Potens- och exponentialfunktioner

Transkript

1 Potens- och exponentialfunktioner 1. Potenser med reell exponent Jämförelser mellan exponentialfunktioner och linjära funktioner 5 3. Exponential- och potensfunktioner...14 Matematiken i historien, Kepler Logaritmer 25 Tema Jordbävningar...32 Facit..36 Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; Illustrationer: s.1 Nils-Göran Mattsson, IBL Bildbyrå: s.15 J.E. Pasquier/Rapho, s.23 Mark Garlic/Science Photo Library; Foto s.7 Michele Adamal; Geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran Mattsson Författarna och Bokförlaget Borken, 2011 Potens- och exponentialfunktioner - 1

2 1 Potenser med reell exponent Teori Läs om potenser på sidorna i modulen Aritmetik (endast för 1c) G1.1 Skriv följande tal som potenser med basen 10 utan att använda räknare. a) 10 5,5 10-0,4 0,5 0, f) i) ( ) b) (10 5,5 ) ,4 0,5 10 0,5 4 (10 ) c) 10 6,6 0,01-5,4 g) j) d) (10-9,5 ) ,4 3,5 10 0, (10 ) h) k) e) (0,001 5 ) (10 ) G1.2 Ordna följande potenser i storleksordning från den minsta till den största. a) 6 3 ; 6-2 ; 6 2 ; 6-3 ; 6 0 ; 6-1 ; 6 2 b) 0,6 3 ; 0,6-2 ; 0,6 2 ; 0,6-3 ; 0,6 0 ; 0,6-1 ; 0,6 2 c) Jämför resultaten i a) och b). Vilken regel tycks gälla? G1.3 Förenkla a) a 4 a 7 b) a a m c) a 3m a m d) a m-2 a m-1 e) a 4m a 2m a -2 f) g) 7 a a a 7 2 a G1.4 Förenkla så långt som möjligt a) 27 1/3 b) 27 2/3 c) 8 2/3 d) 8-2/3 e) (1/49) 0 f) 0,008 1/3 g) /7 h) /10 h) a a 4m 3m i) /10 j) 0,0625 1/4 Potens- och exponentialfunktioner - 2

3 Teori Rotlagar (endast kurs 1c) Eftersom uttrycket n a 1/ också kan skrivas n a har potenslagarna sina motsvarigheter i rotlagarna. Ett exempel: Vi vet att Alltså är n n n a b = ab 1 / n 1 / n 1 / n a b ( ab ). V1.5 Bevisa följande rotlagar: a) a a b) = b b m m 2 ( a ) = a c) b a = b a G1.6 Skriv i potensform och med basen 2 eller 3. a) 3 b) 27 c) 3 2 d) 3 4 e) 4 8 f) 3 g) h) 2 i) j) ( k) ) l) 3 64 m) 3 64 n) V1.7 Vilka av följande talpar är lika? Använd inte räknare. a) 2 3 och 12 e) 3 2 och 3 2 b) c) d) 15 och och ( 7) och 14 f) 3 28 och 2 63 V1.8 Skriv följande uttryck så enkelt som möjligt a) (3x) 3 b) ( x ) 3 2 c) 2 x ( ) 3x 2 Potens- och exponentialfunktioner - 3

4 V1.9 Det finns en formel för att lösa tredjegradsekvationen, formulerad av Gerolamo Cardano i Ars Magna, 1545, x 3 + mx = n. Beräkna en lösning till ekvationen x 3 + 5x = 18 om formeln för en lösning till ekvationen är: n n m 3 n n m V1.10 Beräkna de två potenserna nedan från ögonblicksbilden i en 'tänkt' GeoGebra-applikation Modell Att lösa ekvationer med rotuttryck Exempel 1 x 15 = 2 x Lösning Vi kvadrerar ekvationen och får (x 15) 2 = 4x. Genom kvadreringen kan vi få lösningar som inte är korrekta. Vi måste alltså pröva lösningarna innan resultatet presenteras. En korrekt logisk uppställning är: x 15 = 2 x (x 15) 2 = 4x x 2 34x = 0 x1 = 25 eller x2 = 9 Potens- och exponentialfunktioner - 4

5 Tecknet betyder: Om påståendet före pilen är sant så är påståendet efter pilen sant. Men om påståendet efter pilen är sant så behöver inte påståendet före pilen vara det. Detta innebär att en prövning av resultatet måste göras. Tecknet betyder: Påståendet före dubbelpilen är sant om och endast om påståendet efter dubbelpilen är sant. Prövning av x = 25 : Vänstra ledet = = 10. Högra ledet = 2 25 = 10 Alltså är x = 25 en lösning till rotekvationen. Prövning av x = 9 : Vänstra ledet = 9 15 = 6. Högra ledet = 2 G1.11 Lös rotekvationerna a) 2 x + 1 = 5 b) x 7 = 3 c) 4 x = 1 d) 2x + 1 = x 1 9 = 6 Alltså är x = 9 ingen lösning till rotekvationen. e) 3 x 2 = 2 x f) 3x 2 2 = 2 x g) 13 4x + x = 2 V1.12 Tio gånger kvadratroten ur antalet svanor i en flock, som simmar på insjöns vattenspegel, höjer sig i flykt mot Manus dal, emedan de ser molnen skocka sig på himlen. Åttondelen av antalet i flocken söker skydd bland näckrosorna vid stranden, och endast tre par svanor stannar kvar, obekymrade om det annalkande ovädret. Säg mig, unga skönlockiga flicka, hur många svanor fanns i flocken? (Av den indiske matematikern Bhaskara ung e Kr, som bl a gett flera originella bevis för Pythagoras sats.) Potens- och exponentialfunktioner - 5

6 2 Jämförelser mellan exponentialfunktioner och linjära funktioner Teori Fördubblingar och halveringar utifrån ett begynnelsevärde, B. Antalet bakterier i en bakterieodling fördubblas varje timme. Hur många bakterier fanns det för 3 timmar sedan om antalet nu är st? Detta problem löser man enklast på följande sätt: För 1 h sedan fanns 5000 bakterier. För 2 h sedan fanns 2500 bakterier. För 3 h sedan fanns 1250 bakterier. Vi vill nu ha en formel för hur många bakterier (y st) som fanns för x timmar sedan eller finns om x timmar, där ett positivt x betyder framtid och ett negativt x betyder förfluten tid. Vi antar vidare att det finns B bakterier nu. Vi gör en värdetabell. x (h) (om en timme) (för en timme sedan) y (bakterier) B 2 B 1 = B 2 B 2 2 B 2 = B 2 Vi får formeln y= B 2 x. Den beskriver en tillväxt som innebär en fördubbling för varje tidsenhet (varje timme), B är ett begynnelsevärde. Det sker alltså en ökning med100% för varje timme som går. Ett förlopp som ökar (minskar) med samma procenttal under lika stora tidsperioder kallas en exponentiell förändring. Talet 2 är förändringsfaktorn. Formeln y=b 2 x eller mera allmänt y=b k x beskriver en exponentialfunktion. Den kallas så för att den oberoende variabeln, x, står i exponenten. 2 4 Potens- och exponentialfunktioner - 6

7 Lös G uppgifterna i detta avsnitt utan räknare. G2.1 Frida har under några veckor fördubblat sina sparpengar varje vecka. Hur många kronor hade hon för fyra veckor sedan om hon har 64 kronor nu? G2.2 Antalet anställda i ett nystartat företag har en period fördubblats var tredje månad. Hur många anställda fanns det för ett år sedan om företaget nu har 4000 anställda? G2.3 Radioaktiviteten i ett preparat halveras var femte dag. Radioaktiviteten uppmättes en dag till 5600 Bq (becquerel, sönderfall per sekund). Hur hög var radioaktiviteten 20 dagar senare? G2.4 Vilken exponentialfunktion gäller för ett tidsberoende förlopp där den exponentiella förändringen är 200%? G2.5 Antalet bilar som passerar en trafikerad led femfaldigas varje ny månad. Med hur många procent ökar antalet bilar varje månad? Potens- och exponentialfunktioner - 7

