En undersökning av kvantiloptionens egenskaper

Transkript

1 En undersökning av kvantiloptionens egenskaper Hur prissätts kvantiloptioner och hur förhåller de sig till liknande finansiella derivat på marknaden? Robin Lundberg

2 Copyright 217 Robin Lundberg Alla rättigheter förbehållna EN UNDERSÖKNING AV KVANTILOPTINENS EGENSKAPER Kandidatuppsats, 15 HP Kandidatexamen i matematik, 18 HP Höstterminen 217 Institutionen för matematik och matematisk statistik vid Umeå Universitet SE Umeå, Sweden Handledare: Leif Persson Universitetslektor vid institutionen för matematik och matematisk statistik Markus Ådahl Universitetslektor vid institutionen för matematik och matematisk statistik Examinator: Lisa Hed

3 Förord Denna kandidatuppsats skrivs som den avslutande delen för att erhålla en kandidatexamen i matematik vid Umeå Universitet. Kandidatuppsatsen har gjorts som en sammanställning av flertalet studier för att intuitivt beskriva kvantiloptioners egenskaper samt hur de prissätts. Uppsatsen har skrivits under de senaste fyra månaderna på sidan om mina studier mot en civilingenjörsexamen i Industriell Ekonomi. Det har varit både krävande, roligt och lärorikt att skriva uppsatsen vilket har ökat mitt intresse för finansiell matematik samt börsmarknaden som helhet. Den slutgiltiga rapporten hade inte varit möjlig att sammanställa utan hjälp från mina handledare, Leif Persson och Markus Ådahl. Jag tackar er hjärtligast för all hjälp under resans gång och det engagemang ni visat i mitt arbete. Det är med en lättnad jag skriver dessa slutliga rader. Slutet på ett kapitel står runt hörnet och jag står inför början på något nytt! Robin Lundberg

4 Sammanfattning Optioner säljs och köps idag flitigt av många olika anledningar. En av dessa kan vara spekulation kring framtida händelser för aktiepriser där optioner har fördelar jämfört med aktier i form av en hävstångseffekt. En annan anledning för optionshandel är för att hedga (säkra) risker vilket ställer krav på att innehavet av optionen ska kompensera den negativa effekt som riskerna bidrar till. Med andra ord, om det finns en risk för ett negativt framtida scenario som man inte vill riskera att utsätta sig för så kan optioner vara rätt verktyg att använda sig av. Risker finns idag överallt, i olika former, vilket har bidragit till att efterfrågan av optioner har ökat enormt de senaste årtiondena. Dock kan risker vara både komplexa och varierande vilket har lett till att mer komplexa optioner har utvecklats för att mätta den efterfrågan som utvecklats på marknaden. Dessa, mer komplexa optioner, kallas exotiska optioner och de skiljer sig från de vanliga europeiska och amerikanska köp- och säljoptionerna. Däribland hittar vi bland annat lookback-optioner i form av bland annat köpoptioner på maximum och kvantiloptioner vilka är två av de huvudsakliga optionerna som diskuteras i uppsatsen. Det har länge varit känt hur man prissätter europeiska köp- och säljoptioner via Black- Scholes-Mertons modell men desto fler komplexa optioner som tillkommer på marknaden desto mer komplicerade prissättningsmodeller utvecklas. Till skillnad från europeiska köpoch säljoptioner vars utdelning beror på aktiepriset på lösendagen så är lookback-optioner beroende av aktieprisets rörelse under hela kontraktstiden. Detta medför att prissättningen av dessa beror av fler parametrar än i Black-Scholes-Mertons modell, bland annat ockupationstiden för den stokastiska process som beskriver aktiepriset, vilket bidrar till andra prissättningsmodeller. Uppsatsen har som syfte att redogöra för modellen som används vid prissättningen av kvantiloptioner samt presentera hur deras egenskaper förhåller sig till andra typer av lookback-optioners egenskaper. Det presenteras i rapporten att kvantiloptioner liknar vissa typer av lookback-optioner, mer bestämt köpoptioner på maximum, och att kvantiloptioners egenskaper faktiskt konvergerar mot köpoptioner på maximums egenskaper då kvantilen närmar sig 1. Utifrån detta resonemang så kan det finnas fördelar i att använda kvantiloptioner snarare än köpoptioner på maximum vilket investerare bör ta i hänsyn när, och om, kvantiloptioner introduceras på marknaden. Nyckelord Kvantiloptioner, Lookbackoptioner, Köpoptioner på maximum, Arcsinuslagen, Arcsinusfördelningen, Black-Scholes-Merton, Prissättningsmodeller för finansiella derivat, Delta, Europeisk köpoption, Europeisk säljoption

5 Abstract Options are today used by investors for multiple reasons. One of these are speculation about future market movements, here ownership of options is advantageous over usual ownership of shares in the underlying stock in terms of a leverage effect. Furthermore, investors use options to hedge different kinds of risks that they are exposed to, this demands that the option compensates the possible negative effect that the risk brings to the table. In other words, if there is a risk of a future negative scenario which the investor is risk averse to, then owning specific options which neutralize this risk could be the perfect tool to use. Risks are today seen all over the market in different shapes which have created a great demand for options over the last decades. However, since risks can be both complex and range over multiple business areas, investors have demanded more complex options which can neutralize the risk exposures. These, more complex options, are called exotic options, and they differ from the regular American and European options in the way they behave with respect to the underlying stock. Amongst these exotic options, we can find different kind of lookback options as well as quantile options which are two of the main options that are discussed in this thesis. It has been known for a while how to price European call and put options by the Black- Scholes-Merton model. However, with more complex options also comes more complex pricing models and unlike the European options payoff which depend on the underlying stock price at time of maturity, the lookback option s and quantile option s payoff depend on the stock price movement over the total life span of the option contract. Hence, the pricing of these options depends on more variables than the classic Black-Scholes-Merton model include. One of these variables is the occupation time of the stochastic process which describes the stock price movement, this leads to a more complex and extensive pricing model than the general Black-Scholes-Merton s model. The objective of this thesis is to derive the pricing model that is used for quantile options and prove that the properties of quantile options are advantageous when compared to some specific lookback options, viz. call options on maximum. It is concluded in the thesis that quantile options in fact converges to the call option on maximum for quantiles approaching 1. However, quantile options come with some different properties which potentially makes them a good substitute for the call option on maximum. This is a relevant factor for investors to consider when, and if, quantile options are introduced to the market. Keywords Quantile options, Lookback options, Lookback option with fixed strike, Arc-sine law, Arcsine distribution, Black-Scholes-Merton, Pricing models, Delta, European call option, European put option

6

7 Innehållsförteckning Förord... 3 Sammanfattning... 4 Nyckelord... 4 Abstract... 5 Keywords... 5 Innehållsförteckning Introduktion Stokastiska processer Wienerprocessen Processen som beskriver aktieprisets rörelse över tid Itôintegralen Bevis Itôs Lemma Lognormala egenskaper Black-Scholes-Mertons modell Black-Scholes-Mertons differentialekvation Black-Scholes-Mertons prissättningsformler Generellt bevis för Black-Scholes-Mertons prissättningsformel Exotiska optioner Lookback-optioner Kvantiloptioner Arcsinus-fördelningen Bevis för den generaliserade arcsinus-lagen Prissättningen av α-kvantiloptioner Martingal Girsanovs sats Prissättningen under det risk-fria måttet Q Fördelar med kvantiloptioner Källförteckning Litterära Källor Elektroniska Källor... 46

