Därför måste ett ollställe ligga i itervallet (.748.5,.748 +.5. Med adra ord har vi fått e approimativ lösig.748 med tre orreta decimaler. ii För att få de adra lösige som ligger väldigt ära a vi t e välja =, Vi får =. och =.4569 Alltså är. e lösig med tre orreta decimaler. iii För att få de adra lösige a vi t e välja =. 8 Vi har =.78 =.756564 =.757 Alltså är.75 e lösig med tre orreta decimaler. [ Det är eelt att otrollera att f (.75.5 och f (.75 +.5 har olia tece.] Svar: Tre reella lösigar:.748,. och.75, Eempel 4. Lös evatioe lösigar med 5 orreta decimaler. Lösig: Vi sriver om evatioe: log =. = log med Newto-Raphsos metod. Age alla Frå ( = log har vi f f ( =. l Därmed + = f = log l ( 9 av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod Frå grafe ser vi att futioe mella och. ( = log har två ollställe, e väldigt ära oll och e f Lägg märe till att futioe är defiierad för >. Vi måste vara försitiga med valet av så att ige put hamar på de egativa dele av ael. i Vi börjar med ollställe som ligger ära. Eftersom futioe är ove väljer vi startput ära i vile futioe har et positivt värde. Vi väljer =. ( då blir f ( och beräar =.56857 =.85586 =. dvs positivt Vi atar att.4 är e approimativ lösig med 5 orreta decimaler. Kotroll: f(.4-.5 =.475 och f(.4+.5=.6696 har olia tece. Därför måste ett ollställe ligga i itervallet (.4-.5,.4+.5. Därmed är.4 e approimativ lösig med fem orreta decimaler. Svar i.4 ii Vi väljer = och får följade iteratioer av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod =.886477 =.758979 =.75888 4 =.75888 ( Kotrollera själv att f ( 4.5 och f ( 4 +.5 har olia tece Svar ii.758 Eempel 5. Lös evatioe + + cos( = med Newto-Raphsos metod. Age alla lösigar med 4 orreta decimaler. Lösig: f ( = + + cos( och f ( = si( Grafe till f ( : Som startput väljer vi = 4. Eligt Newto-Raphsos metod har vi + + cos( si( + =. Vi beräar, o.s.v. med ovaståede formel och avrudar till 4 decimaler. =.654 =.6 = 4 = Eftersom och 4 (efter avrudig har samma värde atar vi att = är e av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod approimativ lösig med 4 orreta decimaler. Kotroll: Eftersom f(.5 =.89 och f( +.5=.7 har olia tece drar vi slutsatse att = är e lösig med 4 orreta decimaler. Svar: Eempel 6. Lös evatioe + si( = med Newto-Raphsos metod. Age alla lösigar med orreta decimaler. Lösig: Grafe till f ( = + si(. + + si( = + cos( =.88 =.4 =.9 =.9 4 Kotrollera själv att f (.9.5 och f (.9 +.5 har olia tece. Svar:.9 Fall. DUBELL ROT. Om futioe har e dubbel rot c (eller e rot med jäm multiplicitet i itervallet [a,b] då är c e etrem put (ma eller mi. av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod Vi a aväda samma iteratiosformel lågsammare de här gåge. Feluppsattig. Vi staar är f ( + =, trots att processe overgerar f ' ( < ε. Lägg märe till att futioe f( i det här fallet har samma tece på båda sidor av ollställe. (Alltså vi a ite aväda riterium f ( ε f ( + ε < för att bevisa att vi har uppått de söta oggrahete. För att bevisa att det eata lösige c uppfyller hjälpfutioe c < ε a vi aväda f ( g ( = som har e eel rot i samma put c. Därför a vi testa om f ' ( g ( ε g( + ε <. Alltså, om g ( ε och g( + ε har olia tece då ligger c i itervallet ( ε, + ε och vi har fått de söta oggrahete. Förlarig: Vi säger att f ( har e rot c av multiplicitet om f ( = ( c h( där h ( c. Därför f ( ( c h( ( c h( g( = = = f ' ( ( c h( + ( c h ( h( + ( c h (.Alltså är =c ett ollställe till g( av multiplicitete. Eempel 7. Bestäm alla lösigar, med två orreta decimaler, till evatioe 5. + 7. 865 975. =. Lösig: Grafe till y = f ( = 5. + 7. 865. 975 Frå grafe ser vi att evatioe har e eel lösig mella och och ase e dubbelrot mella och. (Det är ite % säert att maimum ligger på -ael. Det a häda att futioes etremvärde är väldigt ära, t e lite midre ä, som är svårt att avgöra ebart med hjälp av grafe. För att vara sära plottar vi äve hjälpfutioe f ( 5. + 7. 865 975. g( = =. f ' (.4 + 7. 865 av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod g ( och f ( har samma ollställe me g ( (efter förortig har edast ollställe av multiplicitet. Grafe till g( Grafe till g( visar att både f( och g( har ett ollställe i itervallet (, och ett i (,. Nu a vi aväda NR-metod och bestämma rötter. i Först bestämmer vi de ela rote som ligger mella och.frå f ( = 5. + 7. 865 975. har vi f ( =.4 + 7. 865 Vi börjar med =. Iteratiosformel f ( 5. + 7. 865. 975 + = = ger.4 + 7. 865 =.69 =.55 =.5 4 =.5 Vi har aledig att ata att vi har fått e approimativ lösig.5 med två orreta decimaler. För att vara sära beräar vi futios värde i ädputera: f (.5.5 =.8 och f (.5 +.5 =.8 har olia tece drar vi slutsats att vi har fått e approimativ lösig.5 med två orreta decimaler. ii Vi börjar med =. Iteratiosformel f ( 5. + 7. 865. 975 + = = ger.4 + 7. 865 4 av 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod Vi har aledig att ata att vi har fått e approimativ lösig.5 med två orreta decimaler. (Notera att f( har samma tece på båda sidor av pute,5. För att vara sära att vi har fått två orreta decimaler beräar vi värde av hjälpfutioe g( i putera.5. 5 och.5 +. 5. Eftersom g (.5.5 =.495 och g (.5 +.5 =.5495 har olia tece drar vi slutsats att. 5 är ett ollställe till g( och därmed till f( med två orreta decimaler. Svar:.5 och.5 (där.5 är e dubbelrot 5 av 5