Kontrolldiagram för månadsvis uppföljning av antal dödade i vägtrafiken

Transkript

1 VTI rappor 53 Ugivningsår Anal dödade jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Konrolldiagra för ånadsvis uppföljning av anal dödade i vägrafiken Åsa Forsan Mohaad-Reza Yahya

2

3 Ugivare: Publikaion: VTI rappor 53 Ugivningsår: 2005 Projeknuer: Linköping Projeknan: Uppföljning och koridsprognoser för anal dödsolyckor och anal dödade i rafiken Förfaare: Åsa Forsan Mohaad-Reza Yahya Uppdragsgivare: Vägverke Tiel: Konrolldiagra för ånadsvis uppföljning av anal dödade i vägrafiken Refera (bakgrund, syfe, eod, resula) ax 200 ord: Anal dödade personer i vägrafiken och anal dödsolyckor per ånad är vikiga å på rafiksäkerhesuvecklingen och följs därför ed sor inresse. Månadsufallen är dock svåra a olka på grund av sor slupässig variaion. E låg värde en viss ånad kan aningen bero på en gynnsa uveckling av rafiksäkerheen eller vara en slupässig effek. Syfe ed de här projeke har vari a a fra eoder so kan användas so söd ill olkningen av den ånadsvisa uppföljningen. Konroll- och prognosdiagra är de eoder so har använs. Konrolldiagraen besår av en övre och undre konrollgräns, hanar e värde uanför dessa gränser kan an olka dea so en verklig avvikelse från idigare nivå. Konrolldiagra där enskilda ånadsvärden prickas in är användbara när de gäller a påvisa o en viss ånad har e ovanlig hög eller låg värde. Dessa diagra är dock ine bra på a uppäcka så förändringar under en längre id. Därför kopleeras diagraen för enskilda ånadsvärden ed diagra för de oala ufalle från åres början. So e kopleen ill konrolldiagraen beskrivs även prognosdiagra so är baserade på så kallade ARIMA-odeller och kan användas för daa där de förekoer korrelaion ellan successiva ånadsvärden. I början av varje kalenderår beräknas prognoser och prognosinervall för hela åre. O de verkliga ufallen hanar uanför prognosinervallen olkas de so en förändring av de idigare önsre. Prognosdiagraen appliceras på idsserier av rullande årssuor av anal okona. ISSN: Språk: Anal sidor: Svenska 26 + bilagor

4 Publisher: Publicaion: VTI rappor 53 Published: 2005 Projec code: SE Linköping Sweden Auhor: Åsa Forsan Mohaad-Reza Yahya Projec: Follow up and shor-er forecass of he nuber of faal accidens and faaliies Sponsor: The Swedish Road Adinisraion Tile: Conrol chars for he onhly follow up of he nuber of faaliies in road raffic accidens Absrac (background, ais, ehods, resuls) ax 200 words: The nuber of faaliies in road raffic accidens and he nuber of faal accidens are iporan indicaors of he raffic safey siuaion. The onhly values are, however, difficul o inerpre due o large rando flucuaions. The ai of his projec have been o develop ehods ha faciliaes analysis and inerpreaion of hese daa. Conrol and prognosis chars are presened in he repor. The conrol chars have an upper and a lower lii, and a value ouside hese liis can be inerpreed as a real deparure fro he prevailing level. Conrol chars for onhly values are useful o deerine if he oucoe a specific onh is unusually high or low. These diagras are, however, no good a deecing sall changes during a longer ie period. They are herefore copleened by chars of he oal nuber of faaliies fro he beginning of he year. Prognosis chars are included as a copleen o he conrol chars. These chars are based on so called ARIMA odels and can be used for daa wih auocorrelaion. A he beginning of each calendar year, prognosis and prognosis inervals are calculaed for he enire year. An oucoe ouside he prognosis inervals is inerpreed as a change in he prevailing paern. Prognosis chars are applied o welve-onh oving sus of he nuber of faaliies. ISSN: Language: No. of pages: Swedish 26 + App.

5 Förord I okober 2004 fick VTI illsaans ed Linköpings universie i uppdrag från Vägverke a a fra eoder för a underläa olkningen av de ånadsvisa ufalle av anal dödade i vägrafiken. Bakgrunden ill uppdrage är a dessa ånadsufall, so är e vikig å på rafiksäkerhesuvecklingen och därför följs ed sor inresse, är svåra a olka beroende på sor slupässig variaion. E låg värde för en viss ånad kan aningen bero på en gynnsa uveckling av rafiksäkerheen eller vara en slupässig effek. Vi har därför arbea ed a a fra eoder för a uvärdera o nya ånadsvärden kan anses so avvikande eller beror på slupen. Projekdelagare har vari Åsa Forsan, Mohaad-Reza Yahya och Ulf Brüde från VTI och Sig Danielsson från Maeaiska insiuionen vid Linköpings universie. Anna Vadeby, VTI, har bidragi ed värdefulla synpunker på rapporen. E sor ack rikas ill Inger Forslund på Saisiska cenralbyrån, so har agi fra daa, och ill Ösen Johansson so har vari konakperson på Vägverke. Beräkningarna i den här rapporen slufördes under början av år Då var endas preliinära uppgifer för anale dödade och anale dödsolyckor under 2004 illgängliga. Kor innan rapporen ryckes presenerades den officiella saisiken ed definiiva uppgifer. Eferso rapporen i försa hand är inrikad på a beskriva eoder har vi val a ine räkna o resulaen ed de definiiva siffrorna. Alla figurer och resula bygger allså på preliinära siffror för år I bilaga redovisas både de preliinära och de definiiva siffrorna. Några jäförande beräkningar gjorda ed preliinära respekive definiiva daa gav ycke så resulaskillnader. Linköping juni 2005 Åsa Forsan projekledare VTI rappor 53

6 VTI rappor 53

7 Innehållsföreckning Sid Saanfaning 5 Suary 6 Inledning 7. Syfe 7.2 Definiioner 7.3 Daa 7 2 Meod och odellanpassning 0 2. Konrolldiagra för ånadsvärden Koponenuppdelning Konsrukion av konrolldiagra Rullande årssuor ARIMA (AuoRegressive Inegraed Moving Averages) 5 3 Resula 8 3. Konrolldiagra Konrolldiagra ed daa från period och Prognosdiagra för rullande årsvärden Prognosdiagra för daa från period respekive Diskussion 24 5 Referenser 25 Bilaga Grunddaa 2 Koponenuppdelning 3 Härledning av konrolldiagra 4 Konroll- och prognosdiagra för anal dödsolyckor VTI rappor 53