8 1. Introduktion Optioner är kontrakt mellan två parter, en köpare och en säljare, där köparen får rätten men inte besitter kravet att köpa eller sälja den underliggande finansiella tillgången kopplad till kontraktet vid ett bestämt datum, T, för ett förbestämt lösenpris, K. Det existerar många olika typer av optioner på marknaden men de mest förekommande kallas för europeiska och amerikanska optioner. Dessa identifieras av att datumet för inlösning är fixerat vid ett lösendatum (europeiska) respektive fritt inlösningsdatum (amerikanska) förutsatt att det är senast sista lösendag. Två varianter av optioner används frekvent på marknaden, dessa är köp- och säljoptioner. En köpoption ger köparen av optionen rätten att köpa den underliggande tillgången från säljaren till priset K och en säljoption ger köparen rätten att sälja den underliggande tillgången till säljaren av optionen till priset K. En köpare av en option tar en så kallad lång position och säljaren tar en kort position. Prissättningsmodeller för amerikanska och europeiska optioner skiljer sig åt. Avgränsningar har därför gjorts i denna uppsats att uteslutande behandla prissättningsmodeller för europeiska optioner. Värdet för den europeiska köpoptionen på lösendagen bestäms av skillnaden mellan den underliggande tillgångens värde och det förbestämda lösenpriset K. Tillgångens värde noteras ofta som St eller S(t) där t beskriver tiden, t T. Värdet för en lång position i en köpoption vid T beskrivs därför av C lång = max(s T K, ) = (S T K) +. Om S T < K så kommer optionen att vara värdelös då den underliggande tillgången kan köpas billigare på marknaden. Av logiska skäl så kommer en kort position i köpoptionen ha ett värde av C kort = max(s T K, ) = (S T K) +. Värdet för den europeiska säljoptionen bestäms på liknande vis. Skillnaden är att värdet bestäms av differensen mellan lösenpriset och aktiepriset på inlösningsdagen. Vi får då P lång = max(k S T, ) = (K S T ) + och av samma argument som för köpoptionen så kommer en kort position i en säljoption ha ett värde av P kort = max(k S T, ) = (K S T ) +. I Figur 1-4 illustreras värdet av de olika typerna av positioner (lång och kort) för europeiska köp- och säljoptioner i så kallade hockeyklubbsdiagram där den röda linjen markerar hur värdet på optionen förändras beroende på den underliggande tillgångens värde på lösendagen. 1

9 Från Figur 2 och 4 kan man tyda att korta positioner i köp- och säljoptioner antingen ger en neutral eller negativ utdelning på lösendagen. För att kompensera för detta tar säljaren av optionen en avgift från köparen, vilket är optionens pris. Detta betyder att den monetära vinsten som görs beskrivs av en förskjutning av den röda linjen i Figur 1 4, antingen uppåt - för korta positioner, eller neråt - för långa positioner. Hur lång förskjutningen är beror på hur högt priset på optionen är. Exempel 1.1 Betrakta en europeisk köpoption på den underliggande aktien IBM. Vi antar att aktien har ett värde i t = enligt S = 1kr och investeraren köper en europeisk köpoption för 2kr med lösenpris K = 1kr. Utbetalningen på lösendagen beror på aktiepriset S T vilket illustreras i tre olika scenarion: 1. På lösendagen har IBM:s aktie ett värde av S T = 15kr. Från ovanstående resonemang vet vi att investeraren kan utnyttja optionen och köpa aktien från säljaren av optionen för K = 1kr för att sedan direkt sälja den på 2

10 marknaden för S T = 15kr. Med andra ord får vi att: C lång = 15 1 = 5 och att den slutgiltiga vinsten för investeraren är 5kr 2kr = 3kr. 2. På lösendagen har IBM:s aktie ett värde av S T = 11kr. Med samma metod som i scenario 1 får vi att C lång = 11 1 = 1 men då investeraren har betalat 2kr för optionen så kommer den slutgiltiga vinsten vara 1kr 2kr = 1kr. 3. På lösendagen har IBM:s aktie ett värde av S T = 98kr. Med samma metod som ovan får vi att C lång = max (98 1, ) = vilket betyder att investeraren inte utnyttjar optionen då IBM:s aktie kan köpas för ett billigare pris på marknaden än det förbestämda lösenpriset K = 1kr och den slutgiltiga vinsten är kr 2kr = 2kr. Att bestämma ett rimligt pris för europeiska köp- och säljoptioner har inte alltid varit lätt men sedan 1973, när Black och Scholes publicerade en banbrytande artikel, så har vi kunnat prissätta vanliga optioner med hjälp av de kända variablerna: Pris på underliggande tillgång. Lösenpris. Tid till lösendag. Underliggande tillgångens volatilitet. Den riskfria räntan. Utdelning. Denna modell används på marknaden för att säkerställa rimliga optionspriser och flertalet utvecklingar av modellen används för att bestämma mer komplexa optioners priser. Idag används den också framförallt för att beräkna vad som kallas den implicerade volatiliteten men detta är inget som täcks i denna uppsats. Användandet av finansiella derivat, så som optioner, har blivit mycket populärt. Företag använder bland annat derivaten för att hedga (säkra) olika risker de står inför vilket har skapat en marknad för mer komplexa finansiella derivat som tillfredsställer dessa krav. Ett samlingsnamn för mer komplexa optioner är exotiska optioner, några av dessa är asiatiska optioner, barriäroptioner, köpoptioner på maximum samt α-kvantiloptioner (kvantiloptioner). Syftet med uppsatsen är att på ett intuitivt sätt framställa prissättningsmodellen för kvantiloptioner samt diskutera hur kvantiloptionens egenskaper förhåller sig till egenskaperna hos köpoptioner på maximum. Uppsatsen är upplagd enligt följande; Till att börja med så redogörs grunderna för stokastiska processer vilket är betydande för aktieprisets rörelse över tid. Av detta följer naturligt en 3

11 härledning till Black-Scholes-Merton-modellen vilket är den basala prissättningsstrategin för europeiska köp- och säljoptioner. Därefter utvecklas modellen för att kunna användas vid mer komplexa optioner så som köpoptioner på maximum (en typ av lookback-option) vilket naturligt leder fram till prissättningsmodellen för kvantiloptioner. Avslutningsvis diskuteras de kvantiloptioners egenskaper jämfört med egenskaperna hos köpoptioner på maximum. För läsaren är det relevant att veta att notationer i uppsatsen enligt S(t) eller dw(t) är ekvivalenta med S t respektive dw t. 4

