Teoretisk elektroteknik F, del 1 Tidigre tentmin Institutionen för elektroteknisk teori och konstruktion KTH, 1 44 Stockholm
1. TEORETISK ELEKTROTEKNIK DEL 1 för F2 2H138/1 2 1 27 Förslg på lösningr Rndvillkoren, nollpotentil för = och i, blir uppfylld om ytlddningen på plnet representers med en spegld linjelddning λ ( ) λ () melln d. Totlllddningen = ger tt på stort vstånd blir fältet ett dipolfält. Dipolmomentet fås som p = = Qẑ 4d π d rdq = ẑ π/2 d d π π { λ () d = Qẑ sin d 2d 2d d = usin udu = Qẑ 4d π [sin u u cos u]π/2 = Qd 4 π ẑ u = π } = Qẑ 2d 2d π π/2 π/2 usin udu - Bokens formel (3.13) ger tt i ett sfäriskt koordintsystem (r, θ, φ) med -xeln som polxel blir det elektrisk fältet för r >> d, θ π/2 Svr: E = Qd ( ) π 2 ε r 3 2 cos θˆr + sin θˆθ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. Vid ytlddningen blir det elektrisk fältet från dipolen p ( ) E = 4πε b 3 2 cos θˆr + sin θˆθ Av den xiell symmetrin följer tt endst -komponenten bidrr till den resulternde krften. E = ẑ E = ẑ = ˆr cos θ ˆθ sin θ p 4πε b 3 ( 2cos 2 θ sin 2 θ ) = Krften i -led på ett ytelement d = b 2 sin θdθdφ blir df = σe d = p ( 3cos 2 4πε b 3 θ 1 ) pσ ( 3 cos 2 θ 1 ) sin θdθdφ 4πε b - Totlt: F = pσ 4πε b 2π π/2 ( 3 cos 2 θ 1 ) sin θdθ = pσ 2ε b 1 ( 3t 2 1 ) dt = pσ [ t 3 t ] 1 2ε b = Svr: F = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3. Den inducerde mgnetiseringen i klotet är en superposition v bidrgen från den rk tråden och slingn. Konfigurtionen sling - klot: Slingns mgnetisk dipolmoment blir m = Iπb 2ˆx. Om vi bortser från inverkn v det sml hålet genom klotet hr vi xiell symmetri runt x-xeln. Det xilsymmetrisk mgnetfältet från slingn, vilket hr endst x-komponent på x-xeln, ger upphov till en xilsymmetrisk mgnetisering i klotet som i sin tur ger ifrån sig ett runt x-xeln symmetrisk störfält B stör. Eftersom B stör blir riktt i x-led på x-xeln blir dess bidrg till vridmomentet m B stör =. I konfigurtionen rk tråd - klot är den end fri strömmen den som går i den rk tråden. Axiell symmetri runt -xeln och Ampéres lg ger då tt H = I 2πs ˆφ, såväl inuti som utnför klotet. Vid slingn, i s = 2, φ =, fås tt B = µ H = µ I Vridmomentet på slingn blir då 4πŷ. Svr: N = ˆm B = µ I 2 b 2 ˆx ŷ = µ I 2 b 2 ẑ 4 4 Kommentr: Med ett ej försumbrt hål genom klotet så ligger slingn längs med skärningslinjen melln två vinkelrät symmetripln, så B stör blir även då riktt i x-led vid slingn.
4. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Bundn strömtätheter: J b = M = M ẑ = i volymen, K b = M ˆn = Mẑ (±ẑ) = på de pln ytorn. ˆθ = sin θẑ + cos θŝ (φ) ger tt på mntelytn blir ˆn = ˆθ (θ = α, φ) vilket ger B fås med Biot-Svrts lg: K b = M ˆθ = M cos αẑ ŝ (φ) = M cos αˆφ (φ) B (r) = µ Kb (r ) (r r ) 4π r r 3 d r =, r = r ˆr (α, φ ) = r ( cos αẑ + sin αŝ (φ ) ), d = dr (r sin αdφ ) K b (r ) ( r ) = M cos αr ˆφ ( cos αẑ sin αŝ ) = M cos 2 αr ŝ (φ ) + M cos αsin αr ẑ b B () = µ M sin α 2π dr 4π { 2π } = ŝ (φ )dφ = dφ cos2 αŝ (φ ) + cos α sin αẑ (r ) 3 (r ) 2 = µ M 2 cos αsin 2 αẑ b dr r = µ M 2 cos α sin 2 αln b ẑ = Svr 5. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Låt x-xeln smmnfll med kondenstorns symmetrixel och låt x = vid kondenstorns vänstr knt och låt x = L vid kondenstorns högr knt (vid spänningskälln). Enligt principen om virtuellt rbete fås då tt den krft med vilket den dielektrisk hålcylindern drges inåt i kondenstorn blir F x = 1 dc 2 U2 dx Kpcitnsen blir en prllellkoppling v fler delkpcitnser: C = C knter + C kon + C diel + C luftfylld. Elektrisk fältet är svårbestämt i kntområden och det konisk området men ändrs inom dess inte nämnvärt under förflyttningen. Alltså, delkpcitnsern C knter och C kon ändrs inte. I de inre snäll områden, som bidrger till C diel + C luftfylld, fås ett linjelddningsfält E = U ŝ ln b s Ytlddningen på innerledren σ = εe s (s = ) ger tt lddningen per längdenhet blir 2πσ = 2πεE s (s = ) = 2πε U ln b vilket ger tt kpcitnsen/längdenhet blir 2πε ln b Låt nu vribeln x vr vståndet från kondenstorns vänstr knt till strx innn den konisk vfsningen. Vi får då tt C diel = 2πε rε (x L 1 ) och tt C luftfylld = 2πε (L L 2 L kon x), där L 1, L 2 ln b och L kon är längdern v de besvärlig övergångsområden vid vänstr knten, högr knten smt konområdet. dc dx = d dx (C diel + C luftfylld ) = 2πε ln b (ε r 1) Krften med vilken hålcylindern drges inåt blir då ln b U 2 Delsvr 1: F x = πε ln b (ε r 1) Med de numerisk värden erhålles: F x = π 1 9 36π 11.5 3 = 12 3 N. = Delsvr 2
TEORETISK ELEKTROTEKNIK DEL 1 för F2 2H138/1 21 1 11 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Kursboken, βet och fickräknre Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld. 1. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Används formler hämtde ur boken, skll giltigheten diskuters! Två små prtiklr med lddningen q respektive q är plcerde ovnför ett metllpln enligt figuren. Beräkn rbetet för tt flytt prtikeln med negtiv lddning till en punkt rkt ovnför den med positiv lddning och på vståndet 3h till plnet! 2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Området r < hr rymdlddningstätheten ρ(r) = r2 2 ρ och ε r = 1. Området < r < 3 hr ρ = och ε r = 3. Metllsklet r = 3 är jordt. Området r > 3 hr ρ = och ε r = 1. Beräkn systemets totl elektrosttisk energi! 3. 4. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - En mgnetisk dipol m = mẑ är belägen i ett homogent mgnetiskt fält B = B ẑ. Vis tt om m/b > finns det en sfärisk yt, centrerd runt dipolen, genom vilken smtlig fältlinjer psserr vinkelrätt. Bestäm också rdien v denn sfärisk yt smt det mgnetisk flödet genom den. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - En cirkulärcylindrisk stv hr längden h och rdien. Stven, som ntges vr centrerd runt -xeln melln h, hr i sin längdriktning polristionen P = P (1 /h)ẑ. Bestäm elektrosttisk potentilen utnför stven under ntgndet tt stven är långsml, dvs << h. 5. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - En cirkulär sling med rdien ligger i xy-plnet. Slingn för strömmen I. Vrje mgnetisk fältlinje kommer tt psser genom xy-plnet i två punkter, en innnför och en utnför slingn. Betrkt en fältlinje som innnför slingn psserr genom xy-plnet på vståndet b från slingns centrum, där vi ntger tt tt b <<. Bestäm på vilket vstånd från slingns centrum som denn fältlinje psserr xy-plnet utnför slingn.
1. TEORETISK ELEKTROTEKNIK DEL 1 för F2 2H138/1 21 1 11 Förslg på lösningr Vidstående speglingsproblem uppfyller för > 2 V = ρ ε och rndvillkoret V = på rändern, och hr då enligt Dirichlets entydighetssts smm lösning i utgångsläget som givn problemet för >. Vi nvänder energiprincipen, som säger tt ändringen i systemets elektrosttisk energi är lik med det rbete, som krävs tt flytt lddningen. I utgångsläget är energin (med egenergin borträknd) v symmetriskäl W före = 2 1 [ 2 q q 1 4πε 2h + 1 2h + 1 ] 2 = q2 (4 2) 2h 16πε h Efter förflyttningen är potentilen hos positiv prtikeln V 1 = q [ 1 4πε 2h + 1 2h + 1 ] = 3q 4h 16πε h Hos den negtiv prtikeln är V 2 = q [ 1 4πε 2h + 1 4h + 1 ] = 5q 6h 48πε h Totl energin efteråt är då W efter = 1 2 (qv 1 + ( q)v 2 ) = 7q2 48πε h Energiändringen = Erforderligt rbete = W efter W före = q2 48πε h [ 7 + 3 4 3 2] = (5 3 2)q 2 =Svr 48πε h - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. För energiberäkningen nvänds W = 1 E Ddτ. 2 Av symmetriskäl är D(r) = D r (r)ˆr, och Guss sts ger för r < D r 4πr 2 = r för < r < 3 D r 4πr 2 = Energin blir W = ρ2 2 25ε ρ (r ) 2 2 4π(r ) 2 dr = 4πρ r5 5 2 ρ (r ) 2 2 4π(r ) 2 dr = 4πρ 3 5 r 6 3 4 6 [ ] 4πr2 dr + ε r r 4 4πr2 dr = 2πρ2 5 25ε 9 + 5 3 5 9 = 2π5 ρ 2 75ε =Svr 2
3. 4. Med dipolen i origo blir dipolens fält (i sfärisk koordinter (5.86)) B = µ ( ) m 4πr 3 2cos θˆr + sin θˆθ Med ẑ = cos θˆr sin θˆθ blir det totl fältet ( µ m ) ( B tot = B + B = 2πr 3 + B µ m ) cos θˆr + 4πr 3 B sin θˆθ ( ) µ m θ-komponenten försvinner, för ll θ, på en viss rdie r omm 4πr 3 B =, vilket ger µ m Delsvr r = 3, som hr en reell och positiv rot omm m/b > V.S.V. 4πB Mgnetisk flödet genom en sluten yt blir lltid Φ = B d = }{{ B } dτ = = Delsvr - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Polristionen ger upphov till en bunden rymdlddning ρ b = P = dp d = P smt en bunden h ytlddning σ b = ˆn P = ẑ P ( = ) = P vid ändytn =. P = vid ändytn = h och prllell med mntelytn, så vid dess fås ing bundn ytlddningr. Eftersom vi söker potentilen en bit utnför stven och << h pproximerr vi ρ b och σ b med en linjelddning respektive en punktlddning: λ b = ρ b π 2 = P π 2, q b = σ π 2 = P π 2 h Potentilen blir då = V (r) = q b 4πε r + λ b 4πε h P 2 = 4ε s 2 + + P 2 2 4ε h Svr: V (s, ) = P 2 h 4ε h d r r = q b 4πε s 2 + + λ h b 2 4πε h du s 2 + u 2 s2 + + ln + s 2 + 2 2 h + s 2 + ( h) 2 d s 2 + ( ) 2 5. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - De fältlinjer som psserr innnför s = b går tillbk utnför den sökt rdien s = r (för fältbild se t.ex. figur 5.55b i Griffiths). Eftersom B = bestäms r då v tt flöden Φ s<b (innnför b) och Φ s>r (utnför r ) skll vr lik stor. Då b << är B pproximtivt konstnt innnför s = b. Exempel 5.6 i Griffiths ger tt B = µ I ẑ i centrum v 2 slingn. Med ˆn = ẑ blir då Φ s<b = µ I 2 πb2. Fältbilden ntyder tt r >> och då blir fältet utnför r pproximtivt ett dipolfält. Dipolmomentet m = Iπ 2 ẑ ger B = µ Iπ 2 ( ) 4πr 3 2 cos θˆr + sin θˆθ = {θ = π } 2, r = s = µ I 2 4s 3 ẑ. µ I 2 ˆn = ẑ ger tt Φ s>r = r 4s 3 2πsds = µ Iπ 2 2r ( ) 2 Flödeskonserveringen, Φ s>r = Φ s<b, ger slutligen Svr: r = b Eftersom b >> 1 gäller tt r >> OK! 3
TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2H138/1) för F2 21 8 2 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Kursboken, βet och fickräknre. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld. 1. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! På ett mycket stort metllpln står en rät cirkulär kon med bsrdien och höjden h; se figuren. Beräkn dipolmomentet, om konen hr en homogen rymdlddning ρ! h ρ 2. 3. Två mycket stor metllpln är plcerde enligt figuren. En prtikel med lddningen q befinner sig först i punkten 4ˆx +3ŷ. Beräkn det rbete som åtgår för tt flytt prtikeln till punkten 6ˆx + 8ŷ + ẑ! Ett mycket långt cylindriskt mteril med symmetrixel längs -xeln är delt i två hälfter enligt figuren. Området y>,<s<bför en likström I i positiv -riktningen, medn området y <, < s < b för smm ström i negtiv -riktningen. Strömmen är jämnt fördeld över tvärsnittet i respektive delområde och den reltiv permebiliteten är µ r =1,överllt. Beräkn fältet B på -xeln! y s y I I q x x 4. Ett sfäriskt metllskl med ytterrdien hr sitt centrum i origo. Metllsklet, som hr totllddningen noll, är omgivet v ett isolernde skikt, med innerdien och ytterrdien b = 2, vrs reltiv permittivitet är ε r = 5. Inuti metllsklet, på vståndet /2 från origo, ligger en liten prtikel med lddningen q. Beräkn metllsklets potentil smt den mximl elektrisk fältstyrkn utnför sklet, dvs för r>! 2 q Vänd!
