Hur man gör och varför.

FINANS ENLIGT MARKUS 2 Hur man gör och varför. o Innehåll: Kommenterad sammanfattning, Brealey & Myers, Principles of Corporate Finance, upplaga 6: kapitel 3 (nuvärdesberäkningar), 4 (aktievärdering), 7, 8, 9 (CAPM); 20, 21 (optionsteori) o Sammanfattningens delar är skrivna vid vitt skilda tillfällen, och varierar i språkdräkt och struktur: 2001: kapitel 7, 8, 9, 20, 21. 2003: kapitel 3, 4. o Markus Andersson, 18693@student.hhs.se. 1

2 Det är aldrig för sent att ge upp.

Innehåll KAPITEL 3... 4 ANNUITETER OCH PERPETUITETER... 4 OLIKA TYPER AV RÄNTA... 5 ÖVRIGT... 6 APPENDIX TILL KAPITEL 3... 7 TALFÖLJDER OCH SERIER... 7 KAPITEL 4... 10 AKTIEVÄRDERING MED DISKONTERAT KASSAFLÖDE... 10 AKTIEVÄRDETS BESTÅNDSDELAR... 12 VÄRDET AV NYA INVESTERINGAR... 13 P/E-TALET... 14 ÖVRIGT... 14 KAPITEL 7... 15 DIVERSIFIERING, UNIK RISK OCH MARKNADSRISK... 15 PORTFÖLJBERÄKNINGAR... 16 RISKPREMIER... 18 VÄRDEADDITIVITET... 19 KAPITEL 8... 20 EFFEKTIVA PORTFÖLJER... 20 CAPITAL ASSET PRICING MODEL... 22 ALTERNATIVA MODELLER... 23 KAPITEL 9... 24 ATT VÄLJA RÄTT b... 24 KAPITALSTRUKTUR OCH KAPITALKOSTNAD... 25 KAPITEL 20... 29 OPTIONER... 29 VAD SOM STYR OPTIONERS VÄRDE... 32 BINOMIAL OPTIONSVÄRDERING... 34 BLACK & SCHOLES FORMEL... 36 KAPITEL 21... 37 REELLA OPTIONER... 37 OPTIONSVÄRDERING MED BESLUTSTRÄD... 40 KOMPLIKATIONER KRING BLACK & SCHOLES FORMEL... 41 3

Kapitel 3 Nuvärdet PV av en betalning i framtiden beräknas såhär: PV = C t ( ) t r t = räntan C t = betalningsbeloppet 1+ r t t = antalet perioder Det främsta syftet med nuvärdesberäkningar är att betalningar som görs vid olika tidpunkter kan adderas till en gemensam summa: PV = + C 0 C1 + 1+ r 1 + C 2 + C 3 +... + Â 2 3 T t ( 1+ r ) ( 1+ r ) ( 1+ r ) t= 1 ( 1+ r ) 2 3 C T T = T C t t C 0 betecknar en (vanligen negativ) betalning som utgår redan vid första periodens början (t = 0) och alltså ej diskonteras. När C 0 inkluderas i uppställningen benämns summan nettonuvärde. Annuiteter och perpetuiteter Om räntan och beloppet är konstanta i en betalningsström är den en annuitet, om antalet termer dessutom är oändligt en perpetuitet. Värderingsformeln framför allt för en perpetuitet är enkel: Nuvärdet av en perpetuitet: PV = C r Nuvärdet av en annuitet: PV = C Ê r 1-1 Á Ë 1+ r ( ) N ˆ Dessa formler gäller som sagt för konstanta betalningsströmmar. Om man antar att betalningsbeloppet i stället växer med en konstant faktor g varje år (t ex i takt med konsumentprisindex eller en löneökning), fungerar formlerna på samma sätt genom att g dras från r varhelst r förekommer: 1 Perpetuitet: PV = C r - g 1 Att tecknen på r och g blir motsatta är enkelt att förstå, eftersom en hög ränta gör betalningsserien mindre värd men en hög C ökningstakt gör den mer värd. Om betalningarna i stället minskar i storlek med en faktor h, fås PV = r + h o s v. 4