8 Teori Exponentialfunktioner och linjära funktioner En biolog är intresserad av att se hur snabbt granplantor växer. Han börjar studera träden när de är 2,00 m höga och mäter medelvärdet av ett stort antal plantor efter 1, 2, 3, 4, 5, 6 år. Han upptäcker på detta sätt att träden växer med i genomsnitt 18% varje år. Detta innebär att förändringsfaktorn är 1,18. Tabellen till höger nedan visar en linjär tillväxt. Tid Trädets höjd (x år) ökar med 18% varje år Trädets höjd (y m) Tid Trädets höjd (x år) ökar med 0,50 m varje år 0 2,00 2,00 0 2,00 2,00 1 2,00 1,18 2,36 1 2,00+0,50 2,50 2 2,00 1,18 2 2,78 2 2,00+2 0,50 3,00 3 2,00 1,18 3 3,29 3 2,00+3 0,50 3,50 4 2,00 1,18 4 3,88 4 2,00+4 0,50 4,00 5 2,00 1,18 5 4,58 5 2,00+5 0,50 4,50 6 2,00 1,18 6 5,40 6 2,00+6 0,50 5,00 x 2,00 1,18 x y x 2,00+x 0,50 y Potens- och exponentialfunktioner - 8 Trädets höjd (y m) I diagrammet på nästa sida ser du graferna för den exponentiella och den linjära funktionen. Man kan ge en exakt matematisk definition av 1,18 x för godtyckliga reella värden på x och inte bara heltal som ovan. Dessa värden kan beräknas med en räknare. Kontrollera att du kan göra dessa två beräkningar på din räknare: 1,18 0,55 (=1,0953 ) 0,5 0,75 (=1,6817 )

9 Exempel a) Vid vilken tidpunkt passerar trädet höjden 6 m enligt den exponentiella modellen? b) Vid vilken tidpunkt passerar trädet höjden 6 m enligt den linjära modellen? c) Ange formeln för den exponentiella modellen om trädets begynnelsehöjd är 1,5 m. d) Ange formeln för den exponentiella modellen om trädens höjd ökar med 25% per år. e) Formlerna för trädets höjd är matematiska modeller. Varför kan inte dessa modeller stämma för hela trädets livslängd och kanske inte ens då? Potens- och exponentialfunktioner - 9

10 Lösning a) Ur grafen ovan för den exponentiella modellen kan du avläsa att x 6,6 ger y 6. Räknaren ger 2,00 1,18 6,6 6. b) Ur grafen ovan för den linjära modellen kan du avläsa att x 8 ger y 6. Räknaren ger 2,00+8 0,50 6. c) y=1,5 1,18 x d) y=2,0 1,25 x G2.6 Undersök följande exponentialfunktioner med grafritande hjälpmedel (miniräknare eller datorprogram). Ökar eller minskar värdena av funktionen y = B k x när x värdena ökar? Hur beror detta på värdena av B och k? x a) y=5 1,24 c) y=5 1,4 x x b) y=4 0,75 d) y=4 0,5 x G2.7 En lastbils värde y kr antas vara en funktion av bilens ålder x år enligt y = ,80 x. a) Vad kostade lastbilen som ny? b) Vad betyder faktorn 0,80? c) Om x = 3 så är y = Tolka detta. d) Ge en tolkning av olikheten ,80 x < G2.8 Johan har med sig nyponsoppa i en termos under en skidtur vid utetemperaturen 0 C. För innehållet i denna termos gäller att temperaturskillnaden till omgivningen sjunker med 8 % varje timme. Detta förhållande gäller under de första 6 timmarna från det att termosen har fyllts med 80 gradig soppa. a) Vilken temperatur har soppan efter 1 timme? b) Skriv upp den formel som visar nyponsoppans temperatur efter x h om x 6. c) Vilken temperatur har soppan efter 5 h? d) Rita funktionens graf för tidsintervallet 0 x 6, dvs för definitionsmängden. Potens- och exponentialfunktioner - 10

11 G2.9 Femtio kaniner som kommit loss på en större obebodd ö förökar sig med 62% per månad. a) Ange den funktion f (x) som beskriver kaninernas antal efter x månader om inga kaniner har dött under dessa månader. b) Åskådliggör f (x) i ett koordinatsystem. c) Använd grafen för att avläsa hur många kaniner det finns efter 8 månader och d) när antalet kaniner uppgår till G2.10 Var och en av 5 speglar reflekterar 90% av den inkommande ljusintensiteten. Hur många procent av ljusintensiteten går förlorad, om ljuset reflekteras i dessa fem speglar i följd? G2.11 Bakteriehalten i en simbassäng är per cm 3 klockan 7 en måndag morgon och fördubblas därefter till samma klockslag varje efterföljande dag. a) Ange formeln för bakteriehalten efter x dygn. b) Vilken är bakteriehalten följande måndag klockan 12? V2.12 En IT tekniker som har kr i månadslön skall be om löneförhöjning. Skall han be om (a) årlig uppräkning av lönen med 3000 kr/mån eller (b) årlig uppräkning av lönen med 9,5%? Gör en utredning av för och nackdelar med de två modellerna. Teori Kol-14-metoden Kol 14 metoden är ett sätt att bestämma åldern på lämningar av organiskt material. Sådana lämningar kan till exempel vara föremål av trä och ben, textila material, mumier och måltidsrester från gamla boplatser. En av grundämnet kols isotoper (atomvarianter) tecknas 14 C och kallas kol 14. Små mängder kol 14 bildas i atmosfären då neutroner i den kosmiska strålningen kolliderar med kväveatomer. Dessa atomer uppträder för övrigt som vanligt kol och förenar sig med syre till koldioxid och upptas av levande organismer via fotosyntesen. Kol-14-atomerna är instabila och sönderfaller. Vid sönderfallet sänder atomerna ut strålning. I en levande organism är halten kol 14 konstant. Men när organismen dör tillförs Potens- och exponentialfunktioner - 11

12 inte några nya kol 14 atomer och halten börjar sjunka i en takt som innebär att hälften har försvunnit efter 5600 år. Ju äldre ett föremål är desto mindre strålning sänder det alltså ut. Med hjälp av strålningsmätning kan det bestämmas hur länge det var sedan organismen dog. För utvecklingen av denna metod fick Willard Frank Libby Nobelpriset i kemi Hälften av ett radioaktivt ämne sönderfaller under en halveringstid (T), som för 14 C vid åldersbestämningar brukar anges till 5568 år. Efter ytterligare en halveringstid återstår hälften av hälften dvs en fjärdedel och så vidare. Antalet radioaktiva atomer tecknas B(x) = B 2 x /5568, där B är antalet 14 C atomer vid tiden x = 0 år och B(x) är antalet 14 C som återstår efter x år. Sätter vi in halveringstiden x = 5568 får vi B(5568 ) = B /5568 = =B 2 1 = 2 B som betyder hälften av antalet atomer som vid tiden x = 0. Frimärket nedan visar kurvan B(x) = B 0 2 x /5568 Potens- och exponentialfunktioner - 12

