Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet Stockholm Sverige

Transkript

1 "!# " $ %'& *%*,.-/*0'&,'&43576 %8/ 9#: &;-<0&>3?76@- %D/D-<08AEAF3576G%& -H%JI A I %DA KLJ35M6 %D/,N--H% OPKL A35Q?QR6SJ76G%&"% UWVYX[Z\"]>^`_;acbdfeG^gZ hj%i 'k-<%&"lmä.o.o.prqs tvuwuwzy5{} 5{~ w sƒ}

2 Postadress: Matematsk statstk Matematska sttutoe Stockholms uverstet 06 9 Stockholm Sverge Iteret:

3 Markadsvärderg av försäkrgstekska avsättgar samt matchg av dessa och tllgågara Elzabeth Gomez * Jauar 005 Sammafattg I balasräkge hos ett försäkrgsbolag sker dag geerellt e markadsvärderg av tllgågara elgt uvarade redovsgsregler. Försäkrgstekska avsättgara FA värderas däremot med e fast räta. När de så kallade IAS/IFRS-reglera förs Sverge skall försäkrgsbolagets FA markadsvärderas elgt samma prcper som tllgågara. Då kommer det att vara vktgt för bolaget att göra markadsmässga räteatagade.detta arbete vsar att det fs tllgäglga rätestrumet på markade som ka avädas som alteratv tll e fast räta vd värderge av FA. Med hjälp av e yeldkurva utfrå statsoblgatoer beräkas uvärdet av framtda utbetalgar. Dessutom har e aalys av hur e säkt dödlghet tllsammas med avädg av yeldkurva verkar på FA gjorts. Slutlge studeras hur tllgågar och FA ka matchas för att mmera räterske som markadsvärderge för med sg. Resultate av värderge med yeldkurva vsar att markadsvärderg av FA ger ett mskat avsättgsbehov, detta på grud av högre markadsrätor ä dages fasta räta. Däremot ökar rske för msmatch vd matchge av tllgågar och FA då ma har låga duratoer på avsättgara. Eftersom v dag te har tllgåg tll omella termsstrukturer med lka låga löptder som FA ka ma med hjälp av etrapolato eller atagade förläga kurva. I dessa fall kommer ma att få e återvestergsrsk, så ågo form av återvestergsrskavdrag bör göras på FA med lägre löptder. * E-mal: elgomez@kth.se Hadledare: uomo Vrolae och homas Höglud

4 Abstract Geerally today a surace compay, the compay s assets are market valued accordg to curret accoutg stadards. Labltes are o the other had valued wth a costat terest rate. Whe the so called IAS or IFRS stadards are troduced Swede, surace compay labltes shall be market valued accordg to the same prcples as the assets. he, t wll be of mportace for the compay to make market cosstet terest rate assumptos. hs paper shows that terest rate strumets est o the market whch ca be used as a alteratve to usg a costat rate whe valug peso labltes. Usg a yeld curve based o govermet bods, the preset value of future paymets are calculated. Furthermore, a aalyss of how a decrease mortalty rate whe usg the yeld curve affects peso labltes has bee doe. Fally, a study o how assets ad peso labltes ca be matched to mmze the terest rate rsk brought o by market valug has bee doe. he results of valug usg the yeld curve show that market cosstet valug of the peso labltes result a decrease labltes, due to hgher market rates tha today s costat rate. O the other had, the rsk for msmatchg whe matchg assets ad peso labltes creases because of log lablty duratos. Sce we today do t have access to omal terest rate term structures wth as log duratos as the peso labltes, etrapolato or other assumptos ca be used to eted the yeld curve. I these cases, a revestmet rsk wll be ecoutered ad some form of revestmet rsk deducto should therefore be made o peso labltes wth log duratos.

5 Förord Detta arbete utgör ett 0 poägs eamesarbete matematsk statstk och har utförts för KPA pesosförsäkrg AB Stockholm. Arbetet påbörjas på tatv av uomo Vrolae, som är verksam som chefaktuare på KPA och aktuarekollega Lars-Erk Larsso. Jag skulle vlja tacka alla som hjälpt mg uder arbetet med dea uppsats. Först och främst vll jag tacka uomo som vart m hadledare och Lars-Erk som har bdragt med ödvädga datamateral samt har asssterat med hadledge. Jag vll också tacka Eva Johasso, aktuare på KPA, som deltagt dskussoer krg arbetet och gav mg måga goda råd uder arbetets gåg och Magus Karlsso, aktuare på kaptalförvaltge på Folksam, som bdragt med ya déer och värdefull hjälp uder slutfase av arbetet. Slutlge vll jag rkta ett stort tack tll homas Höglud, m hadledare på matematska sttutoe vd Stockholms uverstet, som har hjälpt tll processe med detta arbete. 3

6 Iehållsförteckg. MARKNADSVÄRDERING AV FA BAKGRUND SYFE ALLMÄN OM IAS/IFRS ALLMÄN OM OBLIGAIONER Lte hstora om oblgatoer...7. BAKGRUNDSEORI SASOBLIGAIONER VÅ SORERS OBLIGAIONER Kupogoblgato Nollkupogsoblgato RÄNEEORI Effektv räta Nuvärde Dskotergsräta Rskfra räta bechmarkräta RÄNEMODELLER Prssättg av oblgatoer Yeld-to-maturty, YM Yeldkurva avkastgskurva LIVFÖRSÄKRINGENS SANNOLIKHESEORI Överlevadsfuktoe l Dödlghetstestet µ Sambad mella l och µ KOMMUAIONSFUNKIONER BERÄKNING AV FA DISKONERINGSRÄNAN MODELL FÖR FASSÄLLANDE AV DISKONERINGSRÄNAN BERÄKNING AV YIELDKURVA/AVKASNINGSKURVA Iterpolato Iterpolatosmetoder Ljär terpolato Kubska splesterpolato Hermte terpolato VAL AV MODELL BESKRIVNING AV DAA BERÄKNING AV FA MED KONSAN RÄNA, 3,5% BERÄKNING AV FA MED YIELDKURVAN, Y ESRESULA EFFEK AV EN FÖRÄNDRING I DÖDLIGHE VID OLIKA YIELDKURVOR YIELDKURVANS INVERKAN PÅ EGE KAPIAL FÖRDELAR MED YIELDKURVAN SOM EN MODELL FÖR EN MARKNADSMÄSSIG RISKFRI RÄNA NACKDEL MED YIELDKURVAN SOM EN MODELL FÖR EN MARKNADSMÄSSIG RISKFRI RÄNA FÖRDELAR MED EN MARKNADSMÄSSIG DISKONERINGSRÄNA MACHNING AV FA OCH ILLGÅNGARNA MARKNADSRISKER DURAIONSANALYS KONVEXIE IMMUNISERING AV RÄNERISKEN...7 4

7 6.5. PORFÖLJEORI HISORISK SIMULERING Aalys av data Scearo Scearo SOLVENSUVECKLINGEN FÖR PORFÖLJERNA SLUSAS OCH DISKUSSION...3 A APPENDIX...33 A. KUBISK SPLINE INERPOLAION...33 A. HERMIE INERPOLAION...34 A.3 FA VID OLIKA YIELDKURVOR...34 A.4 FÖRÄNDRING AV DÖDLIGHE VID OLIKA YIELDKURVOR...35 A.5 DURAIONSANALYS...35 B KÄLLFÖRECKNING...37 C ORDFÖRECKNING...38 D PLOAR...39 D. YIELDKURVA MED OLIKA INERPOLAIONSMEODER...39 D. DURAION...4 D.3 SOLVENSGRAD PLOAR...4 5