Annuitet: PV C Ê Á 1- r - g Ë 1 = T ˆ ( 1+ r - g) Minnesmetod för annuitetsformeln Antag en positiv perpetuitet A som utgår från och med t = 0. Antag sedan en ny, negativ perpetuitet B som utgår från och med t = (x + 1) med samma belopp som A, och alltså nollställer den första från och med detta datum. Detta ger exakt samma resultat som en annuitet som utgår från t = 0 till t = x. Beräkna som följer: Värdet av A vid t = 0: Värdet av B vid t = x: PV PV A = C r B = - A C r B Summan av A och B vid t = 0: PV C = r A + C - r B ( 1+ r) x Voilà: PV C Ê Á 1- r Ë 1 = x ˆ ( 1+ r) Olika typer av ränta Ë Med eller utan återinvestering? Antag att Du har ett bankkonto med 100 kr insatta. När räntan C betalas ut kan Du välja mellan att konsumera denna inkomst eller att återinvestera den på samma konto, varvid nästa räntebetalning blir större. Skillnaden efter flera perioder kan bli betydande. I finansiella sammanhang räknar man inklusive återinvestering om inget annat anges, vilket t ex är en förutsättning för att annuitets- och perpetuitetsformlerna ska fungera. Ë Diskret eller kontinuerlig ränta? Givet att räntan ska återinvesteras blir det även intressant hur ofta räntan betalas ut. Om utbetalningarna görs t ex en gång i halvåret i stället för årligen kommer investeraren att tjäna 6 månaders extra ränta på den första utbetalningen. Ju kortare intervall desto högre blir den effektiva räntan, d v s den avkastning som faktiskt har erhållits vid slutet av året. Om antalet perioder per år är m, får vi en ny formel för den effektiva räntan: 5

(1 + r) t Ê 1+ r ˆ Á Ë m tm Det mest extrema fallet av korta ränteperioder är kontinuerlig ränta, d v s som har m =. Beräkningarna blir fortsatt enkla, eftersom: Ê lim 1+ r ˆ Á m Æ Ë m tm = e rt Perpetuitetsformeln ser likadan ut med kontinuerlig ränta som med diskret, medan annuitetsformeln blir något annorlunda: Perpetuitet: PV = C r disk PV = C r kont Annuitet: PV C Ê ( ) ˆ Á 1 C ˆ 1 - r Á Ê 1 PV = 1 - rkontt disk Ë 1+ r disk rkont Ë e = T Även omvandling mellan motsvarande kontinuerliga och diskreta räntesatser kan hanteras med enkla formler: Kontinuerlig och diskret ränta: r r = kont disk e -1 r kont = ln( r disk +1) Ë Nominell eller reell ränta? Den nominella räntan avgör tillväxten i kronor och ören på ett bankkonto, men den faktiska ökningen av köpkraft beskrivs av den reella räntan, som alltså är lägre än den nominella så länge det finns positiv inflation. Sambandet är: Nominell och reell ränta: ( + r ) = ( 1+ r ) ( 1 i) 1 i = inflation nom rell + Övrigt Att göra arbitrage innebär att tjäna pengar omedelbart och utan risk genom att "lura marknaden". Poängen med arbitrage är att det är omöjligt på en fungerande marknad, 2 vilket medför att tänkbara situationer som skulle innebära arbitragemöjligheter ofta kan uteslutas. 2 Utom när Henrik Sandström var bc-prez. 6

Appendix till kapitel 3 Annuiteter och perpetuiteter behandlas i boken relativt ytligt, för den som önskar en verklig förståelse ges hör en matematisk härledning av summaformlerna för annuiteter och perpetuiteter. Struktur: Härledning av summaformeln för en geometrisk talföljd Härledning av summaformeln för en konvergent geometrisk serie Ekonomisk tillämpning: annuiteter Ekonomisk tillämpning: perpetuiteter Talföljder och serier En talföljd är en följd av tal, termer, som beter sig på något visst sätt. En serie är en talföljd där antalet termer är oändligt. I en aritmetisk talföljd är differensen d mellan varje talpar lika stor (t ex s = 1 + 3 + 5 + 7, d = 2). I en geometrisk talföljd är i stället kvoten k mellan varje talpar lika stor, (t ex s = 1 + 2 + 4 + 8, k = 2). En talföljd beskrivs som följer: a = första talet i taljföljden k/d = kvoten/differensen mellan varje tal aritmetisk talföljd: Â s = a + ad + 2ad + 3ad + +Nad = ( n -1) N n= 1 ad geometrisk talföljd: s = a + ak + ak 2 + ak 3 + + ak N = N Â n= 1 ak n-1 Härledning av summaformeln för en geometrisk talföljd Steg 1: Ställ upp talföljden på standardform: (1) s = a + ak + ak 2 + ak 3 + + ak N - 1 Steg 2: Förläng talföljden med den egna kvoten k: (2) sk = ak + ak 2 + ak 3 + + ak N Steg 3: Subtrahera ekvation (2) från ekvation (1): s - sk = (a + ak + ak 2 + ak 3 + ak N - 1 ) - (ak + ak 2 + ak 3 + + ak N ) s - sk = a - ak N Steg 4: Bryt ut s respektive a och isolera s: s(1 - k) = a(1 - k N ) 7