13 V2.13 Nils ställde upp på ett medicinskt experiment som innebar att radioaktivt teknetium 99 tillsattes de vita blodkropparna. Med hjälp av strålningsmätning kan invärtes skador då lokaliseras. a) Hur många procent teknetium finns kvar i kroppen efter 5 h x / 6,007 om formeln för dess sönderfall är y = B 2, där tiden x mäts i timmar? b) Vilken är halveringstiden enligt formeln? c) Finns det något teknetium kvar i kroppen efter 10 år? d) Skriv funktionen på formen y = B k x. V2.14 På ett laboratorium sätter man ett bakteriedödande preparat till en bakteriekultur. Grafen visar antalet bakterier i denna bakteriekultur efter x minuter. a) Hur många bakterier fanns det från början? b) Efter hur lång tid återstår det endast 25% av bakterierna? c) Vilken är den procentuella förändringen av antalet bakterier per min? Potens- och exponentialfunktioner - 13

14 V2.15 Utsläppen av koldioxid har medfört att koldioxidhalten idag är ca 30% högre än vid 1900 talets början. Vi antar att förändringen av koldioxidhalten i atmosfären är exponentiell. Med hur många procent har den ökat per år under 1900 talet? V2.16 Vid Tjernobyl olyckan släpptes det ut stora mängder radioaktivt cesium och jod. a) Ange en formel för att beräkna aktiviteten x år efter olyckan. Aktiviteten sjunker till 50% av begynnelsevärdet på 30 år, dvs den 26 april Ledning: Använd värdet 100(%) för B. b) Rita grafen till a) med hjälp av grafritande räknare eller dataprogram. c) Efter hur många år är strålningen 1% av den ursprungliga? (Om du använder t ex GeoGebra eller miniräknare kan du placera en punkt på grafen och dra denna tills y-värdet 0,01 dyker upp.) V2.17 Frankrikes senaste testsprängning av kärnvapen utfördes i Stilla Oceanen Omedelbart efter explosionen var strålningen från strontium gånger högre än den högsta tillåtna för att ön ska vara beboelig. När blir ön åter beboelig om halveringstiden för strontium 90 är 29 år? (Samma metod som c) i föregående uppgift.) Potens- och exponentialfunktioner - 14

15 3 Exponential- och potensfunktioner Modell Beräkna basen k ur ekvationen y =k x Exempel Lös ekvationen 9 = k 7 Lösning Upphöj båda led till 1/7 9 1/7 7 = (k ) 1/7 7 Men (k ) 1/7 = k eftersom exponenten 7 (1/7) = 1 1/7 Alltså är k = 9 Ekvationen 9 = k 7 har lösningen k = 9 1/7 1,4 G3.1 Bestäm med tre värdesiffror lösningarna till ekvationerna a) x 7 = 15 e) 0,25 x 15 = 157 b) x 3/7 = 7 c) x 1,21 = 23 d) 3,4 x 1,5 = 145 f) 31,2x 0,6 = 74,5 g) 0,39 x -3/4 = 7,6 h) 2,5 y 0,15 +3,0=17 G3.2 En lägenhet hade under 80 talet en hyresstegring från 1900 kr/mån den 1 jan 1980 till 3500 kr/mån den 1 jan Vilken blir den årliga procentuella hyreshöjningen om hyran under hela 80 talet växte exponentiellt? G3.3 En bank erbjuder Urban treåriga s k nollkupongare. Den ränta som man i vanliga fall får vid årsskiftet läggs till kapitalet. Urban erhåller ränta och insatt kapital efter tre år. Han sätter in kr och får ut kr vid förfallodagen. Vilken är räntan under denna period på nollkupongaren? Potens- och exponentialfunktioner - 15

16 Teori Exponential- och potensfunktionernas ABC Exempel Ett bra exempel på rovdjurens betydelse för naturen är hjortpopulationen i Grand Canyon vid seklets början. År 1910 fanns här en stam på hjortar i god kondition. Under en kort period utrotades då vargar och pumor som är de djur som jagar hjortar. Om vi antar att antalet hjortar därefter ökade exponentiellt och vi dessutom vet att antalet hjortar år 1920 var 47500, vilken årlig procentuell ökning motsvarar detta? Hur många hjortar fanns efter fem år? Ange ett funktionsuttryck som beskriver hjortarnas antal under tiden efter Rita funktionens graf samt avläs ur grafen vilket år antalet hjortar överstiger (Naturligtvis kunde inte detta fortgå hur länge som helst. Så småningom blev det brist på föda när antalet hjortar närmade sig miljöns bärförmåga och ökningstakten avtog. Då kan inte längre den exponentiella modellen användas för att beskriva förändringen.) Potens- och exponentialfunktioner - 16

17 Lösning: Eftersom vi kan använda den exponentiella modellen gör vi ansatsen y = B k x där k och B är konstanter för att lösa uppgiften. x 1910 (år 0) 1920 (år 10) y Alltså blir y = k x Insättning av det andra värdeparet (10, 47500) ger = k 10 vilket ger (47 500/14 000) = k 10 Alltså blir k = (47 500/14 000) 1/10 Alltså k = (47 500/14 000) 1/10 = 1,13 Detta är alltså en metod att beräkna basen k i exp-funktionen Den procentuella ökningen är 13% och funktionsuttrycket är y = ,13 x. Tabellen nedan visar hur antalet hjortar ökar enligt den exponentiella modellen. x y Efter fem år fanns y hjortar, där y = ,13 5 = Om vi vet B, k och x kan vi beräkna exponentialfunktionens y-värde Rita därefter grafen till exponentialfunktionen med hjälp av värdetabellen eller grafritande hjälpmedel. Avläs antalet år som svarar mot hjortar. Resultat: Det sker efter 12 år, alltså år Denna grafiska metod kan användas för att bestämma x i en ekvation av formen y = B k x när de övriga tre talen är kända. Potens- och exponentialfunktioner - 17

18 Teori Potensfunktioner y = B x a Definition: Med en potensfunktion menas en regel som kopplar ihop x och y enligt formeln: y = B x a där a är ett reellt tal och x > 0. Om a är heltal som i formeln y = x 2 + x eller y = 2x -1 så är det naturligt att tillåta alla värden på x. Potens-18 Potensfunktion med positiv exponent och 'glidare' I diagrammen bredvid har vi ritat några potensfunktioner med olika positiva värden på exponenten a. En av dessa kurvor skiljer sig från de övriga på ett sätt, vilket? Formulera en hypotes om potensfunktioner utifrån värdet på exponenten a. Med glidaren i grafen kan man i många geometriska program t ex gratisprogrammet Geo- Gebra reglera värdet på a t ex a =2,4 som ger den svärtade grafen. Potens-18 Potensfunktion med negativ exponent och 'glidare': I diagrammet här bredvid har vi ritat några potensfunktioner med negativa värden på exponenten a. Hur skiljer sig dessa kurvor från de i diagrammet ovan? Formulera en hypotes om potensfunktioner utifrån värdet på exponenten a. Potens- och exponentialfunktioner - 18

19 G3.4 Vid svarvning gäller mellan skärhastigheten V m/min och utslitningstiden T min sambandet V T 0,2 = C, där C är en konstant. Vid skärhastigheten 60 m/min har man funnit att utslitningstiden är 16 min. Beräkna densamma då skärhastigheten är 50 m/min. G3.5 En målnings värde ökade från kr år 1995 till kr år Bestäm den årliga procentuella värdeökningen om denna är lika stor varje år. G3.6 På tre månader sjunker priset på en råvara från 5500 kr/ton till 4500 kr/ton. När kan priset väntas bli 3400 kr/ton om vi antar att det faller a) exponentiellt med tiden b) linjärt med tiden? G3.7 Under en sommarmånad kunde den area i en sjö som täcktes av näckrosor, y m 2, beräknas med formeln y = 220 1,12 x, där x är antalet dagar som förflutit sedan arean var 220 m 2. a) Hur stor area täcks av näckrosor efter 15 dagar? b) Använd grafräknare för att beräkna efter hur många dagar arean fördubblats. G3.8 En flaska jod-131 levereras till ett sjukhus kl den 9 maj På etiketten står att aktiviteten är 390 MBq kl den 16 maj. Sambandet mellan tiden t h och aktiviteten y MBq för ett radioaktivt preparat är y = B k x, där k och B är konstanter. Sönderfallshastigheten för jod-131 är 8,3% per dygn. a) Vilken var aktiviteten när preparatet levererades? b) Vilken är aktiviteten den 4 juni 2002 kl. 8.00? Potens- och exponentialfunktioner - 19

