ÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK I

Transkript

1 INSTITUTIONEN FÖR KEMITEKNIK Laboratoriet för reglerteknik ÅBO AKADEMI DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIK I Grundkurs Kurt-Erik Häggblom Biskopsgatan 8 FIN-0500 Åbo Finland 05

2

3 Innehållsförteckning. Inledning.... Reglertekniska grunder.... Signaler och system.... Komponenter i ett enkelt reglersystem....3 Från process- till blockschema Reglerstrategier Öppen styrning Återkoppling Framkoppling Återkopplad reglering Konstantreglering och följereglering Ett exempel på vad som kan vinnas med återkoppling Ett motexempel: begränsande faktorer PID-regulatorn Negativ och positiv återkoppling Matematisk modellering Modelleringsprinciper Modelltyper Modellkonstruktion Fysikaliskt modellbygge Modeller för tekniska system Elektriska system Mekaniska system Processtekniska system Linjärisering Allmän ODE ODE med linjärt ingående tidsderivator Konstitutiva reltioner Laplacetransformmetoder Differentialekvationer Laplacetransformen Definition Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Räkneregler för Laplacetransformer Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet Överföringsfunktionen Några konventioner rörande in- och utsignaler Blockscheman Lösning av differentialekvationer Begynnelsevärdesproblem Tidssvaret för ett dynamiskt system Partialbråksuppdelning i

4 Innehållsförteckning 5. Enkla dynamiska system Integrerande system System av första ordningen Transientsvar Identifiering från stegsvar System av andra ordningen Transientsvar Identifiering av överdämpat system Identifiering av underdämpat system System med dödtid System med inverssvar System i serie Stabilitet Stabilitetsdefinitioner Asymptotisk stabilitet Insignal-utsignalstabilitet Poler och stabilitet Tidssvaret för ett linjärt system Stabilitetsvillkor uttryckt med systemets poler Återkopplade system Analysmetoder Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Bestämning av stabilitetsgränsen via direkt substitution PID-regulatorer Varianter av PID-regulatorn Ideal PID-regulator Serieformen av en PID-regulator PID-regulatorer med derivatafilter Derivering av mätvärdet Viktning av börvärdet Icke-interaktiv form av PID-regulatorn Kommentar Val av regulatortyp Tvålägesregulator P-regulator PI-regulator PD-regulator PID-regulator Specifikationer och prestandakriterier Generella prestandakriterier Fundamentala begränsningar Proportionalband och integratoruppvridning Designspecifikationer... 7 ii

5 Innehållsförteckning 7.4 Frekvenssvarsbaserad regulatorinställning Experimentell regulatorinställning Zieglers och Nichols frekvenssvarsbaserade rekommendationer Åströms och Hägglunds frekvenssvarsbaserade korrelationer Stegsvarsbaserad regulatorinställning Zieglers och Nichols stegsvarsbaserade rekommendationer Chiens, Hrones och Reswicks metod Åströms och Hägglunds stegsvarsbaserade korrelationer Modellbaserad regulatorinställning Första ordningens system med dödtid Andra ordningens system med dödtid Regulatordesign genom direkt syntes Metodbeskrivning Minimumfassystem av låg ordning Minimumfassystem av högre ordning System med positivt nollställe System med dödtid Reglering med intern modell IMC-strukturen Approximationsfri hantering av dödtid Parametrisering av alla stabiliserande regulatorer Regulatordesign Implementering med PID-regulator Modellförenkling Skogestads metod Isakssons och Graebes metod Frekvensanalys Frekvenssvaret för ett stabilt system Enkla systemelement: förstärkning, derivering, integration, dödtid System av första ordningen System av andra ordningen System av högre ordning Seriekopplade delsystem Sammanfattning av frekvenssvaret för system av låg ordning Grafiska representationer av frekvenssvaret Nyquistdiagram Bodediagram Stabilitetskriterier för återkopplade system Bodes stabilitetskriterium Nyquists stabilitetskriterium Stabilitetsmarginaler Numerisk lösning av frekvenssamband Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Dimensionering av PI-regulatorer Dimensionering av PD-regulatorer Dimensionering av PID-regulatorer iii

6

7 . Inledning För de flesta människor är reglerteknik ett relativt okänt begrepp trots att var och en i det dagliga livet ständigt kommer i kontakt med och t.o.m. själv utövar reglerteknik. Allmänt kan man säga att varje rationell metod att styra eller reglera ett system så att vissa syften uppnås trots omgivningens (negativa) inverkan är reglerteknik. Det reglertekniska grundproblemet är att för ett givet system och givna syften ta fram en sådan metod. Ordet system får uppfattas mycket allmänt. Det kan vara ett tekniskt system såsom en rymdraket, ett flygplan, en bil, en motor, ett trafikljus, ett kraftverk, en kemisk reaktor, en destillationskolonn, en pappersmaskin, en cementugn, ett kylskåp, en tvättmaskin, eller något delsystem av dessa, men också någon annan typ av process, t.ex. en biologisk, ekonomisk, administrativ eller psykologisk process. Reglertekniken spänner således över mycket vida tillämpningsområden. Detta möjliggörs av att de principer som reglertekniken baserar sig på och de metoder som den använder sig av är universella. Typiska syften för styrning av tekniska system är att uppfylla krav rörande säkerhet och prestanda, ekonomiska kriterier, miljökrav, etc. Ett prestandakrav kan vara så enkelt som att upprätthålla rätt temperatur i ett kylskåp, men ofta är syftet mer komplext än så. Vanligt är då att man är tvungen att reglera sekundära storheter som är relaterade med det mera fundamentala syftet. Säkerhets- och miljökrav tillgodoses t.ex. genom att storheter som tryck, temperaturer och kemiska sammansättningar hålls inom specificerade gränser. Ekonomiska kriterier inom t.ex. processindustrin, där man strävar efter att optimera driften ekonomiskt, omräknas normalt till specifikationer rörande produktkvaliteter och produktivitet. Hur kan man få ett system att bete sig på önskat sätt så att dess syfte uppfylls? För att ta ett konkret exempel, hur kan man få temperaturen i ett hus att anta ett önskat värde? Om temperaturen är lägre än den önskade bör värme givetvis tillföras inneluften. Man behöver således en värmekälla och genom att justera dess effekt kan temperaturen påverkas. En viss effekt ger då den önskade temperaturen. En nödvändig förutsättning är m.a.o. att det finns en storhet med vars hjälp man kan påverka systemet, dvs styra eller reglera det, så att syftet nås. Man kan säga att en sådan styrstorhet eller styrvariabel verkar som en insignal till systemet. Om man har en matematisk modell, som beskriver sambandet mellan de storheter som definierar syftet och de variabler som kan användas för styrning, borde man kunna bestämma sådana värden på styrvariablerna som gör att syftet uppfylls. I exemplet ovan kan man med hjälp av en energibalans i princip bestämma den behövliga värmeeffekten. Vad är då problemet? Problemen är flera. För det första är en modell aldrig en exakt beskrivning av verkligheten, den är alltid behäftad med osäkerhet. I husuppvärmningsexemplet påverkas innetemperaturen av temperaturen utomhus och om det finns ett uppvärmningsbehov är temperaturen utomhus lägre än den önskade innetemperaturen. Vi har då en värmeförlust från huset till omgivningen, men de modellparametrar som bestämmer värmeförlusterna är endast approximativt kända. Vi har med andra ord en modellosäkerhet, som gör det svårt att uppskatta värmeförlusterna även om utomhustemperaturen är känd. I praktiken betyder detta att en modell med givna parametervärden alltid innehåller modellfel. Dessutom påverkas systemet av yttre störningar. Vissa störningar kan vara mätbara och i princip möjliga att beakta, men i allmänhet existerar det också okända eller omätbara störningar, eller störningar vars effekter är svåra att kvantifiera såsom fallet är när vi har modellosäkerheter. I det aktuella exemplet är variationer i utomhustemperaturen mätbara medan effekterna av t.ex. vind, nederbörd, vädring och antalet personer inomhus är svåra att beakta. Generellt kan man