1- kn s = a 1- k Summan av en geometrisk talföljd: 1- kn s = a 1- k ( k < 1) Härledning av summaformeln för en konvergent geometrisk serie Summan av en geometrisk serie kan beräknas endast om serien är konvergent, till skillnad från divergent. Divergens föreligger om k > 1, vilket gör att termerna blir större och större och seriens summa därmed oändlig. Om däremot k < 1 kommer termerna att bli mindre och mindre, och seriens summa att konvergera mot ett tal som går att beräkna. Detta följer av att då N blir oändligt stor kommer den sista termen k N att bli oändligt liten: lim N Æ kn = 0 ( k < 1) Insättning av detta i det föregående resultatet ger: 1-0 1 s = a = a 1- k 1- k Summan av en konvergent geometrisk serie: s = a 1- k ( k < 1) Ekonomisk tillämpning: annuiteter En annuitet har ett begränsat antal termer och ser ut som följer: PV = C 1+ r + C (1+ r) + C 2 (1+ r) +...+ C 2 (1+ r) N Om applicerar definitionerna för a (det första talet i serien) och k (den konstanta kvoten) blir det uppenbart att annuiteten är en geometrisk talföljd, som har: a = C 1+ r k = 1 1+ r 8

Denna talföljd är konvergent så länge r > 0. Med utgångspunkt i annuitetens summaformel ersätts a och k med ovanstående uttryck, därefter förenklas till samma uttryck som används i kapitlet: 1- kn s = a 1- k PV PV Ê 1 ˆ 1- Á C Ë1+ r = 1+ r Ê 1 ˆ 1- Á Ë1+ r C Ê Á1- r Ë 1 = T ˆ ( 1+ r) T Ekonomisk tillämpning: perpetuiteter Nuvärdet av en perpetutitet, d v s en betalningsström som fortsätter i evighet, kan härledas på precis samma sätt från formeln för den geometriska serien. Låt: a = C 1+ r k = 1 1+ r Ersätt a och k i summaformeln och förenkla: s = a 1- k C PV = 1+ r 1-1 1+ r PV = C r 9

Kapitel 4 En aktie är en andel av ett företag, den har ett värde för att den ger en andel av företagets vinster. Aktievärdering med diskonterat kassaflöde En person som köper en aktie 3 gör det i syfte dels att den ska ge en utdelnig ( dividend) DIV, dels att dess kapitalvärde ska öka från P 0 till P t. Den sammanlagda avkastningen i procent på ett år blir: r = DIV 1 + P 1 - P 0 P 0 Om marknaden fungerar kommer aktiepriset att stiga eller sjunka på så sätt att avkastningen r alltid motsvarar marknadens avkastningskrav (market capitalization rate) för aktier med motsvarande risknivå. Detta innebär att r kan tas för givet och aktievärdet P 0 kan beräknas genom att estimera P 1 och DIV 1 : P 0 = DIV 1 + P 1 1+ r Värdet idag beräknas alltså med utgångspunkt för värdet om ett år. Härmed inses att precis som P 0 kan beräknas från DIV 1 och P 1, kan P 1 beräknas från DIV 2 och P 2, o s v. Resultatet blir en oändlig kedja av termer 4, vilket gör det onödigt att känna till det sista värdet P T : P 0 = DIV 1 1+ r + DIV 2 1+ r ( ) + DIV 3 2 ( 1+ r) + DIV 4 3 ( 1+ r) + DIV 5 4 ( 1+ r) +...+ DIV H + P H 5 ( 1+ r) H 5 P 0 = P 0 = H  t =1 DIV t 1+ r P H 1+ r + ( ) t ( ) H DIV t t =1 1+ r  ( ) t Detta är den diskonterade kassaflödesformeln (Discounted Cash-Flow), DCF. Om utdelningarna antas växa med en konstant faktor g varje år, kan P 0 nu beräknas med hjälp av den vanliga perpetuitetsformeln från förra kapitlet: 3 Antingen direkt från företaget vid en nyemittering, primärmarknaden, eller genom efterföljande handel på någon av världens aktiebörser, sekundärmarknaden. 4 En perpetuitet. 5 H som i (tids-) Horisont. 10