12 2. Stokastiska processer En variabel vars värde förändras med tiden på ett icke-deterministiskt sätt sägs följa en stokastisk process. Dessa kan vara antingen diskreta eller kontinuerliga och det är teorier kring stokastiska processer som används för att beskriva den underliggande tillgångens rörelse över tid vilket är grunden vid prissättning av optioner. 1 I uppsatsen kommer aktien representera den underliggande tillgången för optionen och aktieprisets rörelsemönster anses vara en så kallad Markovprocess vilka definieras av att endast det senaste värdet i processen är relevant för att förutspå nästkommande värde. Med andra ord så ska prognosen om framtida aktiepris vara oberoende av aktiepriset igår, förra veckan och förra året. Den osäkerhet som finns angående framtida värden måste beskrivas i form av en sannolikhetfördelning där egenskaperna som kommer från en Markovprocess menar att aktiepriset vid en framtida tidpunkt inte kommer vara beroende av hur priset har rört sig i det förflutna. 2 Definition 2.1 Om följande är givet: Sannolikhetsrummet (Ω, F, P). En fullständigt ordnad indexmängd T. Ett mätbart tillståndsrum (S, Σ) så är en stokastisk process en familj slumpvariabler, X = {X t } t T, definierade på sannolikhetsrummet, som antar värden som tillhör tillståndsrummet Wienerprocessen Den stokastiska processen som är en del av vad som beskriver ett aktiepris rörelse är en speciell typ av stokastisk process. Denna kallas för Wienerprocess. Formellt så definierar vi en Wienerprocess enligt: 4 Definition 2.2 En Wienerprocess är en stokastisk process, noterad W t, med följande egenskaper: W = med sannolikhet 1. 1 Hull, John. C. Options, futures and other derivatives. Nionde upplagan. (New Jersey: Pearson Education, 215), 33 2 Ibid., , , 15. 5

13 För varje t >, och u >, så är varje framtida ökning W t+u W t, oberoende av tidigare värden W s, då s t. Wienerprocessens trajektioner är kontinuerliga på tidsintervallet [, T) med sannolikhet 1. W har normalfördelade ökningar. Dvs W t W s ~ N(, t s), s t T där N(m, v) noterar normalfördelningen med väntevärde m och varians v. Definition 2.3 En Generaliserad Wienerprocess är en stokastisk process på formen 5 X t = µt + σw t (2.1) där µ och σ är konstanter som kallas driftkoefficient respektive diffusionskoefficient. Processen kan också beskrivas i form av en stokastisk differentialekvation enligt dx t = µ dt + σ dw t. (2.2) Den Generaliserade Wienerprocessen beskriven i Definition 2.3 kan även utvecklas till att µ och σ istället är funktioner av X t och t vilket definierar en ny typ av stokastisk process, en Itôprocess. Definition 2.4 En Itôprocess är en stokastisk process som kan beskrivas med den stokastiska differentialekvationen där a och b är funktioner av X(t) och t. dx(t) = a(x t, t)dt + b(x t, t) dw t (2.3) Integrerar vi uttrycket i ekvation (2.3) erhålls t t (2.4) X t = X + a(x s, s) ds + b(x s, s)dw s där den första integralen är en deterministisk integral och den andra en Itôintegral vilket beskrivs i mer detalj senare i texten. 5 Hull, J

14 2.2. Processen som beskriver aktieprisets rörelse över tid En akties värde förändras över tiden vilket kan beskrivas genom en stokastisk process. Det är lockande att beskriva detta genom en Generaliserad Wienerprocess men det visar sig snabbt att denna modell är felaktig att applicera. För att visa detta betraktar vi en investerare som köper aktier. Investeraren förväntar sig avkastning vilken är oberoende av vilket aktiepris som gäller. Med andra ord, om investeraren kräver 1% avkastning när aktiepriset är 2kr så kommer så även vara fallet då aktiepriset är 3kr, allt annat samma. Av detta följer att en konstant driftkoefficient inte är korrekt att applicera vilket utesluter en Generaliserad Wienerprocess som modell. Modellen borde istället låta den förväntade avkastningen vara konstant vilket kan beskrivas enligt förväntad avkastning = förväntad drift. aktiepris Om St är aktiepriset vid tiden t och vi låter μ beskriva den förväntade avkastningen, så antas den förväntade driften vara μs t. Detta betyder att under en kort tid t så kommer den förväntade ökningen i aktiepriset, S, kunna beskrivas enligt μs t t. 6 För att beskriva prisprocessen applicerar vi då istället en Itôprocess från Definition 2.4. Vi börjar nu trivialt genom att låta a = μs. Prisförändringen beskrivs då enligt S = μs t + b(x(t), t) W (2.5) och om vi till en början utesluter osäkerhetsfaktorn så erhålls vilket när t blir som är ekvivalent med S = μs t (2.6) ds = μsdt (2.7) ds S = μ dt. (2.8) Integration mellan och T ger S T = S e μt (2.9) där S T och S är aktiepriset vid tid T och samt µ den förväntade avkastningen. Från ekvation (2.9) följer att då det inte finns någon osäkerhet så kommer aktiepriset stiga med en konstant kontinuerligt sammansatt hastighet i form av μ per tidsenhet. Vi fortsätter nu med ett mer verklighetstroget scenario i form av att en osäkerhet angående framtiden existerar och att avkastningens volatilitet under en kort tid, t, är samma oavsett 6 Hull, J. 38 7

15 aktiepris. Precis som i ovanstående resonemang så betyder det att en investerare är precis lika osäker angående aktieprisets framtida rörelse oavsett om priset är 2kr eller 3kr. Av detta följer att den förväntade volatiliteten av förändringen i S under en kort tid, t, borde vara proportionell mot aktiepriset. Vi betecknar volatiliteten med σ och låter b i ekvation (2.5) beskrivas enligt b = σs. Då t ger ekvation (2.5) ds = μs dt + σs dw (2.1) eller ds S = μ dt + σ dw (2.11) vilket är den vanligaste modellen som idag används för att beskriva aktieprisets rörelse. Här beskriver μ aktieprisets förväntade avkastning, σ är avkastningens volatilitet och σ 2 beskriver variansen. Vi säger att aktiepriset följer en Geometrisk Browns rörelse vilket är en typ av Itôprocess, den Geometriska Brownska rörelsen definieras nedan i Definition 2.5. Modellen representerar aktieprisets verkliga rörelse och i Black-Scholes-Merton-modellen så antas μ vara marknadens riskfria ränta vilket beskrivs senare i texten. 7 Senare i texten kommer vi även behöva beskriva aktieprisets rörelse uttryckt i diskret tid. Notera därför nedanstående representation av prisförändringen. S = μs t + σsε t (2.12) eller S S = μ t + σε t (2.13) där ε t beskriver W och där ε är en standardnormalfördelad slumpvariabel. På samma sätt som i det kontinuerliga fallet så beskriver μ t den förväntade avkastningen under tiden t, σε t är den stokastiska komponenten i avkastningen och variansen av den stokastiska komponenten (därmed också av hela avkastningen) är σ 2 t. Vi får med andra ord S S ~ N(μ t, σ2 t) 7 Hull, J. 39 8