8 VTI rappor 53

9 Konrolldiagra för ånadsvis uppföljning av anal dödade i vägrafiken av Åsa Forsan och Mohaad-Reza Yahya VTI Linköping Saanfaning Uvecklingen av anal dödade personer i vägrafikolyckor speglar ill viss del hur säker de är a visas i rafiken en beror också på slupässig variaion ellan olika idsperioder. Dea gör a de är svår a urskilja vad so är verkliga förändringar ill följd av förbärad eller försärad rafiksäkerhe. Tros de är anal okona e vikig å so ofa används för a följa upp rafiksäkerhesarbee. Fördelarna ed åe är a de är lä a förså och a de går a äa ed hög illförlilighe. De finns därför e sor behov av eoder so underläar analys och olkning av dessa daa. I den här rapporen beskrivs konrolldiagra och prognosdiagra so båda kan användas för a övervaka uvecklingen av anal dödade ånad för ånad. Konrolldiagraen besår av en övre och undre konrollgräns. Hanar e värde uanför dessa gränser kan an olka dea so en verklig avvikelse från idigare nivå. Konrolldiagra där enskilda ånadsvärden prickas in är användbara när de gäller a påvisa o en viss ånad har e ovanlig hög eller låg värde. Dessa diagra är dock ine bra på a uppäcka så förändringar under en längre id. Därför kopleeras diagraen för enskilda ånadsvärden ed diagra för de oala ufalle från åres början. De konrolldiagra so härleds i den här rapporen förusäer a de finns en period ed relaiv sabila värden för anale dödade och a successiva ånadsvärden är oberoende. Dessa förusäningar är uppfyllda för ånadsdaa under perioden , varför den perioden har lega ill grund för beräkningarna. So e kopleen ill konrolldiagraen beskrivs även prognosdiagra so ine förusäer saa resrikioner på daa. Dessa diagra är baserade på så kallade ARIMA-odeller och kan användas för daa där de förekoer korrelaion ellan successiva ånadsvärden. I början av varje kalenderår beräknas prognoser och prognosinervall för hela åre. O de verkliga ufallen hanar uanför prognosinervallen olkas de so en förändring av de idigare önsre. Prognosdiagraen appliceras på idsserier av rullande årssuor av anal okona so ofa används so kopleen ill ånadsdaa. Fördelen ed rullande årssuor är a an blir av ed säsongsvariaionen och a illfälliga avvikelser ine får så sor beydelse. En nackdel är a är a de ar lång id innan fakiska förändringar syns. I en bilaga ill rapporen redovisas konroll- och prognosdiagra även för dödsolyckor. VTI rappor 53 5

10 Follow up and shor-er forecass of he nuber of faal accidens and faaliies by Åsa Forsan and Mohaad-Reza Yahya VTI SE Linköping Sweden Suary The nuber of faaliies in road raffic accidens reflecs how safe i is o ravel, bu is also subjec o large rando flucuaions beween ie periods. The rando flucuaion akes i difficul o deec real changes as a consequence of iproved or deerioraed raffic safey. The nuber of faaliies is neverheless ofen used o follow up he raffic safey siuaion since i is easy o undersand and can be easured wih high accuracy. Thus, here is a grea need for ehods ha faciliae analysis and inerpreaion of hese daa. Conrol and prognosis chars ha can be used o oversee he developen of he nuber of faaliies fro onh o onh are described in his repor. The conrol chars consis of an upper and a lower lii, and a value ouside hese liis can be inerpreed as a real deparure fro he prevailing level. Conrol chars for onhly values are useful o deerine if he oucoe a specific onh is unusually high or low. These diagras are, however, no good a deecing sall changes during a longer ie period. They are herefore copleened by chars of he oal nuber of faaliies fro he beginning of he year. The conrol chars derived in his repor require a period of relaively sable values of he nuber of faaliies and ha consecuive onhly values are independen. These requireens are fulfilled for daa during he period , which have been used for he calculaions. Prognosis chars are also included as a copleen o he conrol chars. These chars are based on so called ARIMA odels and can be used for daa wih auocorrelaion. A he beginning of each calendar year, prognosis and prognosis inervals are calculaed for he enire year. An oucoe ouside he prognosis inervals is inerpreed as a change in he prevailing paern. Prognosis chars are applied o welve-onh oving sus of he nuber of faaliies; hese sus are ofen used as copleens o onhly values. The advanages of welve-onh oving sus are ha he seasonal variaion is reoved and eporary deviaions are less pronounced. A disadvanage is ha i akes a long ie before acual changes are revealed. Conrol and prognosis chars for he nuber of faal accidens are shown in an appendix o his repor. 6 VTI rappor 53

11 Inledning Anal personer so under en viss idsperiod okoi i saband ed en vägrafikolycka är e konkre å på hur säker de är a visas i rafiken. De är dessuo e å so går a äa ed hög illförlilighe vilke gör de läplig a använda för a uvärdera effekerna av de saanlagda rafiksäkerhesarbee. Månad för ånad preseneras nya siffror av anal dödade på bland anna VTI:s och Vägverkes hesidor ( respekive En nackdel ed ånadssaisiken över anal dödade är a den är svår a olka. Ufalle av anal okona en viss ånad beror ill sor del på slupässiga effeker. Innan an försöker förklara ufalle är de därför vikig a a reda på o en inskning eller ökning av anale är en fakisk förändring eller o den ligger ino raen för den slupässiga variaionen. De är också inressan a skilja på ensaka exrea ånadsvärden och en längre id av aningen ovanlig höga eller ovanlig låga värden. De behövs således eoder so underläar olkningen av ånadssaisiken. E närliggande å på rafiksäkerheen är anal dödsolyckor. Dea å används ine lika ofa so anal dödade en koer också a behandlas i den här rapporen.. Syfe Syfe ed de här projeke har vari a a fra eoder so kan användas so söd ill olkningen av den ånadsvisa uppföljningen av anal dödade och anal dödsolyckor i vägrafiken. Måle är a kunna svara på o e värde eller en följd värden avviker från idigare önser, ine a kunna förklara uvecklingen av anal dödade eller dödsolyckor..2 Definiioner So död i vägrafikolycka räknas här de personer so okoi ill följd av olyckan och ino 30 dagar från olycksillfälle. Personer so drabbas av sjukdo so skulle ha le ill döden oavse o rafikolyckan inräffa eller ine finns allså ine ed (i den ån dea kunna fassällas). So dödsolycka räknas de vägrafikolyckor där ins en person dö enlig definiionen ovan. So vägrafikolycka räknas händelse so inräffa på väg, vari delagi ins e fordon i rörelse och so edför person- eller egendosskador (SIKA, 2002). När de i rapporen refereras ill anal dödade avses allid dödade i vägrafikolyckor. På saa sä avses allid vägrafikolyckor när dödsolyckor suderas..3 Daa Månadsdaa från och ed 977 ill och ed 2004 har använs (daa finns i bilaga ). I slue av 60-ale och början på 70-ale genofördes e anal rafikreforer: ill exepel högerrafikoläggningen 967, differenierade hasighesgränser 972 och lag o bilbäle i frasäe 975. Effeken av dessa reforer bedödes ha få full genoslag 977 varför dea år valdes so sarår. Daa för perioden har besälls från Saisiska cenralbyrån, SCB (avdelningen för befolknings- och välfärdssaisik). Thoas Lekander på Vägverke i Borlänge har illhandahålli uppgifer o anal dödade personer och anal dödsolyckor år VTI rappor 53 7