8 . Inledning därför inte räkna med att kunna ställa in styrvariablerna utgående från en matematisk modell så att systemets syfte uppfylls. Problemet kan i princip lösas med hjälp av återkoppling. Detta innebär att man mäter de storheter man önskar reglera reglerstorheterna eller reglervariablerna, även kallade systemets utsignaler och om deras värden avviker från de önskade värdena definierade av syftet, justerar man styrvariablerna så att reglerstorheternas avvikelser reduceras. Genom mätningarna kan man följa upp styråtgärdernas inverkan på reglerstorheterna och göra nya justeringar tills avvikelserna är tillräckligt små. Detta förfarande, som kan liknas vid iterativ lösning av ett matematiskt problem, kräver inte en exakt processmodell, det räcker långt om man vet i vilken riktning styrvariablerna skall justeras. Det spelar heller ingen avgörande roll vad som är orsaken till regleravvikelserna modellfel eller störningar. Återkopplingsprincipen är mycket fundamental. Människokroppens biologiska funktioner regleras allmänt genom återkoppling (t.ex. puls och kroppstemperatur). Vi utnyttjar också återkoppling vid många mänskliga aktiviteter, t.ex. vid duschning (reglering av vattenmängd och temperatur) och bilkörning (styrning och farthållning). Regeringar och andra organ som försöker styra en nations ekonomi baserar sina åtgärder på feedback om den ekonomiska situationen. Tekniska system styrs också i huvudsak med hjälp av återkoppling. Av naturliga skäl vill man ofta automatisera styrningen av tekniska system. Man vill t.ex. kunna ställa in den önskade inomhustemperaturen på en termostat, som automatiskt sköter om styrningen av uppvärmingseffekten. Allmänt kallas den apparatur eller mekanism som bestämmer styråtgärderna för regulator. Förutom en regulator behövs en mätgivare, som mäter systemets tillstånd (t.ex. en temperatur) och sänder informationen till regulatorn, och ett styrdon (t.ex. en ventil) som påverkar systemet och med vars hjälp styråtgärderna kan realiseras. Det reglertekniska grundproblemet är då att bestämma ( designa ) en regulator som förverkligar systemets syfte. Återkoppling är dock ingen garanti för ett gott resultat, vilket exemplet om styrning av nationalekonomin torde antyda. En orsak är att system i allmänhet är dynamiska. Ett dynamiskt system har den egenskapen att dess tillstånd i ett givet ögonblick inte beror enbart av insignalerna i samma ögonblick, utan även av insignalernas tidigare värden. Man kan säga att ett dynamiskt system minns gamla insignaler. Detta betyder också att insignalernas värden i ett visst ögonblick påverkar systemets framtida tillstånd. Systemets tillstånd förändras med andra ord gradvis. Detta försvårar givetvis en styrning av systemet baserad på återkoppling. Allmänt kan man säga att system som involverar hantering av massa eller energi har tröghet som gör dem dynamiska. Oberoende av om ett sådant system styrs genom återkoppling eller inte, begränsar denna tröghet den prestanda som kan uppnås i verkligheten. Det är t.ex. inte möjligt i praktiken att helt stanna upp en oljetanker, eller vända den 80º, på några sekunder, inte ens några minuter. Detta skulle kräva en enorm effekt, betydligt mer än vad som finns tillgängligt, och tankerns konstruktion skulle inte heller klara påfrestningen. Tankerns tröghet begränsar således dess styrbarhet, vilket kan vara fatalt om den kommer i kollisionskurs med ett annat fartyg. Å andra sidan betyder denna tröghet också att tankern inte lätt rubbas från sin kurs av yttre störningar. Tankern är m.a.o. ett stabilt, men svårmanövrerat system. Ovannämnda åtgärder utgör dock inga problem med en roddbåt den är inte speciellt stabil, men ytterst manövrerbar. Såsom ovanstående antyder, är det möjligt att stabilisera ett instabilt system genom reglering. Ett flygplan är ett exempel på ett sådant instabilt system. En orsak till att bröderna Wright lyckades med den första flygningen år 903 var att de insåg att konstruera ett instabilt men lättmanövrerat flygplan i stället för ett stabilt plan som inte kunde hållas i luften. Det faktum att flygplanet var instabilt var naturligtvis en belastning för piloten som hela tiden måste ingripa

