KAPITEL 4 DYNAMISKA COST-BENEFIT-ANALYSER I KONTINUERLIG

Transkript

1 69 KAPITEL 4 DYNAMISKA COST-BENEFIT-ANALYSER I KONTINUERLIG TID 53 COST-BENEFIT-ANALYS I EN DYNAMISK RAMSEY-MODELL 54 Vi ka i dea kapiel inroducera en dynamik allmän jämvikmodell med vå yper av kapialbeånd, vanlig realkapial och e beånd om beår av ackumulerade icke önkvärda uläpp. Modellen formulera både under äkerhe och oäkerhe och i koninuerlig id. Den momenana nyofunkionen under äkerhe har formen: u u[ c( ), x( )] (4.1) där c () är konumionen per capia i idpunk och x () är de ackumulerade uläppen per capia. Nyan växer med ökad konumion medan de ackumulerade uläppen minkar nyan. Ekonomin produkionfunkion har formen: y( ) f [ k( ), g( )] (4.) där y () är produkionen per capia, k () är kapialocken per capia och g () är flöde av uläpp per capia, vilke kan olka å a föreage använder energi om inavara och denna ger (efer omkalning ) upphov ill lika ora uläpp. Produkionen växer i båda argumenen. Differenialekvaionen för de ackumulerade uläppen är: x( ) g( ) x( ) (4.3) x() x Här är x( ) dx( ) / d derivaan av de ackumulerade uläppen, och < 1 är en parameer om år för den aimilerande kapacieen ho miljön/amofären, dv. är en deprecieringfakor, om dock kan påverka av amhälle; e nedan. Parameern x ger orleken på de ackumulerade uläppen vid idpunken noll. Denna parameer behöv för a löa differenialekvaionen. Tillväxen av kapialocken över iden k( ) dk( ) / d driv av differenialekvaionen k( ) f [ k( ), g( )] c( ) I( ) (4.4) k() k där I( ) är konaden a upprähålla nivån på deprecieringfakorn för de ackumulerade uläppen, mä i produkionenheer per capia. De amhällekonomika allmänna jämvikprobleme om ka löa av en ocial planerare har formen 53 Kapile bygger på bl.a Aronon, Löfgren och Backlund (4), Dixi och Pindyck (1993) och Ökendal (5) 54 Frank Plumpon Ramey ( ) var en engelk maemaiker och filoof verkam i Cambridge (England) om krev re ariklar med naionalekonomik innehåll. Alla re var banbryande och en av dem rörde e problem om liknar ovanående. Ramey använde modellen för a opimera individen parande. Probleme förvårade av a han anog (av eika käl) a nyodikoneringränan var noll. Han var kompi med John.M. Keyne, Berrand Ruell och Ludvig Wigenein. Han dog alldele för ung av en njurjukdom.

2 7 Max c( ), g( ) u ( c( ), x( )) e d (4.5) med rerikionerna k( ) f [ k( ), g( )] c( ) I( ) (4.6) x( ) g( ) x( ) k() k x() x lim k( ) lim x( ) e Dikoneringfakorn är där är nyodikoneringränan och ine penningränan. Gränvärdena i (4.6) behöv för a hålla kapialockarna poiiva. Löningen på dea problem kan preci om i en aik modell eller en dynamik modell i dikre id kriva om en opimal värdefunkion under rerikioner om i huvudak beår av vå differenialekvaioner av föra ordningen och dera arvärden. Den opimala värdefunkionen blir: (,, ) max ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) c( ), g( ) (4.7) V k x u c x e d u c x e d Här är (, ) en parameervekor. Den opimala konumionen över iden är c () och de ackumulerade uläppen är x (). En co-benefi-regel kan ockå här uppfaa om den pariella. Denna är om yne ine direk ynlig i den opimala derivaan med aveende på parameern värdefunkionen, vilke leder ill en mindre komplikaion. Vi kall börja med a hanera denna komplikaion genom a införa en funkion om kalla Hamilon-funkionen och är ark knuen ill opimeringprobleme 55. Hamilon-funkionen har ueende: H( ) u[ c( ), x( )] e ( ){ f [ k( ), g( )] c( ) I( )} ( ){ g( ) x( ) u[ c( ), x( )] e ( ) k( ) ( ) x( )} }= (4.8) Som framgår innehåller Hamilon-funkionen nyofunkionen vid idpunken dikonerad ill nuvärde. Däruöver innehåller den röreleekvaionen för kapialocken och movarande röreleekvaion för de ackumulerade uläppen muliplicerade med någo om er u om Lagrange-muliplikaorer. De enare kalla för adjoin-variabler 56, co-ae-variabler eller kuggprier, därför a de amvarierar med 55 Hamilon-funkionen bär namne efer William Rowan Hamilon ( ) om var en irländk aronom och maemaiker. Hamilon-funkionen är en del av den hamilonka principen, om ammanfaar mekaniken lagar i formler om var nya när de begav ig. Han dog av gik. 56 I den klaika Hamilonka fyiken är en adjoin-variable e kanonik (mönergill) konjuga p olka om e generaliera momen. De beyder a variabeln är dual ill en annan variabel.

3 71 illåndvariablerna gäller följande reula: k( ), x( ). Om vår problem är lö, dv. a värdefunkionen är opimerad, H [ c ( ), g ( ), k ( ), x ( ), ( ), ( ); ] ( ) u( c ( ), x ( )) e d V k x (,, ) (4.9) Med ord, Hamilon-funkionen är direk proporionell mo värdefunkionen där nyodikoneringfakorn ugör en proporionaliefakor. Dea reula följer om e pecialfall av den.k. Hamilon-Jacobi-Bellman-ekvaionen (HJB) men kan ockå härleda på anna ä 57. De gäller ockå a den opimala värdefunkionen pariella derivaa med aveende på illåndvariablerna vid aridpunken, här, är lika med repekive co-ae-variabel värde i aridpunken: V k () V x och () (4.1) Dea reula kan via med e ingenjörbevi 58. Vi kan därmed ockå använda e rick för a underöka hur ändringar av påverkar den opimala värdefunkionen. Tricke innebär a vi inroducerar om en illåndvariabel genom a ill Hamilon-funkionen lägga följande riviala differenialekvaion: () (4.11) Vi kriver: H ( ) u[ c ( ), x ( )] e ( ) k ( ) ( ) x ( ) ( ) (4.1) där () är kuggprie (co-ae-variabeln) för ändringar i. Eferom ändra ine Hamilonfunkionen opimala värde och ine heller den opimala värdefunkionen genom operaionen. Ingenjörbevie om nämn ovan gäller naurligvi ockå, och vi kan kriva ändringen av den opimala värdefunkionen, den pariella derivaan av värdefunkionen, med aveende på om: V () (4.13) där den pariella derivaan med aveende på är beräknad läng den opimala banan. Som vi ka e kan vi ine uan vidare dra luaen a kuggprie, om anger ufalle av co-benefi-analyen, är poiiv. E ä a underöka frågan är a gå via e av föraordningvillkoren för en opimal bana. Föraordningvillkore för ändringen av kuggprie för över iden er u på följande ä: H () () (4.14) Om vi inegrerar från aridpunken ill en luidpunk, beecknad T, erhåll 57 Se Weizman (1976). 58 Se Aronon e al. (4). Bevie viar på amma yp av enveloppegenkaper om i alla idigare co- benefiregler i denna manual.