12 2004, saliga daa för dea år är dock preliinära och kan därför koa a ändras. Anal okona personer och anal dödsolyckor per år under perioden visas i Figur. Här syns den generella renden i serierna; se över hela perioden har en krafig nedgång ske. Kvoen ellan dessa vå kurvor har däreo ine förändras synbar, anal dödade per dödsolycka är i sor se konsan under perioden. I Figur 2 illusreras den säsongsvariaion so finns ellan olika ånader ino åre. Diagrae visar edelvärde för vare ånad under perioden I allänhe okoer fles personer i juli och augusi edan ånaderna januari ill april är ins olycksdrabbade. Anal dödade Anal dödsolyckor Anal År Figur Anal dödade och anal dödsolyckor i vägrafiken per år. Daa för perioden 977 ill Srax innan rapporen ryckes presenerades den officiella saisiken för De definiiva siffrorna finns i bilaga. Vi har dock val a ine göra o beräkningarna uan alla resula och alla figurer i den här rapporen bygger på preliinära daa. 8 VTI rappor 53

13 Anal dödade - edelvärde Anal dödsolyckor - edelvärde Anal jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Månad Figur 2 Anal dödade och anal dödsolyckor i vägrafiken. Medelvärde per kalenderånad för perioden 994 ill VTI rappor 53 9

14 2 Meod och odellanpassning Två yper av eoder koer a behandlas. Dels konrolldiagra för ånadsvärden, dels prognosdiagra för rullande årssuor. Eferso idsserierna av anal dödade och anal dödsolyckor behandlas på saa sä koer endas den försnända a användas för a illusrera eoderna. 2. Konrolldiagra för ånadsvärden Konrolldiagra används ofa för a snabb ge en indikaion på o en serie värden är sabil eller innehåller avvikande värden. Ino illverkningsindusrin används olika yper av konrolldiagra för a säkersälla kvalieen i illverkningsprocessen. Diagraen besår av en övre och en undre konrollgräns och ävärden prickas in alleferso de salas in. O e värde hanar uanför någon av gränserna är de en indikaion på a processen ine fungerar längre och behöver juseras. En rad olika yper av konrolldiagra beskrivs i Mongoery (2005). Den ypiska användningen av konrolldiagra är vid övervakning av en sabil process so är relaiv lä a jusera. Idén är dock överförbar ill andra siuaioner. När de gäller uppföljning av anal okona kan dessa diagra användas för a avgöra o ufalle en viss period är avvikande eller o de ligger ino den slupässiga variaionen. Konrolldiagra där enskilda ånadsvärden prickas in är användbara när de gäller a påvisa o en viss ånad har e ovanlig hög eller låg värde. Dessa diagra är dock ine bra på a uppäcka så förändringar under en längre id. Till exepel kan de under flera ånader förekoa låga värden so var och e hanar innanför konrollgränserna edan suan av dessa skulle visa på e ovanlig låg värde. Sådana förändringar kan uppäckas i diagra över de oala ufalle från åres början. Båda yperna av diagra koer a härledas nedan. Förusäningen för a an ska kunna konsruera konrolldiagra är a de finns en odell so beskriver daasrukuren. I avsni 2.. beskrivs den odell so koer a användas här sa den anpassning av odellen so gjors ill befinliga daa. 2.. Koponenuppdelning 2... Meod Tidsserien över anal dödade i vägrafikolyckor uppvisar ydliga säsongseffeker (Figur 2) och därför väljs en odell ed re koponener; säsong, rend och slup. Trendkoponenen kan innehålla såväl upp- och nedgångar i serien so cyklisk variaion. De re koponenerna kan kobineras på flera olika sä, här suderas en addiiv och en uliplikaiv odell. Addiiv odell: Y Muliplikaiv odell: Y S + T + ε () S T ε (2) I de båda odellerna är Y de observerade värde vid idpunk. Koponenerna S och T beecknar säsong respekive rend och ε är en slupvariabel ed vänevärde µ ε och sandardavvikelse σ ε ; µ ε 0 i den addiiva odellen och µ ε 0 VTI rappor 53