8 . MARKNADSVÄRDERING AV FA.. Bakgrud I balasräkge hos ett försäkrgsbolag sker dag geerellt e markadsvärderg av tllgågara elgt uvarade redovsgsregler. Försäkrgsåtagade värderas däremot elgt e fast räta högsta fasta räta som bestäms av Fasspektoe FI. Högsta räta är de högsta rätesats som ett lvbolag får aväda för att beräka uvärdet av utlovade pesosmedel. De bestäms årlge av FI och ska elgt EU-regler fastställas tll 60 procet av de låga markadsräta. Stora förädrgar vad gäller försäkrgstekska avsättgar kommer att ske de ärmsta åre då IAS/IFRS regler förs då utvecklge om redovsgsområdet går mot att äve försäkrgsskulder ska värderas elgt samma prcper som tllgågara. Övergåge tll IAS/IFRS är mycket mer ä e redovsgsteksk fråga då både bolages försäkrgssystem och produkter påverkas. IAS/IFRS ebär, på ett atal vktga pukter, ett ytt sätt att redovsa vlket leder tll grudläggade förädrgar hur försäkrgsbrasche gör affärer och hur de beskrver värdet som skapats för aalytker, vesterare, försäkrgstagare, tllsysmydgheter och adra tressegrupper. Mot bakgrud av dea övergåg kommer försäkrgsbolage att behöva utveckla ya metoder för markadsvärderg av sa åtagade... Syfte KPA vll med hjälp av detta arbete kua beräka uvärdet av de försäkrgstekska avsättgara FA med hjälp av markadsräta yeldkurva utfrå statsoblgatoer. Huvudrktge på arbetet är således markadsvärde och rskaalys. Mer kokret ebär detta att bestämma vlke markadsräta som ska avädas vd beräkg av blad aat framtda pesosutbetalgar och se vlke effekt e övergåg frå e räta bestämd av Fasspektoe tll markadsräta har på uvärdet av framtda utbetalgar. Dessutom vll ma utreda hur tllgågar och skulder ka matchas för att mmera räterske. Iom området fs måga ytterlgare frågor som bör utredas teoretskt och alteratva beräkgar som bör göras för att ge ett bättre uderlag, me det lgger utaför omfattge av det här arbetet..3. Allmät om IAS/IFRS Elgt ett beslut EU-parlametet ska bolag vars akter eller skuldebrev är oterade på e börs om uoe, upprätta s årsredovsg elgt IAS/IFRS stadarder seast år

9 Syftet med IAS/IFRS är att de oterade företage s fasella rapporterg ska tllämpa teratoella regler som följer samma kvaltetskrav och tllgodoser de teratoella kaptalmarkades behov. Det främjar jämförelser mella olka bolag frå olka läder med varadra. I detta eamesarbete behadlas dock ebart värderg av fasella tllgågar och skulder/avsättgar försäkrgsföretag. Vd kaptalvärdesberäkgar av pesosåtagade kräver IAS/IFRS att markadsvärderg av åtagadet skall göras och att ma tar häsy tll de aktuarella atagadea som dödlghet, dskotergsräta och drftkostad. Om ett fasellt strumet som värderas tll verklgt värde aväds för säkrg av e tllgåg, avsättg eller skuld ska de säkrade postoe värderas tll verklgt värde, om de tllämpade prcpera för säkrgsredovsg tllåter detta. I ssta had ska det verklga värdet bestämmas med hjälp av sådaa allmät accepterade värdergsmodeller och värdergsmetoder som ger rmlg uppskattg av markadsvärdet. Det är detta eamesarbetet blad aat hadlar om..4. Allmät om oblgatoer E oblgato är ett löpade skuldebrev, som ebär att ehavare har e fordra på låtagare. Oblgatoe skljer sg frå övrga skuldebrev geom att de har e större säkerhet. Fördele med oblgatoer är att det är e relatvt säker vesterg med e hög avkastg jämfört med tll eempel baksparade. Me observera att ju lägre löptd e oblgato har, desto högre är rske för rätehöjgar. E aa fördel med oblgatoer är att da pegar te är buda, du ka är som helst sälja d oblgato förtd. Om markadsräta vd säljtllfället är lägre ä är du köpte oblgatoe ka du tll och med göra e kursvst. Om markadsräta stället är högre gör du e kursförlust. Det vktgaste är dock att om du låter pegara stå kvar tll löptdes slut, då får du alltd ut de garaterade räta..4.. Lte hstora om oblgatoer Förr låade State pegar av sa medborgare form av krgsoblgatoer för att få pegar tll moblserg etc. Vad gäller statsoblgatoer dag, är det framför allt Rksgälde som låar av medborgara för att blad aat täcka s upplåg av pegar. Oblgatoe är ett värdepapper, ett bevs, som vsar att du placerat pegar hos de som gvt ut oblgatoe. Oblgatoe talar också om vllkore för dtt sparade, det vll säga vlke räta du får och för hur låg td du placerat da pegar. 7

10 . BAKGRUNDSEORI.. Statsoblgatoer Statsoblgatoer är medel- och lågfrstga värdepapper med årlg kupogutbetalg. Kupoge är räta på det omella beloppet och är lka stor uder hela oblgatoes löptd. Avkastge på e statsoblgato är summa av kupogutbetalgar uder tde för ehavet och skllade mella försäljgsprs och det prs oblgatoe köptes för. Vd förfall återbetalar Rksgälde det omella beloppet... vå sorters oblgatoer På oblgatosmarkade fs två former av statsoblgatoer: kupogoblgato och ollkupogsoblgato. Uttrycket kupog kommer frå de td då ma fck ett kupogark tll varje oblgato och varje år rev ma av e kupog och fck mot de s årlga räta.... Kupogoblgato Kupogoblgato är e oblgato som varje år ger e bestämd utdelgsräta och vd varje räteutbetalg dras automatskt skatt jämställt med adra sparformer. Kupogoblgatoer köps tll det värde som utöver räta återbetalas är oblgatostde löper ut omellt värde. Vad ma faktskt betalar för oblgatoe vd köpet ka varera och avgörs av det aktuella räteläget.... Nollkupogsoblgato Som amet atyder betalas ge årlg räta ut är ma har e ollkupogsoblgato oll kupoger. Hela räta betalas ut först är oblgatoe löper ut, därför dras te heller ågo skatt årlge uta dessa pegar lgger kvar oblgatoe och förrätas..3. Räteteor Eftersom lvförsäkrgsbolages verksamhet består av förvaltg av försäkrgstagaras medel är räta e väsetlg del förvaltgsprocesse. Det fs måga rätestrumet på markade, me detta arbete ska v fördjupa oss de matematska beskrvge av oblgatoer, hur de värderas samt hur ma med hjälp av dem ka värdera tllgågar och skulder. Neda följer ett atal deftoer..3.. Effektv räta E effektv årsräta, räta, R R eff, beräkas elgt, för vestergsperoder av samma lägd, dagar, d, och med samma R r eff 8

