Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3290 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 21 december 2006 Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik 21 december 2006 kl. 914 Uppgift 1 Priset för aktien S(n) för t = nτ där τ = 1/12 blir n < < < < S(n) < < < < < < Den månatliga räntan blir r = ( ) 1/12 1 = och den riskneutrala sannolikheten blir p = r d ( 0.02) = = u d 0.03 ( 0.02) a) Värdet av en europeisk köpoption vid n = 4 blir C E (4) = (S(4) 120) + och tidigare tidpunkter ges rekursivt av C E (n; s n ) = r I tabellform blir resultatet av dessa beräkningar ( ) p C E (n + 1; s n u) + (1 p )C E (n + 1; s n d) n < 8.00 < < 5.11 < C E (n) 3.23 < 2.89 < < 1.04 < 0.47 < < 0.00

2 Grundläggande nansmatematik, 21 december Resultatet blir alltså C E (0) = b) Värdet av en amerikansk säljoption vid n = 4 blir P A (4) = (124 S(4)) + och tidigare tidpunkter ges rekursivt av P A (n; s n ) = max { (124 S(n; s n )) +, I tabellform blir resultatet av dessa beräkningar 1 ( ) } p P A (n + 1; s n u) + (1 p )P A (n + 1; s n d) 1 + r n < 0.51 < < 0.94 < P A (n) 4.38 < 3.29 < < 5.29 < 8.75 < < Resultatet blir alltså P A (0) = Uppgift 2 Terminsräntorna ges av ekvationssystemet vilket har lösningen = 100e y(0,1) = 10e y(0,1) + 60e 2y(0,2) = 20e y(0,1) + 20e 2y(0,2) + 220e 3y(0,3) ( ) y(0, 1) = ln = y(0, 2) = 1 ( ) e y(0,1) 2 ln = 1 ( ) ln = y(0, 3) = 1 ( e y(0,1) 3 ln 20e 2y(0,2) ) 220 = 1 ( ) ln = Durationen för första obligationen blir D 1 = 1 eftersom det är en nollkupongsobligation. ör de två övriga obligationerna får vi D 2 = 1 10e y(0,1) e 2y(0,2) 10e y(0,1) + 60e 2y(0,2) = 1.85 D 3 = 1 20e y(0,1) e 2y(0,2) e 3y(0,3) 20e y(0,1) + 20e 2y(0,2) + 220e 3y(0,3) = 2.75

3 Grundläggande nansmatematik, 21 december Vi söker nu en portfölj av formen V (0) = x 1 B(0, 1) + x 2 B(0, 2) + x 3 B(0, 3) med durationen D V = 2 där x 1 0, x 2 0 och x 3 0. Ett sätt att åstadkomma detta är att sätta x 2 = 0 och fördela beloppet på obligation 1 och 3 så att w 1 D 1 + w 3 D 3 = w 1 D 1 + (1 w 1 )D 3 = 2 vilket ger w 1 = D 3 2 D 3 D 1 = Lotta kan alltså köpa ettåriga obligationer och x 1 = 10000w x 3 = 10000(1 w 1) 230 = 42.9 = 24.8 treåriga obligationer. Ett alternativ är att sätta x 1 = 0 och fördela beloppet på obligation 2 och 3 så att vilket ger Lotta kan alltså köpa tvååriga obligationer och w 2 D 2 + w 3 D 3 = w 2 D 2 + (1 w 2 )D 3 = 2 w 2 = D 3 2 D 3 D 2 = x 2 = 10000w 2 65 x 3 = 10000(1 w 2) 230 = = 7.2 treåriga obligationer. I allmänhet kan portföljer innehållande samtliga obligationer väljas så att med restriktionerna w 1 D 1 + w 2 D 2 + w 3 D 3 = (1 w 2 w 3 )D 1 + w 2 D 2 + w 3 D 3 = 2 0 w w w