16 Definition 2.5 En stokastisk process X = {X t } t T, sägs följa en Geometrisk Brownsk rörelse i kontinuerlig tid om X t löser följande stokastiska differentialekvation: 8 dx t = μx t dt + σx t dw t (2.14) eller där μ och σ är konstanter. dx t X t = μ dt + σ dw t (2.15) Itôintegralen Vi vill nu kunna lösa processer som inkluderar Itôintegraler vilka introduceras i ekvation (2.4). Vi är intresserade av att lösa processen som beskrivs i ekvation (2.1) vilket kräver andra metoder än de som används vid vanlig integrering. Detta för oss in på vad som kallas Itôs Lemma. Lemma 2.1 Itôs Lemma Anta att X t är en Itôprocess och f(x, t) är en två gånger deriverbar funktion. Då är också Z t = f(x t, t) en Itôprocess och ges av lösningen till dz t = ( f f a + X t f 2 X 2 b2 ) dt + f X b dw t. (2.16) Från Itôs Lemma ser vi att Z t också är en Itôprocess men med drift ( f f a + X f t 2 X 2 b2 ), diffusion f b samt en varians av ( f X X )2 b 2. 9 Appliceras Itôs Lemma på en stokastisk process som följer den Geometriska Brownska rörelsen enligt ds = μs dt + σs dw (2.17) så erhålls Itôprocessen Z t = f(s t, t) som lösning till den stokastiska differentialekvationen dz = ( f f μs + S t f 2 S σ2 S 2 ) dt + f S σs dw (2.18) Hull, J

17 Bevis Itôs Lemma Vi börjar med att betrakta en kontinuerlig och deriverbar funktion f(x). Om x är en liten förändring i x och f är den resulterande förändringen i f så vet vi från grundläggande matematisk analys att f df dx x. (2.19) Vi vet också att approximationen innefattar feltermer och för en mer exakt approximation bör man använda sig av Taylorutveckling enligt f = df dx x + 1 d 2 f 2 dx 2 x2 + 1 d 3 f 6 dx 3 x3 +. (2.2) För en kontinuerlig deriverbar funktion f av två variabler x och t får vi ett analogt resultat f f f x + x t t (2.21) och för en mer exakt approximation med en Taylorutveckling får vi f = f f x + x t t f x 2 x2 + 2 f x t x t f 2 t 2 t2 +. (2.22) Genom att ta gränsvärdet då x och t så får vi från (2.21) att df = f f dx + x t dt. (2.23) Vi fortsätter nu med att utöka ekvation (2.23) till att täcka funktioner av variabler som följer Itôprocesser. Anta nu att X t är en Itôprocess som löser dx t = a(x t, t) dt + b(x t, t) dw t (2.24) samt att f är en funktion av X t och t. Från (2.22) vet vi att en Taylorutveckling ser ut enligt f = f f X + X t t f X 2 X2 + 2 f X t X t f 2 t 2 t2 +. (2.25) I det diskreta fallet har vi på samma sätt som i (2.12) att den stokastiska termen dw = ε t och vi kan skriva X = a(x t, t) t + b(x t, t)ε t (2.26) vilket åskådliggör en tydlig skillnad mellan ekvation (2.25) och (2.22). När gränsvärdet beräknas då x och t i ekvation (2.22) så ignoreras termer av x 2 och högre för att få ekvation (2.23) men från ekvation (2.26) har vi istället att 1

18 X 2 = a(x t, t) 2 t 2 + b(x t, t) 2 ε 2 t (2.27) som är beroende av t, vilket är av första ordningen och kan därmed inte ignoreras. Av detta 2 f följer att termen 1 2 X 2 X2 i ekvation (2.25) inte kan uteslutas och måste finnas med i lösningen. För att bevisa att högre ordningens termer också kan ignoreras, dvs att de går mot då t går mot så diskretiserar vi f(x t, t). 1 Vi har f(x t, t) = f(x, ) + ( f X t a + f t f 2 X 2 b2 ) ds + f X b dw t (2.28) och får efter Taylorutveckling 11 f(x t, t) = f(x, ) + f(x j, t j ) = f(x, ) + f t t j j + f X X 1 j f t 2 ( t j) f t X ( t j)( X j ) j j j f X 2 ( X j) 2 + R j j j j (2.29) där t j = t j+1 t j, X j = X j+1 X j, f(x j, t j ) = f(x j+1, t j+1 ) f(x j, t j ) och R j = O ( t j 2 + X j 2 ) för alla j. Om vi nu låter t så får vi att första och andra summationerna i (2.29) beter sig enligt f t t j j = f t (X j, t j ) t j f t (X s, s)ds j t (2.3) f x X j j = f X (X j, t j ) X j f X (X s, s)dx s j samt den tredje och fjärde summationen blir från det faktum att (dt) 2 = dtdw =. 12 Den femte summationen kan skrivas som t (2.31) 2 f X 2 ( X j) 2 j = 2 f X 2 a j 2 ( t j ) f X 2 a jb j ( t j )( W j ) + j j 2 f X 2 b j 2 ( W j ) 2 j (2.32) 1 Øksendal, Bernt. Stochastic Differential Equations. Tredje upplagan. (United States of America: Springer- Verlag, 1992), Ibid., Björk, Tomas. Arbitrage Theory in Continous Time. Tredje upplagan. (New York: Oxford University Press, 29), 52 11

19 där de första två termerna går mot då t, men den tredje termen tenderar att gå mot vilket kan visas enligt följande: 13 t 2 f X 2 b2 ds Låt q(t) = 2 f X 2 b2 där vi noterar q j = q(t j ). Vi vill visa att uttrycket konvergerar i L 2 och betraktar uttrycket E [( q j ( W j ) 2 q j t j ) 2 ] = E[q i q j (( W i ) 2 t i )(( W j ) 2 t j )]. j j i,j (2.33) Om i < j eller i > j så gäller att (( W i ) 2 t i ) och (( W j ) 2 t j ) är oberoende och därmed kommer deras väntevärde vara enligt Definition 2.2. Vi lämnas därmed med fallet då i = j enligt E [q 2 j (( W j ) 2 t j ) 2 ] = E[q 2 j ] E [( W j ) 4 2( W j ) 2 t j + ( t j ) 2 ] j j = E[q 2 j ] (3 ( t j ) 2 2( t j ) 2 + ( t j ) 2 = 2 E[q 2 j ] ( t j ) 2 j då t j j (2.34) vilket kommer ifrån normalfördelningens egenskaper 14 där vi har att om Z är normalfördelad så är E[Z 4 ] = 3σ 4 och E[Z 2 ] = σ 2. Med andra ord så har vi att då t j. q j ( W j ) 2 j t q(s)ds t = 2 f X 2 b2 ds (2.35) På liknande sätt så kan vi också visa att R j då t j j och vi kan därmed ignorera högre termer. 15 Vi fortsätter nu med att betrakta de kända egenskaperna: Variansen av standardnormalfördelningen är 1, dvs V[ε] = E[ε 2 ] [E(ε)] 2 = 1. E[ε] =, ger att; E[ε 2 ] = 1 E[ε 2 t] = t. Variansen av ε 2 t är, från normalfördelningens egenskaper, V[ε 2 t] = 2 t 2. Variansen av förändringen i den stokastiska slumpvariabeln ε för en tid t är proportionell mot t vilket bidrar till att V[ε 2 t] = 2 t 2 är för litet för att vara en stokastisk komponent då t. 13 Øksendal, B , Øksendal, B