9 . Inledning med styråtgärder. Å andra sidan medförde flygplanets manövrerbarhet att piloten snabbt kunde motverka de störningar som orsakades av vindbyar. Moderna stridsflygplan är ytterst instabila, vilket möjliggör mycket hög prestanda. Detta ställer så höga krav på det stabiliserande reglersystemet att dessa inte alltid kan uppfyllas med ödesdigra följder. Ett annat exempel på en process som vore instabil utan återkoppling är mänskans gång, som är betydligt effektivare än sköldpaddans stabila gång. Om det stabiliserande reglersystemet sätts ur funktion, t.ex. genom att balanssinnet skadas, kan människan inte gå. Cykling på tvåhjuling är också en instabil process, men klart effektivare än cykling på trehjuling ifall cyklisten klarar av att stabilisera processen. För- och nackdelarna med en skottkärra jämfört med en två- eller fyrhjulig kärra är också uppenbara. I processindustrin förekommer också processer som är instabila utan reglering. Ett exempel är en kemisk reaktor där reaktionen är exotermisk. En sådan reaktion utvecklar värme, som ökar reaktionshastigheten, vilket leder till större värmeutveckling, etc. En dylik process måste stabiliseras genom bortledning av reaktionsvärmet. Som ovan framgått är stabilitet å ena sidan, flexibilitet och prestanda å andra sidan, diametralt motsatta krav. Detta bör beaktas vid konstruktion av en teknisk process. Samma motsättning föreligger också vid konstruktion av ett reglersystem för en existerande process. Helst skulle man önska sig ett reglersystem som effektivt stabiliserar processen och samtidigt ger högsta möjliga prestanda. I praktiken är detta dock omöjligt. Utformningen av reglersystemet måste alltid innebära en kompromiss mellan stabilitet och prestanda. Litteratur Dorf, Richard & Bishop, Robert. Modern Control Systems. Addison-Wesley, 998. Glad, Torkel & Ljung, Lennart. Reglerteknik Grundläggande teori. Studentlitteratur, 989 Hägglund, Tore. Praktisk processreglering. Studentlitteratur, 997 Kuo, Benjamin. Automatic Control Systems. Prentice-Hall, 995. Lennartson, Bengt & Thomas, Bertil. Analog och digital reglerteknik Övningsbok. Studentlitteratur, 995. Lennartson, Bengt. Reglerteknikens grunder. Studentlitteratur, 000. Ljung, Lennart & Glad, Torkel. Modellbygge och simulering. Studentlitteratur, 99 Ogunnaike, Babatunde & Ray, Harmon. Process Dynamics, Modeling, and Control. Oxford University Press, 994. Schmidtbauer, Bengt. Analog och digital reglerteknik. Studentlitteratur, 995. Seborg, Dale; Edgar, Thomas & Mellichamp, Duncan. Process Dynamics and Control. John Wiley & Sons, 989. Thomas, Bertil. Modern Reglerteknik. Liber, 00. Åström, Karl-Johan. Reglerteori. Almqvist & Wiksell, 968. Åström, Karl-Johan & Hägglund, Tore. Advanced PID Control. Instrument Society of America,

10

11 . Reglertekniska grunder. Signaler och system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som påverkar systemets beteende, och utsignaler, som beskriver dess beteende. Beroende på sammanhanget kan vi med signal avse en storhet eller en variabel men ofta avser vi storleken eller värdet av en storhet. Med den senare tolkningen, dvs att en signal betecknar värdet av en storhet, kan vi säga att utsignalerna beror av insignalerna till systemet. Signalbegreppet behandlas utförligare i avsnitt.3. Om utsignalerna vid en viss tidpunkt endast beror på insignalernas värden vid samma tidpunkt är systemet statiskt. Detta betyder att utsignalerna reagerar ögonblickligen på förändringar i insignalerna så att de med en gång når sina nya, slutliga värden. Vanligare är dock att utsignalerna förändras gradvis. Detta betyder att utsignalerna i ett visst ögonblick även beror av tidigare insignaler och systemet sägs vara dynamiskt. Temperaturen i ett eluppvärmt hus är ett exempel på ett dynamiskt system; om värmeelementen slås av, förändras temperaturen inte omedelbart till ett nytt (konstant) värde, utan det tar en viss tid. De insignaler som kan styras kallas styrsignaler och de utsignaler som kan observeras (mätas) kallas mätsignaler. Systemet påverkas även av störningar från omgivningen. Ibland är störningarna mätbara, men aldrig (definitionsmässigt) styrbara. I husuppvärmningsexemplet är temperaturen en mätsignal, uppvärmningseffekten styrsignal, och som störningar kan betraktas bl.a. utetemperaturen och vindstyrkan. Ett allmänt system med tillhörande signaler kan åskådliggöras grafiskt med hjälp av ett blockschema, se figur.. Figur.. Blockschema för ett dynamiskt system. Exempel.. Blockschemabeskrivning av reglerventil. Figur. illustrerar en reglerventil. Flödet q genom reglerventilen beror av ventilläget x, primärtrycket p och sekundärtrycket p. Den s.k. ventilkarakteristikan ger ett samband mellan dessa variabler, men detta samband gäller endast variablernas statiska (stationära) värden. I verkligheten beror flödet q av de övriga variablerna på ett dynamiskt sätt. Flödet q är då systemets utsignal, medan x, p och p är dess insignaler. Av dessa kan x användas som styrsignal, medan p och p är störningar. Figur.3 visar ett blockschema för systemet. Figur.. Principskiss av reglerventil. Figur.3. Blockschema för reglerventil.

12 . Reglertekniska grunder. Komponenter i ett enkelt reglersystem. Komponenter i ett enkelt reglersystem Ett reglersystem är sammansatt av flera delsystem. I ett komplett reglersystem för en industriell process är antalet delsystem vanligen mycket stort. Även en så enkel process som reglering av flöde med en reglerventil består av flera delsystem. Reglerventilen är nämligen inte speciellt användbar utan vissa andra komponenter. I ett automatiskt reglersystem kan ventilläget x i praktiken inte direkt justeras av regulatorn. Därför måste reglerventilen förses med ett ställdon som tar emot en styrsignal u (elektrisk, pneumatisk eller hydraulisk) och omvandlar den till en kraft som påverkar ventilläget. Det fysiska flödet q är inte heller direkt användbart i reglersystemet. Det måste mätas med en mätgivare som ger en mätsignal y som kan relateras till q. Figur.4 visar sambandet mellan dessa delsystem och deras signaler. Figur.4. Blockschema för systemet ställdon-ventil-flödesgivare. En regulator som reglerar flödet genom reglerventilen behöver som insignaler mätsignalen y och en referenssignal r, som är y :s börvärde eller ledvärde, dvs det önskade värdet på y. Regulatorns utsignal är styrsignalen u, som den bestämmer på basen av r och y ; vanligtvis är endast skillnaden mellan r och y av betydelse. Reglersystemets blockschema visas i figur.5. Figur.5. Blockschema för reglering av flöde. Hur detaljerat skall ett blockschema framställas? Det beror på vad som är ändamålsenligt. Vanligtvis sammanslås t.ex. reglerventilen och dess ställdon till ett delsystem, som har insignalen u som styrsignal. Eftersom det fortfarande är ventilläget som fysiskt påverkar flödet, säger man kanske i alla fall, något oegentligt, att man reglerar flödet genom att justera ventilläget x. Hela reglerkonfigurationen i figur.5 kan givetvis också betraktas som ett system. Detta system har referenssignalen r som styrsignal och flödet q som utsignal. I en typisk industriprocess existerar flera dylika flödesreglerkretsar. Vanligtvis är dock själva flödesregleringen inte det primära i processen, viktigare är förmodligen den verkan q har på resten av processen. Ofta underförstås därför sådana sekundära reglerkretsar och man säger kanske att man använder flödet q som en styrvariabel, trots att det i själva verket är referenssignalen r.