15 i den uliplikaiva odellen. Indexe är e löpnuer so börjar ed värde den ånad so inleder idsserien och räknas upp varje ånad. De re koponenerna kan beräknas geno så kallad koponenuppdelning. De kan göras på olika sä, bland anna beroende på o säsongseffekerna anas vara oförändrade från år ill år eller o de illås variera över iden. En eod för koponenuppdelning ed oförändrade säsongskoponener beskrivs i bilaga 2. En alernaiv eod är X so är uvecklad av U.S. Census Bureau och beräknar varierande säsongskoponener (se.ex. Makridakis e al., 998; SAS, 999). Meoden bygger på en ieraiv process där de olika koponenerna isoleras och uppskaas ed hjälp av glidande edelvärden. Meoden juserar också exrevärden och kan a hänsyn ill exepelvis anal helgdagar under en ånad. De senare unyjas dock ine här Anpassning Den addiiva och uliplikaiva odellen jäförs ed avseende på slupvariabelns egenskaper. Enlig odellförusäningarna ska slupvariabeln ha saa sandardavvikelse oavse nivån på de observerade värdena. Dea konrolleras geno a sandardavvikelsen skaas för perioden , då anal dödade var relaiv hög, och för perioden , då anal dödade var relaiv låg. Koponenuppdelningen görs enlig eoden so beskrivs i Bilaga 2 och renden skaades ed e glidande edelvärde ed nio erer. Resulae visar a den uliplikaiva odellen ger bäs anpassning eferso den skaade sandardavvikelsen är ycke lika i de vå perioderna (Tabell ). Endas denna odell koer a beakas i forsäningen. Tabell Jäförelse ellan addiiv och uliplikaiv koponenodell. Skaad sandardavvikelse för slupvariabeln, ε. Trenden, T, har i båda fallen uppskaas ed e glidande edelvärde ed nio erer. Skaad sandardavvikelse Modell År År Addiiv Y S + T + ε 0,66 8,09 Muliplikaiv Y S T ε 0,6 0,7 I Figur 3 visas en säsongsrensad serie av anal okona per ånad. Serien har beräknas geno a dividera observerade daa ed säsongsindex för varje ånad. Från och ed 994 uppvisar serien en sabil period uan någon synlig rend. Geno a sudera en idsseries auokorrelaioner kan an få ycke inforaion o en idsseries egenskaper. Auokorrelaionen, γ(d), är korrelaionen ellan värden på e viss idsavsånd, d. Till exepel beecknar γ() korrelaionen ellan vå på varandra följande värden, Y och Y -, edan γ(2) beecknar korrelaionen ellan Y och Y -2. O en serie bara besår av slupvariaion är γ(d) 0 för alla avsånd d, där d > 0. O värdena däreo är korrelerade i iden så är γ() relaiv hög och sedan avar korrelaionerna snabb o 0 ed ökande idsavsånd, d. I serier där de finns en rend koer auokorrelaionerna a isälle uppvisa e önser ed långsa avagande värden ed ökande idsavsånd. I Figur 4 visas skaade auokorrelaioner för den säsongsrensade serien från 994 och fraå. Här finns inge önser so påvisar VTI rappor 53

16 någon rend i aeriale, uan resulae yder på a värdena är oberoende i iden. Dea är en vikig förusäning för de konrolldiagra so beskrivs senare i rapporen Anal dödade År Figur 3 Säsongsrensad serie av anal okona per ånad. Muliplikaiv koponenodell. Auokorrelaion Tidsavsånd Figur 4 Auokorrelaion för olika idsavsånd för den säsongsrensade serien av anal okona. De sreckade röda linjerna arkerar konfidensinervall run värde 0 ed konfidensgrad 95 %. Daa från perioden Eferso de ine går a påvisa någon rend i daa från perioden 994 ill 2004 så baseras konrolldiagraen på dessa daa. En fördel ed de är a rendkoponenen i (2) kan ersäas ed en konsan nivå för anal dödade per ånad. Modellen kan nu skrivas so Y S Tε (3) där T ine beror av idpunken. 2 VTI rappor 53

17 En ny koponenuppdelning so baseras på daa från perioden och odell (3) ger konsana säsongsindex enlig Figur 5. So jäförelse har även dynaiska säsongsindex beräknas ed X-eoden. I Figur 6 visas uvecklingen av dessa index för varje enskild kalenderånad. För de flesa ånader är indexen relaiv konsana efer 994. Undanagen är fräs ars, juni och deceber so visar sörs förändringar. E proble ed X är dock a resulaen i början och slue av serien är osäkra. Dea beror på a eoden baseras på glidande edelvärden vilke gör an förlorar daa i ändarna av serien so ersäs ed uppskaade värden. På grund av denna osäkerhe koer konsana säsongsindex a användas för konrolldiagraen. Säsongsindex jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Figur 5 Konsana säsongsindex för anal okona i vägrafikolyckor. Muliplikaiv odell (3), daa från perioden jan feb ar Säsongsindex. 0.9 apr aj jun jul aug 0.8 sep ok 0.7 nov dec 0.6 År Figur 6 Dynaiska säsongsindex för anal okona i vägrafikolyckor skaade ed X-eoden, uliplikaiv odell. Diagrae visar uvecklingen från för varje enskild ånad Konsrukion av konrolldiagra Konrolldiagraen baseras på odell (3) i föregående avsni. Dessuo anas konsana säsongsindex so nedan beecknas S, där sår för respekive kalenderånads nuer ( januari, osv.). VTI rappor 53 3

18 Konrolldiagraen definieras av e ivärde sa undre och övre konrollgränser. De undre och övre konrollgränserna väljs här ed en risknivå so är approxiaiv Sannolikheen a e enskil värde hanar uanför gränserna är allså ungefär 0.05, give a odellen (3) är korrek. Härledning av konrolldiagraen visas i bilaga 3 och resulae ses i ruorna nedan. Mivärde och konrollgränser för enskilda ånadsvärden Mivärde för ånad : S T (4) Undre gräns för ånad : Övre gräns för ånad : S T S Tσ (5) 2 ε S T + S Tσ (6) 2 S är säsongsindex för ånad, T beecknar seriens nivå och σ ε är slupvariabelns sandardavvikelse. ε Mivärde och konrollgränser för oal ufall från åres början ill och ed akuell ånad, M M Mivärde: S T (7) Undre gräns: Övre gräns: M S T 2 S T σ ε (8) M S T + M M S T ε σ (9) S är säsongsindex för ånad, T beecknar seriens nivå och 2 är slupvariabelns varians. σ ε Eferso värdena S, T och σ ε ine är kända ersäs de ed osvarande skaade värden, Sˆ, Tˆ, och s, från den akuella idsserien. Ŝ och s beräknas enlig (I.2) och (I.5) i bilaga 2. Tˆ beräknas so edelvärde av den säsongsrensade serien (I.3). 2.2 Rullande årssuor Rullande årssuor används ofa för a kunna följa uvecklingen av anal döda ånad för ånad uan a söras av den säsongsvariaion so förekoer. Varje ånad beräknas suan av ufallen de senase olv ånaderna, på så sä får an bor säsongseffekerna. En nackdel ed rullande årssuor är a de ar lång id innan förändringar syns eferso an har ed daa so är upp ill ånader gala. Rullande årssuor av anal dödade och anal dödsolyckor deceber 994 deceber 2004 visas i Figur 7. 4 VTI rappor 53