11 360 / d där. Vd kotuerlg förrätg gäller att där r lm δ lm r e δ E ekel effektv årsräta som ger e avkastg lka med förrätg R eff om ma aväder kotuerlg R eff e δ δ l R eff där δ är rätetestete..3.. Nuvärde Ett kaptal som förrätas årsvs med rätefote r väer elgt följade k t k 0 t r där k0 och kt är det urspruglga värdet respektve värdet efter tde t. Nuvärdet k0 är värdet dag av e framtda betalgsström geom framtda omella belopp, det vll säga k t e k0 δt vd kotuerlg förrätg Dskotergsräta De räta som aväds för att dskotera ett kassaflöde framtde tll dess uvärde. De reflekterar pegaras tdsvärde och rske förkppad med kassaflödet. d t r t, t > Rskfra räta bechmarkräta Rskfra räta är e fast räta som gör att ma vet eakt vad e vesterg börja av perode ger slutet av perode, det vll säga de avkastg ma ka erhålla uta att ta ågo rsk uder e gve tdsperod. Oftast baseras dea räta på e statsoblgato med samma löptd som tdsperode fråga. 9

12 .4. Rätemodeller För att bestämma avkastgskurva måste ma utveckla e rätemodell som ska avädas vd beräkge av markadsräta över e tdsperod. I detta arbete kommer v att aväda oss av kupogoblgatoers markadsrätor YM för att räka fram e avkastgskurva. Därför är det tressat att käa tll hur oblgatoer prssätts och värderas..4.. Prssättg av oblgatoer Prssättge av e ollkupogare med år tll förfall ges av P N R Prssättge av e kupogoblgato sker geom att oblgatoe betraktas som ett paket av ollkupogare elgt där N P t R C R t t N omellt belopp som utfaller tll betalg om år. C kupogutbetalg kupogräta som betalas ut varje år. R t ekel årsräta med t års löptd, där t,, Prssättg av e kupogoblgato med kotuerlga rätor ges av där t rt r C e P N e t l t r R t.4.. Yeld-to-maturty, YM E väsetlg faktor som aväds vd prssättg och värderg av oblgatoer är dess markadsräta, de så kallade yeld-to-maturty YM. Oblgatoe markadsoteras form av e räta, oblgatoes så kallade terräta eller avkastgskrav som beror på kupogräta, tde tll förfall och markadsprset. Dea räta härleds frå oblgatoes prs geom följade C P N t Y Y t där Y är oblgatoes yeld to maturty. För e ollkupogare är. Y R YM är ett mått på oblgatoes kassaflöde och är således avädbart för att jämföra kassaflöde av olka oblgatoer. 0

13 Det fs dock begräsgar med YM, som tll eempel: YM ager te e säker avkastg, eftersom det esterar e återvestergsrsk för varje eskld kupogutbetalg. Normalt är framtda rätor te käda. Olka YM för olka oblgatoer betyder mplct att ma ka återvestera de olka oblgatoeras framtda kupoger med olka rätor, me verklghete vesteras kupoger med de gällade räta Yeldkurva avkastgskurva Yeldkurva beskrver e beräkad avkastg för rätebärade tllgågar med samma kredtrsk, me med olka löptder. I detta arbete går edast effektva rätor YM för kupogoblgatoer yeldkurva eftersom de ger e garaterad rskfr avkastg tll förfall. Det är ormalt att yeldkurva har postv lutg, det vll säga räta är högre för papper med lägre återståede löptd, vlket dkerar att rske ökar med löptde..5. Lvförsäkrges saolkhetsteor För att förstå ebörde av aalyse och värderge av reservsättg detta arbete behövs e vss bakgrud av saolkhetsteor om lvförsäkrgsmatematk. De typ av pesosåtagade som behadlas detta eamesarbete är lvsvarga egepesoer, vlket ebär att pesosbeloppet börjar utbetalas först efter e avtalet agve td och upphör vd de försäkrades dödsfall. Det ebär att vd uvärdesberäkgar av framtda utbetalgar måste häsy tas tll det faktum att de försäkrade förr eller seare dör. Dessutom måste ma gvetvs vd uvärdesberäkge äve ta häsy tll de räta ma förmodas erhålla på vesterat kaptal frå dag fram tll utbetalgstdpukte..5.. Överlevadsfuktoe l Geerellt gäller det att ju äldre ma är desto kortare td har ma kvar att leva. Atag att v har e grupp försäkrade mäskor, då kommer de återståede lvslägde år för e -årg perso dea grupp att beskrvas av de stokastska varabel. Fördelgsfuktoe för ålder eftersom de återståede lvslägde beror på de aktuella ålder. Låt fördelgsfuktoe beteckas med F, då fås beror på t,, t P F t 0 Iom lvförsäkrgsteor fs det e fukto som beräkar saolkhete för att e -årg försäkrad ska leva vdare mer ä t år. Dea fukto kallas för överlevadsfuktoe och härleds eda:

14 > > t, t P, t F l t l t, P t P > l t P t P t > 0, t 0 där l, t är överlevadsfuktoe och P t l t >..5.. Dödlghetstestet µ Iom lvslägdmodellera lvförsäkrgsmatematke aväds e faktor som kallas för dödlghetstestete, µ. De aväds för att beskrva dödlghete olka åldrar. µ är saolkhete att e perso avlder tervallet, d och deferas som där och f µ F l f F P F, Sambad mella l och µ Mella överlevadsfuktoe l och dödlghetstestete µ gäller alltså följade: alltså, t dt µ 0 l e 0 l d l l t dt dt µ t dt 0 l e l l t 0 l l l l l0 l E av de lvslägdsmodeller som aväds för dödlghetsskattg om lvförsäkrgsmatematke är Makehams formel således blr a b e µ c, där ab>0, b>0 och c 0 ct dt b c ep a b e e 0 a e c l I dessa beräkgar aväder v oss av Fasspektoes författgssamlg FFFS 00:3 vlket medför e dstkto mella köe, där parametrara Makehams formel får följade skattgar a 0 b kva 0, b ma 0,000054

15 3 c 0,03.6. Kommutatosfuktoer Kommutatosfuktoera D och N är två fuktoer som gör lvförsäkrgstekska beräkgar eklare., e l D δ dk sk r l δ där r räta, sk skatt och dk drftkostadsavgft och du D u N Med hjälp av dessa två fuktoer ka ma ekelt beräka värdet av e lvräta om kr per tdsehet som utbetalas tll e -årg försäkrad frå och med uppådd ålder z som z u z du e l u l du D D u D z N δ där z pesosålder Det går äve att beräka tll eempel kaptalvärdet av e lvsvarg lvräta, det vll säga e kostat utbetalgsström per perod uder de försäkrades återståede lvslägd, som följade: t t l t l e δ Summerg för alla peroder ger, om 0 t, 0 0 D N dt D t D dt l t l e t δ N ka beräkas med hjälp av Smpsos appromatosformel med två tervall och lyder elgt defto du D u N el. def. du D u D D D D D D D D h I praktke görs ofta beräkgar med pesosålder 64 år och måader stället för 65 år

