Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer.

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik TH FINANSMATEMATIK I, HT 01 KOMPLEMENT DAG 12 Version TRE OPTIONSSTRATEGIER Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer Försäkra aktieinnehav med säljoptioner Genom att köpa en säljotion med lösenpris K och löptid T försäkrar man sig om att kunna sälja aktien för (minst) K kronor i tidsintervallet (0, T ) Portföljens utveckling beror på hur man finansierar köpet av optionen Om detta finansieras med kassan blir portföljvärdet vid t F t = S t + P t (K) P 0 (K)e rt F T = max(k, S T ) P 0 (K)e rt Övning 1 Visa detta Om optionen är av amerikansk typ, vilket är det normala för aktieoptioner, så kan man lösa optionen (dvs sälja aktien för K kr) vid varje tidpunkt t T och därför gäller F t K P 0 (K)e rt för alla t T Istället för att finansiera optionsköpet med kassan kan man sälja x aktier och gardera de återstående aktierna med 1 x säljoptioner Här är alltså xs 0 = (1 x)p 0 (K) och portföljvärdet vid t blir F t = (1 x)(s t + P t (K)) dvs F t = S t + P t (K), där p = P 0 (K)/S p F T = max(k, S T ) 1 + p Denna handelstrategi överensstämmer alltså med handelstrategin i avsnittet om portföjlförsäkring i komplementet dag 5 om man väljer b = K/S 0, c =, g = b/(1 + p) och l = 1/(1 + p) 1

2 Övning 2 Visa detta Om optionen är av amerikansk typ, så gäller F t K/(1 + p) för alla t T Övning 3 Som alternativ till denna portfölj kan man välja att lägga pengarna i kassan eller att köpa aktien för hela beloppet, S 0 Antag att e rt K < S 0 För vilka värden på S T är denna portfölj vid tiden T minst lika mycket värd som om du hade lagt alla pengarna a) i kassan? b) i aktien? c) Det bästa av dessa alternativ? Övning 4 a) Antag att optionen är av europeisk typ Konstruera en portfölj som enbart består av (innehavda och utställda) köp och säljoptioner samt kassa (men ingen aktie) och som har samma värde som S t + P t (K) för alla 0 t T b) Antag att optionerna är av amerikansk typ Diskutera för och nackdelar ur risksynpunkt med de två portföljerna Finansiera försäkringen med utställda köpoptioner Portföljförsäkringen ovan kan, om e rt K < S 0, även finansieras genom att ställa ut en köpoption med ett lämpligt valt lösenpris H Övning 5 Antag att optionerna är av europeisk typ och att e rt K < S 0 a) Visa att P 0 (K) < C 0 (K) b) Eftersom C 0 (x) 0 då x så finns ett H > K så att C 0 (H) = P 0 (K) Visa att e rt H > S 0 Vi förutsätter att ett sådant H finns även om säljoptionen är av amerikansk typ Portföljens värde vid t T är alltså F t = S t + P t (K) C t (H) dvs F T = K + (S T K) + (S T H) + Övning 6 Visa detta { K omst K F T = S T om K < S T H H om H < S T Denna handelstrategi överensstämmer alltså med handelstrategin i avsnittet om portföjlförsäkring i komplementet dag 5 om man väljer b = K/S 0, c = H/S 0, g = b och l = 1 Övning 7 Samma som Övning 3 men med denna portfölj Övning 8 Samma som Övning 4 men med denna portfölj 2

3 Ställa ut köpoptioner mot eget innehav Denna metod tillämpas systematiskt av vissa portföljförvaltare Man ställer ut en köpoption med ett lösenpris, K, en bit över dagens aktiepris Fördelen är att man får in C 0 (K) kronor Risken är att att aktien går upp över K och optionen löses Om inkomsten från den utställda optionen läggs i kassan blir portföljens värde vid t T F t = S t C t (K) + C 0 (K)e rt F T = min(k, S T ) + C 0 (K)e rt Övning 9 Visa detta Genom att ställa ut 1 + x köpoptioner och köpa till x aktier, där xs 0 = (1 + x)c 0 (K), kan man återinvestera inkomsten i aktien Portföljvärdet blir F t = (1 + x)(s t C t (K)), dvs F t = S t C t (K), där c = C 0 (K)/S 0 1 c F T = min(k, S T ) 1 c Övning 10 Samma som Övning 3 men med portföljen (S t C t (K))/(1 c) i fallet då e rt K > S 0 Övning 11 Samma som Övning 4 men med portföljen S t C t (K) Jämförelse av strategierna Välj K så att e rt K < S 0 och låt H bestämmas av den andra strategien, C 0 (H) = P 0 (K) Vi ska här jämföra de tre strategierna (S t + P t (K))/(1 + p) (strategi 1), S t + P t (K) C t (H) (strategi 2) och (S t C t (H))/(1 c) (strategi 3) Övning 12 a) Rita ett diagram med dessa portföljers värden vid lösentiden T som funktion av S T b) Ange för varje värde på S T vilket portföljvärde som är störst c) Som är minst Man kan använda Black-Scholes formler för köp och säljoptioner för att dela upp portföljvärdena i kassa och aktieinnehav Resultatet ges av nedanstående tabell 3

