S TAT I K O C H D Y N A M I K

S T E FA N B. L I N D S T R Ö M U P P L A G A 1 F Ö R E L Ä S N I N G A R I M E K A N I K S TAT I K O C H D Y N A M I K

Statik och dynamik Stefan B. Lindström upplaga 1 ISBN 978-91-981287-2-7 Copyright c 2017 Stefan B. Lindström Publicerad av Stefan Lindström, Linköping. https://sites.google.com/site/lindstroemepublicering Detta verk är licensierat enligt Creative Commons Erkännande-IngaBearbetningar 2.5 Sverige licens. För att visa licensen, besök http://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.5/se/ eller skicka ett brev till Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. En lättläst, men ofullständig, sammanfattning av licenstexten lyder: Du har tillstånd: Att dela att kopiera, distribuera och sända verket samt använda verket för kommersiella ändamål. På följande villkor: Erkännande Du måste ange upphovsmannen och/eller licensgivaren på det sätt de anger. Inga bearbetningar Du får inte förändra, bearbeta eller bygga vidare på verket. Övriga förutsättningar: Undantag Undantag från villkoren ovan kan ges av upphovsrättsinnehavaren. Public Domain Om verket eller någon av dess beståndsdelar är public domain enligt tillämplig lag påverkas denna status inte på något sätt av licensen. Notera Vid all återanvändning och distribution måste du informera om licensvillkoren som gäller för verket.

Innehåll I Statik 1 Inledning 11 1.1 Grundläggande begrepp 1.2 Newtons rörelselagar 1.3 Krafter i klassisk mekanik 2 Kraftsystem 15 2.1 Kraft 2.2 Moment 2.3 Kraftsystem 2.4 Plana kraftsystem 3 Statisk jämvikt 23 3.1 Jämviktsekvationer 3.2 Friläggning 3.3 Flerkroppsproblem 4 Masscentrum och tyngdpunkt 29 4.1 Densitet 4.2 Masscentrum 4.3 Masscentrum för tunna kroppar 4.4 Tyngdpunkt

4 5 Friktion 35 5.1 Ett friktionsexperiment 5.2 Coulombfriktion 5.3 Friktion i ett system av kroppar II Partikeldynamik 6 Plan kinematik 41 6.1 Rätlinjig rörelse 6.2 Kroklinjig rörelse 6.3 Kinematiska tvång 7 Kinetik 51 7.1 Newtons rörelselagar 7.2 Rörelseekvationer och problemlösning 8 Effekt, arbete och energi 55 8.1 Effekt 8.2 Arbete 8.3 Rörelseenergi 8.4 Konservativa krafter 8.5 Mekaniska energisatsen med potentialer 9 Rörelsemängd och rörelsemängdsmoment 61 9.1 Rörelsemängd och impuls 9.2 Rörelsemängdsmoment 9.3 Partikelsystem 10 Stötar 67 10.1 Stötar mellan partiklar 10.2 Stötimpuls

5 11 Svängningsrörelse 71 11.1 Fria svängningar 11.2 Påtvingade svängningar III Stelkroppsdynamik 12 Plan kinematik 81 12.1 Stelkroppars rörelse i planet 12.2 Momentancentrum 12.3 Rullning utan glidning 13 Plan kinetik 89 13.1 Eulers rörelselagar 13.2 Eulers första lag: kraftlagen 13.3 Eulers andra lag: momentlagen 13.4 Plan stelkropp i plan rörelse 14 Effekt, arbete och energi 99 14.1 Effekt och arbete från krafter och kraftparsmoment 14.2 Effektsumma och arbete på en stelkropp 14.3 Rörelseenergi 14.4 Mekaniska energisatsen med potentialer 15 Tredimensionell kinematik 105 15.1 Vinkelhastighet och vinkelacceleration 15.2 Coriolis ekvation 15.3 Hastighets- och accelerationssamband 15.4 System av stelkroppar 16 Tredimensionell kinetik 111 16.1 Tröghetsmatrisen 16.2 Rörelsemängdsmoment 16.3 Dynamiska fenomen

6 Bilagor A Geometri 125 A.1 Plan geometri A.2 Trigonometri B Vektorer 129 B.1 Geometriska vektorer B.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem B.3 Skalärprodukt B.4 Kryssprodukt B.5 Vektorvärda funktioner C Storhet, enhet och dimension 135 C.1 Dimension C.2 Enhet C.3 Mätetal C.4 Räkneregler för dimension C.5 Dimensionsriktighet D Differentialer 139 E Tabeller 141 E.1 Tröghetsmoment och -produkter Litteraturförteckning 143 Sakregister 145

7 Förord Denna skrift syftar till att ge en koncis beskrivning av den elementära mekanikens viktigaste definitioner och satser. Ansvaret för att levandegöra teorins innebörd, samt att demonstrera hur teorin kan användas vid problemlösning, åläggs pedagogen. Angående förkunskaper förutsätts läsaren vara förtrogen med elementär geometri (bilaga A), geometriska vektorer (bilaga B), linjära ekvationssystem samt bestämda integraler i flera dimensioner. Utöver matematiska kunskaper bör läsaren vara bekant med begreppen storhet, enhet och dimension, samt kunna avgöra fysikaliska uttrycks dimensionsriktighet (bilaga C). För partikeldynamikdelen krävs därutöver att läsaren behärskar ordinära differentialekvationer och differentialnotation (bilaga D). Tack Ett varmt tack till tekn. dr Peter Schmidt vars undervisningsmaterial på ämnet kraftsystem varit en viktig inspirationskälla till kap. 2. Författaren vill också tacka docent Lars Johansson för värdefull återkoppling på skrivningarna i bilaga C.

Del I Statik

1 Inledning Detta kapitel syftar till att ge fysikalisk förståelse för grundläggande begrepp i mekanik, bl.a. begreppet kraft, samt att avgränsa ämnesområdet statik. Förtrogenhet med geometriska vektorer (bilaga B) och räkneregler för dessa är nödvändigt för att kunna tillgodogöra sig framställningen. 1.1 Grundläggande begrepp Kropp och stelkropp En kropp har massa och uppfyller ett begränsat område i rummet och har alltså en volym. Inom klassisk mekanik antas massan vara kontinuerligt utbredd inom kroppens område. Alla kroppar kan deformeras ändra sin form genom att lägena för punkter i kroppen förskjuts i förhållande till varandra. I vissa situationer är kroppens deformation försumbar. Analysen förenklas då av att man antar att kroppens form är oföränderlig, och en sådan kropp kallas stelkropp. Definition 1.1 (Stelkropp). En stelkropp är en kropp, sådana att avståndet mellan varje par av punkter i kroppen är konstant. Partikel En partikel är ett hypotetiskt föremål med massa men utan volym. All dess massa är således koncentrerad till en punkt. Vid problemlösning kan man ibland använda en partikel som modell för en kropp vars rotation och deformation inte påverkar analysen i någon större utsträckning. Speciellt formulerar vi följande postulat 1 för kroppar eller delkroppar: 2 Postulat 1.2. En kropp eller en del av en kropp, vars utsträckning är tillräckligt liten för att försummas i en given situation, kan betraktas som en partikel. 1 postulat obevisat påstående med experimentellt stöd. 2 J. B. Griffiths. The theory of classical mechanics. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-23760-2 Om man t.ex. analyserar Jordens banrörelse kring Solen kan Jorden betraktas som en partikel eftersom jordbanans medelradie är 23 000

12 statik och dynamik gånger större än Jordens egen radie, så att vare sig Jordens utsträckning eller dess rotation kring sin egen axel påverkar banrörelsen nämnvärt. Läge, hastighet och acceleration En punkts eller partikels läge i rummet anges av dess lägesvektor 3. Vi definierar en godtycklig punkt P:s lägesvektor som r OP, där O betecknar origo för ett givet ortogonalt koordinatsystem med koordinaterna x, y och z och motsvarande basvektorer ē x, ē y och ē z. Om punkten P:s läge ändras med tiden t kommer lägesvektorn att bli en vektorvärd funktion (jfr bilaga B.5) 3 Benämns även ortsvektor. r(t) = x(t)ē x + y(t)ē y + z(t)ē z, (1.1) vilket kan tolkas som en riktad bana i rummet (fig. 1.1a). Hastigheten hos punkten definieras som v(t) d r dt = ẋē x + ẏē y + żē z, (1.2) och är riktad i rörelsebanans tangentriktning. En prick över en skalär funktion betecknar tidsderivatan av funktionen. Punktens acceleration ges av ā(t) d v dt = d2 r dt 2 = ẍē x + ÿē y + zē z, (1.3) och beskriver alltså hastighetsändringen per tidsenhet. Två prickar över en skalär funktion betecknar andra tidsderivatan av funktionen. Statik innefattar endast fallet då hastigheten är en konstant vektor, så att r(t) beskriver en rätlinjig bana om v 0 (fig. 1.1b), eller en fix punkt om v = 0. Samtidigt följer att ā = 0. z z ē y P y r(t) O x ē ē x z (a) ē y P y v r(t) O x ē ē x z (b) v(t) Kraft När två föremål placeras tillräckligt nära varandra, eller kommer i direkt kontakt, kan de påverka varandras rörelse. Om man till exempel för en magnet mot en knappnål, kommer knappnålen att accelerera mot magneten. Magnetens närvaro har skapat rörelse hos knappnålen. Kroppars förmåga att att påverka varandras rörelse kallas växelverkan. För att beskriva hur starkt och i vilken riktning ett föremål växelverkar med omgivningen införs begreppet kraft. En kraft skapas alltså av växelverkan och förorsakar acceleration hos en kropp vars rörelse annars är obehindrad. Denna vaga beskrivning ev kraftbegreppet ges en precis innebörd i Newtons rörelselagar. Figur 1.1: En punkt P:s förflyttas längs en bana r(t) med (a) varierande hastighet v(t), eller med (b) konstant hastighet v och accelerationen ā = 0. 1.2 Newtons rörelselagar Isaac Newton postulerade följande tre rörelselagar för partiklar (ej ordagrant återgivna): 4 4 I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, första boken. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö, 1986a. ISBN 91-40-60433-0

inledning 13 1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig, rätlinjig rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln. 2. Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller Σ F = mā, (1.4) där Σ F är kraftsumman på partikeln och ā är partikelns acceleration. 3. Reaktionslagen Om en partikel påverkar en annan med en given kraft, återverkar den senare partikeln på den förra med en lika stor men motsatt riktad kraft. Dessa lagar kommer att behandlas utförligare i del II. Inom statik intresserar man sig för specialfallet då kraftsumman på varje partikel är noll, och således accelerationen för varje partikel är noll. Inertialsystem Att tala om rörelse är bara meningsfullt med avseende på ett givet koordinatsystem, så man måste specificera ett koordinatsystem för att kunna beskriva rörelse (se fig. 1.1ab). Newtons lagar gäller bara för vissa val av koordinatsystem som kallas inertialsystem. Om man valt ett koordinatsystem där tröghetslagen gäller, kommer även kraftlagen och reaktionslagen att gälla. I ett koordinatsystem där tröghetslagen inte gäller, t.ex. ett system som roteras eller accelereras relativt ett inertialsystem (fig. 1.2), gäller inte Newtons lagar. 1.3 Krafter i klassisk mekanik Krafter kan verka på en kropp om den står i fysisk kontakt med en annan kropp. Dessutom kan krafter uppstå över avstånd genom så kallade kraftfält. Kraft mäts i SI-enheten newton (N), och det gäller att z y z y x x z y x Figur 1.2: Givet ett inertialsystem xyz där tröghetslagen gäller, kommer koordinatsystem som roterar relativt inertialsystemet, t.ex. x y z, inte att vara några inertialsystem. Koordinatsystem vars origo accelererar relativt inertialsystemet, t.ex. x y z, är inte heller några inertialsystem. 1 N = 1 kg m/s 2. Gravitationskraft Enligt Newtons gravitationslag 5 påverkar varje par av partiklar varandra med gravitationskrafter. Gravitationskraften är en attraktiv centralkraft. Det vill säga, partiklarna dras mot varandra och dragningskraften verkar längs den räta linje som förbinder partiklarna (fig. 1.3). 5 I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, andra och tredje boken. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö, 1986b. ISBN 91-40-60437-3 m P F g F g m Q r Figur 1.3: Newtons gravitationslag för partiklar tillämpad på Jordens växelverkan med Månen.

14 statik och dynamik Postulat 1.3 (Newtons gravitationslag). Mellan två partiklar med massorna m P respektive m Q verkar en attraktiv kraft med beloppet F g = G g m P m Q r 2, (1.5) olika platser på jorden. Ofta används det SI-standardiserade värdet g = 9,80665 N/kg vid problemlösning. 8 Kontaktkrafter Två kroppar som står i fysisk kontakt med varandra växelverkar med kontaktkrafter. Dessa kontaktkrafter är fördelade över kontaktytan på respektive kropp. Ett exempel är de krafter som uppstår då du trycker din hand mot en vägg (fig. 1.4ab). Din hand utövar då ett tryck mot väggen, vilket kan representeras av en kraft F på väggen. Omvänt kommer väggen, enligt reaktionslagen, att utöva en kraft F mot din hand, vilket du känner som ett tryck mot handflatan. där G g = 6,674 10 11 Nm 2 /kg 2 är gravitationskonstanten 6, och r 6 P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. betecknar avståndet mellan partiklarna. Newell. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010. J. Phys. Chem. Ref. Data, 41: En följd av gravitationslagen är att en kropp med massan m vid 043109, 2012 jordytan påverkas av en tyngdkraft, riktad ungefär mot jordens mittpunkt. Tyngdkraften är fördelad över det område som kroppen upptar, men i många tillämpningar kan dess verkan modelleras med en kraft som verkar i en enda punkt och har beloppet mg, där g är tyngdkraftskonstanten. 7 I Sverige är g 9,82 N/kg, men värdet varierar mellan 7 Benämns även oegentligt tyngdaccelerationen. 8 Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units (SI). 8th edition, 2006 F F Figur 1.4: (a) En hand trycker mot en vägg. (b) Handen och väggen utsätts för lika stora motriktade kontaktkrafter. (a) (b) Elastisk kraft k Elastiska krafter uppstår då kroppar deformeras, till exempel då en spiralfjäder förlängs eller förkortas. När en spiralfjäder inte påverkas av någon kraft antar den sin naturliga längd l 0 (fig. 1.5a). Om motriktade krafter, vardera med beloppet F e, angriper vid fjäderns ändpunkter kommer fjädern att ändra sin längd till l (fig. 1.5b). För en så kallad linjär fjäder gäller då sambandet F e = k(l l 0 ), (1.6) F e l 0 (a) k l (b) F e där k benämns fjäderkonstanten och har SI-enheten N/m. Figur 1.5: (a) Obelastad fjäder med naturlig längd. (b) Förlängd fjäder.

2 Kraftsystem 2.1 Kraft En kropp växelverkar med sin omgivning genom yttre krafter. Dessa kan vara volymskrafter som verkar över kroppens område i rummet. Gravitation och elektromagnetiska krafter är exempel på volymskrafter. Dessutom kan kroppen påverkas av kontaktkrafter, som är fördelade över kroppens yta (fig. 2.1). För stelkroppar kan volyms- och kontaktkrafters verkan beskrivas av koncentrerade krafter, som verkar i punkter på stelkroppen: Postulat 2.1. En kraft, som verkar på en stelkropp, är en vektorstorhet F, som tillordnats en angreppspunkt P. kraftvektor verkningslinje angreppspunkt Figur 2.1: En kontaktkraft, som här består av ett tryck fördelat över en liten yta på en stelkropp, modelleras med en kraftvektor, som verkar i en angreppspunkt på stelkroppen. En krafts verkan på en kropp bestäms av kraftens storlek, riktning och angreppspunkt. Kraftvektorn och angreppspunkten definierar tillsammans en linje, som kallas kraftens verkningslinje (fig. 2.1). Som alla vektorer kan kraftvektorn skrivas som en summa av sina komposanter (fig. 2.2) F = F x ē x + F y ē y + F z ē z, (2.1) eller som en skalär F gånger en riktningsvektor F = F ē F. (2.2) ē z ē y ē x F y P F z ē F F F x Figur 2.2: En kraft F angripande i punkten P. Pilar med öppet pilhuvud visar kraftens komposanter. I ekv. (2.2) tillåter man att F är negativ, så att F = F eller F = F. En kraftvektors projektion på en riktning med riktningsvektorn ē λ kallas kraftens komponent i λ-riktningen och ges av F λ = F ē λ = F cos ϕ, (2.3) F ϕ ē λ λ F λ = F ē λ där 0 ϕ 180 är vinkeln mellan F och ē λ (fig. 2.3). Figur 2.3: Kraftkomponenten för F m.a.p. en riktning λ.

16 statik och dynamik 2.2 Moment Kraftmoment Om man vill åstadkomma en vridande verkan kring en axel, som när man drar åt en bult, låter man en kraft angripa i en punkt på ett avstånd från axeln (fig. 2.4). Kraftens vridande verkan kallas kraftmoment. Definition 2.2 (Kraftmoment). Låt F vara en kraft som angriper i punkten P. Då är kraftmomentet av kraften F m.a.p. en godtycklig punkt A vektorn M A r F, (2.4) där r = AP. Enligt def. B.11 av kryssprodukt ges momentvektorn M A :s riktning av högerhandsregeln (fig. 2.5). Kraftmomentet kommer därför att vara vinkelrätt mot det plan som r och F spänner upp. Beloppet av vektorn M A är M A = r F = { ekv. (B.12) } = r F sin ϕ = F d, (2.5) där d = r sin ϕ kallas för hävarm och ϕ är vinkeln mellan r och F (fig. 2.6). Momentvektorer betecknas här med en pil med U-format huvud. Kraftmomentet m.a.p. en axel λ med riktningsvektorn ē λ, definieras som Figur 2.4: En kraft med angreppspunkt på ett avstånd från en axel λ kommer att ha en vridande verkan kring axeln. F P r M A = r F A Figur 2.5: Högerhandsregeln för kraftmoment. Linjera höger hands handflata med hävarmen och vinkla fingrarna i kraftriktningen; tummen pekar då ut kraftmomentvektorns riktning. M λ M B ē λ, (2.6) där B är en godtycklig punkt på axeln λ. F ϕ P r d A r F ϕ M A = r F Figur 2.6: En kraft med kraftvektor F och angreppspunkt P ger ett kraftmoment MA m.a.p. A, som är vinkelrätt mot det plan som r och F spänner upp. Sats 2.3. Låt n krafter F 1,..., F n, verka i samma punkt P. Summan av krafternas moment, m.a.p. en godtycklig punkt A, är då lika med momentet från kraftvektorernas summa m.a.p. A: n r F i = r i=1 där r = AP. n F i, (2.7) i=1

kraftsystem 17 Bevis. Kraftmomentet av kraftvektorernas summa m.a.p. A ges av n r F i = r ( F 1 + F 2 + + F n ) = { ekv. (B.14b) } i=1 = r F 1 + r ( F 2 + + F n ) = { upprepa (B.14b) } = r F 1 + r F 2 + + r F n n = r F i i=1 P r F F y ē y P r F x ē x Vid analys av statikproblem händer det ofta att problemet blir enklare att lösa om man först delar upp kraften i sina komposanter (fig. 2.7). Kraftens moment får man som summan av komposanternas respektive moment enligt sats 2.3. A A Figur 2.7: Momentet från en kraft är lika med summan av momenten från dess komposanter: r F = r F xē x + r F xē y (2D). Kraftparsmoment Definition 2.4 (Kraftpar). Ett kraftpar består av två krafter, F P med angreppspunkt P och F Q med angreppspunkt Q, sådana att F Q = F P (fig. 2.8). En trivial men viktig egenskap hos kraftparet är att dess kraftsumma är F P + F Q = 0, så att ett kraftpars verkan på en kropp endast är vridande. Q F Q = F P P F P Figur 2.8: Kraftpar. Definition 2.5 (Kraftparsmoment). Ett kraftparsmoment C är summan av kraftmomenten från ett kraftpar m.a.p. en godtycklig punkt A. Sats 2.6. För ett godtyckligt kraftpar, F med angreppspunkt P och F med angreppspunkt Q (fig. 2.9), är kraftparsmomentet C = r F, (2.8) där r = QP. Bevis. Från def. 2.5 följer att kraftparets kraftparsmomentet m.a.p. en godtycklig punkt A är C = AP F + AQ ( F ) = AP F AQ F = { ekv. (B.14b) } = (AP AQ) F = (QA + AP) F = { parallellogramlagen } = QP F = r F A F Q Figur 2.9: Kraftpar som bildar kraftparsmomentet C = r F. r P F Ett typexempel på ett kraftpar är en skruvmejsels verkan på en spårskruv (fig. 2.8). Det finns två kontaktpunkter, P och Q, mellan

18 statik och dynamik skruvhuvudet och mejseln, där två lika stora motriktade krafter verkar på skruven. Kraftparsmomentet är oberoende av valet av momentpunkt och är därmed en fri vektor som, med bibehållen storlek och riktning, kan förflyttas i rummet till en godtycklig punkt (fig. 2.10). F Q P F Q P C = QP F Figur 2.10: En skruvmejsel ger en vridande verkan, vilken skapas av två lika stora motriktade krafter i skruvspåret. Kraftparsmomentet är en fri vektor, som inte verkar i någon specifik punkt på stelkroppen. 2.3 Kraftsystem Flera krafter och kraftparsmoment, som verkar på en stelkropp, bildar tillsammans ett kraftsystem. Definition 2.7 (Kraftsystem). Ett kraftsystem Γ är ett antal n 0 krafter F 1, F 2,..., F n med givna angreppspunkter P 1, P 2,..., P n, samt att antal m 0 kraftparsmoment C 1, C 2,..., C m (fig. 2.11). C 1 F 2 P 1 P 2 C m C2 Fn Figur 2.11: Ett kraftsystem Γ med godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, verkande på en stelkropp. P n F 1 Kraft- och momentsumma Definition 2.8 (Kraftsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är kraftsumman vektorn Σ F n F i. (2.9) i=1 Notera att kraftsumman, trots att den är en vektor med enheten newton, inte är någon kraft, eftersom den inte tillordnats någon angreppspunkt. Definition 2.9 (Momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är momentsumman m.a.p. en godtycklig punkt A vektorn Σ M A n AP i F m i + C i. (2.10) i=1 i=1

kraftsystem 19 Momentsumman för ett kraftsystem m.a.p. en punkt A erhåller man alltså genom att summera alla systemets kraftmoment m.a.p. A och alla systemets kraftparsmoment. Sats 2.10 (Förflyttningssatsen för momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, och två godtyckliga punkter A och B gäller Σ M B = Σ M A + BA Σ F, (2.11) där Σ M A och Σ M B är momentsummor m.a.p. A respektive B, och Σ F är systemets kraftsumma. Bevis. Definition 2.9 ger Σ M n B = BP i F m i + C i = { parallellogramlagen } = = i=1 i=1 i=1 n ( ) m BA + APi Fi + C i = { ekv. (B.14b) } n BA F i + i=1 i=1 = BA Σ F + Σ M A. i=1 n AP i F m i + C i = { sats (2.3) } i=1 } {{ } =Σ M A Reducerade kraftsystem Definition 2.11 (Reducerat kraftsystem). Det reducerade kraftsystemet Γ A till ett kraftsystem Γ m.a.p. en reduceringspunkt A, består av Γ:s kraftsumma Σ F verkande i A samt ett kraftparsmoment Σ M A, som är Γ:s momentsumma m.a.p. A. C 1 F 2 F 1 P 1 P 2 P n F n C m C 2 Σ F Σ M A A Figur 2.12: Ett kraftsystem Γ, med godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, är ekvivalent med sitt reducerade kraftsystem Γ A m.a.p. en godtycklig punkt A. Det reducerade kraftsystemet Γ A är ekvivalent med Γ ur kraft- och momentsynpunkt, och ger upphov till samma rörelse hos den stela kropp varpå Γ verkar. Definition 2.12 (Nollsystem). Om ett kraftsystem har kraftsumman Σ F = 0 och momentsumman Σ M A = 0 m.a.p. någon punkt A, sägs kraftsystemet vara ett nollsystem. Sats 2.13. Om ett kraftsystem är ett nollsystem så är dess momentsumma Σ M B = 0 för varje godtycklig punkt B.

20 statik och dynamik Bevis. För ett generellt kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.7, som är ett nollsystem gäller att Σ F = 0 samt att Σ M A = 0 för någon punkt A. Förflyttningssatsen för momentsumma (sats 2.10) från A till B ger Σ M B = Σ M A + BA Σ F = 0 + BA 0 = 0. Sats 2.13 innebär att ett nollsystem alltid är ett nollsystem oberoende av valet av momentpunkt. 2.4 Plana kraftsystem Definition 2.14 (Plant kraftsystem). Ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, sägs vara plant om det existerar ett plan, benämnt referensplanet, sådant att alla krafternas angreppspunkter P i, i = 1,..., n ligger i referensplanet, och sådant att F i ē n, i = 1,..., n, Ci ē n, i = 1,..., m, där ē n är referensplanets enhetsnormal (fig. 2.13). F 1 C 1 F 2 P 2 C 2 ē n Fn P 1 P n C m Figur 2.13: Plant kraftsystem vars referensplan har enhetsnormalen ē n. För ett plant kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.14, och en momentpunkt A i referensplanet, är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i ±ē n -riktningen. Därmed kan alla kraftmoment och kraftparsmoment för ett plant kraftsystem beskrivas entydigt med ett skalärt värde: momentets komponent i referensplanets normalriktning. I fig. 2.14 illustreras ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Vektorrepresentationen av moment har ersatts med en skalär representation, vilket indikeras med krökta pilar för kraftparsmomenten C 1,..., C m i referensplanet. Låt F beteckna en kraft med angreppspunkt P i ett plant kraftsystem (fig. 2.15). Dess kraftmoment MA = AP F ligger i ±ē n - riktningen, så att M A = M A ē n där M A = ± M A = { def. 2.2 } = ± AP F = { ekv. (B.12) } = ± AP F sin ϕ. F 1 ē z F 2 ē y P 1 ē x P 2 C 1 C 2 P n C m F n Figur 2.14: Ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Systemets kraftparsmoment kan därmed skrivas som skalärer.

kraftsystem 21 Här är ϕ vinkeln mellan AP och F. Eftersom avståndet från A till kraftens verkningslinje är d = AP sin ϕ följer det att M A = ±F d. (2.12) Kraftmomentets riktning ges som tidigare av högerhandsregeln. Det moturs vridande kraftmoment som avbildas i fig. 2.15 är riktat i ē z - riktningen. Om vi väljer referensplanets normal som ē n = ē z kommer kraftmomentet M A, och alla moturs orienterade kraftmoment, att ha ett positivt tecken i sin skalära representation. Medurs orienterade kraftmoment får negativt tecken. Det omvända gäller om vi skulle välja ē n = ē z. F ϕ ē z ē y P ē x AP d = AP sin ϕ A Figur 2.15: Geometri för kraftmoment i ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Hävarmen betecknas d.

