Kompendium i Algebra, del 1 för fysikinriktade kandidatprogram. Rikard Bøgvad och Paul Vaderlind

Transkript

1 Kompendium i Algebra, del 1 för fysikinriktade kandidatprogram Rikard Bøgvad och Paul Vaderlind

2

3 Innehåll Kapitel 1. Algebraiska uttryck Varför algebra när det finns miniräknare? 1 2. Räkneregler Parentes om prioriteringsregler Fler räkneregler Konjugat- och kvadreringsreglerna Räkning med bråk, förlängning Förstagradsekvationer Polynom Varför då? Definitioner Exkurs om prickar Andragradspolynom och ekvationer Förstagradspolynom Andragradspolynom Bevis av sats Kvadratkomplettering Hur löser jag x x + 37 = 0 förresten? Fler exempel Övningar. 19 Kapitel 2. Komplexa tal Introduktion Bakgrund Definition Att räkna på riktigt med komplexa tal Komplexa talplanet Division av komplexa tal Mer om konjugat Absolutbelopp av komplexa tal Andragradsekvationer Kommentar till lösningen Övningar. 34 Kapitel 3. Komplexa tal: polär form, och binomiska ekvationer. 35 iii

4 iv INNEHÅLL 1. Polär representation Polära koordinater i planet Polära koordinater i komplexa talplanet Multiplikation och division av komplexa tal i polär representation Binomiska ekvationer På återbesök hos komplexa andragradsekvationer Övningar 47 Kapitel 4. Vektorer i planet och rummet Riktade sträckor och vektorer Riktade sträckor Vektorer Operationer på vektorer Några exempel Skalärprodukt En anmärkning* Övningar 69 Kapitel 5. Bas och koordinatsystem Bas och ON-bas Bas och koordinater Bas och koordinater ON-bas Ortogonal projektion och Gram-Schmidts ortogonalisering Koordinatsystem Kartesiskt koordinatsystem Basbyte Övningar 86 Kapitel 6. Geometri: linjer och plan Linjer i planet och i rummet Parameterframställning av en linje Ekvation på normalform för en linje Plan i rummet Parameterframställning av ett plan i rummet Ekvation på normalform för ett plan Vektorprodukt Räknelagar Vektorprodukt i koordinatform Användbarhet 1: en vektor som är vinkelrät mot två givna Användbarhet 2: areor Avstånd mellan en punkt och ett plan Övningar 116

5 INNEHÅLL v Appendix till kapitel Bevis av egenskap (g) för vektorprodukten, distributiva lagen 119 Kapitel 7. Potenser och aritmetiska och geometriska summor Potenser Räkneregler för potenser Rationella tal som exponenter T o m reella tal kan vara exponenter! Grafer för potensfunktioner Aritmetiska följder och summor Geometriska följder och summor Summa och produktnotation Övningar. 136 Kapitel 8. Polynom Polynommultiplikation och division Delbarhet av polynom Multiplikation av polynom Divisionsalgoritmen Faktorsatsen Gissa rationella rötter Fundamentalsatsen Polynom med reella koefficienter Samband mellan koefficienter och rötter Partialbråksuppdelning Partialbråksuppdelning när det finns kvadratiska faktorer i nämnaren Övningar. 158 Kapitel 9. Facit till vissa uppgifter 160

6

7 KAPITEL 1 Algebraiska uttryck. We may compare a man in the process of computing a real number to a machine which is only capable of a finite number of conditions q 1, q 2,..., q R which will be called m-configurations. A.Turing 1. Varför algebra när det finns miniräknare? Du har förstås stött på många algebraiska samband inom naturvetenskap, t ex hur tillryggalagd sträcka (kalla den s) beror av (konstant) hastighet (v) och tid (t): s = tv. Vi behöver inte ha konkreta tal för att kunna dra slutsatser ur detta samband (även kallat Svenssons TV efter en mytisk mattelärare Svensson...). Ett väldigt banalt exempel: vi kan ju t ex se att dubblar vi tiden så blir den färdade sträckan s 2 dubbelt så lång: s 2 = (t + t)v = tv + tv = 2s. Beroende på vad man vet och vill veta är det förstås också behändigt att kunna omformulera s = tv till v = s/t eller t = s/v. Detta är exempel där vi räknar algebraiskt med reella tal utan att behöva veta vad de är och får samband som gäller för alla tal. Matematikens effektivitet är just sådan allmängiltighet. (Ja, kanske inte just i det exemplet, men det är bara att titta i vilken fysik- eller kemibok som helst för att se häftigare saker.) Precis som i exemplet använder algebraiska räkningar symboler istället för tal - oftast bokstäver, ibland också av lång tradition bokstäver från det grekiska alfabetet. 2. Räkneregler. För att kunna genomföra algebraiska räkningar krävs en mer medveten och systematisk styrning av räkningarna än vid vanlig sifferräkning. Vissa tekniker som i konkreta räkningar blivit så självklara att man inte ser dem, är nu kraftfulla verktyg för att förenkla uttryck. En del av dem kallas räkneregler eller räknelagar. 1

8 2 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. Det banalaste exemplet är kanske att vi kan byta ordning vid multiplikation eller addition ab = ba, (1) a + b = b + a. Dessa två räkneregler, som för den som tycker om terminologi kallas kommutativa räknelagen för multiplikation respektive addition, är sanna för alla tal. T ex säger (1) att 2 3 = 3 2, men också att 217 3x = 3x 217 för ett tal x, vilket som helst. (Vi vet förstås också att 217 3x = (217 3)x = 651x). (Observera att vi för det mesta inte bryr oss om att skriva ut multiplikationstecknet, när det är frågan om multiplikation av symboler: ab ska alltså tolkas som a gånger b. Däremot skriver vi 2 3 för att skilja det från 23.) 2.1. Parentes om prioriteringsregler. För att innebörden av ett uttryck som ska vara entydig har man enats om vilka operationer som ska utföras först, en s k prioriteringsordning. Multiplikation och division genomförs före addition och subtraktion. Alltså är = 17. Vill man upphäva denna ordning och istället genomföra additionen först, använder man parenteser, och skriver t ex (2 + 3)5 = 25. På samma sätt är 3 + 3/6 = 3.5 (observera notationen 1 ) medan (3 + 3)/6 = 1. Operationerna delas ofta i två grupper: i den ena gruppen ingår addition och subtraktion och i den andra multiplikation och division. Operationerna i den andra gruppen utförs alltså före operationenerna i den första. Inom samma grupp utförs operationerna från vänster till höger. Alltså är 3/3 3 = (3/3) 3 = 3, och inte 3/(3 3) = 1/3. Eftersom det kan bli missförstånd skadar det inte att använda överflödiga parenteser. Den som vill se fler prioriteringsregler kan googla på Please Excuse My Dear Aunt Sally (en minnesramsa - Parentheses, Exponentiation, Multiplication/Division, Addition/Subtraction - som kodar prioriteringsordningen) på wikipedia. (För övrigt kan wikipedia rekommenderas som komplement till kurslitteraturen för sina välskrivna matteartiklar och bra exempel!) 2.2. Fler räkneregler. Andra exempel på räknelagar är den s k distributiva lagen a(b + c) = ab + ac, (2) eller för fler tal i parentesen, tex 4 stycken, a(b + c + d + e + f) = ab + ac + ad + ae + af, 1 i denna text väljer vi att istället för decimalkomma använda den mera internationellt accepterade decimalpunkten, alltså 3.5 istället för 3,5