13 . Reglertekniska grunder. Komponenter i ett enkelt reglersystem Figur.6 visar symboler för flödesreglering i ett processchema. I figuren står FC för flödesregulator (eng. flow controller) och FT för flödesgivare (eng. flow transmitter). Man kan också använda beteckningarna FIC och FIT, där I anger att instrumentet är försett med indikator (analog eller digital visning av data, t.ex. mätdata). Andra vanliga beteckningar är LC för nivåregulator, TC för temperaturregulator, PC för tryckregulator, QC för koncentrationsregulator. Ett I som andra bokstav anger också här indikering. Beteckningarna för motsvarande mätgivare har som sista bokstav T i stället för C. Figur.6. Processchema för flödesreglering..3 Från process- till blockschema Det bör observeras att in- och utsignalerna i ett reglertekniskt blockschema inte är ekvivalenta med fysikaliska in- och utströmmar i ett flödesschema för processen. Insignalerna i ett reglertekniskt blockschema anger vilka storheter som påverkar systemets egenskaper medan utsignalerna ger information om dessa egenskaper. De reglertekniska in- och utsignalerna behöver således inte vara strömmar i egentlig mening, och även om de är det, behöver de inte sammanfalla med motsvarande fysikaliska strömmars riktning. Till exempel en fysikalisk utström kan mycket väl vara en reglerteknisk inström såsom illustreras i exempel.. Utsignalerna i ett blockschema ger också en viss information om processens syfte, som inte direkt kan utläsas ur ett processchema. Vanligtvis framgår inte heller valet av styrsignaler och förekomsten av störningar entydigt ur processchemat. Blockschemat ger m.a.o. reglerteknisk information utöver processchemat. Exempel.. Blockschema för tank med kontinuerlig genomströmning. Process A. Vätskebehållare där vätskenivån h kan regleras med inströmmen F, medan utströmmen F beror av h (utströmning genom självtryck). Blockschema: F h F nivå/inström utström/nivå styrvariabel Process B. Vätskebehållare där vätskenivån h kan regleras med utströmmen F, medan inströmmen F är en störvariabel. Blockschema: K p > 0 F F h h F F F störning F styrvariabel nivå/inström nivå/utström K p < h Blockschemat illustreras också vad som menas med positiv och negativ förstärkning. Om en ökning av insignalen får utsignalen att öka är förstärkningen Kp 0 och vice versa. 3

14 . Reglertekniska grunder.3 Från process- till blockschema Övning.. Konstruera ett blockschema för nedanstående process, där en vätska strömmande i ett rör uppvärms och temperaturregleras genom tillförsel av ånga. i vätska v = m/s 60 m TC ånga r.4 Reglerstrategier I inledningen nämndes att återkoppling är en viktig reglerteknisk metod, men det finns också andra möjligheter att styra en process..4. Öppen styrning Vid öppen styrning används inga observationer av vad som sker i processen. Regulatorn baserar sina åtgärder på a priori information om processens egenskaper så att styrvariablerna följer något i förväg fastställt tidsförlopp. Man talar ofta om tidsstyrning eller programstyrning. I de flesta praktiska situationer har detta uppenbara nackdelar. Vilka? Ett exempel på ett öppet styrsystem är en brödrost. Figur.7. Öppen styrning..4. Framkoppling Man kan också tänka sig att mäta variabler som stör processen. Om man vet hur dessa störningar påverkar de utsignaler man vill reglera, kan man på basis av mätvärdena justera styrsignalerna så att störningarnas inverkan på utsignalerna elimineras. I princip kan det vara möjligt att eliminera dessa störningar innan de ens hunnit påverka utsignalerna. Denna typ av reglering kallas störvärdeskompensation, eller vanligare, framkoppling. Trots att man i princip kan erhålla perfekt reglering med hjälp av framkoppling kombineras strategin vanligtvis med återkoppling. Varför? Figur.8. Framkoppling. 4

15 . Reglertekniska grunder.4 Reglerstrategier.4.3 Återkopplad reglering Framgångsrik styrning kräver i allmänhet observation av vad som händer i processen så att styråtgärderna kan modifieras på basen av gjorda mätningar. Vanligtvis mäter man de variabler man önskar reglera. Detta leder till ett slutet reglersystem med återkoppling. I de exempel på reglersystem vi nämnt tidigare användes återkoppling. Figur.9. Återkoppling. Exempel.3. Två olika reglerstrategier för husuppvärmning. Figur.0 illustrerar husuppvärming genom (a) framkoppling, (b) återkoppling. Följande föroch nackdelar kan noteras: Framkoppling: snabb reglering, men kräver noggrann modell; beaktar inte andra störningar än den uppmätta utetemperaturen, t.ex. vindhastigheten. Återkoppling: långsammare reglering eftersom ingenting görs förrän innetemperaturen redan påverkats; mindre känsligt för modellfel och störningar. Hur skulle öppen styrning av innetemperaturen se ut? (a) (b) Temp.givare. Reg. Värmeelement Temp.givare. Reg. Värmeelement Figur.0. Husuppvärmning genom (a) framkoppling, (b) återkoppling. Övning.. Betrakta de två flödesreglersystemen nedan. Ange reglerstrategin (återkoppling / framkoppling) i vartdera fallet och motivera svaret. Det kan antas att avståndet mellan flödesgivaren FT och reglerventilen är litet. 5

16 . Reglertekniska grunder.4 Reglerstrategier Övning.3. Vätskebehållaren till höger har ett tillflöde F och ett utflöde F. Tillflödet regleras så att F 0 l/min. Man önskar hålla vätskevolymen konstant vid V 000 l. Vätskevolymen (eller vätskenivån) är således systemets utsignal, medan F och F är insignaler. Följande reglerstrategier är tänkbara: a) Öppen styrning utflödet mätes och regleras så att F 0 l/min. b) Framkoppling tillflödet mätes och utflödet regleras så att F F. c) Återkoppling vätskenivån h mätes och regleras med hjälp av utflödet. Diskutera skillnaderna mellan dessa strategier och föreslå lämplig strategi. a) FC 0 l/min F V h 0 l/min FC F b) FC 0 l/min F V h FC F c) FC 0 l/min F 000 l V h F 6