5. En nivågivre består v en cylindrisk kondenstor, enligt figuren. Kondenstorns längd är L, innerledren hr rdien och ytterledren hr rdien b. Genom tt mät kondenstorns kpcitns kn vätskenivån inuti kondenstorn bestämms. Ge ett uttryck för vätskehöjden h som funktion v kondenstorns kpcitns, då vätskns reltiv permittivitet är ε r! Det förutsätts tt L >>(b ), men inte nödvändigtvis tt b/ är när 1. L 2b 2 h
1. TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2H138/1) för F2 21 8 2 Förslg på lösning. Spegling enligt figuren ger ett problem med smm käll i hlvrymden >, med en lösning som uppfyller rndvillkoret V = på hlvrymdens begränsningsytor (inklusive ). Enligt entydighetsstsen är det lltså den rätt lösningen. Av rottionssymmetrin följer tt det resulternde ( dipolmomentet blir riktd i -led. Bidrget från volymelementet dτ 1 = πs 2 d ) ( och dess spegelbild dτ 2 blir dp = ρ πs 2 d ) ẑ +( ρ ) ( πs 2 d ) ( ẑ) =2ρ πẑs 2 d, där rdien s (h ) ges som s =. h Integrering ger slutligen h - ρ ρ dτ 1 dτ 2 2. 3. p =2πρ ẑ 2 h 2 h ( h 2 2h + 2) d = ẑ 2πρ 2 [ h 2 2 h 2 2 ] h 2 h3 3 + 4 4 = πρ 2 h 2 ẑ = Svr 6 Spegling enligt figuren ger ett problem med smm käll i kvrtsrymden x>,y >, med en lösning som uppfyller rndvillkoret V = på kvrtsrymdens begränsningsytor (inklusive ). Enligt entydighetsstsen är det lltså den rätt lösningen. Här är rbetet inte lik med q (V strt V slut ), eftersom de inducerde lddningrn på metllplnen inte ligger still under förflyttningen. Vi nvänder istället tt de elektrisk lddningrns rbete är A e = W strt W slut. Energin ges som W = 1 q k V k. I det fysiklisk problemet hr lddningrn på plåtrn potentilen V =,sådet end 2 k bidrget till energin kommer från orginllddningen i potentilen från ytlddningrn, vilk representers v spegellddningrn. A e = 1 [( 2 q 1 q 4πε 8 + q 6 + q ) ( q 1 12 + q 16 + q )] = 23q2 2 192πε = Svr I Betrkt en differentiell ström di = π (b 2 2 sdsdφ, i den ) /2 övre hlvn. Enligt Ampéres cirkultionslg blir bidrget till B- fältet på -xeln (se figuren) db 1 = µ di (sin φˆx cos φŷ). 2πs Från motsvrnde ställe på den undre hlvn (speglt i x-xeln) blir bidrget db 2 = µ di 2πs (sin φˆx +cosφŷ), di s di y φ -q q y db 1 db 2 q -q db x x vilket ger db =db 1 +db 2 = µ di πs sin φˆx = 2µ I π 2 (b 2 2 sin φdsdφˆx. ) Integrering över s b, φ π ger slutligen Svr: B = 2µ I π 2 (b 2 2 (b )2ˆx = 4µ ) I π 2 (b + ) ˆx
4. Eftersom metllsklet hr konstnt potentil, och då området utnför dett skl hr sfärisk symmetri, kommer fältet utnför metllsklet tt h sfärisk symmetri. Vi kn då nvänd Guss lg för tt bestämm fältet utnför metllsklet. Vi får tt D r (r) 4πr 2 = Q inne = q D = q ˆr, för ll r>. 4πr2 q q För elektrisk fältstyrkn får vi tt E = ˆr för r>bsmt tt E = ˆr för <r<b 4πε r2 4πε r ε r2 Elektrosttisk potentilen blir då V () = V () V ( ) }{{} = = V () V (b)+v (b) V ( ) b q [ = 4πε r ε r 2 dr + q b 4πε r 2 dr = q 1 4πε r ε 1 b + ε ] r b [ q Med b =2 och ε r = 5 blir potentilen V () = 1 1 4π5ε 2 + 5 ] = 3q = Delsvr 1. 2 2πε Eftersom fältstyrkn vtr med kvdrten på vståndet r erhålls det störst värdet för den minst rdien, i respektive delområde. q I området r>2får vi E mx = 4πε (2) 2 = q 16πε 2 medn vi i området <r<2 får E mx = q 4π5ε () 2 = q 2πε 2. Dett ger Delsvr 2: E q mx = 16πε 2, i luften. (Med ett isolernde skikt kn mn lltså reducer den elektrisk fältstyrkn närmst sfären. Dett nvänds oft i prktisk situtioner, där risk för genomslg föreligger.) 5. Eftersom L >> b bortservifrån rndeffekter vid toppen och botten v kondenstorn. Kpcitnsen fås som C = Q/U, där Q är lddningen på innerledren och U = V (s = ) V (s = b) är spänningen melln ledrn. Q = λ 1 (L h) +λ 2 h,där λ 1 och λ 2 är lddningsbeläggningen/längdenhet på innerledren i den luftfylld respektive vätskefylld delen v kondenstorn. Fältet från en linjeldding ges som E = λ Då ledrn är ekvipotentilytor, gäller för spänningen 2πεsŝ. U tt ( b U = E 1 dl = λ b 1 ds 2πε s = λ 1 ln b 2πε ) ( b = E 2 dl = λ 2 2πε r ε ln b Härrur följer tt E 1 = E 2,iöverensstämmelse med tt rndvillkoret E tng kontinuerlig skll vr uppfyllt på den inre gränsytn, melln luften och vätskn. Vi hr lltså tt λ 2 = ε r λ 1 Q =(L +(ε r 1) h) λ 1. Kpcitnsen blir då C = Q U = (L +(ε r 1) h) λ 1 λ 1 2πε ln b = 2πε ln b ( (L +(ε r 1) h) h = 1 C ln b ε r 1 2πε ) ) L = Svr
TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2H138/1) för F2 21 1 25 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: βet; ett A4-rk med egn nteckningr; fickräknre. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld. 1. 2. 3. 4. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! En sfärisk volym med rdien hr rymdlddningstätheten ( ρ (r) =ρ 3 4 r ), där r är vståndet från volymens centrum. ) Bestäm det elektrisk fältet E (3 poäng)! b) Bestäm den elektrosttisk energin (2 poäng)! ρ(r) Ett horisontellt, stort, lednde metllpln hr en upphöjning i form v en hlvsfär med rdien. Mitt över hlvsfären på höjden h (h >) befinner sig en punktlddning q. Bestäm krften på punktlddningen och den inducerde lddningen på metllplnet utnför hlvsfären! Ett område givet som r b, θ α, φ 2π, isfärisk koordinter (r, θ, φ), hr mgnetiseringen M (r) =M 2 Beräkn mgnetfältet B i origo! ˆr (θ, φ). r2 h q M(r) En punktlddning q befinner sig i origo. I fältet från punktlddningen plcers det in två mycket tunn hlvsfärisk metllskl i ekvipotentilytorn r = och r = b, med båd sklen i smm vinkelområde θ π/2; se figur (). Om vrder v metllsklen är totlt sett olddt blir ders inverkn på det elektrisk fältet försumbr. Därefter fylls området melln metllsklen med ett dielektriskt mteril med den reltiv permittiviteten ε r (ε r > 1), se figur (b), med resulttet tt det blir en komplicerd fältbild som är svår tt bestämm. Genom tt flytt en viss lddningsmängd Q från det större v metllsklen till det mindre, kn det elektrisk fältet återställs till det urspunglig punktlddningsfältet. Bestäm denn lddningsmängd Q! Vänd! () (b) α b q q ε r r= r θ r=b
5. Under en föreläsning år 182 upptäckte den dnske professorn Hns Christin rsted tt en kompssnål vvek från sin nord-sydlig orientering då en strömförnde ledning plcerdes ovnför densmm. Vi gör om experimentet med följnde moderniseringr. I m V N S O Kompssnålen beskrivs som en mgnetisk dipol plcerd i origo. Positiv x-xeln pekr mot norr, positiv y-xeln mot väster och positiv -xeln pekr rkt uppåt. Jordmgnetisk fältets horisontlkomponent är B ˆx och innn strömmen slgits på hr kompssnålen, som endst tillåts vrid sig i horisontlplnet, ett jämnviktsläge med dipolmomentet m = m ˆx. Denströmförnde rk tråden är plcerd horisontellt påhöjden h rkt ovnför kompssen och tråden är orienterd så tt den för en ström I i en riktning rkt mot NV. Efter tt strömmen slgits på: ) Bestäm vridmomentet på kompssnålen i först ögonblicket, innn den börjr vrid sig! b) Hur stor måste strömmen vr för tt kompssnålen skll pek rkt västerut i det ny jämnviktstillståndet!
1. 2. TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2H138/1) för F2 21 1 25 Förslg på lösning. ) Den sfärisk symmetrin innebär tt vi kn bestämm det elektrisk fältet mh Guss lg på integrlform: S E d = Q inne/ε. Innnför en Gussyt med en rdie r<blir den inneslutn lddningen r Q inne (r) = ρ (r )dτ = r <r ( r =4πρ 3(r ) 2 4 (r ) 3 ( ρ 3 4 r ) 4π (r ) 2 dr ) dr =4πρ ( r 3 r4 ) r Q inne På Gussytn, där E (r) =E r (r) ˆr, fås tt S E d =4πr2 E r (r), vilket ger tt E r (r) = ρ ) (r r2, ε för r<.för r>fås tt Q inne = Q inne (r = ) = vilket ger tt E r (r) =. Svr : E (r) = ρ ) (r r2 ˆr, r < ; E (r) =, r >. ε b) Den elektrosttisk energin beräkns lättst som W = ε E 2 dτ. MedE = utnför fås tt 2 R 3 W = ε 2 ρ 2 ε 2 ) 2 (r r2 4πr 2 dr = 2πρ2 ε ) (r 4 2 r5 + r6 2 dr ( ) = 2πρ2 5 ε 5 5 3 + 5 = 2πρ2 5 21 35 + 15 = 2πρ2 5 = Svr b 7 ε 15 15ε Gör en speglingsnsts med tre st spegellddningr enligt figuren. q 1 = 2 q, b = h h Med fås tt rndvillkoret V = blir uppfyllt på både den hlvsfärisk upphöjningen och den pln ytn utnför. Vidre gäller tt V =i och tt vi inte hr ändrt något på lddningrn i problemområdet. Enligt entydighetsstsen ger då orginllddningen och spegellddningrn rätt lösning, i problemområdet. Krften på lddningen q pg fältet från ytlddningrn blir densmm som krften från spegellddningrn. Coulombs lg ger direkt tt, Delsvr: [ ] F = qẑ q 1 4πε (h b) 2 q 1 (h + b) 2 q q 2 (2h) 2 = 4πε (2h) 2 ẑ 1+ 16 ( ) 3 h [ 1 ( ) ] 4 2 h h h q q 1 -q 1 -q E b b I plnet blir det elektrisk fältet (i cylinderkoordinter) { E = 1 4πε q sŝ hẑ q sŝ+hẑ + q sŝ bẑ [s 2 +h 2 ] 3/2 [s 2 +h 2 ] 3/2 1 q sŝ+bẑ [s 2 +b 2 ] 3/2 1 [s 2 +b 2 ] 3/2 } { = 1 2πε ẑ qh [s 2 +h 2 ] 3/2 + } q 1b [s 2 +b 2 ] 3/2 Den fri ytlddningstätheten på den pln delen v metllytn: σ f = ẑ D = ε ẑ E, vilket ger 2π Q pln = sds dφ σ f =2π 1 { } s qh 2π [s 2 + h 2 ] + q s 1b ds 3/2 [s 2 + b 2 ] 3/2 ( ) qh = 2 + h q 1 b 2 2 + b = q h 1 2 = Delsvr 2 2 + h 2 h 2
3. 4. Vi nvänder bundn strömtätheter: J b = M = ˆθ M r r sin θ φ ˆφ M r =, inuti M(r) r θ r=b K b = M (±ˆr) =, på klottern 2 K b = M r ˆr 2 (α, φ) ˆθ 2 (α, φ) =M r ˆφ 2 (φ), på mntelytn α r= Biot-Svrts lg: B (r) = µ K (r ) ˆR 4π R 2 d = µ K (r ) r r 4π r r 3 d r = och med θ = α fås tt r = r ˆr = r ( sin αŝ +cosαẑ ), d =dr r sin α dφ B () = µ b 2π 4π sin α r dr dφ M ( 2 ˆφ (r ) 2 r sin αŝ +cosαẑ ) (r ) 3 = µ M 2 sin α b dr 2π 4π (r ) 3 dφ ( cos αŝ (φ )+sinαẑ ) { 2π } = dφ ŝ (φ )= = µ M 2 sin 2 α b dr ẑ 2 (r ) 3 = µ M 2 sin 2 ( α 1 ẑ 4 2 1 ) b 2 = µ M sin 2 ( α ( ) ) 2 1 ẑ = Svr 4 b q Med E = ˆr överllt (utom inuti de mycket tunn metllsklen) fås 4πε r2 tt rndvillkoret E tng kontinuerlig är uppfyllt över den pln gränsytn θ = ε r π/2,<r<b, melln dielektrikt och luften. Vidre fås tt rndvillkoret ˆn E = ±ˆr E = blir uppfyllt (på vrder sidn) vid metllytorn r =, θ π/2 ochr = b, θ π/2. q E Förskjutningsfältet blir D luft = ε E = q 4πr ˆr 2 iluftenochd diel = ε r ε E = ε rq ˆr i dielektrikt. 4πr2 Mh rndvillkoret ˆn (Dövre D undre )=σ f (Griffiths (4.26)) fås tt de fri ytlddningstäthetern på metllsklen blir (båd sidor inräknde): σ = ˆr (D ( luft ) ( D diel + )) = q 4π 2 + ε rq 4π 2 = q 4π 2 (ε r 1), σ b = ˆr (D ( luft b + ) ( D diel b )) = q 4πb 2 ε rq 4πb 2 = q 4πb 2 (ε r 1), De fri totllddningrn på metllsklen blir Q =2π 2 σ = q 2 (ε r 1) och Q b =2πb 2 σ b = q 2 (ε r 1) 5. Svr: Lddningsmängden som skll flytts är Q = Q = Q b = q 2 (ε r 1). Enligt Ampéres cirkultionslg blir trådens mgnetfält vid dipolen B tråd = µ I ( ˆx + ŷ), dvs i riktning mot SV. 2πh 2 Det totl horisontell fältet vid dipolen blir då ( B hor = B µ ) I 2πh ˆx + µ I 2 2πh 2ŷ I V N S O
µ I ) Med m = m ˆx blir vridmomentet N = m B = m 2πh 2 ˆx ŷ = m µ I 2πh 2ẑ = Delsvr b) Med dipolen riktd så tt m = m ŷ blir vridmomentet ( N = m B = m B µ ) ( I 2πh ŷ ˆx = m B µ ) I 2 2πh ẑ, 2 vilket blir om I = 2 2πhB µ = Delsvr (dett är ett sätt tt mät det jordmgnetisk fältet)
TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2H138/1) för F2 22 1 1 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: βet; ett A4-rk med egn nteckningr. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld. 1. 2. 3. 4. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! En tunn cirkulär plstskiv med rdien och den konstnt ytlddningstätheten σ befinner sig påhöjden /2 ovnför ett mycket stort metllpln. Metllplnets och skivns normlriktningr smmnfller. Bestäm den elektrosttisk potentilen i skivns centrum! Ett hlvsfäriskt skl, belgt med den jämnt fördelde totllddningen Q, är plcert enligt figuren. I origo befinner sig en elektrisk dipol p = p ˆx. Bestäm vridmomentet verknde på den elektrisk dipolen! En mycket långsml cirkulärcylindrisk stv med rdien hr plcerts centrerd kring den negtiv -xeln så tt stvens en ände befinner sig vid origo. Stven hr den konstnt mgnetiseringen M = M ẑ. I närområden till (men inte lltför när) stvens båd ändr erhålles då med god pproximtion mgnetisk monopolfält, som ser ut tt härrör från punktlddningr plcerde mitt påändytorn. Monopolkrktären kn påviss nlytiskt genom tt först gör följnde två pproximtioner: 1) Antg tt stven är så psslång tt den bortre änden kn nses befinn sig vid. 2) Antg tt r>>(försumm tjockleken) och betrkt stven som en kontinuerlig stpel v mgnetisk dipoler längs med den negtiv -xeln. Beräkn nu mgnetfältet B och vis tt det blir till formen identiskt med ett elektriskt punktlddningsfält! Ledning: Beräkn först vektorpotentilen A. I en cirkulärcylindrisk metllstv med rdien hr det i stvens längdriktning borrts ut ett hål med rdien /2. Hålets centrumxel befinner sig på vståndet /2 från stvens centrumxel, dvs hålet tngerr stvens yt; se figuren. Stven för likströmmen I, jämnt fördeld över tvärsnittet hos den oborrde delen. Permebiliteten är µ överllt. Bestäm mgnetfältet B i borrhålet! Ledning: Superposition. M Q I p 2 y r x x Vänd!
5. Två sfärisk metllskl med rdiern och 3 hr lddningrn Q respektive 3Q(Q > ). De är plcerde så tt vståndet melln ders medelpunkter är. Det yttre sklet jords sedn vi en tråd som hr resistnsen R. Bestäm den i tråden utvecklde värmeenergin! 3Q 3 Q
TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2H138/1) för F2 22 1 1 Förslg till lösning. 1. I fri rymd, plcer en spegelskiv med ytlddningen σ prllellt med och på vståndet rkt under orginlskivn. Därmed fås tt potentilen V = på symmetriplnet melln skivorn smt i, vilket betyder tt rndvillkoren i orginlproblemet (i det övre området) blir uppfylld och tt lösningen enligt entydighetsstsen blir den rätt. Beräkn först potentilen från en likformigt lddd skiv, på dess symmetrixel: V (r = ẑ) = 1 4πε σ (r ) (r r ) d = σ 2π 4πε s ds = σ (s ) 2 + 2 2ε [ ] (s ) 2 + 2 = σ [ ] 2 + 2ε 2 Egenbidrget till potentilen i orginlskivns mittpunkt blir V egen = V ( =)= σ. 2ε Bidrget från spegelskivn blir V spegel = V ( = ) = σ ( ) 22. 2ε Totlt fås, Svr: V tot = σ [ ( )] 1 2 1 = σ [1 1 ] 2 2ε ε 2. Beräkn först det elektrisk fältet från hlvsklet, enligt E (r) = 1 σ (r r r ) 4πε r r 3 d Vi hr tt σ = Vi får tt Q 2π 2, r =, r = r ˆr =sinθ ŝ +cosθ ẑ, d = 2 sin θ dθ dφ E = 1 Q 4πε 2π 2 2 π/2 = 1 Q 1 4πε 2π 2 ( 2πẑ) Svr: Vridmomentet blir N =(p ˆx) E = { 2π 2π sin θ dθ dφ sin θ ŝ (φ ) cos θ ẑ 2 = π/2 sin θ cos θ dθ = Q 1 4πε 2 ẑ udu = Q 8πε 2 ẑ p Q 8πε 2 ŷ } ŝ (φ )dφ =
3. Dipolmomentet för en skiv, v stven, med tjockleken d blir dm = M π 2 ẑd. Skillndsvektorn från en punkt ẑ,på negtiv -xeln, till fältpunkten blir R = r sin θŝ +(r cos θ ) ẑ. M 2 r θ Differentiell bidrget till vektorpotentilen blir da = µ dm ˆR 4π R 2 = µ dm R 4π R 3 = µ M 2 r sin θ 4 ˆφ d [r 2 sin 2 θ +(rcos θ ) 2] 3/2 Integrering v bidrgen ger A = µ M 2 r sin θ 4 ˆφ d [ r 2 sin 2 θ +(rcos θ ) 2] = µ M 2 3/2 4 [ = µ M 2 r sin θ 4 ˆφ 1 r 2 sin 2 θ r sin θ ˆφ r cos θ ] u = µ M 2 (1 cos θ) ˆφ r2 sin 2 θ + u 2 4r sin θ r cos θ du [ r2 sin 2 θ + u 2] 3/2 B = A = ˆr (A φ sin θ) ˆθ (A φ r) = ˆr µ M 2 (1 cos θ) = µ ( M π 2) ˆr r sin θ θ r } r {{} r sin θ 4r θ 4π r 2 = Svr = Rumsberoendet är ˆr r 2, dvs ett punktlddningsfält! M π 2 q m är en ekvivlent mgnetisk lddning pss som tt mn får en verklig elektrisk lddningsmängd P π 2 påändytorn v en polriserd stv. 4. 5. Betrkt först en strömtäthet J = Jẑ som går frm i ett cirkulärcylindriskt område centrert runt -xeln. Ampéres cirkultionslg ger B φ 2πs = µ I innnför = µ Jπs 2 vilket ger tt B fältet inuti strömtätheten blir B = µ J 2 sˆφ = µ J 2 sẑ ŝ = µ s J 2 ẑ s, där s = sŝ = xˆx + yŷ är ortsvektorn i det tvådimensionell fllet. Om vi flyttr koordintsystemet så tt strömtätheten istället hmnr runtom punkten s blir uttrycket för dess inre fält B = µ J 2 ẑ S = µ J 2 ẑ (s s ). Antg nu tt vi hr två cirkulärcylindrisk strömtätheter J 1 = Jẑ och J 2 = Jẑ centrerde runt punktern s 1 respektive s 2.Omströmtäthetern överlppr vrndr fås då tt fältet i överlppningsområdet, där den totl strömtätheten är noll, blir B = µ J 2 ẑ (s s 1 (s s 2 )) = µ J I dett fll hr vi tt s 1 =, s 2 = 2 ˆx,J = I ( π 2 (/2) 2) = 4I, vilket ger 3π2 2 ẑ (s 2 s 1 ). Svr: B = µ I dvs fältet blir homogent i borrhålet. 3πŷ, Svr: W = 2Q2 3πε Se studiehäftet Sttionär fenomen, kpitel 4, 8. Lösningen finns på sidn 17.
TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2H138/1) för F 22 8 12 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: βet; ett A4-rk med egn nteckningr. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld. 1. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! En cylinder med höjden 2h står på ett stort lednde pln. Övre hlvn v cylindern hr lddningen Q likformigt fördeld över volymen. Undre hlvn v cylindern hr lddningen Q likformigt fördeld över volymen. h h +Q -Q Beräkn ytlddningstätheten på stort vstånd s från cylindern! 2. En lång cylinderkondenstor, med längden l, innerrdien och ytterrdien b, är till hälften fylld med en olj som hr reltiv permittiviteten ε r. Från rndfenomen vid kondenstorns ändytor bortses. Bestäm kondenstorns kpcitns C! ε r 3. En tunn ring med rdien hr sitt centrum beläget på det vinkelrät vståndet d från en lång rk tråd, där d. Tråden för strömmen I 1 och ringen för strömmen I 2.Tråden är prllell med ringens pln vrs ytnorml bildr vinkeln α mot det pln som innehåller både tråden och ringens centrum. Bestäm vridmomentet verknde på ringen! I 1 I 1 d d I 2 α 4. 5. ( r 2,där Ett sfäriskt område med rdien hr rymdlddningstätheten ρ (r) =ρ r är vståndet från ) origo. Bestäm den elektrosttisk energin i systemet! En mycket stor järnplåt, med tjockleken 2b, hr mgnetiserts på tvären med den konstnt mgnetiseringen M. Långt ifrån plåtens knt hr det borrts ett hål, med rdien, vinkelrät genom plåten. Bestäm mgnetfältet B på hålets symmetrixel som funktion v vståndet från hålets centrum! 2b M x
1. 2. 3. 4. 5. TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2H138/1) för F 22 8 12 Förslg till lösning. Se lösningen i studiehäftet Sttionär fenomen, sidn 177, uppgift 3. Gör nstsen E = k s ŝ, vilken uppfyller E = i respektive område, rndvillkoret tt E tng är kontinuerlig i gränsytn olj-luft, smt rndvillkoret tt E tng = vid ledrytorn. Spänningen melln ledrn: U = V V b = b E sds = k ln (b/). Lddningen på innerledren: Q = l ŝ D (, φ) dφ = l ε k [ε rπ + π]. Svr: C = Q U = lπε (ε r +1) ln (b/) Vi lägger den rk tråden längs med -xeln, med I 1 definierd i +-led, och slingn i punkten dˆx. Slingns ytnorml blir då ˆn = ˆx cos α + ŷ sin α. Med d pproximers slingn som en mgnetisk dipol m = I 2 π 2 ˆn = I 2 π 2 (ˆx cos α + ŷ sin α). Mgnetfältet, från den rk tråden, vid slingn fås mh Ampères cirkultionslg som B = μ I 1 2πd ŷ. Svr: Vridmomentet N = m B = μ I 1 I 2 2 cos αẑ. 2d r ( ) r 2 ( Sfärisk symmetri ger tt E = E rˆr. För r<ger Guss lg tt Q inne (r) = ρ 4π (r ) 2 dr ) = 4πρ r 5 5 2 = D r 4πr 2, vilket ger tt D r = ρ r 3 5 2.För r>fås tt D r = Q inne () 4πr 2 = ρ 3 5r 2. Svr: Elektrosttisk energin W e = 1 E Ddτ = 1 { D 2 R 2ε r4πr 2 2 dr = 4πρ2 r 8 3 5ε 4 dr + 6 } ( r 2 dr = 4πρ2 5 )= 5ε 9 + 5 4πρ2 5 45ε Använd bundn volym- och ytströmtätheter, J b och K b. Plåten plcerd så tt origo hmnr i hålets mittpunkt och M = Mẑ. M konstnt ger J b = M =. På de pln sidorn: K b = M (±ẑ) =. På insidn v borrhålet fås K b = M ( ŝ) = M ˆφ. Vi försummr bidrget från ytströmmen på rnden, v den stor plåten, vilken inte bidrr förrän på mycketstorvstånd från borrhålet. Biot-Svrts lg: B (r) = μ Kb (r ) ˆR 4π R 2 ds r = ẑ, r = ŝ (φ )+ ẑ, ds = dφ d, φ 2π, b b. R = r r = ŝ (φ )+( ) ẑ, R = 2 +( ) 2. K b (r ) ˆR R 2 = K b (r ) R M ˆφ (φ ) ( ŝ (φ )+( ) ẑ ) R 3 = [ 2 +( ) 2] = M ẑ +( ) ŝ (φ ) 3/2 [ 2 +( ) 2] 3/2 2π ŝ (φ )dφ = B = μ b M 4π 2π2 ẑ b Svr: B (ẑ) = μ M ( + b) 2 2 +( + b) 2 d [ 2 +( ) 2] = μm2 3/2 2 ( b) 2 +( b) 2 ( ) 2 2 +( ) 2 b b
TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2A184/1) för F 22 1 21 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs isskrp med vektorformler; βets hndbok i mtemtik; ett A4-rk med egn nteckningr, på båd sidorn. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endsten uppgiftper bld. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! 1. En bllong gnids med ett tygstycke så tt den ldds med sttisk elektricitet. Därefter plcers bllongen mot ett stort innertk, som hr ett ytterst tunt isolernde skikt utnpå en yt med god ledningsförmåg. Hur stor lddningsmängd Q måste tillförs bllongen för tt den skll häng kvr vid tket? Bllongen, som hr mssn m, nts vr sfärisk med rdien, och lddningen nts jämnt fördeld över bllongens yt. 2. 3. I en cylinderkondenstor är innerledrens rdie = 5 mm och ytterledrens inre rdie b = 25 mm. Isoltionen består v tvenne koxiell lger med de reltiv permittivitetern ε r1 =4ochε r2 =2räknt inifrån och utåt. Huru tjock skol de båd lgren vr, för tt de mximl fältstyrkorn i dem skol bli lik stor? En grmmofonskiv med innerrdien och ytterrdien b hr genom friktion (från rengörningsborsten) belgts med en likformigt fördeld ytlddning σ (båd sidorn inräknde). Grmmofonskivn roterr med vinkelfrekvensen ω. Bestäm mgnetisk fältet B i skivns centrum! 4. Hurstortrbetemåste mn uträtt för tt flytt en lddning q (> ) från oändligheten till en punkt på vståndet b från ett klot med rdien och den homogen rymdlddningstätheten ρ (> )? ρ b q 5. En toroidformd permnentmgnet hr kvdrtiskt tvärsnitt med sidn b. Mgnetiseringen är M = M s ˆφ, där M är en konstnt och är toroidens medelrdie. s är vståndet från symmetrixeln, i cylinderkoordinter. () Bestäm fältkomponenten B φ inuti mgneten! (b) Bestäm vektorpotentilen A på toroidens xel som funktion v! Härvid får det nts tt b. M s b
1. 2. 3. 4. TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2A184/1) för F 22 1 21 Förslg till lösning. Med lddningr utnför växelverkr bllongen på smm sätt som en punktlddning (med smm lddningsmängd) plcerd i bllongens mittpunkt. Bllongen representers med punktlddningen q påvståndet under metlltket. Den inducerde lddningen i tket representers v en spegellddning q, ifrirymd,påvståndet ovnför tkytn. Tyngdkrften blnsers v den ttrhernde krften från tket om q 2 mg = 4πε (2) 2 q = ±4 πε mg = Svr Det finns ing fri lddningr i området <s<b, vrvid Guss lg ger tt förskjutningsfältet blir på formen D = k s ŝ,<s<b. De elektrisk fälten i delområden blir E 1 = k ε r1 ε sŝ, E 2 = k respektive. ε r2 ε sŝ, Låt gränsen melln delområden h rdien c. De mximl fältstyrkorn blir E 1 mx = k ε r1 ε och E 2 mx = k ε r2 ε c E 1 mx = E 2 mx ger tt c = ε r1 = 4 5 = 1 mm c = 5 mm, b c = 15 mm. ε r2 2 Svr: Inre lgret skll h tjockleken 5 mm, yttre lgret tjockleken 15 mm. Ytströmtätheten i en punkt på vståndet s från skivns centrum blir K (s, φ) =σv (s, φ) =σωsˆφ (φ). Biot-Svrts lg: B (r) = µ K (r ) ˆR 4π R 2 d. d = s ds dφ, r =, r = s ŝ (φ ) R = r r ˆR = ŝ (φ ),R 2 =(s ) 2. B () = µ b 2π σω s ˆφ ( ŝ ) 4π (s ) 2 s ds dφ = µ σω (b ) ẑ = Svr 2 Svr: A = qρ 3 3ε b. Se lösningen i studiehäftet Sttionär fenomen, sidn 168, uppgift 4. 5. () Inuti mgneten ger cirkulär symmetri och Ampères cirkultionslg, H dl = I fri, tt H φ 2πs = H φ =, tydet finns ing fri strömmr. Smbndet H = µ 1 B M ger sedn tt B φ = µ M φ = µ M = Delsvr s (b) Med b får en sektor dφ, belägen vid r = ŝ (φ ), dipolmomentet dm M ˆφ b 2 dφ. Bidrget till vektorpotentilen i punkten r = ẑ, på xeln, blir da (ẑ) = µ dm R 4π R 3 = µ ˆφ ( ẑ ŝ ) 4π M b 2 dφ = µ M b 2 [ 2 + 2 ] 3/2 4π ŝ + ẑ [ 2 + 2 ] 3/2 dφ s-komponenten försvinner vid integrtionen, vilken ger A (ẑ) = µ M 2 b 2 ẑ = Delsvr 2[ 2 + 2 3/2 ]
TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2A184/1) för F 23 1 7 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Bets hndbok i mtemtik, TETs isskrp med vektorformler, smt ett A4-bld med godtycklig nteckningr, på båd sidorn. Miniräknre ej tillåten. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! 1. En cirkulär strömsling, med rdien, för en ström I 1. Koxiellt med denn sling finns det ytterligre en sling, med rdien b, som för en ström I 2. Avståndet melln slingorns mittpunkter är h. Bestäm strömmen I 2 så tt fältet B försvinner i mittpunkten till slingn med rdien b! b I 2 I 1 h - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. Ett olddt metllklot hr rdien. På vståndet 2 från klotets medelpunkt befinner sig en punktlddning q. Bestäm ytlddningstätheten på klotet i punktern A och B! B A x x 2 q - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3. s En mycket lång cirkulär cylinder med rdien hr rymdlddningstätheten ρ (s) = ρ, där s är vståndet från symmetrixeln. Bestäm det elektrisk fältet såväl inuti som utnför cylindern! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4. Det jordmgnetisk fältet är med god pproximtion ett dipolfält. I den kunglig huvudstden, som är belägen på c 6 nordlig bredd (räknt från ekvtorn), är mgnetfältets horisontlkomponent c 15 µt, i riktning mot norr. ) Bestäm ett närmevärde på jordklotets mgnetisk dipolmoment! (jordens rdie är ungefär 64 km) b) Ungefär hur stor strömstyrk skulle behövs genom en sling runtom ekvtorn för tt erhåll smm dipolmoment? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Vänd!
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5. En lång koxilledre hr som innerledre en rk kopprstv med rdien. Ytterledrens innerrdie är för en hälften v kbeln 2 och för ndr hälften 2. På innerledren kn ett rör med innerrdien, ytterrdien 2 och den reltiv permittiviteten ε r = 3 glid friktionsfritt. Dett rör är ungefär hälften så långt som koxilledren och inskjutet så tt det ligger mitt i ledren. 22 1/2 2 4 Bestäm vi en energibetrktelse den elektrosttisk krften på isoltorn, då spänningen melln inneroch ytterledre är U! Ledning: Rdien är mycket mindre än rörets längd, vilket innebär tt de områden där rndfenomen är märkbr hr en mycket mindre utsträckning än kbelns längd.
1. TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2A184/1) för F 23 1 7 Förslg till lösning. Biot-Svrts lg ger för sling 1 tt mgnetfältet på symmetrixeln (-xeln) blir B 1 = µ I 1 4π dl ˆR R 2 = µ 2π I 1 dφ ˆφ ( ẑ ŝ ) µ I 1 2 ẑ = 4π ( 2 + 2 ) 3/2 2 ( 2 + 2 ), 3/2 där är vståndet från slingns mittpunkt. Med strömmen I 2 definierd tt cirkuler i smm riktning som I 1 fås tt fältet från sling 2 blir Totl fältet skll bli noll då = h, vilket ger µ I 2 b 2 ẑ B 2 = ) 3/2, 2 (( h) 2 + b 2 I 1 2 (h 2 + 2 ) + I 2 3/2 b = I 2 b 2 = I 1 = Svr (h 2 + 2 3/2 ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. Se lösningen i studiehäftet Sttionär fenomen, sidn 182, uppgift Ö2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3. Cirkulärcylindrisk symmetri ger tt E = E s ŝ. tillämpd på en koncentrisk cirkel, ger tt E ˆndl = 2πsE s λ innnför = λ innnför = s <s s < ρ (s ) d = 2π Guss lg i två dimensioner E ˆndl = λ innnför ε, s ρ (s ) d = 2πρ 2, s. 3 s ρ s ds = 2πρ s 3, s <. 3 Svr: E (s, φ) = ρ s 2 3ε ŝ (φ) för s < ; E (s, φ) = ρ 2 ŝ (φ) för s. 3ε s
4. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Mgnetfältet från dipol: B = µ ( ) m 4πr 3 2 cos θˆr + sin θˆθ Om θ räkns från nordpolen fås tt B θ = 15 µt, i Stockholm. 6 nordlig bredd motsvrr θ = 3, vilket ger tt sin θ = 1/2. Vi får tt B θ = µ m, där R är jordrdien. Följktligen fås tt dipolmomentet 8πR3 m = 8πR3 B θ µ ẑ = IπR 2 ẑ, där I är strömmen i en ekvivlent sling runtom ekvtorn. Numerisk värden ger Svr : m = 8π ( 6, 4 1 6) 3 15 1 6 4π 1 7 ẑ = 3 ( 6, 4 1 6) ( 3 ẑ = 3 6 3 1 + 1 ) 3 1 18 ẑ 15 ( 3 216 1 + 3 ) 1 2 ẑ = 3 216 1, 2 1 2 ẑ 3 259 1 2 ẑ 8 1 22 ẑ Am 2, 15 vilket betyder tt dipolmomentet är riktt från nord till syd. Svr b: I = 8RB θ µ = 3 6, 4 π 16 6 1 8 A, vilket betyder tt strömmen går i västlig riktning. 5. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Lägg x-xeln längs med symmetrixeln, med positiv riktning åt höger. da = F x dx, da + dw e = dw tillf, dw e = 1 2 U 2 dc, dw tillf = U 2 dc F x dx = 1 2 U 2 dc I de snäll områden hr E endst en rdiell komponent. I högr delen, till höger om plströret: I högr delen, där plströret är (ε r = 3): E 1 = k 2 s U = k s ds = k ln 2 E 1 = U s ln 2 D 1 = ε U s ln 2 Kpcitnsen/längd: C 1 = λ 1 U = D 1 2πs = 2πε U ln 2 D 2 = k 2 2 s U = Kpcitnsen/längd: C 2 = D 2 2πs U k 2 2 ε s ds + k 2 2 ε r ε s ds = k 2 1 ε 2 ln 2ε r + 1 ε r = 2πk 2 U = 2πε ln 2 3 2 I vänstr delen: E = U 2 s ln 2. Till vänster om plströret: C 4 = 2πsε E U I plstområdet: C 3 = ε r C 4 = 2πε ln 2 6 Vid en förskjutning åt höger sträckn dx fås tt dc = ( C 1 + C 2 C 3 + C 4 ) dx = 2πε ln 2 Svr: F x = U 2 dc 2 dx = U 2 2πε ( 7) 2 ln 2 2 ( 1 + 32 6 + 2 ) dx = 2πε ln 2 2. = 7πε U 2, dvs krften är riktd åt vänster. 2 ln 2
TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2A184/1) för F 23 8 18 kl 14-19 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Bets hndbok i mtemtik, TETs isskrp med vektorformler, smt ett A4-bld med godtycklig nteckningr, på båd sidorn. Miniräknre ej tillåten. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! 1. c En metllsfär med rdien hr lddningen Q. Utnför och koncentriskt med sfären ligger ett olddt dielektriskt skl med den reltiv permittiviteten ε r. Sklets innerrdie är b och dess ytterrdie är c ( < b < c). r Q b Beräkn systemets elektrosttisk energi! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. Beräkn krften på lddningen Q! y 4 Q Metllplnen nts oändligt stor. 3 x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3. Två likdn prllell ringr med rdiern befinner sig på det inbördes vståndet 2; se figuren. Slingorn för båd strömmen I, men åt olik håll. = ) Bestäm B-fältet på symmetrixeln som funktion v! b) Vd blir B om! I I - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4. Ett sfäriskt område med rdien hr den konstnt rymdlddningstätheten ρ. Beräkn systemets elektrosttisk energi! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Vänd!
5. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Rkt under en horisontell dubbelledning, enligt figuren, finns en horisontell sling med rdie = b/4. Dubbelledningen för strömmen I och slingn för strömmen I s. Bestäm krften verknde på slingn! Ledningr: Krften på en mgnetisk dipol är (m B). I b b I x 2b Is
1. TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2A184/1) för F 23 8 18 Förslg till lösning. Sfärisk symmetri och Guss lg ger tt D = Q ˆr, för r > ; D = för r <. 4πr2 E = 1 D och elektrosttisk energin W = 1 E Ddτ ger tt ε r ε 2 R 3 W = 1 2 b = Q2 8πε ( ) 2 Q 1 4πr 2 4πr 2 dr + 1 ε 2 ( 1 1 b + 1 c + 1 ( 1 ε r b 1 c ( Q b 4πr 2 )) = Svr c ) 2 1 ε r ε 4πr 2 dr + 1 2 c ( ) 2 Q 1 4πr 2 4πr 2 dr ε - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. Spegling enligt figuren och Coulombs lg ger tt F = q2 4πε [ = q2 4πε = q2 4πε ˆx (8) 2 ŷ (6) 2 + 8ˆx + 6ŷ ((8) 2 + (6) 2) 3/2 ] ˆx (8) 2 ŷ 8ˆx + 6ŷ 2 + (6) 1 2 [ ( ˆx (8) 2 1 64 ) + ŷ 125 (6) 2 ( 1 27 ) ] = Svr 125 -Q y 8 Q 6 6 Q 8 -Q x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3. För en ensm sling i xy-plnet, förnde strömmen åt smm håll som den högr slingn, fås tt För de två slingorn fås µ I 2 B (ẑ) = 2 ( 2 + 2 ) 3/2 ẑ. Svr : B (ẑ) = µ I 2 1 2 ( 2 + ( ) 2) 1 3/2 ( 2 + ( + ) 2) 3/2 ẑ En omskrivning ger tt [ ( B (ẑ) = µ I 2 2 3 1 2 ( + 2 = µ I 2 2 3 [ 1 + 3 1 + 3 + O ( ( ) ) 2 3/2 ( 1 + 2 ( ) ) ] 2 3/2 + 2 ẑ ) 2 )] ẑ = 3µ I 3 3 ( ( )) 1 + O ẑ 4. Svr b: För fås tt B (ẑ) 3µ I 3 4 ẑ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Se lösningen i studiehäftet Sttionär fenomen, sidn 167, uppgift Ö3.
5. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Mgnetfältet från en oändligt lång rkt tråd är B (r) = µ I ˆl R 2π ˆl R 2, där enhetsvektorn ˆl pekr i trådens strömriktning. R = r r, där r är en godtycklig punkt på tråden. För dubbelledningen hr vi tt ˆl 1 = ŷ, r 1 = bˆx,ˆl 2 = ŷ, r 2 = bˆx, och r = xˆx + yŷ + ẑ, vilket ger [ ] B (x, ) = µ I ˆx (x + b)ẑ ˆx (x b)ẑ 2π (x + b) 2 + 2 (x b) 2 + 2 Slingns dipolmoment: m = π 2 I s ẑ vilket ger Krften: F () = ẑ d d (m B) = µ II s 2 b2 (b 2 + 2 ) 2 ẑ m B = π 2 I s B (x =, ) = µ II s 2 b b 2 + 2 = 2b och = b/4 ger Svr: F = µ II s 4b 4 16 (b 2 + 4b 2 ) 2 ẑ = µ II s 1 ẑ
TEORETISK ELEKTROTEKNIK F del 1 (2A184/1) 23 1 21, kl 8-13 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling; βets hndbok i mtemtik. Miniräknre ej tillåten. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! 1. 2. En linjelddning λ löper på höjden h prllellt med ett stort lednde metllpln. Bestäm krften per längd på linjelddningen! Knivsäkringr nvänds i bl.. trnsformtorsttioner och ställverk. I en knivsäkring består nslutningrn v två metllbld (knivr) med vilk säkringen kläms fst melln metllbleck i nslutningspunktern. Vid mycket hög stötströmmr kn säkringen lös ut genom tt den mgnetisk krften pg fältet från strömmen i nslutningrn kstr ut knivsäkringen ur dess hållre. Vi nlyserr krftverkn på en knivsäkring mh en förenkld modell. Knivsäkringen nts vr en bit rk tråd, plcerd på x- xeln melln nslutningspunktern i x = h och x = h. Anslutningrn nts bestå v två med -xeln prllell och hlvoändligt lång rk trådr, vilk nsluter till x-xeln vid x = och x =, smt två kort trådbitr med längden h längs med x-xeln; se figuren. I x h h Bestäm krften på knivsäkringen (sträckn h < x < hv strömkretsen) om strömmen I = 1 ka och h =4/5! dx Ledningr: b 2 2 x 2 = 1 2b ln b + x b x och ln 3 1, 1 3. En cirkulärcylindrisk mntelyt med rdien och höjden 2h befinner sig koxiellt med -xeln melln gränsern = h och = h. Mntelytn hr belgts med den totl lddningen Q, jämnt fördeld över hel ytn. ) Bestäm elektrisk fältet E längs med hel -xeln! Isvretfrån ): b) Vd blir uttrycket för E för >hdå =! Vilket specilfll är det? c) Vd blir uttrycket för E då h (>)? Vilket specilfll är det? d) Låt h,! Ge ett pproximtivt uttryck för E! Vilket specilfll är det? =h x =-h Vänd!
4. Vid t.ex. kemisk ytbehndling eller inom medicinsk dignostik lstrs strömmr i lednde vätskor eller vävnder genom tt sätt in strömförnde elektroder. En sfärisk behållre v metll är fylld med en lednde vätsk (elektrolyt). I den lägst punkten inuti behållren hr det nslutits en isolerd rk tråd som vsluts med en liten (och oisolerd) metllkul belägen i behållrens mittpunkt. Tråden för strömmen I. Om tråden är mycket sml blir dess inverkn påströmfördelningen i behållren försumbr, vrur det följer tt strömtätheten i elektrolyten blir J (r) = I 4πr ˆr 2 J r θ I Elektrolyt Bestäm mgnetfältet B (r, θ, ϕ) i elektrolyten! Behållren hr innerrdien och permebiliteten överllt är µ. Isolerd tråd 5. Krften på en elektrisk dipol p, som befinner sig i ett yttre elektrisk fält E, knskrivsf =(p ) E. n Krften på en polristion P, i ett område V med ytn S och ytnormlen ˆn, som befinner sig i ett yttre fält E blir då nlogt F = (P ) Edτ. V E(r) P(r) V S Vis tt krften på det polriserde området kn skrivs F = V ρ be dτ + S σ be d, dvs som Coulombkrfter, där ρ b = P är den bundn rymdlddningen och σ b = P ˆn är den bundn ytlddningen! Ledning: Titt på en krtesisk komponent i tget!
1. TEORETISK ELEKTROTEKNIK F del 1 (2A184/1) 23 1 21 Förslg till lösning. λ2 Svr: F = 4πε hẑ Se lösningen i studiehäftet Sttionär fenomen, sidn 177, uppgift 2. 2. Biot-Svrts lg, B (r) = µ I dl (r r ) 4π r r 3, ger tt de kort trådstumprn med längden h inte ger något mgnetfält på x-xeln. Vidre fås på x-xeln tt fältet från den undre tråden blir µ I 4π (ẑd ) [(x + ) ˆx ẑ] [(x + ) 2 +( ) 2] 3/2 och tt fältet från den övre tråden blir µ I 4π = µ Iŷ 4π = µ Iŷ 4π (x + ) (x + ) 2 +( ) 2 (ẑd ) [(x ) ˆx ẑ] [(x ) 2 +( ) 2] 3/2 Det totl mgnetfältet på x-xeln blir således Krften på sträckn x <hblir = µ Iŷ 4π = µ Iŷ 4π (x ) (x ) 2 +( ) 2 B (xˆx) = µ I 4π ( 1 + x + 1 x (x + )d [(x + ) 2 +( ) 2] 3/2 = µ Iŷ 4π (x + ) (x )d [(x ) 2 +( ) 2] 3/2 ) ŷ = µ I 2π = µ Iŷ 4π (x ) 2 x 2 ŷ h F = I (ˆxdx) B = µ I 2 h h 2π ẑ 2 2 x 2 dx = µ I 2 [ 2π ẑ ln + x ] h = µ I 2 x 2π ẑ ln + h h De numerisk värden ger Svr: F = 4π 1 7 1 1 ln 9ẑ N = 4 ln 3ẑ N 44ẑ N 2π
3. Använd E (r) = 1 σ (r ) ˆR 4πε R 2 d = 1 σ (r r r ) 4πε r r 3 d Fältpunkter: r = ẑ, där <<. Källpunkter: r = ŝ (ϕ )+ ẑ,där ϕ < 2π, h h Ytelementet: d = dϕ d Q Ytlddningen: σ = 2π 2h = Q 4πh E (ẑ) = Q 1 h 2π d dϕ ( ) ẑ ŝ { 2π } 4πh 4πε h [ 2 +( ) 2] = ŝ dϕ =,u= 3/2 = Q ẑ 1 4πε 2h = Q 8πε h +h h udu [ 2 + u 2 ] = Q ẑ 1 [ ] +h 1 3/2 4πε 2h 2 + u 2 h 1 2 +( h) 2 1 2 +( + h) 2 ẑ = Svr b) >h& = E = Q [ 1 8πε h h 1 ] ẑ: mntelytn hr kollpst till en lddd stv. + h c) h måste beräkns som ett gränsvärde. l Hospitls regel för fllet ger tt 1 lim h h 1 2 +( h) 2 1 2 +( + h) 2 = lim h d dh 1 2 +( h) 2 1 2 +( + h) 2 2 = ( 2 + 2 ) 3/2 vilket ger tt E = Q ẑ: mntelytn hr plttts ihop till en lddd ring. 4πε ( 2 + 2 3/2 ) d), h [ ] E = Q 1 4πε 2h 1 1 1+(2 + h 2 2h) / 1 ẑ 2 1+(2 + h 2 +2h) / 2 = Q 4πε 1 2h 1 Q 4πε ẑ = [ ( 1 2h ) 1/2 ( 1+ 2h ) ] 1/2 ẑ Q 4πε 2 ẑ = punktlddningsfält Q 4πε 1 2h 1 [1+ h ( 1 h )] ẑ
4. Från rottionssymmetrin kring -xeln följer tt mgnetfältet hr enbrt en imutl komponent (ϕ-komponent) med konstnt belopp på vrje med -xeln koxiell cirkel. Problemet kn följktligen löss med Ampères cirkultionslg. För en cirkulär Ampère-sling med rdien r sin θ fås den omkretsde strömmen enklst genom tt beräkn flödet v J genom klottytn r = r, θ θ, ϕ < 2π. Med d = r 2 sin θ dθ dϕ, ˆn = ˆr fås tt I innnför = J (r ) ˆr d = I θ klott 4πr 2 2πr2 sin θ dθ = I (1 cos θ) 2 Cirkultionslgen: B dl =2πr sin θb ϕ = µ I innnför, vilket ger tt θ r B ϕ = µ I 4πr sin θ (1 cos θ) = µ I 4πr 2sin 2 (θ/2) 2sin(θ/2) cos (θ/2) Svr: B (r, θ, ϕ) = µ I tn (θ/2) 4πr 5. Svret kn kontrollers genom insättning i B = µ J, som skll gäll överllt utom för θ = π(tråden) där B är singulär. För θ π fås med r sin θ = s, cos θ = cos (π θ) tt B ϕ = µ I 4πs (1 + cos (π θ)) = µ ( ( I 1+1+O (π θ) 2)) µ I = fältet runt en tråd. 4πs 2πs Den i:te komponenten v krften blir F i = (P ) E i dτ = P E i dτ = ( (E i P ) E i P )dτ V V V = {Guss sts} = E i P ˆnd + E i ( P )dτ S Nu gäller tt P ˆn = σ b = den bundn ytlddningen och tt P = ρ b = den bundn rymdlddningen, vilk ger tt F = ρ b E dτ + σ b E d V.S.V. V S V
TEORETISK ELEKTROTEKNIK F del 1 (2A184/1) TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME del 1 (2A185/1) 24 1 15, kl 14-19 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, TETs isskrp med vektorformler och βets hndbok i mtemtik. Miniräknre ej tillåten. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! 1. En punktlddning q befinner sig utnför en metllsfär med rdien och den totl lddningen Q. Avståndet från lddningen q till sfärens centrum är b. Q b q Bestäm den lddning som tillförs sfären då den jords! 2. Fyr mycket lång prllell rk trådr är plcerde i en fyrknt med sidn. Itvå olik fll för vrder tråden strömmen I med riktningr enligt figurern. I respektive fll, bestäm mgnetfältet B längs med -xeln! Fll 1 Fll 2 y y x x 3. En linjelddning hr den totl lddningen Q jämnt fördeld över en cirkelbåge med rdien och sektorn 2β, plcerd enligt figuren. ) Bestäm elektrisk fältet E och potentilen V i origo! b) Från svret i : Vd blir E,V då β smtdå β π? Q β β y x Vänd!
4. Två hlvoändligt lång rk trådr är smmnbund med vrsin cirkelbåge, med rdie och sektorvinkel β, vilk vi två rk trådr med längden är smmnbundn med en cirkelbåge med rdie 2 och sektorvinkel π 2β. Bestäm mgnetfältet B i origo! β β I x y 5. En metllsfär med rdien och den totl lddningen Q befinner sig till hälften i en hlvrymd fylld med luft och till hälften i en hlvrymd fylld med ett homogent dielektriskt mteril med reltiv permittiviteten ε r. Q Bestäm den elektrosttisk energin! Ledning: Funder på vilk rndvillkor som skll vr uppfylld. ε r
1. TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2A184/2A185) för F & ME 24 1 15 Förslg till lösning. Spegellddningen blir q b och kompenstionslddningen i mitten blir Q + q b. Vid jordningen försvinner kompenstionslddningen, vilket ger tt sfären tillförs lddningen Q q b = Svr: 2. Cirkultionslgen ger tt mgnetfältet runt en ensm rk tråd som för ström i positiv riktning längs med -xeln är B = µ I 2πs ˆϕ = µ I 2πsẑ ŝ = µ I 2π ẑ ˆr ẑ r. För en tråd med godtycklig riktning ˆn fås tt B (r) = µ I 2π ˆn ˆR där R = r r och r är en ˆn R godtycklig punkt påtråden. Med trådrn i -led fås inget -beroende och vi kn låt r och r vr i xy-plnet, vilket ger tt skillndsvektorern blir R 1 = 2 ( ˆx ŷ), R 2 = 2 (ˆx ŷ), R 3 = 2 (ˆx + ŷ), R 4 = ( ˆx + ŷ) 2 Hr tt ẑ R i = / 2,i=1, 2, 3, 4. Svr 1: B = µ I 2 1 ẑ [( ˆx ŷ)+(ˆx ŷ) (ˆx + ŷ) ( ˆx + ŷ)] = µ I 2π 2 2πẑ ( 4ŷ) =2µ I π ˆx Svr 2: B = µ I 2π 2 1 ẑ [ ( ˆx ŷ)+(ˆx ŷ) (ˆx + ŷ)+( ˆx + ŷ)] = µ I ( 4ŷ) = 2 2πẑ 3. Använd E (r) = 1 λ (r ) ˆR 4πε R 2 dl = 1 λ (r r r ) 4πε r r 3 dl, V (r) = 1 λ (r ) 4πε R dl Fältpunkt: r =. Källpunkter: r = ŝ (ϕ )=(ˆx cos ϕ + ŷ sin ϕ ), där π β ϕ <π+ β Längdelementet: dl = dϕ. Linjelddningen: λ = Q 2β E () = Q 1 2β 4πε = π+β ˆx cos ϕ ŷ sin ϕ π β 3 dϕ Q = 8πε 2 β [ ˆx sin ϕ + ŷ cos ϕ ] π+β π β Q Q 8πε 2 [ sin (π + β) ˆx +sin(π β) ˆx +cos(π + β) ŷ cos (π β) ŷ] = β V () = 1 Q 4πε 2β π+β π β dϕ = Q 8πε β 2β = Q 4πε 8πε 2 2sinβˆx β Svr : E () = Q sin β Q ˆx, 4πε 2 V () = β 4πε Svr b: V är oberoende v β. β sin β 1 E () = Q ˆx. β π E () β 4πε 2
4. 5. Fältpunkten r = ligger i förlängningen till ll rk trådr, vrvid dess enligt Biot-Svrts lg inte ger något bidrg. I Biot-Svrts lg, B (r) = µ I dl (r r ) 4π r r,hrvipåcirkelbågrn tt r = s ŝ, dl = s ˆϕ dϕ, vilket ger tt dl (r r ) r r = s dϕ ˆϕ ( s ŝ ) (s ) 3 = ẑdϕ s Således, B () [ = µ I 4π ẑ 1 = µ I 4π π β π [ π 2 β ] dϕ + 1 β 2 = µ I 8 ẑ dϕ + 1 π β [ 1+ 2β π β dϕ ] ] ẑ = Svr Med origo i sfärens mittpunkt, nsätter vi elektrisk fältet utnför sfären som ett punktlddningsfält: E = K r (K =konstnt). I vrder v de två homogen områden, vilk inte innehåller fri lddningr, r2 fås då tt D = (εe) =ε E =. Stämmer! De rndvillkor som skll vr uppfylld är tt E är vinkelrät mot metllsfärens yt r =, E hr kontinuerlig tngentilkomponent i gränsytn luft-dielektrik, smt tt D hr kontinuerlig normlkomponent i gränsytn luft-dielektrik. Anstsen uppfyller smtlig v dess rndvillkor. Den fri ytlddningen på metllsfären beräkns medelst rndvillkoret σ = ˆr D. Totl lddningen på sfären blir då 2π 2 ε E r ()+2π 2 ε r ε E r () =2πε (1 + ε r ) K = Q vilket ger tt E = Q 2πε (1 + ε r ) ˆr r 2, D luft = Q 2π (1 + ε r ) ˆr r 2, D diel = För r<är fälten noll vilket ger tt elektrosttisk energin blir W = 1 E Ddτ = 1 2 2 Q 2 4π 2 (1 + ε r ) 2 1 ( 1 ε r 4 + ε r r 4 r> ) 2πr 2 dr = Qε r 2π (1 + ε r ) ˆr r 2 Q 2 4πε (1 + ε r ) = Svr
TEORETISK ELEKTROTEKNIK F del 1 (2A184/1) TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME del 1 (2A185/1) 24 8 16, kl 14-19 Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, TETs isskrp med vektorformler och βets hndbok i mtemtik. Miniräknre ej tillåten. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! 1. Två tunn ringr, båd med rdien, är plcerde koxiellt enligt figuren. Ringrn hr totllddningrn Q 1 respektive Q 2,jämnt fördelde över respektive ring. I punkten A på symmetrixxeln, på vståndet från den vänstr ringens centrum, är det elektrisk fältet E =. Bestäm förhållndet Q 1 Q 2! Q 1 A 3 Q 2 2. En nivågivre består v en cylindrisk kondenstor, enligt figure. Kondenstorns längd är d, innerledren hr rdien och ytterledren hr rdien b. Genom tt mät kondenstorns kpcitns kn vätskenivån inuti kondenstorn bestämms. Vätskn hr reltiv permittiviteten ε r. Ge ett uttryck för kondenstorns kpcitns som funktion v vätskehöjden h! d 2b 2 h 3. En enlgrig tätt lindd cylinderspole med N vrv och längden l hr cirkulärt tvärsnitt med rdien. För en långsträckt spole, l 2, får mn (förutom i närheten v ändytorn) tt mgnetfältet inuti spolen pproximtivt blir B pprox µ NI ẑ, där I är strömmen. l Bestäm ett närmevärde på det reltiv fel som fås om mn nvänder det pproximtiv värdet på B-fältet i mitten v en spole med l =1cmoch = 1 cm! Ledning: (1 + x) α 1+αx om x 1 Vänd!