4 7 H () ( T) ( ) d T (4.15) Låer man T gå mo oändligheen kan de för relaiv nälla problem via a lim ( T). T Därför erhåll () H () d (4.16) vilke ger projeke nuvärde. Forfarande är projeke relaiv oynlig, men de åerå bara a äa in urycken för den pariella derivaan av den opimerade Hamilon-funkionen i inegralen. Vi får: H () ( ) x ( ) ( )( I / d) (4.17) d Den föra ermen anger inäkerna i nyoermer över de kora inervalle (, ) och den andra ermen är inveeringkonaden i amma merik och inervall. Den föra ermen är poiiv därför a () är negaiv på grund av a uläppen är kadliga, och därför a ockå d[ x( )]/ d x( ) är negaiv. Den andra ermen är negaiv därför a kuggprie för kapial är poiiv. Efer ubiuion får vi: () [ ( ) x ( ) ( )( I / d)] d (4.18) Slua: Projeke är lönam om (), annar olönam. Läaren kanke frågar ig var dikoneringen og vägen? Till aken hör a de kuggprier () är beräknade i nuvärde. Om de beräkna i löpande värde kan de kriva om: () och m ( ) ( ) e m och ( ) ( ) e Vi kan då kriva (4.19) I 1 1 I m ( ( ) ( ) ( )) ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] x d x e d V I m [ ( ) x ( ) )] ( ) e d (4.) ( ) ( ) / ( ) om är värde i kronor och ören av en enhe minkning av beånde x () (willingne o pay för en marginell minkning av uläppen). För a ranformera probleme ill en fulländig penningmerik behöver vi ill a börja med löa för ambande mellan nyodikoneringfakorn och penningränan. Dikoneringfakorn exp( )

5 73 kan kriva i ermer av marknadränan genom a löa en.k. Euler-ekvaion (nödvändig i m m opimeringen) om kan kriva om en differenialekvaion ( ) ( )( r( ) ) och löa 59 å a: m ( )exp exp( r( ) d ) () (4.1) m m Där är kuggprie i arpunken och en konan. Efer ubiuion kan vi kriva värde av projeke i moneära enheer om: r( ) d I () / [ ( ) x( ) ]e d (4.) Den allmänna jämviklöning om preenera här har uppnå av en ocial planerare om opimerar marknadekonomin på e perfek ä. Med andra ord, den leder ill en perfek dynamik marknadekonomi där priyeme kan löa för den givna allokeringen. Vår modell ger därför en co-benefi-regel för må projek i den perfeka dynamika marknadekonomin. Innan vi övergår ill en co-benefi-regel för den ofulländiga dynamika marknadekonomin vill vi ge läaren e ny reula om följer ur föreliggande modell. De har a göra med.k. indireka effeker om ana följa av må projeke, även efer de a projeke har luför. Säg a projeke arar i idpunk och avlua i idpunk T. Under den iden har alla konader och inäker om projeke genererade inkludera. De känn dock ine orimlig a projeke har ge indireka effeker (poiiva och negaiva) om varar efer idpunken T. Så är ine rikig falle: Påående 1: E lie projek 6 dα i en perfek marknadekonomi över idinervalle [, ], leder ill I förändringar i konumion och inveeringar; i vekorform dc d, di = d. Värde av projeke kan mäa om nedanående förändring av naionalinkomen: T T T r( ) d * [ p ( ) dc() q ( )di(]e d Om umman av förändringen av naionalinkomen är poiiv över inervalle [, ] amhällekonomik lönam, om den är negaiv är projeke olönam. * * Privekorerna läng illväxbanan är p ( ), q ( ) där q () T är projeke är prie på inveeringvaror. Som framgår av påående ovan är de ine co-benefi-regeln om mä uan reformparamerarna effeker på ändringen av naionalinkomen över projekperioden. Inuiionen är a effekerna på onumionen efer idpunken T [från ( T, ) ], redan har agi hand om av värde av ändringen av inveeringarna över projekperioden. Teknik innehåller bevie en enveloppegenkap om eliminerar alla indireka effeker 61. I vi mån påminner reulae om e reula i kapiel, där de viade a ändringar i naionalinkomen kan vara en välfärdindikaor för må projek. De finn r kapiale marginalproduk f ( k( ), x( )). 59 () 6 Noaionen beyder a α är en vekor likom prier och kvanieer. 61 Reulae beviade av Li och Löfgren (8). k

6 74 dock en väenlig killnad mellan de vå fallen. I kapiel finn, ill killnad från här, inga kapialföremål och ingen iddimenion. Slua: För alla må projek i en dynamik perfek marknadekonomi om bygger på opimering är umman av ändringar i naionalinkomen mä över projekperioden och värderad i prierna i varje period en exak cobenefi regel. E exempel kan delvi illurera hur reulae fungerar. Vi använder o av en Ramey-modell med en logarimik nyofunkion och en linjär produkioneknologi. Samhälle ineremporala välfärd kan kriva om w ln c( ) e d medan kapialocken uveckla enlig följande ekvaion k( ) k( ) c( ) med en iniial kapialock k() k. Parameern år för produkivienivån. Vi kan löa för ( ) den opimala banan över iden för konumion c () k e ( ), k ( ) i ( ) k ( ) e ( ) och k () k e och dera movarande prier ( ) ( ) / e ( ) p ( ) e / k = q (). Noera a prierna på konumion och inveeringar är deamma, därför a de bara finn en enda (homogen) vara. Lå nu inervalle för projeke vara [, T] och den direka parameerändring om gör är a produkivienivån förändra med d. Dea innebär a di / d = k () och dc. Nuvärde av förändringen blir T di( ) 1 T d dw q ( ) e d (1 e ) Påående 1 om viade ovan kan jämföra med åminone vå andra löningar om ger amma reula. De vill äga alla co-benefi-regler ger amma reula, men vi vidhåller a löningen i Påående 1 är den om är enkla a hanera. Oraken är a neonaionalproduken NNP fungerar om en bekväm välfärdindex uan a involvera några indireka idoeffeker. Påående : Effeken av en lien poliikreform, d, över perioden [ T, ] på värdefunkionen är denamma om förändringen av nuvärde av den framida konumionen över perioden [ T, ] och r( ) d ( ) [ * dw ] p ()dc() e d Denna regel är i de närmae rivial, men vi kall använda den redje regeln a för a bevia den. Påående 3: Sudera en lien reform under perioden [ T, ] om leder ill förändringar i konumion, inveeringar och kapialbeånden i projekperioden genom förändringarna [ Δc(),ΔI(),Δk() ] T. Projeke är då lönam om och enda om