17 . Reglertekniska grunder.5 Återkopplad reglering.5 Återkopplad reglering.5. Konstantreglering och följereglering Figur. visar ett blockschema över en enkel återkopplad reglerkrets. Reglersystemets uppgift är att styra en viss variabel (utsignalen) hos det reglerade systemet till en önskad nivå given av börvärdet, även kallat ledvärde eller referensvärde. Vanligtvis opererar regulatorn direkt på skillnaden mellan börvärdet och utsignalens mätvärde, dvs på regleravvikelsen eller reglerfelet. Utsignalens värde (i ett visst ögonblick) kallas ibland ärvärde. Matematiska symboler som ofta kommer att användas för de olika signalerna har även införts i figuren. störningar jämförare v börvärde + reglerfel styrsignal utsignal Regulator Reglerat system r e u y - mätsignal y m Mätgivare Figur.. Återkopplad reglerkrets. Beroende på om börvärdet är konstant eller varierande skiljer man på två olika typer av reglering:. Konstantreglering. Börvärdet är oftast konstant och reglersystemets huvuduppgift är att hålla utsignalen lika med börvärdet, trots störningars inverkan. Ibland kallas detta för regulatorproblemet.. Följereglering. Börvärdet varierar och reglersystemets huvudfunktion är att få utsignalen att följa börvärdet med så små fel som möjligt. Ibland kallas detta för servoproblemet. Dessa två typer av reglering kan långt behandlas parallellt; skillnader uppkommer närmast i valet av parametervärden för regulatorn (kapitel 8)..5. Ett exempel på vad som kan uppnås med återkoppling Låt oss, för att illustrera vissa fundamentala egenskaper för återkopplad reglering, betrakta det tidigare omtalade husuppvärmningsexemplet. Innetemperaturen i beror av utetemperaturen u och uppvärmningseffekten P enligt ett visst dynamiskt samband. Vi kan här dock för enkelhets skull nöja oss med att betrakta det statiska samband mellan dessa variabler som gäller vid stationärtillstånd, även kallat fortfarighetstillstånd. Om vi använder symbolerna i, u resp. P för att beteckna variablernas statiska värden kan vi skriva sambandet som K P (.) i p där K p är systemets förstärkning, som här är en positiv parameter. Ur ekvationen framgår, som sig bör, att i u om värmeeffekten P 0 samt att en ökning av värmeeffekten ökar innetemperaturen. Vi vill att innetemperaturen skall vara ungefär konstant och lika med en önskad referenstemperatur r trots variationer i utetemperaturen. En enkel reglerlag är att justera värmeeffekten u 7

18 . Reglertekniska grunder.5 Återkopplad reglering i proportion med skillnaden mellan den önskade innetemperaturen och den rådande innetemperaturen. När vi enbart beaktar stationärtillståndet, innebär detta P K c r i ) ( P (.) där K c är regulatorns förstärkning och P 0 en konstant grundeffekt som vi kan ställa in manuellt. Detta samband beskriver en proportionalregulator, vanligare kallad en P-regulator. Som vi ser har regulatorn den egenskapen att värmeeffekten ökas när innetemperaturen är lägre än den önskade temperaturen, ifall K c 0. Genom att kombinera ekvation (.) och (.) får vi mer explicit information om hur det reglerade systemet beter sig. Eliminering av styrsignalen P ger p c p c 0 KpKc K p i r u P0 (.3) K K K K K K Ur denna ekvation kan vi bl.a. utläsa följande. Om den automatiska temperaturregleringen är avslagen så att K c 0, får vi i u K pp0, dvs innetemperaturen blir som väntat inte alls beroende av den önskade temperaturen r. Om dessutom grundvärmen är avslagen så att P 0 0, blir innetemperaturen lika med utetemperaturen. Om vi ställer regleringen på automatik ( K c 0), får vi t.ex., om vi väljer Kc / Kp, i 0,5 r 0,5 u 0, 5KpP0, dvs innetemperaturen kommer närmare den önskade temperaturen än utetemperaturen (ifall!). Beroende på hur vi ställt in P 0 är det till och med möjligt att vi råkar få i r. Det är lätt att inse att ju högre K c är, desto mer närmar sig i referensvärdet r oberoende av u och P 0, dvs om K c, gäller att i r. Detta illustrerar en fundamental egenskap hos återkopplad reglering. Den kan så gott som helt eliminera störningars (här utetemperaturens u ) inverkan på det reglerade systemet och vi behöver vanligtvis inte heller känna till systemets egenskaper i detalj (här K p ) för att ställa in regulatorn. Dessutom kan vi få utsignalen att anta eller följa ett önskat värde (här )..5.3 Ett motexempel: begränsande faktorer I exemplet ovan försummade vi systemets dynamik för att på ett enkelt sätt kunna illustrera fördelar som åtminstone i princip kan nås med återkopplad reglering. Det är klart att vi i praktiken inte t.ex. kan ha en regulatorförstärkning som närmar sig oändligheten. När systemets dynamik beaktas skulle detta enligt den dynamiska motsvarigheten till ekvation (.) kräva ett effektpådrag som närmar sig oändligheten om innetemperaturen avviker från referenstemperaturen. Dessutom ställer det reglerade systemets (dynamiska) egenskaper i allmänhet begränsningar, som följande exempel visar. Betrakta processen i övning., där vätska strömmande i ett välisolerat rör uppvärms och temperaturregleras genom direkt tillförsel av ånga. Vätskans temperatur mäts 60 m efter blandningspunkten, vilket med beaktande av strömningshastigheten v m/s innebär att blandningspunktens temperatur når mätpunkten efter minut. Om vätskans temperatur före blandningspunkten betecknas i och masströmmen tillförd ånga betecknas m gäller, då värmeförlusten från röret försummas, p c r u i r 8