3 Statisk jämvikt 3.1 Jämviktsekvationer Definition 3.1 (Statisk jämvikt). En kropp är i statisk jämvikt om varje punkt i kroppen har samma hastighet i fortvarighet 9 relativt ett inertialsystem. Eftersom definition 3.1 kräver att materiepunkternas hastigheter är lika och konstanta i fortvarighet följer det att alla punkter på kroppen rör sig längs räta parallella banor. Detta kallas translation (fig. 3.1). Att en stelkropp befinner sig i vila innebär att kroppen är i statisk jämvikt, samt att ett inertialsystem valts så att materiepunkternas hastighet är noll. Statisk jämvikt definieras utifrån kroppens rörelse, inte utifrån vilka krafter som verkar på kroppen. För att kunna avgöra vilka kraftsystem som ger statiskt jämvikt för en stelkropp krävs ett postulat. Postulat 3.2 (Jämviktsvillkor). En stelkropp i statisk jämvikt förblir i statisk jämvikt om kraftsystemet som verkar på stelkroppen är ett nollsystem 9 fortvarighet utan förändring under ett tidsintervall Figur 3.1: Vid statisk jämvikt beskriver en stelkropp translation, d.v.s. varje punkt rör sig med samma konstanta hastighet. v v v Σ F = 0 (3.1a) Σ M A = 0, (3.1b) där Σ F är kraftsystemets kraftsumma, och Σ M A är kraftsystemets momentsumma m.a.p. en godtycklig punkt A. Ekvation (3.1a) benämns kraftjämvikt och ekv. (3.1b) momentjämvikt. Enligt sats 2.13 kan momentpunkten i momentjämvikten väljas fritt. Kraft- och momentjämvikterna är vektorekvationer, som enligt ekv. (B.4) kan skrivas på komponentform. De bildar sex skalära ekvationer ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣF z = 0 ΣM Ax = 0 ΣM Ay = 0 ΣM Az = 0, (3.2) vilka tillsammans utgör ett ekvationssystem.

24 statik och dynamik Jämvikt för plana system För ett plant kraftsystem förenklas jämviktsekvationerna genom att man väljer ett koordinatsystem så att två av koordinataxlarna ligger i referensplanet. Om vi placerar xy-planet i referensplanet (fig. 2.14), så att ē n = ē z i def. 2.14, erhåller vi F i ē z F iz = 0 ΣF z = 0. Vidare är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i z-riktningen så att ΣM Ax = ΣM Ay = 0, där A betecknar en momentpunkt i referensplanet. Därmed återstår endast tre skalära jämviktsekvationer för det plana kraftsystemet: ΣF x = 0 ΣF y = 0 (3.3) ΣM Az = 0. 3.2 Friläggning Ett friläggningsdiagram är ett hjälpmedel för att identifiera alla yttre krafter och kraftparsmoment som verkar på ett mekaniskt system. Vid friläggning särskiljs kroppen från sin omgivning och omgivningens verkan på kroppen ersätts med krafter och kraftparsmoment. Arbetsgången vid friläggning är: 1. Bestäm vilken kropp som ska friläggas, här inom streckad linje. g G 2. Rita ett diagram, som endast innehåller den frilagda kroppen. G 3. Ersätt omgivningens verkan på kroppen med krafter och kraftparsmoment. G Omgivningens verkan på kroppen inbegriper krafter från kraftfält, t.ex. tyngdkraft, och kontaktkrafter som uppstår vid varje fysisk kontakt mellan den frilagda kroppens rand och omgivande föremål.

statisk jämvikt 25 Tyngdkraft g ē y Tyngdkraftens verkan på en stelkropp nära jordens yta modelleras med en kraft, tyngdkraften, verkande i kroppens tyngdpunkt G (fig. 3.2). Tyngdkraften är ungefärligen riktad mot jordens centrum och har beloppet mg, där m är kroppens massa och g är tyngdkraftskonstanten. Gravitationens verkan på stelkroppar kommer att studeras noggrannare i kap. 4. Tvångskrafter och -moment Om en stelkropp står i fysisk kontakt med omgivande föremål, så att den därför hindras från att fritt förflyttas eller rotera, kan tvångskrafter eller tvångsmoment uppstå vid kontakten. Vi studerar först en punktkontakt mellan två kroppar, 1 och 2. Kropparna är i kontakt med varandra i den gemensamma punkten P. Denna kontakt ger i allmänhet upphov till en kraft F 1 verkande i P på kroppen 1, samt ett kraftparsmoment C 1 på 1. Kontakten ger också upphov till en kraft F 2 verkande i P på kroppen 2, samt ett kraftparsmoment C 2 på 2 (fig. 3.3). Enligt en utvidgning av reaktionslagen gäller G mgē y ē z ē x Figur 3.2: En stelkropp på vilken tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G. F 2 = F 1, C2 = C 1. 2 P F 1 P C 2 C 1 P F 2 Figur 3.3: Två kroppar, 1 och 2, med en punktkontakt vid P. Friläggningen illustrerar kontaktkrafterna mellan kropparna: F 2 = F 1; C 2 = C 1. 1 Punktkontakt används som modell för olika typer av mekaniska infästningar och anordningar mellan kroppar, såsom svetsar, gångjärn, lager o.s.v. Infästningens typ påverkar riktningarna hos tvångskrafter och -moment, enligt följande två principer: 1. Om en infästning medger att 1 kan förskjutas fritt relativt 2 i en riktning ē λ, gäller F 1 ē λ = F 2 ē λ = 0. Ett exempel är y-riktningen i fig. 3.4d där vi har F y = 0. 2. Om en infästning medger att 1 kan vridas fritt relativt 2 kring en axel med riktningsvektorn ē λ genom P, gäller C 1 ē λ = C 2 ē λ = 0. Ett exempel är x-riktningen i fig. 3.4b där vi har C x = 0.

26 statik och dynamik z C z z C z F z F z x y F x C x F y C y x y F x F y C y (a) (b) x z y F x N F y x z y F x N (c) (d) Tvångskrafter kan alltså bara uppstå i de riktningar i vilka relativ rörelse är förhindrad. På samma sätt kan tvångsmoment bara uppstå i de riktningar kring vilka relativ vridning är förhindrad. Det finns ändlöst många typer av infästningar och i varje fall måste en lämplig punktkontaktmodell införas. Några exempel ges i fig. 3.4. När en ny typ av infästning påträffas är det lämpligt att utgå från att alla kraft- och kraftparsmomentkomposanter är nollskilda, och därefter metodiskt eliminera de komposanter som saknar tvång. Snören och trissor Ett snöre är en idealiserad lina, vajer eller liknande, vilken betraktas som masslös och otänjbar. Ett sträckt snöre belastas endast av en dragkraft S > 0 i snörets längsriktning. Ett frilagt sträckt snöre belastas av två krafter S och S, som verkar i vardera änden och är parallella med snöret (fig. 3.5a). När ett snöre löper kring en friktionsfritt lagrad masslös trissa, kommer dragkraften att vara densamma i var och en av de två utgående tamparna. Detta framgår om man tecknar momentjämvikt kring trissans lagringsaxel (fig. 3.5b). Figur 3.4: Friläggning för olika typer av kontakter. (a) Fast inspänning, t.ex. svetsar, skruvförband och limförband, där krafter och kraftparsmoment kan uppstå i varje riktning. (b) För en gångjärnsled, nitar och spikar, tillåter en sprint vridning kring x-axeln, varför C x = 0. (c) Friktionskontakt med rundad kropp; vridningar är tillåtna genom rullning mot underlaget, så att C x = C y = 0. Utan friktionsmoment kring normalaxeln har vi C z = 0. (d) Ett hjul eliminerar en av friktionskomposanterna, F y = 0, och vridning medges kring varje axel, C x = C y = C z = 0. S S 1 S 2 r A S 1 S 2 Figur 3.5: (a) Ett sträckt snöre belastas av två motriktade krafter, parallella med snöret. (b) Snöre som löper över en friktionsfritt lagrad trissa. Momentjämvikt för trissan kring A visar att S 1 = S 2. S (a) (b) S 1 = S 2

statisk jämvikt 27 Tvåkraftsystem Ett viktigt specialfall för jämvikt i två eller tre dimensioner är när exakt två krafter, ett tvåkraftsystem, verkar på en stelkropp. Sats 3.3 (Tvåkraftsystem). Om exakt två nollskilda krafter, och inget kraftparsmoment, verkar på en stelkropp i statisk jämvikt, är dessa krafter lika stora motriktade och har sammanfallande verkningslinjer (fig. 3.6). Q P F P Bevis. Låt två godtyckliga krafter, F P med angreppspunkt P och F Q med angreppspunkt Q, verka på en kropp i statisk jämvikt. Kraftjämvikt ger F P + F Q = 0, så att F P = F Q och krafterna är lika stora och motriktade. Därmed är också deras verkningslinjer parallella. Momentjämvikt m.a.p. P ger (fig. 3.7) PP F P + PQ F Q = 0 PQ F Q = 0 { ekv. (B.12) } PQ F Q sin ϕ = 0 { FQ 0 } PQ sin ϕ = 0, F Q = F P Figur 3.6: Ett tvåkraftsystem i statisk jämvikt. Krafternas verkningslinjer sammanfaller. F Q Q PQ d ϕ P FP Figur 3.7: Geometri för beviset till sats 3.3. där ϕ är vinkeln mellan PQ och F Q. Enligt fig. 3.7 är det vinkelräta avståndet mellan verkningslinjerna just d = PQ sin ϕ = 0, så att verkningslinjerna alltså måste sammanfalla. Masslösa stänger fästa i gångjärnsleder är typiska tvåkraftsystem (fig. 3.8). Analysen av flerkroppsproblem kan ibland förenklas avsevärt om man utnyttjar denna egenskap. Figur 3.8: Masslösa stänger som är momentfria i sina fästpunkter påverkas under drag eller tryck av tvåkraftsystem. Även snören påverkas av tvåkraftsystem. 3.3 Flerkroppsproblem När en konstruktion innehåller flera delar, som alla är i statisk jämvikt, måste kraftsystemet på var och en av delarna vara ett nollsystem. Man kan visa att det är ett nödvändigt villkor för statisk jämvikt att

28 statik och dynamik hela systemet också påverkas av ett nollsystem av yttre krafter och kraftparsmoment. Vid problemlösning kan man välja att frilägga flera sammankopplade stelkroppar åt gången. Betrakta t.ex. schaktmaskinen i fig. 3.9a. Beroende på frågeställningen kan det vara lämpligt att antingen frilägga schaktmaskinen i sin helhet (fig. 3.9b), eller att frilägga varje del för sig (fig. 3.9c). Det senare alternativet är lämpligt om frågeställningen rör krafter mellan konstruktionens delar. A B D G1 C (a) E G 2 g N D m 1 g m 2 g N E F D (b) Figur 3.9: (a) Schaktmaskin bestående av fordon med masscentrum G 1 och massan m 1, en masslös hydraulcylinder och ett schaktblad på balk med masscentrum G 2 och massan m 2. Framhjulen är frikopplade. (b) Friläggning av hela konstruktionen. (c) Friläggning av konstruktionens delar, där hydraulcylindern är en tvåkraftsdel. F Ay F h F h F Ax F Ax F h F Ay N D m 1 g N E F h m 2 g F D (c) Friläggningen av schaktmaskinens delar i fig. 3.9c visar på några viktiga principer: I kontaktpunkten mellan två delar uppstår krafter och reaktionskrafter, som enligt reaktionslagen är lika stora och motriktade. Hydraulcylindern antas vara masslös och är därför en tvåkraftsdel, varför krafterna som angriper i dess ändar är lika stora, motriktade och har sammanfallande verkningslinjer (sats 3.3). Kraft- och momentjämvikt kan tecknas för varje frilagd del.

4 Masscentrum och tyngdpunkt 4.1 Densitet Densiteten ϱ hos ett material är ett mått på materialets täthet, och definieras som massa per volymsenhet, med SI-enheten kg/m 3. Vilket material en kropp består av kan variera över det område kroppen upptar i rummet, och således varierar även densiteten: ϱ = ϱ( r). En kropp har därmed massan m = dm = ϱ( r)dv, (4.1) där dv är ett infinitesimalt volymselement, dm = ϱdv är ett masselement och r är integrationsvariabeln (fig. 4.1). dv r z y x 4.2 Masscentrum Betrakta en stelkropp nära jordens yta. Om kroppen hängs upp i ett snöre anslutet till en punkt P 1 på kroppens yta, kommer snörets förlängning vid statisk jämvikt definiera en lodlinje genom kroppen. Om förfarandet upprepas för flera olika punkter, P 1, P 2,..., på kroppens yta är det ett experimentellt faktum att samtliga motsvarande lodlinjer skär en gemensam kroppsfix punkt, som kallas kroppens tyngdpunkt (fig. 4.2). Figur 4.1: Geometri för definition av massa. g P 1 P 1 P 2 P 2 P 3 P 1 tyngdpunkt Figur 4.2: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Lodlinjerna för olika upphängningspunkter P 1, P 2,... på kroppen skär en gemensam punkt benämnd tyngdpunkten. I det följande ges en formell definition av en kropps masscentrum G, och senare visas att masscentrum sammanfaller med kroppens tyngdpunkt.

30 statik och dynamik Definition 4.1 (Masscentrum). För en kropp med densiteten ϱ( r) definieras kroppens masscentrum G av lägesvektorn r G 1 rdm = 1 rϱ( r)dv, (4.2) m m där m betecknar kroppens massa. Detta betyder att om r G = x G ē x + y G ē y + z G ē z så ges masscentrums x-koordinat av x G = 1 xϱ(x, y, z)dxdydz, (4.3) m med analoga uttryck för y G och z G. Sats 4.2 (Masscentrum för sammansatt kropp). Om en kropp med massan m är sammansatt av n delkroppar 1,..., n, ges den sammansatta kroppens masscentrum av r G = 1 n m i r Gi, (4.4) m i=1 där m i är massan och r Gi är masscentrums lägesvektor för den i:te delkroppen (fig. 4.3). Bevis. Enligt def. 4.1 för masscentrum har vi r G = 1 rdm = { En integral för varje delområde } m = 1 [ ] rdm + + rdm m 1 n = 1 [ ] 1 1 m 1 rdm + + m n rdm m m 1 }{{ 1 m n }}{{ n } = r G1 = r Gn = 1 n m i r Gi. m i=1 m 1 r G1 z r Gn y m n Figur 4.3: En kropp sammansatt av delkroppar i, i = 1,..., n, vardera med massan m i och masscentrum G i. x Definition 4.3 (Geometriskt centrum). För en kropp definieras kroppens geometriska centrum C av lägesvektorn r C 1 rdv, (4.5) V där V betecknar kroppens volym. Det är vanligt att en kropp består av ett och samma material, så att densiteten är oberoende av läget i kroppen, d.v.s. ϱ är konstant. I sådana fall är kroppens massa m = ϱdv = ϱ dv = ϱv. Kroppens masscentrum blir då, enligt ekv. (4.2), r G = 1 rϱdv = 1 m ϱv ϱ rdv = 1 rdv = r C. V Vid konstant densitet sammanfaller alltså masscentrum med geometriskt centrum.

masscentrum och tyngdpunkt 31 4.3 Masscentrum för tunna kroppar För ett tunt skal definieras ytdensiteten ϱ A som skalets massa per areaenhet. Ytdensiteten kan variera över skalet, varför vi skriver ϱ A = ϱ A ( r), där r är lägesvektorn för en punkt på skalet. Vi låter beteckna den yta i rymden, som skalet upptar. Låt da vara ett infinitesimalt ytelement på. Motsvarande masselement blir dm = ϱ A da, så att lägesvektorn för skalets masscentrum G blir r G = 1 rdm = 1 rϱ A da, (4.6) m m enligt ekv. (4.2) (fig. 4.4). På motsvarande sätt generaliseras ekv. (4.5) för geometriskt centrum till r C = 1 rda, (4.7) A där A = da är skalets area. För en krökt tunn stång, som följer kurvan K från P till Q, definieras linjedensiteten ϱ l som stångens massa per längdenhet. Låt ds beteckna ett infinitesimalt längdelement på kurvan K, så att motsvarande masselement är dm = ϱ l ds. Stångens masscentrum G ges då av r G = 1 m K rdm = 1 m K rϱ l ds, (4.8) enligt ekv. (4.2) (fig. 4.5). Ekvation (4.5) generaliseras här till r C 1 rds, (4.9) l K där l = ds betecknar kurvan K:s längd. K z y x r da Figur 4.4: Geometri för definition av masscentrum för ett tunt skal. P z K y r x ds Q Figur 4.5: Geometri för definition av masscentrum för en tunn stång längs kurvan K. 4.4 Tyngdpunkt Gravitationen är en volymskraft, som verkar över en kropps hela område i rummet. Betrakta en kropp med densiteten ϱ = ϱ( r). Kroppen påverkas då av en volymskraft, f g ( r) = ϱ( r)ḡ( r), där ḡ betecknar det tyngdkraftsfält som skapas av gravitationen. Man kan ofta med tillräckligt god noggrannhet anta att tyngdkraftsfältet ḡ( r) = ḡ är ett konstant vektorfält inom ett begränsat område. Sats 4.4 (Tyngdkraft och tyngdpunkt). För en stelkropp med massan m och densiteten ϱ = ϱ( r) i ett rumskonstant tyngdkraftsfält ḡ ges kraftsumman av volymskraften ϱ( r)ḡ av tyngdkraften F g = mḡ, (4.10) och momentsumman för ϱ( r)ḡ m.a.p. kroppens masscentrum G är Σ M G = 0.

32 statik och dynamik Bevis. Betrakta ett godtyckligt volymselement dv med massan dm = ϱdv och lägesvektorn r. Kraften på volymselementet är (fig. 4.6) d F = ḡdm. Kraftsumman över alla volymselement ges av F g = d F = ḡdm = { ḡ konstant } [ ] = dm ḡ }{{} =m = mḡ. z y ḡ r G x r G dv z y x r G r r G d F = ḡdm Figur 4.6: Geometri för tyngkraftens verkan på en stelkropp, med en friläggning av ett volymselement. Volymselementet betraktas som en partikel (postulat 1.2) varför kraftparsmomentet på dm antas vara 0. 10 Momentsumman m.a.p. masscentrum G ges av Σ M G = ( r r G ) d F = ( r r G ) ḡdm = { ḡ konstant } [ ] = ( r r G )dm ḡ [ ] = rdm r G dm ḡ = { r G konstant } [ = m 1 ] rdm r G dm ḡ m }{{}}{{} = r G =m = (m r G r G m) ḡ = 0 ḡ = 0. 10 Detta är i sig ett postulat. Tack vare den egenskap som påvisas i sats 4.4 är det möjligt att representera tyngdkraftens verkan på en stelkropp med en enda kraft mḡ som verkar i kroppens masscentrum.

masscentrum och tyngdpunkt 33 Ett typiskt exempel, där tyngdkraftsfältet är ḡ = gē y, finns avbildat i fig. 4.7. I ett rumskonstant tyngdkraftsfält är masscentrum identiskt med tyngdpunkten, som alltså avser den punkt G där tyngdkraften mḡ anses verka. Om tyngdkraftsfältet varierar med läget, ḡ = ḡ( r), existerar ingen tyngdpunkt eftersom lodlinjerna som bildas vid förfarandet i fig. 4.2 inte nödvändigtvis kommer att ha någon gemensam skärningspunkt. ē z ḡ = gē y ē y ē x m G mgē y Figur 4.7: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G.

5 Friktion Vid en kontakt mellan två kroppar uppstår friktionskrafter på respektive kropp, som motverkar glidning. 11 Betrakta två kroppar 1 och 2, som är i fysisk kontakt vid den för kropparna gemensamma punkten P (fig. 5.1). Vid kontaktpunkten P definieras ett tangentplan till kropparna, med normalvektorn ē n. På kropp 1 verkar en normalkraft N = Nē n och en friktionskraft F f ē n. På kropp 2 verkar N och F f enligt reaktionslagen. 11 Även kraftparsmoment kan uppstå för att motverka vridning kring en normal genom kontaktytan. 1 1 P P N F f tangentplan 2 normal ē n Figur 5.1: Två stelkroppar i kontakt vid punkten P. Tangentplanet för kontakten har indikerats. Kroppen 1 har frilagts, med friktionskraften F f i tangentplanet, och normalkraften N i planets normalriktning. Alla material uppvisar friktion mot varandra, men när friktionen mellan två kroppar bedöms vara försumbar, t.ex. p.g.a. smörjning, sägs kontaktstället vara friktionsfritt. För en friktionsfri kontakt är friktionskraften F f = 0. Med en friktionsfri yta, 12 menas att alla ytans kontaktställen är friktionsfria. 12 Benämningen glatt yta förekommer också. 5.1 Ett friktionsexperiment Betrakta experimentuppställningen i fig. 5.2. En låda vilar mot en plan vagn som i sin tur vilar mot ett plant underlag. Lådan påverkas av en variabel horisontell kraft P vars belopp mäts med en givare. En friläggning av lådan återfinns också i fig. 5.2. Vagnen hålls på plats av en anordning som mäter beloppet F f av den horisontella kraften på vagnen, vilken är lika med beloppet av den friktionskraft som verkar på lådan. I ett experiment låter man först kraften P = 0 verka på lådan; därefter ökas P långsamt. I ett första skede glider inte lådan mot vagnen. Den hålls på plats av statisk friktion. Så länge ingen glidning uppstår råder kraftjämvikt, vilket ger F f = P. När man ökat P till-

36 statik och dynamik P G m g P mg N F f Figur 5.2: Experimentuppställning för friktionsmätning, och friläggning av rörlig del. Kraftgivare har indikerats med dubbelcirkelsymbol. räckligt mycket börjar dock lådan glida mot vagnen och accelerera. I samma ögonblick sjunker friktionskraften plötsligt och behåller ett µ s N konstant värde även om vi ökar P ytterligare under rörelsen (fig. 5.3). µ k N Friktionskraften vid glidning benämns kinetisk friktion. 1 Beteendet som skildras i tankeexperimentet ovan är typiskt för så kallad torr friktion, där kontaktstället utgörs av rena torra ytor. Fukt, partiklar och oxidlager med mera på kropparnas ytor påverkar annars friktionskraftens belopp. Även temperaturen och kropparnas mekaniska egenskaper påverkar friktionen. 5.2 Coulombfriktion F f 1 statisk kinetisk Figur 5.3: Friktionskraft ritad som funktion av pålagd kraft P för experimentet i fig. 5.2. P Om vi begränsar oss till torr friktion mellan rena ytor under konstant temperatur, gäller följande empiriska samband 13 approximativt. Empiriskt samband 5.1 (Coulombs friktionslag). Om statisk friktion råder vid ett kontaktställe, fortgår statisk friktion så länge det statiska friktionsvillkoret F f N < µ s, (5.1) är uppfyllt. Om glidning föreligger vid ett kontaktställe gäller 13 empiriskt samband ekvation eller lag som påvisats experimentellt. F f = µ k N. (5.2) Här är F f friktionskraften, N normalkraftens belopp, µ s den statiska friktionskoefficienten och µ k den kinetiska friktionskoefficienten, där 0 µ k µ s. Vid glidning verkar F f rakt motsatt glidhastigheten vid kontaktstället. Tankeexperimentet från stycke 5.1 (fig. 5.2 och 5.3) exemplifierar Coulombfriktion. Om glidning ej föreligger i utgångsläget kan man undersöka gränsfallet för begynnande glidning. För detta sätter man friktionskraften till det instabila gränsfall där glidning är förestående: F f = µ s N. (5.3) Detta motsvarar friktionskraftens maximum i fig. 5.3. Vid problemlösning är det ibland inte känt huruvida glidning föreligger vid kontaktstället. I sådana fall antar man först att friktionen är statisk och använder jämviktsekvationerna, ekv. (3.1a) och (3.1b), för att bestämma friktionskraften F f och normalkraftens belopp N. Om detta leder till att ekv. (5.1) ej är uppfylld måste glidning föreligga, och friktionskraften ges i stället av ekv. (5.2).

friktion 37 5.3 Friktion i ett system av kroppar Om det finns flera kontaktställen med Coulumbfriktion i ett flerkroppsproblem gäller det empiriska sambandet 5.1 vid varje kontaktställe. Om vi t.ex. har två kontaktställen, vid punkterna P och Q, är följande fall tänkbara: Ingen glidning vid något av kontaktställena P eller Q. Glidning vid P men ej vid Q. Glidning vid Q men ej vid P. Glidning vid både P och Q. Dessa fall är avbildade i fig. 5.4. Om ett flerkroppsproblem innehåller n kontaktställen finns det maximalt 2 n tänkbara kombinationer av glidning och statisk friktion. F P Q (a) m 1 m 2 F Q (b) m 1 v 1 P m 2 Figur 5.4: Exempel på friktion vid flera kontaktställen. Tänkbara utfall är (a) ingen glidning, (b) endast glidning vid P, (c) endast glidning vid Q, och (d) glidning vid både P och Q. m 1 F v F m 1 v 1 P P m 2 v m2 Q Q v 2 (c) (d) Ibland medför problemets geometri att vissa kombinationer av glidning och statisk friktion kan uteslutas. En kil har t.ex. två kontaktställen (fig. 5.5). Glidning måste uppstå vid båda kontaktställena för att kilen ska kunna förflyttas. Således existerar bara två tänkbara fall: antingen glidning vid båda kontaktställena, eller ingen glidning vid något kontaktställe. Figur 5.5: För att en kil ska drivas in krävs glidning vid båda dess kontaktställen.