4. Mitt på ett mycket stort jordt metllpln står en vertiklt plcerd rk linjelddning med längden l och linjelddningstätheten λ () = 2Q, där är vståndet från metllplnet. l2 Bestäm det elektrisk fältet på stort vstånd från linjelddningen. λ 5. En tunn stv med längden l och kvdrtiskt tvärsnitt ( ) ( l) hr konstnt mgnetisering M i stvens längdriktning. Bestäm B-fältet i en punkt i förlängningen v stven på vståndet l från dess närmste ände!
1. TEORETISK ELEKTROTEKNIK del 1 (2A184/2A185) för F & ME 24 8 16 Förslg till lösning. På symmetrixeln ger en ring med jämnt fördeld totllddning Q fältet E () = 1 4πε Q 2π ẑ ŝ (ϕ ) 2π ( 2 + 2 ) 3/2 dϕ = Q 4πε ( 2 + 2 ) 3/2 ẑ där är vståndet från ringens centrum. För motriktde och till beloppet lik stor fältbidrg i punkten A fås med = respektive =2 tt Q 1 ( 2 + 2 ) = Q 2 3/2 2 ( ) 3/2 Q 1 (2) 2 + 2 Q 2 =2 ( ) 3/2 2 = 4 2 5 5 5 = Svr 2. Vi bortser från knteffekter vid ändytorn. I luften respektive vätskn måste E-fältet uppfyll E = (D/ε) =ε 1 D = ε 1 ρ =. Igränsytn luft-vätsk är rndvillkoret tt E tng är kontinuerlig. Anstsen E = k b s ŝ uppfyller dess villkor. Spänningen: U = E ŝds = k ln b Fri lddningen på innerledren: Q = D ŝd = k (ε (l h)+ε ε r h)2π =2πkε (l +(ε r 1) h) Kpcitnsen: C = Q U = 2πε (l +(ε r 1) h) ln b =Svr 3. Betrkt dn = N d vrv på vståndet från spolens mittpunkt. TETs formelsmling ger tt bidrget l till mgnetfältet blir db () = µ INẑ 2 d = 2l ( 2 + 2 3/2 ) Totl fältet i mittpunkten: B =2 µinẑ 2l Reltiv felet: l/2 2 ( 2 + 2 ) d = µ INẑ 3/2 l B pprox B B = l/2 = µ INẑ 2 +(l/2) 2 l 1 1+(2/l) 2 = 1+(2/l) 2 1 1 2 (2/l)2 =2(/l) 2 =2 (, 1) 2 =, 2 B pprox 1+(2/l) 2 Svr: 2%
4. 5. För >representers ytlddningen på metllplnet v en spegld linjelddning, som ges v smm uttryck som orginllinjelddningen. Tillsmmn hr de båd linjelddningrn totllddningen noll, vilket innebär tt monopol-bidrg skns i det elektrisk fältet. l Dipolmomentet blir p = λ () ẑd = 2Q l l l 2 2 2 d = 4 3 Qlẑ På stort vstånd blir då det elektrisk fältet E = p ( ) 4πε r 3 2cosθˆr +sinθˆθ = Ql ( ) 3πε r 3 2cosθˆr +sinθˆθ = Svr Svr: B = 3µ 2 16πl 2 M.Selösningen i Sttionär fenomen, sidn 22, uppgift Ö6.
Tentmen i del 1 v 24 1 18, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME 2A1865 TEORETISK ELEKTROTEKNIK CL påbyggndskurs Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Tentmensbldet skll lämns in! 1. Utnför en metllsfär med lddningen Q och rdien befinner sig en cirkulär tunn metllsling rdien och lddningen +Q. Slingns pln tngerr metllsfären; se figuren. Bestäm systemets elektrisk dipolmoment! +Q -Q y x 2. y Ett rör v koppr hr innerrdien och ytterrdien b. Centrert kring xeln x = d, y = hr det i godset borrts ett hål, med rdien c. Röret för strömmen I, jämnt fördeld över tvärsnittsytn. Inuti röret finns det i punkten x = x,y = = en liten strömsling med dipolmomentet m = mˆx. Bestäm vridmomentet på strömslingn! b I x m d c x 3. Ett sfäriskt område med rdien hr rymdlddningstätheten ρ (r) =kr n,där n> 3. Områdets totl lddning är Q. ) Bestäm den elektrosttisk energin W e! b) Vd blir W e då n och vilken sitution motsvrr dett? Vänd!
4. Frdy demonstrerde principen för en elektrisk motor medelst en experimentuppställning vilken vi nger något modifierd i figuren. Ett tråg v metll är fyllt med kvicksilver. Mitt i tråget hr det monterts en permnentmgnet med dipolmomentet m. En kopprtråd, böjd till en cirkelbåge med rdien, hrsinenände nedsänkt i kvicksilverbdet och den ndr änden infäst rkt ovnför mgneten, så tt mgneten befinner sig i centrum v den den tänkt cirkeln. Infästningspunkten är vridbr kring mgnetens xelriktning (streckde linjen). Melln tråget och den vridbr infästningen hr det kopplts in ett btteri, vilket driver en ström I vilken leds genom cirkelbågen och tillbks till btteriet genom kvicksilvret. Cirkelbågen kommer då tt roter och funger som en visp i kvicksilvret. Bestäm krften till storlek och riktning på den kvrtscirkel v bågen som är ovnför kvicksilvrets yt! Hg m I 5. En lång cylinderkondenstor med längden L, innerrdien och ytterrdien b är till hälften fylld med en olj som hr den reltiv permittiviteten ε r. Från kntfenomen vid kondenstorns ändytor bortses. Bestäm kondenstorns kpcitns! b ε r
1. Tentmen i del 1 v 24 1 18, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME 2A1865 TEORETISK ELEKTROTEKNIK CL påbyggndskurs Förslg till lösning. Spegl ringen +Q i sfären så fås en spegelring med lddningen Q 2 = Q 2 och med ringbnn på vståndet 2 2 = från 2 sfärens centrum. Spegelringen får då rdien /2 och dess pln hmnr påhöjden /2 från sfärens centrum. I sfärens centrum fås en kompenstionslddning Q ( 2 Q ) = Q (1 2 1 ) +Q -Q/2 1/2 -Q+Q/2 1/2 Då den totl lddningen är noll är dipolmomentet oberoende v vlet v origo, och vi väljer som dett sfärens centrum. Av symmetri blir dipolmomentet i -led: ( p = ρẑdτ = Q Q ) ( ) 2 ẑ = Q 1 ẑ = Svr 2 2 4 2. I Rymdströmtätheten blir J = π (b 2 2 c 2 )ẑ Situtionen är likvärdig med tt en strömtäthet J vilken helt uppfyller området <s<bsuperponers medenströmtäthet J belägen i det cirkulärcylindrisk hålet. Ampères lg ger tt det inte blir något fält i området s<från J helt uppfyllnde området <s<b. Utnför hålet ger J upphov till ett rktrådsfält från den totl strömmen i = J πc 2 Ic 2 =, det vill säg i den negtiv -riktningen. 2 b 2 2 c Vid dipolen blir fältet B = μ i μ Ic 2 ( ŷ) = 2π d x 2π (b 2 2 c 2 )(d x )ŷ Vridmomentet på dipolenm = mˆx blir således N = m B = μ mic 2 2π (b 2 2 c 2 )(d x )ẑ=svr
3. Sfärisk symmetri volymselementet kn skrivs som ett tunt sfäriskt skl dτ =4πr 2 dr Totl lddningen Q = ρ (r) 4πr 2 dr =4πk r n+2 dr =4πk n+3 n +3 ρ (r) = Q r (n +3) 4π Inneslutn lddningen innnför rdien r<: r Q inne (r) = ρ (r )4π(r ) 2 dr = Q r n+3 (n +3)(r ) n+2 dr = Q rn+3 n+3 =4πε r 2 E r (r), enligt Guss lg. För r>blir Q inne = Q. Elektrisk fältet och dess energitäthet blir då Q rn+1 ˆr, E (r) = 4πε n+3 r < Q, w e = 4πε r ˆr, 2 r > ε 2 E2 = Q 2 32π 2 r2n+2 ε 2n+6, Q 2 32π 2 ε r 4, r < r > n n+3 Elektrosttisk energin: W e = R3 w e dτ = Q2 32π 2 ε 4π { r 2n+4 } ( ) dr dr + 2n+6 r 2 = Q2 1 8πε 2n +5 +1 = Svr Svr b: n W e = Q2 8πε. Rymdlddningen växer obegränst och koncentrers till ytn r =, dvsövergår i en ytlddning. 4. 5. ) 2cosθˆr +sinθˆθ På cirkelbågen ger mgneten dipolfältet B = μ ( m 4π 3 Krften på ettlängdelement dl = ˆθdθ v cirkelbågen blir df m = Idl B = μ ) mi (ˆθ 4π 2 2cosθ ˆr dθ = μ mi cos θdθ ˆϕ 2π2 Svr: Totl krften F m = μ π/2 mi 2π ˆϕ 2 cos θdθ = μ mi 2π 2 ˆϕ. (ut från ppperet om dipolmomentet är riktt uppåt) Ansätt elektrisk fältet i både luften och oljn som ett linjelddningsfält: E = k s ŝ. Dett fält uppfyller rndvillkoren tt det är vinkelrätt mot metllytorn smt hr kontinuerlig tngentilkomponent i gränsytn olj-luft. b Spänningen: U = V V b = E s ds = k ln b Guss lg ger tt lddningen på innerledren blir Q = k D d = ε s πsl+ε k rε s πsl = klπε (ε r +1) Svr: Kpcitnsen C = Q U = Lπε (ε r +1) ln b
Tentmen i del 1 v 25 1 14, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME 2A1865 TEORETISK ELEKTROTEKNIK CL påbyggndskurs Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Tentmensbldet skll lämns in! 1. Ett sfäriskt metllskl med innerrdien och ytterrdien b hr den totl lddningen Q. Innnför sklet och på vståndet d (d < )från dess centrum befinner sig en punktlddning q. Q d q Bestäm potentilen i sklets centrum! b 2. Inuti en elektronstråle med rdien nts det tt elektrontätheten n är konstnt och tt vrje elektron (med lddning e) rör sig med den konstnt hstigheten v = vẑ. ) Bestäm de elektrisk och mgnetisk krftern på en enskild elektron inuti strålen! b) Ge det numerisk värdet på den hstighet vid vilken den mgnetisk krften blir till beloppet lik strk som den elektrisk! v Ledningr: rymdlddningen ρ = ne, rymdströmtätheten J = ρv = nev 3. y En mycket lång dubbelledning ovnför mrkytn består v två trådr med linjelddningstäthetern λ respektive λ. λ b b λ Bestäm elektrisk fältstyrkn vid mrkytn som funktion v x! Ledning: mrkytn kn betrkts som ett stort lednde pln! x Vänd!
4. Ett tunt skl i form v en hlvsfär hr medelrdien b och tjockleken ( b). Sklet, som plcerts med den pln ringformde bottenytn i xy-plnet, hr den rdiell mgnetiseringen M = M ˆr. Bestäm mgnetfältet B längs med symmetrixeln (-xeln)! b x 5. En punktlddning +1q är belägen i punkten hẑ och en nnn punktlddning 99q är belägen i origo; se figuren. Bestäm ett pproximtivt värde på kvoten melln beloppen hos det elektrisk fältet i punktern 1hẑ och 1hˆx! 1q -99q h x Ledning: monopolmomentet Q = q i ; dipolmomentet p = r i q i!
Tentmen i del 1 v 25 1 14, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME 2A1865 TEORETISK ELEKTROTEKNIK CL påbyggndskurs Förslg till lösning. 1. Lägg en Gussyt inuti metllen runt det inre området. Då E = inuti metllen fås tt den inneslutn lddningen blir noll och därmed finns den totl lddningen q på sklets insid. På utsidn blir då den totl lddningen Q + q och i frånvron v ndr lddningr utnför blir den också jämnt fördeld. Lddningen på utsidn ger då ett punktlddningsfält för r>boch inget fält för r<b,ochdärmed blir potentilbidrget Q + q q för r b. Direkt bidrget i origo från lddningen q blir 4πε b 4πε d. 1 σ (r ) Bidrget från lddningen på sklets insid blir 4πε R d = 1 σ (r )d = 4πε Svr: V origo = 1 ( Q + q + q 4πε b d q ) q 4πε 2. Från den cirkulär symmetrin kn E respektive B beräkns medelst Guss respektive Ampères lgr. I en delstråle med rdie s<blir linjelddningstätheten λ (s) =ρπs 2 = neπs 2 medn strömmen i positiv -led blir I (s) =J ẑπs 2 = nevπs 2. Fälten vid rdien s blir således E = λ (s) 2πε sŝ = nes 2ε ŝ, B = μ I (s) 2πs ˆϕ = μ nevs ˆϕ 2 Svr : De elektrisk och mgnetisk krftern blir F e = ee = ne2 s 2ε ŝ, F m = ev B = μ ne 2 v 2 s 2 ẑ ˆϕ = μ ne 2 v 2 s ŝ 2 Svr b: De elektrisk och mgnetisk krftern blir lik strk då 1 = μ v 2, vilket ger tt hstighetens ε belopp blir v = 1 3 1 8 m/s (ljushstigheten). ε μ 3. Gör en speglingslösning enligt figuren. Fältet från en linjelddning λ i den tvådimensionell punkten x ˆx + y ŷ blir E (x, y) = λ (x x ) ˆx +(y y ) ŷ 2πε (x x ) 2 +(y y ) 2 Dett tillämpt på lddningrn i figuren smt y =gerttfältet vid mrkytn blir [ E (x, ) = λ (x + b) ˆx ŷ (x b) ˆx ŷ 2πε (x + b) 2 + 2 (x b) 2 + 2 ] (x b) ˆx + ŷ (x + b) ˆx + ŷ + (x b) 2 + 2 (x + b) 2 + 2 [ ] = λ 1 πε (x b) 2 + 1 2 (x + b) 2 ŷ = Svr + 2 λ λ b b y b b λ λ x
4. Använd bundn strömtätheter. J b = M =. Pådehlvsfärisk ytorn blir K b = M (±ˆr) =. Pådenplnsmlremsnsomutgör bottenytn blir ˆr = ŝ och K b = M ŝ ( ẑ) =M ˆϕ. Med b kn vi pproximer bottenytn med en strömsling förnde strömmen I = M.Direktfrån TETs formelsmling fås Svr: B (ẑ) = μ M 2 b 2 (b 2 + 2 ) 3/2 ẑ 5. Totl lddningen (monopolmomentet) ärq = q och dipolmomentet med vseendepå koordintsystemets origo är p = 1qẑ. Fältet från dess två bidrg blir E = q 4πε r 2 ˆr + p ( ) 4πε r 3 2cosθˆr +sinθˆθ = [( q 4πε r 2 1+ 2h ) cos θˆr + 1h ] sin θˆθ r r q I punkten 1hẑ blir fältet (θ =)E 1 = 4πε 1 4 h 2 3ˆr = q 4πε 1 4 h 2 3ẑ q [ I punkten 1hˆx blir fältet (θ = π/2,ϕ=)e 2 = ˆr 4πε 1 4 h 2 + ˆθ ] q = 4πε 1 4 [ˆx ẑ] h2 E 1 Svr: = 3ẑ E 2 ˆx ẑ = 3 2
Tentmen i del 1 v 25 8 22, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME 2A1865 TEORETISK ELEKTROTEKNIK CL påbyggndskurs Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Tentmensbldet skll lämns in! 1. Ett sfäriskt moln med rdien hr den konstnt positiv rymdlddningstätheten ρ. Bestäm krften på en elektron som befinner sig inuti molnet på vståndet b från molnets centrum (b <) till storlek och riktning! 2. En cylindrisk kondenstor med längden L består v två koxil ledre med rdiern och b ( <b). Melln ledrn befinner sig två isoltorer med permittivitetern ε 1 respektive ε 2. Isoltorern uppfyller området melln ledrn enligt figuren. Bestäm kondenstorns kpcitns! b ε 1 ε 2 3. En punktlddning Q befinner sig inuti och på vståndet d från centrum v en jordd metllsfär med rdien (d <). ) Bestäm potentilen inuti sfären! b) Bestäm ytlddningstätheten på metllsfärens inneryt! 4. En luftfylld (oändligt-)lång solenoid-spole med rdien hr tätt lindde vrv med tätheten n vrv/längd. Vrven hr en stigningsvinkel α, se figur. Bestäm mgnetisk flödestätheten både inuti och utnför spolen om spolen för strömmen I! Ledning: Superposition. Ytströmtätheten blir K = ni ( ˆϕ + tnαẑ) Vänd!