7 75 T r( ) d * * * [ p ()Δc() + q ()ΔI() + κ ()Δk()] e d >. m -1 m där κ () = [μ()- θμ()](λ () ) ) är kapialränor för kapialbeånden medan λ () u [c()]. Inegranden ovan, dv. * * * p ()Δc() + q ()ΔI() + κ ()Δk kallar Dixi e.al. (198) den amhällekonomika vinen (ocial profi). Man kan nu via a inegralen innehåller en exak differenial amhällekonomika vinen vilke ger T r( ) d * d[ q ()Δk() e ] / d T r( ) d r( ) d * * * [q ()ΔI () + κ ()Δk()] e d q (T)Δk(T) e c i ermer av de vå ia ermerna i den Dea uryck 6 varar emo de opimala värde vid lue av projekperioden i nuvärdeermer och de varar mo T * -r()d T T * * r( ) d p ()dc() e d [q ()ΔI ( ) + κ ()Δk()] e d och vi kan via a dea effeker ger illamman Påående. Med andra ord, formlerna för Påående och 3 ger amma reula. De gör ockå Påående 1, men de är någo vårare a bevia. Se Li och Löfgren (8) appendix. Den redje regeln är mycke välkänd (e.ex. ho Arrow e al.3; Dagupa 1), men den innebär likom den andra regeln a man måe involvera indireka effeker under projekperioden. Den redje regeln implicerar den andra. Påående 1 följer av a man efer a ha unyja enveloppegenkaper om finn kvar i Påående 3. I Appendix 1 beviar vi både Påående 3 och Påående 1. LITEN VÄGLEDNING FÖR VALET AV DISKONTERINGSRÄNTA I EMPIRISKA STUDIER Reearch in ineremporal choice ha been done in a variey of conex, ye here i a remarkable conenu ha fuure oucome are dicouned (or undervalued) relaive o immediae oucome. Soman e al. (5 347) Lierauren om vale av dikoneringräna i amhällekonomika bedömningar är mycke omfaande och bivi ark eoerik. De finn dock ingen amyn vad gäller de definiion, empirika orlek eller en ecken även om de inledande ciae kan olka å a de inom flera akademika dicipliner finn empirika belägg om yder på a i princip alla levande organimer (behaving organim) använder en poiiv dikoneringräna. Vi gör inge förök a här ammanfaa de olika anaerna och dera egenkaper men goda överiker åerfinn i.ex. Valenim och Prado (8), Burge och Zerbe (11) och ine min i Harrion (1) nära -idiga udie för 6 Noera a k ( ) när därför a k() k är given.

8 76 Auralien dåvarande produkiviekommiion am Gollier (1) bok om dikonering i en oäker värld. Flerale läroböcker i offenlig ekonomi och miljöekonomi innehåller ockå uförliga ammanällningar av olika förekommande anaer. Den om öker en kriik grankning av naionalekonomin hanering av individer ineremporala konumionval hänvia ill Frederick e al. (). För a på enkla änkbara ä illurera vale av dikoneringräna ugår vi från en modellekonomi om producerar en enda vara/jän med arbekraf och kapial om produkionfakorer. Den välarade produkionfunkionen föruä vara linjär homogen, dv. om inaen av produkionfakorer fördubbla å fördubbla produkionvolymen. Produkionfunkionen vid idpunk kriv: Y( ) L( ) f [ k( )] (4.3) där Y är produkionnivån (och idindicering underryck i foräningen), L kan uppfaa om befolkningorleken (arbekrafen orlek), är produkionfunkionen per capia och k är f (.) kapialocken per capia. De föruä a produkionfunkionen f (.) är välarad i den meningen a den aifierar de.k. Inada-villkoren 63. Lå o beeckna den relaiva befolkningillväxen n L / L, där en punk anger en idderivaa, dv. L dl / d Produkionen aningen konumera eller inveera för a bygga u den framida produkionkapacieen. Därför innebär marknadjämvik a f ( k) c k nk (4.4) där c är konumioneferfrågan per capia och k är inveeringvolymen per capia (och vi för enkelhe kull borer från deprecieringar). uliplicera båda leden med befolkningorleken L erhåll de mer bekana urycke a ubude kall vara lika med aggregerad eferfrågan. Anag a amhälle mål är a maximera konumionen per capia. De kulle kunna vara e uhållighekrierium för e amhälle, dv. man yfar ill a alla generaioner kall ha de lika bra i meningen amma maeriella andard. Då erhåll: dc (4.5) / dk f '( k) n f (.) / k f '( k och k där ) eferom vi öker e aionär illånd (eady ae) där kapialocken per capia är konan över iden. Ekvaion (3) kalla den gyllene regeln 64 (Golden Rule): kapialocken per capia kall vara ådan a de marginalproduk ammanfaller med den relaiva. 63 A funkionen aifierar Inada-villkoren olka här om a 1) f (k) är vå gånger deriverbar på inervalle (, ), ) f ( k)/ k f '( k) och f ''( k) för alla k (, ), dv. f (k) är växande och rik konkav, 3) f ( ) och f (), 4) lim f '( k och lim f '( k). Inada ) k (1963, 1) nämner explici villkoren ) och 4) vilka han beecknar he derivaive condiion (och 3) följer från he derivaive condiion plu en linjär homogen produkionfunkion; e.ex. Barro och Sala-i-Marin (1995, 5)). Inada noerar för övrig (i fono på 119) a Uzawa (1963) använ amma villkor. Därför kan man ockå beeckna villkoren Inada-Uzawa-villkor. 64 En gyllene regel med eik innebörd åerfinn i de flea religioner. Så heer de.ex. i Bibeln () All vad ni vill a männikorna kall göra för er, de kall ni ockå göra för dem. De är vad lagen och profeerna äger. (Ma. 7:1) ; Barro och Sala-i-Marin (1995, ) refererar i in dikuion av den gyllene regeln ill amma cia. Och kanke vill mänkligheen ha en och amma konumionnivå för alla individer och generaioner. Vad ve vi! k

9 77 befolkningillväxen. E enkel var på frågan vilken dikoneringräna om bör använda är ålede a den bör vara lika med den relaiva befolkningillväxen. De kan förefalla om man även kan olka om e må på ådan eknik uveckling om höjer arbekrafen produkivie. A maximera konumionen per capia är dock ine e jälvklar mål om framida generaioner kan få de all bäre; de innebär ju.ex. a mer produkiva generaioner bekaa ill förmån för mindre produkiva ådana vilke både är eknik vår och kan kapa inciamenproblem 65. Läaren hänvia ill Solow (1986) för en närmare dikuion. n E alernaiv ill a värdera konumion är a ugå från a amhälle värderar välfärd. Lå o ana a den ociala välfärdfunkionen kan kriva: W u( c)e d (4.6) där u(.) är den momenana nyofunkionen (om ana aifiera Inada-villkoren) och nyodikoneringränan 66. Samhälle ana ålede maximera den dikonerade umman av nyor. De är med andra ord e lag uiliik välfärdfunkion (även om omliga anhängare av uiliarim kulle värja ig mo dikonering av framida nyor). Maximera (4.6) give (4.4) å erhåll följande rerikion på kapialocken i e varakigheillånd: f ( k) n ' (4.7) Dea är den modifierade gyllene regeln (Modified Golden Rule): kapialocken kall vara ådan a de marginalproduk är lika med umman av den relaiva befolkningillväxen n och den marginella idpreferenen. De nyomaximerande amhälle använder ålede n om dikoneringräna. De kan via a en decenralierad dynamik marknadekonomi av de lag om vi arbear med i denna manual genererar en jämvik (i e aionär illånd) ådan a r n, där r är marknadränan. För a enkel belya dea inämnda reula ugår vi från den ociale planeraren opimeringproblem i en ekonomi uan imperfekioner, dv. från de klaika Ramey-probleme. Planeraren maximerar (4.6) give (4.4) och rerikionerna a den iniiala kapialocken är given am a åväl kapialock om konumion är icke-negaiva vid varje idpunk; jämför maximeringprobleme i ekvaionerna (4.5) och (4.6). Den aocierade Hamilon-funkionen kan kriva: är H( ) u[ c( )] e ( )[ f [ k( )] c( ) nk( )] (4.8) där () är e kuggpri (adjoin variable). Föra ordningen villkor för e inre maximum kan efer e anal operaioner kriva 67 : R f '( k) em c n (4.8 ) 65 De omvända, dv. a bekaa nu levande ill förmån för framida generaioner, är kanke enklare. Måhända är den norka oljefonden (Saen penjonfond uland) e exempel härpå; e Norge finandeparemen (13). 66 Inegralen i ekvaion (4) konvergerar ine nödvändigvi om. 67 Läaren hänvia ill ekvaion (7 ) på idan 4 i Blanchard och Fiher (1996) och ekvaionerna (.8) och (.1), där n, i Barro och Sala-i-Marin (1995). I båda läroböckerna via hur man kan kriva om föra ordningen villkor å a de reducera ill ekvaion (4.8 ).