Del II Partikeldynamik

6 Plan kinematik Kinematik är läran om rörelsens geometri, utan att orsaken till denna rörelse beaktas. Detta kapitel ägnas åt studier av partikelrörelse begränsad till ett plan, så kallad plan rörelse. Framställningen använder sig av differentialer, som beskrivs i bilaga D. 6.1 Rätlinjig rörelse Om en partikel P rör sig längs en rät linje i rummet sägs partikeln utföra rätlinjig rörelse. För att beskriva partikelns läge inför vi en lägeskoordinat x(t) relativt en fix punkt O på linjen (fig. 6.1). Koordinaten x(t) beskriver läget vid tiden t och tillåts anta negativa värden. Om partikeln vid en annan tid t + t befinner sig vid punkten P med koordinaten x(t + t), definierar vi partikelns momentana 14 hastighet genom gränsvärdet 14 momentan som råder i ögonblicket. x(t + t) x(t) v(t) lim = dx t 0 t dt, (6.1) vilket vi känner igen som tidsderivatan av läget x(t). För rätlinjig rörelse definieras partikelns fart som v. O x P P v x + x v + v Figur 6.1: En partikel P:s rörelse längs en rät linje relativt en fix referenspunkt O. På motsvarande sätt definieras partikelns momentana acceleration som hastighetens tidsderivata: v(t + t) v(t) a(t) lim = dv t 0 t dt. (6.2) Definitionerna för hastighet och acceleration kan även skrivas med differentialnotation (bilaga D). Genom att tillämpa ekv. (D.2) på ekv. (6.1) respektive (6.2) får vi dx = vdt (6.3a) dv = adt. (6.3b)

42 statik och dynamik Sats 6.1. För en partikel i rätlinjig rörelse, med lägeskoordinaten x(t), hastigheten v(t) och accelerationen a(t) gäller vdv = adx. (6.4) Bevis. Från ekv. (6.3b) får vi dv = adt { multiplicera med v } vdv = avdt { ekv. (6.3a) } vdv = adx. Vid problemlösning utgår man lämpligen från ett eller flera av differentialsambanden (6.3a), (6.3b) och (6.4). Därefter tillämpar man satserna D.2 eller D.3 för att bilda en skalär ekvation. 6.2 Kroklinjig rörelse Det tidsberoende läget för en partikel eller punkt i rummet betecknas r(t). Utifrån denna lägesvektor definieras sedan hastighet och acceleration som gränsvärden. Definition 6.2 (Hastighet). Hastigheten för en partikel med lägesvektorn r(t) definieras (fig. 6.2) r(t + t) r(t) r v(t) lim = lim t 0 t t 0 t = d r dt. (6.5) r(t+ t) z Hastighet är en vektorstorhet och dess riktning är parallell med x y tangenten för den bana som beskrivs av r(t) (fig. 6.2). t+ t r r(t) v t Definition 6.3 (Acceleration). Accelerationen för en partikel med hastigheten v(t) definieras (fig. 6.3) v(t + t) v(t) v ā(t) lim = lim t 0 t t 0 t = d v dt. (6.6) Accelerationen är en vektorstorhet vars riktning inte behöver vara parallell med tangenten till banan r(t). Rektangulära koordinater En partikels läge i ett rektangulärt koordinatsystem med basen {ē x, ē y, ē z } skrivs r(t) = x(t)ē x + y(t)ē y + z(t)ē z. (6.7) Denna situation illustreras i fig. 6.4. När det framgår av kontexten vilka storheter som är tidsberoende utelämnar man ofta parametern t och skriver r = xē x + yē y + zē z. Figur 6.2: Geometri för gränsvärdesdefinition av hastighet. x z v(t+ t) t+ t y t v(t) v(t+ t) v t v v(t) Figur 6.3: Geometri för gränsvärdesdefinition av acceleration. Sats 6.4 (Hastighet på rektangulär form). Hastigheten för en partikel med lägesvektorn r = xē x + yē y + zē z ges på rektangulär form av v = ẋē x + ẏē y + żē z. (6.8)

plan kinematik 43 y ē y r ā P v Figur 6.4: En partikel P:s rörelse i rummet relativt ett rektangulärt koordinatsystem. z ē z ē x x Bevis. Enligt definition 6.2 för hastighet gäller v = d r dt = d dt (xē x + yē y + zē z ) = { produktregeln } = ẋē x + x dē x dt + ẏē y + y dē y dt + żē z + z dē z dt = { ē x, ē y, ē z konst. } = ẋē x + ẏē y + żē z. Basvektorernas tidsderivator blir noll eftersom de är konstanter för rektangulära koordinatsystem. Sats 6.5 (Acceleration på rektangulär form). Accelerationen för en partikel med lägesvektorn r = xē x + yē y + zē z ges på rektangulär form av ā = ẍē x + ÿē y + zē z. (6.9) Bevis. Definition 6.3 för acceleration ger ā = d v dt = { sats 6.4 } = d dt (ẋē x + ẏē y + żē z ) = { produktregeln } = ẍē x + ẋ dē x dt + ÿē y + ẏ dē y dt + zē z + ż dē z dt = { ē x, ē y, ē z konst. } = ẍē x + ÿē y + zē z. Precis som för rätlinjig rörelse är det önskvärt att skriva om uttrycken för hastighet och acceleration till differentialsamband, så att partikelrörelser kan bestämmas genom integration. Sats 6.6. Om en partikelbana ges av r = xē x + yē y + zē z, hastigheten betecknas v = v x ē x + v y ē y + v z ē z och accelerationen betecknas ā = a x ē x + a y ē y + a z ē z gäller differentialsambanden dx = v x dt dy = v y dt dz = v z dt dv x = a x dt dv y = a y dt dv z = a z dt (6.10) v x dv x = a x dx v y dv y = a y dy v z dv z = a z dz.

44 statik och dynamik Bevis. För koordinatriktningen x har vi enligt ekv. (6.8) att v x = dx { ekv. (D.2) } dt dx = v x dt. (6.11) Dessutom ger ekv. (6.9) a x = d2 x dt 2 = dv x dt dv x = a x dt. { ekv. (D.2) } Detta ger i sin tur dv x = a x dt { } multiplicera med v x v x dv x = a x v x dt { ekv. (6.11) } v x dv x = a x dx. Övriga differentialsamband för koordinaterna y och z erhålles analogt. De differentialsamband som gäller för rätlinjig rörelse, gäller alltså enligt sats 6.6 för var och en av koordinatriktningarna vid kroklinjig rörelse. y P Polära koordinater I ett givet rektangulärt koordinatsystem med origo O kan en partikel P:s läge i xy-planet beskrivas med dess avstånd r = OP till origo samt vinkeln θ utgående från x-axeln moturs till strålen OP. Här är r och θ partikelns polära koordinater (fig. 6.5). Om partikeln rör sig blir dess polära koordinater tidsberoende: r = r(t) och θ = θ(t). Vinkelhastigheten definieras ω θ, och vinkelaccelerationen definieras α ω = θ. O θ r K x Figur 6.5: Polära koordinater (r, θ). Definition 6.7 (Polära basvektorer). Givet en rektangulär bas {ē x, ē y } i planet definieras de polära basvektorerna (fig. 6.6) ē r cos θē x + sin θē y (6.12a) y ē θ sin θē x + cos θē y. (6.12b) ē y ē r I och med denna definition kan lägesvektorn för en partikel skrivas på polär form som ē θ θ ē x x r = rē r, (6.13) där r = r(t), r = r(t) och ē r = ē r (t). Partikelns hastighet och acceleration kan nu erhållas från definitionerna 6.2 och 6.3 genom tidsderiveringar av ekv. (6.13). Dessa deriveringar förenklas dock om vi först beräknar basvektorernas tidsderivator. Figur 6.6: Rektangulär och polär bas i enhetscikeln. Sats 6.8. De polära basvektorernas tidsderivator ges av dē r dt dē θ dt = θē θ (6.14a) = θē r. (6.14b)

plan kinematik 45 Bevis. Derivering av ekv. (6.12a) ger dē r dt = d dt (cos θē x) + d dt (sin θē y) = { ē x, ē y konstanter } d(cos θ) d(sin θ) = ē x + ē y = { kedjeregeln } dt dt d(cos θ) dθ d(sin θ) dθ = dθ dt ēx + dθ dt ēy = ( sin θ) θē x + (cos θ) θē y = θ ( sin θē x + cos θē y ) = { ekv. (6.12b) } = θē θ. Derivering av ekv. (6.12b) ger dē θ dt = d dt (sin θē x) + d dt (cos θē y) = { ē x, ē y konstanter } d(sin θ) d(cos θ) = ē x + ē y = { kedjeregeln } dt dt d(sin θ) dθ d(cos θ) dθ = dθ dt ēx + dθ dt ēy = (cos θ) θē x + ( sin θ) θē y = θ (cos θē x + sin θē y ) = { ekv. (6.12a) } = θē r. Direkt tidsderivering av ekv. (6.13) ger därefter uttrycken för hastighet och acceleration i polära koordinater. Sats 6.9 (Hastighet på polär form). Hastigheten för en partikel ges på polär form av v = ṙē r + r θē θ. (6.15) Bevis. Från definition 6.2 för hastighet får vi v = d r dt = { ekv. (6.13) } = d dt (rē r) = { produktregeln } = ṙē r + r dē r dt = { ekv. (6.14a) } = ṙē r + r θē θ. Sats 6.10 (Acceleration på polär form). Accelerationen för en partikel ges på polär form av ā = ( r r θ 2 )ē r + (r θ + 2ṙ θ)ē θ. (6.16)

46 statik och dynamik Bevis. Från definition 6.3 för acceleration får vi ā = d v dt = { ekv. (6.15) } = d dt (ṙē r + r θē θ ) = { produktregeln } = rē r + ṙ dē r dt + ṙ θē θ + r θē θ + r θ dē θ dt = { ekv. (6.14a), (6.14b) } = rē r + ṙ( θē θ ) + ṙ θē θ + r θē θ + r θ( θē r ) = ( r r θ 2 )ē r + (r θ + 2ṙ θ)ē θ. Cirkulär rörelse En cirkulär rörelse låter sig väl beskrivas av polära koordinater (fig. 6.7). Genom att placera origo i den cirkulära banans centrum försäkrar vi oss om att r är konstant, så att ṙ = 0 och r = 0. För cirkulär rörelse rörelse förenklas därmed uttrycken för hastighet och acceleration till v = r θē θ = rωē θ (6.17a) ā = r θ 2 ē r + r θē θ = rω 2 ē r + rαē θ. (6.17b) Genom att betrakta ekv. (6.17a) finner man en enkel relation mellan partikelns fart och dess vinkelhastighet: v = rω. (6.18) Denna formel gäller dock endast vid cirkulär rörelse. v ē r ē θ r y θ Figur 6.7: Cirkelrörelse med polärt koordinatsystem. x Bågkoordiniater Betrakta en partikel P som rör sig längs en bana K i planet. Utgående från en fix punkt O på banan kan partikels lägesvektor skrivas r = r(s), där s = s(t) är bågkoordiniaten, som är båglängden från O till P längs banan (fig. 6.8). O k.c. ē n n P s ρ r ē t t y x K Figur 6.8: En partikel P:s rörelse i planet längs en bana K, med båglängdskoordinaten s utgående från den fixa punkten O. Den naturliga basen {ē t, ē n} varierar med partikelns läge. Definition 6.11 (Naturliga basvektorer). För en given båglängdsparametrisering r = r(s) av en bana K definieras den naturliga basen ē t d r ds ē n ρ dē t ds, ρ dē t ds 1 (6.19a), (6.19b)

plan kinematik 47 där ē t är banans tangentriktning, ē n är dess normalriktning och ρ är dess krökningsradie. Definition 6.11 är så utformad att ē t = ē n = 1 och ē t ē n, och därför utgör dessa enhetsvektorer en ortonormal bas i planet. 15 15 Bas- R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman, vektorernas riktning varierar med partikelns läge (fig. 6.8). Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0- För vårt vidkommande är den geometriska tolkningen av def. 6.11 201-39607-2 intressant. Då partikeln befinner sig i en punkt P kommer ē t att peka i banans tangentriktning vid P, riktad i båglängdskoordinatens positiva riktning. Vidare kan man konstruera en cirkel, den oskulerande cirkeln, sådan att den tangerar banan vid P och har samma krökningsradie ρ som banan har vid P (fig. 6.8). Den oskulerande cirkelns mittpunkt kallas krökningscentrum (k.c.) och normalriktningen är orienterad mot detta krökningscentrum. För en partikelbana varierar läget med tiden t, varför vi skriver s = s(t), och lägesvektorn får således formen r = r [s(t)], ṡ 0. (6.20) Notera speciellt villkoret ṡ 0. En partikel som rör sig fram och åter längs samma bana, som pendeln i figur 6.9, måste tillordnas en bana som veckar sig, så att rörelsen kan beskrivas med en båglängdskoordinat som är växande i tiden, och så att s kommer att representera tillryggalagd sträcka. Från lägesvektorn i ekv. (6.20) härleds uttryck för hastighet och acceleration (fig. 6.10) från deras respektive definitioner. Sats 6.12 (Hastighet i naturliga basen). Hastigheten för en partikel ges i den naturliga basen av v = ṡē t = vē t, (6.21) där v = ṡ 0 är partikelns fart. Bevis. Från def. 6.2 för hastighet får vi v = d r dt = { ekv. (6.20) } = d dt r [s(t)] = { kedjeregeln } = d r ds ds dt = { ekv. (6.19a) } = ṡē t. O Figur 6.9: Rörelsen för en pendel i ett vertikalplan representeras av en bana som veckar sig fram och åter, så att båglängdskoordinaten ökar med tiden. a n n P v r ā a t s v P y K Figur 6.10: Lägesvektor r, hastighet v och acceleration ā i den naturliga basen. t x Sats 6.13 (Acceleration i naturliga basen). Accelerationen för en partikel ges i den naturliga basen av ā = vē t + v2 ρ ēn, (6.22) där v = ṡ och ρ är banans krökningsradie.

48 statik och dynamik Bevis. Från def. 6.3 för acceleration får vi ā = d v dt = { ekv. (6.21) } = d dt (ṡē t) = { produktregeln } = sē t + ṡ dē t dt = { kedjeregeln } = sē t + ṡ dē t ds = sē t + ṡ2 ρ ēn ds dt = { ekv. (6.19b) } = vē t + v2 ρ ēn. Accelerationens normalkomponent är alltså a n = v 2 /ρ och är alltid riktad mot krökningscentrum (fig. 6.10). Sats 6.14. För en krökt partikelbana i den naturliga basen gäller vdv = a t ds, (6.23) där a t = v är accelerationens komponent i tangentriktningen. Bevis. Eftersom v = ds/dt ger ekv. (D.2) att ds = vdt. (6.24) Enligt ekv. (D.1) har vi dv = vdt { ekv. (6.22) } dv = a t dt vdv = a t vdt { ekv. (6.24) } vdv = a t ds. 6.3 Kinematiska tvång Rörelsen hos kroppar som är i kontakt med varandra kan vara kopplade på grund av kinematiska tvång. Det gäller t.ex. då två kroppar är förbundna med en länkarm eller ett sträckt snöre. I ett materiellt system med flera partiklar i rätlinjig rörelse, förses varje partikel med en koordinat, som bestämmer partikelns läge relativt någon fix punkt. x P xp d Q d x Q Partiklar förbundna med ett snöre Som typexempel betraktar vi ett system med två partiklar, P och Q, förbundna med ett snöre. Snöret löper genom två trissor, som är upphängda enligt fig. 6.11. Båda trissornas radier är R. Med hjälp av definitionerna av sträckor och lägen i fig. 6.11 kan vi teckna ett uttryck v P P a P v Q a Q Figur 6.11: Två partiklar, P och Q, sammankopplade med ett snöre, som löper genom trissor med radien R.

plan kinematik 49 för snörets totala längd: l = x P + πr + (x P d) + πr + x Q = 2x P + x Q + 2πR d. Derivering av denna ekvation m.a.p. tiden ger ett samband mellan partiklarnas hastighet i deras respektive koordinatriktning: 0 = 2ẋ P + ẋ Q 2v P + v Q = 0, där vi utnyttjade att snörets längd är konstant. Ytterligare en derivering m.a.p. t ger ett samband mellan partiklarnas accelerationer 0 = 2ẍ P + ẍ Q 2a P + a Q = 0. Typiskt för dynamiska problem är att man behöver just sambandet mellan olika partiklars acceleration, eftersom accelerationen ingår i kraftlagen (stycke 1.2). Generellt är det alltid fruktbart att teckna ett snöres längd i de sammanbundna partiklarnas koordinater och sedan derivera m.a.p. t. Om problemet innehåller flera snören erhåller man på detta sätt ett kinematiskt samband för varje snöre. Partiklar förbundna med en länkarm När två partiklar står i förbindelse med varandra genom en vridbar länkarm, inför man en vinkelkoordinat θ, som betecknar länkarmens vridning relativt en fix axel. Om vinkeln förblir liten, kommer rörelsen vid länkarmens ändar att vara approximativt rätlinjig. Som exempel betraktar vi två partiklar, P och Q, som är upphängda i var sin ände av en rät stång enligt fig. 6.12. Partiklarnas lägen kan skrivas som funktioner av vinkeln θ: { xp = b + d P sin θ x P = b + d P (b x Q ), x Q = b d Q sin θ d Q där sin θ eliminerades ur ekvationssystemet. Derivering m.a.p. t ger ẋ P = d P d Q ẋ Q v P = d P d Q v Q. x P θ v P P b a P d P d Q v Q Q b a Q θ x Q Figur 6.12: Två partiklar, P och Q, är upphängda i snören, vardera med längden b, och sammankopplade med en länkarm. Ytterligare en derivering m.a.p. t ger ett samband mellan partiklarnas accelerationer ẍ P = d P d Q ẍ Q a P = d P d Q a Q.

7 Kinetik 7.1 Newtons rörelselagar Vi upprepar Newtons rörelselagar för partiklar, från stycke 1.2: 16 16 I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, första boken. 1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig rätlinjig rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln. 17 Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö, 1986a. ISBN 91-40-60433-0 2. Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller Σ F = mā, (7.1) 17 Med formuleringen inga yttre krafter menas att partikeln är helt fri från växelverkan. där Σ F är kraftsumman på partikeln och ā är partikelns acceleration. 3. Reaktionslagen När en partikel Q utövar en kraft F på en annan partikel P, utövar P samtidigt en kraft F på Q. Kraften och reaktionskraften mellan två partiklar är alltså lika stora och motriktade. Postulaten ovan benämns även Newtons första, andra respektive tredje lag. Experiment visar att Newtons rörelselagar gäller för makroskopiska system, alltså system mycket större än den atomära längdskalan, och farter mycket mindre än ljusets hastighet. Newtons första lag Enligt Newtons första lag krävs ingen kraft för att upprätthålla en rörelse. En partikel rör sig med konstant hastighet i en rät linje, så kallad likformig rörelse, om den inte påverkas av några krafter från omgivningen. Det krävs någon form av växelverkan med omgivningen för att förändra rörelsen. För att kunna beskriva rörelsen hos en partikel är det nödvändigt att införa ett koordinatsystem vars läge, orientering och skala i rummet är givet relativt fysiska föremål. Sådana system kallas referensramar. Referensramens koordinatsystem ger partiklars läge, hastighet och acceleration mening.

52 statik och dynamik Newtons rörelselagar gäller bara i en viss typ av referensramar, som kallas inertialramar. Motsvarande kordinatssytem kallas inertialsystem. Newtons första lag, tröghetslagen, gör det möjligt att bestämma om ett givet koordinatsystem är ett inertialsystem. Man väljer då ut ett antal föremål som växelverkar mycket svagt med sin omgivning, till exempel stjärnor långt från andra astronomiska objekt. Om varje sådant föremål har konstant hastighet i det givna koordinatsystemet (fig. 7.1a), vet man att koordinatsystemet med stor noggrannhet är ett inertialsystem. Om däremot hastigheten för dessa föremål varierar för ett koordinatsystem (fig. 7.1b), vet man att detta inte är ett inertialsystem. z y x z y x Figur 7.1: (a) Inertialsystemet xyz är sådana att kroppar med försumbar växelverkan beskriver likformig rörelse. (b) Koordinatsystemet xyz är ej ett inertialsystem. Föremål som påverkas av mycket liten kraft förefaller vara accelererade. (a) (b) Ett koordinatsystem som är fixt relativt Jordens yta är inte något inertialsystem. Detta framgår tydligt då man fotograferar en stjärnklar himmel med lång exponeringstid (fig. 7.2); stjärnorna rör sig inte likformigt i den jordbundna referensramen. I många tillämpningar dock inte alla uppnås tillfredställande noggrannhet om Newtons lagar tillämpas för ett jordbundet koordinatsystem. Newtons andra lag I Newtons andra lag, kraftlagen, är det underförstått att en referensram valts så att tröghetslagen gäller. Då är accelerationen ā, som ingår i kraftlagen, väldefinierad (def. 6.3). I mer noggranna framställningar utreds hur begreppet massa kan definieras ur Newtons lagar. 18 Här antar vi emellertid att massa och kraft är på förhand väldefinierade storheter. Deras relation till en partikels rörelse ges av kraftlagen: Figur 7.2: Stjärnhimlen fotograferad med lång exponeringstid. Ett jordbundet system är inte något inertialsystem. (foto LCGS Russ) 18 J. B. Griffiths. The theory of classical mechanics. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-23760-2 Σ F = mā. Notera att vänsterledet innehåller den vektoriella summan av alla på partikeln verkande krafter. Endast krafter som härrör från växelverkan, t.ex. gravitationskraft och kontaktkrafter, ingår i denna summa. 19 19 Fiktiva krafter, t.ex. centrifugalkraft, lyder inte de lagar som normalt gäller för krafter, t.ex. reaktionslagen.

kinetik 53 Newtons tredje lag Newtons tredje lag, reaktionslagen för partiklar, beskriver växelverkans natur. Eftersom krafter uppstår genom växelverkan mellan kroppar, uppträder krafter i par: kraften och reaktionskraften på respektive växelverkande partikel är lika stora och motriktade (fig. 7.3). Den tredje lagen omtalar dock inte huruvida kraften och reaktionskraften ger upphov till något kraftparsmoment. Vi formulerar därför ett tillägg till reaktionlagen, som säkerställer att växelverkan inte skapar något kraftparsmoment: Postulat 7.1 (Tillägg till reaktionslagen). Kraften och reaktionskraften verkar längs en gemensam verkningslinje vid växelverkan mellan partiklar (fig. 7.3). F P Q F Reaktionslagen är mycket generell. Den gäller i både statiska och dynamiska situationer och den gäller för alla typer av kroppar, även deformerbara. Det finns dock tillfällen då den inte gäller, t.ex. när partiklar växelverkar genom elektromagnetiska krafter och kropparna accelereras eller befinner sig på mycket stort avstånd från varandra. 20 7.2 Rörelseekvationer och problemlösning I kinetiska problem bestäms en partikels rörelse av de krafter som påverkar partikeln. Figur 7.3: Newtons tredje lag, reaktionslagen, under det extra antagandet att kraften och reaktionskraften har en gemensam verkningslinje. 20 K. R. Symon. Mechanics. Addison- Wesley Publishing Company, Inc., 2nd edition, 1960 Rätlinjig rörelse Vid rätlinjig rörelse är det på förhand givet att en partikel rör sig längs en rät linje i ett inertialsystem. Vi väljer ett rektangulärt koordinatsystem sådant att x-riktningen sammanfaller med rörelseriktningen. Eftersom ingen rörelse sker i y- eller z-riktningen gäller a y = a z = 0. Kraftlagen på komponentform blir därmed ΣF x = ma x (7.2a) ΣF y = 0 (7.2b) ΣF z = 0. (7.2c) Accelerationen i en given rörelseriktning bestäms alltså av kraftsumman i denna riktning. Kroklinjig plan rörelse Då en partikels rörelse sker i ett plan finns tre alternativa koordinatsystem, som kan användas för att beskriva rörelse. För rektangulära koordinater med partikelrörelser begränsade till i xy-planet gäller enligt sats 6.5 att a x = ẍ, a y = ÿ och a z = 0.

54 statik och dynamik Kraftlagen på komponentform blir ΣF x = ma x = mẍ (7.3a) ΣF y = ma y = mÿ. (7.3b) ΣF z = ma z = 0. (7.3c) För polära koordinater (r θ) och plan rörelse gäller enligt sats 6.10 att a r = r r θ 2 och a θ = r θ + 2ṙ θ. Kraftlagen på komponentform blir ΣF r = ma r = m( r r θ 2 ) (7.4a) ΣF θ = ma θ = m(r θ + 2ṙ θ). (7.4b) Dessa ekvationer förenklas avsevärt vid cirkulär rörelse, då ṙ = 0 och r = 0. För naturliga komponenter (n t) och plan rörelse gäller enligt sats 6.13 att a t = v och a n = v 2 /ρ, där ρ är banans krökningsradie. Kraftlagen på komponentform blir ΣF n = ma n = m v2 (7.5a) ρ ΣF t = ma t = m v. (7.5b) Observera vikten av att införa korrekta koordinatriktningar. Normalriktningen är orienterad mot krökningscentrum.

8 Effekt, arbete och energi I de fall krafterna på en partikel beror av dess läge (fig. 8.1) kan analysen ofta förenklas m.h.a. energimetoder. Man utnyttjar då att arbete kan omvandlas till rörelseenergi hos en partikel och vice versa. Här väljer vi att definiera arbete utifrån begreppet effekt. Det är hela tiden underförstått att ett inertialsystem valts för att beskriva rörelsen. z y F ( r) x r P 8.1 Effekt Definition 8.1 (Effekt av en kraft). Effekten som utvecklas av en kraft F definieras Figur 8.1: Då kraften på en partikel P beror av dess läge är energimetoder ofta användbara. P F v, (8.1) där v är hastigheten för kraftens angreppspunkt. Det är uppenbart att en kraft med fix angreppspunkt, v = 0, inte utvecklar någon effekt. Effekten mäts i SI-enheten watt (W). Det gäller att 1 W = 1 Nm/s = 1 kg m 2 /s 3. 8.2 Arbete Arbete och energi mäts i enheten joule (J), newtonmeter (Nm) eller wattsekund (Ws), där 1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1 kg m 2 /s 2. Definition 8.2 (Arbete av en kraft). Arbetet av en kraft F mellan tidpunkterna t 1 och t 2 definieras U 1 2 t2 t 1 P dt = t2 t 1 F vdt, (8.2) där P är kraftens effekt och v är hastigheten för kraftens angreppspunkt. Vid problemlösning utnyttjar man att integralen över tiden i ekv. (8.2) kan skrivas om till en integral längs angreppspunktens bana.

56 statik och dynamik Sats 8.3 (Arbete mellan lägen). Om en kraft med kraftvektorn F = F (s) angriper i en punkt med given bana r = r(s), där s = s(t) är båglängdskoordinaten 21, är kraftens arbete U 1 2 = s2 s 1 F ēt ds, (8.3) 21 Eftersom ṡ 0 kommer r(s) att representera en unik väg, och s är den tillryggalagda sträckan. där s 1 = s(t 1 ) och s 2 = s(t 2 ), och ē t är banans tangentriktning (fig. 8.2). O s 1 F F ē t s 2 Figur 8.2: Partikelbana mellan tidpunkterna t 1 och t 2 motsvarande båglängderna s 1 och s 2. s ē t Bevis. Enligt def. (8.2) har vi U 1 2 = = = t2 t 1 F vdt = { ekv. (6.21) } t2 t 1 s(t2) s(t 1) F ṡēt dt = { subst. s = s(t), ds = ds dt dt} F ē t ds. En trivial men viktigt följd av sats 8.3 är att inget arbete uträttas av en kraft som angriper i en rumsfix 22 punkt, sådan att s 1 = s 2. Definition 8.4 (Arbete på en partikel). Arbetet på en partikel mellan tidpunkterna t 1 och t 2 är 22 rumsfix med konstant geometri i det givna inertialsystemet. ΣU 1 2 = t2 t 1 Σ F vdt, (8.4) där v är partikelns hastighet, och Σ F är kraftsumman som verkar på partikeln. Detta totala arbete på en partikel mellan två tidpunkter, t 1 och t 2, ges därmed av t2 ( ΣU 1 2 = Σ F t2 n ) n t2 vdt = F i v dt = Fi vdt, (8.5) t 1 t 1 t 1 i=1 i=1 som är summan av varje krafts arbete. Tvångskrafter, t.ex. normalkraften N, uppstår endast i de rörelseriktningar som är förhindrade. Partikelrörelsen relativt ett rumsfixt hinder är därför alltid vinkelrät mot tvångskraften, v N, så att tvångskrafter från ett sådant hinder inte utför något arbete (fig. 8.3). v g m t N mg Figur 8.3: Partikelns rörelseriktning relativt ett rumsfixt hinder är vinkelrät mot normalkraften N.

effekt, arbete och energi 57 8.3 Rörelseenergi Definition 8.5 (Rörelseenergi). För en partikel med massan m och hastigheten v definieras rörelseenergin 23 som 23 Benämns även kinetisk energi. T 1 2 m( v v) = 1 2 mv2. (8.6) Krafter som verkar på en partikel kommer att ändra partikelns hastighet, och kan därför ändra dess rörelseenergi. Hur krafters arbete omvandlas till rörelseenergi beskrivs av mekaniska energisatsen. t 1 Sats 8.6 (Mekaniska energisatsen). För en partikel med massan m, som påverkas av en kraftsumma Σ F mellan tiderna t 1 och t 2, gäller (fig. 8.4) ΣU 1 2 = T 2 T 1, (8.7) Σ F t v t 2 där ΣU 1 2 är kraftsummans arbete på partikeln, T 1 är rörelseenergin vid t 1 och T 2 är rörelseenergin vid t 2. Bevis. Tidsderivering av rörelseenergin, ekv. 8.6, ger dt = d ( ) 1 m v v = { produktregeln } dt dt 2 Figur 8.4: Geometri för mekaniska energisatsen: partikelbana mellan tidpunkterna t 1 och t 2. = 1 2 mā v + 1 2 m v ā = mā v = { kraftlagen } = Σ F v (8.8) Detta samband kan, enligt ekv. D.2, uttryckas med differentialnotation: t2 Σ F vdt = dt { sats D.3 } T2 Σ F vdt = dt { ekv. (8.5) } t 1 T 1 ΣU 1 2 = T 2 T 1. 8.4 Konservativa krafter Konservativa krafter är sådana som bevarar den totala mekaniska energin när de utför ett arbete. Med mekanisk energi menas summan av rörelseenergi, lägesenergi och elastisk energi. Konservativa krafters arbete ger inte upphov till andra energiformer, t.ex. värme eller elektromagnetisk strålning (ljus). Friktion alstrar värme, och är alltså inte någon konservativ kraft. Däremot är tyngdkraften konservativ. Definition 8.7 (Lägesenergi i tyngdkraftsfält). Lägesenergin för en partikel P med massan m i ett konstant tyngdkraftsfält ḡ = gē y definieras som V g (y) mgy, (8.9) där y är partikelns höjdkoordinat relativt ett valt koordinatsystem.