20 Ovanstående punkter leder till att vi kan behandla ε 2 t som deterministisk och lika med sitt förväntade värde E[ε 2 t] = t då t. Från ekvation (2.27) får vi då att b(x t, t) 2 ε 2 t = b(x t, t) 2 dt, då t. (2.36) Alltså, genom att ta gränsvärdet då X och t i ekvation (2.25) så får vi att df = f f dx + X t dt f 2 X 2 b2 dt (2.37) vilket är Itôs Lemma. 16 Om vi substituerar in dx från (2.24) in i ekvation (2.37) så får vi slutligen vilket skulle visas. df = ( f f a + x t f 2 x 2 b2 ) dt + f x b dw (2.38) 2.3. Lognormala egenskaper Vi kan nu undersöka vilken explicit lösning som den stokastiska differentialekvationen som beskriver aktieprisprocessen har. Från ekvation (2.9) vet vi att den deterministiska delen av processen har lösningen S T = S e μt vilket ger ett motiv till att undersöka processen som ges av ln(s) när S är processen som beskrivs av ekvation (2.17). Vi definierar och applicerar nu Itôs Lemma enligt Z t = f(s t, t) = ln(s t ), då f(s, t) = ln(s) (2.39) f S = 1 S, vilket från ekvation (2.18) ger oss 2 f S 2 = 1 S 2, f t = (2.4) dz = (μ σ2 2 ) dt + σ dw. (2.41) Då μ och σ är deterministiska så följer Z en Generell Wienerprocess med konstant drift μ σ 2 2 och konstant varians σ2. Förändringen i ln S mellan tid och T är därav normalfördelad med väntevärde (μ σ2 2 ) T och varians σ2 T. Vi har alltså ln(s T ) ln(s ) ~N ((μ σ2 2 ) T, σ2 T) (2.42) 16 Hull, J

21 eller ln(s T ) ~N (ln(s ) + (μ σ2 2 ) T, σ2 T) (2.43) vilket implicerar att aktiepriset vid en tidpunkt T, givet priset idag, är lognormalfördelad med en standardavvikelse σ T. 17 Denna fördelning faller sig naturlig då den precis som aktiepriset, ej kan anta negativa värden. Alltså, för att sammanfatta ovanstående avsnitt, så ser vi att om vi antar att den stokastiska processen som beskriver aktiepriset följer en Geometrisk Brownsk rörelse så kommer aktiepriset vid en framtida tidpunkt ha en lognormalfördelning. Vi går nu vidare och tittar på Black-Scholes-Mertons modell som baseras på antagandet att aktiepriset rör sig på detta vis över tid. 17 Hull, J

22 3. Black-Scholes-Mertons modell Låt oss nu titta på hur Black, Scholes och Merton tittar på aktieprisets rörelse. De antar att avkastningen i aktiepriset under en kort tid är normalfördelad och definierar: 18 μ: Aktiens förväntade årliga avkastning σ: Aktieprisets årliga volatitlitet Modellen gör även ett antal antaganden kring marknadsförhållanden vilka beskrivs nedan: 19 Aktieprisprocessen följer en Geometrisk Brownsk rörelse enligt ds = μs dt + σs dw där σ och μ är konstanter. Att blanka (ta korta positioner) är fullt tillåtet på marknaden. Det tillkommer inga transaktionskostnader eller skatter. Värdepapper kan delas. Handel med finansiella derivat sker kontinuerligt. Ingen aktieutdelning under kontraktsperioden. Arbitragefri marknad. Den riskfria räntan, r, är konstant och entydig för alla kontraktlängder. För en djupare matematisk analys av dessa antaganden hänvisar jag till Björks bok Arbitrage Theory in Continuous Time. Det räcker just nu för läsaren att veta att antagandena leder till att vi kan beskriva aktieprisprocessen under vad vi kallar för ett martingal-mått (beskrivs i närmare detalj senare) eller även kallat ett risk-fritt mått, Q, under vilket vi låter den förväntade avkastningen beskrivas av den riskfria räntan r istället för μ. I föregående avsnitt visades det att framtida värdet S T är lognormalfördelad vilket nu kan användas för att erhålla information angående den avkastning som genereras av en aktie mellan tid och T. Om vi låter r beskriva den kontinuerligt sammansatta räntan man tjänar på aktieprisets rörelse från tid till T och använder oss av ekvation (2.43) samt egenskaperna från en lognormal fördelning så kan det visas att det förväntade aktiepriset på lösendagen T under det riskfria måttet Q kan beskrivas enligt E Q [S T ] = S e rt (3.1) vilket är en viktig iakttagelse för att förstå Black-Scholes-Mertons prissättningsmodell Black-Scholes-Mertons differentialekvation Black-Scholes-Mertons differentialekvation är en ekvation som måste tillfredsställas av optionspriset. Som ovan beskrivet så antar Black-Scholes-Mertons modell att det inte finns några arbitragemöjligheter på marknaden vilket implicerar att optionens pris är lika med det diskonterade väntevärdet av optionens utbetalning på lösendagen under det risk-fria måttet 18 Hull, J Hull, J

23 Q. 2 Om marknaden dessutom antas vara fullständig så betyder det att man kan replikera en portföljs avkastning med en riskfri portfölj där man tar positioner i optionen samtidigt som man även tar positioner i den underliggande aktien. Är marknaden då arbitragefri så kommer avkastningen från portföljen vara den samma som den riskfria portföljens vilket leder till att de också måste ha samma pris. 21 Anledningen till att en riskfri portfölj kan användas på detta vis är att aktiepriset och optionspriset båda beror på samma underliggande osäkerhet; aktieprisets rörelse. Portföljen har samma ränta som den riskfria räntan enligt argument ovan och om vi tittar på en europeisk köpoption så kan vi se att förhållandet mellan hur optionsvärdet förändras jämfört med hur det underliggande aktiepriset förändras beskrivs med vad som kallas för optionens delta. 22 Ett exempel på detta följer nedan. Exempel 3.1 Låt C =.2 S (3.2) beskriva förändringen i köpoptionsvärdet, S är förändringen i aktiepriset och.2 är optionens delta, dvs. lutningen på tangenten till funktionen som representerar förhållandet mellan optionsvärdet och aktiepriset. Detta betyder att för varje enhetsökning av aktiepriset så kommer den europeiska köpoptionens värde att öka med 2% av detta. Vill man då skapa sig en riskfri portfölj (hedga) så kan man hålla en kort position i form av 5 köpoptioner samt en lång position i 1 aktie. Detta demonstreras genom att vi antar att aktiepriset minskar med 1kr, dvs. S = 1kr, vilket resulterar i en förändring i köpoptionens värde enligt C = 2kr. Portföljens värde minskar nu med 1kr p.g.a. ägandet av 1 aktie men tack vare den korta positionen i 5 köpoptioner så kommer en minskning med 1kr i aktiepriset också leda till att värdet av en kort position i 5 köpoptioner ökar med.2 5 1kr = 1kr och därmed eliminerar förlusten. Viktigt att poängtera inför härledningen av Black-Scholes-Mertons differentialekvation är att positionen i den riskfria portföljen endast är riskfri för en kort tidsperiod och för att behålla den riskfri så krävs kontinuerliga kalibreringar av optionens delta och därefter en omstrukturering av portföljen. 23 För att nu härleda Black-Scholes-Mertons differentialekvation som ligger till grund för deras prissättningsmodell så börjar vi med att betrakta optionspriset vid tiden t = Hull, J Brealy, Richard. A. Myers, Stewart. C. Allen, Franklin. Principles of Corporate Finance. Tionde upplagan. (Singapore: McGraw-Hill Education, 211), Hull, J