16 där 0 aktuell ålder, h är steglägde och 0,,, 4

17 3. BERÄKNING AV FA I det här arbetet är det tressat att beräka lvförsäkrgsavsättgar eftersom de består av e uppskattg av mellaskllade mella de utbetalg framtde som bolaget åtagt sg att göra tll sa försäkrgstagare och de premer som försäkrgstagara åtagt sg att betala. Lvförsäkrgsteksk avsättg, Vt At Bt, där V0 0, At är kaptalvärdet av bolagets förplktelser och Bt är kaptalvärdet av försäkrgstagares förplktelser, ska avsättas som skuldpost bolagets balasräkg. Här beteckar t försäkrges durato vd bokslutstdpukte. I detta arbete aväder v oss av e föreklad modell för beräkge av försäkrgsavsättgar, där ma udersöker hur värdet på kotot förädras uder e tdsehet. Det följer att där V t U V t U avg avg N z FB, > D N z < z FB, D Vt värdet på kotot vd tde t e utbetalgsbelastg U avg FB försäkrgs-/pesosbelopp aktuell ålder z pesosålder t år 5

18 4. DISKONERINGSRÄNAN Med aledg av att FA skall beräkas realstskt bör dskotergsräta för lvförsäkrgsavsättgar bestämmas va e termsstruktur som härleds frå markade. Val av termskurva beror dels på huruvda försäkrgsprodukte består av omella belopp eller reala belopp. I vårt fall har v lvsvarga egepesoer med omella belopp, alltså väljer v e avkastgskurva för statsoblgatoer. 4.. Modell för fastställade av dskotergsräta Ma vll bygga e avkastgskurva över ett tdspla stället för e fast räta för värderg av tllgågar och försäkrgstekska avsättgar, vlke seda ka avädas tll att beräka eempelvs de förvätade försäkrgstekska skulde för ett försäkrgsbeståd. Data för statsoblgatoera tabelle eda är hämtat frå Rksgäldskotorets hemsda och dagsotergara ytm frå Stockholmsbörse avser I Sverge har statsoblgatoer dagkovetoe 30E/360, det vll säga varje måad har eakt 30 dagar, vlket v ska också aväda oss av. Nam År tll förfall Kupogräta % Yeld-to-maturty ytm SO-034 4,35 9 0,0365 SO-035 0,5 6 0,0055 SO-037,67 8 0,065 SO-038,86 6,5 0,0645 SO-040 3,39 6,5 0,0805 SO-04 9,39 6,75 0,03755 SO-043 4, 5 0,0985 SO-044,35 3,5 0,005 SO-045 6,5 5,5 0,03400 SO-046 7,8 5,5 0,0360 SO-047 5,96 5 0,04065 SO-048 4,96 4 0,0385 SO-049 0,66 4,5 0,03870 abell 4: Statsoblgatoer, markadsoterg de Alla statsoblgatoer ova betalar ut e räta uder löptde. I Sverge är räteterme oftast ett år, det vll säga kupogutbetalgar sker e gåg per år. Neda är e plot över yeldkurva för de observerade YM värdea. 6

19 Plot över YM-värde och år tll 0,045 0,04 0,035 0,03 YM 0,05 0,0 0,05 0,0 0, ,5,35,86,67 3,39 4, 4,35 4,96 6,5 7,8 9,39 0,66 5,96 år tll förfall Fgur 4: Graf över observerade ytm-värde och år tll förfall 4.. Beräkg av yeldkurva/avkastgskurva För att värdera olka strumet behöver v veta vlke räta v ska dskotera de framtda kassaflödea med, så att v skall kua beräka uvärdet. Specellt är yeldkurvor vktga för strumet med flera kassaflöde, tll eempel statsoblgatoer. V ska med hjälp av terpolato ta fram e kotuerlg kurva som returerar markadsräta för varje tdsehet Iterpolato Vd terpolato appromerar v ett fuktossambad med e fukto av e gve typ, ofta ett polyom, så att appromatoe är eakt ett atal gva pukter. De appromerade fuktoe kallas terpolatosfukto. Iterpolato ebär seda att v appromerar fuktosvärde mella de gva puktera med terpolatosfuktoe, det vll säga terpolato gör det möjlgt att beräka teoretska värde som lgger mella de käda värdea och på så vs skapa e kotuerlg fukto Iterpolatosmetoder Det fs e rad olka terpolatosmetoder med olka egeskaper. Efter att ha utvärderat ett atal terpolatosmetoder så kommer edast metodera redovsade eda att studeras vdare detta eamesarbete. Ljär terpolato Kubsk sple Hermte terpolato Se Apped A. och A. för e matematsk beskrvg av de ssta två metodera 7

20 4..3. Ljär terpolato Ljär terpolato går ut på att ma sammabder på varadra följade YM-värde med ljesegmet och på så vs skapa e sammahägade kurva. E ljärterpolerad kurva för YM elgt abell 4: består av tolv ljära fuktoer som var och e går geom två pukter och elgt: t, Y där t Y Y Y t Y,, -, t och Y är YM värdea och är löptdera. Se plote över yeldkurva med ljär terpolato Apped Fgur 7: Nackdele med ljär terpolato är att kurva ka ha skarpa vklar där ljera möts, vlket resulterar stora hopp då ma har få observatoer Kubska splesterpolato ekke går ut på att apassa polyom av grade tre tll ett atal pukter med ett polyom per tervall, det vll säga atalet polyom är ett mdre ä atalet YM-värde. I vårt fall arbetar v med så kallade aturlga sples, vlket ebär att adradervatora sätts tll oll vd ädpuktera. Se plote över yeldkurva med kubska sples Apped Fgur 7: Brstera med dea metod är tydlgast då ma aväder de äve för etrapolerg, då värdea ka bl ormlga Hermte terpolato Dea terpolatostekk, som också kallas för clamped cubc sple, gör att skft de terpolerade kurva edast påverkar ärlggade pukter. Se plote Apped Fgur 7:3 Problemet med dea tekk är att de terpolerade rätora blr ågot högre ä med ljär terpolato respektve kubsk spleterpolato Val av modell Att välja rätt terpolatosmetod ka måga gåger vara svårt. Alla tre metoder har bra egeskaper och är ekla att aväda. Plote eda vsar de tre yeldkurvora rtade på samma graf. Här ser ma tydlgt att kurva med Hermte terpolato lgger ovaför de adra två kurvora hela tervallet. 8

21 Yeldkurva med olka terp 0,045 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,05 0,6 3, 4,8 6,4 8 9,6,,8 4,4 6 7,6 9, yeld kubsk sple terp. ljär terp. Hermte terp. år tll förfall Fgur 4: Graf över de olka yeldkurvora De Hermte terpolerade kurva är mst kosstet med markadsdata me eftersom sklladera mella kurvora är mycket små så aväds alla tre kurvor de fortsatta beräkgara. 9