58 statik och dynamik Vid jordytan ökar alltså lägesenergin linjärt med höjden över marken. Sats 8.8 (Tyngdkraftens arbete). För en partikel med massan m, som påverkas av ett tyngdkraftsfält ḡ = gē y (fig. 8.5) mellan tiderna t 1 och t 2, utför tyngdkraften F g = mḡ arbetet U 1 2 = [V g (y 2 ) V g (y 1 )], (8.10) där y 1 och y 2 är partikels höjdkoordinat vid t 1 respektive t 2, och V g (y) är partikelns lägesenergi. Bevis. Enligt def. 8.2 gäller U 1 2 = = t2 t 1 Fg vdt = { ekv. (6.8) } t2 t 1 = mg = mg mgē y (ẋē x + ẏē y + żē z )dt t2 t 1 y2 y 1 dy dt dt = { subst. y = y(t), dy = dy dt dt} dy = mg(y 2 y 1 ) = { def. 8.7 } = [V g (y 2 ) V g (y 1 )]. y y 1 y 2 t 1 x P t mḡ Figur 8.5: Geometri för tyngdkraftens arbete på en partikel P. v g t 2 Fjädrar, till exempel spiralfjädrar (fig. 8.6), kan användas för att lagra mekanisk energi. Den kraft som en fjäder utvecklar är konservativ. Definition 8.9 (Elastisk energi för linjär fjäder). Den elastiska energin för en linjär fjäder med fjäderkonstanten k och den naturliga längden l 0 (fig. 1.5), definieras som Figur 8.6: Tryckfjädrar (foto G. Carena). V e (l) 1 2 k(l l 0) 2, (8.11) där l betecknar fjäderns aktuella längd. Om man låter δ = l l 0 beteckna fjäderns förlängning kan den elastiska energin skrivas V e = 1 2 kδ2. (8.12) Sats 8.10 (Fjäderkraftens arbete). En linjär fjäder är fäst mellan den rumsfixa punkten O och en partikel P så att partikeln påverkas av fjäderkraften F e mellan tiderna t 1 och t 2. Fjäderkraftens arbete på P är då U 1 2 = [V e (l 2 ) V e (l 1 )], (8.13) där l 1 och l 2 är fjäderns längd vid t 1 respektive t 2, och V e (l) är fjäderns elastiska energi.

effekt, arbete och energi 59 P t 2 t 2 t ē θ ē r P k(r l 0 ) Figur 8.7: Geometri för en fjäderkrafts arbete på en partikel P. O k, l 0 l l y r 2 O θ x l 1 t 1 t 1 Bevis. Inför att polärt koordinatsystem med origo O. Fjäderkraften skrivs då F e = k(r l 0 )ē r där k är fjäderkonstanten och l 0 fjäderns naturliga längd. Enligt def. 8.2 gäller U 1 2 = = t2 t 1 Fe vdt = { ekv. (6.15) } t2 = k = k t 1 t2 [ 1 = k k(r l 0 )ē r (ṙē r + r θē θ )dt (r l 0 ) dr dt dt = { subst. u = r l 0, du = dr dt dt} t 1 r(t2) l 0 r(t 1) l 0 udu = { r(t 1 ) = l 1, r(t 2 ) = l 2 } 2 u2 ] l2 l 0 l 1 l 0 [ 1 = 2 k(l 2 l 0 ) 2 1 ] 2 k(l 1 l 0 ) 2 = [V e (l 2 ) V e (l 1 )]. = { def. 8.9 } 8.5 Mekaniska energisatsen med potentialer Tyngdkraftens och fjäderkrafternas arbete kan beräknas m.h.a. deras respektive potentialer V g och V e. Övriga krafters arbete måste beräknas direkt utifrån ekv. (8.3). Mekaniska energisatsen skrivs om enligt följande: F g t 1 k, l 0 t m t2 µ k Figur 8.8: En partikel rör sig under påverkan av gravitation, fjäderkrafter samt övriga krafter Σ F, där de senare inbegriper t.ex. friktionskraften och den externa kraften F. Betrakta en partikel P med hastigheten v, som påverkas av tyngdkraften F g, den elastiska kraften F e och övrig kraftpåverkan Σ F mel-

60 statik och dynamik lan tiderna t 1 och t 2 (fig. 8.8). Enligt sats 8.6 gäller t2 t2 t 1 Fg vdt + t2 t 1 ( F g + F e + Σ F ) vdt = T 2 T 1 t 1 Fe vdt + (V g2 V g1 ) (V e2 V e1 ) + t2 t 1 Σ F vdt = T 2 T 1 t2 t 1 Σ F vdt = T 2 T 1, (8.14) där vi använde satserna 8.8 och 8.10. Genom att låta ΣU 1 2 = t2 t 1 Σ F vdt beteckna arbetet utfört av alla krafter utom tyngdkraft och elastisk kraft kan ekv. (8.14) skrivas om enligt ΣU 1 2 = (V g2 V g1 ) + (V e2 V e1 ) + (T 2 T 1 ). (8.15) Vid problemlösning bestämmer man vänster led i ekv. (8.15) med hjälp av ekv. (8.3) medan högerled bestäms med definitionerna för lägesenergi, elastisk energi och rörelseenergi.

9 Rörelsemängd och rörelsemängdsmoment 9.1 Rörelsemängd och impuls Definition 9.1 (Rörelsemängd). Rörelsemängden hos en partikel med massan m och hastigheten v definieras (fig. 9.1) Ḡ m v. (9.1) SI-enheten för rörelsemängd har inget eget namn utan uttrycks i härledda enheter: 1 N s = 1 kg m/s. För en konstant massa m gäller dḡ/dt = mā, så att kraftlagen för partiklar kan skrivas Σ F = dḡ dt. (9.2) Om en kraftsumma verkar på en partikel över tid kommer partikeln att ändra sin rörelsemängd enligt den så kallade impulslagen: Sats 9.2 (Impulslagen). Om en partikel påverkas av en kraftsumma Σ F mellan tidpunkterna t 1 och t 2 gäller t2 t 1 Σ F dt = Ḡ2 Ḡ1, (9.3) där Ḡ1 och Ḡ2 är partikelns rörelsemängd vid tiderna t 1 respektive t 2. Bevis. Vi utgår från kraftlagen på komponentform för ett rektangulärt inertialsystem. För x-riktningen gäller enligt ekv. (9.2) att dḡ dt m ā v Figur 9.1: Riktningarna hos rörelsemängden och dess tidsderivata sammanfaller med hastigheten respektive accelerationen för en partikeln. Ḡ ΣF x = dg x dt ΣF x dt = dg x { sats D.2 } t2 t 1 ΣF x dt = G2x G 1x dg x ] G2x = [G x G 1x = G 2x G 1x. Analoga samband erhålles för y- och z-riktningen, vilket medför att t2 t 1 Σ F dt = Ḡ2 Ḡ1.

62 statik och dynamik Tidsintegralen i impulslagens vänsterled kallas impulsen av kraftsumman. Definition 9.3 (Impuls av en kraft). En kraft F med angreppspunkt P som verkar mellan tidpunkterna t 1 och t 2 ger en impuls L t2 t 1 F dt, (9.4) med angreppspunkt P. Om flera krafter F i, i = 1,..., n, bidrar till kraftsumman på en partikel under tidsintervallet t 1 t t 2 ger krafterna var sin impuls L i. Impulslagen, ekv. (9.3), kan i så fall skrivas t2 t 1 Σ F dt = n i=1 t2 t 1 Fi dt = n L i = Ḡ2 Ḡ1. (9.5) i=1 9.2 Rörelsemängdsmoment Definition 9.4 (Rörelsemängdsmoment). För en partikel P med massan m och hastigheten v definieras rörelsemängdsmomentet m.a.p. en godtycklig punkt A av H A r m v, (9.6) där r = AP. m v ϕ P r d A r m v H A = r m v ϕ Figur 9.2: En partikel med rörelsemängden Ḡ = m v ger ett rörelsemängdsmoment H A m.a.p. A. Riktningen hos H A ges av högerhandsregeln och beloppet av H A är H A = r m v = r m v sin ϕ = mvd, (9.7) där ϕ är vinkeln mellan r och m v och d = r sin ϕ är det vinkelräta avståndet från A till den linje som definieras av partikelns läge och hastighet (fig. 9.2). Sats 9.5 (Momentlagen). För en partikel P som påverkas av en kraftsumman Σ F gäller Σ M D = d H D dt, (9.8) där D är en rumsfix punkt, Σ M D = DP Σ F är momentsumman på partikeln m.a.p. D, och H D är rörelsemängdsmomentet m.a.p. D.

rörelsemängd och rörelsemängdsmoment 63 Bevis. Välj koordinatsystem med origo i D. Låt m vara partikelns massa och låt r = DP. Enligt def. 9.4 gäller d H D dt = d dt ( r m v) = { produktregeln } = d r m v + r md v dt dt = { def. 6.2 och 6.3 } = v m v + r mā = r mā = { kraftlagen } = r Σ F = Σ M D. Genom att integrera momentlagen m.a.p. tiden erhåller man impulsmomentlagen. Sats 9.6 (Impulsmomentlagen). Om en partikel P påverkas av en kraftsumma Σ F mellan tidpunkterna t 1 och t 2, och om D är en rumsfix punkt, gäller t2 t 1 Σ M D dt = H D2 H D1, (9.9) där Σ M D = DP Σ F är momentsumman på partikeln m.a.p. D, och H D1 och H D2 är partikelns rörelsemängdsmoment m.a.p. D vid tiderna t 1 respektive t 2. Bevis. Vi utgår från momentlagen (9.8) på komponentform för ett rektangulärt inertialsystem. För x-riktningen gäller ΣM Dx = dh Dx dt ΣM Dx dt = dh Dx { sats D.2 } t2 t 1 ΣM Dx dt = HD2x dh Dx H D1x ] HD2x = [H Dx H D1x = H D2x H D1x. Analoga samband erhålles för y- och z-riktningen, vilket medför att t2 t 1 Σ M D dt = H D2 H D1. Rörelsemängdsmoment vid plan rörelse Vid plan rörelse kommer hastighetsvektorn v för en partikel P med massan m att ligga i ett givet referensplan med normalen ē n. Enligt def. 9.4 är partikelns rörelsemängdsmoment m.a.p. en punkt A

64 statik och dynamik i referensplanet H A = AP m v. Eftersom både AP och v ligger i referensplanet gäller H A = H A ē n med H A = ± AP m v = { ekv. (B.12) } = ±m AP v sin ϕ där ϕ är vinkeln mellan AP och v (fig. 9.3). Vi låter d = AP sin ϕ vara avståndet från A till den linje som definieras av punkten P och hastighetsvektorn. Då följer det att H A = ±mvd. (9.10) Rörelsemängdsmomentets riktning ges som förut av högerhandsregeln (jfr kraftmoment, stycke 2.4). Det moturs orienterade rörelsemängdsmomentet H A som avbildas i fig. 9.3 är riktat i ē z -riktningen. Om vi väljer referensplanets normal som ē n = ē z kommer detta rörelsemängdsmoment H A, och alla moturs orienterade rörelsemängdsmoment, att ha ett positivt tecken i sin skalära representation. Medurs orienterade rörelsemängdsmoment får negativt tecken. Det omvända gäller om vi skulle välja ē n = ē z. ēz ē y m v ē x ϕ P AP d = AP sin ϕ A Figur 9.3: Geometri för rörelsemängdsmoment vid plan rörelse med xy-planet som referensplan. 9.3 Partikelsystem Ett partikelsystem består av flera partiklar med olika massor och banor: Definition 9.7 (Partikelsystem). Ett partikelsystem är en mängd partiklar P i, i = 1,..., n, med massorna m i, lägesvektorerna r i och hastigheterna v i (fig. 9.4). v 1 P 1 v i Definition 9.8 (Rörelsemängd för partikelsystem). Ett partikelsystem, med beteckningar som i def. 9.7, har rörelsemängden z y x r i P i P n ΣḠ n i=1 m i v i. (9.11) Definition 9.9 (Rörelsemängdsmoment för partikelsystem). Ett partikelsystem, med beteckningar som i def. 9.7, har ett rörelsemängdsmoment m.a.p. en godtycklig punkt A som definieras v n Figur 9.4: System av n olika partiklar P i, i = 1,..., n. Σ H A n AP i m i v i. (9.12) i=1 Betrakta ett system av partiklar, P 1,..., P n. Parvis växelverkan mellan partiklar inom ett partikelsystem ger upphov till så kallade inre krafter. Växelverkan med föremål i partikelsystemets omgivning, inklusive jordens gravitation, ger upphov till yttre krafter (fig. 9.5). Låt summan av inre krafter på partikel P i betecknas F i I, och låt summan av yttre krafter på P i betecknas F i Y (fig. 9.6). Enligt reaktionslagen och postulat 7.1 bildar varje parvis växelverkan inom partikelsystemet ett

rörelsemängd och rörelsemängdsmoment 65 g systemgräns P i yttre kraft inre kraft reaktionskraft Figur 9.5: Parvis växelverkan mellan partiklar inom ett partikelsystem ger upphov till inre krafter. Växelverkan med omgivningen ger yttre krafter. kraftpar med kraftparsmomentet noll, så att systemet av inre krafter bildar ett nollsystem: n F i I = 0, i=1 n AP i F i I = 0, (9.13) i=1 för varje momentpunkt A. A F Y i F I i P i Sats 9.10 (Impulslagen för partikelsystem). Ett partikelsystem, som påverkas av en summa Σ F Y av yttre krafter mellan tiderna t 1 och t 2, gäller t2 t 1 Σ F Y dt = ΣḠ2 ΣḠ1, (9.14) Figur 9.6: Partikeln P i påverkas av en inre kraftsumma F I i och en yttre kraftsumma F Y i. Jfr fig. 9.5. där ΣḠ1 och ΣḠ1 är partikelsystemets rörelsemängd vid tiderna t 1 respektive t 2. Bevis. Låt inre och yttre krafter på partikel P i betecknas F i I respektive F i Y (fig. 9.6). Impulsekvationen (9.3) ger t2 I F i + F i Y dt = Ḡi(t 2 ) Ḡi(t 1 ), i = 1,..., n. t 1 Summering över i ger n t2 I F i + F i Y dt = t 1 t2 t 1 i=1 n i=1 F I i }{{} = 0 + n i=1 F Y i }{{} =Σ F Y t2 n Ḡ i (t 2 ) i=1 n Ḡ i (t 1 ) i=1 dt = ΣḠ2 ΣḠ1 t 1 Σ F Y dt = ΣḠ2 ΣḠ1, där summan av inre krafter är 0 eftersom de inre krafterna bildar ett nollsystem. Sats 9.10 är giltig även då partiklarna kolliderar med varandra så att värme utvecklas och mekanisk energi går förlorad. Ett särskilt viktigt fall uppstår när man identifierar ett partikelsystem som inte påverkas av några yttre krafter, Σ F Y = 0. I sådana fall bevaras rörelsemängden för partikelsystemet: ΣḠ2 = ΣḠ1. (9.15)

66 statik och dynamik Sats 9.11 (Impulsmomentlagen för partikelsystem). Ett partikelsystem, som påverkas av en summa Σ M D Y av yttre kraftmoment m.a.p. en rumsfix punkt D mellan tiderna t 1 och t 2, gäller t2 t 1 Σ M Y D dt = Σ H D2 Σ H D1, (9.16) där Σ H D1 och Σ H D2 är partikelsystemets rörelsemängdsmoment m.a.p. D vid tiderna t 1 respektive t 2. Bevis. Låt inre och yttre krafter på partikel P i betecknas F i I respektive F i Y (fig. 9.6). Impulsmomentekvationen (9.9) ger t2 t 1 DP i ( F I i + F Y i )dt = H Di (t 2 ) H Di (t 1 ), i = 1,..., n, där H Di betecknar rörelsemängdsmomentet för partikel i m.a.p. D. Summering över i ger n t2 DP i F i I + DP i F n n i Y dt = H Di (t 2 ) H Di (t 1 ) i=1 t 1 i=1 i=1 t2 n DP i F n i I + DP i F i Y dt = Σ H D2 Σ H D1 t 1 i=1 } {{ } = 0 i=1 } {{ } =Σ M Y D t2 t 1 Σ M Y D dt = Σ H D2 Σ H D1, där summan av inre kraftmoment är 0 eftersom de inre krafterna bildar ett nollsystem. Ett viktigt specialfall av sats 9.11 uppstår när man kan identifiera en rumsfix punkt D sådan att Σ M D Y = 0. I sådana fall bevaras rörelsemängdsmomentet för partikelsystemet m.a.p. D: Σ H D2 = Σ H D1. (9.17)

10 Stötar Kollisioner mellan partiklar, eller kollisioner mellan en partikel och ett jordfast föremål är exempel på stötar. Stötar kan leda till värmeutveckling (fig. 10.1). Trots denna komplikation går det att i vissa avseenden förutsäga stötförloppet. 10.1 Stötar mellan partiklar Vi tänker oss att två partiklar, P och Q, kolliderar med varandra. Deras hastigheter kommer att genomgå stor förändring på relativt kort tid. Denna process kallas stöt. Figur 10.1: Stötar är plötsliga utbrott av kraftig växelverkan, vilket kan leda till utveckling av värme. (teckning, NASA) Rörelsemängdens bevarande En sammanstötningen mellan P och Q antas äga rum inom ett tidsintervall 0 t t. Vi låter v P och v Q beteckna partiklarnas respektive hastigheter före stöten, vid t = 0, medan v P och v Q betecknar hastigheterna efter stöten, vid t = t (fig. 10.2). Framledes används prim-symbolen för att beteckna storheter omedelbart efter en stöt. m P precis före under precis efter v P Figur 10.2: Stöt mellan två partiklar, P och Q. v P A v Q v Q m Q Partikelsystemets rörelsemängd före respektive efter stöten är ΣḠ = m P v P + m Q v Q, ΣḠ = m P v P + m Q v Q, där m P och m Q är partiklarnas massor. Enligt impulslagen för partikelsystem, sats 9.10, gäller t 0 Σ F Y dt = ΣḠ ΣḠ,

68 statik och dynamik där Σ F Y är summan av yttre krafter på partiklarna. I en momentan stötmodell 24 för ett tvåpartikelsystem antar man att tiden t för stöten är tillräckligt kort för att impulsen på partikelsystemet, från t.ex. gravitationen, ska kunna försummas: 24 Benämns även momentan stöt. t 0 Σ F Y dt = 0. Huruvida en sådan approximation är rimlig måste värderas i varje enskilt fall. En konsekvens av den momentana stötmodellen är att partikelsystemets rörelsemängd bevaras vid stöten: ΣḠ = ΣḠ. (10.1) Rak central stöt Vid en rak central stöt färdas två partiklar, P och Q, längs samma räta linje både före och efter stöten. Vi inför en x-koordinat längs rörelselinjen och låter v P och v Q beteckna respektive partikels hastighet i x-riktningen precis före stöten, samt låter v P och v Q beteckna partiklarnas hastigheter precis efter stöten (fig. 10.3). Vi inför en momentan stötmodell så att rörelsemängden bevaras under stöten, ΣG = ΣG. Således gäller : m P v P + m Q v Q = m P v P + m Q v Q. (10.2) Med den momentana stötmodellen har det ingen betydelse om andra krafter, t.ex. fjäderkrafter eller tyngdkraften, påverkar partiklarna under stöten eftersom man försummar deras impuls. precis före v P vq A m P m Q x under x precis efter v P v Q m P m Q x Figur 10.3: Rak central stöt där två partiklar, P och Q, stöter samman och rör sig längs en rät linje. Om partiklarnas massor och hastigheter före en rak central stöt är kända, kan man ändå inte räkna ut vilka hastigheter partiklarna har efter stöten med ekv. (10.2), eftersom en ekvation inte räcker för att bestämma de två obekanta, v P och v Q. Ytterligare ett samband krävs för att resultatet av stöten ska kunna beräknas. Empiriskt samband 10.1 (Stöttal). Vid en rak central stöt mellan två partiklar P och Q, vars hastigheter före stöten är v P respektive v Q och efter stöten är v P respektive v Q, gäller e = v Q v P v Q v P, (10.3) där konstanten e är stöttalet.

stötar 69 Det gäller att 0 e 1. Om partikelsystemets energi bevaras under stöten sägs stöten vara elastisk och stöttalet blir e = 1. Om stöttalet är e = 0 sägs stöten vara plastisk. Om stöttalet är givet bildar ekv. (10.2) tillsammans med ekv. (10.3) ett ekvationssystem som är lösbart m.a.p. v P och v Q. Sned stöt Vi tänker oss nu att två kroppar kolliderar med varandra i en mer generell geometri, så att kropparna infaller i vinkel mot varandra. I de flesta fall kommer en sådan stöt att försätta kropparna i rotation, så att det inte är lämpligt att betrakta dem som partiklar. Det finns dock speciella fall där en partikelmodell kan tillämpas. Betrakta två partiklar, P och Q, som kolliderar så att partiklarna slås samman och fortsätter längs en gemensam bana (fig. 10.4). Hastigheten för partiklarna efter stöten är i så fall v P = v P = v. Vi inför en momentan stötmodell så att rörelsemängden bevaras under stöten, ΣḠ = ΣḠ: (m P + m Q ) v }{{} ΣḠ efter = (m P v P + m Q v Q ) }{{} ΣḠ före, (10.4) med beteckningar enligt fig. 10.4. Kännedom om partiklarnas hastigheter, v P och v Q, före stöten räcker då för att bestämma den gemensamma hastigheten v efter stöten. m P v P precis före A under precis efter m P + m Q v Figur 10.4: Sned central stöt där två partiklar, P och Q, stöter ihop så att partiklarna slås samman och fortsätter längs en gemensam bana. m Q v Q g P stöt 10.2 Stötimpuls Betrakta en partikel P, som kolliderar med en annan kropp, som inte behöver vara en partikel. Precis som vid en stöt mellan partiklar kommer P:s hastighet att ändras mycket under kort tid. Enligt kraftlagen måste en snabb hastighetsförändring innebära att kraftsumman på partikeln är mycket stor under själva stöten. Betrakta ett stötförlopp med början vid tiden t = 0 och slut vid tiden t = t. Låt partikel P:s rörelsemängd före stöten vara Ḡ = m v, och rörelsemängden efter stöten Ḡ = m v. Impulslagen, ekv. (9.3), för en partikel ger t F s dt + 0 } {{ } = L s t F 1 dt 0 } {{ } = L 1 t + + F n dt 0 } {{ } = L n = Ḡ Ḡ, (10.5) F v stötmodell stöt mḡ L s = t 0 (a) F s (t) F s dt (b) (c) Figur 10.5: (a) Exempel på tillämpning av stötmodell. (b) Flera krafter, luftmotstånd F v, gravitation mḡ och stötkraften F s, verkar på en tennisboll under slaget. (c) I en momentan stötmodell försummas alla impulser utom L s från stötkraften

70 statik och dynamik där F s betecknar den kontaktkraft som verkar på P under stöten, medan F i, i = 1,..., n är övriga krafter som verkar på P. Med en momentan stötmodell antar man tiden t för stötförloppet är tillräckligt kort för att alla impulser under stötförloppet utom stötimpulsen L s kan försummas, så att L s = Ḡ Ḡ. (10.6) Stötimpulsen antas alltså ensam vara ansvarig för den plötsliga rörelsemängdsändringen hos P. Denna approximation är lämplig då L s L i, i = 1,..., n, vilket är liktydigt med att stötkraftens belopp är mycket större övriga krafters belopp under stöten.

11 Svängningsrörelse 11.1 Fria svängningar Odämpade system Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett horisontellt underlag. En linjär fjäder med fjäderkonstanten k är fäst mellan vagnen och en fix vägg (fig. 11.1). Vidare beskrivs vagnens läge längs underlaget av en x-koordinat, sådan att x = 0 då fjädern är obelastad. Eftersom x i detta fall är identisk med fjäderns förlängning l l 0 är fjäderkraften F e = kx. Vid friläggning ska kraften på vagnen från fjädern ha den kraftriktning som gäller då x > 0. k x m g kx N mg Figur 11.1: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av en fjäder och utför harmonisk svängningsrörelse när den störs ur sitt jämviktsläge. Eftersom rörelsen är begränsad till x-riktningen är vagnens acceleration ā = ẍē x, så att kraftlagen i x-riktningen ger : kx = mẍ ẍ + k m x = 0 ẍ + ω 2 nx = 0, (11.1) där ω n benämns den naturliga vinkelfrekvensen, vilken i just detta exempel är ω n = k/m. Lösningen till ekv. (11.1) hittar man genom att ansätta x = A cos(ω n t) + B sin(ω n t), (11.2) där A och B är godtyckliga reella konstanter. Vi deriverar denna ansatta lösning m.a.p. tiden och får ẋ = ω n A sin(ω n t) + ω n B cos(ω n t) ẍ = ω 2 na cos(ω n t) ω 2 nb sin(ω n t).