9 eller 2. RÄKNEREGLER. 3 a (b + c) = a b c. Exempel 1. Den distributiva lagen talar om hur man kan bli av med parenteser, men man kan också omvänt använda den för att faktorisera 2 uttryck. T ex och x + x 2 = x 1 + xx = x(1 + x), 17x x x 5 = 17(x 2 + x 3 + x 5 ) = 17x 2 (1 + x + x 3 ) Konjugat- och kvadreringsreglerna. Med hjälp av reglerna ovan kan vi förenkla (eller komplicera) algebraiska uttryck. Vi gör härledningen av följande regler kanske pinsamt utförligt, för att illustrera en teknik som är användbar i mer komplicerade sammanhang. Exempel 2. Vi ska visa att (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Distributiva lagen (2) gäller för alla tal, oavsett om de kallas a och b, eller något mer fantasifullt. Så t ex gäller det också att c(a + b) = ca + cb och alltså kan vi tillämpa denna variant på räkneregeln med det speciella talet c = a + b för att få (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = c(a + b) = ca + cb = (a + b)a + (a + b)b. På de två parenteserna i högerledet kan vi tillämpa (2) en gång till: (a + b)a + (a + b)b = aa + ba + ab + bb = a 2 + 2ab + b 2. Du har kanske lärt dig att göra detta som vi beskrev genom rita pilar mellan alla möjliga produkter. Poängen med att göra det på sättet nyss istället är att det är systematiskt och fungerar bättre i mer komplicerade sammanhang, när antalet parenteser är många. Man behöver förstås inte införa något c utan bara tänka sig det. Då ser den första räkningen ut som (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b. Räkneregeln (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, kallas kvadreringsregeln. Man kan se den, liksom de andra, på olika sätt. Startar man med vänsterledet och ersätter det med högerledet har man (lite löst uttryckt) multiplicerat ut parenteserna och förenklat uttrycket. Gör man tvärtom, så faktoriserar man a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 i två faktorer a+b. Beroende på sammanhanget kan man, lite förvirrande, se bägge operationerna som en förenkling. De två olika formerna innehåller ju olika information om samma tal. 2 faktorisera= skriva som en produkt

10 4 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. Exempel 3. Faktorisera 4x 2 + 4xy + y 2. Genom att titta på högerledet i kvadreringsregeln och försöka passa in de givna termerna i detta, ser man att med valet a = 2x och b = y ger kvadreringsregeln 4x 2 + 4xy + y 2 = (2x) (2x)y + y 2 = (2x + y) 2. Nu fler regler. Som i det första exemplet i detta avsnitt kan vi med hjälp av distributiva lagen (2) räkna ut (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd. Ersätter vi i detta uttryck c = a och d = b får vi en användbar regel konjugatregeln (a + b)(a b) = a 2 b 2. (3) Exempel 4. Förenkla (3x+2y)(3x 2y). Konjugatregeln kan tillämpas. De två parenteserna i produkten är nämligen summan av två termer respektive skillnaden av samma två termer. Alltså får vi att produkten är skillnaden av kvadraterna på respektive termer: (3x + 2y)(3x 2y) = (3x) 2 (2y) 2 = 9x 2 4y 2. Omvänt kan vi med konjugatregeln faktorisera 8a 2 b 2 c 2 2a 2 b 2 = 2a 2 b 2 (4c 2 1) = 2a 2 b 2 (2c 1)(2c + 1) Exempel 5. Nu ska vi bege oss bortom futtiga två parenteser. Vi ska visa att (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. Argument: (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) enligt definition av vad exponenter innebär. Nu gäller (2) för alla tal, så t ex gäller det också att c(a + b) = ca + cb och alltså kan vi återigen tillämpa denna räkneregel med c = (a + b) 2 för att först få (a + b) 3 = (a + b) 2 a + (a + b) 2 b = (a 2 + 2ab + b 2 )a + (a 2 + 2ab + b 2 )b (den sista likheten enligt kvadreringsregeln.) Sedan kan vi tillämpa distributiva lagen igen på högerledets två parenteser, och får (a + b) 3 = a 3 + 2aba + b 2 a + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, vilket var vad vi ville inse. (Detta är ett fall av binomialsatsen som beskriver hur koefficienterna ser ut när vi har hur många parenteser som helst, och som gås igenom i en senare kurs).

11 3. RÄKNING MED BRÅK, FÖRLÄNGNING Räkning med bråk, förlängning. Du har säkert stött på uttryck som 1/2, 13/17 och cm 0 / c 2 v 2. Vad det gäller de första (s k heltalsbråk eller rationella tal) är det inget problem att räkna ut, visserligen approximativa, värden för de reella tal de står för, d v s de första decimalerna i deras decimalutvecklingar. (Vi använder ordet reellt tal för ett decimaltal med oändligt antal decimaler 3 ). Men för att förstå och använda den sista typen, - som beskriver hur massan förändras med hastigheten i relativitetsteorin - där de ingående kvantiteterna är okända måste man kunna räkna abstrakt med sådana bråk eller rationella uttryck. Hur man gör detta är formulerat i ett antal räkneregler; så löjligt få att lära sig utantill, att det bara visar hur mycket bättre det är för en lat nöjeslysten person att studera matematik än säg brottsbalken. Vi demonstrerar räknereglerna med ett antal exempel. Det första exemplet demonstrerar hur man kan förlänga och förkorta bråk. Principen är att Här är a, b, d reella tal, och b, d 0. a b = ad bd. Exempel = = sin(x + 2θ) 3x sin(x + 2θ) 1 x + 1 = 2 sin(x + 2θ) = 3x sin(x + 2θ) = 2 3x 1 x + 1 x + 1 x + 1 = x + 1 x + 1 Vi kan använda förlängning tillsammans med konjugatregeln för att förenkla en del algebraiska uttryck som innehåller kvadratrötter. Om p A + q B är ett sådant uttryck kallas p A q B dess konjugat. I det första exemplet nedan förlänger vi ett bråk med konjugatet till 2 3, för att kunna utnyttja konjugatregeln.(detta är ett exempel på ett snyggt trick, som ibland, men tyvärr rätt sällan, är användbart.) Exempel = 1 ( 2 + 3) ( 2 3) ( 2 + 3) = ( 2) 2 ( 3) 2 = = T ex tolkas 4/3 som och 1/2 som eller

12 6 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. Vi behöver också veta hur man tillämpar de fyra räknesätten på bråk (ibland kallade rationella uttryck, kanske för att skilja dem från irrationella utbrott, typ usch), för att få nya rationella uttryck. Addition och subtraktion, sker genom att man förlänger uttrycken, så att de får samma täljare. a b ± c d = ad bd ± bc ad ± bc =. bd bd Exempel 8. Här är några exempel på addition och subtraktion av bråk: (1) (2) (3) (4) 2y + 1 x = = x ± 1 y = y 1 yx ± x 1 yx = y ± x yx = 2y(x 1) x x 1 = 2yx 2y + 1 x (sju termer) = = = 14 3 Multiplikation är enklare att komma ihåg. a b c d = ac bd Exempel 9. (1) = = (2) Låt m = a/b och n = 2a/(x + 1). Då är m 2 n = 2a 3 b 2 (x + 1) Division slutligen, är värst, men lätt att komma ihåg via mellanledet i definitionen nedan: a b c d = a b d c = ad bc. Att dividera med ett bråket c d är alltså samma som att multiplicera med d c.