20 G3.9 När ogräsmedlet Meklorprop används i naturen bryts det efter hand ned. Vid konstant jordtemperatur gäller att den kvarvarande mängden avtar exponentiellt med tiden. Den tid det tar tills hälften av ogräsmedlet är kvar (halveringstiden) beror på jordtemperaturen enligt tabellen nedan. Jordtemperatur( C) Halveringstid i dygn Källa:Miljøforskning, Nyhedsbrev nr10,1994 Vid ett tillfälle besprutades en åker med 8 kg Meklorprop. Marktemperaturen var 5 C vid besprutningstillfället och antas vara konstant under de följande veckorna. Hur många procent av den ursprungliga mängden ogräsmedel finns kvar i jorden efter 10 dygn? (NpC vt 98) G3.10 Antag att en åker besprutats med 7 kg Meklorprop. Marktemperaturen var 10 C vid besprutningstillfället och antas vara konstant under de följande veckorna. Hur många procent av den ursprungliga mängden ogräsmedel finns kvar i jorden efter 15 dygn? V3.11 En varg har blivit skjuten av en tjuvskytt. Du, som är känd under smeknamnet Skärlock Holm, är ombedd att utreda fallet. De tre misstänkta till dådet, Darth Vadar, Jokern och Al Capone har alla alibi för dagen utom under följande tider. Darth har inget alibi för tiden kl 8-11 den aktuella dagen. Jokern har inget alibi för tiden kl den aktuella dagen. Al har inget alibi för tiden kl den aktuella dagen. De misstänkta kan endast ha begått brottet under den tidsperiod de inte har alibi. Ditt uppdrag, som du väljer att acceptera, är att fastställa tidpunkten för dådet och besvara frågan vem av de misstänkta som kan ha begått brottet. För att bestämma tidpunkten för vargens död mäter du dess kroppstemperatur vid två tillfällen. Den första mätningen gör Potens- och exponentialfunktioner - 20

21 du kl den dag vargen blev skjuten och vargens tempera- tur är då 28,0 C. Tre timmar senare mäter du vargens temperatur till 25,6 C. Du antar att kroppstemperaturen efter vargens död avtar exponentiellt med tiden och att en levande vargs kroppstemperatur är 36,9 C. Vem av de misstänkta kan ha begått brottet? På grund av situationens allvar är det naturligtvis viktigt att du visar dina beräkningar och motiverar ditt svar. (NpC ht 96) V3.12 Tvärtemot vad många tror så reflekteras bara c:a 10% av UVstrålningen mot en vattenyta. Däremot tränger strålningen ned i vattnet och ca 50% finns kvar 0,5 m ner. a) Hur många procent av strålningen finns kvar på ett djup av 1 m? b) Hur många procent av strålningen finns kvar på ett djup av 3 dm? Potens- och exponentialfunktioner - 21

22 M atematiken i historien Johannes Kepler ( ) föddes i Weil der Stadt i Würtemberg. Han studerade vid universitetet i Tübingen, där han kom i kontakt med matematikern M Mästlin, som invigde honom i Kopernikus teori om en stillastående sol nära världens centrum. Åren efter 1594 undervisade han i matematik och astronomi i Graz. Under hela sitt liv var Kepler intresserad av talmystik och Platons metafysiska visioner. Som en följd av intresset för platonism kan man se hans ständiga sökande efter sköna geometriska samband för universum. I sin första bok, Mysterium cosmographicum försökte han placera in planetsfärerna mellan de fem platonska kropparna. Kepler var en noggrann empiriker. Om planetmodellen inte överensstämde med de noggranna observationsdata som han var i besittning av, så förkastades modellen. År 1600 fick Kepler i uppgift av Tycho Brahe, som då var matematiker vid kejserliga hovet i Prag, att ge en matematisk beskrivning av planeten Mars bana. Som en följd därav publicerade han år 1609 två grundläggande lagar för planeternas banor. Potens- och exponentialfunktioner - 22

23 Den första säger att planeterna rör sig i elliptiska banor runt solen som själv befinner sig i dess ena brännpunkt. Den andra säger att rörelsen längs varje ellips sker med sådan hastighet att linjen från solen till planeten på lika tid överfar lika stor area. Harmonice mundi (Världsharmonin, 1619), som innehåller hans tredje lag, är en fantastisk sammansmältning av naturvetenskap och mysticism. Han utvecklar i det verket idéer om att planeternas rörelser uttrycker harmoniska musikaliska klanger. Enligt Keplers tredje lag förhåller sig kvadraterna på planeternas omloppstider som kuberna på deras medelavstånd från solen. Om medelavståndet från jorden till solen används som längdenhet, SU, för en planets medelavstånd till solen, R, och tiden för planetens omloppstid runt solen, T, mäts i år så gäller M T 2 = R 3. M är massan för det objekt som planeten kretsar kring. För solsystemet är M = 1. Kepler skrev också en lärobok i astronomi, i vilken han visade att hans lagar gäller för alla planeterna och för månen. Under sina senare år flackade han runt och levde ett liv fyllt av bekymmer. Hans sista verk var Tabulae rudolphinae (1627), där hans bestämning av planetpositioner hade en aldrig tidigare skådad noggrannhet. Potens- och exponentialfunktioner - 23

24 G3.13 Antag att vi upptäckt en ny asteroid vars bana befinner sig 9 SU (=sun unit) från solen. Hur lång tid tar det för denna asteroid att fullborda ett varv? G3.14 Planeterna Merkurius och Uranus har omloppstiderna runt solen 88 dagar respektive 84,01 år. Vilka är deras medelavstånd till solen? Uranus med månar Potens- och exponentialfunktioner - 24

25 V3.15 En adiabatisk process sker värmeisolerat, det vill säga utan värmeutbyte med omgivningen. När luften trycks samman i kompressionssteget i en dieselmotor sker det nästan helt adiabatiskt, eftersom det går så snabbt (cirka 0,1s) att ingen värmeenergi hinner lämna luften. Energin som tillförs luften kommer från det yttre arbete som ger kompressionen. På grund av att den sker adiabatiskt lämnar inte energin gasen, utan energin värmer i stället gasen som blir hetare allteftersom volymen minskar. Luften i en dieselmotors cylindrar blir på detta sätt så het, att dieseloljan, när den vid kompressionsstegets slut sprutas in i cylindern, antänds av sig själv. För en adiabatisk process gäller p V 1,40 = C, där p är gasens tryck och V dess volym, C är en konstant unik för varje process. a) Hur mycket ökar trycket för en luftmassa vid en kompression om volymen minskar till en åttondel? b) Hur mycket ökar volymen för en luftmassa vid en kompression om trycket trefaldigas? V3.16 Ett byggföretag räknar med att på en viss ort beror omsättningen y kr på byggvaruhusets golvarea x m 2 λ enligt y = k x. Man vill bygga ut varuhuset så att omsättningen fördubblas. Visa att om husets ursprungliga area var a m 2, så skall det byggas ut till en storlek av a 2 1/ λ V3.17 Lös ekvationen 10 0,1x = 5 x genom att rita kurvorna y = 10 0,1x och y = 5 x i samma koordinatsystem och därefter bestämma skärningspunkten mellan kurvorna. V3.18 Koncentrationen av en medicin i en patients blod är y g/l efter t h, där y =B k t. För medicin M 1 är B = 2 och k = 1,2 och för medicin M2 är B = 3 och k = 1,12. a) Rita graferna för de två funktionerna. b) Vilken medicin har den högsta koncentrationen vid 4h och 8h? V3.19 Rita grafen till funktionen y = 2 x 9x + 5 för 1 x 7 utan grafritande räknare. Använd grafen för att visa att ekvationen 2 x = 9x + 5 har två rötter x 1 och x 2 där 0 < x 1 < 1 och 5 < x 2 < 6. Potens- och exponentialfunktioner - 25

