Lekion, Flervariabelanals den 9 januari..6 Finn hasighe, far och acceleraion vid idpunk av en parikel med lägesvekorn Genom a urcka -koordinaen i ser vi a kurvan är funkionsgrafen ill. Beskriv också parikelns rajekoria. r() e + e + e. Vi skriver lägesvekorn i vekorform, r(). Deriverar vi lägesvekorn får vi hasigheen ill v() ṙ() Den andra projekionen vi kan göra är a beraka kurvan i, -plane, r, () e + e. I dea fall ser vi a - och -koordinaerna är lika och icke-negaiva efersom allid är icke-negaiv. Kurvan ligger allså på linjen. Faren är och acceleraionen är v() v() + () + () + 8, a() r() d dṙ(). För a ria upp kurvan som parikeln genomlöper kan de vara enklare a, precis som i konsrukionsriningar, borse från en dimension och ria upp projekionen av kurvan för a senare lägga ihop projekionerna ill en redimensionell bild av kurvan. Vi börjar med a beraka kurvan i, -plane, Dessa vå bilder räcker för a ria upp den redimensionella kurvan. r, () e + e.
..5 En parikel rör sig run cirkeln + 5 med den konsana faren av varv varannan sekund. Vilken acceleraion har parikeln när den är i punken (3, 4)...6 En parikel rör sig å höger längs kurvan 3/. Om dess far är när den passerar genom punken (, 3/), vad är dess hasighe vid den idpunken. Parikelns läge kan vi skriva som r() () e + () e. Genom a derivera vå gånger fås acceleraionen r() ẍ() e + ÿ() e. Efersom vi ve a parikeln rör sig på en cirkel med radie 5 och mipunk i origo är de lämplig a beskriva parikelns läge med polära koordinaer. En konsan vinkelhasighe av varv/s skrivs som θ ±π + θ, där ± uppsår efersom vi ine ve om parikeln rör sig med- eller mosols. θ är den vinkel som parikeln har vid. Radien är r 5. Allså är () r cos θ 5 cos(±π + θ ), () r sin θ 5 sin(±π + θ ). Från uppgifseen får vi ine direk informaion om vid vilken idpunk som vi ska besämma acceleraionen, uan idpunken besäms isälle av villkore a () 3 och () 4. Om vi därför kan urcka ẍ och ÿ direk i ermer av och så undviker vi a behöva besämma. Acceleraionen i (, ) (3, 4) är ẋ() 5π sin(±π + θ ) π(), ẏ() ±5π cos(±π + θ ) ±π(), ẍ() πẏ() π (), ÿ() ±πẋ() π (). r 3π e 4π e. Efersom vi redan ve parikelns far behöver vi bara dess hasighesrikning i punken. Kurvan som parikeln rör sig på är en funkionsgraf som redan är parameriserad av. Punker på kurvan kan allså skrivas som eller i vekorform s 3/s r(s) (s parameer), ( ) s. 3/s Rikningsvekorn, som pekar å höger, ges av e ṙ() ( ṙ() + ( 3/s) + 9/6 ( 3/4 ) 3/s s ) ( ) 4/5. 3/5 Parikelns hasighe är faren gånger hasighesrikningen ( 8 e 6).3.6 Plane + + skär clindern längs en parabel. Besäm parameriseringen av parabeln med som parameer. Skärningskurvan mellan de vå orna illhör båda orna och måse därför uppflla båda ornas ekvaioner. + +, (). ()
Efersom vi väljer som parameer ger () direk a. Dea insa i () ger + +. Ekvaion (3) säller inga sådana krav. Parameermängden måse allså väljas ill [, ]. Sammanage har allså skärningslinjen parameriseringen r() ( ). ( ) Allså har skärningskurvan parameriseringen r()..3.4 För vilka värden på parameern λ är längden L(T ) av kurvan lika med T + T 3? r() e + λ e + 3 e ( T ).3.8 Paramerisera skärningskurvan mellan orna och +. Skärningskurvan illhör båda orna och måse därför uppflla båda ornas ekvaioner, () +. () Om vi fierar så ser vi a () besämmer e -värde och () besämmer e -värde. För varje -värde finns allså högs en punk på skärningskurvan. Jus dea : förhållande gör a vi kan välja som parameer. Löser vi u och i ermer av, från () och (), fås, (3) ( ) ( ). (4) De är dock ine alla -värden som ger en punk på skärningslinjen. Vi ser i (4) a vi måse begränsa ill inervalle [, ] för a e -värde ska svara mo. r() λ och ṙ() λ. 3 3 Längden av kurvan ges av inegralen L(T, λ) ṙ() d + 4λ + 9 4 d + (λ) + (3 ) d En inegral av den här pen är i allmänhe ine analisk lösbar. De enda undanage är när urcke under roeckne råkar vara en kvadra. Om vi kvadrakompleerar i, + 4λ + 9 4 9 ( + 9 λ) + 4 9 λ4, ( )