Aktievärdet enligt diskonterade kassaflödesformeln: P 0 = DIV 1 r - g 6 Ett sätt att estimera g är att anta att företaget har oändliga investeringsmöjligheter med samma avkastning som på sitt nuvarande kapital. Tillväxttakten g blir då lika med de genererade vinstmedlen i procent av eget kapital, kapitalavkastningsgraden (ROE, Return on Equity), multiplicerat med den andel av dessa medel som företaget väljer att återinvestera, återinvesteringsgraden (plow-back ratio): g = kapitalavkastningsgrad x återinvesteringsgrad (g = ROE x plowback ratio) Ett estimat av g som ska gälla i evighet blir förstås aldrig mer än en gissning, vilket är en av anledningarna till att den enkla DCF-formeln aldrig blir mer än en nyttig tumregel. Att uppskatta r för hela marknaden genom att räkna på endast ett företag är också det mycket vanskligt. Översikt över termer och samband: DIV (Dividend), utdelning = [utbetalade vinstmedel per akite] EPS (Earnings Per Share), vinst per aktie = [vinst genom antalet aktier] ROE (Return On Investment), kapitalavkastningsgrad = [vinst genom eget kapital, totalt eller per aktie] Payout ratio utdelningsgrad = [andel av EPS som betalas ut som utdelning] Plowback ratio återinvesteringsgrad = [andel av EPS som läggs till det egna kapitalet] PVGO (present value of growth opportunities) = [värdet av framtida tillväxtmöjligheter] payout ratio = 1 - plowback ratio DIV = EPS x payout ratio ROE = EPS / (eget kapital per aktie) = vinst / eget kapital g = ROE x plowback ratio P 0 = DIV 1 r - g r = DIV 1 + g P 0 Fria kassaflödesmetoden Var noga med att det bara är inkomster som tillfaller det nuvarande aktiekapitalet som ska inkluderas i värderingen. Om bolaget i framtiden ökar aktiekapitalet genom en nyemision, ska bara den andel av senare intäkter inkluderas i värderingen som motsvarar kapitalet vid värderingstillfället. Alternativet är att göra antagandet att det är de nuvarande aktieägarena som även köper alla aktier som emitteras i framtiden, och att värdet av dessa belastar 6 Formeln fungerar endast så länge r > g. 11

värderingen idag som en kostnad. Det återstående nettokassaflödet från företaget varje år kallas det fria kassaflödet (free cash flow) och metoden följaktligen fria kassaflödesmetoden: P 0 = PV[fria kassaflödet] = PV[intäkter - nettoinvesteringar] 7 Aktievärdets beståndsdelar En aktie har ett värde för att den ger en andel i företagets vinster. Ett sätt att betrakta detta värde är att dela upp det dels i det givna, nuvarande företaget och dess inkomster, dels i värdet av framtida tillväxtmöjligheter (present value of growth opportunities), PVGO. Nedan följder ett exempel på hur aktievärdet kan delas upp i det statiska företaget och PVGO. Antag ett företag som har: r...15 % EPS 1...8,33 kr DIV 1...5 kr eget kapital per aktie...33,32 kr Antag att företaget har obegränsade investeringsmöjligheter med samma risk och avkastning so i sin nuvarande verksamhet. Marknaden värderar företaget till P 0 = 100. Statiskt företag (1) Att företaget ses som statiskt innebär att EPS är konstant och att hela EPS betalas ut som utdelning eftersom inga investseringar görs (EPS = DIV). Värdet fås genom perpetuitetsvärdering av EPS 1 : "SF"= EPS 1 r = 8,33 0,15 = 55,56kr PVGO (1) Företagets kapitalavkastning är: ROE = EPS 1 EK aktie = 8,33 33,32 = 0,25 (2) Återinvesteringsgraden är: återinvesteringsgrad = 8,33-5 8,33 = 0,4 (3) Beräkna nettonuvärdet av den investering som görs vid t = 1. Återinvesteringsgraden 0,4 ger en investering 8,33 x 0,4 = 3,33 kr med avkastning 3,33 x 0,25 = 0,83 kr från och med t = 2. Alltså: NPV 1 = -3,33+ 0,83 0,15 = 2,22kr 7 Exempel se s. 79, s. 80. 12