10 78 c R c / c där idindiceringen har underryck, är per capia-konumionen relaiva illväx och em c u' '/ u' är (minu) marginalnyan elaicie med aveende på konumionen, där e primecken (bi) aver föraderivaan (andraderivaan) av u(.) med aveende på konumionen. Denna elaicie kan äga reflekera nyofunkionen kurvaur; den ammanfaller för övrig ren eknik med (minu) Arrow-Pra må för relaiv rikaverion 68. Noera a i e varakigheillånd å gäller a varför den modifierade gyllene regeln gäller i e ådan illånd. I ekvaion (4.8 ) kulle man kunna uppfaa om den fakor om dikonerar framida generaioner, om vara mo en generaion. De er ig ine orimlig a lägga ill viken om konumionen ökar över iden, dv. om framida generaioner förväna vara rikare eller ha högre välfärd än dagen generaion 69. Högerlede i ekvaion (4.8 ) beeckna ofa Ramey-regeln för dikonering. c I en marknadekonomi gäller a e vinmaximerande föreag väljer kapialock å a r emc R n u(.) ana f '( k) r varje idpunk. Sålede gäller a i den perfeka marknadekonomin. I de pecialfall vi uderade ovan där ekonomin befinner ig i e varakigheillånd, dv., gäller a. r n c Den Europeika kommiionen DG Policy (8) kaar i in manual för amhällekonomika analyer högerlede i ekvaion (4.8 ) för e anal olika medlemaer. De bore därvid från befolkningillväx och (minu) marginalnyan elaicie ä ill 1. medan idpreferenen ä ill 1.1; dea värden är baerade på Evan (7). Skaa modellen för Sverige med BNP-daa för c R perioden (eferom ine fann illgänglig för perioden) och i övrig med de anaganden om kommiionen använ erhåll: vid r em R (4.9) c där e oppindex refererar ill e kaa värde och alla orheer olka om procen per år; läaren hänvia ill Johanon och Kriröm (1) för dealjer om beräkningen. Lägg befolkningillväx (e nedan) ill landar man på närmare 3.5 procen. Applicera den modifierade gyllene regeln landar man å andra idan närmare 1.5 procen. Lå o ockå beröra en kaning av Valenim och Prado (8). De ugår från en modell om Feldein (1965) uveckla: 1 ) R r (1 n) (1 y ) (1 ) 1 (4.3) där r är dikoneringränan, n är befolkningillväxen, mäer befolkningillväxen inverkan på R y nyonivån (om vi har e repreenaiv huhåll), är inkomen illväx, är koefficienen för relaiv rikaverion ( em ) och är den rena idpreferenen. Noera a i frånvaro av befolkningoch inkomillväx är r. Skaa denna modell på venka befolkning- och inkomdaa för perioden och med och enlig Valenim och Prado (8) erhålle en dikoneringräna på procen 7. Den högre nivån erhåll om koefficienen för relaiv rikaverion ä ill 1.6 och den lägre om koefficienen 68 Se Arrow (1965) och Pra (1964). Enlig Moneano (8) publicerade de Finei e narlik må redan Ramey (198) anog a eferom han ine anåg de eik förvarbar a dikonera framida generaioner nya; läaren hänvia.ex. ill appendix i Barro och Sala-i-Marin (1995) för en dikuion av hur Ramey hanerade nyomaximeringprobleme när. 7.5 r 1( ), där ä ill 1 eller 1.6.

11 79 ä ill 1. De kan noera a = 1.6 är de bäa eimae baera på värnidaa för 5 länder och år enlig Layard e al. (8). Läaren hänvia ill Johanon och Kriröm (1) för yerligare dealjer. Självfalle är de uomordenlig vanklig a föröka kaa icke oberverbara orheer om eller em. Tro dea har de gjor många förök varav Layard e al. (8) repreenerar e och en god överik av olika anaer åerfinn i Evan (7). E angreppä använder inkomkaekalor för a kaa vad man kulle kunna kalla averion mo ojämlikhe, i prakiken eller em. E ådan förök för Sorbriannien replikera i figur 1 och förklara närmare i Groom och Maddion 71 (13). Uppenbarligen föreligger ora variaioner över iden men edan mien av 197-ale ligger indexe i allmänhe i inervalle Figur 4.1. E index för averion mo ojämlikhe för Sorbriannien. Källa: Egen frihandrining baerad på figur.1 i Groom och Maddion (13). Våra enkla kaningar ger en ocial dikoneringräna på 3-4 procen. De kan noera a Sorbriannien använder en dikoneringräna på 3.5 procen för projek med relaiv begränad 71 Angreppäe bygger på principen om amma abolua nyouppoffring för alla, dv. a kaen kall koa lika mycke i ermer av nyoenheer för alla (equal abolue acrifice). Principen åerfinn redan i Mill (1848) och en elegan grafik illuraion ge av Mugrave och Mugrave (1984, kapiel 11).

12 8 livlängd (mer om dea nedan) varav 1 procen kall reflekera riker för kaarofer, Tykland 3 procen och Frankrike 4 procen (men via av länderna använder.k. hyperbolik dikonering; e nedan). Evan (7) argumenerar för en enhelig dikoneringräna på 3-4 procen för de mer uvecklade EU-länderna. Europeika kommiionen DG Policy (8) förelår i in manual för amhällekonomika analyer a man kall använda 3.5 procen vid amhällekonomika uvärderingar av infrarukurinveeringar. Svenka Trafikverke använder ockå 3.5 procen efer in enae reviion. Använd en räna på 3 (eller 4) procen i bakalkylen i en amhällekonomik projekuvärdering förelår vi a 1.5 procen repekive 6 procen använd i en känligheanaly. Den lägre ränan ligger nära den räna, 1.4 procen, Sern (7) använder i in välkända kaning av konaden för klimaförändringar; Sern ugår från ekvaion (4.8 ) med. En av han mer prominena kriiker, Marin Weizman, finner i in recenion (7) av Sern en räna på 6 procen mer rimlig 7. Även amerikanka udier där man förök kaa kapiale ociala alernaivkonad (ocial opporuniy co of capial) landar i orlekordningen 6-8 procen. Läaren hänvia ill Burge och Zerbe (11) och Nordhau (7). Den enare kalibrerar in i klimaammanhang välkända numerika allmänna jämvikmodell (DICE) i en recenion av Sern (7) och landar på 5-6 procen. De bör kanke illägga a ådana kaningar gör på en ganka abrak nivå, i bäa fall kan de olka om (en amerikank yn på vad om är) global nivå. De är ju ine jälvklar a kaningar kalibrerade på en modell av Sverige kulle ge amma reula. n När de gäller projek om genererar konader (och inäker) lång fram i iden å innebär även en modera dikoneringräna a konaderna (och inäkerna) dikonera bor. De har därför hävda a man bör använda hyperbolik dikonering. En ådan ana innebär a ränan blir lägre ju längre fram i iden en konad eller inäk ligger. Med andra ord använd lägre dikoneringränor för framida generaioner än för de nu levande; Redan Sroz ( ) underrök viken av a inroducera över iden fallande dikoneringränor men den föra hyperbolika dikoneringen i ekonomika ammanhang yck gå a hänföra ill Phelp och Pollak (1968). De finn för övrig forkare ine min pykologer om hävdar a alla organimer beeende bäre förklara med hyperbolik än med exponeniell dikonering;. here i now ample experimenal evidence ha all behaving organim have a baic endency o devalue expeced reward a a hyperbolic funcion of delay, which i much more deeply bowed han he convenional exponenial funcion. (Ainlie (, )). Den briika Green Book (3), om är finandeparemene (HM Treaury) co-benefi-manual, förelår en dikoneringrappa (uan a ill yne närmare preciera på vilka anaganden/modeller rappan bygger), där ränan är 3.5 procen för de 3 föra åren, 3 procen för åren 31 ill och med 75, och å vidare, om framgår av abell 4.1 nedan. En narlik rappa finn i en udie av Weizman (1). Weizman rappa i abellen aver en modell kaad uifrån en dikoneringfråga bevarad av e or anal ekonomer (över med dokorexamen och epara urval beående av e 5-al ledande ekonomer). Sluligen preenera den rappa om förelå av norka regeringen experpanel för uformningen av amhällekonomika analyer (i NOU 1, abell 5.). Enlig Gollier (11, 35-36) använder även Frankrike numera en dikoneringrappa där ränan är 4 procen för de föra 3 åren och procen därefer. 7 En mycke imulerande och ringen dikuion av Sern-rapporen åerfinn i Arrow (7). Harrion (1, abell 3.1) ammanäller 1 udier om ök kaa Ramey-formeln i ekvaion (4.8 ). Av dea ligger 9 i inervalle procen och 1 i inervalle -8 procen.