13 3. RÄKNING MED BRÅK, FÖRLÄNGNING. 7 Några speciella varianter är viktiga att komma ihåg: Exempel c d = d c och 1 1 = d. d (1) Lös x ur ekvationen ax = 7 (som funktion av a) och beräkna sedan x för a = 2/3. Lösning: Genom att dela med a (antagande är att a 0, eftersom om a = 0 får vi ekvationen 0 = 7 som ju saknar lösningar) får vi x = 7/a. Om a = 2/3 är alltså x = (2) Låt m = a/b och n = 2a/(x + 1). Då är = = m 2 a2 n = b 2 = a2 (x + 1)2 = 2 4a 2 4a 2 b 2 (x+1) 2 (x + 1)2 4b Förstagradsekvationer. En ekvation har formen uttryck = annat uttryck, där de två uttrycken beror av en eller flera obekanta. Att lösa ekvationen är förstås att hitta de explicita värden på de obekanta som löser ekvationen. Några exempel på ekvationer: (1) 3x = 17 (2) 4x + 17 = 2x + 5 (3) x 3 + 2x + 3 = 2x (4) x 2 + 3a = c + y. De två första ekvationerna är exempel på förstagradsekvationer med en obekant x. Allmänt ser en sådan ut som ax + b = cx + d, där x är obekant och ska bestämmas i termer av a, b, c, d. Till skillnad från nästan alla ekvationer som man stöter på i tillämpningar kan vi, som läsaren vet, faktiskt alltid lösa en sådan ekvation (om det nu finns några lösningar alls)! Senare i kursen ska vi lära oss metoder att lösa system av sådana ekvationer med fler obekanta, och det finns förstås tekniker för att lösa ekvationer approximativt 4. Som enkla fingerövningar löser vi nu två av ekvationerna ovan. Exempel 11. Vi ska lösa ekvationerna (1) och (2). För den första ekvationen är idén att eftersom 3x är lika med 17, så är också 3x delat med 3 lika med 17 delat med 3. Alltså 3x = 17 om och endast om 3x 3 = approximativ lösning = ett närmevärde till en lösning

14 8 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. Detta ger x = 17/3 och ekvationen är löst. För den andra ekvationen, använder vi samma princip: om man multiplicerar med eller adderar lika storheter till bägge sidor av en likhet så fortsätter man att ha likhet. Eliminera först termerna som innehåller x från ena sidan: 4x + 17 = 2x + 5 om och endast om (4x + 17) 2x = (2x + 5) 2x. Förenklar vi den sista ekvationen får vi 2x + 17 = 5. Nu drar vi bort 17 från bägge sidorna av ekvationen: 2x + 17 = 5 om och endast om (2x + 17) 17 = Den sista ekvationen säger att 2x = 12, som vi kan lösa som ekvation (1) genom att vi delar med 2 på bägge sidor. Då får vi till slut x = 6. Från ett abstrakt perspektiv sett så bestod lösningen av ekvationen av att vi hittade en kedja av ekvivalenta ekvationer, d v s andra ekvationer som har precis samma lösningar, och där den sista ekvationen har formen x = tal. 4. Polynom Varför då? Låt oss, för omväxlings skull, ge något slags vidare motivering till varför man ska studera ett begrepp, i det här fallet polynom. Idén bakom matematik är att bygga upp enkla modeller av en komplicerad verklighet. Våra matematiska beskrivningar av verkligheten är faktiskt nästan överdrivet enkla - ta t ex passmyndighetens matematiska modell att en människa har ett precist heltal i centimeter som längd, och jämför med vad som skulle hända om de hade konsulterat en petig algebralektor. En människas längd kan ju variera upp till 4 cm mellan morgon och kväll, och det åtminstone måste man väl ta hänsyn till? Alltså finns det inte ett fixt tal som beskriver avståndet mellan hjässa och fotsula, utan många, ett för varje tidpunkt. Istället för ett enda banalt tal får vi då en varierande längd, som är en härligt komplicerad funktion av tiden på dagen (för att inte tala om månens tidvattenskraft och den valda frisyren, eller hur intressanta kvantmekaniska effekter kan ställa till det). Det hade krävts dagar av intensivt studium bara för att fylla i en rad i passet... och weekendresor ska vi inte ens drömma om. I tillämpningar (som den ovan) förekommer funktioner som man inte har en chans att beräkna explicit, men som man i en förenklad modell av verkligheten mirakulöst kan komma åt. Vi såg att en människas längd är en komplicerad funktion, som vi rått approximerar med ett enda tal, alltså med en konstant funktion. Mer generellt behöver vi ett förråd av enkla funktioner, så enkla att man kan göra något intressant med dem, men tillräckligt komplicerade för att kunna komma i närheten av verkligheten. De enklaste funktionerna i matematiken är de vars värden man kan beräkna genom bara två av de fyra räknesätten - addition och multiplikation

15 4. POLYNOM. 9 - och de kallas polynom eller polynomfunktioner. Exempel på sådana funktioner är f(x) = 2x + 3, g(x) = 2x 2 + 3x + 5 eller h(x) = 1.3x x x. Andra, mer komplicerade funktioner beräknas ofta genom att man approximerar dem med polynom - t ex så ger 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 ett bra närmevärde till exponentialfunktionen e x i ett litet intervall kring 0. (I analysboken finns en systematisk teori för hur man ska hitta vissa sådana polynom, kallade Taylorpolynom.) Miniräknaren, som ju bara behöver beräkna några futtiga, säg åtta, decimaler av oändligt många, fuskar genom att ha inprogrammerat approximerande polynom för alla vanliga funktioner. Polynom utgör alltså en omistlig del av förrådet av modellverktyg av funktioner, och det är detta som ur ett statligt ekonomiskt perspektiv, månande om lönsamma tillämpningar av matematik, motiverar att du ska lära dig allt om dem (sedan tycker ju förstås mattelärarna att de är intressanta, ja, t o m skitkul, men det är en annan sak.) 4.2. Definitioner. Exponenten i den högsta potens av x som förekommer i polynomet kallas graden av polynomet. De tre polynomen i det föregående avsnittet har alltså grad 1, 2 respektive 17. De tal som står framför de olika potenserna av x kallas för polynomets koefficienter. Vill man ge en definition av vad ett polynom är (och inte bara ett antal belysande exempel), så tvingas man bli abstrakt. Ett polynom har en grad (kalla det n), som är vilket heltal större än eller lika med noll som helst, och har vissa koefficienter (kalla dem a 0, a 1,..., a n.) Definition 1. Med ett polynom menas en funktion av typen f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. Koefficienterna a 0, a 1,..., a n antas för närvarande vara reella tal (senare ska vi använda komplexa tal), och n 0 är ett heltal. Om a n 0, så kallas n för polynomets grad och vi skriver grad f = n. Om n = 0, så kallas den konstanta funktionen och polynomet f(x) = a 0 ett konstant polynom. Exempel 12. Polynomet x 3 + 2x + 17 har alltså grad 3 och koefficienterna a 3 = 1, a 2 = 0, a 1 = 2 och a 0 = 17. Två polynom p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 och q(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x+b 0 anses vara lika, p(x) = q(x), om de har samma grad, m = n, och koefficienterna vid motsvarande x-potenser är lika: a i = b i, för i = 0, 1, 2,..., n Exkurs om prickar. Några kanske överbeskyddande ord om prickarna i föregående definition, eftersom vi ska stöta på många sådana. (Det står mer i avsnitten om induktion och logik senare.) Avsikten med formeln för polynomet i