26 4 Logaritmer Teori Logaritmer (kurs 2bc. Mer om logaritmlagarna för kurs 2c finns på sid.52 i modulen Analys-Derivata) Exempel Formeln y = ,13 x beskriver antalet hjortar i Grand Canyon vid seklets början. Bokstaven x betecknar antalet år efter Efter hur många år är antalet hjortar st? Vi vill alltså kunna lösa ekvationen = ,13 x. Lösning Först dividerar vi med i båda led och får = 1,13x. Vi behöver nu kunna lösa ekvationer av typen y = k x med avseende på x. 37 Lösningen till denna ekvation är = lg y lg x ( = 14 ). Detta är alltså lg k lg1,13 ett alternativ till den grafiska metoden i avsnittet Exponential- och potensfunktionernas ABC. Låt oss nu förklara begreppet logaritm (lg). Ett positivt reellt tal, y, kan alltid uttryckas med en potens av basen 10. Den exponent som 10 ska upphöjas till för att potensen ska bli lika med talet, kallas (tio)logaritmen för talet y. Uttryckt i matematiskt språk blir detta: y = 10 x x = log 10 y. Varje reellt tal c, för vilket gäller att c > 0 och c 1 kan användas som bas. I praktiken används bara två baser, nämligen 10 och det irrationella talet e 2, Logaritmer med dessa baser har fått egna beteckningar lg a för log10 a och ln a för loge a. Vi ska i denna modul endast arbeta med 10-logaritmer. Eftersom y = 10 x > 0 för alla x så finns inget logaritmvärde på lg y om y 0. Talet 0 och de negativa reella talen saknar logaritmer. Potens- och exponentialfunktioner - 26

27 Modell Enkla logaritmer Exempel Beräkna uttrycken a) lg 1000 b) lg 100 c) lg 0,1 d) lg 0,001 Lösning 1000 =10 3, alltså är lg 1000 = = 10 2, alltså är lg 100 = 2 0,1 = 10-1, alltså är lg 0,1 = 1 0,001 =10-3, alltså är lg 0,001 = 3 Exempel 2 Beräkna uttrycken a) 10 lg 7 b) lg10 0,45 Lösning Sambanden x = lg y och y = 10 x kombineras. Då får vi y = 10 lg y eller x = lg(10 x ) Detta innebär att a) 10 lg 7 = 7 och b) lg 10 0,45 = 0,45 Modell Beräkna exponenten x i y = k x Exempel: Lös t ex exponentialekvationen y = k x med avseende på x. Lösning : Eftersom k = 10 lgk och y =10 lgy får vi (10 lg k ) x =10 lg y Enligt en av potenslagarna fås 10 x lgk =10 lgy Alltså är x lg k = lg y. Denna förstagradsekvation ger = lg y x som vi redan fastlagt. lg k Potens- och exponentialfunktioner - 27

28 G4.1 Beräkna utan att använda räknare a) lg 1000 c) lg 10 5 b) lg 0,0001 d) lg 10-3 G4.2 Lös ekvationerna a) 10 x = 6,5 b) 12 x = 0,78 c) 4 1,1 x = 8,5 d) 8,3 4,87 x = 45 e) 10 2x = 5,5 f) lg x = 4,5 g) lg 2x = 0,75 h) lg (x + 2) = -3,0 G4.3 Formeln y = ,13 x beskriver antalet hjortar i Grand Canyon vid förra seklets början, där x är antalet år efter Efter hur många år har antalet hjortar ökat till st? G4.4 Vid ett biologiskt experiment finns från början 5, celler. Om 45 % av cellerna dör varje minut, hur länge dröjer det tills det finns mindre än 1000 celler? G4.5 För fem år sedan var älgpopulationen i en nationalpark 330. Idag är den 460. a) Vilken är den genomsnittliga procentuella ökningen per år av antalet älgar, om förändringen är exponentiell? b) Nationalparken kan ge föda till 800 älgar. Efter hur många år har älgpopulationen i nationalparken nått upp till detta antal? G4.6 Beräkna ph-värdet (ph = -lg[h + ]) i en lösning vars vätejonkoncentration [H + ] är a) 10-6 mol/dm 3 c) 2, mol/dm 3 b) 0,0034 mol/dm 3 G4.7 Lufttrycket på höjden h kan ibland beräknas med formeln P(h) = P 0 0,88 h där h km är höjden över havet och P(h) trycket på denna höjd. P 0 är lufttrycket på havsnivå. a) Vad är lufttrycket på Mont Blanc (4807 m) om P 0 = 101,3 kpa? b) På vilken höjd är lufttrycket 77 kpa? c) Blaise mäter lufttrycket vid foten av ett berg och på toppen av berget. De båda mätvärdena är 99,4 kpa och 94,8 kpa. Hur mycket högre är bergets topp än dess fot? Potens- och exponentialfunktioner - 28

29 V4.8 En biolog har funnit att en bakteriekultur har P(x) bakterier efter x dagar. P(x) = lg (x + a) är den funktion som bäst beskriver antalet bakterier. Kulturen innehåller från början 3280 bakterier. Hur många bakterier finns det efter 6 dagar? V4.9 Nyponsoppa med temperaturen 80 C hälls i en termos. Soppans temperatur t h senare är y C. Mätningar har visat att en bra modell för hur nyponsoppan svalnar är exponentialfunktionen y(t) = ,93 t a) Vilken temperatur har nyponsoppan efter 4 h? b) Hur länge dröjer det tills soppan har fått temperaturen 40 C. c) Är temperatursänkningen lika stor under varje hel timme? V4.10 Magnus villa måste eldas med ved vintertid för att få varmvatten. Varmvattenberedaren står i ett utrymme där det är 0 C. Efter det att han slutat elda är vattnets temperatur T C en funktion av den tid t h som förflutit sedan dess. Funktionsuttrycket är T = T 0 k t. En natt slutar Magnus att elda klockan och då visar termometern 80 C. När han sedan avläser temperaturen klockan 0.00 visar termometern 65 C. När ska han duscha om han vill att vattnet skall vara 40 C? V4.11 Vid processen då fotogen omvandlas till jetbränsle tas föroreningar bort genom att fotogenen får passera ett filter av lera. Vi antar att leran finns i ett rör och att varje dm med lera tar bort 8 % av föroreningarna. a) Bestäm den exponentialfunktion som visar den procentuella mängden föroreningar som återstår, när fotogenen passerat ett rör med x dm lera. Potens- och exponentialfunktioner - 29