13 81 Tabell 4.1. Ineremporala dikoneringrappor (procen) enlig Sorbriannien Green Book (3), Weizman (1) och NOU (1). År 3 UK Green Book År 1 Weizman År 1 NOU Frågan är då hur man prakik går ill väga då ränan varierar över iden, dv. kall en inäk eller konad om infaller år 31 i de briika exemple dikonera med 3 procen eller ej. För a få vägledning kan vi beraka de amhällekonomika nuvärde av en inveering om varar i T perioder: T r( ) d ( T) a( ) e d (4.31) där a() är den amhällekonomika neoinäken/neobealningvilligheen och dikoneringränan vid idpunk ä 73 : r() är den ociala. Förläng idhorionen marginell ändra nuvärde på följande r( ) d '( T) a( T) e (4.3) Beloppe '( T) a( T) e T a(t) dikonera ålede ine med den räna om gäller vid idpunk T r( T ) T, dv. när ränan varierar över iden. Använd den briika rappan om exempel, och vi för ydligheen kull går över ill dikre id, är en krona om inveera i dag och a u år 31 då värd 1/[1.35 (1.35) 3 (1.3) (313), dv. en krona om erhåll år 31 kan i dag ane movara (31 3) 1.3 ] och ine 1/[ ] ; någo om för övrig direk framgår av ekvaionerna (1.) 3 och (1.3) i kapiel 1. Konvenionell inveeringeori alar ålede för a dikoneringen bör ke om följer, om vi åervänder ill koninuerlig id men håller fa vid de briika falle: NPV (4.33) ( 3) ( 75) a( ) e d a( ) e d a( ) e d där a() åer beecknar den amhällekonomika neoinäken vid idpunk. Tillvägagångäe i ekvaion (4.33) innebär för övrig a killnaden mellan a dikonera med 3.5 procen för evig och enlig rappan är blygam då ( ) 1 ; nuvärde är 1/ mo cirka 31.4 enlig a för alla ekvaion (4.33). Självfalle kan de finna eika eller andra apeker om alar för a man i älle dikonerar (äg) år 31 med 31 1/(1.3) i älle för om ovan; probleme är bara a vi då lämnar den konvenionella inveeringeorin, varför de allokeringmäiga konekvenerna är våra a överblicka. Såväl brier om franmän dikonerar för övrig på de ä om vi förelår i ekvaion '( T) a( T)e rt 73 Om ränan är konan reducera urycke ill.

14 8 (4.33); läaren hänvia ill he Green Book (3, annex 6) repekive Gollier (11, 35-36) för dealjer. De bör dock poängera a de är lång ifrån problemfri a arbea med en över iden fallande räna i e maximeringproblem. E ofa påala problem är idinkonien, dv. a en löning om er ig opimal i dag ine är opimal i morgon om ränan förändra över iden. De finn dock exempel i lierauren på modeller om kan hanera denna problemaik 74. De bör påpeka a de även finn Ramey-anaer där konumionen ana vara föremål för okaika chocker; jmf. de okaika Ramey-probleme i ekvaionerna (4.41)-(4.4). Ana a konumionen illväxak är normalfördelad med medelvärde uvidgade Ramey-regeln kriva om: r c c och varian c u kan den dic.5 u (4.8 ) c där de för enkelhe kull bore från befolkningillväx och vi använ koefficienen för relaiv rikaverion i älle för elaicieen; e Arrow e al. (1, 1-11) för dealjer och referener. Oäkerheen reducerar ålede dikoneringränan i förhållande ill falle uan oäkerhe i ekvaion (6 ); man vill hel enkel para/inveera mer för äkerhe kull. Åminone gäller de om amhälle är rikaver, dv. om (och jälvfalle give a vi har en pridning, dv. a varianen är örre än noll). Noera dock a ränan forfarande är konan över iden (och a döma av Arrow e al. (1 11) yck oäkerheermen ha e närma marginell genomlag på dikoneringränan, åminone gäller de USA). Ana i älle a chockerna är poiiv korrelerade (och a nyofunkionen är ådan a den relaiva rikaverionen är konan) erhåll en över iden fallande dikoneringräna. En umärk överik över denna meadel ekonomerik inrikade lieraur åerfinn i Cropper (1) var udie ockå finn inprängd i Arrow e al. (1). USA: movarighe ill vår naurvårdverk (U.S. EPA) frågade för en id edan Kenneh J. Arrow och 11 andra ekonomer om dera yn på dikonering när en reglering påverkar framida generaioner. I Arrow e al. (1) ammanfaa panelen åiker om Ramey-dikonering inkluive hanering av oäkerhe, dikoneringrappor (hyperbolik dikonering) och huruvida amma räna kall använda för a dikonera inom generaioner om mellan generaioner. De kulle föra för lång a här föröka ammanfaa panelen dryg 3-idiga rappor men den innehåller flera inreana ingångar för kaningar av en Ramey-räna med en okaik framida konumionbana (ill killnad från vår kaning med e genomni). Läaren hänvia ockå ill avnie om okaika dynamika cobenefi-regler för a få en uppfaning om den yp av maemaik om okaik konumion och/eller produkion kräver. De är förmodligen en lika vår om pännande umaning a ine bara härleda uan ockå på e konien ä ekonomerik kaa okaika movarigheer ill vår ekvaion (4.8 ); de är beydlig enklare men ockå eoreik oillfredällande a med avancerade ekonomerika meoder epara kaa uryck för c (.ex. random walk-modeller 75 ) vilka edan 74 Gollier och Weizman (1) analyerar en modell där den framida dikoneringränan ine är känd med äkerhe. Give via anaganden faller den effekiva dikoneringränan över iden mo in läga änkbara nivå. De är dock ine hel uppenbar a och i å fall hur modellen kan operaionaliera. 75 Enlig Naionalencyklopedin överä random walk med, ju de, lumpvandring. E exempel är (en hypoe) a gårdagen pri på en illgång ine har någon beydele för dagen pri. En lumpvandring med mycke kora eg ger om en approximaion en Wiener-proce; någo förenkla gäller a när eglängden går mo noll konvergerar lumpvandringen mo en Wiener-proce.