5. En kvdrtisk strömsling med sidn för strömmen I. I smm pln och symmetriskt plcerd finns en större kvdrtisk sling med sidn b, där b. Bestäm det mgnetisk flödet genom den stor slingn! b I Ledning: Använd vektorpotentilen A!
Tentmen i del 1 v 25 8 22, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME 2A1865 TEORETISK ELEKTROTEKNIK CL påbyggndskurs Förslg till lösning. 1. 2. Använd Guss lg. Genom en koncentrisk sfärisk yt med rdien r ger molnets E-fält flödet 4πr 2 E r,och 4πr 3 lddningen innnför ytn blir ρ 3.Således fås tt 4πr2 E r = ρ 4πr 3 ε 3,vrvidE = ρ r ˆr. 3ε Svr: Krften på elektronen blir F = ee = eρ b ˆr (in mot centrum) 3ε Ansätt elektrisk fältet som ett linjelddningsfält: E = K ŝ, vilket ger konstnt potentiler på s ledrytorn och tt tngentiell fältkomponenten blir kontinuerlig över gränsytn melln de dielektrisk områden. Spänningen blir då U = V V b = b E sds = K ln b. Lddningen på innerledren blir Q = Lπ (ε 1 E s (s = )+ε 2 E s (s = )) = KLπ(ε 1 + ε 2 ) Svr: Kpcitnsen C = Q U = Lπ (ε 1 + ε 2 ) ln b 3. Ytlddningen på sklets insid representers v en spegellddning 2 Q påvståndet d d Svr : Potentilen inuti sfären blir V (r, θ) = Q 1 4πε r dẑ d r 2 d ẑ = Q 1 4πε r2 2rd cos θ + d 2 d r 2 2 2 r d V På sklets insid blir ytlddningstätheten σ(θ) =ε ( ˆr) E = ε E r = ε (r =, θ) r ) V ε r = Q (r 2 4π r d cos θ (r 2 2rd cos θ + d 2 ) + d d cos θ 3/2 ( ) 3/2 r 2 2 2 r d cos θ + 4 d 2 från centrum. 4 cos θ + d 2 Insättning v r = smt förenklingr ger Svr b: σ (θ) = Q 4π 2 1 (d/) 2 (1 2(d/)cosθ +(d/) 2) 3/2
4. Ytströmtätheten på solenoiden blir K = ni ( ˆϕ +tnαẑ). Enligt Griffiths Exempel 5.9 ger K ϕ (den cirkulernde delen) ett mgnetfält som är μ niẑ inuti solenoiden och noll utnför. K ger en totlström 2πnI tn α i solenoidens längdriktning med ett fält som blir μ 2πnI tn α ˆϕ 2πs utnför och noll inuti. μ niẑ, s < Svr: B = μ ni tn α s ˆϕ, s > 5. Antg tt slingorn ligger i xy-plnet symmetriskt kring origo. Då b pproximers den lill slingn som en mgnetisk dipol m = I 2 ẑ plcerd i origo. Vektorpotentilen från dipolen blir A = μ 4π m ˆr r 2 = μ 4π m r r 3 = μ I 2 ẑ (xˆx + yŷ) = μ I 2 4π (x 2 + y 2 ) 3/2 4π yˆx + xŷ (x 2 + y 2 ) 3/2 Mgnetisk flödet i positiv -led blir Φ = A dl, där cirkultion följer definitionsriktningen för strömmen i den mindre slingn. Med dl = ˆxdx + ŷdy fås tt A dl = μ I 2 ydx + xdy 4π (x 2 + y 2 ) 3/2 Vrje hlvsid ger lik stor bidrg. Beräkn för t.ex. x = b/2 dx =,y : b/2. Dett ger Φ = 8 μi 2 4π b/2 b/2 (b 2 /4+y 2 ) dy = 2μ I 2 b 3/2 π 2 [ y b 2 /4 b 2 /4+y 2 ] b/2 = 2 2μ I 2 πb =Svr.
Tentmen i del 1 v 25 1 19, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Tentmensbldet skll lämns in! 1. Ett punktlddning Q > befinner sig på vståndet 2 från medelpunkten till en lednde sfär med rdien. Sfären kn påtvings en önskd potentil V s, reltivt jord. Melln vilk värden måste V s väljs för tt det smtidigt skll finns positiv och negtiv ytlddningstäthet påsfären? Ledning: I vilk punkter ntr ytlddningstätheten sin extremvärden? V s Q 2. 3. I ett cirkulärcylindriskt område med rdien och längden l är den reltiv permebiliteten µ r =1+s/, uttryckt i cylinderkoordintern {s, φ, }. I området är det mgnetisk fältet B(s, φ, ) = µ Is ẑ l Bestäm H-fältet, mgnetiseringen, smt den totl, fri, respektive bundn strömtätheten inuti området! I en prledning består ledrn v tunn bnd v kopprplåt; se tvärsnittet i figuren. Vid ett blixtnedslg uppstår strk strömmr i båd ledrn. Strömmrn nts vr lik stor och jämnt fördelde över respektive ledre. Bestäm den mgnetisk krften/längd på den högr ledren! Numerisk värden = 5 mm, I = 1 ka. I -3-3 y I x Vänd!
4. I en mycket stor pln yt med den konstnt ytlddningstätheten σ hr det tgits ut ett hål med rdien. På och riktd längs med hålets symmetrixel finns en elektrisk dipol p = pẑ. Bestäm krften på dipolen, som funktion v vståndet från hålets centrum! Ledning: Krften på en dipol ges som F =(p ) E σ p 5. Det elektrisk fältet i luften är vid ett visst tillfälle vertiklt nedåtriktt. Vid jordytn är fältstyrkn 5 V/m och på 1kmhöjd 2 V/m. Bestäm ntlet lddningr per volym som finns i medeltl i tmosfären under 1 km höjd! Ledning: Vrje lddning hr smm styrk som elementrlddningen, e 1, 6 1 19 C, och det förutsätts tt smtlig lddningr hr smm tecken.
Tentmen i del 1 v 25 1 19, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME Förslg till lösning. 1. Fältet utnför representers v ekvivlent lddningr enligt figuren, där Q/2 ligger på vståndet /2 från centrum. Potentilen på sfären bestäms v centrumlddningen: V s = Q s 4πε Ytlddningstätheten ntr extremvärden vid punktern A och B, där sfären skär symmetrixeln. Vid dess punkter blir ytlddningstäthetern B Q s -Q/2 A Q [ σ A = ε ẑ E A = 1 4π ẑ Q 2 ( ẑ) Q 2 σ B = ε ( ẑ) E B = 1 [ Q 4π ( ẑ) 9 2 ( ẑ) Q 2 ( σ A σ B < Q s Q ) (Q s 3Q) < 9 ] 1 (/2) 2 ẑ + Q s 2 ẑ = 1 4π 2 ( 3Q + Q s) ] 2 ẑ = 1 4π 2 ) 2 ( 13Q < 9 4 9 2 ( ẑ) Q s ( Q s 14Q 9 ( Q s Q ) 9 ) 2 Q 9 <Q s < 3Q Svr: Q 36πε <V s < 3Q 4πε 2. Det konstitutiv smbndet H = B/µ ger tt H = B µ r µ = Definitionen H B/µ M ger tt M = B/µ H = Is (1 + s/) l ẑ = Is ( + s) l ẑ Is 2 ( + s) l ẑ Totl strömtätheten: J = 1 B = 1 B µ µ s ˆφ = I l ˆφ Fri strömtätheten: J f = H = H s ˆφ I = ˆφ ( + s) 2 l Bundn strömtätheten: J b = M = M s ˆφ Is(2 + s) = ˆφ ( + s) 2 l Kontroll ger tt J = J f + J b. (I är den totl ström som cirkulerr runt i området, i negtiv riktning kring -xeln)
3. En rems med bredden dx v den vänstr ledren ger på x-xeln ett mgnetfält db = µ 2π Idx 2 ŷ x x Totl fältet: B = µ Iŷ dx 4π 3 x x = µ Iŷ 4π [ln x x ] 3 = µ Iŷ 4π ln x +3 x + Krften/längd på en rems med bredden dx v den högr ledren blir df l = Idx 2 ẑ B = µ I 2 ˆx ln x +3 8π2 x + dx Totl krften/längd: F l = µ I 2 8π 2 ˆx 3 [ln (x +3) ln (x + )] dx = µ I 2 ( 6 8π ˆx ln udu 4 = µ I 2 ˆx [6 ln 6 6 4ln4+4 4ln4+4+2ln2 2] 8π = µ I 2 4π ˆx [3 ln 6 4ln4+ln2]= µ I 2 4π ˆx ln 63 2 4 4 = µ I 2 27 ˆx ln 4π 16. Numerisk värden ger F l 146ˆx kn/m. Svr: 1 kn/m riktd åt vänster. 4 2 ) ln udu 4. 5. Använd superposition: ett pln utn hål + en cirkulär skiv med motstt tecken på ytlddningen. Fältet från plnet blir (se Griffiths Exempel 2.4) E 1 = σ sign () ẑ. 2ε Fältet från skivn (Griffiths Problem 2.6, Studiehäftet tl I:Ö6): E 2 = σ ( ) sign () ẑ 2ε 2 + 2 Totl fältet: E = E 1 + E 2 = σ 2ε 2 + ẑ 2 Krften på dipolen: ( ) F =(p ) E = p E = p σ 1 2ε 2 + 2 ẑ = p σ 2 = Svr 2 ( 2 + 2 ) 3/2 2ε ( 2 + 2 3/2 ) Tillämp Guss lg i en dimension. Skär ut en pelre med höjden h = 1 km och tvärsnittsytn S. Vi hr tt E () = 5ẑ V/m och tt E (h) = 2ẑ V/m. Utflödet sker enbrt vid ändytorn, och blir ẑ E () S + ẑ E (h) S = Q inne /ε = ρ Sh/ε,där ρ är den genomsnittlig rymdlddningstätheten. Dett ger tt ρ = ε 8, 854 1 12 ẑ (E (h) E ()) ( 2 + 5) C/m 3 4, 25 pc/m 3. h 1 Division med elementrlddningen ger tt det genomsnittlig ntlet lddningr/volym blir ungefär 27 miljoner/m 3 =Svr
Tentmen i del 1 v 26 1 16, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn. Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Tentmensbldet skll lämns in! 1. 2. Betrkt området inuti ett jordt sfäriskt skl v metll; sklet hr innerrdien. Välj godtyckligt ut två punkter r 1 och r 2 innnför sklet. Om en punktlddning q plcers i punkten r 1 erhålles en potentil V 21 i punkten r 2. r Om istället q plcers i punkten r 2 erhålles en potentil V 12 i punkten 1 r 1. Vis tt V 21 = V 12! r 2 Resultt är ett exempel på reciprocitet, vilket i prktisk smmnhng innebär tt smm resultt erhålles om sändre och mottgre byter plts med vrndr. Ett område begränss v två sfärisk ytor med rdiern och b ( <b). Inuti området finns det runt punkten x = d, y = = ettsfäriskt delområde, med rdie c, vilket är fritt från lddning. Resten v området hr den totl lddningen Q, jämnt fördeld. Innnför det lddde områdets inre begränsningsyt finns det i punkten x = x,y = = en elektrisk dipol p = pŷ. Bestäm vridmomentet på dipolen! Q b y x d p c x 3. Mgnetosttisk energin från en sttionär strömtäthet J kn medelst vektorpotentilen uttrycks som W m = 1 J A dτ 2 Vektorpotentilen är emellertid inte entydigt bestämd, ty trnsformtionen A = A + λ ändrr A utn tt fältet B = A påverks (λ är ett godtyckligt sklärfält). Vis tt W m inte påverks v tt A trnsformers! Ledning: Strömtätheten uppfyller J = ochj utnför ett område med begränsd utsträckning. Vänd!
4. 5. Iensfärisk kondenstor äro innerledrens rdie = 1 mm och ytterledrens inre rdie b = 25 mm. Isoltionen består v tvenne koncentrisk sfärisk lger med de reltiv permittivitetern ε r1 =9och ε r2 =4räknt inifrån och utåt. Huru tjock skol de båd lgren vr, för tt de mximl fältstyrkorn i dem skol bli lik stor? µ r En mycket lång tätt lindd solenoidspole hr rdien b = 2 cm och vrvtätheten n = 7 vrv/m. Inuti spolen finns en koxiellt plcerd järnstv med rdien = 1 cm. Järnstven, som också är mycket lång, hr den reltiv permebiliteten µ r = 2. En ström I =3Agår genom vrje vrv i solenoidspolen. Bestäm fälten B, H och M, överllt! I b
Tentmen i del 1 v 26 1 16, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME Förslg till lösning. 1. Med lddningen i punkten r 1 fås en spegellddning q 1s = r 1 q i spegelpunkten r 1s = 2 r1 2 r 1 ; se figuren. Potentilen i r 2 blir då V 21 = q 1 4πε r 2 r 1 1 r 1 r 2 2 r1 2 r 1 Termen r 2 r 1 blir densmm om r 1 och r 2 byter plts, och vi behöver då vis tt dett också gäller för den ndr termen: r 1 r 2 2 r1 2 r 1 = r 1 r2 2 r 1 r 2 22 r1 2 + 4 r1 2 = r1 2r2 2 22 r 1 r 2 + 4 Uttrycket blir detsmm om r 1 och r 2 byter plts, vrigenom V 12 = V 21 V.S.V. q r 1 q 1s r 1s 2. 3. Q Rymdlddningstätheten blir ρ = 4π ( b 3 3 c 3) 3 Situtionen är likvärdig med tt en rymdlddning ρ vilken helt uppfyller området < r < bsuperponers med en rymdlddning ρ belägen i det sfärisk hålrummet. Guss lg ger tt det inte blir något fält i området r<från ρ uppfyllnde området <r<b. Utnför hålrummet ger ρ upphov till ett punktlddningsfält från den totl lddningen q = ρ 4πc3 Qc 3 = 3 b 3 3 c 3 Vid dipolen blir fältet E = 1 q 4πε (d x ) 2 ( ˆx) = Qc 3 4πε (b 3 3 c 3 )(d x ) 2 ˆx pqc 3 Vridmomentet på dipolen p = pŷ blir således N = p E = 4πε (b 3 3 c 3 )(d x ) 2 ẑ=svr A = A + λ. Skll vis tt J A dτ = J A dτ J λdτ = Integrtionsområdet innesluter J. På ytn S fås då tt J =, vilket ger tt ] J λdτ = [ (λj) λ J }{{} dτ = λj d = S = Således blir energin opåverkd, V.S.V.
4. 5. Det finns ing fri lddningr i området <r<b, vrvid Guss lg ger tt förskjutningsfältet blir på formen D = k r ˆr,<r<b. 2 k De elektrisk fälten i delområden blir E 1 = ε r1 ε r ˆr, 2 E k 2 = ˆr, respektive. ε r2 ε r2 Låt gränsytn melln delområden h rdien c. De mximl fältstyrkorn blir E 1 mx = k ε r1 ε 2 och E 2 mx = k ε r2 ε c 2 εr1 E 1 mx = E 2 mx ger tt c = = 3 1 mm = 15 mm c = 5 mm, b c = 1 mm. ε r2 2 Svr: Inre lgret skll h tjockleken 5 mm, yttre lgret tjockleken 1 mm. Se Griffiths exempel 5.9: Utn järnstven fås tt B = µ ni inuti spolen och noll utnför. Dett ger tt H = ni inuti och noll utnför smt tt M =både inuti och utnför (smtlig fält i spolens längdriktning). När järnstven plcers in uppstår en bunden ytströmtäthet på dess yt så tt den bildr en spole inuti spolen. Kontinuiteten för tngentiell H ger tt H = ni inuti järnstven, vrvid B = µ r µ H = µ r µ ni och M = B/µ H =(µ r 1) ni inuti järnstven. Numerisk värden ger Svr: B = H = M = utnför rdien 2 cm. Melln lindningen och järnstven: H = 21 A/m, B 2, 6mTochM =. Inuti järnstven H = 21 A/m, B, 52 T och M 4, 2 1 5 A/m.
Tentmen i del 1 v 26 1 18, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn! Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Tentmensbldet skll lämns in! Uppgift 1 En punktlddning q befinner sig på höjden d ovnför ett mycket stort metllpln. Rkt ovnför q finns ytterligre en punktlddning Q på höjden h ovnför metllplnet. Det gäller tt h d (se figuren). Bestäm förhållndet melln Q och q så tt ytlddningstätheten på metllplnet blir noll på en cirkel med rdien h, centrerd kring symmetrixeln genom lddningrn! Uppgift 2 En högspänningskbel skll konstruers enligt följnde uppgifter. En cylindrisk innerledre med rdien förses med två koxiell isoltionslger vilks skiljeyt hr rdien b. Isoltionslgren omges med en ytterledre med innerrdien c. Permittivitetern är för det inre lgret ε 1, för det yttre ε 2, vrvid ε 1 > ε 2. För en given spänning melln ledrn och en given rdie c, hur skll och b väljs för tt säkerheten mot genomslg dels skll bli så stor som möjligt, dels lik stor i båd lgren? Den elektrisk hållfstheten ntges bero endst v mximl fältstyrkn och vr lik för båd isoltionsmterilen. b c " 2 " 1 Uppgift 3 Vektorpotentilen A från en mgnetisering M kn beräkns direkt från M som en superposition v dipolpotentiler: A(r) = µ M(r ) ˆR 4π R 2 dτ Vis tt dett uttryck kn skrivs om så tt vektorpotentilen istället beräkns från de så kllde bundn strömtäthetern! Vänd!