24 Antag nu att C t = f(s t, t) = Z är ett finansiellt derivats pris, t.ex. en europeisk köpoption. f är en funktion av S t och t och vi får från Itôs lemma att Z löser eller på diskret form där Z då löser dz = ( f f μs + S Z = ( f f μs + S t f 2 S 2 σ2 S 2 ) dt + f S σs dw (3.3) S = μs t + σs W (3.4) t f 2 S 2 σ2 S 2 ) t + f S σs W. (3.5) Z och S beskriver förändringen i Z respektive S på korta tidsperioder t. Från Itôs Lemma vet vi att Wienerprocessen som beskriver Z och S är samma och att W( = ε t) är samma i ekvation (3.4) och (3.5). Det följer att en portfölj med aktien och tillhörande optioner kan konstrueras så att Wienerprocessen elimineras, dvs. osäkerheten kring framtiden försvinner och portföljen är riskfri. Detta visas i exemplet nedan. 24 Exempel 3.2 Anta att vi konstruerar en portfölj vars värde betecknas med П och där innehållet är en kort position i köpoptionen samt en lång position i delta (= f ) stycken aktier. Vi har då S П = f + f S S (3.6) och förändringen i П ges av П = f + f S S (3.7) som vi nu kan skriva om med hjälp av ekvation (3.4) och (3.5). Vi får П = (( f f μs + S vilket förenklas till t f 2 S 2 σ2 S 2 ) t + f S σs W) + f S (μs t + σs W) (3.8) П = ( f t 1 2 f 2 S 2 σ2 S 2 ) t. (3.9) Då ekvation (3.9) inte innehåller termen W, dvs. ingen stokastisk komponent, så måste den vara riskfri under den korta perioden t. 24 Hull, J

25 Exempel 3.2 visar på en viktig aspekt i vårt antagande om att vi prissätter under det risk-fria måttet Q. Antar vi att vi befinner oss under detta sannolikhetsmått så måste portföljen generera samma avkastning som andra kortvariga riskfria tillgångar. Om den skulle tjäna mer, skulle det finnas möjligheter att göra riskfria vinster genom att låna pengar till den riskfria räntan för att köpa portföljen. Skulle portföljen ge lägre avkastning, skulle man kunna göra en riskfri vinst genom att ta en kort position i portföljen och köpa riskfria tillgångar. 25 Alltså, på en arbitragefri marknad så måste därför där r är den riskfria räntan. П = rп t (3.1) Vi kan nu sätta huvudresultatet i Exempel 3.2, dvs. ekvation (3.9), lika med uttrycket i ekvation (3.1) och substituera in ekvation (3.6) för att erhålla ( f t f 2 S 2 σ2 S 2 ) t = r(f f S S) t (3.11) så att ( f f + rs t S f 2 S 2 σ2 S 2 ) = rf (3.12) vilket är Black-Scholes-Mertons differentialekvation. Exempel 3.3 För att visa att Black-Scholes-Mertons differentialekvation håller i det simplaste fallet låter vi Vi får från Itôs lemma att f(s, t) = S. (3.13) och ekvation (3.12) blir f t =, f S = 1, 2 f S 2 = ( + rs + ) = rf rf = rf (3.14) 25 Hull, J

26 3.2. Black-Scholes-Mertons prissättningsformler För att hitta priset på en europeisk köp- eller säljoption vill vi nu hitta en generell lösning till ekvation (3.12). Black, Scholes och Merton har hittat prissättningsformler som löser denna och där f nu skrivs om till C som betecknar priset på den europeiska köpoptionen och P för den europeiska säljoptionen. 26 Sats 3.1 Black-Scholes-Mertons prissättningsformel Låt S t notera aktiepriset i tiden t, K noterar lösenpriset, r är den riskfria räntan, T är tiden till lösendagen och σ beskriver aktieprisets volatilitet. Priset för en europeisk köp- och säljoption kan då beskrivas enligt: C = S Φ(d 1 ) Ke rt Φ(d 2 ) (3.15) P = Ke rt Φ( d 2 ) S Φ( d 1 ) (3.16) där d 2 = ln ( S K ) + (r + σ2 2 ) T d 1 = σ T ln ( S K ) + (r σ2 2 ) T σ T = d 1 σ T. (3.17) (3.18) Φ(x) är den kumulativa fördelningsfunktionen för en slumpvariabel med standardnormalfördelning. 27 För att förstå Φ(d 1 ) och Φ(d 2 ) så går vi in djupare och tittar på ekvation (3.17) och (3.18). Φ(d 2 ) har en ganska simpel förklaring, den beskriver sannolikheten att en köpoption kommer att användas i en riskfri marknad, dvs. att S T K, vilket vi härleder senare i texten. Φ(d 1 ) är däremot svårare att förstå och vi börjar därför med att betrakta uttrycket S e rt Φ(d 1 ) där vi från ekvation (3.1) vet att den första delen, S e rt, beskriver det förväntade aktiepriset vid tiden T i en riskfri marknad. Φ(d 1 )-termen adderar då ett villkor i form av att optioner med aktiepris som är lägre än lösenpriset är värderade till. Med andra ord så betalas bara lösenpriset om aktiepriset S T K och detta konstaterade vi just hade en sannolikhet Φ(d 2 ). 28 Från ovanstående resonemang får vi att den förväntade avkastningen på lösendagen i en riskfri marknad är S e rt Φ(d 1 ) KΦ(d 2 ) (3.19) 26 Hull, J Hull, J Hull, J