30 b) Hur många procent föroreningar finns kvar efter att fotogenen passerat 3 dm lera? c) Hur tjockt skall lerlagret vara för att det bara skall återstå 5 % föroreningar? V4.12 Tabellen nedan används för att räkna ut resultatet i tiokamp eller femkamp för seniorer. Formler för beräkning av poäng är t ex: Löpning P = a(b M) c Hopp/kast P = a(m b) c där P är den erhållna poängen. Den skall anges i heltal, utan avrundning uppåt eller nedåt. Talen a, b, och c är konstanter. M = resultatet angett i måttenheter enligt nedan, b är det bästa resultat som enligt gällande poängtal skall ge 0 poäng. Herrgrenar Enhet a b c 100 m s 25, ,00 1, m s 1, ,00 1, m s 0, ,0 1, m häck s 5, ,50 1,92 Höjdhopp cm 0, ,42 Stavhopp cm 0, ,35 Längdhopp cm 0, ,40 Kula m 51,39 1,50 1,05 Diskus m 12,91 4,00 1,10 Spjut m 10,14 7,00 1,08 Damgrenar 200 m s 4, ,50 1, m s 0, ,0 1, m häck s 9, ,70 1,835 Höjdhopp cm 1, ,348 Längdhopp cm 0, ,41 Kula m 56,0211 1,50 1,05 Spjut m 15,9803 3,80 1,04 Jackie Joyner-Kersee röstades 2001 fram av en expertpanel på uppdrag av nyhetsbyrån AP som talets största kvinnliga sommarolympier. Hon slutade tävla 1998 och hann tävla i fyra OS vann hon både sjukamp hennes världsrekord på 7291 poäng står sig fortfarande och längd. a) Vilken poäng ger ett lyckat hopp på höjden 194 cm i damernas sjukamp? b) Eva var missnöjd ned sina 715 poäng i höjdhopp. Hur högt hoppade hon? c) Erik springer 110 m häck på 15,0 sek. Hur många poäng fick han? Potens- och exponentialfunktioner - 30

31 V4.13 (x-a) Den röda kurvan har ekvationen y = 5 k + b. För grafen ovan gäller a = 4 och b = 2. Kurvan tycks skär x-axeln för intervallet 0 < x < 1. Låt oss beräkna approximativt var. När man talar om kurvan eller funktionen så kallas detta värde för (x-a) ett nollställe. Om man diskuterar ekvationen 5k + b = 0 (x-4) kallas x-värdet för ekvations rot. 1,3 = 2/5 vilket ger (x 4) = lg 0,4 / lg 1,3 vilket medför x = 0,51 x Vilket nollställe har funktionen y = 5 k 10,4? lg y lg x + y V4.14 Lös xy = 1000 x = 110 (Skolornas matematiktävling, kvalificeringsomgången 1977) Potens- och exponentialfunktioner - 31

32 Teori Logaritmlagar lg x + lg y = lg xy (endast c-kurs) Enligt definitionen på logaritmer gäller att x = 10 lgx och y = 10 lgy, där x och y är positiva tal. Alltså är xy = 10 lgx 10 lgy. Enligt potenslagarna fås xy = 10 lgx + lgy. Men enligt definitionen på logaritm är xy = 10 lg(xy). Alltså får vi 10 lg(xy) = 10 lgx + lgy. Identifikation av exponenterna ger lg x + lg y = lg xy x p Försök själv att bevisa lg x lg y = lg och lg x = p lg x y G4.15 Lös följande ekvationer exakt a) lg x = lg 5 + lg 7 b) lg x = lg 3 + 2lg 5 c) 2lg x = lg 3 lg 6 d) lg x = 2lg 3 e) 2lg x = lg 81 G4.16 I en fabrik ger en maskin ljudnivån 74 db. Vilken ljudnivå ger två sådana maskiner som placeras bredvid varandra? Vi utgår från att ljudintensiteten från de två maskinerna adderas. Formeln för sambandet mellan ljudnivå, L (mätt i decibel, db) och I ljudintensitet, I (W/m 2 ) är L = 10lg, I 0 = 0, W/m 2. I G4.17 Den minsta intensitet som behövs för att vi skall höra ett ljud är 1, W/m 2. Tröskelvärdet för smärta är 1,2 W/m 2. Intensiteten för hård rockmusik är 0,15 W/m 2. Beräkna ljudnivån i dessa tre fall. 0 Potens- och exponentialfunktioner - 32

33 Tema Jordbävningar En jordbävning är ett plötsligt kraftigt brott i jordskorpan som orsakas av mekaniska spänningar och åstadkommer skalv i marken. Med epicentrum menas området på jordytan rakt ovanför brottet. Vid en jordbävning skakar och vibrerar marken. En stor jordbävning är en dramatisk upplevelse. Vibrationerna ökar i amplitud. Sprickor i marken kan uppkomma och mullrande ljud är vanligt. Stora skador på liv och egendom kan följa en jordbävning. Byggnader och broar kan störta samman och dammar och vattenledningar kan brista och orsaka förlust av människoliv. En jordbävnings intensitet uttrycks som en siffra på den 12-gradiga Mercalliskalan, medan dess magnitud (mått på energiutlösningen vid fokus) anges med en siffra på den av Charles Richter utvecklade s k Richterskalan. Mercalliskalan utarbetades av den italienske seismologen och vulkanologen Giuseppe Mercalli ( ) för att beskriva en jordbävnings katastrofgrad. Den ursprungliga Mercalliskalan har flera gånger anpassats till nya normer för broar, dammar och andra byggnadsverk. Ofta kallas den därför modifierad Mercalliskala. Kartan ovan visar epicentras lägen. Epicentrum är området rakt över brottet i jordskorpan som uppstår vid jordbävningen De större jordbävningarna uppkommer huvudsakligen i speciella områden där jordmantelns plattor glider förbi varandra. Då lagras stora Potens- och exponentialfunktioner - 33

34 mängder energi som kan utlösas i jordbävningar. San Andreas-förkastningen i sydvästra USA är ett sådant område. I San Fransisco som ligger i det området skedde år 1906 en svår jordbävning med åtföljande bränder. Det förekommer vida fler jordbävningar med låg magnitud än med hög. Tabellen bredvid visar detta. Richter definierade magnituden som = Magnitud (M) Antal per år (N) I M lg där I är den största S amplituden (mätt i µm) i den vågform som registreras på en seismograf 10 mil från epicentrum. S är intensiteten av en standardjordbävning där amplituden är 1µm. G4.18 Vilken magnitud har en standardjordbävning? V4.19 Jordbävningen 1906 i San Fransisco mätte 8,3 på richterskalan. Samma år inträffade en jordbävning i Sydamerika som var fyra gånger så stark. (Intensiteten var fyra gånger den i San Fransisco.) Vilket värde på richterskalan uppmätte jordbävningen i Sydamerika? V4.20 En nyligen inträffad jordbävning i San Fransisco hade värdet 7,1 på richterskalan. Hur många gånger intensivare var den som skedde 1906? Man kan använda magnituden hos en jordbävning för att beräkna den frigjorda energin. I vissa källor hittar mana formeln: lg E = 4,4 + 1,5M, där E är den frigjorda energin i Joule och M är magnituden. G4.21 Den stora jordbävningen i Lissabon 1755 har uppskattats till 9 på richterskalan. Vilken energi frigjordes vid denna jordbävning? V4.22 En jordbävning frigör lika mycket energi som hela Sveriges energiåtgång (371 TWh) under ett år. Vilken är jordbävningens magnitud? Potens- och exponentialfunktioner - 34