15 83 applicera på formler à la (4.8 ). Under alla omändigheer yck de för venka co-benefianalyer relevana reulaen ännu å länge vara fåaliga. De finn en yerligare apek på vale av dikoneringräna om bör beröra. I ermer av en förnyelebar reur drar vi en enhe av reurbeånde för a använda om inpu ill vår projek. De innebär a vi går mie om den marginella illväxen, i ekvaion (.37) beecknad F, för all framid (give a ocken ine enare åerför ill den urprungliga nivån). Sammanfaller beånde opimal och någon korrigering är ine nödvändig. Om nuvärdekonad om uppgår ill F ' g / r ' Fg ' g r illkommer en ' F g och r om idhorionen får gå mo oändligheen. På amma ä kan en kil mellan bruo- och neoavkaning på inveeringar uppfaa, de kan.ex. röra ig om en bekaning av kapialinkom. Projekkonaden kan då muliplicera med följande korrigeringfakor k k r k ki (1 ki) r där k i är den andel av projekkonaden om ränger undan privaa inveeringar, bruoavkaningen på inveeringar (varande mo ' F g för naurreuren), och r är neoavkaningen. För a belya illvägagångäe kan vi ana a enbar privaa inveeringar räng undan, dv. a k 1 i, a bruoavkaningen är 5 procen, dv. a r k r k r.5 är, och a neoavkaningen är 3 procen, dv. a.3. Korrigeringfakorn blir då ungefär 1.67, dv. projekkonaden kall muliplicera med en fakor 1.67 och edan dikonera på edvanlig ä, här ill 3 procen. Samhälle går mie om de undanrängda inveeringarna meravkaning, dv. procen, under all framid. Åminone är de en föruäning bakom angreppäe genom a förluen jämäll med en evig obligaion. Yerligare en föruäning är a avkaningen narare konumera än åerinveera för a generera än högre avkaning i framiden. Gör bedömningen a projeke bara ill 5 procen ränger undan inveeringar reducera korrigeringfakorn ill ca 1.33 och räng bara konumion undan blir fakorn lika med 1. Hanera kaer på de ä om dikuera i avnie om behandling av kaer, ger ekvaion (3.3) de konaduryck om kall muliplicera k k med. Använd marginalkonaden för allmänna medel (MCPF) i co-benefi-analyen gäller de a vara akam eferom kapialkaer kan ingå i måe varvid kapialkaen i vi mening N i N dubbelräkna. I anna fall muliplicera k k, där k är projekkonaden ekluive kaer, med MCPF. Sluligen bör nämna a de finn flera andra men narlika ä på vilka kapialmarknadimperfekioner kan hanera. Läaren hänvia ill Johanon och Kriröm (14) för en kor överik. I ynnerhe kan en lien öppen ekonomi om den venka möa mer eller mindre k perfeka inernaionella kapialmarknader. Då förefaller de rimlig ana a r är inernaionell beämd. FALLET MED OFULLSTÄNDIGA MARKNADER Vi härledde idigare en amhällekonomik kalkylregel för de fall då uläppen följer en opimal bana, dv. hanera opimal. Dea fall kan e ig orealiik varför vi här illhandahåller en regel för de fall då de accumulerade uläppen ine hanera opimal. De opimera ine och de beingade opimeringprobleme kan kriva på följande ä: max u( c( ), x( )) e d c( ) g( ) (4.34) är

16 84 under rerikionen k( ) f ( k( ), g( )) c( ) I( ) k() k lim k ( ) (4.35) Hamilonianen, om är mycke beydelefull för löningen av probleme, har följande ueende när den opimera: H u c x e f k g c I ( ) ( ( ), ( )) ( )[ ( ( ), ( )) ( ) ( )] (4.36) Toppindex noll äger a löningen kiljer ig ifrån om är den om är den amhällekonomik opimala (fir be). Variabeln har ockå e oppindex då vi ve a den ine yr på bäa x () möjliga ä. Däremo är de relaiv enkel a löa för hur den rör ig över iden. De om yr den över iden är differenialekvaionen: x g x ( ) ( ) ( ) (4.37) x() x Löe den erhåll urycke: ( ) (, ) (, ) x x e g e d (4.38) De ackumulerade beånde av miljöuläpp beror direk på genom effeken via deprecieringkomponenen och indirek på uläppfunkionen g ( ; ). Derivaan av uläppbeånde / ( ; ) är annolik negaiv därför a deprecieringfakorn går i den x x rikningen, och e örre minkar kapialocken genom konadfunkionen. Om uläppen, komplemen ill kapial i produkionen minkar negaiv. g då kapialocken minkar. I å fall är g, är x ( ; ) Vi kan nu replikera vår rick från ovan och finna värdefunkionen pariella derivaa med aveende på, dv. co-benefi-regeln. Vi kan kriva: V H () d [ u x[ c ( ), x ( )] x ( ) e ( ) I ( )] d (4.39) där ux() är lika med den negaiva marginalnyan av den ia uläppenheen. Noera emellerid a u ( ) ( ) x x är en poiiv amhällekonomik inäk. Vi kan nu gå ill en penningmerik genom a kriva bealningviljan för a minka uläppen med en enhe om: WTP() ux( ) x ( ) () (4.4) Vi har idigare via hur man kan bya dikoneringfakor och vi kan därför generera en co-benefiregel om är uryck i moneära ermer:

17 85 V 1 m r( ) d = [ WTP( ) I( )] e d (4.41) Slua: Om projeke genomför i en ekonomi där e eller flera kapialbeånd ine hanera på e opimal ä kan man i princip värdera projeke i en penningmerik om man på någo ä kan mäa bealningviljan över iden. En möjlig approximaion är a man använder en bealningvilja om mä i ugångläge (dikonering gör en del av reen). De finn många imperfekioner i marknadekonomin och co-benefi-reglerna måe ypik hanera på lie olika ä på grund av proceer om i grunden är direk idberoende,.k. icke auonoma proceer 76. Vi har i avnien om aver Ramey-modeller ine i grunden hanera den maemaik om kräv för a löa de problem om vi anagi a vi kan löa. Den baera hiorik på bidrag av åväl Leonhard Euler om Joeph Langrange från lue av 17-ale. Den maemaiken har få namne variaionkalkyl, men en modern varian av denna kalkyl födde under 195-ale genom en grupp ryar ledd av Lev Semenovich Ponryagin (om för övrig var blind). Den kalla idag för Maximumprincipen eller opimal konrolleori, men vikiga delar av innehålle är direk koppla ill Rowan Hamilon, Friedrich Jacobi och Richard Bellman om idag är kända för HJB-ekvaionen. Jacobi levde i lue av 17-ale och början av 18-ale, Hamilon levde i mien av 18-ale och Bellman gjorde ina bidrag i mien av 19 ale. Euler-ekvaionen om vi nämner ovan är en puelbi i Maximumprincipen 77. STOKASTISKA DYNAMISKA COST-BENEFIT-REGLER Under oäkerhe kan dynamika co-benefi-regler härleda om i grunden er likadana u om movarande regler under äkerhe. De är ine möjlig a här ge en fullödig förklaring ill dea förhållande. Sokaiken driv av brownk rörele, och ju i dea fall blir reglerna för må projek efer e vänevärde i huvudak deamma om under äkerhe. Brownk rörele illkriv den engelke boanikern Rober Brown om 187 oberverade må pariklar inneluna i väka om rörde ig ill yne irreguljär i väkan. Einein (195) har få äran för den maemaika formalimen kring brownk rörele, men en ännu idigare formulering finn ho franmannen Bachelier 19 i en uppa kring opionprier. Proceen kalla ockå för en Wiener-proce. Brownk rörele är en mycke märklig proce, därför a den är överall koninuerlig men ingenan deriverbar. Dea gör a maemaiken behöver förnya,.ex. måe den inegral om använd ovan i den aika modellen eräa med en okaik inegral. Om vi med brownk rörele menar proceen, B (), där är iden, ve vi a den är koninuerlig men ine deriverbar. Den är ockå definierad å a B(). Vidare är inkremenen B( ) B( ) normalfördelade med vänevärde noll och varian. Till i, om (, ) och,, (, ) är dijunka,,, (åkilda) å är inkremenen B( ) B( ) och B( ) B( ) oberoende okaika variabler. Om db B( d) B( ) gäller ålede a E( db) är allå av ordningen d och varianen är E( db ) d (proporionell mo de lilla inervalle d ). Dea ger upphov ill den maemaika komplikaion om berör ovan. För a e dea dividerar vi varianen med erhåller. Varianen ( d) och 76 Läaren hänvia ill Aronon e al. (1997, 4) för dealjer. 77 Om dea kan man läa i.ex. läroböcker av Knu Sydäer e al. (8) och Alpha Chiang och Kevin Wainwrigh (5).