27 vilket med andra ord kan tydas som vad vi får på lösendagen "vad vi betalar på lösendagen". Vill vi nu uttrycka den framtida förväntade avkastningen i form av dagens värde så diskonterar vi uttrycket i ekvation (3.19) till nuvärde (dvs. multiplicera med e rt ). Det ger oss S Φ(d 1 ) Ke rt Φ(d 2 ) (3.2) vilket är detsamma som ekvation (3.15), prissättningsformeln för en europeisk köpoption. Vi kan även uttrycka formeln enligt C = e rt E Q [max(s T K, )] (3.21) vilket beskriver den diskonterade förväntade avkastningen som kommer erhållas på lösendagen under risk-neutrala förhållanden, detta noteras med E Q. Härledningen av Φ(d 2 ) Som en illustration av användandet av Wienerprocessen när man tittar på aktieprisets rörelse vill jag nu visa exakt hur vi räknar ut sannolikheten under Q att en köpoption på en aktie kommer att nyttjas. Aktieprisprocessen antas följa en Geometrisk Brownsk rörelse och vi söker sannolikheten att S T är större än lösenpriset K, eller med andra ord Φ(d 2 ). Vi börjar med att transformera slumpvariabeln som beskriver avkastningen mellan och T så den blir standardnormalfördelad, dvs. med väntevärde och varians 1. Vi känner till att avkastningen kan beskrivas enligt ln(s T ) ln(s ) = ln ( S T S ) (3.22) där vi noterar att S T är en slumpvariabel som representerar det framtida okända värdet på aktien vid tiden T vilket medför att ln ( S T S ) också är en slumpvariabel enligt 29 ln ( S T S ) ~N (T (r σ2 2 ), σ2 T). (3.23) Från känd teori vet vi att vi kan transformera variabeln till en standardnormalfördelning genom att subtrahera väntevärdet och dela med standardavvikelsen. Vi erhåller då slumpvariabeln 3 29 Chriss, Neil. A. Black-Scholes and Beyond. (Första upplagan. United States of America: McGraw-Hill, 1997), Chriss, N

28 ln ( S T S ) T (r σ2 2 ) ~N(,1) σ T (3.24) och kan nu skriva om olikheten S T K genom att 1. Dividera båda leden med S. 2. Ta den naturliga logaritmen. 3. Subtrahera väntevärdet T (r σ2 2 ). 4. Dividera med standardavvikelsen σ T vilket ger oss ln ( S T S ) T (r σ2 2 ) σ T ln ( K S ) T (r σ2 2 ) σ T (3.25) där vänsterledet som sagt är standardnormal-fördelat och beskriver sannolikheten att slumpvariabeln för framtida aktiepris är större eller lika med värdet på högerledet. Då vi vill använda den kumulativa fördelningsfunktionen så vill vi ha uttrycket med en olikhet enligt 31 och skriver om (3.25) till ln ( S S ) + T (r σ2 T 2 ) ln ( S K ) + T (r σ2 2 ). σ T σ T (3.26) Då vänsterledet i ekvation (3.26) är negationen av vänsterledet i (3.25) så vet vi att det också är standardnormal-fördelat. Alltså, för att S T K ska gälla så måste (3.26) hålla. Sannolikheten att detta gäller är given av den kumulativa fördelningsfunktionen av högerledet och vi får 32 ln ( S K ) + T (r σ2 2 ) P(S T K) = Φ ( ) σ T (3.27) vilket är samma uttryck som för d 2 i ekvation (3.18): ln ( S K ) + (r σ2 2 ) T d 2 =. σ T (3.28) 31 Chriss, N Chriss, N

29 Generellt bevis för Black-Scholes-Mertons prissättningsformel Beviset för Black-Scholes-Mertons prissättningsformel görs i två steg där vi börjar med ett bevis för ett av huvudresultaten i modellen. Sats 3.2 Om V är en lognormalfördelad slumpvariabel där ln(v) har standardavvikelsen w, så följer att där K > är en konstant och E[(V K) + ] = E(V)Φ(d 1 ) KΦ(d 2 ) (3.29) ln ( E[V] K ) + (w2 2 ) d 1 = w ln ( E[V] K ) (w2 2 ) d 2 = w (3.3) (3.31) För att bevisa Sats 3.2 så låter vi nu g(v) vara Vs täthetsfunktion. Då följer att E[(V K) + ] = (V K)g(V)dV. K (3.32) Då ln(v) är normalfördelad med standardavvikelse w så får vi från lognormalfördelningens egenskaper att väntevärdet av ln(v) är m = ln(e[v]) w2 2. (3.33) Transformera nu ln(v) till standardnormalfördelningen genom att subtrahera väntevärdet och dividera med standardavvikelsen. Definiera detta som en ny variabel Q enligt Q = ln(v) m w (3.34) och låt h(q) beskriva Q:s täthetfunktion enligt h(q) = 1 Q 2 2π e 2. (3.35) En omskrivning av ekvation (3.34) ger V = e Qw+m (3.36) 22

30 och vi använder nu detta för att skriva om integralen i ekvation (3.32) från en integral över V till en integral över Q enligt E[(V K) + ] = (e Qw+m (3.37) K)h(Q)dQ vilket också kan skrivas som ln(k) m w E[(V K) + ] = ln(k) m w e Qw+m h(q)dq K ln(k) m w h(q)dq. (3.38) Betrakta nu den första integralen, vi har (e Qw+m )h(q) = 1 2π e( w 2 = em+ 2 2π e[ Q 2 +2Qw+2m 2 ) 1 = 2π e[ (Q w) 2 2 ] = e m+w2 (Q w) 2 +2m+w 2 ] 2 2 h(q w) (3.39) vilket betyder att (3.38) kan skrivas om till E[(V K) + ] = e m+w2 2 h(q w)dq ln(k) m w K ln(k) m w h(q)dq. (3.4) Om vi nu låter Φ(x) vara sannolikheten att den normalfördelade slumpvariabeln med väntevärde och standardavvikelse 1 är mindre än x, så kan vi skriva om den första integralen i (3.4) till ln(k) m ( ln(k) + m) 1 Φ ( w) = Φ ( + w) w w (3.41) och genom att substituera in uttrycket för m från ekvation (3.33) så får vi ( ln(k) + ln (E[V]) w2 2 ) (ln ( E[V] K ) + w2 2 ) Φ ( + w) = Φ ( ) w w (3.42) vilket är lika med Φ(d 1 ) i ekvation (3.3). Den andra integralen i (3.4) kan på samma sätt skrivas som ln(k) m ( ln(k) + m) 1 Φ ( ) = Φ ( ) w w (3.43) och genom att substituera in m från ekvation (3.33) så får vi 23

31 ( ln(k) + ln (E[V]) w2 2 ) (ln ( E[V] K ) w2 2 ) Φ ( ) = Φ ( ) w w (3.44) vilket är lika med Φ(d 2 ) i ekvation (3.31). Ekvation (3.4) kan nu skrivas som E[(V K) + ] = e m+w2 2 Φ(d 1 ) KΦ(d 2 ). (3.45) Substituera nu in m från ekvation (3.33) så får vi E[(V K) + ] = e ln(e[v]) w2 2 +w2 2 Φ(d 1 ) KΦ(d 2 ) = E[V] Φ(d 1 ) KΦ(d 2 ) (3.46) vilket är detsamma som huvudresultatet i Sats 3.2. I del två som nedan följer så kopplar vi huvudresultatet från Sats 3.2 till Black-Scholes- Mertons prissättningsmodell. Anta nu att vi har en europeisk köpoption med lösendag T, lösenpris K, risk-fria räntan r, initialt aktiepris S och volatiliteten σ. Då säger Black-Scholes- Mertons modell enligt ekvation (3.21) att priset är C = e rt E Q [(S T K) + ]. Genom att använda sig av huvudresultatet från Sats 3.2 samt att vi vet att S T är lognormalfördelad med ett väntevärde S e rt och en standardavvikelse σ T så kan vi nu skriva om uttrycket för optionspriset enligt C = e rt (S e rt Φ(d 1 ) KΦ(d 2 )) = S Φ(d 1 ) Ke rt Φ(d 2 ) (3.47) samt visa att ekvation (3.17) och (3.18) håller enligt d 1 = d 2 = ln ( E[S T] K ) + σ2 2 T σ T ln ( E[S T] K ) σ2 2 T σ T = ln (S K ) + (r + σ2 2 )T σ T = ln (S K ) + (r σ2 2 )T σ T (3.48) (3.49) vilket skulle visas. 24