Uppgift 4 En lång rk tråd med rdien för strömtätheten J(s) = I n + 2 2π n+2 sn ẑ, där n > 2 och s är den rdiell cylinderkoordinten. Bestäm fältet B inuti smt utnför tråden. Uppgift 5 I en elektrisk nläggning finns en vledre i form v en sfär v luminium. Sfären hr rdien = 25 cm. Avledren befinner sig i ett yttre (pproximtivt homogent) elektriskt fält med styrkn E = 5 kv/m. Utnför sfären blir störfältet ett dipolfält svrnde mot ett i sfären inducert dipolmoment p = 4πε 3 E (viss i t.ex. studiehäftet, uppgift 6:Ö8) Situtionen kn tolks som tt sfären blivit homogent polriserd genom tt två från börjn på vrndr överlgrde, sfärisk och homogen, rymdlddningr ρ (från tomkärnorn) och ρ (från elektronern) hr flyttts så tt ders centr hmnt en kort sträck d från vrndr. I figuren viss principen, med ett strkt överdrivet vstånd d (beskrivs i t.ex. Griffiths, exempel 4.3). ) För given rymdlddning ρ, bestäm smbndet melln den pålgd fältstyrkn E och vståndet d! b) Aluminium hr tomnumret 13 och en tomtäthet N 6 1 28 tomer/m 3. Bestäm utifrån dess och övrig dt värdet på d. Jämför med den typisk storleken på tomer: 1 Å = 1 1 m. d
Tentmen i del 1 v 26 1 18, kl 14:-19: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME Förslg till lösning. Uppgift 1 Låt metllplnet smmnfll med plnet = och låt lddningrn ligg på +-xeln. Metllplnet ersätts med spegellddningrn till q och Q. Eftersom d h kn q och dess spegellddning ersätts med en dipol p = 2qdẑ, i origo (se figuren). { I plnet = r = s, θ = π 2, ˆθ } = ẑ blir fältet från dipolen p ( ) E 1 = 4πε r 3 2 cos θˆr + sin θˆθ = 2qd 4πε s 3 ẑ = qd 2πε s 3 ẑ I plnet = blir fältet från Q och dess spegellddning [ ] E 2 = Q sŝ hẑ sŝ + hẑ Qh = 4πε (s 2 + h 2 3/2 ) (s 2 + h 2 ) 3/2 2πε (s 2 + h 2 ) ẑ 3/2 [ På metllplnet blir ytlddningstätheten σ(s) = ε ẑ (E 1 + E 2 ) = 1 qd 2π s 3 + σ(s = h) = qd h 3 + Qh 2 2h = Q 3 q = 2 2 d h = Svr Qh (s 2 + h 2 ) 3/2 ] Uppgift 2 Guss lg ger tt melln ledrn blir D = Elektrisk fälten i de två dielektrisk områden blir då E 1 = Spänningen melln ledrn: U = Mximl fältstyrkorn: E 1mx = b E 1 ŝds + λ där λ (> ) är fri lddning/längd på kärnn. 2πsŝ, c b E 2 ŝds = λ 2πε 1, E 2mx = λ 2πε 2 b Spänningen kn då skrivs U = E 1mx ln b + E 2mxb ln c b E 1mx = E 2mx = E mx 1 ε 1 = 1 ε 2 b = bε 2 ε 1 U = E mx b För tt minimer E mx måste vi mximer f(b) = b λ 2πε 1 sŝ, E 2 = λ 2πε 2 sŝ. λ ln b 2πε 1 + λ ln c 2πε 2 b ( ε2 ( ε2 ε 1 ln ε 1 ε 2 + ln c b ln ε 1 + ln c ε 1 ε 2 b ). Får tt df db = ε 2 ε 1 ln ε 1 ε 2 + ln c b 1 = ln b c = ε 2 ε 1 ln ε 1 ε 2 1 b c = e(ε2/ε1) ln(ε1/ε2) e 1 = 1 e Vidre fås tt d2 f db 2 = 1 <, dvs mxpunkt. b Svr: b = c ( ) ε2/ε 1 ε1, = b ε 2 = c ( ε1 e ε 1 e ε 2 ε 2 ) (ε2/ε 1) 1 ). ( ) ε2/ε 1 ε1 ε 2
Uppgift 3 Se Griffiths, vsnitt 6.2.1. Uppgift 4 Använd Ampères cirkultionslg: C B dl = µ I omkretsd. För en cirkelbn koxiell med tråden fås tt 2πsB φ (s) = µ I omkretsd (s). s Inuti tråden är I omkretsd (s) = 2π J (s ) s ds = I n + 2 s ( n+2 (s ) n+1 s ds = I Utnför tråden är I omkretsd = I. µ I ( s ) n+1 ˆφ, s < 2π Svr: B(s, φ) = µ I 2πs ˆφ, s > ) n+2. Uppgift 5 ) Pg tt vrder rymdlddningen är sfäriskt symmetrisk blir dipolmomentet p = ρ 4π3 d, motsvrnde 3 två ekvivlent punktlddningr ±q = ±ρ 4π3 på vståndet d från vrndr. 3 Med p = 4πε 3 E fås tt d = 3ε E ρ = Svr b) Rymdlddningstätheten ρ = N 13e d = 3ε E 13Ne 3 8, 854 1 12 5 1 3 13 6 1 28 1, 62 1 19 m 1, 1 1 16 m,1 fm = 1 6 Å = Svr b.
Tentmen i del 1 v 27 1 12, kl 8:-13: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 5p. Godkänt grnters på 1p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn! Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Tentmensbldet skll lämns in! Uppgift 1 En mycket lång lddd stv med den konstnt linjelddningstätheten λ är plcerd horisontellt. Vid stvens en änd är det fäst ett snöre i vilket det hänger en liten kul med mssn m. När kuln tillförs en lddning Q, v smm tecken som λ, bildr snöret vinkeln β mot lodriktningen. x Q,m Bestäm Q uttryckt i övrig relevnt storheter när β = 3! Uppgift 2 Sklär potentilen V från en polristion P kn beräkns direkt från P som en superposition v dipolpotentiler: V (r) = 1 P (r ) ˆR 4πε R 2 dτ Vis tt dett uttryck kn skrivs om så tt potentilen istället beräkns från de så kllde bundn lddningsfördelningrn! Uppgift 3 En oändligt lång rk linjelddning med den konstnt linjelddningstätheten λ befinner sig på höjden h ovnför ett oändligt stort metllpln. En liten kul med lddningen q vilken från börjn befinner sig på höjden 4h rkt ovnför linjelddningen flytts rkt neråt och plcers på höjden h ovnför linjelddningen; se figuren. Bestäm λ så tt rbetet som krävs för tt flytt kuln blir lik med noll! Ledning: Bestäm rbetet genom tt vägintegrer krften verknde på kuln. q h h Vänd!
Uppgift 4 En kvdrtisk strömsling med sidn för strömmen I. Slingn, som ligger i xy-plnet, hr sitt centrum i origo. ) Bestäm mgnetfältet B längs med hel -xeln! b) För, pproximer resulttet från ) och kontroller tt det överensstämmer med resulttet som fås då slingn pproximers som en dipol! Uppgift 5 En sfärisk plstbehållre med innerrdien är fylld med en lednde vätsk. I behållrens centrum finns en strömkäll i form v en kort tråd vilken hr längden l och för strömmen I. Strömtätheten, som uppstår i den omgivnde vätskn, får ett utseende enligt figuren och ges i sfärisk koordinter som J = Il 4π [ 2 ( 1 r 3 1 3 ) cos θˆr + Bestäm mgnetfältet överllt för r >! ( 1 r 3 + 2 3 ) sin θˆθ ], < r < Ledningr: Mgnetfältet hr enbrt imutlkomponent. Använd Ampères cirkultionslg. Permebiliteten är µ överllt.
Tentmen i del 1 v 27 1 12, kl 8:-13: 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME Förslg till lösning. Uppgift 1 Antg först tt stvens bortre ände är vid = L, vrvid elektrisk fältet i x-plnet blir E(x, ) = λ 4πε L = λ [ 4πε xˆx + ( ) ẑ ( x 2 + ( ) 2) 3/2 d = uˆx x u 2 + x 2 Instt gränser och L E(x, ) = λ 4πε ] +L ẑ u2 + x 2 [ ( 1 1 x För det ktuell vridningsutslget är x = cos 3 = Totl krften i snörets riktning ger tt QE mg + QE x = tn 3 = 1 3 Q = mg = 4πε mg 3E E x λ λ 4πε +L 2 + x 2 ) ˆx + xˆx + uẑ (x 2 + u 2 ) ẑ 2 + x 2 ]. 3/2 du 3 2, = sin 3 = 2 E = λ ( ) 1 3 ˆx + ẑ. 4πε 1 = 2 3πε mg = Svr 3 1/ 3 λ Uppgift 2 Se Griffiths, vsnitt 4.2.1. Uppgift 3 Både linjelddningen och punktlddningen spegls i metllplnet. Låt punktlddningen h ortsvektorn ẑ. Vid punktlddningen blir fältet från linjelddningen och de två speglde lddningsfördelningrn E(ẑ) = λ ( 1 2πε h 1 ) ẑ q 1 + h 4πε (2) 2 ẑ Arbetet mot den elektrisk krften Svr: A = ger λ = A = 2h 5h = q 2πε 3q 8h ln 2. qe ẑd = q 2πε [ λ ln h + h + q 8 5h 2h ] 5h 2h [ ( 1 λ = q 2πε h 1 + h [ λ ln 2 3q ] 8h ) q ] 8 2 d
Uppgift 4 ) Av symmetri följer tt fältet på -xeln hr enbrt -komponent, till vilken slingns fyr sidor ger lik stor bidrg. Antg tt strömmen definierts till tt cirkuler i positiv riktning runt -xeln. Biot-Svrts lg över sidn x = 2, y 2 ger då tt totl fältet på -xeln blir B(ẑ) = 4 µi 4π /2 /2 2 ẑ [ 2 + 2 4 + (y ) 2 ] 3/2 dy = µ I 2 2π ( 2 + 2 4 1 ) 2 + 2 2 ẑ = Svr b) För fås tt B(ẑ) µ I 2 3 ẑ, vilket överensstämmer med Griffiths (5.86) när vi sätter dipolmomentet m = I 2, θ = & r =, 2π V.S.V. Uppgift 5 Tillämp B dl = µ J ˆnd över en klottyt med rdien r och polvinkeln θ, enligt figuren. Längs med rnden på klotten fås tt B dl = B φ 2πr sin θ. Endst strömtäthetens r-komponent bidrr till strömmen genom klotten, och för < r < blir µ J ˆnd = µ ( Il 1 4π 2 r 3 1 ) θ 3 2πr 2 cos θ sin θ dθ = µ ( ) Il 1 2 r r2 3 sin 2 θ För r > psserr ingen ström genom klotten. Svr: För < r < är B = µ Il 4π ( 1 r 2 r ) 3 sin θ ˆφ och för r > är B = µ r
Tentmen TENA 27 1 24, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 2p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn! Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Tentmensbldet skll lämns in! Uppgift 1 En sfäriskt symmetrisk rymdlddningsfördelning, utbredd i hel rummet, ges som ρ(r) = q 2π 2 3n 1 + (nr 3 ) 2, där prmetern n >. ) Bestäm elektrisk fältet E (5 poäng) och fördelningens totl lddning (3 poäng)! b) För r >, vd händer med ρ och E när n? (2 poäng) Uppgift 2 En cirkulär strömsling med rdien 5 cm för en ström på 1 ka. Vid slingns centrum ligger en stvmgnet vilken hr längden 1 cm och ett cirkulärt tvärsnitt med dimetern 1 mm. Stvmgneten, som ligger i slingns pln, hr i sin längdriktning en homogen mgnetisering på 2 ka/m. Bestäm vridmomentet på stvmgneten! Införd beteckningr och definitionsriktningr skll nog nges i en figur! Uppgift 3 En stv med längden h är plcerd lodrätt ovnför ett stort metllpln. Stven hr den totl lddningen Q, jämnt fördeld över stvens längd, och stvens mittpunkt befinner sig på höjden h ovnför metllplnet. Bestäm krften verknde på stven, till storlek och inriktning! Vänd!
Uppgift 4 Två spetsig rottionssymmetrisk elektroder v metll hr plcerts koxiellt mot vrndr så tt ders spetsr är nästn i kontkt med vrndr. Elektrodern hr smmnfogts medelst ett elektriskt lednde lim som bildr en sfäriskt formd utbuktning runtom gpet melln elektrodern. Utbuktningen hr rdien. I de sfärisk koordintern (r, θ, φ) blir strömtätheten i limmet I J = I 2πr sin θ ˆθ PSfrg replcements r θ där I är strömmen genom elektrodern. Bestäm mgnetfältet B inuti limmet! Permebiliteten är µ överllt. Uppgift 5 En rymdlddning ρ(r ) befinner sig helt och hållet innnför en sfärisk yt med rdien. ˆn Vis tt över det sfärisk området blir volymsintegrlen v det elektrisk fältet E(r) dτ = p PSfrg replcements där p = r ρ(r ) dτ 3ε r < r < ρ(r ) är lddningsfördelningens dipolmoment med vseende på sfärens centrum! (resulttet hr nknytning till kursbokens Problem 3.42) Ledningr E = V. V (r) = 1 ρ(r ) 4πε r < R dτ. Vrint v Guss sts: r = r < V dτ = r = V ˆnd. ˆn R d = ˆn r = r r d = 4π 3 r om r <.
Tentmen TENA 27 1 24, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Förslg till lösning. Uppgift 1 ) Innnför en sfär med rdie r blir den inneslutn lddningen Q inne (r) = r ρ(r ) 4π (r ) 2 dr = 4π q r 2π 2 3n (r ) 2 ( 1 + n (r ) 3) 2 dr = 2q π nr 3 du 1 + u 2 = 2q π rctn( nr 3) Guss lg ger tt E r 4πr 2 = Q inne ε Svr : q 2 E = 4πε r 2 π rctn( nr 3) ˆr och den totl lddningen är Q totl = Q inne (r ) = q, oberoende v n. Svr b: Om n när r > fås tt ρ(r > ) och tt E(r > ) Rymdlddningen blir således ρ(r) = qδ 3 (r) (punktlddning) q ˆr (punktlddningsfält). 4πε r2 Uppgift 2 Biot-Svrts lg ger tt i centrum blir mgnetfältet från slingn B() = µ I 4π 2π dφ ŝ ˆφ 2 = µ I 2 PSfrg ẑ replcements Stvmgnetens längd, l = 1 cm, nses vr så pss mycket mindre än slingns rdie, = 5 cm, tt mgneten kn betrkts som en dipol. Antg tt mgneten ligger så tt mgnetiseringen M = 2 1 5 A/m är riktd i +ˆx-led, vilket ger tt dipolmomentet blir m = πd2 lm ˆx. 4 Svr: Vridmomentet N = m B = πd2 lm 4 µ I 2 ˆx ẑ = lmµ I πd2 ŷ, 2ŷ Nm. 8 d l I x Uppgift 3 Ytlddningen på metllplnet kn representers med en spegld stv med motstt tecken på lddningen. I området ovnför plnet är fältet från ytlddningen = fältet från spegelstven: E σ = 1 Q 4πε h Svr: F = Q h = Q 4πε hẑ 3h/2 h/2 h/2 3h/2 h/2 3h/2 ( ) ẑ 3 d = { > } d ( ) 2 = Q 4πε h Q2 E σ () d = 4πε h 2 ẑ [ PSfrg replcements ] ẑ 1 + h/2 1 + 3h/2 [ ln + h/2 ] 3h/2 = Q2 4 ln + 3h/2 h/2 4πε h2 3ẑ. Q Q
Uppgift 4 PSfrg replcements Använd Ampères cirkultionslg, B dl = µ I omkretsd, där C är rnden till C en konisk mntelyt med öppningsvinkeln 2θ och genertrislängden r. ˆθ θ Linjeintegrlen v mgnetfältet blir då B φ (s, θ) 2πr sin θ = µ I omkretsd. r I omkretsd = J ˆnd. Enligt definitionsriktningrn i Stokes sts skll ytnormlen ˆθ nvänds vid S ( ) beräkningen v den omkretsde strömmen. Det vektoriell ytelementet blir då dr r sin θdφ ˆθ. Således blir strömmen genom den konisk mntelytn vrför mgnetfältet blir B = I omkretsd = 2π dφ µ I 2π sin θ ˆφ = Svr r dr I 2πr sin θ r sin θ = I r Uppgift 5 r < E(r) dτ = V dτ = r < = 1 { ρ(r ) 4πε r < r = r = V ˆnd = 1 { 4πε r = } ˆn R d dτ = 1 3ε r < r < } ρ(r ) R dτ ˆnd ρ(r ) r dτ = p 3ε V.S.V.
Tentmen TENA 28 1 18, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 2p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn! Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Tentmensbldet skll lämns in! Uppgift 1 En klottyt hr rdien och öppningsvinkeln 2θ ; se figuren. Jämnt fördeld över ytn finns den totl lddningen Q. PSfrg replcements () Bestäm potentilen på klottytns mittpunkt, dvs där -xeln psserr genom ytn! (8 poäng) (b) Kontroller tt ditt resultt blir det förväntde då θ π! (2 poäng) Q θ Uppgift 2 I en från börjn luftfylld cylinderkondenstor är innerledrens rdie = 2 mm och ytterledrens inre rdie b = 45 mm. Kondenstorn förses med en isoltor bestående v en hyls tätt omslutnde innerledren. Isoltorhylsns godstjocklek är 15 mm och dess reltiv permittivitet ε r = 6. Med hur mång procent måste spänningen över kondenstorn sänks för tt den mximl fältstyrkn i luftskiktet ej skll överstig den mximl fältstyrk som förelåg innn isoltorn infördes? Uppgift 3 Ett klot med rdien hr mgnetiseringen M(r) = M sin θˆθ. r () Bestäm den bundn rymdströmtätheten! (3 poäng) (b) Bestäm den bundn ytströmtätheten! (3 poäng) (c) Bestäm klotets mgnetisk dipolmoment! (4 poäng) Vr god vänd!