19 Anal dödade Anal dödsolyckor Anal År Figur 7 Rullande årssuor av anal dödade och anal dödsolyckor. Värde i deceber ånad varje år arkeras ed svara syboler. När an skapar rullande årssuor införs e sark idsberoende i serien eferso värden från närliggande idpunker ill sor del bygger på saa daa. De här beroende visar sig i seriens auokorrelaioner so diskuerades i kapiel De är därför svår a konsruera och olka konrolldiagra för rullande årssuor. I de här kapile föreslås en alernaiv eod so bygger på prognoser uifrån ARIMA-odeller. ARIMA sår för AuoRegressive Inegraed Moving Averages och beskrivs korfaa nedan, för en fullsändig beskrivning, se ill exepel Makridakis e al. (998) eller Brockwell & Davis (2002). So idigare har daa från perioden använs för beräkningarna. De beyder a den försa årssuan är från deceber ARIMA (AuoRegressive Inegraed Moving Averages) De grundläggande besåndsdelarna i en ARIMA-odell beecknas AR(p) och MA(q). AR(p) är en auoregressiv odell där värde av idsserien i idpunk, Y, beror på värden vid idigare idpunker. I sin enklase for, AR(), kan odellen skrivas so Y φ 0 + φy + ε (0) där φ 0 och φ är odellparaerar och ε är en variabel so beskriver slupässiga avvikelser från odellvärde. MA(q) är en odell av idigare slupässiga avvikelser, ε. En MA() kan skrivas so Y θ 0 + ε θε () där Y och ε definieras so i (0) och θ 0 och θ är odellparaerar. Paraerarna p och q beskriver anal idigare värden och anal idigare slupässiga avvikelser so as ed i respekive odell. De vå odellerna AR(p) och MA(q) kan kobineras ill en ARMA(p,q)- odell. ARMA-odeller kan dock endas anpassas ill en saionär idsserie, vilke bland anna innebär a den ine får innehålla rend eller säsongsvariaion. VTI rappor 53 5

20 Problee ed en rend i idsserien går i ånga fall a lösa geno differeniering. Differeniering på avsånd innebär a an bildar en ny variabel, X Y Y -, so besår av differensen ellan e värde och näras föregående värde. O renden ine är bora kan an upprepa differenieringen. En ARIMA(p,d,q) beecknar en odell där serien differenieras d gånger. Sluligen kan de också förekoa beroenden ellan säsongsvärden. Till exepel a värde för januari e år beror på värde i januari e eller flera år bakå i iden. Dea haneras so AR och MA odeller för säsongerna ed ordningsparaerar P respekive Q. Säer an ihop alla delar ovan fås en odell so brukar beecknas ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q) s där paraerarna i den försa parenesen hänger ihop ed icke-säsongsdelen i odellen och paraerarna i den andra parenesen hänger ihop ed säsongsdelen. Index s beecknar anal perioder per säsong och D beskriver ordningen av evenuell säsongsdifferens. O s 2 och D är de en differeniering av ordning 2 av den ursprungliga serien Anpassning ARIMA-odeller ed olika paraeeruppsäning ger upphov ill olika useende på auokorrelaionsfunkionen. Denna kan därför unyjas för a hia en läplig odell. I Figur 8 visas auokorrelaioner so beräknas för daa från perioden deceber 994 deceber Mönsre i diagrae är svårolka, korrelaionerna avar relaiv långsa vilke skulle kunna yda på en rend i serien. På grund av dea jäfördes odeller ed och uan differeniering och jäförelsen visade a anpassningen ine blev bäre efer differeniering. Sluligen valdes en ARIMA(,0,0)x(0,0,) 2. E diagra över auokorrelaioner för residualerna från den anpassade ARIMA odellen visas i Figur 9. De visar inge ecken på a innehålla någo anna än slupässig variaion vilke yder på en bra odellanpassning. Korrelaion Tidsavsånd Figur 8 Auokorrelaioner för rullande årssuor av anal okona personer, daa från perioden deceber 994 deceber De sreckade röda linjerna arkerar konfidensinervall run värde 0 ed konfidensgrad 95 %. 6 VTI rappor 53

21 Korrelaion Tidsavsånd Figur 9 Auokorrelaioner för residualer från odellen ARIMA(,0,0)x(0,0,) 2. Den allänna foren för en ARIMA(,0,0)x(0,0,) 2 är Y + φy Θε 2 φ 0 + ε (2) O odellparaerarna, φ 0, φ, och Θ, ersäs ed skaade värden fås den anpassade odellen Y Y ε + ε (3) De förvänade anale dödade en viss idsperiod beror allså dels på anal dödade en period innan, dels på avvikelseeren 2 perioder bakå i iden, ε -2. De senare beroende kan förklaras ed a den rullande årssuan beräknas geno a värde 2 ånader bakå i iden, X -2, ersäs ed värde den akuella idsperioden, X. O X -2 exepelvis var ovanlig låg är de rolig a de ersäs ed e högre värde vilke ger e högre värde på årssuan. A skaningen av paraeern Θ ligger nära värde visar de so också kunde ses i auokorrelaionsdiagrae (Figur 8), näligen a de är svår a avgöra o serien innehåller en rend eller ine. Modell (3) kan nu användas för a göra prognoser och beräkna prognosinervall. Dessa beräkningar är relaiv besvärliga a säa sig in i och koer ine a behandlas här. Den inresserade läsaren hänvisas ill Brockwell & Davis (2002). Prognoser ed illhörande prognosinervall kallas i forsäningen för prognosdiagra. O sådana prognosdiagra skapas för e hel kalenderår kan de olkas på liknande sä so konrolldiagraen. O ufalle en ånad hanar uanför prognosinervallen yder de på a idsserien avviker från idigare önser. VTI rappor 53 7