22 5. BESKRIVNING AV DAA För att göra e fullstädg aalys av lämplg värdergsprcp kommer v att rkta oss på att försöka bestämma vlke dskotergsräta som bäst beskrver pegars tdsvärde, vårt fall värdet av e portfölj med lvförsäkrgsåtagade. Dessutom belyses de aktuarella atagade som går värderg av lvförsäkrgsavsättgar. ll hjälp för beräkge av uvärdet av utbetalgsströmme FA med yeldkurva fs ett datamateral som utgörs av PFA försäkrgar tjästepesoer med följade uppgfter: ålder kö pesosålder, 65 år pesosbelopp För att utföra FA-beräkgara och beräkge av yeldkurvor har ett program skrvts Mcrosoft Ecels byggda programmergsspråk Vsual Basc for Applcatos VBA. Programmet aväds också för att studera hur tll eempel olka räteatagade påverkar dels FA beräkad elgt dages system och dels FA beräkad elgt yeldkurva. 5.. Beräkg av FA med kostat räta, 3,5% Eempel E försäkrad ma och e försäkrad kva som är 70 år gamla och har 500 kr/måad pesosbelopp ger e reserv på 70 8 kr respektve kr. Skllade avsättgara beror på att kvor Sverge har lägre dödlghet ä mä. där Kaptalsergsfaktor N 70,7 ma D70 N z, < z D N, > z D och N 70 4,9 kva D70 E vktg sak att påpeka är att här atar ma att alla börjar ta ut sa pesoskaptal vd 65 års ålder och att ma beräkas leva tll ma 0 år. abelle eda vsar avsättgar för olka kö och åldrar, där alla försäkrade har samma pesosbelopp. Kö Ålder Pesosbelopp/må FA K M

23 K M K M K M K M K M K M abell 5: Avsättgar uppdelat på kö och ålder med kostat räta rots att alla försäkrade har samma pesosbelopp ser ma att bolaget alltd måste reservera ett större belopp tll de kvlga försäkrade ä malga, på grud av att kvor har e lägre dödlghet ä mä och därför atas leva lägre ä mä. 5.. Beräkg av FA med yeldkurva, yt Utfrå data beräkas FA per måad för varje försäkrad, där e markadsmässg dskotergsräta hämtas frå e avkastgskurva. I det här fallet aväds avkastgskurva som kostruerats med hjälp av ljär terpolato. De ya räteformel lyder så här t sk dk y δ l, t 0,,,, 0 år där yt är yelde, det vll säga e fukto som returerar markadsräta för varje tdsehet. Eftersom ma Sverge dag te har ågo statsoblgato med återståede löptd lägre ä 6 år beslutar jag mg för att aväda markadsräta för de lägsta oblgatoe SO-047 för alla utbetalgstdpukter större ä 6 år. Etrapolerg utaför observerade pukter ka vara farlgt, särsklt om modelle är apassad för mamum 6 års durato. Om v tll eempel atar att kurva tar slut efter 6 år me åtagadet är på 30 år, om 6 år måste ma återvestera tll e dag okäd räta. I fortsättge kommer v att ata att yeldkurva bortom de ssta rätepukte är kostat och lka med räta för oblgatoe SO-047. Kö Ålder Pesosbelopp/må FA K M K M K M K M K

24 M K M K M abell 5: Avsättgar uppdelat på kö och ålder med yelde När ma tttar på yeldkurva så ser ma att yelde de flesta tdspuktera är större ä det räteatagade som råder dag 3,5% och därför mskar reserve. E aa bdragade orsak tll reservmskge är att ma de flesta falle dskoterar över 6 år och oftast aväder de låga markadsräta vlke för ärvarade är över 3,5% estresultat Ett atal tester har utförts för att studera hur olka räteatagade påverkar dels lvförsäkrgsavsättgara beräkad elgt dages system, och dels lvförsäkrgsavsättgara beräkad elgt de tre avkastgskurvora. estresultate fs redovsade tabellera eda. Räta, r 3,5% r y t r y t r y 3 t FA mskg % där y t y t y t 3,9 3,0 3, abell 5:3 Markadsotergar frå yeldkurva, beräkad med ljär terpolato yeldkurva, beräkad med kubska sples och yeldkurva, beräkad med Hermte terpolato Mskge FA är beroede av rådade markadsrätor då beräkge gjordes, om markadsräta ökar sjuker avsättgsbehovet. Resutaltet tabelle ova vsar FA för hela delbestådet de Det vll säga FA mskar med ugefär 3% dea dag. Resutaltet tabelle eda vsar FA för hela delbestådet de Räta, r 3,5% r y t r y t r y 3 t FA mskg %,4,4,6 abell 5:4 Markadsotergar frå 004--

25 Ökge FA tabelle ova beror på fallade markadsrätor, som medför att v får ett mskat avsättgsbehov på drygt %. Markadsotergar de ger följade resultat: Räta, r 3,5% r y t r y t r y 3 t FA mskg % 6,3 6,4 6,6 abell 5:5 Delbestådets totala avsättgar med olka yeldkurvor Det vsar sg att FA-beräkge med de tre olka yeldkurvora ger e mskg av FA på drygt 6% jämfört med de kostata räta. Som tdgare påpekats beror mskge på att de olka yeld-värdea är större ä räta 3,5% de flesta utbetalgsduratoera. Dessutom är de flesta försäkrade ur bestådet som behadlas smulerge uder 65 år och därför kommer uvärdet att dskoteras över 6 år med de låga markadsräta. Det medför att v får samma avsättgar för alla försäkrade av samma kö och ålder ygre ä 50 år. se abell 7:. yvärr har v te e tllräcklgt låg yeldkurva att aväda för alla markadsmässga dskotergsrätor som skulle kua vara lämplgare ä de låga markadsräta SO Effekt av e förädrg dödlghet vd olka yeldkurvor Då ma säker dödlghetstestete med tll eempel 0% och utför motsvarade FAberäkgar som ova med e räta på 3,5% så ökar FA med ugefär 3,6%. För att studera vlke effekt e förädrg av dödlghetstestete har vd de olka yeldkurvora gjordes e jämförelse av FA beräkad dels elgt dages system och dels elgt yeldkurvora. estresultate fs redovsade tabelle eda, där dödlghete säks med 0%, markadsotergar frå de Räta, r 3,5% r y t r y t r y 3 t FA mskg % 6,6 7, 6,8 skllad mella FA före och efter dödlghetssäkge % 3,4 3,,5 3, abell 5:6 Delbestådets totala avsättgar med olka yeldkurvor, 0% säkt dödlghet Ma ser att e mskg av dödlghete resulterar e vss ökg FA för hela bestådet, det vll säga försäkrgsåtagade blr mer värda. 3

26 E mskg av dödlghete medför att avsättgara ökar ågot me reservbehovet har mskat med ugefär 7% vd dskoterg med yeldkurvora. Resultatet vsar också att yeldkurva medför ett mskat avsättgsbehov trots lägre dödlghet. De kubska sple terpolerade kurva ger de största mskge av avsättgar, detta eftersom dea kurva är mer kosstet med markadsdata. För mer formato se Apped abell 7: Yeldkurvas verka på eget kaptal Ett problem som uppstår tll följd av kommade redovsgsregler är att skuldsda för låga försäkrgsavtal är käslgast för räteädrgar. Om markadsrätora eller yeldkurva sjuker ka e förstärkg av lvförsäkrgsavsättgara erfordras. Om dea kostad för förstärkg ska bäras av det ega kaptalet ebär det e stor belastg för bolaget. Detta vsar att om markadsrätora sjuker måste värdet på de åtagade som bolaget har mot sa sparare värderas högre och vce versa. Om skuldera blr mer värda ökar kravet på eget kaptal. Det är dock möjlgt att htta modeller som gör det ega kaptalet mdre käslgt för räteförädrgar yeldkurva. Detta vsas ett seare avstt Fördelar med yeldkurva som e modell för e markadsmässg rskfr räta De fördelar som ka ases förelgga med e rskfr markadsräta som grud för att fastställa dskotergsräta är att de fs tllgäglg på markade är kosstet med modera prssättgsmodeller för fasella tllgågar som tll eempel Captal Asset Prcg Model CAPM Nackdel med yeldkurva som e modell för e markadsmässg rskfr räta De ackdel som ma stötte på det här arbetet är att yeldkurva te är tllräcklgt låg och därför räcker de te tll för dskoterg för hela de framtda utbetalgsperode, åtmstoe te uta etrapolerg. Bestådet består av lågfrstga lvförsäkrgsåtagade med duratoer mycket lägre ä duratoe för de lägsta statsoblgatoe SO-047 på markade. I så fall bör ett avdrag för återvestergsrske göras för de osäkerhet som följer av att yeldkurva etrapoleras oädlgt. Ett sätt att lösa detta problem vore att förläga yeldkurva bortom de tdpukt där kurva te är deferad med e swaprätekurva, me dea modell tas te upp detta arbete Fördelar med e markadsmässg dskotergsräta Fördelar med e markadsmässg dskotergsräta är att 4