4 Grundläggande nansmatematik, 21 december Uppgift 3 Låt S A (t) beteckna värdet av Alpha-fonden och S B (t) värdet av Beta-fonden. Värdet av portföljen kan då skrivas V (t) = x A S A (t) + x B S B (t) Betafaktorn för portföljen kan nu skrivas där vikterna w A och w B ges av w A = w B = β V = w A β A + w B β B x A S A (0) x A S A (0) + x B S B (0) x B S B (0) x A S A (0) + x B S B (0) Om vi gör antagandet att V (0) = S A (0) = S B (0) = 1 förenklas vikterna till w A = x A och w B = x B, vilket ger V (t) = w A S A (t) + (1 w A )S B (t) örväntad årlig avkastning kan nu skrivas och risken µ V = E[V (1)] = E[w A S A (1) + (1 w A )S B (1)] = µ B + w A (µ A µ B ) σ 2 V = Var[V (1)] = Var[w A S A (1) + (1 w A )S B (1)] = w 2 Aσ 2 A + (1 w A ) 2 σ 2 B a) Den diversierbara risken kan skrivas Var(ε V ) = σ 2 V β 2 V σ 2 M = w 2 Aσ 2 A + (1 w A ) 2 σ 2 B (w A β A + (1 w A )β B ) 2 σ 2 M Partiella derivatan med avseende på w A blir Var(ε V ) w A Sätter vi sedan detta lika med 0 och löser ut w A får vi = 2w A σ 2 A 2(1 w A )σ 2 B 2(w A β A + (1 w A )β B )(β A β B )σ 2 M w A = b) örväntad avkastning blir σ2 B + β B(β A β A )σ 2 M σ 2 A + σ2 B (β A β B ) 2 σ 2 M = och risken µ V = µ B + w A (µ A µ B ) = 0.25 σ 2 V = w 2 Aσ 2 A + (1 w A ) 2 σ 2 B = 0.029

5 Grundläggande nansmatematik, 21 december Uppgift 4 Antag först att S(0) X 2 e rt > C E P E gäller. Bilda sedan en portfölj bestående av En lång position i köpoptionen. En kort position i säljoptionen. En kort position i aktien. Beloppet S(0) + P E C E i riskfri tillgång. V rdet av denna portfölj vid t = 0 är V (0) = 0. Vid tiden t = T nns tre möjligheter: S(T ) < X 1 : Säljoptionen löses ut, men inte köpoptionen, vilket ger portföljvärdet V (T ) = 0 (X 2 S(T )) S(T ) + (S(0) + P E C E )e rt = (S(0) X 2 e rt C E + P E )e rt > 0 X 1 S(T ) X 2 : Båda optionerna löses ut, vilket ger V (T ) = (S(T ) X 1 ) (X 2 S(T )) S(T ) + (S(0) + P E C E )e rt = ((S(0) X 2 e rt C E + P E )e rt + S(T ) X 1 > 0 X 2 < S(T ): Köpoptionen löses ut, men inte säljoptionen, vilket ger V (T ) = (S(T ) X 1 ) 0 S(T ) + (S(0) + P E C E )e rt = ((S(0) X 2 e rt C E + P E )e rt + X 2 X 1 > 0 Vi har gjort en arbitragevinst. Antag sedan att C E P E > S(0) X 1 e rt gäller. Nu kan vi bilda portföljen En kort position i köpoptionen. En lång position i säljoptionen. En lång position i aktien. Beloppet C E P E S(0) i riskfri tillgång. V rdet av denna portfölj vid t = 0 är V (0) = 0. Vid tiden t = T nns samma möjligheter som innan: S(T ) < X 1 : Säljoptionen löses ut, men inte köpoptionen, vilket ger portföljvärdet V (T ) = 0 + (X 2 S(T )) + S(T ) + (C E P E S(0))e rt = (C E P E S(0) + X 1 e rt )e rt + X 2 X 1 > 0

6 Grundläggande nansmatematik, 21 december X 1 S(T ) X 2 : Båda optionerna löses ut, vilket ger V (T ) = (S(T ) X 1 ) + (X 2 S(T )) + S(T ) + (C E P E S(0))e rt = ((C E P E S(0) X 1 e rt )e rt + X 2 S(T ) > 0 X 2 < S(T ): Köpoptionen löses ut, men inte säljoptionen, vilket ger V (T ) = (S(T ) X 1 ) S(T ) + (C E P E S(0))e rt = ((C E P E S(0) X 1 e rt )e rt > 0 Vi har återigen gjort en arbitragevinst och därmed visat olikheten. Uppgift 5 I tentatesen saknades information om riskfria räntan r = a) Black-Scholes formel ger och d 1 = d 2 = ln ( ) = ln ( ) = C E (0) = 248N(0.33) 250e N(0.27) = e = 8.23 b) Låt V (t) = xs(t) + zc E (t). Value at Risk med kondensgrad 95 % denieras som den undre gräns för förlusten som uppfyller P(16000e 0.5r V (0.5) > VaR) = 0.95 Vi börjar med att bestämma en undre gräns för Brownska rörelsen W (t). Eftersom W (t) är normalfördelad med väntevärde 0 och varians t får vi att vilket medför att P ( W (t) 0 t > 1.64 ) = 0.95 P(W (0.5) > ) = P(W (0.5) > 1.16) = 0.95 Med hjälp av detta kan vi nu bestämma en undre gräns för aktievärdet S(0.5) efter ett halvår enligt P(S(0.5) = 248e W (0.5) > 248e ( 1.16) = 240) = 0.95 Om vi börjar med portföljen bestående av enbart aktier så har vi råd att köpa x = = 64.5