(4) Den konstanta tillväxttakten i eget kapital blir: g = återinvesteringsgrad ROE = 0,4 0,25 = 0,10 (5) Eftersom investeringsverksamheten har samma risk som företaget i övrigt är fortfarande r = 0,15. Nu är alla bitarna på plats för att värdera företagets framtida investeringsmöjligheter som en ytterligare en perpetuitet: PVGO = NPV 1 r - g = 2,22 0,15-0,10 = 44,44kr Resultatet blir: SF + PVGO = 55,56 + 44,44 = 100 = P 0. PVGO står här för en relativt hög andel av aktievärdet, vilket motiverar att företaget betecknas som ett tillväxtföretag. Aktievärdets beståndsdelar P 0 = EPS 1 r + PVGO Storleken på PVGO avgörs av vilka investeringsmöjligheter företaget har. Företag som är inbegripna i starka expansionsfaser och investerar alla pengar de tjänar har DIV = 0 och P 0 = PVGO. Värdet av nya investeringar Nya investeringar inom ett företag behandlas som fristående projekt och värderas separat utifrån sina särkostnader och särintäkter. Avgörande för värderingen är vilken diskonteringsränta som ska gälla för projektet, vilket styrs av projektets risknivå. Antag ett företag värderat till P 0 med en konstant årsinkomst C = 10, som investerar i ett projekt som har samma risk som företaget i övrigt: 8 1 2 3 4 5 H Före investering: +10 +10 +10 +10 +10 +10 C 0 = r P före 1 8 Tentarelevant 311: När en tentafråga anger att "projektet liknar företagets övriga verksamhet" eller motsvarande är det till för att risken ska vara densamma. Står inte detta så glöm inte bort att göra ett antagande. 13

r = P C 0 10 = 100 1 = 0,10. Investering: -25 +2,5 +2,5 +2,5 +2,5 +2,5 P 0 projekt Ê = C 1 + C ˆ 2 Á 1 Ë r 1+ r Ê 2,5 ˆ = Á -25+ 1 Ë 0,10 1,10 = 0 1 1,10 = 0kr. Summa: -15 +12,5 +12,5 +12,5 +12,5 +12,5 Ê P efter 0 = C 1 + C ˆ 2 Á 1 Ë r 1+ r = Ê -15+12,5 ˆ Á 1 Ë 0,10 1,10 = 110 1 1,10 = 100kr I detta exempel visar det sig att investeringen inte tillför företaget något nytt värde, eftersom projektets avkastning EPS / P 0 = 2,5 / 25 exakt motsvarar kapitalavkastningskravet r = 0,10. Företaget har PVGO = 0. P/e-talet Talet som kallas P/e är helt enkelt kvoten mellan aktiepriset P 0 och företagets nuvarande vinst per aktie EPS 0. Detta tal berättar hur mycket marknaden är beredd att betala för företaget i förhållande till dess nuvarande vinstnivå. Att ha ett högt P/e-tal uppfattas vanligen som positivt. Det kan bero antingen på att företaget är mycket stabilt och att den låga risken ger ett lågt r, eller på att företaget har goda investeringsmöjligheter vilket ger ett högt PVGO och ett högre pris än vad som betingas av EPS / r ensamt. Övrigt En nationalekonomiinspirierad metod för att bestämma var tidshorisonten ska placeras är att välja det första år då PVGO = 0, eftersom det anses beteckna att perfekt konkurrens inträtt på marknaden och att den framtida utvecklingen blir stabil. Notera att samtliga värderingsmetoder som används i kapitlet är extremt känsliga för variationer i exempelvis r eller EPS H. 14

Kapitel 7 Diversifiering, unik risk och marknadsrisk Om en investerare har placerat alla sina pengar i en fabrik som tillverkar backspeglar, och sedan får veta att marknaden för backspeglar kraschat, är detta extremt dåliga nyheter. Om investeraren däremot placerat endast en del av sina pengar i backspeglar och resten i annat (badbyxor, badmintonbollar, badkar, badrumsvågar, baguetter, bajonetter...), spelar detta inte så stor roll. Investeraren har reducerat sin risk genom diversifiering. Hade inte backspegelsinvesteringen slagit illa ut, hade förmodligen något annat gjort det, men i snitt blir investeringen ganska förutsägbar. Dock inte fullständigt, det finns alltid en liten risk att ekonomin kraschar i hela landet, så att det inte spelar någor roll hur väl investeraren diversifierat. 1. Den risk hos en tillgång som går att diversifiera bort kallas unik risk. 2. Den risk hos tillgångarna på en marknad som ej kan diversifieras bort, kallas marknadsrisk 9. Marknadsrisken är större på en liten marknad (som Sveriges aktiemarknad) än på en stor (som världsmarknaden). 9 Att marknadsrisken vanligtvis inte blir 0, beror på att det finns en viss positiv korrelation mellan nästan alla aktier på samma marknad. 15