19 . Reglertekniska grunder.5 Återkopplad reglering t ) ( t) ( t) K m ( ) (.4) ( i p t där t är tiden uttryckt i minuter och K p är en positiv processförstärkning, vars värde vi inte här behöver bestämma närmare. Om vi använder en P-regulator för reglering av med m (här försummar vi reglerventilen) är reglerlagen m ( t) K ( t m (.5) K c är regulatorns förstärkning och m 0 är ångströmmens normalvärde, som vid stationär- där tillstånd ger r 0 c ) r. Kombinering av ekvation (.4) och (.5) ger r ( t Kp 0 ( m (.6) t ) i ( t) K pkc ) Betrakta ett stationärtillstånd ( i, ). Enligt ekvation (.6) gäller då ( K m (.7) i K pkc r ) Subtraktion av ekvation (.7) från (.6) ger med p i ( t ) i ( t) i och ( t ) ( t) ( t ) i ( t) K pkc ( t) 0 (.8) Antag att stationärtillstånd råder fram till t 0 och att en stegformig förändring i, steg sker i temperaturen i vid denna tidpunkt. Enligt ekvation (.8) får vi då ( ) i, steg, ( ) K K () ( K K och allmänt får vi för t k i,steg p c p c ) i,steg k j ( k) ( K pkc ) j0 (.9) Vi ser omedelbart att varje term i högra ledet till absoluta beloppet blir större än föregående term om K pkc, vilket betyder att serien divergerar med instabilitet som följd. Om K pkc, kommer att svänga mellan nivåerna i, steg och i, steg för all framtid. Om K K, är termerna i summan en konvergerande geometrisk serie, och vi får p c p c i,steg i, steg ( k) när k, K pkc (.0) K K Av (.0) framgår att bästa reglering med en P-regulator ger ( k ) 0, 5i, steg när k, trots att vi skulle önska 0. I detta exempel erhöll vi inte de mycket positiva effekter vi erhöll i föregående exempel. Vi kan inte säga att processen i detta exempel är speciellt komplicerad, men den innehåller en ren transportfördröjning, eller mer allmänt en tidsfördröjning, även kallad dödtid. Dylika transportfördröjningar är givetvis mycket vanliga i processindustrin, men även andra processer innehåller ofta dödtider. Vi kan rent allmänt konstatera att dödtider i en återkopplad reglerkrets är till skada för regleringen och äventyrar reglerkretsens stabilitet. Dödtider är besvärliga processegenskaper, men processer kan vara svårreglerade också av andra orsaker. Till exempel processer, vars beteende beskrivs av (linjära) differentialekvationer av tredje eller högre ordning, medför begränsningar av liknande typ som dödtider gör. 9

20 . Reglertekniska grunder.5 Återkopplad reglering.5.4 PID-regulatorn I de två illustrationsexemplen ovan använde vi P-regulatorer och vi kunde konstatera följande egenskaper: En hög regulatorförstärkning är önskvärd för eliminering av störningars inverkan på det reglerade systemet samt reducering av känsligheten för osäkerhet rörande processparametrar. En hög förstärkning kan leda till instabilitet och situationen förvärras av processosäkerheter; man kan säga att risken är överhängande när man litar för mycket på för gammal information. En stationär regleravvikelse (ett bestående reglerfel) erhålles efter en belastningsförändring (dvs en laststörning); ju mindre regulatorförstärkningen är, desto större blir regleravvikelsen. Man kan säga att de två första punkterna gäller för återkopplad reglering i allmänhet. Eftersom de är sinsemellan motstridiga antyder de att kompromisser måste göras för att hitta en optimal regulatorinställning. Det är också troligt att en mer komplicerad regulator än en P- regulator vanligtvis är att föredra. Detta är t.ex. nödvändigt för eliminering av stationär regleravvikelse. Den så kallade PID-regulatorn är en universalregulator, som förutom en ren förstärkning, också innehåller integrerande och deriverande verkan. Reglerlagen för en ideal PID-regulator i praktiken används ofta dock modifieringar ges av t de( t) u( t) K c e( t) e( )d T d u0 T (.) i dt 0 där u (t) är regulatorns utsignal och e (t) är skillnaden mellan referensvärde och mätvärde, dvs reglerfelet; se figur.. Regulatorns justerbara parametrar är, förutom styrsignalens normalvärde u 0 (ofta = 0), förstärkningen K c, integrationstiden T i och deriveringstiden T d. Genom lämpligt val av regulatorparametrar kan man koppla bort de delar man inte behöver. En s.k. PI-regulator erhålles genom att sätta T 0 och en P-regulator erhålles genom att formellt ytterligare välja T i (obs. inte T i 0!). Ibland används också PD-regulatorer. Man vill så gott som alltid ha med P-verkan, och som reglerlagen i (.) är skriven kan man inte heller koppa bort den utan att koppla bort hela regulatorn. Man kan dock avlägsna denna begränsning genom att skriva reglerlagen på formen t i 0 d de( t) u( t) Kce( t) K e( )d Kd u0 (.) dt PI-regulatorn är utan tvekan den vanligaste regulatorformen i (process)industrin, där den speciellt används för flödesreglering. Sammanfattningsvis kan sägas att PI-regulatorn har goda statiska egenskaper, den eliminerar stationär regleravvikelse; tendens att förorsaka oscillerande beteende, vilket reducerar stabiliteten (integralen samlar på gammal information!). D-verkan inkluderas ofta (PD eller PID) vid reglering av processer med långsam dynamik, speciellt temperatur och ångtryck. D-verkan ger goda dynamiska egenskaper och god stabilitet (derivatan predikterar framtiden!); känslighet för mätbrus. 0

21 . Reglertekniska grunder.5 Återkopplad reglering Övning.4. Betrakta en PI-regulator och antag att stationärtillstånd råder vid tiden t ts. Detta innebär att u (t) och e (t) är konstanta för t ts. Förklara varför detta måste innebära att e ( t s ) 0, dvs att regleravvikelsen måste vara noll vid stationärtillstånd. Övning.5. Vilken stationär egenskap har en dubbelintegrerande regulator (PII-regulator) t u( t) K c e( t) x( u T i 0 t ) d 0, x t) 0 ( e( )d dvs vad kan man säga om e (t) och/eller x (t) vid stationärtillstånd?.5.5 Negativ och positiv återkoppling Det är vikigt att skilja på negativ återkoppling och positiv återkoppling. Negativ återkoppling innebär att styrsignalen motverkar reglerfelet. Positiv återkoppling innebär att styrsignalen förstärker reglerfelet. Övning.6.. Vilken typ av återkoppling vill man ha i ett reglersystem?. Hur vet man vilken typ av återkoppling man har i ett reglersystem? 3. Kan man alltid välja rätt typ av återkoppling? 4. Vad händer ifall man har fel typ av återkoppling? Man ser ofta andra definitioner på negativ (och positiv) återkoppling än den ovan givna, t.ex.: Negativ återkoppling innebär att styrsignalen ökar när utsignalen minskar och tvärtom. Negativ återkoppling erhålls när utsignalens mätvärde subtraheras från ledvärdet. 5. Är dessa definitioner i överensstämmelse med den först givna? 6. Om inte, vad förutsätter de av processen och/eller regulatorns egenskaper?