16 10 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. definitionen är att beskriva ett allmänt polynom vilket som helst. Beskrivningen ska vara tillräckligt exakt för att kunna tala om vad som är dess grad och dess koefficienter. Samtidigt vill man att den ska vara enkel och okomplicerad, och framför allt kort. Ta ett annat lite enklare exempel. Vi vill beskriva avtagande följder som startar i ett heltal n, och där nästa tal är n 1 (om nu n 1 0), osv ända tills vi når 0. Alltså följder av typen 5, 4, 3, 2, 1, 0 eller 2, 1, 0 eller bara den överdrivet korta följden 0. Förslagvis beskriver vi sådana följder som n, n 1,..., 1, 0 och n 0. (4) Vad (4) alltså tänks beskriva är hur man från ett tal i följden får nästa (dra bort 1) och när man ska stoppa (när man nått 0, så att man inte fortsätter med en massa läbbiga negativa tal.) De tre prickarna antyder, precis som i formeln i polynomdefinitionen ovan, att läsaren förväntas förstå mönstret. Observera att det är detta mönster som är det viktiga, inte de fyra termer n, n 1,..., 1, 0 som står utskrivna. Ty om vi utan att tänka försöker passa in n = 0, n = 1 eller n = 2 i (4) så får vi problem. Eftersom för t ex n = 1, n 1 = 0, så blir följden 1, 0,..., 1, 0. Vilket ju inte alls var vår avsikt. När man läser (4) ska man alltså identifiera mönstret, och sedan använda detta för att skriva upp de olika följderna: för n = 0, 1, 2, 3 ska (4) alltså läsas som 0 1, 0 2, 1, 0 3, 2, 1, 0 4, 3, 2, 1, 0. Den enda poängen med detta avsnitt är att formeln i definitionen av polynom i föregående avsnitt ska för n = 0, 1, 2, 3 läsas som f(x) = a 0 f(x) = a 1 x + a 0 f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 f(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0. Det är annars alltid en bra idé att skriva ner de enklaste fallen av en ny definition för att få känsla för vad den säger. Då ser man t ex svaret till följande övning: Övning Försök reta din föreläsare på denna kurs genom att påpeka att inte alla polynom kommer att ha ett gradtal enligt definitionen ovan. Det finns nämligen precis ett som inte täcks av definitionen. Vilket? Fråga henne/honom om vilket gradtal hon/han anser att detta polynom har. Jämför med andra gruppers lärare och dra några slutsatser om matematik som exakt vetenskap, och ring kanske sedan till en kvällstidning... eller kanske dra några nyttiga slutsatser.

17 5. ANDRAGRADSPOLYNOM OCH EKVATIONER Andragradspolynom och ekvationer. Vi börjar med att avslöja det mystiska polynomet från övningen ovan. Ni har säkert själva funnit att detta är det konstanta polynomet p(x) = a 0, där konstanten a 0 är 0. Eftersom gradtalet definierades som den högsta x-potensen med en ickenoll koefficient så är det klart att det konstanta polynomet med a 0 = 7 har grad 0: p(x) = 7 = 7 x 0. Om däremot a 0 är 0, alltså p(x) är 0 x 0 så rimmar det illa med kravet om en icke-noll koefficient, som är inbyggd i definitionen av graden. Detta lämnar fältet öppet för hur man vill se noll-polynomet. Ofta väljer man att säga att noll-polynomet saknar grad, men ofta visar det sig vara bekvämt att välja till exempel talet 1 eller som graden för detta polynom. Vi väljer här att säga att noll-polynomet har grad och senare (i kapitel 3) ska vi motivera varför detta är bekvämt. Noll-polynomet är alltså polynomet med alla koefficienter lika med 0: om vi säger att p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 är noll-polynomet så innebär det bara att a n = a n 1 =... = a 1 = a 0 = 0. Vidare, för att elliminera eventuella missförstånd när vi vill säga p(x) är ett noll-polynom med hjälp av symboler, så undviker vi att skriva p(x) = 0, som kan tolkas som en ekvation, och skriver istället p(x) 0. Detta utläses alltså som att polynomet p(x) är identiskt lika med 0, är noll-polynomet. Sammanfattningsvis: Om p(x) 0 så är deg p(x) = Förstagradspolynom. Ett polynom av grad 0, är alltså bara en konstant, betraktad som en funktion, t ex p(x) = 1. Ett polynom av grad 1 är av typen p(x) = ax + b där a 0 och b är reella tal. Ritar man grafen y = p(x) till polynomet får man en rät linje i (x, y)-planet. Koefficienten a är riktningskoefficienten för linjen, medan b kan tolkas som y-koordinaten för skärningen mellan y-axeln och linjen. Vidare är lösningen x = b/a till förstagradsekvationen p(x) = 0 också synlig i grafen. Den är x-koordinaten för skärningen mellan x-axeln och linjen, det enda nollstället till polynomet Andragradspolynom. I den föregående paragrafen fanns ett enkelt exempel på det allmänna problemet att lösa ekvationen f(x) = a, där a är ett fixt tal och f(x) en funktion. Inte ens för polynom kan man lösa detta exakt i allmänhet (men däremot approximativt.) Därför är exempel där vi kan få ett exakt svar viktiga och användbara. Förutom för förstagradspolynom går problemet också att lösa för andragradspolynom. Du har säkert redan sett följande formel. Sats 1. Ekvationen ax 2 + bx + c = 0

18 12 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. 0, b y ax b b a, 0 x Figur 1. Grafen till ett förstagradspolynom. (där a 0 så att vänsterledet verkligen är ett polynom av grad 2) har de två lösningarna (också kallade ekvationens rötter) x = b ± b 2 4ac, 2a om uttrycket b 2 4ac (som kallas diskriminanten till polynomet ax 2 + bx + c) under rottecknet är ett icke-negativt tal. Om det sista villkoret inte gäller och alltså b 2 4ac < 0 så saknar uppenbarligen ekvationen reella lösningar. Notera att när högstagradskoefficienten i polynomet a = 1, och ekvationen alltså ser ut som x 2 + px + q = 0, så säger formeln för rötterna - som då ofta kallas p, q-formeln - ovan att x = p ± p 2 4q 2 (Kom ihåg att a/b = a/ b.) = p 2 ± (p 2) 2 q. Exempel 13. I de följande tre bilderna ser vi graferna y = p(x) för tre olika andragradspolynom p(x). De illustrerar de tre olika fall som kan förekomma vad det gäller nollställen till polynomet: 2, 1 eller inga nollställen. i) I den första bilden är p(x) = x 2 5x+6. Här är diskriminanten = 1 och formeln i satsen ovan ger att rötterna till ekvationen p(x) = 0 är x = ( 5) ± 1, alltså x = 3 och x = 2. Detta svarar mot de värden på x 2 där funktionen är 0, och de syns i grafen som skärningarna mellan grafen och x-axeln.