32 4. Exotiska optioner Till skillnad från europeiska optioners utbetalning som bara beror på tillgångens pris på lösningsdagen så finns det vägberoende optioner vars utbetalning istället grundas på den väg som priset på tillgången har vandrat under kontraktets tid. En asiatisk option är ett sådant exempel, utbetalningen för denna är baserad på medelvärdet av den underliggande tillgångens pris under kontraktets livstid. Detta bidrar att utbetalningen från en asiatisk köpoption till skillnad från en europeisk köpoption är max(a T K, ) = (A T K) + där K är lösenpriset och A T är den underliggande tillgångens medelpris under kontraktsperioden Lookback-optioner En annan typ av vägberoende optioner är så kallade köpoptioner på maximum respektive säljoptioner på minimum. Utbetalningen av dessa är beroende av maximum- eller minimumpriset som den underliggande tillgången tagit under kontraktsperioden. Köpoptionen på maximum fungerar precis som en europeisk köpoption, förutom att aktiens pris på lösendagen byter värde med max-värdet som aktien antagit under kontraktsperioden. 33 På motsvarande sätt fungerar också en säljoption på minimum. Vi vet att Black-Scholes-Mertons modell antar att S t löser följande SDE ds t = μs t dt + σs t dw t. (4.1) Marknaden sägs då vara arbitragefri om det existerar ett sannolikhetsmått Q ekvivalent med P så att processen S t e rt är martingal, dvs. har ett konstant betingat väntevärde. Marknaden sägs också vara fullständig omm Q är unikt. 34 Om marknaden är fullständig, så kan varje option bli replikerad, även exotiska optioner, 35 med hjälp av positioner i aktien samt riskfria tillgångar. Detta implicerar dessutom att priset för en option är den diskonterade utbetalningens väntevärde under sannolikhetsmåttet Q vilket visades i föregående kapitel. Om vi nu låter П t notera värdet av optionen vid tiden t, och låter V vara utbetalningen vid T, så kan vi skriva П t = e r(t t) E Q [V F t ] (4.2) där E Q är väntevärdet under sannolikhetsmåttet Q och F t beskriver informationen angående prisprocessen som finns tillgänglig fram till tiden t. 33 Conze, Antoine. Viswanathan. Path Dependent Options: The Case of Lookback Options. The Journal of Finance. Vol. 46, No. 5 (1991): Björk, T ,

33 Man kan genom Girsanovs sats visa att Black & Scholes marknad är komplett och att under Q så följer aktiens pris SDE:n ds t = rs t dt + σs t dw t (4.3) vilket vi känner igen som den Geometriska Brownska rörelsen. Låt oss nu definiera utbetalningen på lösendagen för köpoptioner på maximum samt säljoptioner på minimum. Definition 4.1 Låt U t = ln ( S t S ) där S följer en Geometrisk Brownsk rörelse under Q. Vi introducerar nu maximum- och minimum-värdet som processen tar från T till den generella tiden t, där (T t T) genom notationerna t M T t m T = max T ξ t S ξ (4.4) = min T ξ t S ξ. (4.5) En köpoption på maximum (respektive säljoption på minimum) är en option vars utbetalning på lösendagen är (M T T K) + (respektive (K m T T ) + ). Låt nu Y T = ln ( M t T ) = max{u S ξ, ξ [t, T]} t y T = ln ( m t T ) = min{u S ξ, ξ [t, T]} t (4.6) (4.7) τ = (T t). (4.8) Nedan följer tre lemmor som kommer från reflektionsprincipen. De två första representerar fördelningsfunktionerna för U men med en medföljande barriär, antingen underifrån eller ovanifrån. Bevisen kan hittas i Harrison (1985) Harrison, J. M, Brownian Motion and Stochastic Flow Systems, (New York: Wiley, 1985), 13 26

34 Barriär underifrån Låt y och y u. Då kan vi härleda den gemensamma fördelningen av U T och y T genom att transformera täthetsfunktionen för den Geometriska Brownska rörelsen men med en underliggande barriär enligt u + μτ P(U T u, y T y) = Φ ( ) e 2μy u + 2y + μτ (4.9) σ 2 Φ ( ). σ τ σ τ Figur 5 illustrerar processen U ξ = ln ( S ξ S ) med en underliggande barriär. Figur 5 - Illustration av (U T u, y T y) Barriär ovanifrån På ett liknande sätt som för en barriär underifrån så låter vi nu y och y u. Då följer att u μτ P(U T u, Y T y) = Φ ( σ τ ) e2μy u 2y μτ σ 2 Φ ( ). σ τ (4.1) Figur 6 illustrerar processen U ξ med en barriär ovanifrån. Figur 6 Illustration av U T u, Y T y 27

35 Fördelningen för minimum och maximum Låter vi nu istället y = u i de ovanstående två gemensamma distributionerna så följer fördelningen av respektive funktion, y T samt Y T enligt y + μτ P(y T y) = Φ ( ) e 2μy y + μτ σ 2 Φ ( σ τ σ τ ), y (4.11) y μτ P(Y T y) = Φ ( σ τ ) e2μy y μτ σ 2 Φ ( ), y σ τ (4.12) där täthetsfunktionen för y T respektive Y T kan erhållas genom att derivera ovanstående fördelningsfunktioner. Låt oss nu fortsätta med att betrakta en europeisk köpoption på maximum med utbetalning definierat från Definition 4.1. För bekvämlighet så låter vi nu S = S t, M = M t t T och m = m T och vi har att värdet på optionen vid tiden t under risk-neutrala förhållanden ges av C fix (S, M, t) = e rτ E Q [max (max(m, M T t ) K, )]. (4.13) Utbetalningen kan förenklas till följande, beroende på om M K eller M > K. Om M K: max(max(m, M t T ) K, ) = max(m t T K, ). (4.14) Om M > K: max(max(m, M T t ) K, ) = (M K) + max(m T t M, ). (4.15) Definiera nu funktionen H enligt H(S, τ; K) = e rτ E Q [max(m T t K, )], K >. (4.16) När H(S, τ; K) är bestämd så följer att optionens pris kan beskrivas som H(S, τ; K), om M K C fix (S, M, τ) = { e rτ (M K) + H(S, τ; M), om M > K = e rτ max(m K, ) + H(S, τ; max(m, K)). (4.17) Vi har att C fix (S, M, τ) är oberoende av M när M K. När däremot M > K, så kommer utbetalningen med sannolikhet 1 att ha ett minsta värde av (M K). Vi vet från känd teori att om U är en kontinuerlig icke-negativ slumpvariabel med fördelningsfunktionen F U (t), så följer att 28