22

23 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modelltyper För att kunna göra design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som beskriver systemets dynamiska beteende. Vi kan skilja på två huvudtyper av modeller: Differentialekvationer, som beskriver kontinuerliga förlopp. Differensekvationer, som beskriver systemegenskaper endast vid diskreta ögonblick. Ett motiv för användning av tidsdiskreta modeller också för beskrivning av kontinuerliga system är att det kan underlätta konstruktionen av tidsdiskreta regulatorer, som är den form som vanligtvis behövs för praktisk implementering av ett reglersystem. Om önskvärt, kan man i alla fall utgå från en systembeskrivning med differentialekvationer, eftersom sådana kan transformeras till differensekvationer genom s.k. sampling. Differensekvationer kan i allmänhet, men inte alltid, transformeras till differentialekvationer. I denna kurs behandlas tidskontinuerliga modeller. Tidsdiskreta modeller behandlas bl.a. i kurserna Processreglering och Modellering och reglering av stokastiska system. 3.. Modellkonstruktion Det finns två grundprinciper för konstruktion av matematiska modeller: fysikaliskt modellbygge och systemidentifiering. Fysikaliskt modellbygge innebär att man återför systemets egenskaper på delsystem, vilkas egenskaper är kända. För tekniska system betyder detta vanligtvis att man använder de naturlagar som beskriver delsystemen. För icke-tekniska system (ekonomiska, sociologiska, biologiska, o.dyl.) har man i regel inga säkra naturlagar ens för enkla delsystem. Man måste då i stället använda hypoteser eller allmänt vedertagna samband. Systemidentifiering, eller kortare, identifiering, innebär att man använder observationer (mätningar) från systemet för att anpassa en modell till systemets beteende. Vanligtvis gör man speciella experiment för att erhålla lämpliga data för identifieringen. Identifiering används ofta som komplement till fysikaliskt modellbygge, t.ex. för att bestämma någon osäker parameter. Några enkla identifieringsmetoder tas upp vid behandlingen av dynamiska system i kapitel 5. Det är viktigt att observera att alla modeller har ett begränsat giltighetsområde. Detta gäller till och med de s.k. naturlagarna. Newtons rörelselagar gäller t.ex. inte för hastigheter nära ljusets. Speciellt för modeller bestämda genom identifiering är det viktigt att inte (utan vägande skäl) använda dem i ett område som identifieringsexperimenten inte ger någon information om Fysikaliskt modellbygge I fortsättningen av detta kapitel skall vi behandla modellering utgående från fysikaliska samband. Eftersom verkliga system tenderar vara rätt komplexa, kan eller vill man i allmänhet inte beakta alla detaljer. Man försöker dock tillgodose följande något motstridiga krav: Modellen skall vara tillräckligt noggrann för sitt ändamål, vilket betyder att avvikelsen från systemets verkliga beteende inte får vara för stor. Modellen skall vara tillräckligt enkel att använda, t.ex. för systemanalys och konstruktion av reglersystem. 3-

24 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper Vid fysikaliskt modellbygge används två typer av matematiska samband: balansekvationer och konstitutiva relationer. Balansekvationer Balansekvationer relaterar additiva storheter av samma slag i ett avgränsat system. Man kan säga att det finns två generella typer av balansekvationer: flödesbalanser och intensitetsbalanser. Allmänt har en flödesbalans för en storhet formen upplagring per tidsenhet = inflöde utflöde + generering per tidsenhet där upplagring och generering sker inne i systemet medan inflödet och utflödet anger det som passerar systemgränsen. När storheten i fråga inte deltar i kemiska eller atomära reaktioner saknas genereringsterm. Exempel på flödesbalanser (här utan genereringsterm) är Massbalans: upplagrad massa per tidsenhet = massflöde in massflöde ut Partikelbalans: upplagrat antal partiklar per tidsenhet = partikelflöde in partikelflöde ut Energibalans: upplagrad energi per tidsenhet = energiflöde in energiflöde ut Strömbalans (Kirchoffs :a lag): ström ut från knutpunkt = ström in till knutpunkt En partikelbalans är ofta en s.k. ämnesmängdbalans där storheten är antalet molekyler eller atomer. Härvid är den använda mängdenheten ofta mol, som ju uttrycker ett visst antal. Som av exemplen framgår uttrycker flödesbalanserna fysikaliska konserveringslagar där storheten (under normala betingelser) är oförstörbar. Därför bör man undvika volymbalanser, eftersom volym inte är en oförstörbar storhet och därmed inte additiv. Endast om densiteten för det strömmande mediet är konstant, som t.ex. en inkompressibel vätska vid konstant temperatur, kan man tänka sig att använda volymbalanser. En intensitetsbalans har allmänt formen ändring per tidsenhet = drivande storhet belastande storhet där ändringen per tidsenhet avser en systemegenskap, som genom systemets växelverkan med omgivningen påverkas av drivande och belastande storheter. Allmänt kan man säga att det är frågan om tillämpningar på Newtons rörelselagar samt Kirchoffs :a lag. Exempel på intensitetsbalanser är Kraftbalans: ändring av rörelsemängd per tidsenhet = drivande kraft belastande kraft Momentbalans: ändr. av rörelsemängdmoment per tidsenhet = drivande belastande moment Spänningsbalans (Kirchoffs :a lag): summan av spänningarna runt en krets = noll Konstitutiva relationer Konstitutiva relationer relaterar storheter av olika slag. Dessa uttryck har ofta karaktären av materialsamband, som beskriver egenskapen hos en viss komponent eller ett visst delsystem. Dessa samband är statiska i motsats till balansekvationerna, som normalt uttrycker dynamiska samband. Exempel på konstitutiva relationer är Ohms lag: sambandet mellan spänning över och strömstyrka genom ett motstånd Ventilkarakteristika: sambandet mellan tryckfall över och flöde genom en ventil Bernoullis lag: sambandet mellan vätskenivån i en tank och vätskans utströmningshastighet Allmänna gaslagen: sambandet mellan temperatur och tryck i en gastank 3-