7 Grundläggande nansmatematik, 21 december stycken. Om aktievärdet går ner till S(0.5) = 240 blir portföljen värd V (0.5) = = Value at Risk blir i det här fallet VaR = 16000e = 925 Om vi lägger hälften i aktier och hälften i köpoptioner så har vi råd att köpa x = = 32.3 stycken aktier och z = = 972 stycken optioner. Om aktievärdet går ner till S(0.5) = 240 blir optionerna värdelösa och portföljen blir värd V (0.5) = = 7740 Nu blir Value at Risk VaR = 16000e = 8650 Uppgift 6 Vi börjar med att beräkna den korta räntan B(0, 1) r(0) = y(0, 1) = ln = ln = B(1, 2;u) r(1;u) = y(1, 2;u) = ln = ln = B(1, 2;d) r(1;d) = y(1, 2;d) = ln = ln = B(2, 3;uu) r(2;uu) = y(2, 3;uu) = ln = ln = B(2, 3;ud) r(2;ud) = y(2, 3;ud) = ln = ln = B(2, 3;du) r(2;du) = y(2, 3;du) = ln = ln = B(2, 3;dd) r(2;dd) = y(2, 3;dd) = ln = ln = för alla tillstånd i trädet. Detta ger oss de stokastiska kupongerna C 1 = (e r(0) 1) = (e ) 100 = 5.13 C 2 (u) = (e r(1;u) 1) = (e ) 100 = 4.31 C 2 (d) = (e r(1;d) 1) = (e ) 100 = 9.77 C 3 (uu) = (e r(2;uu) 1) = (e ) 100 = 0.98 C 3 (ud) = (e r(2;ud) 1) = (e ) 100 = 5.35 C 3 (du) = (e r(2;du) 1) = (e ) 100 = 4.03 C 3 (dd) = (e r(2;dd) 1) = (e ) 100 = Vidare behöver vi även de riskneutrala sannolikheterna p (0, 3) = er(0) e k(1,3;d) 100 e k(1,3;u) e k(1,3;d) = = 0.475

8 Grundläggande nansmatematik, 21 december och p (1, 3;u) = p (1, 3;d) = er(1;u) e k(2,3;ud) 100 e k(2,3;uu) e k(2,3;ud) = er(1;d) e k(2,3;dd) 100 e k(2,3;du) e k(2,3;dd) = = = Nu kan vi beräkna nuvärdet för ett cap-kontrakt D(0) och varje väg i trädet enligt D(0;uu) = 5.13e r(0) e (r(0)+r(1;u)) e (r(0)+r(1;u)+r(2;uu)) = 5.13e e e = 100 D(0;ud) = 5.13e r(0) e (r(0)+r(1;u)) e (r(0)+r(1;u)+r(2;ud)) = 5.13e e e = 100 D(0;du) = 5.13e r(0) e (r(0)+r(1;d)) e (r(0)+r(1;d)+r(2;du)) = 5.13e e e = D(0;dd) = 5.13e r(0) e (r(0)+r(1;d)) e (r(0)+r(1;d)+r(2;dd)) = 5.13e e e = Det slutliga priset får vi genom att väga ihop dessa värden enligt de riskneutrala sannolikheterna D(0) = D(0; uu)p(uu) + D(0; ud)p(ud) + D(0; du)p(du) + D(0; dd)p(dd) = = Hassan måste i så fall inta = 3031 korta positioner för att kunna låna beloppet SEK. Efter tre år återbetalar han = SEK Lycka till!