så ser vi a urcke är en kvadra endas då 4 9 λ4 λ ± I dessa fall blir inegralen L(T ) 3. 3( + 3 ) d 3 [ 3 3 + 3 ] T T 3 + T. Dea var mins sag lckosam, men vi kan dock ine ueslua a de även finns andra λ-värden för vilka inegralen också råkar ana värde T 3 +T. Lå oss bevisa a dea ine inräffar. Om vi berakar inegranden i ( ) som en funkion av λ, f(λ) + 4λ + 9 4, så ser vi a f är sräng väande för λ > och sräng avagande för λ < (derivera f om du ine är övergad). Efersom inegralen har monooniciesegenskapen f < g f < g, så har vi a L(T, λ) är sräng väande i λ > och sräng avagande i λ <. Allså kan L(T ) endas ana värde T + T 3 högs en gång för negaiva respekive posiiva λ. därmed visa a 3 endas då λ ±. L(T ) T + T 3.3.8 Beskriv skärningskurvan mellan sfären + + och den ellipiska clindern +. Beräkna den oala längden av skärningskurvan. Skärningskurvan mellan de vå orna uppfller båda ornas ekvaioner + +, () +. () Ekvaion () beskriver i, -plane en ellips med halvalar och /. De beder a skärningskurvans - och -koordinaer allid kommer ligga på denna ellips, m.a.o. om vi projicerar skärningskurvan på, -plane så får vi en kurva som är en del av ellipsen (eller hela ellipsen). Sandardparameriseringen av en ellips ger a vi kan skriva Dea insa i () ger cos sin ( π). cos sin sin ± sin. För varje -värde finns allså vå -värden, vilke beder a skärningskurvan besår av vå kurvor cos r () sin ( π), sin cos r () sin ( π). sin Av parameriseringen ser vi också a de vå kurvorna är spegelsmmeriska i, -plane ( ) varför de måse ha samma längd. Skärningskurvans oala längd är därför π π L ṙ() d ( sin ) + ( cos ) + ( cos ) d π sin + cos d π d 4π.
.3.9 Lå C vara kurvan Beräkna längden av C. e cos e sin ( π). Enhesangenvekorn är e T () ṙ() ṙ() a sin e + b cos e + e a sin + b cos +. Kurvan C skriven i vekorform och dess rikningsvekor är r() e cos e sin, ṙ() e cos e sin e sin + e cos. Längden av C är L π π e π ṙ() d π (e cos e sin ) + (e sin + e cos ) + d e + d { s e ; ds e d s d } s + ds { Bea handboken, inegralformel 95 } s [ s + + ] s + log e π s e e 4π 4π + + + log 3 + 3 + log e π.4.4 Finn enhesangenvekorn e T () ill kurvan r() a cos e + b sin e + e..4.5 Visa a om krökningen uppfller så är kurvan r r(s) en rä linje. κ(s) för alla s, Om vi låer e T (s) beeckna kurvans enhesangen så ve vi allså a d ds e d T (s) κ(s) ds e T (s). Denna likhe kan vi med inegralkalklens huvudsas inegrera upp (vi inegrerar varje komponen för sig), e T (s) e T () d ds e T (s) ds e T (s) e T () u för alla s. ds Allså är enhesangenen konsan för alla s. Enhesangenen är i sin ur derivaan av lägesvekorn (efersom vi använder båglängden som parameer), ṙ(s) e T (s) u. ( ) ṙ() a sin e + b cos e + e ṙ() ( a sin ) + (b cos ) + a sin + b cos +. Inegrerar vi upp denna likhe fås r(s) r() d r(s) ds ds r(s) s u + r() s u + v och dea är en paramerisering av en rä linje. u ds u s
.5. Finn krökningsradien ill kurvan i punken och π/. cos.5.4 Finn krökningsradien ill kurvan i punken med. r() 3 e + e + e r() cos, ṙ() sin, och r() cos, r() 3, ṙ() 3 och r() 6, och med deerminanformeln får vi e ṙ r() e sin cos e. cos Krökningsradien är och med deerminanformeln får vi e 3 6 ṙ r() e e 6. 6 Krökningsradien är vilke ger κ() ṙ 3 ṙ r ( + sin ) 3/ cos /κ(), /κ(π/). vilke ger κ() ṙ 3 ṙ r ( (3 ) + () + ) 3/ ( ) + (6) + ( 6 ) ( + 4 + 9 4) 3/ 4 + 36 + 36 4, /κ() 4 4 76.