Prissättning av optioner

Transkript

1 TDB,projektpresentation Niklas Burvall Hua Dong Mikael Laaksonen Peter Malmqvist Daniel Nibon Sammanfattning Optioner är en typ av finansiella derivat. Detta dokument behandlar prissättningen av dessa och hur denna prissättning kan lösas med hjälp av Black-Scholes ekvation. Vi har arbetat med radiella basfunktioner för att approximera lösningen. Vi har experimenterat med olika parametrar har påverkat lösningen. Detta har varit projekt delen av kursen teknisk databehandling (TDB) vårterminen Det är en liten del av ett större projekt om användningen av radiella basfunktioner och Black-Scholes ekvation.

2 INNEHÅLL INNEHÅLL Innehåll 1 Introduktion 1 2 Teori & Detaljer Aktier och optioner Black-Sholes ekvation Radiella basfunktioner (RBF) Minsta-kvadratskattning (MK-skattning) Exempel på problemet Tillvägagångssätt Experiment Observationer Slutsats av plottarna Slutsats 14 i

3 1 Introduktion I den ekonomiska världen omsätter idag aktiehandeln många miljoner kronor varje sekund. Ett sätt att handla med aktier är att betala för en aktie idag och hoppas att värdet stiger över tiden. En annan omfattande marknad är att handla med så kallade finansiella derivat. Ett av de vanligaste derivaten är optioner, vilka ger innehavaren rätten men inte skyldigheten att genomföra en bestämd aktieaffär vid eller före någon bestämd tidpunkt längre fram i tiden. En viktig detalj vid handel med dessa derivat är att bestämma ett värde på optionen så att köpet innebär en viss risk för innehavaren. Skulle priset vara för lågt innebär köpet en säker vinst, vilket självklart inte är önskat. Tvärtom ifall priset är för högt skulle varje affär innebära en förlust. Därför behöver man någon matematisk metod för att spekulera i optionspris, fär sätta optionspriset på en sådan nivå att man skapar en balanserad risk i att handla med dessa derivat. Om man utgår från vissa antaganden om hur den finansiella marknaden fungerar använder man idag Black-Sholes ekvation för att bestämma priset på optioner. För vissa väldigt enkla optioner som har få underliggande aktier, kan denna lösas analytiskt. I de övriga och allra flesta fall löser man dessa med sannolikhet och statistiska metoder, däribland olika Monte-Carlo-metoder, eller med så kallade finita differenser. Men de metoderna blir mer och mer ineffektiva för de optioner som innehåller ett ökande antal underliggande aktier. Därför försöker man hitta alternativa tillvägagångssätt att approximera priset på optionen. Denna rapport behandlar radiella-basfunktions-metoden. Vi har inför projektet fått tillgång till program och kod för att approximera ett optionspris med hjälp av Black-Sholes ekvation (BS) och radiella basfunktioner (RBF ). Vi kommer att lösa ett 1D-problem i minstakvadrat-mening med hjälp av radiella basfunktioner och jämföra vår lösning med den analytiska lösningen för problemet. Vår uppgift är att analysera vilka värden på problemparametrarna som ger minst fel i förhållande till beräkningskostnaden. Den viktigaste parametern är här antalet minstakvadrat-punkter. Nedan följer en mer detaljerad beskrivning av det aktuella problemet samt vår uppgift. 12 maj