35 Facit 1.1 a) 10 5,1 b) 10 5,6 c) 10 17,4 d) 10 13,6 e) f) g) h) 10 4,5 10 3,5 10 8, i) j) 10 k) ,5 1.2 a) 6-3 ; 6-2 ; 6-1 ; 6 0 ; ; b) 0,6 3 ; 0,6 2 0,6 0 ; 0,6-1 0,6-2 ; 0,6-3 c) Om basen är större än 1 så växer potensen med stigande exponent, annars tvärtom 1.3 a) a 11 b) a m+1 c) a 4m d) a 2m-3 e) a 6m-2 f) a 6 g) a 9 h) a m 1.4 a) 3 b) 9 c) 4 d) 1/4 1.5 a) 1/2 a a a 1/2 a ( ) 1/2 b = b = b = b e) 1 f) 0,2 g) 10 h) 2 i) 1/2 j) 0,5 b) ( a) = ( a ) = ( a ) = a m 1/2 m m 1/2 m c) 1.6 a) b) c) d) e) f) g) h) 2 2 b a = b a = b a 0,5 3 = 3 3/2 27 = = 2 1/3 3 4 = 4 1/3 4 8 = 2 0,5 3 1/4 3 = 3 2 = = 0,5 1/6 i) 4 = 2 8 0,5 j) 3 1,5 ( 3) = 3 k) 2 1/ = l) m) 3 64 = = 2 n) = 3 Potens- och exponentialfunktioner - 35

36 1.7 a), b) och c) 1.8 a) (3x) 3 = 27x En lösning är x = 2 x x x 4 = 3x 9x 2 2 b) ( ) = c) ( ) 1.11 a) Om vi kvadrerar bägge leden får vi: 2x + 1 = 25 med lösningen x = 12. Eftersom = 5 är dessutom detta en korrekt lösning. b) x = 16 c) x = 3 d) 2x+ 1 = x 1 2x + 1 = (x 1) 2 2x + 1 = x 2 2x + 1 e) f) g) x 2 4x = 0 x 1 = 4 och (x 2 = 0 ingen lösning eftersom 2x + 1 x 1 i detta fall. 3x 2 = 2 x Kvadrering ger 3x 2 = (2 x) 3x 2 = 4 4x+ x x 7x+ 6 = 0 x = 6 eller x = 1 endast x = 1 ger V.L=H.L 2 3x 2 = 2 x Kvadrering ger 3x 2 = 4 4x+ x 2x + 4x 6 = 0 x + 2x 3 = 0 x = 1 eller x = 3 Bägge talen ger V.L.=H.L. 13 4x + x = x = 2 x 2 2 Kvadrering ger 13 4x = 4 4x+ x x = 9 x = ± 3 Endast x = 3 ger V.L.=H.L. x 7x V1.12 Antag att antalet svanar är x. Alltså 10 x = x 10 x = x 21x 49x 221x 100x = = x x + = 0 x = ± ( ) x 1 = 144 (x 2 = 0,327 stämmer inte vid kontroll) kr personer Bq 2.4 y = konstant 3 x % 2.6 Om basen > 1 och exponenten är x. så är funktionen växande Om basen < 1 och exponenten är x. så är funktionen avtagande 2.7a) Lastbilen kostade som ny kr. b) Lastbilens värde minskar med 20 % per år. Om basen > 1 och exponenten är -x. så är funktionen avtagande Om basen < 1 och exponenten är x så är funktionen växande Potens- och exponentialfunktioner - 36

37 c) Lastbilens värde är kr efter tre år. d) Olikheten gäller för de tidpunkter som lastbilen är värd mindre än kr. 2.8a) Efter 1 timme är temperaturen 80 0,92 C = 74 C b) y = 80 0,92 x där y är nyponsoppans temperatur efter x timmar. c) Efter 5 timmar är temperaturen 80 0,92 5 = 53 C 2.9 a) f(x) = 50 1,62 x c) 2400 kaniner d) 8,5 månader 2.10 Formeln för ljusintensiteten, y, efter x reflektioner är y = B 0,90 x där B är den oreflekterade, ursprungliga intensiteten. Efter 5 reflektioner är ljusintensiteten B 0,90 5 = 0,59 B. Detta innebär att 59% av intensiteten är kvar, dvs 41% har gått förlorad En formel för antalet bakterier är y = x där x är antalet dygn efter kl 7.00 den första måndagen. 5 Den efterföljande måndagen kl har x-värdet 7 h = 7, 21h. Alltså är antalet 24 bakterier då y(7,21) = ,21 bakterier = 2, bakterier (a) innebär att lönen efter x år är y där y = x (b) innebär att y = ,095 x Potens- och exponentialfunktioner - 37

38 Vi åskådliggör de bägge funktionerna i ett koordinatsystem På kort sikt är den linjära modellen bäst men efter det sjunde året tjänar han mest på den exponentiella. Kommer han att vara trogen sin tjänst så länge? Man kanske även skall se till värdet av en högre lön under 6 år ,007 a) y(5)=b 2 5 / = 0,56B Det finns kvar 56% efter 5 timmar. b) Halveringstiden är 6,007 h dvs 6 h och 25 s / 6,007 c) y( ) = B 2 = 0 B Räknare ger värdet 0. Stämmer detta? d) y = B 2 x/ 6, 007 = B (2-1/6,007 ) -x = B 0,891 x 2.14 a) 6000 bakterier b) 6 timmar c) 1500 = 6000 k 6 Alltså är k = (1500/6000) 1/6 = 0,79 Antalet bakterier minskar med 21 % per min Om vi använder formeln y(x)=b k x får vi 1,30 B= B k 100 Alltså är k = 1,30 (1/100) med lösningen k = 1,003. Koldioxidhalten ökar med 0,3 % varje år a) Om vi använder formeln y(x)=b k x för aktiviteten får vi 50 = 100 k 30 som har lösningen k = 0,5 1/30 = 0,977 c) Strålningen är 1% av den ursprungliga om 200 år. b) Potens- och exponentialfunktioner - 38

39 2.17 Rita ett diagram med något verktyg utifrån formeln y(x)=100 2 x / 29 om vi sätter begynnelsevärdet till 100 Ön blir beboelig om 192 år (1% av aktiviteten återstår). 3.1 a) x = 1,47 b) x = 93,7 c) x = 13,3 d) x = 12,2 e) x = 1,54 f) x = 4,27 g) x = 0,0191 h) x = 9, Hyran y kr/mån vid tiden x år är y=1900k x. Det gäller att x=9 den 1 jan Vi sätter in värdena x = 9 och y=3500 i formeln och får: 3500 =1900k 9 k = (3500/1900) 1/9. k = 1,070. Detta är ändringsfaktorn. Den motsvarar en ökning med 7,0% Den årliga procentuella hyreshöjningen är 7,0%. 3.3 Antag att ändringsfaktorn är k under perioden. Alltså är k 3 = k = (20000/17120) (1/3) k = 1,053 Alltså är räntesatsen 5,3 % under perioden 3.4 Vi får enligt texten: har samma högerled får vi: 0,2 0, = C och 50 T = C Eftersom båda ekvationerna 0,2 0,2 0, = 50 T 1,2 1,7411 = T T = (1,2 1,7411) 40min 3.5 Målningens värde är x år efter : y = 75000k x = 75000k 7 k = 1,174 kr år Den årliga procentuella värdeökningen är 17%. 3.6 a) Vi antar att råvarupriset sjunker enligt y =5500k x Alltså 4500 =5500k x vilket ger k =0,935. Alltså y =5500 0,935 x Efter 7 månader är priset ,935 7 = = 3440 kr/ton b) Eftersom råvarupriset sjunker linjärt får vi formeln y = ( )x/ vilket förenklas till y = x/ Efter 7 månader är priset ( / ) kr/ton = 3170 kr/ton Potens- och exponentialfunktioner - 39