19 5. ANDRAGRADSPOLYNOM OCH EKVATIONER Figur 2. Grafen till x 2 5x + 6. ii) I nästa bild är p(x) = x 2 2x + 1, och diskriminanten är = 0. Formeln i satsen ovan ger då bara lösningen x = 1, och vi ser detta i figuren som att grafen bara tangerar x-axeln i punkten x = Figur 3. Grafen till x 2 2x + 1. iii) Slutligen i det tredje fallet är p(x) = x 2 + 5x + 7, och diskriminanten är = 3. Eftersom 3 inte har någon kvadratrot, finns inga nollställen till polynomet. Vi ser detta i figuren som att grafen inte skär x-axeln Bevis av sats 1. Nu ska vi bevisa sats 1. Beviset är en bra illustration av att bevis ofta innehåller idéer som är användbara i andra sammanhang. Här är det en algebraisk teknik som kallas kvadratkomplettering. För att motivera den, så ser vi först att det är vissa specialfall av den allmänna ekvationen ax 2 +bx+c = 0, som är lätta att lösa, nämligen när b = 0. Exempel 14. En ekvation som x 2 2 = 0 har ju lösningarna x = ± 2, och på samma sätt ser vi bums att x = 0 inte har några lösningar alls. Om man

20 14 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK Figur 4. Grafen till x 2 + 5x + 7. sedan, med detta enkla fall i bakhuvudet tittar på en ekvation som x 2 + 2x 1 = 0, så ser vi kanske att vi kan skriva om den så här: Men då är x 2 + 2x 1 = (x 2 + 2x + 1) 2 = (x + 1) 2 2 = 0 (x + 1) 2 2 = 0 (x + 1) 2 = 2 och vi har hittat de två rötterna till ekvationen! x + 1 = ± 2 x = 1 ± 2 (Här använde vi den universella symbolen som en behändig förkortning för följande mening det som står i vänsterledet är sant precis när det som står i högerledet är sant. Och det kommer vi att fortsätta med.) Kvadratkomplettering är ett sätt att försöka göra exemplets resonemang så allmänt som möjligt. Nu till beviset för Sats 1. Det är ett antal steg och vi är utförliga för att var tydliga. Steg 1: Vi kan först värma upp med att dela med a 0. ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0. Ge sedan för att få överskådlighet nya namn p = b och q = c, så att a a ekvationen blir x 2 + px + q = 0. Steg 2: Tittar vi tillbaka på exemplet vill vi skriva om de två första termerna som en kvadrat. Det kan vi göra genom att titta på ett specialfall av kvadreringsregeln (x + p 2 )2 = x p 2 x + (p 2 )2 = x 2 + px + ( p 2 )2

21 5. ANDRAGRADSPOLYNOM OCH EKVATIONER. 15 och skriva om detta som Steg 3: Alltså är x 2 + px = (x + p 2 )2 ( p 2 )2. x 2 + px + q = (x + p 2 )2 ( p 2 )2 + q = 0 (x + p 2 )2 = ( p 2 )2 q. Inför nu igen nya namn: Y = x + p 2 ekvationen blir Y 2 = Q. och Q = ( p 2 )2 q = p2 4q 4, så att Steg 4: Nu har vi äntligen kommit till en av den lätta sortens ekvationer. Den har lösningarna Y = ± Q om Q 0 och inga lösningar om Q < 0. Nu kan vi rulla upp allt baklänges. Y = ± Q x+ p 2 = ± p2 4q 4 x = p 2 ± p2 4q 4 = p (p ) 2 q. 2 2 Därmed har vi kommit fram till p, q-formeln. Steg 5: För att uttrycka lösningen i a, b, c, substituerar vi p = b a och q = c a, och får (slutligen) x = p 2 ± p2 4q 4 = b 2a ± b2 4ac 4a 2 där den andra likheten följer ur = b 2a ± b2 4ac 4a 2 = b 2a ± b2 4ac, 2a p 2 4q 4 = b 2 a 2 4 c a 4 = b2 4a 2 4ac 4a 2 = b2 4ac 4a Kvadratkomplettering. Den algebraiska idén i beviset ovan är så användbar, även i andra sammanhang, att vi skriver upp den som en sats. Idén är alltså att vi kan skriva ett godtyckligt andragradspolynom x 2 +px+q som Y 2 +C, med en ny variabel Y och en ny koefficient C. Försök att undvika att lära dig satsen utantill, utan kom ihåg den som en användbar metod, med ett klart syfte och en enkel teknik. Sats 2. (Kvadratkomplettering). där Y = x + p 2 och C = q ( p 2 )2 x 2 + px + q = (x + p 2 )2 ( p 2 )2 + q =Y 2 + C,

22 16 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. Exempel 15. Bestäm det minsta värde som f(x) = 4x 2 2x 1 kan anta. Lösning: Kvadratkomplettera! Skriv f(x) =4x 2 2x 1 = 4(x x 1 4 ) ( =4 (x 1 4 ) ) 4 ( =4 (x 1 4 )2 5 ) = 4(x )2 5 4 Kvadrater är alltid större än eller lika med 0, så därför är (x 1 4 )2 0, med likhet precis när x = Alltså är f(x) = 4(x 1 4 ) , med likhet precis när x = 0.25.