27 de är e kosstet modell med e markadsvärderg av tllgågara. de ger vd varje tdpukt e aktuell värderg av FA. geom e markadsmässg värderg av försäkrgsåtagade ges e mer rättvs bld av de volatltet som försäkrgsbolagets tllgågar och skulder präglas av. 5

28 6. MACHNING AV FA OCH ILLGÅNGARNA 6.. Markadsrsker Det är valgt att försäkrgsbolage vesterar försäkrgstagaras pesosmedel oblgatosmarkade, där det är ormalt att kaptalet förvaltas och återvesteras typskt över tjugo år a utbetalg. Med take på kommade redovsgsregler om markadsvärderg av FA är det vktgt att ta stor häsy tll de markadsrsker som ka uppstå. De statsoblgatoer som aväds det här arbetet är vsserlge uta kredtrsk me är ädå utsatta för fluktuatoer markadsvärdet, det vll säga har markadsrsk. Markadsrsker som vesterare oblgatosmarkade ställs för är rätersk, valutarsk, flatosrsk, poltsk rsk, etc. I det här arbetet kommer v att fördjupa oss rätersker, det vll säga, v kommer att mäta käslghete rätebärade tllgågar för e gve räteförädrg. Ett effektvt sätt att mäta dea käslghet är med hjälp av duratosaalys. 6.. Duratosaalys Durato är ett avädbart mått på fasella tllgågars käslghet för räteförädrgar. Duratosaalys är ett effektvt kocept som äve ka tllämpas på fasella tllgågar som oblgatoer, auteter, försäkrgsavtal samt akteoptoer. I stort sett har allt som volverar framtda betalströmmar som ka dskoteras med ågo räta e durato. Betraktar ma oblgatoer med samma kupogräta har oblgatoer med låga löptder bratare prs-yeldkurvor ä oblgatoer med korta löptder. Därför är prser för oblgatoer med låga löptder mer käslga för räteförädrgar ä de med korta löptder. I Fgur 7:5 Apped ser v att duratoe för e kupogoblgato påverkas av oblgatoes löptd, kupogräta samt yeld. Durato har följade egeskaper: lägre löptd medför högre durato högre kupogräta medför lägre durato högre yeld medför lägre durato Detta på grud av att ma oftast har ett större kassaflöde a oblgatoes förfall vlket medför att återvestergsrsk och prsrsk balaseras vd e tdgare tdpukt. E högre yeld och därmed e högre återvestergsräta ger samma effekt. Fgur 7:5 Apped är e plot över statsoblgatoes durato som fukto av dess år tll förfall. Ur dea graf ka ma sammafatta följade: Se apped för e matematsk beskrvg av durato 6

29 Duratoe mskar är löptde kvar tll förfall mskar. De mskar lågsammare börja och sabbare slutet. Duratosaalyse gör det möjlgt att kombera olka rätebärade strumet för att mska räterske så att e appromatvt käd avkastg uppås Kovetet Kovetet är ett mått på hur sabbt duratoe förädras vd räteförädrgar. C N t t t y P y t y P kov y P Oblgatoer med samma durato me olka kovetet påverkas olka av räteförädrgar Immuserg av räterske Som tdgare ämts är ett av måle med detta arbete att tllämpa markadsvärderg så kallad far-valug av lvförsäkrgsåtagade och seda lösa fråga hur tllgågar och skulder ka matchas för att mmera räterske. Immuserg är e metod som ebär att e oblgatosportfölj har e gve avkastg över e vss placergshorsot, oberoede av utvecklge markadsrätor. Metode aväder sg av durato och kovetet för att skydda oblgatosportföljer mot räteädrgar och därmed matcha portföljes tllgågar och skulder. I vårt fall är skuldera försäkrgstekska avsättgara Portföljteor Det fs måga olka sorters rsk som e vesterare måste beakta vd val av vestergsstrateg. Det är vktgt att veta hur stor rske är vd e vss avkastg samt vlka rsker de olka vestergsalteratve för med sg. Rsk mäts med hjälp av varas och stadardavvkelse. Varase av avkastge beräkas geom att ta de verklga avkastge, subtrahera de förvätade avkastge och höja hela uttrycket kvadrat. Stadardavvkelse beräkas seda geom att ta kvadratrote av varase. Medelvärde är e skattg av förvätade värdet av e slumpvarabel. medelvärde: varas: σ [ r ] t m E t stadardavvkelse: r [ ] r m t t E σ t r t m 7

30 Eftersom vår tllgågsportfölj består av kupogoblgatoer är det vktgt att mäta hur mycket rätora fluktuerar, det vll säga bestämma portföljes volatltet. Volatltet mäts som sprdg förädrg av rätevå krg medelvärdet. När det gäller rätebärade tllgågar beräkas oblgatoeras saolka prsförädrgar med hjälp av förvätade räteförädrgar. Duratosmåttet aväds som käslghetsmått, evetuellt korrgerat för kovetet Hstorsk smulerg Det valga sättet att beräka varase är att ge samma vkt tll alla hstorska observatoer. Val av vlke tdshorsot och tdsperod som volatltete ska mätas över är vktg och beror på hur låg td som bedöms vara realstsk för att avveckla de rätebärade tllgågara portfölje. Urvalsperode å s sda avser hur lågt tllbaka observatoer på räteförädrgar ska hämtas för att mäta volatltete. Atag att v har fyra olka portföljer med medellvslägd durato,5,,,5 och 3 år. Varje portfölj ehåller två olka oblgatoer med följade vktdelg. Stasoblgato Portfölj Portfölj Portfölj 3 Portfölj 4 SO-034 7% SO-037 7% 83% SO-038 % 8% SO-040 8% SO % 7% abell 6: Fyra portföljer med olka placergshorsot Portfölj, med durato på,5 år, består alltså av två olka oblgatoer: SO-044 som motsvarar 89 procet av portföljes totala värde och SO-038 som motsvarar procet av portföljvärdet, osv. Vdare beräkas hstorska prsförädrgar för varje oblgato abell 6: för de seaste tre åre för att seda bestämma oblgatoeras avkastg uder dea perod. P P t t P Pt 0-5 och oblgatoes daglga avkastg där t är dagar mella tde 00- Portföljavkastg för varje dag baserad på tllgågaras vkt portfölje dag är Avk p N w P där w är oblgatoes vkt. I vårt fall ehåller varje portfölj två oblgatoer, alltså lyder portföljavkastges formel w P w P Avk p 8