72 statik och dynamik Genom insättning av x och ẍ kan vi konstatera att ekv. (11.1) är uppfylld för varje val av A och B. Således beskriver ekv. (11.2) vagnens rörelse. Konstanterna A och B beror på systemets begynnelsevillkor x(0) och ẋ(0). Den fria odämpade svängningen, som beskrivs av ekv. (11.2), kallas harmonisk svängningsrörelse och har alltid liknande karaktär, vilket illustreras med ett exempel i fig. 11.2. C x τ = 2π/ω n t Figur 11.2: Exempel på rörelse för fria odämpade svängningar med givna randvillkor x(0) och ẋ(0). Kurvans amplitud är C och dess period är τ = 2π/ω n. ẋ(0) x(0) C Partikeln svänger med vinkelfrekvensen ω n och en konstant amplitud C kring ett jämviktsläge, där kraftsumman på partikeln är noll. Perioden, alltså tiden mellan två maxima hos svängningsrörelsen, ges av τ = 2π ω n. (11.3) Amplituden för en harmonisk svängningsrörelse är halva topp-till-toppvärdet hos x(t), Det framgår direkt från ekv. (A.6) och (A.7) att en harmonisk funktion x(t) = X 0 + A cos(ω n t) + B sin(ω n t), där X 0, A, B och ω n är konstanter, kan skrivas x(t) = X 0 + C sin(ω n t + ψ), där C är amplituden och ψ är fasvinkeln: C = arctan B A, A > 0 A 2 + B 2, ψ = arctan B A + πsgn(b), A < 0 (11.4) π 2 sgn(b), A = 0, där sgn( ) betecknar teckenfunktionen. Dämpade system En ideal odämpad fri svängning kommer att fortgå med samma amplitud för all framtid. I alla verkliga fritt svängande system minskar amplituden efter hand, så att svängningen slutligen dör ut. Detta fenomen kallas dämpning och beror typiskt på värmeförluster, t.ex. friktion eller luftmotstånd. I konstruktioner används dämpare för att begränsa amplituden hos svängningar och vibrationer. Dessa består av en cylinder fylld med vätska eller gas, och en kolv med kanaler så att värme

svängningsrörelse 73 fäste gas/vätska kolv kanal fäste Figur 11.3: Exempel på en realisering av en dämpare. Kolvens rörelse hindras av vätska eller gas, som måste passera kanaler i kolven. utvecklas då vätskan tvingas flöda genom kanalerna under kolvens rörelse (fig. 11.3). Figur 11.4 visar en frilagd linjär dämpare där varpå en kraft F d verkar i vardera änden. Dämparen har en aktuell längd l och en dämpningskoefficient c med enheten N s/m. Dämpkraften är F d = c l, (11.5) F d c l F d Figur 11.4: Friläggning av ideal dämpare, där F d = c l. där l är dämparens förlängning per tidsenhet. Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett horisontellt underlag. En linjär fjäder med fjäderkonstanten k och en linjär dämpare med dämpningskoefficienten c är fästa mellan vagnen och en rumsfix vägg (fig. 11.5). Vidare beskrivs vagnens läge längs underlaget av en x-koordinat, så att x = 0 då fjädern är obelastad. Eftersom ẋ är identisk med dämparens förlängning per tidsenhet är dämpningskraften F d = cẋ. Vid friläggning ska kraften på vagnen från dämparen ha den kraftriktning som gäller då ẋ > 0. k c x m g kx cẋ N mg Figur 11.5: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av en fjäder och en dämpare. Vid störning från jämviktsläget utför vagnen dämpad svängningsrörelse. Eftersom vagnens acceleration ges av ā = ẍē x, ger kraftlagen i x- riktningen att : kx cẋ = mẍ ẍ + c mẋ + k m x = 0 ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = 0, (11.6) 25 Att ekvationen är homogen betyder att alla termer innehåller x, ẋ eller ẍ. där ω n är den naturliga vinkelfrekvensen och ζ är dämpningsförhållandet. I vårt exempel är ω n = k/m och ζ = c/(2mω n ). Ekvation (11.6) är en homogen 25 andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Lösningens form beror på dämpningsförhållandet enligt följande: 26 26 R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman, Ae ωnt(ζ ζ 2 1) + Be ωnt(ζ+ ζ 2 1), ζ > 1 Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0- x(t) = (A + Bt)e 201-39607-2 ωnt, ζ = 1 (11.7) [A cos(ω d t) + B sin(ω d t)] e ζωnt, ζ < 1,

74 statik och dynamik där ω d = ω n 1 ζ2. Det finns alltså dämpade system av tre skilda typer som benämns överdämpade (ζ > 1), kritiskt dämpade (ζ = 1) och underdämpade (ζ < 1). Notera speciellt att när ζ = 0 är systemet underdämpat (ζ < 1) och vi erhåller samma uttryck för rörelsen som vid odämpad svängning, ekv. (11.2). De tre typerna av dämpad fri svängningsrörelse illustreras i fig. 11.6. x 0 0 x ζ = 3 ζ = 1 ζ = 1/8 t Figur 11.6: Exempel på fria svängningar för dämpade system med begynnelsevillkoren x(0) = x 0 och ẋ(0) = 0: överdämpat (punktad), kritiskt dämpat (streckad) och underdämpat (heldragen). I det överdämpade och det kritiskt dämpade fallet kommer systemet att återvända till jämviktläget utan att oscillera, vilket är uppenbart från lösningens form, som inte innehåller någon harmonisk funktion. För det underdämpade fallet observeras en oscillation, som avklingar mot noll med jämvikt i slutskedet. 11.2 Påtvingade svängningar Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett horisontellt underlag, och som är kopplad till en fjäder och en dämpare på precis samma sätt som för fria dämpade svängningar ovan. Låt vidare en kraft F (t) verka på vagnen (fig. 11.7). k c x m F (t) g kx cẋ N mg F (t) Figur 11.7: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av en fjäder och en dämpare, och en kraft F (t) tvingar vagnen i rörelse. Kraftlagen för vagnen i x-riktningen ger : kx cẋ + F (t) = mẍ ẍ + c mẋ + k m x = 1 m F (t) ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = f(t), (11.8) där högerledet är en funktion f(t) = F (t)/m. Ekvation (11.8) är en inhomogen andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Den allmänna lösningen till differentialekvationen (11.8) kan skrivas på formen x(t) = x h (t) + x p (t), (11.9)

svängningsrörelse 75 där x h kallas homogenlösningen och x p kallas partikulärlösningen. Homogenlösningen x h är lösningen till den homogena motsvarigheten till ekv. (11.8), vilken är identisk med ekv. (11.6) för fria dämpade svängningar. Homogenlösningen ges därmed av ekv. (11.7), som exemplifieras för olika värden för ζ i fig. 11.6. Alla homogenlösningar avklingar mot 0 eftersom de för varje ζ > 0 domineras av en exponentiellt avtagande faktor: x h (t) 0 då t. Alltså kommer en påtvingad dämpad svängning, efter tillräckligt lång tid, att beskrivas av partikulärlösningen: x(t) = x h (t) + x p (t) x p (t) då t. Eftersom homogenlösningen dör ut medan partikulärlösningen kvarstår är partikulärlösningen av särskilt intresse vid påtvingad svängning. Vi begränsar oss fortsättningsvis till det vanligt förekommande fall då den tvingande kraften är en harmonisk funktion, t.ex. F (t) = F 0 sin(ωt). Innan vi fortsätter med vår analys betraktar vi en lösning till ekv. (11.8) för ett specifikt fall: ζ = 1/8 och ω = 5 2 ω n med begynnelsevillkoren x(0) = x 0 och ẋ(0) = 0, som illustreras i fig. 11.8. Vi observerar ett inledande aperiodiskt förlopp som kallas transient. Rörelsen övergår i ett periodiskt förlopp, som motsvarar partikulärlösningen med vinkelfrekvensen ω och amplituden C p. Vi önskar bestämma denna kvarstående amplitud C p. x 0 C p 0 C p x 2π ω x = x h + x p x p t Figur 11.8: Exempel på tvingade svängningar för ett dämpat system med beginnelsevillkoren x(0) = x 0 och ẋ(0) = 0. Efter en transient domineras rörelsen av partikulärlösningen (punktad linje) med amplituden C p. Definition 11.1 (Förstärkningsfaktor). För ett svängande system med den naturliga vinkelfrekvensen ω n och dämpningsförhållandet ζ definieras förstärkningsfaktorn som 1 M(ω) (1 ω 2 /ωn) 2 2 + (2ζω/ω n ) 2, (11.10) där ω betecknar vinkelfrekvensen för en periodisk yttre kraft. Då endast partikulärlösningen återstår visar det sig att amplituden hos en påtvingad svängningsrörelse är proportionell mot förstärkningsfaktorn M(ω). Detta fastställs i följande sats:

76 statik och dynamik Sats 11.2. För ett svängande system som beskrivs av differentialekvationen ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = a 0 + a sin(ωt + ψ), där ω n > 0, ω > 0, ζ > 0, a 0, a och ψ är konstanter, är partikulärlösningen en harmonisk funktion med amplituden C p = a ω 2 n M(ω), (11.11) där M(ω) är förstärkningsfaktorn. Bevis. Vi ansätter en harmonisk funktion som partikulärlösning: x p = X 0 + C p sin(ωt + φ), där X 0 och φ är konstanter. Insättning av partikulärlösningen och dess tidsderivator i differentialekvationen ger ω 2 C p sin(ωt+φ)+2ζωω n C p cos(ωt+φ)+ω 2 nc p sin(ωt+φ)+ω 2 nx 0 = a 0 +a sin(ωt+ψ). (11.12) Eftersom detta ska gälla för alla t får vi ω 2 nx 0 = a 0, vilket subtraheras från ekv. (11.12). Division av ekv. (11.12) med ω 2 nc p ger 2ζ ω cos(ωt + φ) + (1 ω2 ω n ω 2 n Substitutionen θ = ωt + φ ger 2ζ ω cos θ + (1 ω2 ω n ω 2 n ) sin θ = ) sin(ωt + φ) = a ω 2 nc p sin(θ φ + ψ). a ω 2 nc p sin(ωt + ψ). Enligt ekv. (A.6) kan denna ekvation satisfieras. Eftersom amplituden skall vara lika i vänster och höger led ger ekv. (A.7) att (2ζω/ωn ) 2 + (1 ω 2 /ω 2 n) 2 = a ωnc 2 C p = a p ωn 2 M(ω). För en harmonisk kraft F (t) = F 0 sin(ωt), som verkar på det dämpade systemet i fig. 11.7, får vi f(t) = F 0 m sin(ωt). I sats 11.2 kan vi identifiera a = F 0 /m, så att partikulärlösningens amplitud ges av C p = a ω 2 n M(ω) = F 0 m M(ω) = F 0 k k M(ω). m Amplituden beror alltså av en karaktäristisk längd F 0 /k och förstärkningsfaktorn.

svängningsrörelse 77 Resonans Förstärkningsfaktorns betydelse för påtvingade svängningars amplitud gör det intressant att undersöka dess frekvensberoende. I fig. 11.9 är grafen för M(ω) återgiven för olika dämpningsförhållanden ζ = {3, 1, 1/8, 0}, där ζ = 0 motsvarar ett odämpat system. Vi noterar först att M(ω) 1 då ω 0, för alla ζ. Vid mycket långsamma svängningar har alltså dämpade och odämpade system samma förstärkningsfaktor och följaktligen samma svängningsamplitud. Det beror på att kraften från dämparen går mot noll för långsamma rörelser, så att dämparen inte längre påverkar systemet. I det överdämpade (ζ > 1) och det kritiskt dämpade fallet (ζ = 1) i fig. 11.9 avtar förstärkningsfaktorn med vinkelfrekvensen. Snabba svängningar dämpas alltså effektivare än långsamma. I det underdämpade fallet (ζ < 1) har M(ω) ett maximum vid ω = ω n. Det betyder att svängningsrörelsens amplitud blir mycket stor just när ω = ω n. Detta fenomenen kallas resonans och den naturliga vinkelfrekvensen benämns därför även resonansfrekvensen. M(ω) 8 6 4 2 ζ = 3 ζ = 1 ζ = 1/8 ζ = 0 0 0 1 2 3 ω ω n Figur 11.9: Förstärkningsfaktorn för olika vinkelfrekvenser ω och olika värden av ζ. Vibrationer Vi fortsätter med att undersöka rörelsen hos en vagn som är kopplad till en fjäder med obelastade längden l 0 och en dämpare. I detta fall störs vagnen ur sitt jämviktsläge på grund av vibrationer vid fjäderns ena infästningspunkt A, vars läge är en på förhand given funktion x A (t) (fig. 11.10). c m x g k, l 0 A x A cẋ N mg F e Figur 11.10: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av en fjäder och en dämpare, och läget x A för infästningen till fjädern oscillerar så att vagnen sätts i rörelse. Med storheter definierade som i fig. 11.10 kommer fjäderns längd att i varje ögonblick vara l = l 0 + x A x. Således ges fjäderkraften av uttrycket F e = k(l l 0 ) = k(x A x). Kraftlagen för vagnen i x-riktningen ger att : k(x A x) cẋ = mẍ ẍ + c mẋ + k m x = k m x A ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = f(t),

78 statik och dynamik där f(t) = kx A (t)/m. Exakt samma typ av differentialekvation uppstår alltså då systemets tvingas i rörelse av en vibration, som när det tvingas i rörelse av en kraft. Vid en harmoniska vibration, x A (t) = b sin(ωt), får vi f(t) = kb m sin(ωt) för anordningen i fig. 11.10. I sats 11.2 kan vi identifiera a = kb/m, så att partikulärlösningens amplitud blir: C p = a ω 2 n M(ω) = kb m M(ω) = bm(ω), k m Ännu en gång kan man notera förstärkningsfaktorns avgörande betydelse för svängningsrörelsens amplitud. Vi kan förvänta oss resonans när ω = ω n.

Del III Stelkroppsdynamik

12 Plan kinematik Kinematik är läran om rörelsens geometri, utan att orsaken till rörelsen beaktas. Detta kapitel ägnas åt stelkroppars rörelse, begränsad till ett plan. 12.1 Stelkroppars rörelse i planet Enligt def. 1.1 är en stelkropp en kropp sådan att avståndet mellan varje par av materiepunkter i kroppen är konstant. Stelkroppen kan alltså inte deformeras. För plan rörelse gäller följande: Definition 12.1 (Plan rörelse). En stelkropp beskriver plan rörelse om det existerar ett plan, kallat referensplanet, sådant att varje kroppsfix punkt rör sig parallellt med detta plan. P v P a P ē n Detta innebär att varje kroppsfix punkt P i en stelkropp i plan rörelse har en hastighet v P och en acceleration ā P, som båda är parallella med referensplanet (fig. 12.1). Om ē n betecknar referensplanets enhetsnormal har vi v P ē n, ā P ē n. Figur 12.1: Vid plan rörelse är hastighets- och accelerationsvektorerna för varje punkt P parallella med ett referensplan. Translation och rotation Två viktiga specialfall av plan rörelse är translations- och rotationsrörelse. Definition 12.2 (Translationsrörelse). En stelkropp beskriver translationsrörelse om varje kroppsfix punkt har lika hastighet v(t) (fig. 12.2ab). Notera att translationsrörelse, eller kort translation, inte nödvändigtvis behöver innebära rätlinjig rörelse. Till exempel beskriver gondolerna i ett pariserhjul translationsrörelse trots att själva hjulet roterar. Definition 12.3 (Rotationsrörelse). En stelkropp beskriver rotationsrörelse om det existerar en fix axel, kallad rotationsaxel, sådan att varje kroppsfix punkt utför en cirkelrörelse kring denna axel (fig. 12.2c).

82 statik och dynamik (a) (b) (c) Rotationsaxeln kan ligga på eller utanför kroppen. Vid plan rörelse är rotationsaxeln vinkelrät mot referensplanet. Figur 12.2: Specialfall av plan rörelse. (a) Rätlinjig translationsrörelse: varje kroppsfix punkt har samma hastighet och följer parallella räta banor. (b) Kroklinjig translationsrörelse: varje kroppsfix punkt har samma hastighet men följer krökta banor. (c) Rotationsrörelse: varje kroppsfix punkt utför en cirkelrörelse kring en rumsfix axel. Läge och orientering Låt XY Z vara rumsfixa koordinater med den ortogonala basen {ē X, ē Y, ē Z }. Antag att XY -planet valts som referensplan för plan rörelse hos stelkroppen. För att entydigt beskriva stelkroppens läge i planet inför vi ett kroppsfixt rektangulärt koordinatsystem med koordinaterna x, y och z, och med origo beläget i den kroppsfixa punkten P. Det kroppsfixa systemets bas betecknas {ē x, ē y, ē z } där ē x = cos θē X + sin θē Y, (12.1a) ē y = sin θē X + cos θē Y, (12.1b) ē z = ē Z. (12.1c) Y y ē y P ē x θ x Vinkelhastighet och vinkelacceleration ē Y ē Z Här betecknar θ den polära vinkeln för ē x, d.v.s. vinkeln från X-rikt- ningen till x-riktningen. Denna storhet θ beskriver stelkroppens orientering. Stelkroppens läge kan beskrivas fullständigt av r P tillsammans med vinkeln θ (fig. 12.3). Dess rörelse kan därmed beskrivas med funktionerna r P (t) och θ(t). Eftersom θ = θ(t) gäller det att ē x = ē x (t) och ē y = ē y (t) är funktioner av tiden. ē X X r P Figur 12.3: Beskrivning av en stelkropps läge och orientering med ett rumsfixt koordinatsystem XY Z och ett kroppsfixt koordinatsystem xyz. ē z Storheten vinkelhastighet beskriver hur snabbt en stelkropp roterar. Vi kommer genomgående använda enheten rad/s för vinkelhastighet. En annan vanlig enhet är varv/min, som t.ex. används för vinkelhastigheten hos en LP-skiva. Definition 12.4 (Vinkelhastighet i planet). Vinkelhastigheten för en stelkropp i plan rörelse definieras ω θē n, (12.2) där ē n är referensplanets normal och θ(t) är den polära vinkeln för en kroppsfix axel x i referensplanet (fig. 12.3). Vid plan rörelse kan vi alltså skriva ω = ωē n, där ω = θ (fig. 12.4). Det är vanligt att man benämner skalären ω vinkelhastigheten. Vinkelhastighetens vektorriktning kan bestämmas med en variant av högerhandsregeln, enligt fig. 12.5. ω Figur 12.5: Vinkelhastighetens vektorriktning bestäms genom att höger hands fingrar, utom tummen, linjeras med rotationsriktningen. Tummen pekar då i vinkelhastighetens riktning. ω

plan kinematik 83 ω = θ ω ω Figur 12.4: Plan rörelse där vinkeln θ mot en tänkt kroppsfix linje ökar p.g.a. vinkelhastigheten ω. θ θ Sats 12.5. Vinkelhastigheten ω för en stelkropp i plan rörelse är oberoende av valet av kroppsfixt koordinatsystem. Bevis. Vi väljer XY -planet som referensplan. Betrakta två olika kroppsfixa koordinatsystem: xyz med origo P samt x y z med origo P där ē z = ē z = ē Z. Vinkeln φ från ē x till ē x är konstant eftersom dessa båda vektorer är kroppsfixa. Om den polära vinkeln för ē x är θ(t), så är den polära vinkeln för ē x alltså θ (t) = θ(t) + φ θ = θ. Enligt def. 12.4 ger båda valen av koordinatsystem vinkelhastigheten ω = θē Z. Vinkelhastigheten ω är alltså oberoende av det kroppsfixa koordinatsystemets läge och orientering relativt kroppen. Vinkelhastigheten är alltså en fri vektor, som inte är knuten till någon särskild punkt i kroppen. Definition 12.6 (Vinkelacceleration i planet). Vinkelaccelerationen för en stelkropp i plan rörelse med vinkelhastigheten ω definieras ᾱ ω = θē n, (12.3) där ē n är referensplanets normal och θ(t) är den polära vinkeln för en kroppsfix axel x i referensplanet. Eftersom vinkelhastigheten är en fri vektor, och eftersom vinkelaccelerationen definieras utifrån vinkelhastigheten, måste även vinkelaccelerationen ᾱ vara en fri vektor. Hastighets- och accelerationssamband Hjälpsats 12.7 (Tidsderivering av kroppsfix vektor). För en stelkropp i plan rörelse med vinkelhastigheten ω ges tidsderivatan av en kroppsfix geometrisk vektor ū av ū = ω ū. (12.4) Bevis. Vi väljer ett rumsfixt koordinatsystem XY Z sådant att XY - planet är referensplan, samt inför ett kroppsfixt koordinatsystem med

84 statik och dynamik basen {ē x, ē y, ē z } där ē z = ē Z. Vektorn ū kan då skrivas ū = u x ē x + u y ē y, (12.5) där u x och u y är konstanta komponenter (fig. 12.6). Om den polära vinkeln för ē x är θ(t) ger insättning av ekv. (12.1a) och ekv. (12.1b) i ekv. (12.5): ū = u x (cos θē X + sin θē Y ) + u y ( sin θē X + cos θē Y ), varpå tidsderivering ger vänsterledet i ekv. (12.4): ū = u x θ( sin θēx + cos θē Y ) + u y θ( cos θēx sin θē Y ) = θ(u x ē y u y ē x ). Y ē Y ē Z ē X X ē y ū ē z u y ē x θ u x Figur 12.6: Geometri för beviset av hjälpsats 12.7. Med def. 12.4 för vinkelhastighet och ekv. (12.5) blir högerledet i ekv. (12.4): ω ū = θē z (u x ē x + u y ē y ) = θ [u x (ē z ē x ) + u y (ē z ē y )] = θ(u x ē y u y ē x ). Således är vänster- och högerleden lika i ekv. (12.4). Sats 12.8 (Hastighetssamband). För en stelkropp i plan rörelse med vinkelhastigheten ω gäller det att Q v Q = v P + ω PQ, (12.6) där P och Q är kroppsfixa punkter. r Q PQ Bevis. Parallellogramlagen ger (fig. 12.7) r Q = r P + PQ, Derivering m.a.p. tiden med observationen att PQ är kroppsfix ger r Q = r P + PQ { sats 12.7 } Y ē Y ē Z ē X X r P Figur 12.7: Geometri för beviset av sats 12.8. P v Q = v P + ω PQ. Varje stelkropp i ett mekaniskt system har sin egen vinkelhastighet. Vet man hastigheten för en kroppsfix punkt samt kroppens vinkelhastighet kan man beräkna hastigheten för varje annan kroppsfix punkt m.h.a. ekv. (12.6). Direkt tidsderivering av ekv. (12.6) ger ett samband mellan olika kroppsfixa punkters acceleration. Sats 12.9 (Accelerationssamband). För en stelkropp i plan rörelse med vinkelhastigheten ω och vinkelaccelerationen ᾱ gäller ā Q = ā P + ᾱ PQ + ω ( ω PQ ), (12.7) där P och Q är kroppsfixa punkter.

plan kinematik 85 Bevis. Derivering av ekv. (12.6) med avseende på tiden t ger v Q = v P + d dt ( ω PQ ) { produktregeln } ā Q = ā P + ω PQ + ω PQ. Vi utnyttjar slutligen att vinkelaccelerationen definieras ᾱ = ω samt att PQ = ω PQ enligt sats 12.7, vilket ger ā Q = ā P + ᾱ PQ + ω ( ω PQ ). 12.2 Momentancentrum Enligt ekv. (12.6) varierar hastigheten mellan olika punkter på en stelkropp. Vi ställer oss frågan huruvida det är möjligt att för varje stelkroppsrörelse hitta en kroppsfix punkt 27 med hastigheten noll. Sats 12.10 (Momentancentrum). För en stelkropp i plan rörelse med vinkelhastigheten ω 0 existerar det i varje ögonblick en unik kroppsfix punkt C i referensplanet kallad momentancentrum sådan att v C = 0. 27 En kroppsfix punkt är fix relativt ett kroppsfixt koordinatsystem, men behöver inte vara belägen inom kroppen. Bevis. Låt xyz vara ett rumsfixt koordinatsystem med basen {ē x, ē y, ē z }. Vi väljer xy-planet som referensplan, så att stelkroppens vinkelhastighet skrivs ω = ωē z. Välj en kroppsfix punkt P med lägesvektorn r P = x P ē x + y P ē y och hastigheten v P 0. Varje kroppsfix punkt C med lägesvektorn r C = x C ē x + y C ē y och hastigheten v C = 0 måste uppfylla ekv. (12.6): 0 = v P + ω PC { { 0 = v Px ω(y C y P ) 0 = v Py + ω(x C x P ) x C = x P 1 ω v Py y C = y P + 1 ω v Px. För varje val av P finner vi alltså exakt en punkt C så att v C = 0. Därmed existerar minst ett momentancentrum. Antag att två skilda punkter, C och C, uppfyller v C = v C = 0. Sats 12.8 ger i så fall v C = v C + ω CC ω CC = 0. Eftersom CC 0 och ω CC följer motsägelsen ω = 0. Alltså kan det finnas högst ett momentancentrum. Eftersom det finns minst ett och högst ett momentancentrum, finns det exakt ett momentancentrum.