25 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper Arbetsgången vid fysikaliskt modellbygge Följande arbetsgång vid fysikaliskt modellbygge rekommenderas:. Ställ upp aktuella balansekvationer.. Använd konstitutiva relationer för att relatera variabler till varandra samt för att introducera lämpliga nya variabler i modellen. 3. Gör dimensionsanalys, dvs kontrollera åtminstone att alla additiva termer i en ekvation har precis samma enhet! 3. Modeller för tekniska system I detta avsnitt härleds modeller för några typiska processer inom ett antal olika tekniska tillämpningsområden. Formlerna täcker de viktigaste samband man har anledning att använda i fysikaliskt modellbygge. 3.. Elektriska system Vi skall börja med att rekapitulera grundkomponenterna i elektriska system i(t) i(t) i(t) u(t) u(t) u(t) R C L motstånd kondensator spole I figur 3. och i nedanstående ekvationer betecknar u spänning och i strömstyrka. Det elektriska motståndet karakteriseras av ett linjärt statiskt samband mellan ström och spänning, nämligen Ohms lag: u( t) R i( t) (3.) För en kondensator med kapacitansen C gäller För en spole med induktansen L gäller Figur 3.. Grundkomponenter i ett elektriskt nät. t u( t) u(0) i( )d (3.) C 0 di u( t) L (3.3) dt 3-3

26 3. Matematisk modellering 3. Modeller för tekniska system Exempel 3.. Ett passivt analogt lågpassfilter. R u ( ) C u ( ) in t ut t Figur 3. visar ett passivt analogt lågpassfilter. Vi skall härleda hur spänningen u ( ) på utgångssidan varierar som funktion av spänningen u ( ) på ingångssidan under antagande att kretsen är obelastad på utgången. Figur 3.. Ett passivt lågpassfilter. in t ut t Vi betecknar spänningen över motståndet med u R (t), spänningen över kondensatorn med u C (t), strömmen genom motståndet med i R (t) och strömmen genom kondensatorn med i C (t). Om vi räknar alla spänningar (spänningsfall) som positiva, ger Kirchoffs andra lag för ett varv runt vänstra respektive högra slingan uin ( t) ur ( t) uc ( t) () u ( t) u ( t) () ut Då utgången är obelastad läcker ingen ström ut och vi har ir ( t) ic ( t) (3) Kombinering av () och () och insättning av (3.) ger u t) u ( t) R i ( t) (4) ut ( in Vidare ger kombinering av () och (3.) t uut ( t) uc ( t) uc (0) ic ( ) d (5) C Derivering av båda leden i (5) m.a.p. tiden ger du ut ic ( t) ir ( t) (6) dt C C där sista likheten fås från (3). Kombinering av (4) och (6) ger slutligen duut RC uut ( t) uin ( t) (7) dt Detta är en differentialekvation av första ordningen. Kretsen är ett lågpassfilter, som filtrerar bort höga frekvenser i u in ( t ). I praktiken har man också en förstärkare på utgångssidan, som gör att man kan belasta kretsen utan att (3) slutar gälla. C R 0 3-4

27 3. Matematisk modellering 3. Modeller för tekniska system Exempel 3.. Enkel RLC-krets. i R C L Vi skall härleda hur spänningen över kondensatorn, u C (t), beror av strömmen i (t) från strömkällan i kretsen som visas i figur 3.3. Analogt med exempel 3. betecknar vi spänningen över och strömmen genom elementen R, L och C med u R (t), i R (t), u L (t), i L (t), u C (t) och i C (t). Kirchoffs lagar ger ekvationerna uc ( t) ur ( t) ul ( t) () i( t) ir ( t) ic ( t) () ir ( t) il ( t) (3) Insättning av (3.) och (3.3) i () ger dil uc ( t) R ir ( t) L (4) dt varefter eliminering av i R (t) och i L (t) med () och (3) ger d i( t) ic ( t) uc ( t) R i( t) ic ( t) L dt (5) Enligt ekvation (6) i exempel 3. gäller duc ic ( t) C dt (6) vilket insatt i (5) ger duc d i( t) C du C dt uc ( t) R i( t) C L dt dt eller efter hyfsning där i(t) är insignal och u C (t) är utsignal. Figur 3.3. Enkel RLC-krets driven av en strömkälla. d uc duc di LC RC uc ( t) R i( t) L (7) dt dt dt Detta är en differentialekvation av andra ordningen. 3-5

28 3. Matematisk modellering 3. Modeller för tekniska system 3.. Mekaniska system Modelleringen av mekaniska system baserar sig i huvudsak på Newtons andra lag F ma (3.4) där F är den kraft som påverkar massan m och a är massans acceleration. Exempel 3.3. Odämpad pendel. Figur 3.4 visar en svängande pendel. Vi skall härleda sambandet mellan pendelns nedre position y och dess upphängningsposition u, båda räknade horisontellt från det vertikala planet till vänster i figuren. Pendeln kan röra sig endast i ett vertikalt plan vinkelrätt mot det vertikala F planet till vänster (dvs endast i den -dimensionella figurens u plan). Vi betecknar pendelns massa med m, pendelns längd med l, pendelns nedre vertikala position med h, kraften som påverkar pendeln i upphängningspunkten med F samt vinkeln mellan pendeln och en vertikal linje med. Vi tänker oss ett koordinatsystem placerat med origo i upphängningspunkten så att horisontalaxelns värde växer mot höger och vertikalaxelns nedåt. Värdet för alla variabler (eller variabelkomponenter) växer i nämnda riktningar. Då pendeln påverkas av upphängingskraften F (som verkar uppåt, dvs i negativ riktning enligt det pålagda koordinatsystemet) och gravitationskraften mg (som verkar nedåt, dvs i positiv riktning i koordinatsystemet), ger Newtons andra lag (3.4) ekvationerna my F sin () mh F cos mg () där ekvation () anger den horisontella kraftkomponenten och () den vertikala. Här betecknar y och h andra tidsderivatan av y resp. h, dvs accelerationen i respektive riktningar. Antag att pendelns svängning är måttlig så att vinkeln alltid är liten. Då rör sig pendeln knappast alls i vertikal riktning och vi kan anta att h 0. Ekvation () förenklas då och ger genom kombinering med (), så att F elimineras, y gtan 0 (3) Vinkeln ges av det trigonometriska sambandet där sista ledet följer av att y u y u tan (4) h l h l när är liten. Kombinering av (3) och (4) ger modellen y ( g / l) y ( g / l) u (5) Märk väl att approximationerna h 0 och liten begränsar modellens giltighet. y Figur 3.4. En svängande odämpad pendel. h l m 3-6