4 2 Teori & Detaljer 2.1 Aktier och optioner En aktie är ett andelsbevis som ger delägarskap i ett aktiebolag. I teorin räcker det med en aktie för att vara med och bestämma och att ta del av bolagets vinst, utdelningen. En anledning till att det finns aktier är för att snabbt kunna bygga upp ett företag. Aktiebolaget kan ge ut nya aktier och sälja dem med rabatt och på så sätt skaffa mer pengar till forskning och utveckling. För bolaget är det bättre än att låna, om företaget inte går med vinst kan de strunta i att betala ränta dvs. utdelning. En akties pris varierar beroende på hur bra bolaget går, vilka framtidsprognoser de ger och vad diverse investerare tycker och förutspår. I ekonomiska sammanhang ger en option innehavaren rätt men inte skyldighet att köpa eller sälja något (ofta värdepapper) vid eller före en specificerad tidpunkt. Syftet med köpoptioner med aktier är att skapa en möjlighet för placerare att ta del i en kursuppgång utan att behöva köpa de underliggande värdepappren. Antag att en placerare tror att en viss aktie kommer att stiga kraftigt de närmaste månaderna. I stället för att köpa 100 aktier till börskursen 100 kr placeraren då köpa ett köpoptionskontrakt avseende 100 aktier med t.ex. en löptid på tre månader och ett lösenpris på 110 kr. för en premie på 300 kr. Ligger kursen stilla eller stiger till högst 110 kr blir optionen värdelös och placeraren förlorar sina satsade 300 kr. Stiger kursen till 113 kr går innehavaren plus minus noll (efter ränta och transaktionskostnader). För varje krona som kursen stiger därutöver tjänar innehavaren 100 kr. 2.2 Black-Sholes ekvation Ekvationen som man använder för att bestämma värdet av en option för en specificerad tidpunkt och ett antal underliggande aktier kallas Black- Sholes ekvation. Varje sekund löses ekvationen för ett stort antal optioner av världens aktiehandlare såsom börser och banker. Black-Sholes ekvation ges av F (t, s) t F (t, s) + rd + 1 s 2 σ2 s 2 2 F (t, s) rf (t, s) = 0 s 2 12 maj

5 där F (t, s) är optionens värde vid tiden t och aktiepriset s, r är den så kallade korta räntan och σ anger aktiens volatilitet. Volatilitet är ett mått på hur mycket en akties värde varierar. Oscillerar värdets kurva mycket har aktien en hög volatilitet. En specifik option är den Europeiska köpoptionen vilket vi kommer att arbeta kring i detta projekt. Den har en speciell kontraktsfunktion som ger optionens värde vid sluttiden T, F (T, s) = max(s K, 0) där K är det så kallade inlösenpriset. Inlösenpriset står för det pris man enligt optionen får köpa ett antal aktier för vid tiden T, till skillnad från att köpa dem direkt för aktiernas aktuella värden. Grafen för den funktionen ges av där O är värdet på optionen och S är aktievärdet. För att försöka förstå grafen följer vi S-axeln som är priset på de underliggande aktierna. När S understiger K betyder det att aktievärdet är lägre än inlösenpriset som är skrivet i optionen. Innehavaren av optionen har alltså ett erbjudande om att köpa en aktie för ett pris som är högre än aktiens värde för tillfället. Uppenbarligen en väldigt dålig affär och optionen är i detta fall värdelös. När S överstiger K betyder det att innehavaren får köpa en aktie för priset K, vilket är lägre än det aktuella värdet på aktien. Självklart är det en lönande affär att köpa en aktie för ett pris lägre än dess värde. Därför ser vi att värdet på optionen ökar för att täcka skillnaden mellan inlösenpriset och det aktievärdet. Problemet är nu att approximera denna modell med någon numerisk metod. Vi kommer att lösa Black-Scholes ekvation på följande form: 12 maj

6 u u (t, x) =rx t x σ2 x 2 2 u, x2 x (0, 4) (1) u (t, 0) =0, t (2) u t (t, 4) =re rt, (3) u(0, x) = max(0, x 1) (4) Här är problemet omskalat så att inlösenpriset K är lika med 1. Dessutom är ekvationen transformerad så att vi räknar framåt i tiden, istället för bakåt. För att lösa problemet använder vi oss av radiella basfunktioner. 2.3 Radiella basfunktioner (RBF) Radiella basfunktioner är globala funktioner som tidigare använts till att ge funktionsapproximationer av utspridda data, men som på senare tid börjat användas till att lösa partiella differentialekvationer. En fördel är att metoden är nätfri vilket innebär att man kan placera beräkningspunkterna vart man vill i ett område. Vill man approximera en kurva utifrån vissa givna data kan man alltså placera dessa funktioner vart man vill längst x-axeln (i ett endimensionellt problem), eller vart som helst i planet (i två dimensioner). En annan fördel är att man får en mycket snabb minskning av felet när man lägger till fler beräkningspunkter. 12 maj