86 statik och dynamik I varje ögonblick finns alltså en kroppsfix punkt C, som kan vara belägen på eller utanför kroppen, som har hastigheten noll. I ögonblicket förefaller alla kroppsfixa punkter röra sig i en cirkelrörelse kring C. Om C betecknar en stelkropps momentancentrum följer det av ekv. (12.6) att hastigheten för en kroppsfix punkt P är v P = ω CP. Kryssproduktens egenskaper ger att hastigheten v P är vinkelrät mot linjen CP, samt att v P = ±ωr, r = CP. (12.8) Kroppsfixa punkters fart ökar alltså linjärt med avståndet r från momentancentrum. v P P (a) Q ωr 1 P r P r 1 C v P P 1 ω = v P /r P r Q Q C (b) Q 2 v P Figur 12.8: (a) En stelkropp har känd hastighet i P, samt känd hastighetsriktning i Q. (b) Rita (1) en linje vinkelrät mot hastighetsriktningen vid P, och (2) en linje vinkelrät mot hastigetsriktningen vid Q. Linjernas skärningspunkt är momentancentrum C. (c) Vinkelhastigheten ges av ekv. (12.8), och hastigheten för varje punkt på kroppen är vinkelrät mot en stråle utgående från C. ωr Q (c) Momentancentrum för en stelkropp kan konstrueras grafiskt om hastighetsriktningen är känd för två kroppsfixa punkter, P och Q. Rita då en linje vinkelrät mot v P genom P, samt en linje vinkelrät mot v Q genom Q. Momentancentrum C är linjernas skärningspunkt (fig. 12.8). Därefter bestäms kroppens vinkelhastighet med ekv. (12.8) till ω = v P / CP. Ett annat viktigt exempel är fixaxelrotation, där punkten vid rotationsaxeln är momentancentrum C, och varje kroppsfix punkt beskriver en cirkelrörelse kring C (fig. 12.9). v Q = ωr Q v P = ωr P P Q r Q r P C ω 12.3 Rullning utan glidning Om en stelkropp med rundad form rullar mot ett underlag utan att glida innebär det att hastighetsskillnaden mellan kroppen och underlaget är noll i kontaktpunkten mellan dem. Kontaktpunkten är därför momentancentrum C för den rullande stelkroppen. Ett viktigt specialfall är rullande hjul. Figur 12.9: Vid fixaxelrotation är momentancentrum C beläget vid rotationsaxeln.

plan kinematik 87 Betrakta ett cirkulärt hjul med radien R, som rullar utan att glida mot ett horisontellt underlag. Hjulets axel P kommer att röra sig rätlinjigt, parallellt med underlaget. I kontaktpunkten C mellan hjulet och underlaget är hastigheten v C = 0, så kontaktpunkten är hjulets momentancentrum. Enligt ekv. (12.8) gäller att hjulets axel har hastigheten v P = ω CP = ωr, (12.9) riktad längsmed underlaget, där ω är hjulets vinkelhastighet (fig. 12.10). Vidare gäller för varje kroppsfix punkt Q på hjulet att hastigheten är vinkelrät mot en stråle CQ utgående från momentancentrum C (fig. 12.11), så att C P R ω v P v Q = ω CQ. (12.10) Betrakta ett cirkulärt hjul med radien R som rullar med tidsvarierande hastighet v P mot ett horisontellt underlag. Eftersom hjulaxeln P beskriver rätlinjig rörelse (fig. 12.10) ges hjulaxelns acceleration av a P = v P = ωr = αr, riktad längsmed underlaget, där α = ω är hjulets vinkelacceleration. Det är viktigt att inse att accelerationen vid momentancentrum vid kontakten med underlaget är nollskild. Låt x-axeln vara riktad längs underlaget och låt y-axeln vara vinkelrät mot underlaget så att ā P = αrē x, ω = ωē z, ᾱ = αē z. Accelerationssambandet, ekv. (12.7), ger i så fall ā C = ā P + ᾱ PC + ω ( ω PC) = αrē x αē z R( ē y ) ωē z [ ωē z R( ē y )] }{{} = 0 = ω 2 Rē y. Figur 12.10: Ett hjul rullar utan glidning åt höger på ett plant underlag. Hjulaxeln P rör sig rätlinjigt och kontaktpunkten C är momentancentrum. C Q v Q Figur 12.11: Ett hjul rullar utan glidning åt höger på ett plant underlag. Hastigheten för varje kroppsfix punkt Q är vinkelrät mot en stråle CQ. ω Accelerationen för den kroppsfixa punkten vid momentancentrum är alltså orienterad i y-riktningen vinkelrätt mot underlaget, vilket beror på att denna punkt befinner sig i ett vändläge (fig. 12.12). R P Q P a C a P v P α ω Q P ē y Figur 12.12: Ett hjul rullar utan glidning åt höger på ett plant underlag. En punkt Q på hjulets periferi rör sig längs en bana med vändläge i momentancentrum C. ē z ē x C C, Q C

13 Plan kinetik Plan kinetik behandlar stela kroppars rörelse i ett givet referensplan. Vissa av definitionerna och satserna gäller även för generell tredimensionell rörelse. Om satsen är begränsad till plan rörelse anges detta särskilt i förutsättningarna. 13.1 Eulers rörelselagar Medan Newtons rörelselagar gäller för partiklar, gäller Eulers rörelselagar för stelkroppar med utsträckning i rummet. De beskriver hur ett kraftsystem påverkar kroppens rörelsemängd och rörelsemängdsmoment. Vi börjar med att definiera rörelsemängd och rörelsemängdsmoment för generella deformerbara kroppar. Definition 13.1 (Rörelsemängd). Rörelsemängden hos en kropp definieras Ḡ vdm, (13.1) v där v betecknar hastigheten för masselementet dm i ett inertialsystem (fig. 13.1). A r dm Definition 13.2 (Rörelsemängdsmoment). Rörelsemängdsmomentet hos en kropp m.a.p. en godtycklig punkt A definieras H A ( r v)dm, (13.2) där r är en vektor från A till masselementet dm, och v är masselementets hastigheten i ett inertialsystem (fig. 13.1). Om en stelkropp påverkas av ett kraftsystem (def. 2.7) med kraftsumman Σ F (def. 2.8) och momentsumman Σ M D m.a.p. en rumsfix punkt D 28 (def. 2.9), kommer detta kraftsystemet att ge en förändring hos kroppens rörelsemängd och rörelsemängdsmoment enligt Eulers rörelselagar: Figur 13.1: Geometri för def. 13.1 och 13.2, där r är en vektor från en godtycklig punkt A till masselementet dm, och v är masselementets hastigheten. 28 En rumsfix punkt är en fixpunkt i ett inertialsystem. Postulat 13.3 (Eulers rörelselagar). För en stelkropp, som påverkas av ett kraftsystem med kraftsumman Σ F och momentsumman

90 statik och dynamik Σ M D m.a.p. en rumsfix punkt D, gäller Σ F = Ḡ (13.3a) Σ M D = HD, (13.3b) där Ḡ är kroppens rörelsemängd och H D är dess rörelsemängdsmoment m.a.p. D. Eulers första lag, kraftlagen, beskriver hur kroppens translation påverkas av kraftsystemet, medan Eulers andra lag, momentlagen, beskriver hur kroppens rotation påverkas av kraftsystemet. I det följande kommer vi att utreda hur uttrycken för rörelsemängd och rörelsemängdsmoment kan förenklas för stelkroppar, och hur Eulers rörelselagar kan användas och tolkas. 13.2 Eulers första lag: kraftlagen Uttrycket för rörelsemängd förenklas för stelkroppar, vilket också förenklar kraftlagen. För att kunna härleda dessa förenklade uttryck krävs en hjälpsats. Hjälpsats 13.4. För en stelkropp gäller sdm = 0, (13.4) där s är en vektor från kroppens masscentrum G till masselementet dm. s G dm r G r z y x Bevis. Masselementets lägesvektor är r = r G + s enligt parallellogramlagen (fig. 13.2). Om m betecknar stelkroppens massa ger def. 4.1 masscentrums lägesvektor r G = 1 rdm m = 1 ( r G + s) dm = { r G konstant } m = 1 m r G dm + 1 sdm m }{{} =m = r G + 1 sdm. m Subtraktion med r G i båda led och multiplikation med m bevisar hjälpsatsen. Figur 13.2: Stelkropp där vektorn s utgår från masscentrum G till ett masselement dm. Vektorn r är masselementets lägesvektor relativt ett givet koordinatsystem. Sats 13.5 (Rörelsemängd hos en stelkropp). Rörelsemängden hos en stelkropp med massan m är Ḡ = m v G, (13.5) där v G är hastigheten för kroppens masscentrum.

plan kinetik 91 Bevis. Låt r G beteckna masscentrums läge, så att lägesvektorn r för ett masselement skrivs r = r G + s r = r G + s v = v G + s, där s är en vektor som utgår från masscentrum (fig. 13.2). Definition 13.1 för rörelsemängd ger Ḡ = = = v G vdm ( vg + s ) dm = { v G konstant } dm }{{} =m = m v G + d dt = m v G. + sdm ( ) sdm = { hjälpsats 13.4 } Tidsderivering av ekv. (13.5) ger Ḡ = mā G. Efter insättning i kraftlagen, ekv. (13.3a), får vi Σ F = mā G. (13.6) Rörelselagen för en stelkropps masscentrum antar alltså samma form som kraftlagen för en partikel, ekv. 7.1. 13.3 Eulers andra lag: momentlagen Momentlagen, ekv. (13.3b), är formulerad för rörelsemängdsmomentet m.a.p. en rumsfix punkt D. Vi ska nu visa att momentlagen också kan formuleras m.a.p. en stelkopps masscentrum G. För detta krävs en förflyttningssats för rörelsemängdsmoment. Sats 13.6 (Förflyttningssatsen för rörelsemängdsmoment). För en kropp med masscentrum G gäller, för en godtyckliga punkt A, att H A = H G + AG Ḡ, (13.7) där H A och H G är kroppens rörelsemängdsmoment m.a.p. A respektive G, och Ḡ är kroppens rörelsemängd. Bevis. Placera origo i punkten A. Låt r G = AG beteckna masscentrums lägesvektor, så att lägesvektorn r för ett masselement kan skrivas r = r G + s,

92 statik och dynamik där s är en vektor som utgår från masscentrum (fig. 13.2). Definition 13.2 av rörelsemängdsmoment ger H A = ( r v)dm = [( r G + s) v] dm = ( r G v) dm + ( s v) dm = { def. 13.2 m.a.p. G } = ( r G v) dm + H G = { r G konstant } = r G vdm + H G = { def. 13.1 } = AG Ḡ + H G. För stelkroppar ger satserna 13.5 och 13.6 att H A = H G + AG m v G. (13.8) Detta kommer vi slutligen att utnyttja för att omformulera momentlagen så att den kan tillämpas m.a.p. masscentrum G. Sats 13.7 (Momentlagen m.a.p. masscentrum). För en stelkropp som påverkas av ett kraftsystem med momentsumman Σ M G m.a.p. masscentrum G gäller Σ M G = HG, (13.9) där H G är stelkroppens rörelsemängdsmoment m.a.p. G. Bevis. Placera origo i en rumsfix punkt D och låt r G = DG. Insättning av kraftlagen, Σ F = mā G, i förflyttningssatsen för momentsumma, ekv. (2.11), ger Σ M D = Σ M G + DG mā G = Σ M G + r G mā G. (13.10) Förflyttningssatasen 13.6 för rörelsemängdsmoment ger H D = d dt ( HG + DG Ḡ) = { sats 13.5 } = HG + d dt ( r G m v G ) = { produktregeln } = HG + v G m v G + r G mā G = HG + r G mā G (13.11) Insättning av ekv. (13.10) och (13.11) i ekv. (13.3b) ger Σ M G = HG.

plan kinetik 93 13.4 Plan stelkropp i plan rörelse Hittills i detta kapitel har vi formulerat teorin för stelkroppar av generell form i tredimensionell rörelse. Vi övergår nu till plana stelkroppar i plan rörelse. Definition 13.8 (Plan stelkropp). En plan stelkropp har symmetrisk geometri och symmetrisk densitet m.a.p. ett symmetriplan, vars normal kallas tjockleksriktningen (fig. 13.3a). z y z y dm x h(x, y) x x (a) (b) (c) Den plana stelkroppens tjocklek h är dess utsträckning tjockleksriktningen (fig. 13.3b). Den plana kroppens ytdensiteten definieras ϱ A h/2 h/2 ϱdz, (13.12) där ϱ är densiteten och z är en lägeskoordinat i tjockleksriktningen med origo i symmetriplanet. Vid konstant densitet gäller ϱ A = hϱ. För en plan stelkropp skrivs masselementet dm = ϱ A da, så att kroppens massa ges av m = dm = ϱ A da, (13.13) Figur 13.3: (a) Plan stelkropp där xy-planet är symmetriplan. (b) Genomskärning av en plan kropp. Höjden h(x, y) tillåts variera i planet. (c) Den plana kroppens projektionsyta A med ytelementet da, densiteten ϱ A och masselementet dm. där da är ett ytelement i symmetriplanet (fig. 13.3c). Tröghetsmoment En stelkropps massa beskriver dess motstånd mot ändring av sitt masscentrums hastighet. Detta fenomen kallas kroppens tröghet. En stelkropp bjuder också motstånd mot ändring av sin vinkelhastighet. Detta motstånd kallas tröghetsmoment. 29 29 Benämns även masströghetsmoment. Definition 13.9 (Tröghetsmoment). Tröghetsmomentet för en plan stelkropp m.a.p. en godtycklig punkt A i symmetriplanet definieras I A ( r r)dm = r 2 dm, (13.14) där r är vektorn från A till ett masselementet dm i symmetriplanet.

94 statik och dynamik s G dm r y r G x Särskilt gäller, enligt def. 13.9, att tröghetsmomentet m.a.p. masscentrum G ges av I G = ( s s)dm = s 2 dm, (13.15) där s är en vektor från G till masselementet (fig. 13.4). Givet I G kan man räkna ut tröghetsmomentet m.a.p. en godtycklig punkt A enligt Steiners sats. Sats 13.10 (Steiners sats). Tröghetsmomentet för en plan stelkropp m.a.p. en godtycklig punkt A ges av Figur 13.4: Plan stelkropp där vektorn s utgår från masscentrum G till ett masselement dm. Vektorn r är masselementets lägesvektor relativt ett givet koordinatsystem. I A = I G + md 2, d = AG, (13.16) där I G är tröghetsmomentet m.a.p. masscentrum G och m är kroppens massa. Bevis. Välj ett koordinatsystem med origo i A. Låt r G = AG vara lägesvektorn för masscentrum, så att lägesvektorn r för ett masselement kan skrivas r = r G + s, där s är en vektor som utgår från G (fig. 13.4). Enligt def. 13.9 får vi I A = ( r r)dm = [( r G + s) ( r G + s)] dm = ( r G r G + 2 r G s + s s) dm = { r G konstant } = r G 2 dm }{{} =m = m AG 2 + I G. +2 r G sdm + ( s s)dm = { sats 13.4 } } {{ } =I G Rörelsemängdsmoment För plana kroppar i plan rörelse kan ekv. (13.2) för rörelsemängden H A m.a.p. en godtycklig punkt A förenklas. För att härledningarna inte ska bli alltför omständliga antar vi att kroppens tjocklek h är mycket liten jämfört med projektionsytans karaktäristiska längd. 30 Vi låter ē n beteckna referensplanets normalriktning. I ekv. (13.2) gäller i så fall att r ē n och v ē n (fig. 13.5), så att H A = ( r v)dm = { r } v ē n = HA ē n, (13.17) för en skalär H A. För plana problem kan man alltså ange rörelsemängdsmomentet m.a.p. en godtycklig punkt A som en skalär H A, underförstått att rörelsemängdsmomentet har vektorriktningen ē n. Detta är analogt med att ange vinkelhastigheten ω = ωē n som en skalär ω för plan rörelse. Nedan härleds skalära uttryck för rörelsemängden för plana problem. 30 Satserna för plana stelkroppar nedan kan härledas utan krav på liten tjocklek. r v A H A = H A ē n r dm ē n Figur 13.5: Referensplan och rörelsemängdsmoment för plan kropp i plan rörelse ( r och v som i def. 13.2). v

plan kinetik 95 Hjälpsats 13.11. Rörelsemängdsmomentet m.a.p. masscentrum G för en plan stelkropp i plan rörelse är H G = s ( ω s)dm, (13.18) där s är en vektor som utgår från kroppens masscentrum till masselementet, och ω är kroppens vinkelhastighet. Bevis. Låt r G vara masscentrums läge, så att lägesvektorn r för masselementet kan skrivas (fig. 13.4) r = r G + s v = v G + s v = v G + ω s, där sats 12.7 gav s = ω s. Den godtyckliga punkten i def. 13.2 väljs nu till G, vilket ger H G = s ( v G + ω s) dm = s v G dm + s ( ω s) dm = { v G konstant } ( ) = sdm v G + s ( ω s) dm = { hjälpsats 13.4 } = s ( ω s) dm. Hjälpsats 13.11 får oss att inse att H G är oberoende av masscentrums hastighet. Sats 13.12 (Rörelsemängdsmoment m.a.p. masscentrum). För en plan stelkropp i plan rörelse är rörelsemängdsmomentet m.a.p. masscentrum G H G = I G ω, (13.19) där ω är kroppens vinkelhastighet och I G är kroppens tröghetsmoment m.a.p. G (fig. 13.6). ē n dm s G ω m, I G H G Bevis. Enligt hjälpsats 13.11 har vi H G = s ( ω s) dm = { ekv. (B.15a) } = [( s s) ω ( s ω) s] dm = { s ω s ω = 0 } = ( s s) ωdm = { ω konstant } = ω ( s s)dm = { ekv. (13.15) } = I G ω. Figur 13.6: Geometri och beteckningar för sats 13.12. Rörelsemängdsmomentet HG = I G ω m.a.p. masscentrum G för en plan stelkropp i plan rörelse. Vektorerna H G och ω har alltså samma riktning i plana problem, och denna riktning bestäms med högerhandsregeln (fig. 12.5).

96 statik och dynamik Sats 13.13 (Rörelsemändsmoment m.a.p. kropps- och rumsfix punkt). För en plan stelkropp i plan rörelse ges rörelsemängdsmomentet m.a.p. en kropps- och rumsfix punkt O av ē n m, I O H O = I O ω, (13.20) G där ω är kroppens vinkelhastighet, och I O är kroppens tröghetsmoment m.a.p. O (fig. 13.7). O r G ω H O Bevis. Placera origo i punkten O så att r G = OG. Eftersom r G är en kroppsfix vektor ger sats 12.7 att v G = r G = ω r G. (13.21) Förflyttningssatasen för en stelkropps rörelsemängdsmoment, ekv. (13.8), ger H O = H G + OG m v G = { sats 13.12 } = I G ω + r G m v G = { ekv. (13.21) } = I G ω + m [ r G ( ω r G )] = { ekv. (B.15a) } = I G ω + m ( r G r G ) ω m ( r G ω) r G = { r G ω r G ω = 0 } = ( I G + m OG 2) ω = { sats 13.10 } = I O ω. Figur 13.7: Geometri och beteckningar för sats 13.13. Rörelsemängdsmomentet H O = I O ω för en plan stelkropp i plan rörelse kring en kropps- och rumsfix punkt O. För plana problem ger ekv. (13.19) och (13.20) på skalär form följande uttryck för rörelsemängd: H G = I G ω (13.22a) H O = I O ω. (13.22b) Momentlagen för plana problem Eftersom både momentsumman och rörelsemängdsmomentet är riktade i referensplanets normalriktning för plana problem momentlagen, ekv. (13.3b), skrivas på skalär form: ΣM D = ḢD, (13.23) där D är en rumsfix punkt. På samma sätt ger ekv. (13.9) och (13.3b) för plana problem: ΣM G = ḢG (13.24a) ΣM O = ḢO, (13.24b) där G är masscentrum och O är en både kropps- och rumsfix punkt. Vid problemlösning används typiskt kraftlagen tillsammans med antingen ekv. (13.24a) eller (13.24b). Momentlagen m.a.p. masscentrum G kan alltid användas (fig 13.8), och ger ē n ΣM G G α m, I G Figur 13.8: Momentlagen, ΣM G = Ḣ G = I Gα, m.a.p. masscentrum G för en plan stelkropp i plan rörelse.

plan kinetik 97 ΣM G = ḢG = { ekv. (13.22a) } = d dt (I Gω) = { I G konstant } = I G ω = I G α (13.25) ē n m, I O I händelse av att en kropps- och rumsfix punkt O existerar (fig. 13.9) ger (13.24b) ΣM O = ḢO = { ekv. (13.22b) } = d dt (I Oω) = { I O konstant } = I O ω = I O α (13.26) ΣM O O Figur 13.9: Momentlagen, ΣM O = I Oα, för en plan stelkropp i plan rörelse kring en kropps- och rumsfix punkt O. α Momentlagen m.a.p. masscentrum kan också skrivas om m.h.a. förflyttningssatsen för moment. Insättning av Eulers första lag, Σ F = mā G, i ekv. (2.11) ger ē n m, I G Σ M G = Σ M A + GA mā G, (13.27) där A är en godtycklig punkt. För plan rörelse är alla termer i ekv. (13.27) riktade i ±ē n -riktningen, där ē n är referensplanets normal, vilket ger: ΣM G = ΣM A GA mā G = { ekv. (B.12) } = ΣM A ma G GA sin ϕ = ΣM A ma G d, (13.28) där ϕ är vinkeln mellan ā G och GA och d = GA sin ϕ (fig. 13.10). Enligt plana momentlagen har vi ΣM G = ḢG = I G α, vilket sättes in i ekv. (13.28): a G ΣM A G A d Figur 13.10: Plana momentlagen m.a.p. en godtycklig punkt A för en plan stelkropp i plan rörelse. α I G α = ΣM A ma G d. Detta ger slutligen momentlagen m.a.p. en godtycklig punkt A: ΣM A = I G α ± ma G d. (13.29)

14 Effekt, arbete och energi 14.1 Effekt och arbete från krafter och kraftparsmoment Effekten av en kraft F, som verkar i en angreppspunkt med hastigheten v, är enligt def. 8.1 P F v. Utgående från effekten av en kraft definieras sedan kraftens arbete mellan två tidpunkter, t 1 och t 2, som (def. 8.2) t2 t2 U 1 2 P dt = t 1 t 1 F vdt = s2 s 1 F ēt ds, där den sista integralen representerar arbetet mellan två lägen på banan för kraftens angreppspunkt (sats 8.3). På en stelkropp verkar förutom krafter även kraftparsmoment, vilket motiverar frågorna: vilken effekt har ett kraftparsmoment? och vilket arbetet ger det? Sats 14.1 (Effekt av ett kraftpar). Effekten av ett kraftpar, som verkar på en stelkropp i plan rörelse med vinkelhastigheten ω, är P = C ω, (14.1) där C är kraftparets kraftparsmoment. Bevis. Ett kraftpar, F verkande i en kroppsfix punkt P och F verkande i en kroppsfix punkt Q (fig. 14.1), utvecklar tillsammans effekten (def. 8.1) P = F v P + ( F ) v Q = { ekv. (12.6) } = F v P F ( v P + ω PQ) = { QP = PQ } = F ( ω QP) = { ekv. (B.15b) } = ω (QP F ) = { sats 2.6 } = ω C. F v Q Q v P Figur 14.1: Geometri och beteckningar för sats 14.1. P ω F

100 statik och dynamik För en plan stelkropp i plan rörelse har vi ω = ωē n och C = Cē n, så att kraftparsmomentets effekt skrivs P = (Cē n ) (ωē n ) = Cω. (14.2) Arbetet av ett kraftparsmoment definieras analogt med arbetet av en kraft, som tidsintegralen av kraftparsmomentets effekt. Definition 14.2 (Arbete av ett kraftparsmoment). Arbetet av ett kraftparsmoment C om verkar på en plan stelkropp i plan rörelse mellan tidpunkterna t 1 och t 2 definieras U 1 2 t2 t 1 P dt = t2 t 1 C ωdt, (14.3) där P = C ω är kraftparets effekt och ω är stelkroppens vinkelhastighet. Integralen över tiden i ekv. (8.2) kan skrivas om till en integral mellan två olika orienteringar. Sats 14.3 (Arbete mellan orienteringar). Om ett kraftparsmoment C = Cē n verkar på en stelkropp i plan rörelse mellan tiderna t 1 och t 2 är kraftparsmomentets arbete U 1 2 = θ2 θ 1 Cdθ, (14.4) där ē n är referensplanets normal, θ är den polära vinkeln för en kroppsfix linje, och där vi använt beteckningarna θ 1 = θ(t 1 ) och θ 2 = θ(t 2 ) (fig. 14.2). C θ θ 1 θ θ 2 Bevis. Enligt def. 12.2 gäller ω = θē n, så att C ω = C θ. Insättning i ekv. (14.3) ger U 1 2 = = t2 t 1 θ(t2) θ(t 1) C dθ dt dt = { subst. θ = θ(t), dθ = dθ dt dt} Cdθ t 1 Figur 14.2: Geometri och beteckningar för sats 14.3. C t 2 14.2 Effektsumma och arbete på en stelkropp Definition 14.4 (Effektsumma). Effektsumman ΣP på en stelkropp definieras som summan av effekten från de krafter och kraftparsmoment som verkar på stelkroppen. För en plan stelkropp i plan rörelse som påverkas av n krafter och m kraftparsmoment, med beteckningar enligt fig. 14.3, ger summan av krafternas effekt, def. 8.1, och kraftparsmomentens effekt, sats 14.1, effektsumman n m ΣP = F i v i + C i ω. (14.5) i=1 i=1

effekt, arbete och energi 101 F 2 v 2 v 1 P 2 G C 2 r G ω y x Figur 14.3: Geometri och beteckningar för definition av effektsumma. F 1 C 1 P 1 C m v n P n F n Sats 14.5. Effektsumman av ett kraftsystem som verkar på en plan stelkropp i plan rörelse är ΣP = Σ F v G + Σ M G ω, (14.6) där v G är masscentrums hastighet, ω är kroppens vinkelhastighet, och Σ F är kraftsumman och Σ M G är momentsumman m.a.p. masscentrum för det kraftsystem som verkar på stelkroppen (fig. 14.4). Σ F v G G Σ M G ω Bevis. Med beteckningar enligt fig. 14.3, låt r i vara lägesvektorn för P i och s i = GP i så att parallellogramlagen ger r i = r G + s i v i = v G + s i v i = v G + ω s i, Figur 14.4: Kraft- och momentsumma m.a.p. masscentrum G för systemet i fig. 14.3. där sats 12.7 gav s i = ω s i. Enligt ekv. (14.5) är effektsumman n m ΣP = F i v i + C i ω = i=1 i=1 i=1 n m F i ( v G + ω s i ) + C i ω = { def. 2.8 } = Σ F v G + = Σ F v G + i=1 i=1 n m F i ( ω s i ) + C i ω = { ekv. (B.15b) } i=1 i=1 n ω ( s i F m i ) + C i ω i=1 [ n ] = Σ F v G + GP i F m i + C i ω = { def. 2.9 } = Σ F v G + Σ M G ω i=1 i=1 Definition 14.6 (Arbete på en stelkropp). Arbetet ΣU 1 2 på en plan stelkropp i plan rörelse mellan tidpunkterna t 1 och t 2 är ΣU 1 2 t2 t 1 ΣP dt, (14.7) där ΣP är effektsumman på stelkroppen.

102 statik och dynamik Genom att sätta in ekv. (14.5) i ekv. (14.7) får vi ( t2 n ) m ΣU 1 2 = F i v i + C i ω dt = t 1 i=1 t2 n i=1 t 1 Fi v i dt + i=1 t2 m i=1 t 1 Ci ωdt, vilket ger insikten att arbetet på en stelkropp är summan av arbetena från varje kraft och kraftparsmoment som verkar på stelkroppen. 14.3 Rörelseenergi Definition 14.7 (Rörelseenergi). Rörelseenergin 31 hos en kropp definieras T 1 v)dm = 2 ( v 1 v 2 dm, (14.8) 2 där v betecknar hastigheten för masselementet dm i ett inertialsystem (fig. 13.1). 31 Benämns även kinetisk energi. Rörelseenergin för en kropp är alltså summan av bidragen dt = 1 2 v2 dm från varje masselement. Sats 14.8 (Rörelseenergi för en plan stelkropp). Rörelseenergin för en plan stelkropp i plan rörelse är T = 1 2 mv2 G + 1 2 I Gω 2, (14.9) där m är stelkroppens mass, I G är tröghetsmomentet m.a.p. masscentrum G, v G är masscentrums fart och ω är kroppens vinkelhastighet. Bevis. Låt r G vara masscentrums läge, så att lägesvektorn r för masselementet kan skrivas (fig. 13.4) r = r G + s v = v G + s v = v G + ω s, där sats 12.7 gav s = ω s. Enligt def. 14.7 har vi T = 1 ( v v)dm 2 = 1 ( v G + ω s) ( v G + ω s) dm 2 = 1 [ vg 2 + 2 v G ( ω s) + ω s 2] dm = { ω, v G konstanter } 2 = 1 ( ) 2 v2 G dm + v G ω sdm + 1 ω s 2 dm = { ω s } 2 }{{}}{{} =m = 0 = 1 2 mv2 G + 1 ω 2 s 2 dm = { ω konstant } 2 = 1 2 mv2 G + 1 2 ω2 ( s s)dm = { ekv. (13.15) } = 1 2 mv2 G + 1 2 I Gω 2.

effekt, arbete och energi 103 Sats 14.9 (Rörelseenergi vid fixaxelrotation). Rörelseenergin för en plan stelkropp som roterar kring en kropps- och rumsfix punkt O är T = 1 2 I Oω 2, (14.10) där I O är tröghetsmomentet m.a.p. O och ω är kroppens vinkelhastighet. Bevis. Eftersom O är momentancentrum för stelkroppen gäller v G = ± OG ω v 2 G = OG 2 ω 2. (14.11) Ekvation (14.9) ger T = 1 2 mv2 G + 1 2 I Gω 2 = { ekv. (14.11) } = 1 2 m OG 2 ω 2 + 1 2 I Gω 2 = 1 2 = 1 2 I Oω 2. ( m OG 2 + I G ) ω 2 = { sats 13.10 } Sats 14.10 (Mekaniska energisatsen). För en plan stelkropp i plan rörelse mellan två tidpunkter t 1 och t 2 under inverkan av ett godtyckligt kraftsystem (fig. 2.7) gäller ΣU 1 2 = T 2 T 1, (14.12) där ΣU 1 2 är arbetet på kroppen, medan T 1 och T 2 är kroppens rörelseenergi vid tiderna t 1 respektive t 2. Bevis. Tidsderivering av ekv. (14.9) ger dt = d [ 1 dt dt 2 m( v G v G ) + 1 ] 2 I G( ω ω) = 1 2 m(ā G v G ) + 1 2 m( v G ā G ) + 1 2 I G(ᾱ ω) + 1 2 I G( ω ᾱ) = mā G v G + I G ᾱ ω = { kraft- och momentlag } = Σ F v G + Σ M G ω = { sats 14.5 } = ΣP, där ΣP är effektsumman på kroppen. Detta samband kan, enligt ekv. D.2, uttryckas med differentialnotation: t2 ΣP dt = dt { sats D.3 } T2 ΣP dt = dt { ekv. (14.7) } t 1 T 1 ΣU 1 2 = T 2 T 1.