Portföljberäkningar Att beräkna portföljavkastningen Att beräkna den förväntade portföljavkastningen för en portfölj är enkelt. Om en investerare köper en portfölj som innehåller två aktier, A och B, och andelarna av de två aktierna är X A respektive X B (så att X A + X B = 1), blir den förväntade avkastningen på portföljen: d.v.s. ett enkelt vägt medeltal. E(r p ) = X A *E(r A ) + X B *E(r B ) Att beräkna portföljrisken Att beräkna portföljrisken för en portfölj är också enkelt. Denna beror dels av varje ingående akties egen varians s i 2 10, dels av dess kovarians med varje annan ingående aktie, cov(ij) = s ij. För en portfölj bestående av 2 aktier A och B, handlar det alltså om 4 faktorer: 1. s A 2 2. s B 2 3. s AB = r AB s A s B 4. s BA = r BA s B s A De relevanta variablerna är alltså variansen för A, variansen för B, samt korrelationskoefficienten dem emellan. Lyckligtvis gäller att s AB = s BA, varför de kan ersättas med endast 2s AB = 2r AB s A s B. Den totala risken i portföljen är helt enkelt summan av dessa 4 termer, vägda med kvadraten av sina respektive andelar, d.v.s. X A 2 och X B 2 (X A X B för kovarianstermen). Resultatet blir: Detta tal blir förstås mindre då r AB minskar: s pp = X A 2 s A 2 + X B 2 s B 2 + 2X A X B r AB s A s B 11 s pp(r = 0) = X A 2 s A 2 + X B 2 s B 2 Om r AB = 1, kan X A och X B väljas (beroende av s A 2 och s B 2 ) så att: s pp(r = -1) = 0 d.v.s perfekt elimination av risken. Aktier med r = -1 är tyvärr svåra att hitta i praktiken. 10 Ett alternativt skrivsätt som användes inom finansen är dubbelt index i stället för kvadrattecken, så att 1. s 2 A = s AA 2. s 2 B = s BB 11 Se Newbold, Statistics for Business and Economics, kap 4.4. 16

Att beräkna portföljrisken för en stor portfölj Beräkningen blir enklare då portföljen är stor, d.v.s. då portföljen innehåller N aktier i stället för bara 2. Antag att varje aktie har lika stor vikt i portföljen, så att X i = 1/N, samt antag att alla aktier har samma korrelationskoefficient, så att r ij är lika för varje i, j. Ersätt vidare de individuella varianserna s 2 i med den genomsnittliga variansen s 2. Följer: antal varianstermer: N antal kovarianstermer: N 2 N fi s pp = N(1/N) 2 s 2 + (N 2 N)(1/N) 2 s ij fi s pp = (1/N)s 2 + (1 1/N)s ij fi fi N Æ fi s pp = 0s 2 + 1s ij = s ij Portföljrisken beror alltså enbart av den genomsnittliga kovariansen s ij. Denna risk kan alltså ej diversifieras bort, utan utgör marknadsrisken. 17