23 6. FLER EXEMPEL. 17 Att det minsta värdet är 1.25 ser vi också från grafen: , 1,25 Figur 5. Grafen till y = 4x 2 2x Hur löser jag x x + 37 = 0 förresten? Vi började med att säga att vi ville lösa f(x) = a, men de enda fall vi beskrivit är när f(x) är ett förstaeller andragradspolynom, vilket ju kan verka och är lite snopet, om man har ambitionen att t ex ta över världen. Hur gör man i allmänhet? Det finns betydligt mer komplicerade formler för hur rötterna ser ut även för polynom av grad 3 och 4, men i praktiken används dessa sällan. För högregradspolynom finns inga liknande formler för rötterna (och det är bevisat att det aldrig kommer att finnas). I praktiken gör detta inte så mycket. För tillämpningarna är man intresserad av att kunna bestämma säg de första 10 decimalerna av en rot, och det finns bra metoder för att beräkna dessa. Den intresserade hänvisas till att slå på Newton-Raphsons metod på nätet eller ge sig till tåls till datakursen. 6. Fler exempel. Nu lämnar vi polynomekvationer för att titta på lite blandade ekvationer av andra typer. Exempel 16. Lös ekvationen 4x 1 3x + 1 = 1. Lösning: Uttrycket på vänstersidan är meningsfullt, utom när det innebär att vi delar med en nämnare som är 0. Detta sker för x = 1/3, och detta värde på x kan alltså inte vara en lösning. Låt oss sedan titta på de övriga tänkbara värdena på x, d v s antaga att x 1/3, så att 3x Då kan vi multiplicera bägge sidor

24 18 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. av ekvationen med 3x + 1 och får då den ekvivalenta ekvationen 4x 1 = 3x + 1. Omedelbara manipulationer ger att denna ekvation har den enda lösningen x = 2. Exempel 17. Det var viktigt att göra analysen av nämnaren i föregående exempel. Om vi t ex hade att lösa 6x + 3 2x + 1 = 1, och bara söndagszombieartat sätter igång att multiplicera med 2x+1, så får vi ekvationen 6x + 3 = 2x + 1 som har lösningen x = 1/2. Vi får då ett felaktigt resultat om vi tror att detta är en lösning till den ursprungliga ekvationen. Ty i denna är ju inte vänsterledet meningsfullt för x = 1/2, eftersom vi då försöker dela 0 med 0, vilket är rätt meningslöst. (Ja, visserligen påstod en svensk morgontidning nyligen att en engelsman löst det tusenåriga problemet om vad 0/0 egentligen är för något, men det var nog journalistisk desperation och längtan efter att det äntligen skulle hända något en ovanligt mordfattig dag.) Exempel 18. Lös ekvationen x x = 11. (5) Här är det naturligt att först dra bort x från bägge sidor, så att kvadratroten blir ensam kvar på ena sidan och vi kan kvadrera bägge sidor. Alltså får vi först x + 1 = 11 x. (6) Detta är en ekvation som har precis samma lösningar som den ursprungliga, alltså en ekvivalent ekvation. Men om vi nu kvadrerar bägge sidor i denna ekvation och får den nya ekvationen x + 1 = (11 x) 2, (7) så har vi inte längre en ekvation som är ekvivalent med den ursprungliga. Varje lösning till (6) är en lösning till (7), men inte tvärtom. Att vi vet ett tals kvadrat räcker ju inte för att vi ska kunna bestämma talet ifråga. Det är bara bestämt upp till tecken. Ett exempel: y = 2 ger att y 2 = 4, men inte tvärtom, eftersom y 2 = 4 y = ±2. Så om vi endast vet att y 2 = 4 så kan y ha två möjliga värden. Emellertid kan vi ändå utnyttja den nya ekvationen (7). Vi löser den och sedan prövar vi lösningarna som vi fått i den ursprungliga ekvationen (5). Så här: x + 1 = (11 x) 2 x 2 23x = 0 x = 8 eller x = 15. (sista steget gjordes med lösningsformeln för en andragradsekvation) Vi prövar dessa två värden. För x = 8 får vi x x = som är lika med 11. Här har vi alltså en lösning till den ursprungliga ekvationen. Men för x = 15 får vi x x = = som inte är lika med 11. Detta är alltså inte en rot till den ursprungliga ekvationen (5). (Notera att x = 15 löser ekvationen x + 1 = (11 x), som när den kvadreras också ger ekvationen x+1 = (11 x) 2.)

25 7. ÖVNINGAR. 19 Exempel 19. Lös ekvationen sin 2 x 4 sin x + 3 = 0. Här är det naturligt att dela upp lösningen i två steg. Först tar vi reda på vilka värden sin x kan ha, och sedan vilka värden på x som är lösningar. Sätt alltså först t = sin x. Då blir ekvationen t 2 4t + 3 = 0, som (enligt den vanliga formeln) har lösningarna t = 1 och t = 3. I nästa steg ska vi lösa ekvationen sin x = 1 x = π/2 + 2nπ, där n är ett godtyckligt heltal, och ekvationen sin x = 3, som saknar lösningar. (För det sista steget se senare i avsnittet om komplexa tal och polära koodinater.) För att sammanfatta: vid ekvationslösning letar vi i första hand efter andra enklare ekvivalenta ekvationer, d v s ekvationer som har precis samma lösningar. Sådana kan ofta fås genom att vi gör flera av följande operationer: Lägger till eller drar ifrån lika från bägge sidor av ekvationen, typ 2x+3 = 5 är ekvivalent med 2x = 2. Multiplicerar bägge sidor av ekvationen med en kvantitet som är skild från noll, typ xe x = 2e x är ekvivalent med x = 2. Algebraiskt omformulerar ena ledet, typ ekvationen 1 = x 2 + 2x + 1 är ekvivalent med 1 = (x + 1) Övningar. (1) Förenkla (a b) 3. (2) Faktorisera a) x 3 9x, b) a(a + b) 9(a + b), c) a 2 9a + ab 9b, d) x 6 x 4 + x 2 1. (3) Faktorisera (x + a) 2 b 2. (4) Förenkla 2 3x x x x 6. (5) Förläng bråket , så att nämnaren blir fri från kvadratrötter. (6) Förenkla a) x 4 y 4 x + y, b) 16x 4 81 y4 2x + y, 3 c) x+1 x x 1 x+1.

26 20 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. (7) Kvadratkomplettera polynomet p(x) = 2x 2 x 5, lös ekvationen p(x) = 0, samt bestäm det minsta värde som polynomet kan antaga. (8) Lös ekvationerna a) 2x + 3 = x och 2x + 3 = x, b) x + 2 x 1 = x.

27 KAPITEL 2 Komplexa tal. Your momma thinks square roots are vegetables (förolämpning i ett Calvin och Hobbesalbum) 1. Introduktion Bakgrund. Att något är ett tal innebär löst sagt att det ska gå att räkna med det, ungefär som man kan räkna med vanliga heltal. Alltså att samma räknelagar - t ex den distributiva lagen - ska gälla. Vi har stött på flera typer av tal förutom heltal (betecknade med Z), nämligen rationella tal (alltså kvoter mellan heltal, betecknade Q) och reella tal eller oändliga decimaltal (betecknade med R). Ytterligare en typ är komplexa tal. De komplexa talen har två ursprung. Ett är algebraiskt, och idéhistoriskt tankeväckande: i 1500-talsformler för rötter för tredje och fjärdegradsekvationer dyker det upp kvadratrötter ur negativa tal, som ett nödvändigt mellanled. Sådana finns ju inte, enligt de definitioner vi hittils använt oss av, och det ansåg man också för femhundra år sedan. Men det var tekniskt bekvämt att behandla kvadratrötterna som ett slags tal, fast imaginära, på låtsas, till skillnad mot de verkliga, reella talen. Slutresultaten blev ju ändå lösningar som var riktiga reella tal, och det kunde kollas med insättning av rötterna att denna utflykt i fantasin gav korrekta resultat. Efter några hundra års komplext slavarbete och i ett mer filosofiskt sofistikerat tankeklimat, bestämde matematiker sig för att att ge de komplexa talen samma status som de reella - d v s de existerar. Man utvecklade kring 1800 den teori för dem som vi strax ska gå igenom. Detta skedde också under påverkan av det andra ursprunget till intresset för dem - det geometriska. Visst är det så att reella tal är som mest övertygande och dessutom användbara när vi utnyttjar dem för att beskriva ett läge längs en linje och ser dem som punkter längs den reella tallinjen. Addition och subtraktion kan dessutom på linjen tolkas som geometriska operationer där vi flyttar punkter. Då uppstår naturligt frågan: kan vi inte göra detsamma i planet? (Eller rummet?) Med syftet ställt på att förenkla en del geometri, t ex vinkelberäkningar. Vi ska se att de komplexa talen svarar precis mot punkter i 21