104 statik och dynamik 14.4 Mekaniska energisatsen med potentialer Precis som för partiklar kan vi identifiera konservativa krafter som verkar på stelkroppar. Dessa bevarar den totala mekaniska energin när de utför ett arbete. Vi vet från sats 8.10 att en fjäderkrafts arbete kan uttryckas U 1 2 = [V e (l 2 ) V e (l 1 )], (14.13) där V e (l) = 1 2 k(l l 0) 2 är den elastiska energin. För att uttrycka tyngdkraftens arbete behöver vi definiera en stelkropps lägesenergi. Definition 14.11 (Lägesenergi för en stelkropp). Lägesenergin för en stelkropp med massan m i ett konstant tyngdkraftsfält ḡ = gē y definieras som V g (y G ) mgy G, (14.14) där y G är höjdkoordinaten för kroppens masscentrum G relativt ett valt inertialsystem. Tyngdkraftens arbete på en stelkropp kan bestämmas analogt med tyngdkraftens arbete på en partikel. Sats 14.12 (Tyngdkraftens arbete på en stelkropp). För en stelkropp med massan m, som påverkas av ett tyngdkraftsfält ḡ = gē y mellan tiderna t 1 och t 2, utför tyngdkraften F g = mḡ arbetet U 1 2 = [V g (y G2 ) V g (y G1 )], (14.15) där y G1 och y G2 är höjdkoordinaterna för stelkroppens masscentrum G vid t 1 respektive t 2, och V g (y G ) är stelkroppens lägesenergi (fig. 14.5). y y G1 y G2 t 1 x ω G mḡ Figur 14.5: Geometri för tyngdkraftens arbete på en stelkropp. g t 2 Bevis. Bevisas på samma sätt som sats 8.8. Mekaniska energisatsen kan nu skrivas om på precis samma sätt som för partiklar: ΣU 1 2 = T 2 T 1 (V g2 V g1 ) (V e2 V e1 ) + ΣU 1 2 = T 2 T 1, där vi använde satserna 14.12 och 8.10 och lät ΣU 1 2 beteckna arbetet från alla krafter och kraftparsmoment utom det från tyngdkraften och elastiska krafter. Således har vi ΣU 1 2 = (V g2 V g1 ) + (V e2 V e1 ) + (T 2 T 1 ). (14.16)

15 Tredimensionell kinematik z För att utveckla teorin till generell tredimensionell rörelse måste begrepp som definierats för plan rörelse, såsom vinkelhastighet ω och vinkelacceleration ᾱ för stelkroppar, definieras om från grunden. 15.1 Vinkelhastighet och vinkelacceleration fixt x Z ē Z ē x ē z ēy y Vi tänker oss, som vanligt, ett rumsfixt koordinatsystem XY Z med basen {ē X, ē Y, ē Z }, men introducerar ett nytt koordinatsystem xyz med basen {ē x, ē y, ē z } (fig. 15.2). Detta koordinatsystem xyz tillåts röra sig i rummet medan dess ortogonalitet bevaras. Definition 15.1 (Vinkelhastighet). Vinkelhastigheten för ett koordinatsystem xyz i generell tredimensionell rörelse definieras X ē X ē Y Figur 15.1: Ett koordinatsystem xyz med tidvarierande koordinatriktningar roterar med vinkelhastigheten relativt ett rumsfixt koordinatsystem XY Z. Y ( ē y ē z )ē x + ( ē z ē x )ē y + ( ē x ē y )ē z, (15.1) där {ē x, ē y, ē z } utgör basen för koordinatsystemet. Basvektorerna ē x, ē y och ē z är alltid vinkelräta mot varandra, men deras riktningar varierar med tiden. Utifrån vinkelhastigheten för ett rörligt koordinatsystem kan vi nu definiera vinkelhastigheten för en stelkropp: vi låter koordinatsystemet xyz vara kroppsfixt, så att det rör sig med stelkroppen (fig. 15.2). rumsfixt Z ē Z x ω = ē x ē z ēy z y Figur 15.2: Koordinatsystem xyz är kroppsfixt och dess vinkelhastighet är identisk med stelkroppens vinkelhastighet ω. ē X ē Y X Y Definition 15.2 (Vinkelhastighet för en stelkropp). Vinkelhastigheten för en stelkropp i generell tredimensionell rörelse definieras ω, (15.2)

106 statik och dynamik där = ( ē y ē z )ē x + ( ē z ē x )ē y + ( ē x ē y )ē z är vinkelhastigheten för ett kroppsfixt koordinatsystem xyz (fig. 15.2). Precis som i det plana fallet kommer vektorn ω att vara oberoende av valet av kroppsfixt koordinatsystem (jfr sats 12.5), men det underlåter vi att visa här. Definition 15.2 för vinkelhastighet vid generell stelkroppsrörelse är förenlig med def. 12.4 för vinkelhastighet vid plan rörelse. Med beteckningar som i fig. 12.3 för rörelse i xy-planet gäller ē x = cos θē X + sin θē Y, ē x = θ( sin θē X + cos θē Y ) = θē y, ē y = sin θē X + cos θē Y, ē y = θ( cos θē X sin θē Y ) = θē x, ē z = ē Z, ē z = 0. Insättning i ekv. (15.1) ger ω = ( θē x ē z )ē x + ( 0 ē x )ē y + ( θē y ē y )ē z = θē z = θē Z, vilket är identiskt med def. 12.4 för vinkelhastighet i det plana fallet. Vinkelhastigheten ω har alltså en tydlig tolkning för plan rörelse. Definition 15.3 (Vinkelacceleration). Vinkelaccelerationen för en stelkropp i generell tredimensionell rörelse definieras ᾱ ω, (15.3) där ω är stelkroppens vinkelhastighet. 15.2 Coriolis ekvation Via tre hjälpsatser kommer vi att utnyttja basvektorernas konstanta längd och ortogonalitet för att slutligen formulera Coriolis ekvation, som är en deriveringsregel för tidsvarierande koordinatsystem. Hjälpsats 15.4. Låt ē λ vara en godtycklig enhetsvektor med tidsberoende riktning. Då gäller att ē λ ē λ ē λ = 0. (15.4) ē λ Bevis. Tidsderivering av identiteten ē λ ē λ = 1 med produktregeln ger ē λ ē λ + ē λ ē λ = 0 ē λ ē λ = 0. Figur 15.3: Det gäller att ē λ ē λ. Tidsderivatan för en enhetsvektor är alltså alltid vinkelrät mot vektorn själv (fig. 15.3). Hjälpsats 15.5. Låt {ē x, ē y, ē z } utgöra basen för ett ortogonalt koordinatsystem med tidsberoende axelriktningar. Då gäller ē x ē y = ē y ē x, ē y ē z = ē z ē y, ē z ē x = ē x ē z. (15.5)

tredimensionell kinematik 107 Bevis. Tidsderivering av ortogonalitetsvillkoren ē x ē y = 0 med produktregeln ger ē x ē y + ē x ē y = 0 ē x ē y = ē y ē x. Samma förfarande för ē y ē z = 0 och ē z ē x = 0 bevisar satsen. Hjälpsats 15.6 (Tidsderivering av en basvektor). Låt {ē x, ē y, ē z } utgöra basen för ett roterande koordinatsystem med vinkelhastigheten relativt ett fixt koordinatsystem. Då gäller att (fig. 15.7) x ē x = ē x ē x = ē x, ē y = ē y, ē z = ē z. (15.6) ē x z Bevis. Enligt ekv. (15.1) gäller = ( ē y ē z )ē x + ( ē z ē x )ē y + ( ē x ē y )ē z. För fallet med tidsderivering av ē x blir höger led i ekv. (15.6) y Figur 15.4: Geometri för hjälpsats 15.6 för tidsderivering av ē x. ē x = ( ē y ē z )ē x ē x + ( ē z ē x )ē y ē x + ( ē x ē y )ē z ē x = ( ē z ē x )ē z + ( ē x ē y )ē y = { hjälpsats 15.5 } = ( ē x ē z )ē z + ( ē x ē y )ē y = { hjälpsats 15.4 } = ( ē x ē x )ē x + ( ē x ē y )ē y + ( ē x ē z )ē z = { komposantsumma } = ē x. Analoga resonemang för tidsderivering av ē y respektive ē z bevisar satsen. Definition 15.7. Låt ū = u x ē x + u y ē y + u z ē z vara en godtycklig tidsberoende vektor, som beskrivs i ett roterande koordinatsystem xyz med basen {ē x, ē y, ē z }. Tidserivatan av ū m.a.p. det roterande systemet definieras dū dt u x ē x + u y ē y + u z ē z. (15.7) xyz Mekanikens rörelselagar måste emellertid tillämpas i ett inertialsystem, som inte tillåts rotera. För att derivera en vektor i ett fixt koordinatsystem används istället Coriolis ekvation: Sats 15.8 (Coriolis ekvation). Låt ū vara en godtycklig tidsberoende vektor, som beskrivs dels i ett fixt koordinatsystem XY Z, dels i ett roterande koordinatsystem xyz med vinkelhastigheten. Då gäller ū = dū dt + ū, (15.8) xyz där ū är tidsderivatan av ū i det fixa systemet, och dū/dt xyz är tidsderivatan av ū i det roterande systemet.

108 statik och dynamik Bevis. Den tidsberoende vektorn ū kan skrivas ū = u x ē x + u y ē y + u z ē z, (15.9) där {ē x, ē y, ē z } är basen för det roterande koordinatsystemet. Tidsderivering av ekv. (15.9) i det fixa koordinatsystemet med produktregeln ger ū = u x ē x + u x ē x + u y ē y + u y ē y + u z ē z + u z ē z = { ekv. (15.7) } = dū dt + u x ē x + u y ē y + u z ē z = { hjälpsats 15.6 } xyz = dū dt + u x ( ē x ) + u y ( ē y ) + u z ( ē z ) = { ekv. (B.14b) } xyz = dū dt + (u x ē x + u y ē y + u z ē z ) = { ekv. (15.9) } xyz = dū dt + ū. xyz 15.3 Hastighets- och accelerationssamband För plan rörelse kunde vi härleda hastighets- och accelerationssamband mellan två kroppsfixa punkter (se satserna 12.8 och 12.9). Det visar sig att dessa samband också gäller för generell tredimensionell rörelse. Hjälpsats 15.9 (Tidsderivering av kroppsfix vektor). För en stelkropp med vinkelhastigheten ω ges tidsderivatan av en kroppsfix geometrisk vektor ū av ū = ω ū. (15.10) Bevis. Betrakta ett rumsfixt koordinatsystem och ett kroppsfixt roterande koordinatsystem xyz med vinkelhastigheten = ω (fig. 15.5). Coriolis ekvation (15.8), ger ū = dū dt + ω ū = { ū konstant i xyz } = 0 + ω ū. xyz x X Z fixt ē x Y ē z ω ēy Figur 15.5: Ett kroppsfixt koordinatsystem xyz och en kroppsfix vektor ū roterar med vinkelhastigheten ω relativt ett rumsfixt koordinatsystem XY Z. z ū y Hjälpsats 12.7 för derivering av kroppsfixa vektorer kan alltså generaliseras till allmän rörelse, vilket visas i hjälpsats 15.9. Sats 15.10 (Hastighetssamband). För en stelkropp i generell tredimensionell rörelse med vinkelhastigheten ω gäller det att v Q = v P + ω PQ. (15.11) där P och Q är kroppsfixa punkter. Bevis. Enligt hjälpsats 15.9 är PQ = ω PQ. Därmed kan man följa bevisgången för sats 12.8.

tredimensionell kinematik 109 Sats 15.11 (Accelerationssamband). För en stelkropp i generell tredimensionell rörelse med vinkelhastigheten ω och vinkelaccelerationen ᾱ gäller det att ā Q = ā P + ᾱ PQ + ω ( ω PQ ), (15.12) där P och Q är kroppsfixa punkter. Bevis. Enligt hjälpsats 15.9 är PQ = ω PQ. Därmed kan man följa bevisgången för sats 12.9. 15.4 System av stelkroppar I ett system av stelkroppar numrerade i = 0, 1, 2,..., n, där i = 0 representerar ett rumsfixt fundament, har varje stelkropp sin egen vinkelhastighet ω i relativt det fixa koordinatsystemet. Industrirobotar är exempel på sådana system (fig. 15.6). Motorerna eller hydrauliken som styr robotens delar påverkar delarnas relativa läge till varandra. Därför är det vanligtvis vinkelhastigheten ω j/i för kropp j relativt kropp i som är direkt tillgänglig för robotens kontrollsystem. 4 3 2 Figur 15.6: (a) Bågsvetsningsrobot (Foto: FANUC Robotics Deutschland). (b) Robotens delar, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, är stelkroppar som roterar relativt varandra. 5 1 Z X Y fix 0 (a) (b) Definition 15.12 (Relativ vinkelhastighet). Den relativa vinkelhastigheten mellan en stelkropp j och en annan stelkropp i är ω j/i ω j ω i, (15.13) där ω j och ω i är respektive stelkropps vinkelhastighet. Eftersom i = 0 motsvarar det fixa systemet har vi ω 0 = 0, så att def. 15.12 ger ω i = ω i/0, i = 1, 2,..., n. (15.14) Givet de relativa vinkelhastigheterna för kropparna i ett system kan man beräkna vinkelhastigheterna relativt ett fixt koordinatystem.

110 statik och dynamik Sats 15.13 (Summaformeln för vinkelhastighet). För ett system av stelkroppar i = 0, 1, 2,..., n, där i = 0 är en rumsfix kropp gäller att ω n = n ω i/(i 1) = ω n/(n 1) + + ω 2/1 + ω 1/0, (15.15) i=1 där ω n är vinkelhastigheten för kropp n och ω i/(i 1) är den relativa vinkelhastigheten mellan kropp i och kropp i 1 (fig. 15.7). 3 ω 3 = ω 3/2 + ω 2/1 + ω 1/0 ω 2 = ω 2/1 + ω 1/0 2 1 ω 1 = ω 1/0 Bevis. Det följer av def. 15.12 för relativ vinkelhastighet att n n ω i/(i 1) = ( ω i ω i 1 ) i=1 = = i=1 n ω i i=1 i=1 n ω i 1 = { indexsubstitution } i=1 n n 1 ω i ω i i=1 i=0 n 1 n 1 = ω n + ω i ω i ω 0 = { ω 0 = 0 } = ω n. i=1 fixt Figur 15.7: Vinkelhastigheten ω i relativt det fixa systemet är en summa av relativa vinkelhastigheter. 0 En relativ vinkelhastighet mellan en stelkropp och en annan stelkropp benämns ibland även spinn, vilket vi betecknar p. Ett illustrativt exempel på spinn är en propellers rörelse relativt en flygplanskropp. Vi inför ett koordinatsystem xyz som är fixt relativt flygplanskroppen (kropp 1) med x linjerad med propelleraxeln (fig. 15.8). Kropp 1 och koordinatsystemet har en vinkelhastighet ω 1 = på grund av pilotens manövrar. Planets motorvarvtal p ger propellern (kropp 2) ett spinn ω 2/1 = p = pē x relativt flygplanskroppen, så att propellerns egentliga vinkelhastighet är ω 2 = ω 2/1 + ω 1 = + p. x p 2 z 1 Figur 15.8: Propellern (2) har spinnet p = pē x relativt flygplanskroppen (1), som i sin tur har vinkelhastigheten ω 1 =. y

16 Tredimensionell kinetik Delar av kapitel 13 om plan kinetik behandlar stelkroppar av godtycklig form i generell tredimensionell rörelse. Detta innefattar kraftlagen: Σ F = Ḡ = mā G, (16.1) och momentlagarna m.a.p. tyngdpunkten G respektive en rumsfix punkt D: Σ M G = HG (16.2a) Σ M D = HD. (16.2b) För plana stelkroppar i plan rörelse antogs vinkelhastigheten ω vara riktad i referensplanets normalriktning. Eftersom vi definierat om vinkelhastigheten för stelkroppar, def. 15.2, så att den gäller för generell tredimensionell rörelse, kan vinkelhastighetsvektorn nu anta godtycklig riktning. Därmed gäller inte uttrycken för rörelsemängdsmoment vid plan rörelse, och inte heller de plana momentlagarna. 16.1 Tröghetsmatrisen För plan rörelse infördes begreppet tröghetsmoment för att beskriva en stelkropps motstånd mot ändring av sin vinkelhastighet. I tre dimensioner blir situationen mer komplicerad på grund av rotationsaxelns frihet att ändra orientering i rummet. Kroppens tröghetsegenskaper beskrivs med en tröghetsmatris, vars innebörd för rörelsen blir tydlig först i avsnitt 16.2. Matriser betecknas, d.v.s. med dubbelstreck över variabelsymbolen. Definition 16.1 (Tröghetsmatris). Tröghetsmatrisen 32 för en stelkropp m.a.p. en godtycklig punkt A definieras I Axx I Axy I Axz Ī A I Axy I Ayy I Ayz, (16.3) I Axz I Ayz I Azz där I Axx, I Ayy och I Azz benämns tröghetsmoment och I Axy, I Axz och I Ayz benämns tröghetsprodukter, och 32 Benäms även tröghetstensor. dm r = xē x +yē y +zē z A Figur 16.1: Geometri för def. 16.1.

112 statik och dynamik I Axx (y 2 + z 2 )dm, I Axy I Ayy (x 2 + z 2 )dm, I Axz I Azz (x 2 + y 2 )dm, I Ayz xydm xzdm yzdm, där r = xē x + yē y + zē z är en vektor från A till masselementet dm (fig. 16.1). Tröghetsmoment och -produkter för en rad kroppar med jämnt fördelad massa återfinns i bilaga E.1. För att beräkna tröghetsmatrisen m.a.p. en given punkt A måste man integrera fram tröghetsmomenten och -produkterna. Välj då ett koordinatsystem xyz med origo i A. Beräkningen av tröghetsprodukter kan förenklas för kroppar som är symmetriska m.a.p. något av planen x = 0, y = 0 eller z = 0. Om t.ex. kroppen är symmetrisk m.a.p. planet y = 0 gäller I Axy = I Ayz = 0 eftersom integranderna för dessa båda tröghetsprodukter är udda m.a.p. y (fig. 16.2). I detta exempel gäller Ī A = I Axx 0 I Axz 0 I Ayy 0 I Axz 0 I Azz, och liknande resonemang kan genomföras för kroppar som är symmetriska m.a.p. planen x = 0 eller z = 0 z A x symmetriplan Figur 16.2: Fordonet är symmetriskt m.a.p. planet y = 0. Om A betecknar origo gäller I Axy = I Ayz = 0 p.g.a. udda integrander m.a.p y. y Hjälpsats 16.2 (Förflyttningssatsen för tröghetsmoment). I tröghetsmatrisen Ī A för en stelkropp m.a.p. en godtycklig punkt A är tröghetsmomenten I Axx = I Gxx + m(d 2 y + d 2 z) (16.4a) I Ayy = I Gyy + m(d 2 x + d 2 z) (16.4b) I Azz = I Gzz + m(d 2 x + d 2 y), (16.4c) där G är stelkroppens masscentrum, m är dess massa och AG = d = d x ē x + d y ē y + d z ē z är förflyttningsvektorn. s G dm d r z y A x Bevis. Placera origo i punkten A och låt r = xē x + yē y + zē z vara lägesvektorn för masselementet i definitionen för tröghetsmatrisen. Skriv denna lägesvektor som r = d + s, där s är en vektor som utgår från masscentrum (fig. 16.3). På komponentform har vi x = d x + s x Figur 16.3: Stelkropp där vektorn s utgår från masscentrum G till ett masselement dm. Vektorn r är masselementets lägesvektor relativt ett givet koordinatsystem ed origo i A. y = d y + s y z = d z + s z.

tredimensionell kinetik 113 Enligt definitionen för tröghetsmoment, def. 16.1, har vi att I Azz = (x 2 + y 2 )dm [ = (dx + s x ) 2 + (d y + s y ) 2] dm = (d 2 x + 2d x s x + s 2 x + d 2 y + 2d y s y + s 2 y)dm = (d 2 x + d 2 y) dm +2d x s x dm +2d y s y dm + (s 2 x + s 2 y)dm }{{}}{{}}{{}}{{} =m =0 =0 =I Gzz = I Gzz + m(d 2 x + d 2 y). Analoga resonemang för I Axx och I Ayy bevisar satsen. Hjälpsats 16.3 (Förflyttningssatsen för tröghetsprodukter). I tröghetsmatrisen Ī A för en stelkropp m.a.p. en godtycklig punkt A är tröghetsprodukterna I Axy = I Gxy + md x d y (16.5a) I Axz = I Gxz + md x d z (16.5b) I Ayz = I Gyz + md y d z, (16.5c) där G är stelkroppens masscentrum, m är dess massa och AG = d = d x ē x + d y ē y + d z ē z är förflyttningsvektorn. Bevis. Placera origo i punkten A och låt r = xē x + yē y + zē z vara lägesvektorn för masselementet i definitionen för tröghetsmatrisen. Skriv denna lägesvektor som r = d + s, där s är en vektor som utgår från masscentrum (fig. 16.3). På komponentform har vi x = d x + s x y = d y + s y z = d z + s z. Enligt definitionen för tröghetsprodukt, def. 16.1, har vi att I Axy = xydm = (d x + s x )(d y + s y )dm = d x d y + d x s y + d y s x + s x s y dm = d x d y dm +d x s y dm +d y s x dm + s x s y dm }{{} }{{ } }{{ } } {{ } =m =0 =0 =I Gxy = I Gxy + md x d y. Analoga resonemang för I Axz och I Ayz bevisar satsen.

114 statik och dynamik Sats 16.4 (Parallellaxelsatsen). Tröghetsmatrisen för en stelkropp m.a.p. en godtycklig punkt A ges av Ī A = Ī G + m d 2 y + d 2 z d x d y d x d z d x d y d 2 x + d 2 z d y d z d x d z d y d z d 2 x + d 2 y. (16.6) där G är stelkroppens masscentrum, m är dess massa och AG = d = d x ē x + d y ē y + d z ē z är förflyttningsvektorn (fig. 16.3). Bevis. Vi skriver ut elementen hos matriserna i ekv. (16.6): I Axx I Axy I Axz I Axy I Ayy I Ayz I Axz I Ayz I Azz = I Gxx I Gxy I Gxz I Gxy I Gyy I Gyz I Gxz I Gyz I Gzz +m d 2 y + d 2 z d x d y d x d z d x d y d 2 x + d 2 z d y d z d x d z d y d z d 2 x + d 2 y. Sambandets giltighet framgår direkt av hjälpsats 16.2 för diagonalelementen och av hjälpsats 16.3 för övriga element, efter multiplikation med 1. Vid problemlösning slår man om möjligt upp tröghetsmatrisen Ī G m.a.p. masscentrum G i ett tabellverk (tabell E.1) och använder ekv. (16.6) för att beräkna tröghetsmatrisen m.a.p. någon annan punkt A. 16.2 Rörelsemängdsmoment Den generella definitionen för rörelsemängdsmoment, def. 13.2, kan förenklas något för stelkroppar i generell tredimensionell rörelse. Hjälpsats 16.5. Rörelsemängdsmomentet m.a.p. masscentrum G för en stelkropp i generell tredimensionell rörelse är H G = s ( ω s)dm, (16.7) där s är en vektor som utgår från kroppens masscentrum till masselementet, och ω är kroppens vinkelhastighet. Bevis. Vi följer bevisgången i hjälpsats 13.11, men utnyttjar hjälpsats 15.9 för att visa att s = ω s. Hjälpsats 16.6. För två vektorer ū och v gäller identiteten ū ( v ū) = u 2 y + u 2 z u x u y u x u z u x u y u 2 x + u 2 z u y u z u x u z u y u z u 2 x + u 2 y v (16.8)

tredimensionell kinetik 115 Bevis. Enligt ekv. (B.15a) gäller ū ( v ū) = (ū ū) v (ū v)ū = = = (u 2 x + u 2 y + u 2 z)v x (u x v x + u y v y + u z v z )u x (u 2 x + u 2 y + u 2 z)v y (u x v x + u y v y + u z v z )u y (u 2 x + u 2 y + u 2 z)v z (u x v x + u y v y + u z v z )u z (u 2 y + u 2 z)v x u x u y v y u x u z v z u x u y v x + (u 2 x + u 2 z)v y u y u z v z u x u z v x u y u z v y + (u 2 x + u 2 y)v z u 2 y + u 2 z u x u y u x u z u x u y u 2 x + u 2 z u y u z u x u z u y u z u 2 x + u 2 y v Sats 16.7 (Rörelsemängdsmoment m.a.p. masscentrum). För en stelkropp i generell tredimensionell rörelse ges rörelsemängdsmomentet m.a.p. masscentrum G av H G = Ī G ω, (16.9) där ω är kroppens vinkelhastighet och Ī G är kroppens tröghetsmatris m.a.p. G. Bevis. Låt s = s x ē x + s y ē y + s z ē z vara en vektor från masscentrum till ett masselement dm. Då skrivs ekv. (16.7) H G = s ( ω s)dm = { ekv. (16.8) } s 2 y + s 2 z s x s y s x s z = s x s y s 2 x + s 2 z s y s z ωdm = { ω konstant } s x s z s y s z s 2 x + s 2 y (s2 y + s 2 z)dm s xs y dm s xs z dm = s xs y dm (s2 x + s 2 z)dm s ys z dm s xs z dm s ys z dm ω = { def. 16.1 } (s2 x + s 2 y)dm = = Ī G ω. I Gxx I Gxy I Gxz I Gxy I Gyy I Gyz I Gxz I Gyz I Gzz ω = { def. 16.1 } Sats 16.8 (Rörelsemändsmoment m.a.p. kropps- och rumsfix punkt). För en stelkropp i generell tredimensionell rörelse ges rörelsemängdsmomentet m.a.p. en kropps- och rumsfix punkt O av H O = Ī O ω, (16.10) där ω är kroppens vinkelhastighet, och Ī O är kroppens tröghetsmatris m.a.p. O.