22 3 Resula I de här kapile preseneras underlag ill konroll- och prognosdiagra för år Dessuo visas diagra där hisoriska daa har lags in so deonsraion av hur diagraen fungerar i olika siuaioner. Mosvarande konroll- och prognosdiagra för dödsolyckor preseneras i bilaga Konrolldiagra I Tabell 2 visas ivärde, undre och övre konrollgränser för dels enskilda ånadsvärden, dels oal ufall från åres början. Värdena är beräknade enlig kapiel 2..2 och baseras på daa för anal dödade år Tabell 2 Underlag ill konrolldiagra för anal dödade. Mivärde, undre och övre gräns för enskilda ånadsvärden respekive oal ufall från åres början preseneras. Enskilda ånadsvärden Toal ufall från åres början Månad Mivärde Undre gräns Övre gräns Mivärde Undre gräns Övre gräns januari februari ars april aj juni juli augusi sepeber okober noveber deceber Konrolldiagra ed daa från period och I Figur 0 visas konrolldiagra för enskilda ånadsvärden där daa från prickas in. Mivärde, undre och övre konrollgränser är saa so i Tabell 2. 8 VTI rappor 53

23 Anal dödade jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Figur 0 Konrolldiagra för enskilda ånadsvärden. Konrollgränserna baseras på daa från och för varje ånad är värden från denna period inprickade i diagrae. För värden uanför konrollgränserna anges de år värde koer ifrån. Toal har sex värden hana uanför konrollgränserna, vilke ligger nära de förvänade anale för e konrolldiagra ed konfidensgrad 95 procen. De sex värdena är uspridda över hela perioden och de förekoer ine någon saanhängande period ed flera exrea värden efer varandra. Mosvarande diagra för ackuulera ufall under åre visas i Figur. Här ses a ufalle under juni ill augusi 2002 ligger över den övre konrollgränsen. De var allså ovanlig ånga dödade under dea år fra ill och ed augusi. Relaiv låga värden resen av åre gjorde a de oal se ine blev någo exre värde för hela åre. Man kan också se a anal dödade under de fe försa ånaderna år 2000 var ovanlig hög även o inge enskil ånadsvärde låg uanför konrollgränserna (Figur 0). VTI rappor 53 9

24 Anal dödade jan feb ar apr a jun jul aug sep ok nov dec Figur Konrolldiagra för oal ufall från åres början. Konrollgränserna baseras på daa från och för varje ånad är värden från denna period inprickade i diagrae. För värden uanför konrollgränserna anges de år värde koer ifrån. So jäförelse ill ovansående diagra, so innefaar en period av sabila värden, visas konrolldiagra ed daa från en period ed en krafig nedgång av anal dödade. Perioden so visas är och de är fräs under 993 so nedgången sker (Figur 3). Konrolldiagraens gränser baseras på daa från och kan ses i Figur 2 och Figur 3. Anal dödade jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Figur 2 Konrolldiagra för enskilda ånadsvärden. Konrollgränserna baseras på daa från och för varje ånad är värden från inprickade i diagrae. För värden uanför konrollgränserna anges de år värde koer ifrån. 20 VTI rappor 53

25 Anal dödade jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Figur 3 Konrolldiagra för oal ufall från åres början. Konrollgränserna baseras på daa från och för varje ånad är värden från inprickade i diagrae. För värden uanför konrollgränserna anges de år värde koer ifrån. Nedgången under 993 avspeglas i båda diagraen. I Figur 2 är fyra enskilda ånadsvärden under den undre konrollgränsen och i Figur 3 syns nedgången från och ed augusi. Under 989 visade endas deceber e enskil exre värde. I konrolldiagrae för ackuulerade värden ser an dock a hela åre uppvisade e ovanlig hög värde. 3.2 Prognosdiagra för rullande årsvärden I Tabell 3 visas prognos sa undre och övre prognosgräns för rullande årssuor år Alla värden baseras på beräkningar uifrån odell (3) och daa från perioden deceber 994 deceber Tabell 3 Underlag ill prognosdiagra för anal dödade. Prognos för 2005 sa undre och övre gräns för rullande årssuor preseneras. Prognos Undre gräns Övre gräns januari februari ars april aj juni juli augusi sepeber okober noveber deceber VTI rappor 53 2

26 3.2. Prognosdiagra för daa från period respekive Nedan visas prognosdiagra för de vå perioderna och (Figur 4 och Figur 5). Prognoser för e år fraå beräknas i början på varje kalenderår och an kan sedan följa o de verkliga ufalle håller sig ino prognosgränserna eller ine. Prognosdiagrae för perioden baseras på odell (3) och år 996 är de försa åre de är öjlig a göra prognoser för eferso idsserien börjar deceber 994. Prognosdiagrae för baseras på en odell so anpassas ill daa från deceber 98 deceber 993. Den anpassade odellen är en ARIMA(0,,0)x(0,0,) Observerade värden Undre gräns Prognos Övre gräns 600 Anal dödade Figur 4 Prognosdiagra för rullande årssuor perioden Baseras på odell (3). Anal dödade Observerade värden Undre gräns Prognos Övre gräns Figur 5 Prognosdiagra för rullande årssuor perioden Baseras på en ARIMA(0,,0)x(0,0,) 2 so anpassas ill daa från deceber 98 deceber VTI rappor 53

27 De vå prognosdiagraen visar resula so i sor sä överenssäer ed konrolldiagraen i kapiel 3... I Figur 4 uärker sig år 2002 där fyra värden i rad hanar över prognosgränsen. O an jäför diagraen i Figur 3 och Figur 5 kan an dock se a prognosdiagrae för rullande årssuor ger uslag vå ånader senare år 989 och en ånad senare år 993 jäför ed konrolldiagraen för ackuulerade ånadsvärden. Dea illusrerar den röghe so finns inbyggd i rullande årssuor. VTI rappor 53 23