4 Kassa Aktieinnehav KΦ( d 2 (K))/(1 + p) SΦ(d 1 (K))/(1 + p) KΦ( d 2 (K)) + HΦ(d 2 (H)) S ( Φ(d 1 (K)) Φ(d 1 (H)) ) HΦ(d 2 (H))/(1 c) SΦ( d 1 (H))/(1 c) Här är K = e r(t t) K, d 1 (K) = ln(s t/ K) σ + σ 2 och d 2(K) = d 1 (K) σ, där σ = σ T t Övning 13 Visa detta Gemensamt för dessa strategier är att både kassan och antalet aktier är positiva Storheten d 1 är en växande funktion av s Det framgår därför av uttrycken för aktieantalen att om man replikerar den första strategien, så ska man köpa till aktier då aktiepriset gått upp och sälja av då priset gått ned För den tredje strategien gäller det omvända För den andra strategien gäller ( Φ(d1 (K)) Φ(d 1 (H)) ) = φ(d 1(K)) φ(d 1 (H)) s s σ Denna derivata är positiv om d 1 (K) 2 < d 1 (H) 2 Övning 14 Visa att d 1 (K) = d 1 ( KH)+ ln(h/k), d 1 (H) = d 1 ( KH) ln(h/k) d 1 (K) 2 d 1 (H) 2 = 4d 1 ( KH) ln(h/k) och därför Det följer att aktieantalet för den andra portföljen är en växande funktion av aktiepriset om d 1 ( KH) < 0 dvs S t < KHe (r+σ2 /2)(T t) När aktiepriset är under värdet i högerledet ska man alltså i likhet med den första strategin köpa då priset gått upp och sälja då det gått ned När priset är över ska man däremot i likhet med den tredje strategien göra det omvända Antalet aktier är alltså maximalt då likhet gället Övning 15 Bestäm värdet på detta maximum Svar 3 a) S T e rt S 0 (1 + p), b) S T K/(1 + p), c) Inga 4 a) Lägg e rt K kronor i kassan och köp en köpoption med samma lösenpris och lösentid som säljoptionen Portföljens värde vid t är e r(t t) K + C t (K) vilket enligt sälj-köp pariteten = F t 4

5 b) Vid en börskrasch kanske säljoptionen inte går att lösa pga att utställarens säkerhet har minskat kraftigt Detta talar för den andra portföljen även om liknade (men mindre troliga) invändningar finns mot denna 5a) P 0 (K) = C 0 (K) (S 0 K), b) Om inte så C 0 (H) C 0 (e rt S 0 ) = P 0 (e rt S 0 ) > P 0 (K) 7 a) S T S 0 e rt b) S T H c) S 0 e rt S T H 8 a) Lägg e rt K kronor i kassan Köp en köpoption med lösenpris K och ställ ut en köpoption med lösenpris H 10 a) S T (1 c)s 0 e rt b) S T K/(1 c) c) (1 c)s 0 e rt S T K/(1 c) 11 a) Lägg e rt K i kassan och ställ ut en säljoption med lösenpris K 12 b) S T strategi nr 0 < S T < (1 c)k 2 (1 c)k < S T < 1+p 1 c H 3 1+p 1 c H < S T < 1 c) S T strategi nr 0 < S T < 1 c 1+p K 3 1 c 1+p K < S T < (1 + p)h 1 (1 + p)h < S T < 2 15 Φ(b) Φ( b) = 2Φ(b) 1, där b = ln(h/k) 2σ T t 5