7 Vi vill att våra RBFer ska vara centrerade kring ett antal beräkningspunkter och låter en linjärkombination av dessa bilda vår lösningsapproximation. Vi gör alltså ansatsen N ũ(t, x) = λ k φ( x x k ) k=1 där det vanligaste lösningsförfarandet är att man helt enkelt kräver att approximationen uppfyller ekvationen i vissa punkter, t.ex. centrumpunkterna. Centrumpunkterna är de punkter där vi placerat ut våra RBFer längs med S-axeln i detta problem. Detta leder till att vi får ett ekvationssystem att lösa där koefficienterna λ är obekanta. Vi kommer istället lösa problemet i minsta-kvadratbemärkelse. Vi kräver alltså att ũ ska uppfylla ekvationen så bra som möjligt i ett stort antal punkter. 2.4 Minsta-kvadratskattning (MK-skattning) Minsta-kvadratskattning är en metod som försöker finna en bästa möjliga lösning givet data genom att minimera summan av kvadraten på skillnaden (kallas residualen) mellan en funktion och en given data. Om vi i nedanstående graf skulle vilja approximera en rät linje är det uppenbart att den inte kommer att uppfylla alla punkter, den kommer alltså inte att passera igenom alla givna punkter. Istället uppskattar vi en linje där vi minimerar residualen (r i grafen nedan) mellan en rät linje och samtliga givna data. En uppskattad linje skulle då se ut något som den streckade linjen i grafen nedan där de givna data är representerade som punkter. Mellan våra RBF-funktioner försöker vi uppskatta mellanliggande punkter med hjälp av minsta-kvadratskattning. 12 maj

8 2.5 Exempel på problemet Då vår uppgift är att se på felet som uppstår när vi använder våra RB- Fer måste vi först veta var det är prioriterat att minimera felet, eftersom aktiepriset är definierat från 0 till oändligheten. Genom att studera hur optioner och aktier fungerar på marknaden inser man att det intressanta området är när aktiepriset S är nära inlösenpriset K. Som tidigare nämnt är optionen värdelös då S är mindre än K och alla fall där S är större än K kommer optioninnehavaren att göra en vinst på S K. Det område man brukar intressera sig av är 0 till 4K, vilket äp praxis att arbeta över i dessa sammanhang. För att illustrera exemplet kan vi anta att vi skapar en option för Ericssons B-aktie. Idag ( ) är aktien värd 21, 40 SEK och vi låter optionen gälla för tidpunkten T ( ), alltså om exakt ett år. Det område vi tittar på är då K uppskattas till 25 är 14 K 30 dvs. [0.7K, 1.5K]. För att titta på det finansiellt sett mest intressanta området, väljer vi intervallet [K/3, 5K/3], vilket är tillräckligt för en Europeisk köpoption. För att titta på det mest intressanta området kring S lika med K, väljer vi intervallet [K/3, 5K/3], vilket är ett tillräckligt stort område för en Europeisk köpoption. Vi kommer alltså att approximera lösningen till Black-Scholes ekvation med hjälp av RBFer. I grafen nedan ser man hur vi placerat ut några centrumpunkter symetriskt kring K. 12 maj

9 2.6 Tillvägagångssätt Experimentet sker med nedan stående specifikationer: T = 1 R = 0.05 σ = 0.3 T är tiden tills optionen får inlösas, angiven i år. Konstant ränta över tiden. Ett mått på hur en aktie förändras över tiden (volatilitet). De parametrar vi varierar är: N M K punkter Antalet centrumpunkter för de radiella basfunktionerna. Antalet minstakvadrat-punkter kring varje utsatt centrumpunkt som ekvationen ska uppfylla så bra som möjligt. 12 maj