31 6.6.. Aalys av data För att räka ut de totala rske varje portfölj måste först de dvduella oblgatoeras totala rsk udersökas. Oblgatoeras hstorska kurssväggar för referesperode tll vsar att volatltete för alla oblgatoer är följade: Oblgato Volatltet, σ % SO-034 6,6 SO-035 0,4 SO-037, SO-038 3,9 SO-040,6 SO-04 4,6 SO-043 3, SO-044,3 SO-045 3,9 SO-046 4, SO-047 4,9 SO-048 3,7 abell 6: Volatltet för statsoblgatoer uder referesperode Observera att hadel med de ssta två oblgatoera har pågått mdre ä ett år då dea aalys gjordes Scearo Atag att v har tllgågar och avsättgar tll ett värde av 00 respektve 80 eheter. Eget kaptal blr därför 0 tllgågar mus FA. Som tdgare ämts kommer krave på ega kaptalet att öka vd övergåge tll markadsvärderg av avsättgar. Det mskade reservbehovet kommer att medföra e ökad rskvå på grud av de låga duratoe avsättgar. Därför är det tressat att studera hur det ega kaptalet kommer att påverkas av vlka placergshorsoter ma väljer. För varje portfölj beräkas avkastge för eget kaptal uder referesperode. De totala rske eget kaptal för de fyra olka tllgågsportföljera vsas eda. Portfölj Portfölj Portfölj 3 Portfölj 4 Durato år,5,5 3 Volatltet/år % 6,7 8,0,,4 abell 6:3 Volatltet för eget kaptal de fyra olka portföljera Självklart ökar rske volatltete för eget kaptal med duratoe. Ju lägre durato desto större är rske för rätefluktuergar och tvärtom. Vdare skapas e femte portfölj som edast består av statsoblgatoe SO-04 och de beräkade volatltete för eget kaptal uder referesperode är,3%. Det vsar att volatltete aldrg blr rktgt låg på grud av de låga duratoe FA. 9

32 Scearo Om ma, tll skllad frå scearo, stället har FA på 80 eheter som skall utbetalas om tjugo år kommer FA, med dages räta på 3,5% 00305, att ha ökat tll 80 3,5% 0 59, För att kua matcha dessa avsättgar med våra tllgågar vesterar v tllgågara statsoblgtoe SO-04 uder referesperode Vd starte börjar v med 00 tllgågar och FA blr då 59, r 0 6, där r 4,90% det vll säga avsättgara blr 6, stället för 80 och kommer att förädras beroede på räteförädrge statsoblgatoe SO-04. Så om v aväder oss av tllgågar de fem portföljera och FA frå 0 års dskoterge ova så ka det ega kaptalet för varje portfölj beräkas. Volatltete för det ega kaptalet redovsas abell 6:4. Durato år %, r 3,5% %, r SO-04 Portfölj,5 7, 8,4 Portfölj 8,5 7,4 Portfölj 3,5,9 7,5 Portfölj 4 3 3,3 6,6 Portfölj 5 0,6 8,3 σ EK σ EK abell 6:4 Volatltete för de olka portföljera, beräkad med två olka rätor abell 6:4 vsar att ma har lägre volatltet om duratoe tllgågsportfölje är lka med duratoe FA, det vll säga tllgågara matchar bäst skuldera då. Förklarge tll att volatltete eget kaptal med räta frå statsoblgatoe SO-04 te blev låg ka vara de låga duratoe på avsättgara och eftersom dessa utbetalas först om 0 år blr effekte av räteförädrgar mycket stor. Däremot vsar e motsvarade aalys med kostat räta på 3,5% e motsatt effekt. Så trots att ma startade som rkare, det vll säga 00-6 stället för 00-80, och trots att ma blr rkare på grud av högre dskotergsräta vd uvärdeberäkge av FA blr sväggara det ega kaptalet större. De ökade förmögehete räcker te tll att stöddämpa de ökade rske. Alltså kommer detta att ställa högre krav på låg durato hos tllgågara för att te rskvå skall öka så mycket. 30

33 6.7. Solvesutvecklge för portföljera Vad är solves? Med solves meas ett formalserat sätt att fastställa att ett bolag, med häsy tll s verksamhet och rsker, har tllgågar av tllräcklg storlek och kvaltet för att kua fra sa åtagade getemot försäkrgstagara. Ett försäkrgsbolag skall elgt :8a FRL Försäkrgsrörelselage vd varje tdpukt ha e tllräcklg kaptalbas. Det vll säga att solveskvote eller solvesgrade 3 skall vara I plottara apped Fgur 7:6 - Fgur 7:8 för solvesgradera mot de olka avsättgsalteratve ka ma se hur solvesreglera påverkar resultatet då dels FA värderas med fast dskotergsräta dages 3,5% FA värderas med markadsräta som dskotergsräta FA värderas markadskosstet Far valuato Ur plottara ka ma sammafattgsvs se att solvesgradera vsar värdeförädrge på tllgågara. Solvesgrade lgger mella,4 och,6 för FA beräkad med e kostat räta på 3,5%. Däremot ökade solvesgrade tll mella,5 och,69 för markadsvärderade avsättgar. Elgt dages solvesregler är försäkrgsbolaget solvet alla de tre falle ova - alla portföljera har solvesgrad större ä ett - dock får v högre solvesgrader då v har markadsvärderade tllgågar och avsättgar. Om markadsräta sjuker får v e msmatch stuato, det vll säga tllgågara matchar te avsättgara tllräcklgt bra. Dea stuato uppstod på grud av att v tll eempel Apped Fgur 7:8 har fa avsättgar meda tllgågara är markadsvärderade. Dessutom har v e durato msmatch eftersom v alla våra tllgågsportföljer utom tllgågsportfölj 5 har duratoer som är kortare ä duratoe på avsättgara. Hur stor msmatchrske ska vara kommer att bl e uppgft att lösa me det lgger utaför omfattge av det här arbetet. För ärvarade ställs ga särsklda solveskrav på hur stor msmatchrske ska vara.. 3 Solvesgrad är lka med kvote mella tllgågara och avsättgara. 3