Riskpremier Betavärden och portföljrisk För att ta reda på hur köpet av en tillgång A påverkar den totala risken i en diversifierad portfölj P, är den enskilda risken i A, s A, ointressant. Det viktiga är i stället hur denna risk förhåller sig till resten av vår portfölj (till marknaden), d.v.s. hur känslig tillgången är för svängningar i marknaden. Detta mäts genom tillgångens betavärde, ß 12. Betavärden för tillgången A i relation till marknaden definieras: ß AM = s AM s M 2 d.v.s. tillgångens kovarians med marknaden, delat med marknadens egen varians. Detta mått anger tillgångens risk i förhållande till marknaden. Om en tillgång har ß = 2, kommer dess standardavvikelse att vara 2 gånger marknadens standardavvikelse. Ett betavärde kan beräknas även för annat än en tillgång i relation till marknaden, exempelvis för en hel portfölj i relation till marknaden, ß PM, eller för en tillgång i relation till portföljen ß AP. Betavärdet hos en portfölj är det viktade medeltalet av betavärdena för de ingående tillgångarna, vilket motiverar påståendet om att en tillgångs betavärde är avgörande för dess påverkan på portföljrisken. Notera även att då X A s AP + X B s BP = s P 2 är alltid X A ß AP + X B ß BP = 1 Avkastningskrav Den investerare som vägrar utsätta sina pengar för någon risk kan investera i en riskfri tillgång, t.ex. treasury bills, och erhålla avkastningen r f, den riskfria räntan. För att acceptera att pengarna utsätts för risk, kräver investeraren en riskpremie. Den som investerar i aktiemarknaden (köper en portfölj med samma sammansättning som hela marknaden) får avkastningen r m, som är större än r f, varvid riskpremien är = r m r f 13. Avkastningen r m för att investera i marknadsportföljen är då: r m = riskfria räntan r f + riskpremien för marknadsportföljen (r m r f ) = r m = r f + (r m r f ) = r m 14 12 Antag att en solglasögonfabrik är mycket lönsam de år då sommaren är solig i Sverige, och att en paraplyfabrik är mycket lönsam under regniga år. Om en investerare redan äger en aktie i solglasögonfabriken, kommer hans risk att minska om han därefter köper en aktie i paraplyfabriken i stället för ytterligare en aktie i solglasögonfabriken, oavsett om de två fabrikernas enskila riskfaktorer s(solglasögon) resp. s(paraplyer) är identiska. 13 Under de senaste 70 åren har r f varit ungefär 3,8 i nominella termer (i USA). r m r f är svårare att mäta, men anses ligga mellan 6 och 9. 14 Egentligen r f + ß MM (r m r f ), marknadens betavärde i relation till sig själv är förstås = 1. 18

Värdeadditivitet Bör företag diversifiera själva? Svaret är nej. Det står varje investerare fritt att diversifiera sin portfölj efter eget huvud. Därför kommer ingen investerare att värdera ett företag högre för att företaget självt sysslar med diversifiering. Om detta inte vore riktigt, skulle det få synnerligen besvärliga konsekvenser. Om det lönade sig för ett företag att diversifiera, skulle det innebära att nuvärdet (present value) PV(A) av varje tillgång A skulle behöva värderas i relation till ett företags övriga tillgångar, och därmed få olika värden i relation till olika företag. Så är dock inte fallet, utan en tillgångs nuvärde är detsamma oavsett vem som äger den. Detta innebär även att nuvärden kan adderas och subtraheras från varandra, utan hänsyn till företagsgränser, d.v.s vi har värdeadditivitet: PV(A + B) = PV(A) + PV(B) 19

Kapitel 8 Effektiva portföljer Om två akter har samma risk, föredrar investeraren den som har högre avkastning. Om två aktier har samma avkastning, föredrar investeraren den som har lägre risk. Detsamma gäller för hela portföljer, och därmed är det endast en liten del av alla den oändliga mängden möjliga portföljer på en marknad som är intressanta. Det är de portföljer som ger högst avkastning för en given risk, eller, med en annan formulering, lägst risk för en given avkastning. Dessa portföljer benämns effektiva (efficient), andra portföljer är dominerade. Om alla möjliga portföljer ritas upp i en graf, med E(r) på y-axeln och s på x-axeln, kommer de effektiva portföljerna vara de som ligger överst och till vänster. Om de effektiva portföljerna sammanbinds med en linje, kommer denna att börja nära y-axeln, för att därefter böja sig bort från den under sin stigning. Marknadsportföljen Om investeraren enbart kan välja mellan de effektiva portföljerna styrs valet av investerarens preferenser. Antingen väljer han en säkrare investering med något lägre avkastning, alternativt accepterar han en högre risk för att även få högre avkastning. Däremot, om investeraren även har möjlighet att låna ut eller låna in pengar till den riskfria räntan r f, kan han genomföra avvägningen mellan risk och avkastning på ett långt mer raffinerat sätt. I grafen som visar de effektiva portföljerna, kommer investeringsmöjligheten r f att ligga på y- axeln, eftersom den har en viss avkastning men har s = 0. Om investeraren sedan väljer en av de effektiva portföljerna, och drar ett streck mellan den och r f, kommer detta uppåtlutande streck att illustrera investerarens möjlighet att själv välja hur mycket pengar han vill ha kvar på banken till räntan r f, och hur mycket han vill satsa i sin valda portfölj. Observera att lutningen på det ritade strecket kommer att vara en kvot, som uttrycker priset per enhet för den burna risken. [FIGURE 8.5, s. 192] [FIGURE 8.6, s. 193] DE(r) Ds Och vilken portfölj kommer då investeraren att välja? Självklart den som ger det högsta priset för den burna risken, d.v.s. den som ger den brantaste lutningen på linjen från r f, vilket kan uppnås grafisk genom att välja den portfölj som tangeras linjen från r f. Denna portfölj benämns marknadsportföljen (S), och lutningen på linjen är då marknadspriset på risk. Givet att investeraren har tillgång till r f, samt att S erbjuder det högsta uppnåeliga priset på risk, behöver investeraren inte ta hänsyn till någon annan portfölj än denna. På en väl fungerande marknad där ingen aktör har något informationsövertag, kommer samtliga investerare köpa samma marknadsportfölj S, och därmed kommer marknaden själv att vara 20

