Tentamen Metoder för ekonomisk analys

Transkript

1 Tentamen Metoder för ekonomisk analys Instruktioner: Denna tentamen består av två delar. Del 1 skall lösas utan miniräknare. När uppgifterna på del löses får miniräknare användas. Miniräknaren ska ha tomt minne. Miniräkaren får lov att vara grafritande (t.ex. TI-8, TI-83 eller TI-84). Miniräknaren får inte lov att kunna algebraiskt lösa ekvationer, derivera, integrera, manipulera uttryck eller liknande. Det innebär att man inte får använda t.ex. TI89 eller TI-Nspire, eftersom dessa har CAS-systemet (Computer Algebra System, datoralgebrasystem). OBS! Mellan kl och får miniräknare inte användas. OBS! Kl samlar tentavakterna in svaren frågorna på del 1. Efter detta får inte ytterligare svar på del 1 lämnas in. Efter att svaren på del 1 samlats in får man använda miniräknare. Det krävs att du skriver ner vad du gör, att du förklarar dina tankegångar och att du ritar figurer vid behov. Du måste skriva läsligt. Det ska tydligt framgå vad som är själva svaret.

2 Del 1. Att lösas utan miniräknare Svaren på frågorna i del 1 samlas in av tentavakterna kl Fråga 1 (8 p) a Lös följande ekvationer ( p) i 5 x 3 = x+17 5 ii x 8x + 98 = 0 b Lös ut x ur: ( p) i a x = b c ii x 0, b = c c Beräkna ( p) i 4,5 ii ln(e e 5 ) d Lös detta ekvationssystem ( p) x + 5y = 4 x - 3y = - 9 i Genom att räkna algebraiskt (dvs. helt vanligt) ii Genom att rita grafiskt

3 Fråga (8 p) Ett företag producerar tröjor som säljs för 80 kr styck. Antalet producerade plagg per dag betecknas med x. Intäkten per dag genom försäljning av dessa plagg är därmed en funktion av x och betecknas med f(x). Kostnaderna per dag för produktionen av plaggen i kronor ges av funktionen g(x), där g(x) = 400 x a En viss dag var produktionskostnaderna 5600 kr. Hur många klädesplagg producerades? (3 p) b Företaget kan producera max 144 plagg per dag. Rita både f(x) och g(x) i samma diagram. (Tips: börja med att göra en värdetabell med x-värden som är lätta att räkna ut både g(x) och f(x) för, tex x=0, x=9, x=5, ) (1 p) c Besvara approximativt följande två frågor genom att avläsa i digrammet: Hur stor måste produktionen per dag minst vara för att ge företaget vinst? Hur stor dagsproduktion ger en vinst på 3000 kr per dag? (Ditt svar får avvika högst 10% från det exakta svaret.) (4 p) Fråga 3 (6 p) a Antag att z = 3x + xy + ln (y + 1) + 5. Vad är differentialen till z? (3 p) b Finn z för följande fall: (3 p) t z = F(x, = 3x + 4y 3, x = t + s, y = st

4 Fråga 4 (8 p) a Finn de stationära punkterna till följande funktion och ange (om det är möjligt) om de är lokala maximipunkter, lokala minimipunkter eller sadelpunkter. (Du ska studera första och andra ordningens villkor på det vanliga sättet.) (5 p) f ( x, = x y b I uppgift a) fann du en stationär punkt som du inte kunde klassificera med hjälp av andra ordningens villkor. Du ska nu analysera denna punkt ytterligare. Använd inte andra ordningens villkor, utan resonera med hjälp av din allmänna matematiska kunskap och förståelse, och försök avgöra vilken sorts punkt det rör sig om. Om det är en lokal maximipunkt/minimipunkt, avgör även huruvida det samtidigt är en global maximipunkt/minimipunkt. Motivera ditt svar noggrant. (3 p)

5 Del. Att lösas med miniräknare OBS! Alla svar ska motiveras lika noggrant när man har tillgång till miniräknare som när man inte har tillgång till miniräknare. OBS! Hjälpmedel: Miniräknare med tomt minne. Fråga 5 (8 p) 3 3 a Givet x + xy + y = 11 (4 p) i Hitta dy dx genom implicit derivering. ii Vad är dy dx i punkten (x, = (, 1)? b Antag att efterfrågefunktionen är P( Q) Q = 74 och utbudsfunktionen är P ( Q) = ( Q + ) Beräkna vilken kvantitet som kommer produceras, vad priset blir, samt vad konsumentöverskottet och producentöverskottet blir. (4 p) Fråga 6 (8 p) a Finn maximum till funktionen f ( x, = 3x + y under bivillkoret g ( x, = x + y = 9. Använd Lagrangemetoden. Du behöver inte kontrollera andra ordningens villkor. (5 p) b Åskådliggör din lösning på a)-frågan grafiskt genom att rita upp ett par lämpliga nivåkurvor för f ( x, tillsammans med grafen för x + y = 9. (3 p)

6 Fråga 7 (8 p) En varg har blivit skjuten av en tjuvskytt. Du, som är känd under smeknamnet Shärlock Holm, är ombedd att utreda fallet. De tre misstänkta till dådet, Darth Vadar, Jokern och Al Capone har alla alibi för dagen utom under följande tider. Darth har inget alibi för tiden kl den aktuella dagen. Jokern har inget alibi för tiden kl den aktuella dagen. Al har inget alibi för tiden kl den aktuella dagen De misstänkta kan endast ha begått brottet under den tidsperiod de inte har alibi. Ditt uppdrag, som du väljer att acceptera, är att fastställa tidpunkten för dådet och besvara fråga vem av de misstänkta som kan ha begått brottet. För att bestämma tidpunkten för vargens död mäter du dess kroppstemperatur vid två tillfällen. Den första mätningen gör du kl den dag vargen blev skjuten och vargens temperatur är då 8,0 grader. Tre timmar senare mäter du vargens temperatur till 5,6 grader. Du antar att kroppstemperaturen efter vargens död avtar exponentiellt med tiden och att en levande vargs kroppstemperatur är 36,9 grader. Vem av de misstänkta kan ha begått brottet? Fråga 8 (6 p) Antag att de stokastiska variablerna X och Y har följande simultana sannolikhetsfunktion X = 0 X = 1 Y = 0 0,3 0, Y = 1 0,5 0,5 i Vad är den betingade sannolikhetsfunktionen för Y givet att X = 1? (4 p) ii Är X och Y oberoende? ( p)