28 4 Diskussion Konrolldiagra är e värdefull verkyg när de gäller a säkersälla kvalieen i ill exepel illverkningsprocesser. Avvikande värden ger en indikaion på a någoning i processen är fel och bör juseras. I den här rapporen beskrivs hur konrolldiagra kan användas för a underläa olkningen av den ånadsvisa uppföljningen av anal dödade och anal dödsolyckor i vägrafiken. En alernaiv eod, so här kallas prognosdiagra, har också agis fra och illäpas på rullande årssuor. Två olika konrolldiagra har konsrueras, e för ufalle varje ånad och e för oal ufall från åres början. Diagraen kopleerar varandra och kan ed fördel användas ihop för a ge en er fullsändig bild av uvecklingen. Konrolldiagra för enskilda ånadsvärden visar o ufalle en viss ånad är ovanlig hög eller låg. Även o inga enskilda ånader påvisar någon avvikelse kan dock de oala ufalle under saa period vara ovanlig hög eller låg. Dessa avvikelser fångas upp i konrolldiagraen för ackuulera ufall. Tyngdpunken i de här arbee har lega på a a fra konrolldiagraen snarare än på den underliggande odellen. Vi har använ oss av en relaiv enkel uliplikaiv koponenodell och anagi noralfördelade residualer. De finns givevis en rad andra odeller so kan och har använs för a odellera olycksdaa. Ofa ugår an ifrån a anal olyckor är poissonfördelade och använder odeller so ar hänsyn ill dea, ill exepel poissonregression. En egenskap hos poissonfördelningen är a vänevärde och variansen är lika sora. O an isälle iar på anal dödade säer ine dea uan variansen blir i regel sörre än vänevärde, de kallas ibland överspridning, och an får anpassa odellerna efer dea (se.ex. Danielsson, 999). I koponenodellen finns inga sådana resrikioner, där kan de förekoa a vänevärde är sörre än variansen. Modellen visar sig dock ge illfredssällande resula när hisoriska daa prickas in i konrolldiagraen. Vi har därför ine se de nödvändig a använda en er koplicerad odell. Rullande årssuor används ibland för a sudera olycksuvecklingen. Fördelen ed dessa är a an blir av ed säsongsvariaionen och a illfälliga avvikelser ine får så sor beydelse. En nackdel är a de ar lång id innan fakiska förändringar syns. Prognosdiagraen so skapas för de rullande årssuorna baseras på ARIMA-odeller so anpassas ill idsserierna. I början av varje kalenderår beräknas prognoser och prognosinervall för hela åre. O de verkliga ufallen hanar uanför prognosinervallen olkas de so en förändring av de idigare önsre. Konroll- och prognosdiagraen är ine direk jäförbara. När de gäller konrolldiagraen jäför an ed hisoriska daa från en relevan jäförelseperiod. I prognosdiagraen unyjar an också hisoriska daa en prognoserna påverkas fraförall av akuella värden vilke gör dessa diagra er känsliga för illfälliga upp och nergångar i idsserien. Konrolldiagra läpar sig bäs för en period ed ganska sabila daa edan prognosdiagra kan användas för alla idsserier so går a beskriva ed en ARIMA-odell. 24 VTI rappor 53

29 5 Referenser Danielsson, S: Saisiska eoder vid analys av rafiksäkerhe. Linköpings universie. Linköping Brockwell, P. J. & Davis, R. A: Inroducion o Tie Series and Forecasing. Springer-Verlag. New York Makridakis, S, Wheelwrigh, S. C. and Hyndan, R. J: Forecasing: Mehods and Applicaions. John Wiley & Sons, Inc Mongoery, D. C: Inroducion o Saisical Qualiy Conrol. John Wiley & Sons, Inc SAS: SAS/ETS User's Guide. Häad från hp://v8doc.sas.co/sashl/es/chap2/index.h VTI rappor 53 25

30 26 VTI rappor 53

31 Grunddaa Tabell 4 Anal dödade per ånad. Bilaga Sid (2) År jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Sua * ** * Preliinära siffror ** Definiiva siffror VTI rappor 53

32 Bilaga Sid 2 (2) Tabell 5 Anal dödsolyckor per ånad. År jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Sua * ** * Preliinära siffror ** Definiiva siffror VTI rappor 53

33 Bilaga 2 Sid (2) Koponenuppdelning Koponenuppdelning kan göras på flera olika sä en grundidén är a särskilja de re koponenerna säsong, rend och slup från varandra och skaa dess sorlek. Här beskrivs den eod so använs för a a fra resulaen i denna rappor. Koponenuppdelningen genoförs i re seg vilka illusreras för den uliplikaiva odellen Y S T ε,,..., N (I.) där Y är observerade värden, S är säsongsindex, T beecknar rend, ε är en 2 slupvariabel ed vänevärde och varians σ ε och N är oal anal värden i serien. Slupvariabeln anas vara oberoende av S och T. Beräkningarna gäller för en serie ed ånadsvärden so innehåller fixa säsongseffeker. Seg beräkning av säsongsindex För en serie ed 2 perioder per säsong besäs förs en preliinär 6 renduppskaning so de vikade edelvärde X ciy + i där c i 0.5 för i 2 i 6-6, 6 och c i för övriga i. Därefer bildas kvoen Z Y / X. För varje kalenderånad beräknas ojuserade säsongsindex, OS Z, där n är n od2 anal värden för kalenderånad ; od 2 beyder resen av efer division ed 2 och används här för a skilja u ånad. Säsongsindexen skaas sluligen so S ˆ OS OS (I.2) / vilke är en norering av de ojuserade säsongsindexen så a edelvärde över 2 åres ånader blir, OS OS. 2 Seg 2 renduppskaning Förs skapas en säsongsrensad serie YS Y / S, (I.3) ˆ od2 Trenden skaas sedan so e glidande edelvärde, r Tˆ (I.4) YS + i 2r + i r VTI rappor 53

34 Bilaga 2 Sid 2 (2) Anal erer, r, besäs från fall ill fall. O serien är sabil och ine visar några ecken på upp eller nedgångar kan renden ersäas ed en konsan so beräknas so edelvärde av alla erer i den säsongsrensade serien. Seg 3 besäning av slupvariabelns egenskaper Lå e beeckna slupvariabelns (ε ) ufall vid idpunk. Dessa ufall besäs nu Y so e. I en uliplikaiv odell är slupvariabelns vänevärde E(ε ) Sˆ Tˆ od2 2. Skaningen av variansen beecknas s 2 och beräknas enlig σ ε s 2 N N ( 2 e e ) (I.5) där N är oal anal värden i serien. VTI rappor 53