28 22 2. KOMPLEXA TAL. ett talplan, och multiplikation och addition av dem blir alltså multiplikation och addition av punkter. (Att detta var praktiskt användbart, indikeras av att en av pionjärena för detta geometriska synsätt var en lantmätare - dansken Caspar Wessel ca 1800.) I en viss mening är det trots allt mycket enklare att ha att göra med oändliga decimaltal än med ändliga. Om vi inskränker oss till ändliga decimaltal, så finns det t ex ingen lösning till ekvationen 3x = 1, eller x 2 = 2. Det finns förstås närmevärden till lösningar, alltså ändliga decimaltal x för vilka 3x 1 och x 2 2, men ska vi arbeta med dessa i praktiken, tvingas vi hela tiden bokföra hur exaktheten i dessa närmevärden förändras i olika matematiska räkningar, tex när vi multiplicerar med riktigt stora tal. Det är vad man måste göra i numerisk matematik och ofta i tillämpningar av matematik. Därför är det faktiskt mycket enklare att kunna ta till oändliga decimaltal, veta t ex att det alltid existerar lösningar till x 2 = a 0, och bara bekymra sig om lösningarnas decimaler när man verkligen måste, eller det okomplicerade livet i R mist sin oskuldsfulla tjusning. På ett liknande sätt gör de komplexa talen livet enklare. Vi ska se några exempel på detta, t ex hur ekvationer alltid har lösningar, men det finns många fler i senare matematiska teorier. Komplexa tal är också väsentliga för många tillämpningar, t ex i teoretisk fysik eller signalbehandling, och även, osannolikt nog, för snabba moderna algoritmer för att multiplicera riktigt stora heltal på datorer. 2. Definition. Först ska vi ge en formell definition, som inte gör någon glad, och sedan ska vi efter ett tag se hur enkelt det ändå är att räkna med komplexa tal i praktiken. Definition 2. Ett komplext tal z är ett talpar z = (a, b) av reella tal a, b. Summan av två komplexa tal definieras genom addition komponentvis: (a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 ) = (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ), medan multiplikation definieras av en mer komplicerad formel (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + a 2 b 1 ). Mängden av de komplexa talen betecknas med C. Notera att additionen är enkel och sker koordinatvis. Den är för övrigt precis densamma som additionen av vektorer i R 2, som vi kommer att stöta på igen i ett senare kapitel, så redan här har vi en koppling till geometrin i planet. Multiplikationen verkar däremot uppsatt på en höft, och visst ser det osannolikt ut att den ska följa vanliga multiplikationsregler? Här är några direkta konsekvenser av definitionen.

29 Exempel 20. (Antag att a 1, a 2, b, c, d R) 1) (1, 1) (1, 1) = (0, 2) 2) (a 1, 0) + (a 2, 0) = (a 1 + a 2, 0) 3) (a 1, 0) (a 2, 0) = (a 1 a 2, 0) 4) (a 1, 0) (c, d) = (a 1 c, a 1 d). 5) (a, b) (1, 0) = (a, b) 6) (a, b) + (0, 0) = (a, b) 7) (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0). 2. DEFINITION. 23 Definitionen ovan av multiplikation och addition är förstås lätt att tillämpa, men samtidigt svår att få känsla för. För att förenkla detta ska vi först se att de reella talen faktiskt är innehållna i de komplexa talen (fast under en pseudonym). Om vi nämligen tittar på 2) och 3) i exemplet ovan, ser vi att komplexa tal av typen (a, 0) beter sig precis som vanliga reella tal a under multiplikation och addition. Vi upprepar följande lättverifierade regler: Sats 3. (a 1, a 2, c, d R) 1) (a 1, 0) + (a 2, 0) = (a 1 + a 2, 0) 2) (a 1, 0) (a 2, 0) = (a 1 a 2, 0) 3) (a 1, 0) (c, d) = (a 1 c, a 1 d). Den sista regeln säger att multiplikation med (a 1, 0) bara innebär att varje koordinat av det komplexa talet (c, d) multipliceras med a 1. Vi kommer nu överens om att det reella talet a och det komplexa talet (a, 0) bara är två beteckningar för samma tal, och har därmed att de reella talen är innehållna i de komplexa. Eftersom den algebraiska strukturen är densamma - multiplikation och addition beter sig likadant - ger detta inte några problem med räkningar. (Detta sker med samma självklara moraliska rätt som vi låter heltalen vara en del av de rationella talen, genom att identifiera ett heltal m med bråket m/1). Vi kan därmed identifiera det komplexa talet (a, 0) med det reella a. Nu kommer den avgörande förenklingen. Vi kan skriva varje komplext tal z = (a, b) som z = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = a + b (0, 1), där vi i sista likheten använder identifikationen mellan a och (a, 0), samt b och (b, 0). Vi sammanfattar. Sats 4. Definiera i := (0, 1). Varje komplext tal z = (a, b) kan skrivas som z = a + bi, a, b reella tal. Det komplexa talet i kallas den imaginära enheten.

30 24 2. KOMPLEXA TAL. Detta är det vanliga sättet att skriva komplexa tal på, och det är den form av talen med vilken man bör lära sig räkna med dem. Lägg märke till att vi har a + 0 i = a och 0 + bi = bi. 3. Att räkna på riktigt med komplexa tal. Enligt definitionen på multiplikation är i i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0). Alltså är kvadraten på det komplexa talet i det reella talet 1: i i = i 2 = 1, så det finns ett komplext tal vars kvadrat är 1... Varför prickarna? Jo, något sådant reellt tal finns fju örstås inte. (Genom en fiffig nydefinition av multiplikation har vi alltså fixat en kvadratrot till 1, och om läsaren känner att det ligger något av bilskojeri över detta, och vägrar bli impad, så är det inte helt fel. Men vi återkommer till varför detta inte är ett fall för allmänna reklamationsnämnden om ett tag.) Vi ska se att identiteten i 2 = 1 är så gott som det enda man behöver komma ihåg av multiplikationsformeln i definitionen av komplexa tal. Ty addition (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i, är ju bara samma typ av addition som vi haft för polynom - tänk på i som en slags variabel, typ x. Multiplikation beter sig också som multiplikation av polynom. Enligt den jobbiga definitionen av multiplikation ovan är (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i. Men det är samma resultat som vi får om vi bara räknar på och använder den distributiva lagen vid multiplikation ev två parenteser. (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) =a 1 a 2 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i + b 1 b 2 i 2 = =(a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i. Mer precist: den första likheten här är precis vad vi skulle ha fått om vi betraktat a 1 + b 1 i som ett polynom i variabeln i och multiplicerat det med ett annat polynom a 2 +b 2 i, medan den sista likheten bara använder sig av den fundamentala likheten i 2 = 1, för att ersätta b 1 b 2 i 2 med b 1 b 2. Vi har alltså följande praktiska tumregel: Räkna med komplexa tal som om de vore polynom, med den extra regeln att så fort som i 2 dyker upp ersätts den med 1. Exempel 21. 1) (1+2i)+(3+4i)+(5+6i) = (1+3+5)+(2+4+6)i = i. 2) (2 + 3i)(1 i) = ( i) + (3i) 1 + 3i ( i) = 2 2i + 3i + 3 = 5 + i.