18 86 db E d { } / d eferom d. Med andra ord, B () är ine deriverbar. Som nämn ovan innebär därför brownk rörele a man behöver ny maemaik om kalla Io-kalkyl Y vara en funkion om innehåller iden och en variabel om efer innovaören. Lå ( ) F[, K( )] beror på iden, här en kapialock, om följer en brownk rörele. Föra differenialen har då formen: ( ) K K F F 1 F d dk d O( d) K K F F 1 F dy d dk dk O d (4.4) lim d O( d) / d där (O(d) är en reerm om kalla ordo d). Vidare gäller a de ermer om ine finn i andra ordningen derivaor är ( F / )( d) och ( F / K) ddk. Dea förvinner därför a de är andraordningermer, medan den redje andraordningermen om illkommer finn i föra differenialen därför a E( db ). Vi ve ockå a dk(, K) d, vilke innebär a vi kan kriva den okaika differenialen om dk (, K) d (, K) db (4.43) Här är ( K, ) och ( K, ) deerminiika funkioner, där den föa funkionen mäer den okaika differenialekvaionen förändring över iden (drif) och den andra funkionen ugör varianen ho den brownka proceen E[ db( )] och E[ db ( )] dk d Vi kan nu ubiuera ekvaionen (4.43) in i ekvaionen (4.4) och erhåller:. F F 1 F dy K d K db O d K K [ (, ) ] k (, ) ( ) (4.44) Noera a reglerna för Io-kalkylen innebär a dk d ddb db db O d ( ) d O( d) Oraken är a db kan repreenera av db d där N(,1), vilke innebär a 3/ 3/ ddb d d ( beyder proporionell mo ) är noll likom d medan db d d. Här är db av orlekordning d. Vad vi har gjor ovan är a vi har kia e fundamenal reula om kalla Io Lemma (hjälpa) i en dimenion. Följande exempel kan ill a börja med kanke hjälpa lie: Lå Y ln K F( K), där K följer en brownk rörele av följande lag dk Kd KdB (4.45) Vi kan uppfaa funkionen F () om en produkionfunkion, och vi har a

19 87 F F 1, K K vilke ger och F 1 K K F F F dy d dk dk K K (4.46) Efer ubiuioner om ovan för dk får vi a: dy ( Kd KdB ) ( ) d K K d db (4.47) Med andra ord, (4.47) är den bakomliggande okaika differenialekvaionen för hur produkionen rör ig över iden. EN STOKASTISK RAMSEY-MODELL Vi ka nu ge Ramey-modellen, om vi använde ovan, en okaik movarighe. Den underliggande modellen finn ho Meron (1975), men här opimerar vi med aveende på konumionen i älle för parkvoen. Vi kall börja bakvägen genom a unyja en linjär homogen produkionfunkion där deprecieringen av kapialocken har beaka. Produkionfunkionen har ueende Y där är kapialocken i idpunk, L( ) L() e n är arbekrafen i F[ K( ), L( )] K () idpunk ig enlig följande differenialekvaion: och n illväxen aken ho arbekrafen (< n 1). Kapialocken under äkerhe rör K( ) F[ K( ), L( )] C( ) (4.48) där C () är konumionen i idpunk. Eferom produkionfunkionen är linjär homogen kan vi kriva funkionen på en per capia bai genom a inroducera k( ) K( ) / L( ), c( ) C( ) / L( ) och differeniera oal med aveende på. Efer lie manipulaioner får vi differenialekvaionen: k( ) f [ k( )] c( ) nk( ) (4.49) Ekvaion(4.49) är en varian av Rober Solow differenialekvaion för hur kapialocken rör ig över iden under fulländig äkerhe. Anag a differenialekvaionen för arbekrafen beäm av den okaika differenialekvaionen dl( ) nl( ) d L( ) db (4.49 ) där n är illväxaken och är andardavvikelen. Vi kan nu ranformera oäkerheen beräffande illväxen i arbekrafen ill en oäkerhe i kapial per arbeare k( ) K / L Z(, L). Härledningen är ine rivial, men vi kan börja med yeme av differenialekvaioner: dk ( F( K, L) C) d ( Lf ( k) C) d dl nld LdB (4.5) Vi kan nu använda Io lemma för funkionen k Z(, L) dk f k c n k d k db och vi erhåller: [ ( ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) (4.51)

20 88 där c () konumionen per capia. I Appendix II viar vi hur den okaika differenialekvaionen erhåll. Vi är nu redo a preenera de okaika Ramey-probleme T V (, k( )) max E { u( c( )) e d} (4.5) c () [ ( ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) dk f k c n k d k db (4.53) k() k E, c () är maemaik förvänan för målfunkion mä från aridpunken, u( c( )) är den momenana nyofunkionen, är nyodikoneringränan och T är idpunken för den föra gång om kapialocken lämnar olvenmängden G[ k ( ), k ], id e (dv.) T inf[ ; k ( ) G]. Med andra ord, den idpunk när kapialocken per capia ine är poiiv och konumenen ålede blir bankru. Om den lugiliga okaika differenialekvaionen vari en ekvaion av amma yp om ekvaionen för ändringen av den okaika arbekrafen hade målfunkionen allid gå mo oändligheen. En ådan ekvaion kalla geomerik brownk rörele. Här är dea ingen garani, därför krånglar vi ill de med T. I många ammanhang är de realiik a ana a konrollvariabeln c () är beingad på idigare k () oberverade värden av kapialocken illånd. Maemaiker kulle äga a konrollproceen är adaperad ill illåndproceen. Här anar vi a den opimala konrollfunkionen är en.k. idauonom Markov-proce av följande lag c( ) c( k( )) (4.54) Ekvaion (4.54) innebär a konrollvariabeln vid idpunk bara beror på illåndproceen i amma idpunk 78. I ynnerhe innebär opimeringen a löningen är oberoende av arpunken. Löningen av de okaika opimeringprobleme erhåll genom a använda den idigare nämnda Hamilon Jacobi Bellman ekvaionen (HJB), om är en pariell differenialekvaion. Den har följande ueende V k V k V k k k (, ) (, ) 1 (, ) max[ u( c( )] e h( k, c; n, ) k ] c = H ( k, c; n, ) (4.55) där V (, k ) är den opimala värdefunkionen uryck om e nuvärde. På grund av a opimeringen är oberoende av arpunken kan denna ekvaion förenkla. Häma den opimala nuvärdefunkionen från ekvaion (4.5) kan de via a följande likhe gäller: T ( ) e V[, k( )] E{ u( c ( )) e d} W[ k( )] där c () (4.56) är den opimala konrollen och W( k( )) är mä i löpande (kugg)prier i period. Vi kan nu kriva HJB-ekvaionen i löpande värde på följande ä: 78 Man kan via a en Markov-konroll under brownk rörele är näan lika bra om om man beingar på hela förhiorien. Se Ökendahl (3) kapiel 11.