35 Bilaga 3 Sid (2) Härledning av konrolldiagra Konrolldiagraen besår av e ivärde och en undre och övre gräns och kan skrivas på följande allänna for E ( Z ) ± L V ( Z ) där Z är den process so an vill konrollera och L är en konsan so beror dels på processens fördelning, dels på vilken konfidensgrad so önskas. Processens vänevärde och varians illsaans ed konsanen L definierar allså konrolldiagrae. Nedan besäs dessa värden dels för enskilda ånadsvärden, dels för ackuulerade ånadsvärden från åres början. Enskilda ånadsvärden Lå Y beeckna idsserien av ånadsvärden och anag a processen genereras från den uliplikaiva odellen Y STε ed saa egenskaper so (I.) i Bilaga 2. I forsäningen berakas serien för varje enskild kalenderånad,,..., 2. Tidsserien av observerade värden ånad beecknas och säsongsindexen so S. Vänevärde och varians för Y E( Y ) E( S Tε ) S TE( ε ) S T V Y ) V ( S Tε ) S T V ( ε ) S T kan nu skrivas so: 2 2 ( σ ε Observera a variansen för slupvariabeln ε anas vara lika sor för varje kalenderånad. För a besäa värde på L anas a ε kan approxieras ed en noralfördelning. E inervall ed konfidensgrad 0.95 fås o L.96, för enkelhes skull används dock L 2. Ovansående resoneang leder ill följande konrolldiagra Y Milinje för ånad : Undre gräns för ånad : Övre gräns för ånad : E( Y ) S T E( Y ) L V ( Y ) S T 2S E( Y ) + L V ( Y ) S T + 2S Tσ Tσ ε ε Ackuulerade ånadsvärden från åres början Lå X M beeckna serien av ackuulerade värden från respekive års början ill och ed ånad M, X M M Y. VTI rappor 53

36 Bilaga 3 Sid 2 (2) Härledning av vänevärde och varians för : X M M M M M T S TE S T S E Y E X E M ) ( ) ( ) ( ) ( ε ε M M M M T S V T S T S V Y V X V M ) ( ) ( ) ( ) ( ε σ ε ε Härledningen av förusäer a successiva ånadsvärden är oberoende, vilke verkar vara uppfyll för den idsserie so unyjas i den här rapporen (Figur 4). ) ( M X V På saa sä so ovan bildas nu konrolldiagra för ackuulera ånadsufall ill och ed ånad M. Mivärde: M S T Undre gräns: M M T S T S ε σ Övre gräns: + M M T S T S ε σ VTI rappor 53

37 Bilaga 4 Sid (4) Konroll- och prognosdiagra för anal dödsolyckor Här preseneras konroll- och prognosdiagra för dödsolyckor. Nedansående abeller och figurer osvarar de so preseneras för anal dödade i kapiel 3. Tabell 6 Underlag ill konrolldiagra för anal dödsolyckor. Mivärde, undre och övre gräns för enskilda ånadsvärden respekive oal ufall från åres början preseneras. Enskilda ånadsvärden Månad Mivärde Undre gräns Övre gräns Toal ufall från åres början Mivärde Undre gräns Övre gräns januari februari ars april aj juni juli augusi sepeber okober noveber deceber Anal dödsolyckor jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Figur 6 Konrolldiagra för enskilda ånadsvärden. För varje ånad är värden från inprickade. För värden uanför konrollgränserna anges de år värde koer ifrån. VTI rappor 53

38 Bilaga 4 Sid 2 (4) Anal dödsolyckor jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Figur 7 Konrolldiagra för oal ufall från åres början. För varje ånad är värden från inprickade. För värden uanför konrollgränserna anges de år värde koer ifrån. Anal dödsolyckor jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Figur 8 Konrolldiagra för enskilda ånadsvärden. För varje ånad är värden från inprickade. För värden uanför konrollgränserna anges de år värde koer ifrån. Konrolldiagraens gränser baseras på daa från VTI rappor 53

39 Bilaga 4 Sid 3 (4) Anal dödsolyckor , 90, jan feb ar apr aj jun jul aug sep ok nov dec Figur 9 Konrolldiagra för oal ufall från åres början. För varje ånad är värden från inprickade. För värden uanför konrollgränserna anges de år värde koer ifrån. Konrolldiagraens gränser baseras på daa från Tabell 7 Underlag ill prognosdiagra för anal dödade. Prognos, undre och övre gräns för rullande årssuor. Prognos Undre gräns Övre gräns januari februari ars april aj juni juli augusi sepeber okober noveber deceber VTI rappor 53

40 550 Observerade värden Undre gräns Bilaga 4 Sid 4 (4) Prognos Övre gräns 500 Anal dödsolyckor Figur 20 Prognosdiagra för rullande årssuor perioden Baseras på en ARIMA(,0,0)x(0,0,) 2 so anpassas ill daa från perioden deceber 994 deceber Observerade värden Undre gräns Prognos Övre gräns Anal dödsolyckor Figur 2 Prognosdiagra för rullande årssuor perioden Baseras på en ARIMA(0,,0)x(,0,0) 2 so anpassas ill daa från deceber 98 deceber 993. VTI rappor 53

41

42 VTI är e oberoende och inernaionell frasående forskningsinsiu so arbear ed forskning och uveckling ino ransporsekorn. Vi arbear ed saliga rafikslag och kärnkopeensen finns ino orådena säkerhe, ekonoi, iljö, rafik- och ransporanalys, beeende och saspel ellan änniska-fordon-ransporsyse sa ino vägkonsrukion, drif och underhåll. VTI är världsledande ino e fleral oråden, ill exepel siulaoreknik. VTI har jänser so sräcker sig från försudier, oberoende kvalificerade uredningar och experulåanden ill projekledning sa forskning och uveckling. Vår ekniska urusning besår bland anna av körsiulaorer för väg- och järnvägsrafik, väglaboraoriu, däckprovningsanläggning, krockbanor och ycke er. Vi kan även erbjuda e bre ubud av kurser och seinarier ino ranspororåde. VTI is an independen, inernaionally ousanding research insiue which is engaged on research and developen in he ranspor secor. Our work covers all odes, and our core copeence is in he fields of safey, econoy, environen, raffic and ranspor analysis, behaviour and he an-vehicle-ranspor syse ineracion, and in road design, operaion and ainenance. VTI is a world leader in several areas, for insance in siulaor echnology. VTI provides services ranging fro preliinary sudies, highlevel independen invesigaions and exper saeens o projec anageen, research and developen. Our echnical equipen includes driving siulaors for road and rail raffic, a road laboraory, a yre esing faciliy, crash racks and a lo ore. We can also offer a broad selecion of courses and seinars in he field of ranspor. HUVUDKONTOR/HEAD OFFICE LINKÖPING BORLÄNGE STOCKHOLM GÖTEBORG POST/MAIL SE LINKÖPING POST/MAIL BOX 760 POST/MAIL BOX 6056 POST/MAIL BOX 8077 TEL +46(0) SE-7827 BORLÄNGE SE-706 SOLNA SE GÖTEBORG TEL +46 (0) TEL +46 (0) TEL +46 (0)