31 4. KOMPLEXA TALPLANET. 25 3) (a + bi)(a bi) = a 2 abi + bai b 2 i 2 = a 2 + b 2. 4) Ekvationen z + 2i = 1 + 3i löses på vanligt sätt genom att dra bort 2i från bägge sidor och har lösningen: z = (z + 2i) 2i = (1 + 3i) 2i = 1 + i. Den viktiga intuitionen att vi kan räkna med komplexa tal enligt samma regler som med reella tal och polynom kan preciseras så här. Nedanstående regler är det som certifierar att de objekt vi definierat verkligen kan kallas tal. Sats 5.. Följande räknelagar gäller för räkning med komplexa tal: 1) 0 + z = z, 2) z + u = u + z, 3) (z + u) + w = z + (u + w), 4) om z + u = w + u så följer att z = w, 5) 1 z = z, 6) z u = u z, 7) (z u) w = z (u w), 8) om z u = 0 och u 0, så är z = 0, 9) z (u + w) = z u + z w. Bevis. De flesta av dessa lagar är lätta att verifiera genom att man går tillbaka till definitionen av multiplikation och addition. T ex så följer 1) direkt ur (0, 0) + (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b). Låt oss emellertid bevisa 8), som är lite klurigare. Antag att z = x + yi och att u = c + di. Då är zu = (xc yd) + (xd + yc)i, som är 0 precis när både xc yd = 0 xd + yc = 0 Multiplicera den undre ekvationen med c och den övre med d och ta skillnaden: c(xd + yc) d(xc yd) = (c 2 + d 2 )y = 0. Eftersom u = (c, d) 0, så är åtminstone en av c, d skilda från 0 och därför c 2 + d 2 0, och därmed måste y = 0. Då blir systemet ovan xc = 0 = xd, och eftersom åtminstone en av c, d var skild från 0, måste också x = 0. Alltså är z = x + yi = Komplexa talplanet. Varje komplext tal a + bi svarar mot talparet (a, b), som i ett rätvinkligt koordinatsystem ger en punkt med dessa koordinater i planet. När man ser planet som bestående av komplexa tal a + bi = (a, b), så kallas planet det komplexa

32 26 2. KOMPLEXA TAL. talplanet. Den horisontella koordinataxeln består av alla komplexa tal av formen a = (a, 0) = a + 0 i, d v s av alla reella tal. Den kallas därför reella axeln. Den vertikala axeln består av alla komplexa tal som har formen (0, b) = bi, de s k rent imaginära talen, och kallas den imaginära axeln. Om z = a + bi kallas koordinaterna a respektive b för realdelen respektive imaginärdelen av z, och man skriver Re z = a, Im z = b. Imaginära axeln 2 i 2 2 i 2 Reella axeln Figur 1. Komplexa talplanet Exempel 22. 1) Mängden av komplexa tal z = x + iy sådana att Re z = 0 är precis den imaginära axeln, medan den reella talaxeln kan beskrivas med ekvationen Im z = 0. 2) Vilka komplexa tal z = a+bi uppfyller Re (1+i)z = 0? Eftersom (1+i)z = (a b) + (a + b)i är Re (1 + i)z = a b. Alltså är de sökta talen precis de som uppfyller att a b = 0 a = b. Det är den ekvation som definierar diagonalen i det komplexa talplanet. Definition 3. Om z = a + bi, a, b R är ett komplext tal kallas z = a bi dess (komplexa) konjugat. Geometriskt svarar konjugering mot spegling i den reella talaxeln. Den absolut viktigaste egenskapen hos konjugatet är att zz = (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 0, d v s produkten är ett reellt icke-negativt tal som bara är 0 om z = 0. Genom multiplikation med konjugatet kan vi alltså få ett läbbigt komplext tal att bli slätslickat reellt.

33 5. DIVISION AV KOMPLEXA TAL Division av komplexa tal. Saker blir (ibland) klarare (till en viss gräns) ju mer filosofisk man är. Vad är alltså filosofiskt sett kvoten a/b av två reella tal a, b egentligen? Uppenbarligen är b(a/b) = a, så kvoten är ett reellt tal med egenskapen att om man multiplicerar den med b får man a. Vi vet också att a/b är det enda talet med denna egenskap. Alltså skulle vi ha kunnat definiera x = a/b, som det unika talet med egenskapen bx = a. Detta är ett elegant sätt att definiera talet, som träffar den väsentliga egenskapen hos division: att vi använder det för att lösa ekvationer, men det har förstås nackdelen att vi inte inser hur vi ska beräkna det, eller ens om det finns. Men det kan man lösa, om inte annat så vet närmsta lilla mobiltelefon hur. Sålunda, den väsentliga egenskapen hos en kvot av reella tal är: bx = a x = a/b, (a, b reella tal, b 0.) För att definiera division av komplexa tal, ska vi alltså definiera och sedan lösa motsvarigheten till detta. Så vi definierar lätt Definition 4. Kvoten z = u/v är den unika lösningen till ekvationen vz = u (u, v komplexa tal, v 0.) (8) Det ser ju bra ut, men är förstås bara snömos, tills vi har visat i) att det finns en lösning och ii) att det bara finns en enda lösning. Det är rätt lätt. Titta på följande komplexa tal som vi påstår löser ekvationen och alltså är kvoten u/v. z = (vv) 1 uv = uv vv. Observera först att vv är ett reellt tal som är skilt från 0 eftersom v 0 (enligt Sats 5.8)) och därför finns (vv) 1 som en vanlig reell kvot, och kan alltså också betraktas som ett komplext tal. Alltså är z, som produkt av tre komplexa tal ett komplext tal. Stoppar vi in detta z i ekvation (8) ser vi att vz = v ( (vv) 1 uv ) = vv vv u = 1 u = u, så z löser ekvationen. Observera att (8) också talar om hur vi ska räkna ut kvoten. Sats 6. Givet två komplexa tal u, v 0. Då finns en och endast en lösning till ekvationen vz = u, nämligen z = (vv) 1 uv. (9)