10 3 Experiment Målet med alla numeriska metoder är att vi approximera en lösning till den korrekta (analytiska) lösningen. Vi vill alltså minska felet i den numeriska lösningen. Det finns flera metoder för att minska felet då vi i detta projekt kommer justera vissa parametrar som kan påverka resultatet. Antal radiella basfunktioner: Ju fler basfunktioner vi använder, desto bättre lösning. Men antal basfunktioner ökar även storleken på ekvationsystemet. Antal minstakvadratpunkter: Om vi försöker anpassa en lösning till flera punkter får vi en bättre noggranhet på lösningen. Med ökande punkter blir minstkvadrat-problemet större men problemets beräkningar ökar inte lika snabbt som när man ökar antal basfunktioner. Antal tidssteg: Med ökande tidsteg, blir det noggrannare approximationer pga. att vi analyserar fler intervall. Däremot måste vi lösa rumssystemet flera gånger. För att få en tillräckligt bra lösning utan onödigt arbete vill vi med denna undersökning försöka balansera effektivitet och noggrannhet. Vi börjar med ett fixt tidssteg, och varierar antal radiella basfunktioner samt antal minstakvadrat punkter. Experimenten visar det maximala felet vid sluttiden under hela beräkningsområdet samt det tidigare nämnda intressanta intervallet [1/3till5/3]. Vi varierar antal basfunktioner och minstakvadratpunkter och nedan är våra observationer samt synpunkter. 12 maj

11 De testvärden vi varierar är: Antal basfunktioner: 28, 33, 37 Antal mk-punkter: 1 till 16 d.v.s. 1 till 16* antalet basfunktioner. Vi tittar på hela intervallet (0Ktill4K) samt det intressanta området (1/3Ktill5/3K). För varje antal basfunktioner vi använder (28, 33, 37) plottar vi tre olika grafer. I varje graf representerar x-axeln antal minstakvadratpunkter och y-axeln representerar felet. Varje graf finns i 3 olika format, normala x- och y-axlar, logaritmisk skalan på både x- och y-axlarna samt logaritmisk skala på y-axeln. Dessutom kommer varje graf att plottas både i det intressanta intervallet (1/3till5/3) samt över hela beräkningsområdet. 12 maj

12 Intervall:[0K, 4K] Intervall:[1/3K, 5/3K] 12 maj

13 Intervall: [0K, 4K] Intervall: [1/3K, 5/3K] 12 maj

14 Intervall: [0K, 4K] Intervall: [1/3K, 5/3K 12 maj

15 3.1 Observationer Det blir en ökning av felet vid ett visst antal mkp, men när antal mkp är tillräklig stort minskar felet. Vid mkp = 1, är maxfelet hos 33 och 37 större än när man använder 28 basfunktioner, felet minskar snabbt vid högre antal mkp för 33 och 37, och minskning är stabil, samt felet vid högre mkp för 33 och 37 är mycket bättre än 28. Nästan linjär minskning på grafen (283337) intervall loglog, under den intressanta området) hos 37,33, dvs felet minskar med e c n där n < 0, så felet minskar snabbt i detta fall. 3.2 Slutsats av plottarna Om man tittar på alla serie av plottar, märker vi att man får en bättre lösning med hjälp av fler antal minstakvadratpunkter. Felet minskar vid fler antal punkter, men minskar mindre och mindre ju fler punkter vi använder. Felet minskar knappt efter 4 mkp per basfunktion om man tittar på hela intervallen. Men i det intressanta området blir felet stabil efter ca 5 eller 6 mkp. Beloppet av felet är mindre vid 37 och 33 än 28, men skilnad mellan 33 och 37 är ganska liten(särskilt under den intressanta området). 12 maj

16 4 Slutsats Antal basfunktioner påverkar resultat, men påverkning minskar, vid 33 och 37 är felen ganska nära varandrar. Vid antal mkp > 4 (hela intervall, eller antal mkp > 6 under den intressanta området), så få man ganska litet fel på alla 3 olika antal basfunktioner, fast med 33 och 37 är resultat bättre än 28. Dvs, större antal mkp än 4 behövs inte (6 om man är mer intresserad av intervallet 1/3 till 5/3), så 33 basfunktioner och ca 5 minstakvadratpunkter funkar ju bra som parametrar för att få noggrant svar med relativt mindre arbetet. 12 maj

17 Referenser Gunnar Marcusson, Option pricing using radial basis functions, UPTEC report F04 078, School of Engineering, Uppsala Univ.,Uppsala,Sweden, maj