34 7. SLUSAS OCH DISKUSSION Målet med detta arbete var att få fram e markadsmässg dskotergsräta som alteratv tll dages högsta räta på 3,5% vd uvärdesberäkge av FA, där dskotergsräta fås med hjälp av e yeldkurva. Detta för att kua göra realstska värdergar av försäkrgstekska avsättgara. Vdare var målet att se vlke verka dea förädrg har på avsättgara och bolagets ega kaptal. Yeldkurva byggdes utfrå statsoblgatoera på markade. Nuvärdet av försäkrgstekska avsättgara bestämdes dels med dages högsta räta och dels med yeldkurva och e aalys över skllade mella uvärde gjordes. Slutsatse av aalyse och resultatet är att för det delbeståd egepesoer som behadlades är effekte vd uvärdesberäkge med e markadsmässg dskotergsräta ett mdre avsättgsbehov ä med dages system. E trolg orsak tll detta är högre markadsrätor och att försäkrgstdera delbestådet av pesosförsäkrgara som behadlades det här arbetet är mycket låga och edast markadsräta för statsoblgatoe SO-047 kom tll avädg då yeldkurva var otllräcklg. Äve dea räta är högre ä dages fasta räta. rots fallade markadsrätor har v de ett mskat reservbehov på drygt 6%. Problem uppstod då v har utbetalgar som lgger så lågt bort tde att yeldkurva tagt slut. Ett sätt att lösa problemet är att atge etrapolera eller ata att yeldkurva är kostat bortom ssta rätepukte, där det sstämda scearot valdes. I dessa fall kommer ma att få e återvestergsrsk så ågo form av återvestergsrsksavdrag bör göras åtmstoe på dessa lägre löptder. E dödlghetssäkg på 0 procet ger ett ågot högre crka 7 procet avsättgsbehov oavsett yeldkurva jämfört med de fasta räta. Realstsk värderg medför att lvförsäkrgsavsättgara mskar för försäkrgsbolaget. Det mskade avsättgsbehovet vsar sg vara störst för försäkrgsformer med låga åtagade, tll eempel de lvsvarga egepesoera med utbetalgsstart om 5 år och seare. Mskges storlek är beroede av främst rådade markadsrätor och rådade dskotergsräta högsta räta vd tdpukte för geomföradet av värderge. Solvesutvecklge av de fem portföljera de tre falle som testades förra avsttet vsar att försäkrgsbolaget klarar solvese elgt de uvarade reglera. Däremot kommer framtda solvesregler kaske att ställa krav på låga duratoer på tllgågar för att fåga upp hur ma matchar sa åtagade och tllgågar övrgt. Vad som häder vd rätefall på oblgatoer och FA och hur stora de får vara a bolaget ases vara solvet samt vlka krav som kommer att ställas på eget kaptal vd dessa rätefall är frågor som lgger utaför det här arbetet me ädå är tressata och relevata och bör därför studeras. E utvecklg av detta arbete skulle kua vara att bygga e yeldkurva för de rktgt låga åtagadea med hjälp av e swaprätekurva EURO, vlke fs med god lkvdtet för löptder upp tll 30 år. Dea metod tllämpas reda Damark. 3

35 A APPENDIX Matematsk beskrvg av terpolatosmetoder A. Kubsk sple terpolato Prcpe för kubska splefuktoer är följade: Apassa tll fuktoe f e terpolatosfukto g, beståede av styckvsa tredje grades polyom,,,, osv, apassade tll respektve deltervall,,,, 3 P, osv, så att P P 3 - terpolatosfuktoe g är kotuerlg över hela tervallet - första och adra dervatora är kotuerlga över hela tervallet - dessutom t.e. så att adra dervatora är oll ädpuktera.,, 3 Gvet e fukto terpolatosformel y y,,, N, där ljär terpolato uder tervallet, j j ger y Ay j j By där j och y j är löptd respektve YM A j j j och B A omskrvg ger att y Ay j By j Cy Dy j j där A och B är deferad ova och C dy d 3 A A j j 6 y y j j j j j j y Ay By j j d d, D A B j j 6 3B y j j j j 6 y där A vd, j A 0 vd j, 33

36 34 B 0 vd j, B vd j För j,, j j j j j j j j j y y y, j j j j j j j j y y y y N- ljära ekvatoer med N okäda där,, N A. Hermte terpolato Låt r vara e vektor Y, där y y y Y,...,, och c t m t m g t m t m Y Y t m Y t Y där t t m, Y Y g och y y Y Y c Då beräkas vektor Y av [ ] / / Y Y Y Y y med radvllkore [ ] / / / Y Y Y Y y där Y och är YM respektve löptd för varje oblgato. A.3 FA vd olka yeldkurvor Ett utdrag frå FA beräkgara markadsotergar frå Kö Ålder Pbelopp/må FA r3,5% FA y t r FA y t r FA y 3 t r K M [ ] / / / Y Y Y Y y

37 K M K M K M K M K M K M abell 7: E mskg av dödlghete medför e säkg av försäkrgstekska avsättgar vd dskoterg med yeldkurvora. A.4 Förädrg av dödlghet vd olka yeldkurvor Vd e mskg av dödlghete fås följade resultat, där data hämtats frå ett frå FA beräkgara. Kö Ålder Pbelopp/må FA r3,5% FA r y t FA r y t FA r y 3 t K M K M K M K M K M K M K M abell 7: A.5 Duratosaalys Låt oss betrakta e kupogoblgato, markadsprset gvet e yeld på y, ka skrvas elgt prsformel: 35

38 P t C y N t y, tc N y t P t D y där D är kupogoblgatoes durato. 36

39 B KÄLLFÖRECKNING Lvförsäkrgsmatematk kompedum Björ Aje, Ja Ohl Stockholms Uverstet 990 Ivestmet Scece Davd G. Lueberger Oford Uversty Press 998 Bod Prcg ad Portfolo Aalyss Protectg Ivestors the Log Ru Olver de la Gradvlle he MI Press 00 Numercal Recpes C Wllam H. Press et al. Cambrdge Uversty Press 99 Fasmatematk II föreläsgsateckgar homas Höglud Stockholms Uverstet H 004 Iteret Rksgäldskotoret: Fasspektoe: Stockholmsbörse: Iteratoal Accoutg Stadards Board: 37

40 C ORDFÖRECKNING FA Försäkrgstekska avsättgar YM Yeld to Maturty FI Fasspektoe EU Europeska Uoe IAS Iteratoal Accoutg Stadards IFRS Iteratoal Facal Reportg Stadards 38

41 Yeldkurva med ljär terp D PLOAR D. Yeldkurva med olka terpolatosmetoder 0,045 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0, yeld år tll förfall Fgur 7: Plot över yeldkurva med ljär terpolato Yeldkurva med kubsk sple terpolato 0,045 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,05 0,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, yeld år tll förfall Fgur 7: Plot över yeldkurva med kubska sples 39

42 0,045 Yeldkurva med Hermte terpolato 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,05 0,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, yeld år tll förfall Fgur 7:3 Plot över yeldkurva med Hermte terpolato Plot över prs-yeld 30,0 5,0 0,0 5,0 prs 0,0 05,0 00,0 95,0 90,0 0,006 0,0 0,065 0,06 0,08 0,099 0,037 0,039 0,034 0,036 0,0376 0,0387 0,0407 YM Fgur 7:4 Plot över prs och yelde 40

43 D. Durato 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 durato 0,5,35,86,67 3,39 4, 4,35 4,96 6,5 7,8 9,39 0,66 5,96 år tll förfall Fgur 7:5 Plot över statsoblgatoeras durato och år tll förfall D.3 Solvesgrad plottar Smuerlade solvesgrader, fa avsättgar på 80 eheter,300,300,3000,900,800,700,600,500,400,300, solvesgrad dagar portfölj portfölj portfölj 3 portfölj 4 portfölj 5 Fgur 7:6 Plot över solvesgradera för olka portföljer, fa FA 4

44 ,300,3000,800,600,400,00,000,800 solvesgrad Smulerade solvesgrader, fast dskotergsräta dages avsättgsmodell med portfölj portfölj portfölj 3 portfölj 4 portfölj 5 dagar Fgur 7:7 Plot över solvesgradera för olka portföljer,fa värderad med fast räta Smulerade solvesgrader, markadsräta avsättgara SO-04 värderade med,8000,7000,6000,5000,4000, solvesgrad Portfölj Portfölj Portfölj 3 Portfölj 4 Portfölj 5 dagar Fgur 7:8 Plot över solvesgradera för olka portföljer, markadsvärderade FA 4