identisk med denna portfölj 15. Den enskilde investeraren behöver enbart göra en avvägning mellan marknadsindex (S) och r f. Den risk som finns i marknadsportföljen, eftersom den är identisk med marknaden, är marknadsrisken, och därmed gäller ß S = ß m = 1. Investeraren väljer var på linjen han vill placera sig, d.v.s. hur han vill fördela sina pengar mellan banken och marknaden, enligt sina egna preferenser. Längden på investeringslinjen 16 mellan r f och S motsvaras av storleken på investerarens plånbok. Investeraren placerar t.ex. X% i r f och därmed (1 X)% i S. Detta ugör dock ingen begränsning för investeraren. Att låna in pengar är ju inget annat än negativ utlåning, vilket innebär att investeringslinjen fortsätter till höger om S med oförändrad lutning. Eftersom både E(r) och s här mäts i % av eget kapital, visar investerarens placering längs investeringslinjen vilken avkastning och risk han utsätter sig för i förhållande till sitt egna kapital. Linjen fortsätter uppåt och åt höger i all oändlighet, och benämns i sin helhet kapitalmarknadslinjen, Capital Market Line. 15 Med identisk menas att marknadsportföljen S kommer att innehålla samma proportioner av olika aktier som marknaden som helhet. Den svenska S har t.ex. 16 Min benämning, ej uttryckligen hos Brealey & Myers. 21

Capital Asset Pricing Model Skillnaden mellan marknadsportföljens avkastning r m och den riskfria avkastningen r f är marknadens riskpremium. Därmed ges: marknadspriset på risk = DE(r) Ds = (r m - r f ) s m (r m r f ) är alltså den avkastning som marknaden kräver av ett projekt eller företag som har samma risk som marknaden, d.v.s som har ß = 1. Men vilken avkastning krävs om ß är skilt från 1? Svaret ges genom den s.k. Capital Asset Pricing Model, CAPM. Denna anger helt enkelt att riskpremien (r - r f ) för ett projekt, tillgång eller företag, ska stå i direkt proportion till dess betavärde: r - r f = ß(r m r f ) Formeln för avkastningskrav enligt CAPM: r = r f + ß(r m r f ) Detta r ska användas vid all diskontering av kassaflöden från projekt eller företag, eftersom det tar hänsyn till den specifika risk som dessa kassaflöden är behäftade med. Avgörande är då valet av rätt ß, som alltid ska vara projektets eget, till skillnad från t.ex. det ägande företagets. Avkastningskravet enligt CAPM kan illustreras genom att rita upp den s.k. security market line. Denna linje är identisk med investeringslinjen till utseendet, men har ß i stället för s på x-axeln. Alla investeringar som uppfyller avkastningskravet enligt CAPM ligger på denna linje. [FIGURE 8.7, s. 196] Antaganden bakom CAPM CAPM bygger på en rad antaganden. De flesta av dessa är inte helt avgörande för att CAPM ska vara användbar, men de förtjänar viss kommentar: Att r f existerar. D.v.s. att det finns någon investeringsmöjlighet, såsom statsskuldsväxlar eller treasury bills, som är helt riskfria. Även om risken att svenska eller amerikanska staten ställer in sina skuldbetalningar är liten, störs detta antagande av att det alltid finns osäkerhet (risk) rörande inflationen. Att r f är konstant vid in- och utlåning, d.v.s. att investerare kan sätta in resp. låna pengar av banken till samma ränta. I verkligheten är det svårt att slippa betala högre ränta när man lånar än man får när man sparar. En ytterligare svårighet är att marknadsportföljen S kan vara svår att identifera. Inget index finns tillgängligt som inkluderar samtliga placeringsformer på marknaden. 22