40 3.7 a) Eftersom y = 220 1,12 x får vi arean som täcks av näckrosor är 220 1,12 15 =1200m 2. b) Eftersom arean fördubblas får vi 440 = 220 1,12 x vilket ger x = 6,1 (dygn) 3.8 a) Eftersom y(x) = B 0,917 x får vi 390 = B 0,917 7 där B är aktiviteten den 9 maj Aktiviteten den 9 maj är 715 MBq b) Eftersom y(x) = 0,917 x får vi 0, /6 = 76 MBQ 3.9 Eftersom formeln för exponentiell förändring är y(x) = Bk x får vi ½ = k 20. Alltså blir k = 0,966 Efter 10 dygn finns det kvar 0, = 0,71= 71% Efter 15 dygn är den kvarvarande mängden ogräsmedel 42% 3.11 Enligt formeln för exponentiell förändring är y(x) = B k x får vi 25,6 = 28 k 3.. Lösningen till ekvationen är k = 0, Alltså gäller ekvationen 36,9 = 28 0,97057 x vilken har lösningen x = 9. Nio timmar före kl den aktuella dagen är kl Jokern har begått brottet Vi utgår från modellen y(x) = B k x Alltså gäller 0,50 = 0,90 k 0,5 Lösning till exponentialfunktionen är k = 0,3086. Alltså gäller formeln y(x) = 0,9 0,3086 x a) På ett djup av 1m finns 0,9 0, = 28% av strålningen kvar. b) På ett djup av 3 dm finns 0,9 0,3086 0,3 = 63% av strålningen kvar Eftersom T 2 = R 3 får vi T 2 = 9 3 vilket ger T = 27 år 3.14 (88/365,24) 2 = (RMerkurios) 3 vilket ger R Merkurios = 0,39 SU 84,01 2 = (RUranus) 3 vilket ger R Uranus = 19 SU 3.15 a) Eftersom pv 1,40 = C får vi, om p 0 och p är det ursprungliga trycket resp sluttrycket och V 0 är den ursprungliga volymen: p 0V 1,40 = p(v 0 /8) 1,40 Alltså är p/p 0 = 8 1,40 = 18 Trycket blir 18 gånger så stort som före kompressionen b) p 0V 0 1,40 = 3p 0V 1,4 ( V/V 0 ) 1,40 = 1/3 (V/V 0) =(1/3) 1 / 1,40 eller (V/V 0) = 0,46 Volymen minskar till 46% av den ursprungliga volymen y = k a λ och 2y = k x λ. Dividera ekvationerna 2y / y = (kx / ka) λ x = a 2 (1/ λ) Potens- och exponentialfunktioner - 40

41 3.17 Diagrammet visar skärningspunkten (3,2) 3.18a) De båda funktionerna är y = 2 1,20 x och y= 3 1,4 x b) Medicinen M 1 har den högsta koncentrationen vid 8 h och M 2 vid 4 h Grafen till funktionen y = 2 x 9x +5 skär x-axeln i de två nämnda intervallen. Alltså är dessa nollställen samtidigt rötter till ekvationen 2 x 9x +5 = 0 eller 2 x = 9x a) 3 b) -4 c) 5 d) a) x = lg 6,5 = 0,81 b) c) lg 0, 78 x = = 0, 10 lg12 lg 85, / 4 x = = 79, lg 11, d) lg( 45 / 8, 3) x = = 11, lg 4, 87 lg 55, x = = 0, , x = 10 = 32000, x = ( )/ 2 2, 8 x = 1, = ,13 x hjortstammen ökat till lg( / 14000) = 68, lg 1, 13 x Efter 6,8 år har Potens- och exponentialfunktioner - 41

42 4.4 Formeln y = ,55 x ger antalet celler som finns kvar efter x min. Ekvationen 1000 = ,55 x ger tidpunkten då antalet celler är Efter 14 min finns det färre än 1000 celler. 4.5 y = 330k x ; 460 = 330k 5 ; k = 1,069 a) Den genomsnittliga procentuella ökningen per år av antalet älgar är 6,9% b) 800 = 330 1,069 x Resultat: Efter 13 år 4.6 Definition på ph: ph = lg [H + ] a) ph = lg(10-6 ) = 6 b) ph = lg(0,0034) = 2,5 c) ph = lg(2, ) = 5,6 4.7 a) Eftersom P(h) = P 0 0,88 h får vi P(4,807) = 101,3 0,88 4,807 kpa = 54,8 kpa b) 77 = 101,3 0,88 h.. Alltså är h = 2,15. På höjden 2150 m är lufttrycket 77 kpa c) 94,8 =99,4 0,88 h Bergets topp är 370 m högre än dess fot. 4.8 Antalet bakterier är 7300 efter 6 dagar. 4.9a) Temperaturen i nyponsoppan efter 4 h: ,93 4 = 65ºC b) 40 = ,93 t vilket ger t = lg[(40 22)/58]/lg0,93 = 16 h c) Nej 4.10 Enligt formeln T = T 0 k t får vi 65 = 80 k 3 vilket ger k = 0,933. Antag att han skall duscha t h efter kl för att temperaturen skall vara 40 C. Vi får ekvationen 40 = 80 0,933 t med lösningen 10. Han skall duscha kl 7.00 dagen efter. 4.11a) Exponentialfunktionen kan skrivas y(x) = 100 0,92 x, där y(x) är den andel föroreningar som återstår när fotogen passerat x dm lera. b) Efter tre dm lera återstår 100 0,92 3 = 78% föroreningar c) 5 = 100 0,92 x med lösningen x = 36. Om fotogenen passerar 3,6 m lera så återstår 5% föroreningar. 4.12a) P = 1,84523 (194 75) 1,348 = 1158 poäng b) 715 = 1,84523(x 75) 1,348 Þ (x 75) = (715/1,84523) 1/1,348 Þ (x 75)=83 Eva hoppade 158 cm. P = 5,74352(28,50 15) 1,92 = 850 poäng 4.13 x=2, Den första ekvationen kan skrivas om till: (10 0,5 lg x lg y ) ,5 lg x lg y = 110 med substitution a = 10 0,5 lg x lg y får vi: a 2 + a 110 = 0 med den positiva lösningen a = 10 Alltså är 0,5 lg x lg y = 1 vilket medför lg x lg y = 2 (A) Den andra ekvationen ger lg x + lg y = 3 (B) (A) och (B) ger lg x = 1 och lg y= 2. Resultat: x = 10 och y = 100 Potens- och exponentialfunktioner - 42

43 4.15a) lg x = lg 5 + lg 7 = lg 35 Alltså är x = 35 b) lg x = lg3 +2lg5 = lg3 + lg 25 = lg 75 x = 75 c) x = 0,5 0,5 d) x = 9 e) x = Vi vill veta ljudnivån L för två maskiner med lika hög intensitet på ljudet. 74 =10lg I 2 ; 10lg I = 10lg2 + 10lg I = = 77 db I 0 I 0 I L = 10lg 1, , , 15 c) L = 10lg 0, = 115 db = 4,1 db b) L = 10lg 12, 0, Magnituden hos en standardjordbävning är lg(s/s) = 0 12 = 124 db 4.19 För jordbävningen i San Francisco gäller 8,3 = lg(i/s). För den i Sydamerika gäller M = lg(4i/s) = lg4 + lg(i/s). Jordbävningen i Sydamerika uppmätte 8,9 på Richterskalan 4.20 Antag att år 1916 inträffade jordbävningen i San F. var x gånger intensivare än den nyligen inträffade. 8,3 = lg(xi/s) [= lg x + lg(i/s) = lg x + 7,1. Alltså 8,3 = lg x + lg(i/s). Den år 1916 inträffade jordbävningen i San F. var 16 gånger intensivare än den nyligen inträffade Eftersom lge = 4,4 + 1,5M får vi: lg E = 4,4 + 1,5 9. Den frigjorda energin är 7, joule lg( ) = 4,4 + 1,5M vilket ger M = 9,2. Potens- och exponentialfunktioner - 43