116 statik och dynamik Bevis. Välj O som origo så att d = OG är en kroppsfix vektor och lägesvektor för G. Hjälpsats 15.9 ger i så fall v G = d = ω d. Enligt förflyttningssatsen för rörelsemängdsmoment, sats 13.6, gäller H O = H G + d Ḡ = { ekv. (13.5) och ekv. (16.9) } = Ī G ω + d m v G = Ī G ω + m d ( ω d) = { ekv. (16.8) } d 2 y + d 2 z d x d y d x d z = Ī G ω + m d x d y d 2 x + d 2 z d y d z ω = { ekv. (16.6) } d x d z d y d z d 2 x + d 2 y = Ī O ω. 16.3 Dynamiska fenomen Genom att kombinera kinematik, kraftlagen och momentlagarna kan vi lösa dynamikproblem med generell tredimensionell rörelse. Två viktiga fenomen är obalans vid fixaxelrotation och gyrodynamik. Hur man angriper sådana problem illustreras med två exempel. Obalans vid fixaxelrotation En stelkropp som roterar kring en fix axel kan ge upphov till krafter och kraftparsmoment vid infästningspunkterna på grund av obalans. b ω, α 2b C y O x z A y O Figur 16.4: Stel masslös lagrad axel OA med vidfäst massiv smal stång. Lagren tillåter vridning, men förhindrar rörelse i radiell riktning. Lagret O förhindrar även axiell rörelse. z A b m, l Betrakta det mekaniska systemet i fig. 16.4. En masslös axel är monterad mellan lagringspunkterna O och A. Lagren tillåter alla former av vridning, men förhindrar rörelse i radiell riktning. Lagret O förhindrar dessutom axiell rörelse. På axeln OA är en smal cylinder med längden l och massan m fastgjord enligt den måttsatta figuren. Rörelsen drivs av ett givet kraftparsmoment C. Vi önskar bestämma reaktionskraften F A vid A vid en given momentan vinkelhastighet ω. Tyngdkraften kan försummas.

tredimensionell kinetik 117 Val av koordinatsystem: Vi inför ett koordinatsystem xyz så att z- riktningen sammanfaller med OA och koordinatsystemet roterar med axeln OA. Vinkelhastigheten för både axeln och koordinatsystemet skrivs därmed ω = ωē z och vinkelaccelerationen skrivs ᾱ = αē z, där α är obekant. Friläggning: Vi frilägger kroppen i ett godtyckligt läge m.h.a. det roterande koordinatsystemet. y F Ax z F Ay C F Ox F Oy F Oz x Rörelseekvationer: Vi väljer att teckna momentlagen m.a.p. den kroppsoch rumsfixa punkten O, för att på så vis eliminera de obekanta kraftkomponenterna vid O: Σ M O = HO. (16.11) Momentsumma: Σ M O = OA F A + C Momentsumman m.a.p. O ges av = 3bē z (F Ax ē x + F Ay ē y ) Cē z = 3bF Ax ē y 3bF Ay ē x Cē z. Rörelsemängdsmoment: För att beräkna högerledet H O i momentlagen, ekv. (16.11), behöver vi först bestämma H O = Ī O ω. Förflyttningsvektorn för cylindern ges av d = OG = b 0 2b. z momentpunkt Vi approximerar cylindern med en smal stång med längden l. Tröghetsmatrisen ges enligt parallellaxelsatsen 16.4 av d 2 y + d 2 z d x d y d x d z Ī O = Ī G + m d x d y d 2 x + d 2 z d y d z = { tabell E.1 } G d y O x = d x d z d y d z d 2 x + d 2 y 1 12 ml2 0 0 0 0 0 0 0 1 12 ml2 + m 4b 2 0 2b 2 0 5b 2 0 2b 2 0 b 2.

118 statik och dynamik Härefter kan vi beräkna rörelsemängdsmomentet H O = Ī O ω = = 2mb 2 ω }{{} 1 12 ml2 + 4mb 2 0 2mb 2 0 5mb 2 0 2mb 2 0 1 12 ml2 + mb 2 ē x + ( 112 ) ml2 mb 2 ω ē z. =H Ox }{{} =H Oz 0 0 ω Rörelsemängdsmomentets tidsderivata: Eftersom uttrycket för rörelsemängdsmomentet innehåller tidsvarierande basvektorer måste Coriolis ekvation (15.8) användas för tidsderivering: H O = d H O dt + ω H O xyz = ḢOxē x + ḢOyē y + ḢOzē z + ω H O ( ) 1 = 2mb 2 ωē x 12 ml2 + mb 2 ωē z [ ( ) ] 1 +( ωē z ) 2mb 2 ωē x 12 ml2 + mb 2 mωē z ( ) 1 = 2mb 2 αē x 12 ml2 + mb 2 αē z 2mb 2 ω 2 ē y. Beräkningar: Insättning av uttrycken för Σ M O och HO i momentlagen, ekv. (16.11), och identifiering av dess x-, y- och z-komponenter ger ekvationssystemet 3bF Ay = 2mb 2 α 3bF Ax = 2mb 2 ω 2 ( ) 1 C = 12 ml2 + mb 2 α. Detta ekvationssystem löses m.a.p. F Ax och F Ay, vilket ger svaret F A = 2 3 mbω2 ē x 8bC 12b 2 + l 2 ēy Notera att reaktionskraftens riktning i rummet varierar med tiden, eftersom basvektorerna ē x och ē y varierar med tiden. Gyrodynamik Med ett gyro menar man en snabbt spinnande kropp sådan att spinnet p är fritt att ändra sin riktning i rummet. Gyrots mekaniska egenskaper är svåra att få en intuitiv känsla för. För att analysera ett mekaniskt system som innehåller ett gyro är det i stället nödvändigt att förlita sig på en matematisk analys, som i exemplet nedan.

tredimensionell kinetik 119 Betrakta det mekaniska systemet i fig. 16.5. En axel AO är fri att rotera kring en lodlinje tack vare ett lager vid A. Från en gaffelled vid O utgår en masslös axel OG som bildar vinkeln γ med lodlinjen. En cirkulär skiva med massan m och radien R har sitt centrum i punkten G och roterar kring OG med ett konstant spinn p. Trots att det mekaniska systemet tillåter en varierande vinkel γ ansätter vi γ = 0 och analyserar skivans rörelse. g y O lodlinje γ m G R p x Figur 16.5: En skiva med massan m spinnet p är via en masslös stång OG monterad i en konstruktion som medger fri rotation både kring lodlinjen och kring z-axeln. z l A Val av koordinatsystem: Vi inför ett koordinatsystem xyz så att x- riktningen sammanfaller med OG och z-riktningen är vinkelrät mot lodlinjen. Detta koordinatsystem roterar alltså med den kropp som sammanlänkar gaffelleden med skivan (fig. 16.5). Friläggning: Vi frilägger skivan med axel i ett godtyckligt läge m.h.a. det roterande koordinatsystemet. y G x O γ F O mg Kinematiska samband: Systemets tre stelkroppar numreras enligt fig. 16.6. Gaffeln AO har en vinkelhastighet riktad längs lodlinjen: ω 1 = (cos γē x + sin γē y ), y γ 3 G p x där = (t) är en okänd funktion av tiden. Systemets relativa vinkelhastigheter ges av 2 O g ω 2/1 = γē z = { ansats γ = 0 } = 0 1 ω 3/2 = pē x, A Figur 16.6: Systemet i fig. 16.5 består av tre kroppar i = 1, 2, 3.

120 statik och dynamik Eftersom koordinatsystemet xyz är fixerat vid kropp 2 är dess vinkelhastighet = ω 2 = { sats 15.13 } = ω 2/1 + ω 1 = (cos γē x + sin γē y ), medan vinkelhastigheten för skivan är ω 3 = { sats 15.13 } = ω 3/2 + ω 2/1 + ω 1 = (p + cos γ)ē x + sin γē y. Rörelseekvationer: Vi väljer att teckna momentlagen för skivan (kropp 3) m.a.p. den kropps- och rumsfixa punkten O, för att på så vis eliminera den obekanta kraftvektorn vid O: Σ M O = HO. (16.12) Momentsumma: Σ M O = OG mḡ Momentsumman m.a.p. O ges av = lē x mg( cos γē x sin γē y ) = mgl sin γē z. Rörelsemängdsmoment: För att beräkna högerledet HO i momentlagen, ekv. (16.12), behöver vi först bestämma H O = Ī O ω 3. Förflyttningsvektorn för skivan ges av d = OG = l 0 0. y O d momentpunkt G x Tröghetsmatrisen ges enligt parallellaxelsatsen 16.4 av d 2 y + d 2 z d x d y d x d z Ī O = Ī G + m d x d y d 2 x + d 2 z d y d z = { tabell E.1 } d x d z d y d z d 2 x + d 2 y 1 2 mr2 0 0 1 = 0 4 mr2 0 + m 1 0 0 4 mr2 Härefter kan vi beräkna rörelsemängdsmomentet 0 0 0 0 l 2 0 0 0 l 2. H O = Ī O ω 3 1 2 mr2 0 0 p + cos γ 1 = 0 4 mr2 + ml 2 0 sin γ 1 0 0 4 mr2 + ml 2 0 = 1 ( ) 1 2 mr2 (p + cos γ) ē x + }{{} 4 mr2 + ml 2 sin γ ē y. }{{} =H Ox =H Oy

tredimensionell kinetik 121 Rörelsemängdsmomentets tidsderivata: Eftersom uttrycket för rörelsemängdsmomentet innehåller tidsvarierande basvektorer måste Coriolis ekv. (15.8) användas för tidsderivering: H O = d H O dt + H O (16.13) xyz = ḢOxē x + ḢOyē y + ḢOzē z + H O = { } = 1 ( ) 1 2 mr2 cos γēx + 4 mr2 + ml 2 sin γē y +m sin γ [(l 2 14 ) R2 2 cos γ 1 ] 2 R2 p ē z. Beräkningar: Insättning av uttrycken för Σ M O och HO i momentlagen, ekv. (16.11), och identifiering av dess x- och y-komponenter ger = 0, så att alltså måste vara konstant. Identifiering av z- komponenten ger ekvationen mgl sin γ = m sin γ [(l 2 14 ) R2 2 cos γ 1 ] 2 R2 p (l 2 14 R2 ) 2 cos γ 1 2 R2 p + gl = 0. (16.14) Vi kan sedan lösa ekv. (16.14) m.a.p. och får ett konstant värde. I fallet γ = π/2 ser vi särskilt att den kvadratiska termen försvinner så att ekv. (16.14) förenklas till (γ = π/2) = 2gl R 2 p. Med ovanstående exempel visades att en möjlig lösning för rörelsen hos det mekaniska systemet i fig. 16.5 är att gyrot OG roterar med konstant vinkelhastighet kring en lodlinje medan vinkeln γ är konstant, då detta satisfierar rörelselagarna. Experiment visar att systemet också kan bete sig på detta sätt i praktiken, förutsatt att spinnet är tillräckligt stort för att ekv. (16.14) ska ha reella rötter. En stelkropp vars spinnvektor roterar med konstant vinkelhastighet sägs precessera stationärt.

Bilagor

A Geometri A.1 Plan geometri Vertikalvinklar α = β β α β Tabell A.1: Terminologi för vinklar vid skärande linjer. Linjer som ej skär varandra i tabellens bilder är parallella. Likbelägna vinklar α = β α Alternatvinklar α = β β α Komplementvinklar α + β = 90 β α Supplementvinklar α + β = 180 β α Topptriangelsatsen Likformiga trianglar uppstår när man genom en triangel ritar en linje parallell med triangelns bas (fig. A.1). För likformiga trianglar gäller a a = b b = c c. (A.1) a b Figur A.1: Geometri för topptriangelsatsen. a b c c A.2 Trigonometri Definitioner För en rätvinklig triangel med hypotenusan c och en vinkel θ, med närliggande katet b och motstående katet a, gäller (fig. A.2) θ c b a Figur A.2: Geometri för definitioner av trigonometriska funktioner.

126 statik och dynamik sin θ = a c cos θ = b c tan θ = sin θ cos θ = a b cot θ = cos θ sin θ = b a (A.2a) (A.2b) (A.2c) (A.2d) θ sin θ cos θ tan θ 0 0 1 0 ±30 ±1/2 3/2 ±1/ 3 ±45 ±1/ 2 1/ 2 ±1 ±60 ± 3/2 1/2 ± 3 ±90 ±1 0 odefinierat ±120 ± 3/2 1/2 3 ±135 ±1/ 2 1/ 2 1 ±150 ±1/2 3/2 1/ 3 ±180 0 1 0 Tabell A.2: Trigonometrisk värdetabell. Trigonometriska identiteter sin 2 θ + cos 2 θ = 1 (A.3a) 1 + tan 2 θ = 1 cos 2 θ (A.3b) sin(θ ± ϕ) = sin θ cos ϕ ± cos θ sin ϕ (A.3c) cos(θ ± ϕ) = cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ (A.3d) sin(2θ) = 2 sin θ cos θ (A.3e) cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ (A.3f) Sinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, vars motstående vinklar är α, β respektive γ (fig. A.3), gäller sin α a = sin β b = sin γ. (A.4) c γ a β α c b Cosinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, där γ är motstående vinkel till c (fig. A.3), gäller Figur A.3: Geometri för sinus- och cosinussatsen. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. (A.5)

geometri 127 Amplitud och fasvinkel Det gäller att A cos θ + B sin θ = C sin(θ + ψ), (A.6) där amplituden C och fasvinkeln ψ ges av C = arctan B A, A > 0 A 2 + B 2, ψ = arctan B A + πsgn(b), A < 0 (A.7) π 2 sgn(b), A = 0, där sgn( ) betecknar teckenfunktionen.

B Vektorer Detta kapitel ger en kortfattad repetition av vektorbegreppet. En mer detaljerad framställning återfinns annorstädes. 33 B.1 Geometriska vektorer Vektorer kan representeras geometriskt som ett riktat linjesegment i planet eller i rummet, och ritas som en pil. Speciellt ritas vektorer som är riktade ut ur papperets plan som (pilspets) och de som är riktade in i papperets plan som (pilfjädrar). I detta kompendium betecknas vektorstorheter med en pil ovanför variabelnamnet, t.ex. ū. En vektors belopp betecknas ū och är längden av det linjesegment som representerar vektorn (fig. B.1a). Två vektorer ū och w är lika, ū = w, om deras belopp (längd) och rikting är lika, oberoende av deras lägen i rummet (fig. B.1b). En vektor kan bildas av ett linjesegment, som förbinder två punkter A och B. En sådan vektor betecknas AB (fig. B.1c). Vi inför den särskilda nollvektorn 0 = AA, som har beloppet 0 och en odefinierad riktning. En negerad vektor ū har samma belopp som ū, men omvänd riktning (fig. B.1d). Vidare definieras summan av två vektorer i parallellogramlagen: Placera w:s startpunkt vid ū:s slutpunkt. Då är ū + w vektorn från ū:s startpunkt till w:s slutpunkt (fig. B.1e). Vektorsubtraktion definieras ū w ū + ( w). Om ett reellt tal c multipliceras med en vektor ū blir resultaten en ny vektor cū. Om c > 0 har ū och cū samma riktning, men om c < 0 har ū och cū motsatta riktningar. Det gäller att cū är c gånger längre än ū. Följande räkneregler gäller för vektorer i både två och tre dimensioner: 33 H. Anton and C. Rorres. Elementary linear algebra. John Wiley & Sons, Inc., 8th edition, 2000. ISBN 0-471-17052-6 ū A ū (a) (c) w (e) ū B AB ū + w 1 (b) ū (d) (f) ē u Figur B.1: (a) Vektor ū med beloppet ū. (b) Ekvivalenta vektorer. (c) Vektor som förbinder två punkter. (d) Negering omkastar en vektors riktning. (e) Vektoraddition med parallellogramlagen. (f) Riktningsvektorn ē u till ū har samma riktning som ū och beloppet 1. ū ū ū + w = w + ū (B.1a) c(dū) = (cd)ū (B.1b) c(ū + w) = cū + c w (B.1c) (c + d)ū = cū + dū. (B.1d) Här betecknar c och d godtyckliga reella tal.

130 statik och dynamik En vektor med längden 1 kallas enhetsvektor. En godtycklig vektor ū 0 har en så kallad riktningsvektor ē u, som är en enhetsvektor med samma riktning som ū (fig. B.1f). Man kan således skriva ū = uē u ē u = ū u, (B.2) där u 0 är ett reellt tal, en så kallad skalär. Denna skalär tillåts vara såväl positiv som negativ. Denna teknik att skriva vektorer som produkten av dess storlek och riktning används flitigt vid problemlösning. B.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem Vi inför ett ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med origo O och koordinaterna x, y och z i rummet. Att ett koordinatsystem är ortogonalt betyder att dess axlar är vinkelräta mot varandra. Huruvida det är högerorienterat bestäms av högerhandsregeln (fig. B.2). I detta kompendium används endast ortogonala högerorienterade koordinatsystem. Varje koordinataxel x, y och z definierar en riktningsvektor ē x, ē y respektive ē z i koordinatens positiva riktning (fig. B.3a). Vektorerna ē x, ē y och ē z bildar en ortogonal bas, vilket innebär att en godtycklig vektor ū kan representeras entydigt som ū = u x ē x + u y ē y + u z ē z, (B.3) där u x, u y och u z är skalärer (reella tal) och kallas vektorn ū:s komponenter. Termerna u x ē x, u y ē y och u z ē z är ū:s komposanter (fig. B.3b). Av bekvämlighetsskäl används ibland ett ekvivalent beteckningssätt, där vektorn skrivs som en kolumnmatris: u x ē x + u y ē y + u z ē z = u x u y u z. Att en vektors representation i en ortogonal bas är unik är särskilt viktigt. Tack vare denna egenskap gäller det att u x = w x ū = w u y = w y (B.4) u z = w z. En ekvation på vektorform kan alltså skrivas om till ett ekvationssystem med reella koefficienter och variabler. B.3 Skalärprodukt z Figur B.2: Högerhandregeln: Då högerhandens tre första fingrar hålls i vinkelrätt läge mot varandra pekar de ut x-, y- och z-axelns riktningar. ē z z ē y z ē z y ē y (a) ē x u y u z (b) y ē x y ū u x Figur B.3: (a) Ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med ortogonala basvektorer ē x, ē y och ē z. (b) En vektor ū med sina tre komposanter u xē x, u yē y och u zē z ritade met öppna pilhuvuden. x x x Skalärprodukten mellan två godtyckliga vektorer ū = u x ē x +u y ē y +u z ē z och w = w x ē x + w y ē y + w z ē z definieras som ū w ū w cos ϕ, (B.5)

vektorer 131 där ϕ är vinkeln mellan ū och w, så att 0 ϕ 180. Man kan visa att ū w = u x w x + u y w y + u z w z. (B.6) Resultatet av en skalärprodukt är, som synes, en skalär. En följd av ekv. (B.5) är att skalärprodukten för nollskilda vinkelräta vektorer (ϕ = 90 ) är 0: ū w ū w = 0. (B.7) Enligt ekv. (B.5) gäller också att ū ū = ū 2, eftersom cos 0 = 1. Ur detta samband får vi en formel för en godtycklig vektors belopp ū = ū ū = u 2 x + u 2 y + u 2 z. (B.8) Följande räkneregler gäller för skalärprodukt i både två och tre dimensioner: ū w = w ū (B.9a) ū ( v + w) = ū v + ū w (B.9b) c(ū w) = (cū) w, (B.9c) där c är en skalär. Räknereglerna för skalärprodukt ger att ū ē x = u x (ē x ē x ) + u y (ē y ē x ) + u z (ē z ē x ) = u x 1 + u y 0 + u z 0 = u x. Detta kan generaliseras till en godtycklig axel λ med riktningen ē λ ; vi har att ū ē λ är vektorn ū:s komponent i λ-riktningen. Skalärprodukten med en enhetsvektor ē λ kan tolkas som en ortogonal projektion på λ- axeln: u λ = ū ē λ = ū cos ϕ, där ϕ är vinkeln mellan ū och ē λ (fig. B.4). (B.10) ū ϕ ē λ λ ū ēλ B.4 Kryssprodukt Kryssprodukten ū w mellan två vektorer definieras med determinantnotation som ē x ē y ē z ū w u x u y u z = w x w y w z Figur B.4: Projektion av en vektor på en godtycklig axel λ genom skalärmultiplikation med riktningsvektorn. = (u y w z u z w y )ē x + (u z w x u x w z )ē y + (u x w y u y w x )ē z. (B.11) Resultatet från en kryssprodukt är alltså en vektor. En konsekvens av definitionen är att resultatvektorns belopp ges av ū w = ū w sin ϕ, (B.12)

132 statik och dynamik ū där ϕ är vinkeln mellan ū och w. Dessutom är ū w vinkelrät mot både ū och w, och dess orientering följer högerhandsregeln (fig. B.5). Vidare gäller enligt ekv. (B.12) att om ϕ = 0 eller ϕ = 180 blir kryssprodukten 0: w ū w ū w ū w = 0. (B.13) Följande räkneregler gäller för kryssprodukt: Figur B.5: För kryssprodukt ges resultatvektorns riktning av högerhandsregeln. ū w = ( w ū) (B.14a) ū ( v + w) = ū v + ū w (B.14b) c(ū w) = (cū) w = ū (c w), (B.14c) ū ū = 0, (B.14d) där c är en skalär. Notera särskilt ekv. (B.14a): kryssprodukten byter tecken när multiplikanderna kastas om. Det finns också räkneregler som inbegriper både skalär- och kryssprodukt: ū ( v w) = (ū w) v (ū v) w (B.15a) ū ( v w) = w (ū v) = v ( w ū). (B.15b) B.5 Vektorvärda funktioner Om en vektor ū:s värde beror av en parameter t, som inte nödvändigtvis behöver vara tid, bildas en vektorvärd funktion ū(t). Denna kan skrivas ū(t) = u x (t)ē x + u y (t)ē y + u z (t)ē z, (B.16) där u x (t), u y (t) och u z (t) är vanliga skalära funktioner, och ē x, ē y och ē z är konstanta basvektorer. 34 Derivatan av den vektorvärda funktionen i ekv. (B.16) definieras dū dt lim ū(t + t) ū(t) = du x t 0 t dt ēx + du y dt ēy + du z dt ēz. (B.17) 34 Allmänt kan vektorvärda funktioner flera parametrar och andra värdemängder än R 3. Produktregeln gäller både för produkt med en skalär funktion, skalärprodukt mellan vektorvärda funktioner och kryssprodukt mellan vektorvärda funktioner. Det gäller alltså att d dc (cū) = dt dt ū + cdū dt, d dt d dū d w (ū w) = w + ū dt dt dt, dū d w (ū w) = w + ū dt dt, (B.18a) (B.18b) (B.18c) där c, ū och w alla är funktioner av t. Den bestämda integralen av den vektorvärda funktionen ū(t) i ekv. (B.16) är t2 t2 t2 t2 ūdt = u x dtē x + u y dtē y + u z dtē z. (B.19) t 1 t 1 t 1 t 1

vektorer 133 Även basvektorerna kan vara beroende av parametern t. Betrakta ett högerorienterat ortogonalt koordinatsystem med koordinaterna x, y och z och basvektorerna ē x (t), ē y (t) och ē z (t); basvektorerna förblir ortogonala enhetsvektorer men deras riktningar tillåts variera med parametern t. Den vektorvärda funktion ū(t) kan då skrivs. ū(t) = u x (t)ē x (t) + u y (t)ē y (t) + u z (t)ē z (t). (B.20) Vid derivering tillämpas produktregel så att dū dt = d dt (u xē x + u y ē y + u z ē z ) = { ekv. (B.18a) } = du x dt ēx + u x dē x dt + du y dt ēy + u y dē y dt + du z dt ēz + u z dē z dt. (B.21)

C Storhet, enhet och dimension En storhet är en mätbar egenskap hos ett föremål eller en företeelse. Varje storhet besitter en fysikalisk dimension och en storlek. Med dimension avses vilken typ av storhet det är frågan om, t.ex. längd, tid, fart, massa eller kraft. Med storlek avses relativ storlek jämfört med någon annan storhet med samma dimension. C.1 Dimension De grundläggande dimensionerna inom mekanik är tid (T), längd (L) och massa (M). 35 Från dimensionerna T, L och M kan härledda dimensioner bildas. Eftersom fart definieras som en sträcka (L) per tidsenhet (T), skrivs dimensionen för fart L/T. På motsvarande sätt har acceleration dimensionen L/T 2. Ett därutöver nämnvärt fall är dimensionen för vinklar. En vinkel definieras som kvoten mellan en cirkelbåges längd (L) och cirkelradien (L). Vinkelns dimension är därför L/L = 1. Vi säger att en storhet är dimensionslös när den har dimensionen 1. 36 C.2 Enhet En enhet är en välbestämd storhet, som används som referens vid beskrivning av andra storheter av samma dimension. Enligt SI-systemet 37 används följande enheter för dimensionerna tid, längd och massa: En sekund (s) har dimensionen T och definieras som varaktigheten hos 9 192 631 770 perioder av strålningen från övergången mellan de två hyperfina energinivåerna hos Cesium-133-isotopen i sitt grundtillstånd vid absoluta nollpunkten. 35 Det är även möjligt att välja tre andra grundläggande dimensioner, t.ex. tid, längd och kraft. 36 Storheter har alltid en dimension, så begreppet dimensionslös är oegentligt. 37 Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units (SI). 8th edition, 2006 En meter (m) har dimensionen L och definieras som den sträcka ljuset färdas i vakuum under 1/299 792 458 sekunder. Ett kilogram (kg) har dimensionen M och definieras som massan hos arkivkilogrammet: ett cylinderformat metallföremål (fig. C.1). 38 Härledda enheter kan bildas från produkten eller kvoten av fördefinierade enheter. Till exempel kan vi bilda enheten meter per sekund 38 R. Davis. The SI unit of mass. Metrologia, 40(6):299 305, 2003

136 statik och dynamik (m/s), som får dimensionen L/T och alltså kan användas för att beskriva fart. Dessutom kan prefix användas för att beteckna multiplar eller andelar av en enhet, t.ex. betyder mikrosekund (µs) en miljondels sekund, där mikro- (µ) är prefixet för en miljondel. Några vanliga prefix återfinns i tabell C.1. Det finns även enheter med dimensionen 1, t.ex. procent [%] och enheter för vinklar som radianer [rad] och grader [ ]. Gemensamt för dessa enheter är att de definieras matematiskt, utan hänvisning till något fysikaliskt fenomen. C.3 Mätetal Värdet hos en storhet X, med avseende på en enhet E, uttrycks som en produkt av ett mätetal n och enheten: X = ne, (C.1) där n är en reell koefficient som inte påverkar uttryckets dimension. En vektorstorhet X kan skrivas X = ne, (C.2) där n är en vektor med reella komponenter. Om hastigheten v är 5,0 m/s i z-riktningen är det således korrekt att skriva: v = 5,0ē z m/s. C.4 Räkneregler för dimension Vi använder beteckningssättet [X] för dimensionen hos en storhet X. Till exempel betyder [l] = L att l har dimensionen längd. Om X och Y är storheter gäller det att Figur C.1: Kopia av arkivkilogrammet, som förvaras hos National Institute of Standards and Technology i USA. Prefix Symbol Faktor tera- T 10 12 giga- G 10 9 mega- M 10 6 kilo- k 10 3 hekto- h 10 2 deci- d 10 1 centi- c 10 2 milli- m 10 3 mikro- µ 10 6 nano- n 10 9 pico- p 10 12 Tabell C.1: Några prefix som används inom SI-systemet. X = Y [X] = [Y ]. (C.3) Dimensionen hos de båda leden av en ekvation måste alltså vara lika. För dimensioner gäller följande räkneregler [nx] = [X] { (C.4a) [X + Y ] = [X], om [X] = [Y ] odefinierat, annars (C.4b) [XY ] = [X] [Y ] (C.4c) [X n ] = [X] n (C.4d) där n är ett reell tal. En dimensionsbetraktelse av kraftlagen, ekv. (1.4), ger [ Σ F ] = [mā] = { ekv. (C.4c) } = [m] [ā] = M L T 2, så att dimensionen för kraft ges av en kombination av de grundläggande dimensionerna.