21 89 1 W( k( )) max[ u( c( )) Wk ( k( )) h( k( ), c( );, n) k Wkk ( k( )) ] (4.57) c ( ) där h( k( ), c( );, n) = f ( k( ) c( ) ( n ) k( ), W dw / dk k och W dw / dk. Noera blir denna ekvaion mycke lik (denamma om) ekvaion (4.9) ovan här a om vi äer där Weizman eorem viar hur välfärden i e deerminiik dynamik Ramey-problem är proporionell mo Hamilon-funkionen. De innebär a eoreme följer direk ur HJB-ekvaionen. Vi kan ockå noera a preci om under äkerhe finn en kuggprivariabel (co-ae variable) i form av derivaan av den opimala värdefunkionen, dv. W ( ) dw ( ) / dk p( ), var andraderivaa är W kk d W / dk. Lö uryck kan kk orleken på riken. k W olka om prie på rik och COST-BENEFIT-ANALYS UNDER BROWNSK RÖRELSE kk kk k i ekvaion (4.57) om Eferom co-ae-variabler (kuggprier) är e pecialfall av Ramey-probleme under äkerhe kan man gia a den opimala värdefunkionen parialderivaor har en liknande roll a pela under oäkerhe. Speciell kan vi gia a värdefunkionen derivaa med aveende på en parameer ockå kan använda om mäare av värde av e lie co-benefi-projek. Lå o udera hur förändringen av kuggprie mä i löpande värde er u för de okaika Ramey probleme. Vi arar med HJBekvaionen där vi era dw ( ) / dk med och d W( ) / dk dp( ) / dk mä i löpande prier p () 1 dp( ) W ( k( )) max[ u( c( )) p( ) h( k( ), c( );, n) k dk c ] H ( k, p, dp / dk) c ( ) (4.57a) c där H () är den (generalierade) opimerade Hamilon-ekvaionen i löpande prier. Vi kan ockå kriva om den okaika differenialekvaionen för k c dp dk h( c, k; n, ) d kdb Hk ( k, p, ) d kdb (4.58) dk H är derivaan av Hamilon-funkionen med aveende på k c där () k. För a härleda egenkaperna ho co-ae-variabeln, om kan kriva i både löpande prier och i nuvärde, är de enkla a ara med kuggprie i nuvärde, här beeckna differenialekvaionen ovan får vi p = V k. Om vi använder Io formel och unyjar 1 dp [ Vk Vkk h Vkkk k ] d VkkkdB (4.59) V Eferom k Vk följer de av ekvaion (4.58) a 1 V k Hk Vkk h Vkkk k (4.6) Subiuion i (4.59) ger dp H () d V kdb (4.61) k kk Så när om på ermen för brownk rörele är högerlede denamma om i ekvaion (4.14) ovan. Vi kan överföra ekvaionen ill löpande prier genom a unyja a dp ( dp p) e d vilke ger

22 9 c dp p H () d W kdb (4.6) k kk Noera a H e k H c k. Vi är nu klara a använda amma rick om ovan när vi härledde co-benefi-regeln under äkerhe. Säg a vi använder o av parameern illväx i arbekrafen och kriver ändringen i illväxaken om: dn db n (4.63) Lå o lägga in den om en ny illåndvariabel. Genom a generaliera opimeringprobleme på dea ä kan vi kriva ändringen i nuvärde av kuggprierna på både kapiale och illväxaken om: dp H () d V kdb V kndb k kk kn n n dp H () d V nkdb V db n n nk nn n n (4.64) Noera a blandade ermer kommer in, vilke följer av a vi använder Io lemma med fler än en illåndvariabel. Meodiken är dock preci denamma 79. Reulae blir bara lie krångligare a härleda. När dea är gjor är vi på banan igen. Noera ockå a nu är vå av varandra oberoende orogonala brownka röreler involverade. De går emellerid a löa co-benefi-probleme även om proceerna kulle vara korrelerade. För a nå fram ill co-benefi-regeln inegrerar vi den okaika differenialekvaionen för. Vi får: T kuggprie på illåndvariabeln n över inervalle [, ] T T T (4.65) p ( T) p ( ) H ( ) d V nkdb V db n n n nk nn n n På grund av e ranveralievillkor blir pn ( T) värdelö. Vi kan därför kriva: T T T p ( ) H ( ) d V nkdb V db n n nk nn n n, d.v.. när man är bankru är en enhe kapial (4.66) vilke blir projeke värde. Numerik är dea uryck mycke vår a hanera, men de finn en väg ill någo om är mer lähanerlig. Vi ar hel enkel maemaik förvänan av ekvaion (4.66) varvid alla inegraler förvinner uom den över Hamilon-funkionen derivaa med aveende på n 8 : T E [ p ] E [ H d] (4.67) n n Reulae blir då i formen mycke lik de om erhöll under äkerhe i ekvaion (4.16) ovan. Sluaer: Dynamik co-benefi-analy för må projek under oäkerhe ger upphov ill reula om under maemaik förvänan kan bli mycke lika movarande dynamika reula under äkerhe. Oraken är 79 Se Aronon, Löfgren Nyröm (3) 8 Oraken är a Io-inegralerna blir noll när man ar maemaik förvänan.

23 91 egenkaperna ho brownk rörele och den Io-kalkyl om hanerar inegraion på e ä om gör a okaika inkremen blir noll under maemaik förvänan. De kan förefalla om a luaen blir a de är mindre vikig a adreera oäkerhe i uvärderingar. I e aveende är emellerid dea ine falle. Vi kall korfaa, när vi nu känner grunderna för den.k. Io-kalkylen, beröra några enkla problem kring modern inveeringeori. Men för e räkneexempel. E övningexempel E räkneexempel kan vara på in pla. Följande exempel på en co-benefi-regel under oäkerhe finn ho Aronon e. al. (3) där grundexemple är häma från Ökendahl (3). Ugångpunken är e minimeringproblem om har ueende (, ) min [ ( ( ) ( )) ] c V x E x c e d Där den underliggande proceen har ueende dx( ) c( ) d db( ) x() x där x () är illåndvariabeln, c () är konrollvariabeln och är den parameer om beämmer co-benfi-regeln. För a härleda regeln genom a derivera den opimala värdefunkionen med aveende på parameern definierar vi co-ae variabeln i nuvärde p V () och beräknar vänevärde E ( p ) där index indikerar a vänevärde a från proceen aridpunk. Probleme kan löa genom a vi löer de okaika konrollprobleme fulländig innan vi deriverar värdefunkionen med aveende på och ar maemaik förvänan. HJB-ekvaionen vid idpunken är V V (, x) 1 V (, x) min[ e ( x c ) c ] c x x c Minimering med aveende på c (i varje idpunk) ger: 1 V (, x) c e x Efer ubiuioner av yrycke för konumionen in i HJB ekvaionen får vi efer lie räkningar a 1 V (, x) V 1 V e x e ( ) 4 x x För a kunna gå vidare måe vi ha e Blueprin för värdefunkionen, och vi giar på följande eparabla värdefunkion 81 V(, x) e ( x), och( x) ax b 81 Dikoneringfakorn eparera från grundfunkionen där illåndvariabeln finn.