Uppgift 4 En stv med längden och den totl lddningen Q, jämnt fördeld längs med stven, står ovnpå en metllsfär med rdien och den totl lddningen Q. PSfrg replcements Bestäm uppsättningens elektrisk dipolmoment! Q Q Uppgift 5 En cirkulär strömsling med rdien och förnde strömmen I är plcerd koxiellt med -xeln så tt slingns centrum befinner sig i origo. R () Bestäm mgnetfältet B på -xeln och beräkn B (ẑ) d! (5 poäng) (b) Betrkt en ändlig integrtionsväg R R vilken sluts vi en hlvcikelbåge med rdien R; se figuren. I cirkultionsintegrlen PSfrg replcements B dl, nvänd mgnetfältets lednde beteende på stor vstånd från strömslingn för tt vis tt bidrget längs med hlvcirkelbågen försvinner då R. Motiver, och kontroller, på dett sätt ditt resultt från ()-uppgiften! (5 poäng) R I
Tentmen TENA 28 1 18, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Förslg till lösning. Uppgift 1 Ansätt den konstnt ytlddningstätheten till σ vrvid den totl lddningen θ Q = σ 2 sin θdθ 2π dφ = 2π 2 σ (1 cos θ ) σ = Q 2π 2 (1 cos θ ) Med r = ẑ, r = ( sin θ ŝ + cos θ ẑ ) R = r r = 2 1 cos θ blir potentilen V (r) = 1 σ(r ) 4πε R d = 1 Q 1 4πε 2π 2 (1 cos θ ) 2π2 2 Q = [2 4πε (1 cos θ ) ] θ 1 cos θ 2 = Q 4πε Svr b: θ = π V = θ sin θ dθ 1 cos θ 2 1 cos θ = Q 4πε sin Q, dvs potentilen på ett homogent lddt sfäriskt skl. 4πε ( θ 2 ) = Svr Uppgift 2 Ansätt en fri linjelddningstät λ på innerledren. Guss lg ger tt melln ledrn blir D = λ 2πsŝ Utn isoltorn fås för < s < b tt E = D = λ före ε 2πε sŝ E mx ŝ, ity fältet är mximlt vid innerledren. s Spänningen blir då U före = b E s ds = E mx ln b Med isoltorn, som hr ytterrdien d = + 15 mm = 35 mm: För < s < d blir E 1 = D = λ efter ε r ε 2πε r ε sŝ, och för d < s < b blir E 2 = D = λ efter ε 2πε sŝ E d mx ŝ, ity det s d mximl fältet i luften är vid gränsen isoltor-luft. Således fås tt E 1 = E mx ε r sŝ ( 1 Spänningen blir då U efter = E mx d ln d ε r + ln b ) 1 U efter = d ln d ε r + ln b d d U före ln b, 7436 Svr: Spänningen måste sänks med 26%
Uppgift 3 Svr : J b = M = 1 M θ r sin θ φ ˆr + 1 r (rm θ ) ˆφ = r Svr b: K b = M( r = ) ˆn = M( r = ) ˆr = M sin θ ˆφ Dipolmomentet: m = = M 3 = Mdτ = M 2 { 2π π sin 2 θdθ 1 r r2 dr 2π π sin θ sin θdθ 2π dφ (cos θŝ(φ) sin θẑ) } 3 ŝ(φ) dφ = = M 2 ( 2πẑ) π dφˆθ(θ, φ) sin 3 θdθ = 4π3 M ẑ = Svr c 3 Uppgift 4 Stven spegls i sfären och dessutom behövs en kompenstionslddning i origo (sfärens centrum) för tt ge rätt lddningsmängd innnför och konstnt potentil på ytn r =. Eftersom den totl lddningen är noll är dipolmomentet oberoende v vlet v momentpunkt och för tt slipp blnd in kompenstionslddningen PSfrg replcements väljs origo till momentpunkt. dq dq En på stven differentiell lddning dq = Q d belägen i ẑ hr spegellddningen dq = dq = Q d belägen i 2 ẑ. Ders bidrg till dipolmomentet blir dp = Q d ẑ Q ( ) 2 d ẑ = Qẑ 2 2 d. Integrer bidrgen från lddningselementen på stven och ders spegellddningr: 2 ( ) [ p = Qẑ 2 4 2 2 ( 1 2 d = Qẑ + 2 2 2 1 )] = Qẑ = Svr Uppgift 5 Biot-Svrts lg ger tt fältet på -xeln blir B(ẑ) = µ I 4π 2π dφ ẑ ŝ ˆφ ( 2 + 2 ) = µ I 3/2 4π ( 2 + 2 ) 3/2 B d = µ I 2 2 d ( 2 + 2 ) = µ I 2 3/2 2 [ 2π 2 2 + 2 dφ ( ŝ + 2 ẑ ) = ] = µ I = Svr µ I 2 2 ( 2 + 2 ) 3/2 ẑ (b) På cirkelbågen, där det vektoriell längdelementet är dl = Rdθˆθ, fås fältets lednde beteende från dipolpproximtionen, där dipomomentet m = π 2 Iẑ ger tt B µ Iπ 2 [ ] 4πR 3 2 cos θˆr + sin θˆθ båge B dl = µ Iπ 2 4πR 2 π sin θ dθ = µ I 2 2R 2, då R Den v hel integrtionsvägen omkretsde strömmen är I och enligt Ampères cirkultionslg följer då tt B d = µ I, dvs smm som i )-uppgiften.
Tentmen TENA 28 1 25, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 2p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn! Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Tentmensbldet skll lämns in! Uppgift 1 En tunn cirkulär ring med rdien är förlgd till xy-plnet och centrerd kring origo. Ringen hr den totl lddningen Q, jämnt fördeld över omkretsen. På -xeln befinner sig en stv med längden 2b, där b. Stvens mittpunkt hr koordinten och stven hr den totl lddningen Q, jämnt fördeld över hel längden. Bestäm krften på stven, som funktion v, under ntgndet tt b! Uppgift 2 En dipol p = pẑ befinner sig i centrum innnför ett sfäriskt metllskl med innerrdien. Bestäm det elektrisk fältet innnför metllsklet smt ytlddningstätheten på sklets insid! PSfrg replcements Ledning: Betrkt dipolen som två punktlddningr ±q på vståndet 2d från vrndr (p = 2qd). Lös dett problem och pproximer utifrån tt d. p Uppgift 3 2Q Tre koncentrisk sfärisk metllskl med rdiern, 2 smt 3 är belgd Q med de totl lddningrn Q, Q smt 2Q; se figuren. I områden r < smt 2 < r < 3 är den reltiv permittiviteten ε r = 2 och i övrig områden är ε r = 1. PSfrg replcements Bestäm det elektrisk fältet E i smtlig områden, innnför, melln smt utnför metllsklen! Q ε r = 2 ε r = 2 Vr god vänd!
Uppgift 4 En sluten strömsling C förnde strömmen I är belägen i närheten v origo. Vis tt på stort vstånd från strömslingn blir vektorpotentilen A(r) µ 4π och S är en öppen yt med slingn som rndkurv! m ˆr r 2, där m = I ˆn d S Uppgift 5 Inom ett sfäriskt område med rdien är mgnetiseringen (given i sfärisk koordinter) ( M(r) = M 1 r ) ( ˆr cos θ ˆθ ) sin θ Utnför området är mgnetiseringen noll. Bestäm mgnetfältet B i origo!
Tentmen TENA 28 1 25, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Förslg till lösning. Uppgift 1 Betrkt en kort förflyttning v stven, enligt figuren. Den ndel v stven som ligger symmetriskt med vseende på ringen utsätts inte för någon resulternde krft. Den överskjutnde delen med längden 2 hr lddningen Q 2b 2 = Q b. Med, b kn ringen och den överskjutnde delen betrkts PSfrg replcements som två punktldddningr på vståndet b ifrån vrndr. Krften blir lltid ttrhernde och blir således F ( ) = 1 4πε Q ( Q b ) 1 b 2 ( ẑ ) = Q2 4πε b 3 ẑ = Svr Q 2 b b Uppgift 2 Den positiv polen +q i punkten dẑ får en spegellddning q s = 2 PSfrg replcements q belägen i punkten d d ẑ. q s q q q s Med d fås tt 2 d, dvs spegellddningen ligger väldigt långt bort och dess fält blir då med god noggrnnhet homogent, innnför sfären med rdien : E s = 1 4πε d ( q 2 d Minuspolens spegellddning ger ett lik stort smverknde bidrg, vrigenom fältet från ytlddningen på sfärens insid blir E σ = 2E s = 1 2qd 4πε 3 ẑ = p ( ) 4πε 3 cos θˆr sin θˆθ p ( ) Till dett läggs dipolens fält E p = 4πε r 3 2 cos θˆr + sin θˆθ, vrigenom E = p 4πε [( 2 r 3 + 1 3 ) 2 ẑ ) ( 1 cos θˆr + r 3 1 ) ] 3 sin θˆθ = Delsvr För r = försvinner den med metllytn tngentiell E θ, som sig bör. Ytlddningstätheten: σ = ε ( ˆr) E(r = ) = 3p cos θ = Delsvr 4π3
Uppgift 3 Den sfärisk symmetrin och Guss lg för D, D ˆnd = 4πr 2 D r = Q fri, innnför, ger tt, r <, r < D = 1 4πr ˆr Q, < r < 2 2 E = D 1 = 2Q, 2 < r < 3 ε ε r 4πε r ˆr Q, < r < 2 2 2Q/2, 2 < r < 3, r > 3, r > 3 Svr: För < r < 2 & 2 < r < 3 är E = Q ˆr och på övrig ställen är E =. 4πε r2 Uppgift 4 Vektorpotentilen från en linjeström: A(r) = µ I 4π = µ I 4π C S dl r r = {vrint v Stokes sts} = µ I 4π ˆn r r r r 3 d = { r r } µ 4π ( I S S ( ) 1 ˆn r r d ˆn d ) r r 3 = µ 4π m ˆr r 2 V.S.V. Uppgift 5 Den bundn rymdströmtätheten blir J b = M = 1 r [ (rmθ ) r M ] r ˆφ = M sin θ ˆφ θ På ytn är M(r = ) = vrvid det inte finns någon bunden ytströmtäthet. Biot-Svrts lg: B(r) = µ 4π J(r ) ˆR R 2 dτ. Vi hr tt r =, r = r ˆr, dτ = (r ) 2 sin θ dθ dφ B() = µ M 4π = µ M 4π π π 2π (r ) 2 dr sin θ dθ sin 2 θ dθ 2π dφ sin θ ˆφ ( ˆr ) (r ) 2 = µ M 4π π dφ ( ẑ sin θ ŝ (φ ) cos θ ) = 2µ M ẑ = Svr 3 2π ( sin 2 θ dθ dφ ˆθ )
Tentmen TENA 29 1 12, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 2p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn! Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Tentmensbldet skll lämns in! Uppgift 1 I ett lddningsfritt område finns ett elektriskt fält E(r) med tillhörnde potentil V (r). En metllkul med rdien och den totl lddningen noll förs in i fältet och centrers i punkten r. Vis tt kulns potentil blir V (r ), vilket är potentilen i punkten r innn kuln fördes in! Uppgift 2 ( Inuti en sfär med rdien är rymdlddningen ρ(r) = ρ 3 4 r ). Utnför sfären är rymdlddningen noll. Bestäm det elektrisk fältet E och potentilen V, överllt! Uppgift 3 En jordd sfär v metll hr innerrdien 2. Inuti sfären finns en ytlddning i form v ett koncentriskt sfäriskt skl med rdien, belgt med den totl lddningen q, jämnt fördeld över sklet. Bestäm potentilen i konfigurtionens mittpunkt! Vr god vänd!
Uppgift 4 En lång rk ledre hr ett cirkulärt tvärsnitt med rdien = 5 mm. Ledren för strömmen I = 1 A, jämnt fördeld över tvärsnittet. Ledrens reltiv permebilitet vrierr med rdien s enligt µ r (s) = 2 ( + s) 3. Beräkn den mximl styrkn på mgnetfältet B, inuti ledren! 3 Uppgift 5 Inom ett sfäriskt område med rdien är mgnetiseringen (given i sfärisk koordinter) ( M(r) = M 1 r ) ( ˆr cos θ ˆθ ) sin θ Utnför området är mgnetiseringen noll. Bestäm mgnetfältet B i områdets centrum!
Tentmen TENA 29 1 12, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Förslg till lösning. Uppgift 1 Kuln hr konstnt potentil och lddningr finns br på kulns yt. Vi beräknr potentilen i kulns mittpunkt r : V kul = V (r ) + 1 σ(r ) 4πε yt R d = V (r ) + 1 σ(r ) d = V (r ) + q kul 4πε yt 4πε = V (r ) V.S.V. Uppgift 2 Guss lg ger tt 4πε r 2 E r = Q inne (r) = 4πρ min{,r} E r = ρ ε r 2 [ r 3 r 4 ] min{,r} ) (3 4 r r 2 dr Delsvr: E = för r > och E = ρ r ( r) ˆr för r < ε V ( ) = och E = för r > ger Delsvr: V = för r >. För r < fås Delsvr: V = r E r (r ) dr = ρ ε [ r 2 2 r 3 3 ] r = ρ ( ) 2 ε 6 r2 2 + r3 = ρ 3 6ε ( r)2 ( + 2r) Uppgift 3 Eftersom ll punkter på sklet respektive dess ekvivlent spegel-skl är på smm vstånd från origo blir potentilen i origo densmm som om sfären ersätts med en punktlddning, på smm vstånd från origo. Vi får då en spegellddning 2q på vståndet 4 från origo, vrvid potentilen blir V () = q 4πε [ 1 2 4 ] = q 8πε = Svr
Uppgift 4 Inuti tråden ger Ampères lg för H-fältet tt 2πsH φ = I s2 2. Således, H φ = Is 2π 2 B φ = µ r µ H φ = 2 µ I s 2π 3, vilken blir mximl då s = /2. ( + s) Svr: B mx = 2 µ I 2π 2 /2 (3/2) 3 = 2 µ I 2π 4 27 = 16 T, 12 T. 135 Uppgift 5 Den bundn rymdströmtätheten blir J b = M = 1 r [ (rmθ ) r M ] r ˆφ = M sin θ ˆφ θ På ytn är M(r = ) = vrvid det inte finns någon bunden ytströmtäthet. Biot-Svrts lg: B(r) = µ 4π J(r ) ˆR R 2 dτ. Vi hr tt r =, r = r ˆr, dτ = (r ) 2 sin θ dr dθ dφ B() = µ M 4π = µ M 4π π π 2π (r ) 2 dr sin θ dθ sin 2 θ dθ 2π dφ sin θ ˆφ ( ˆr ) (r ) 2 = µ M 4π π dφ ( ẑ sin θ ŝ (φ ) cos θ ) = 2µ M ẑ = Svr 3 2π ( sin 2 θ dθ dφ ˆθ )
Tentmen TENA 29 1 22, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: TETs formelsmling, βets hndbok i mtemtik, miniräknre smt TETs isskrp med vektorformler. Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 2p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn! Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Tentmensbldet skll lämns in! Uppgift 1 En tunn cirkulär skiv med rdien är belgd med den totl lddningen Q, fördeld så tt ytlddningstätheten σ(r ) 1 s,där s är vståndet till skivns centrum. Bestäm elektrisk fältet E på skivns symmetrixel! Uppgift 2 Två punktlddningr q 1 och q 2 plcerde i punktern r 1 och r 2 ger upphov till fälten E 1 (r) = q 1 ˆR1 4πε R1 2, E 2 (r) = q 2 ˆR2 4πε R2 2 Vid beräkningen v den elektrosttisk energin medelst fältenergiuttrycket fås två egenbidrgstermer och en kors-term för den ömsesidig energin (från Griffiths Ekv.(2.47)). I det här fllet divergerr egenenergiern och utelämns därför. Vis genom explicit beräkning tt fältenergiuttrycket för den ömsesidig energin ger det resultt som kn fås direkt från punktlddningsuttrycket, dvs tt Wöms = ε R 3 E 1 (r) E 2 (r)dτ = q 1 q 2 4πε r 1 r 2 Ledningr: 1 R = ˆR R 2, ˆR R 2 =4πδ(R). Vr god vänd!
Uppgift 3 I en cylinderkondenstor med längden L hr innerledren den yttre rdien och ytterledren den inre rdien 3.Området melln ledrn fylls med två cylindrisk dielektrisk skikt, vrder med tjockleken. Om det inre skiktet hr den reltiv permittiviteten ε r1 och det yttre ε r2 blir kpcitnsen C 1. Om tvärtom det inre skiktet hr den reltiv permittiviteten ε r2 och det yttre ε r1 blir kpcitnsen C 2. ε r2 ε r1 ε r1 ε r2 Bestäm förhållndet ε r1 ε r2! (bortse ifrån knteffekter vid ändytorn) Uppgift 4 En sfär med rdien och den konstnt polristionen P = P ẑ är centrerd kring origo. Sfären brings tt roter kring sin mittpunkt med vinkelhstigheten ω = ωẑ. () Beräkn mgnetfältet B vid sfärens nordpol (ẑ) (8poäng)! (b) Bestäm mgnetfältet B vid sfärens sydpol ( ẑ) (1poäng)! (c) Bestäm mgnetfältet B vid sfärens mittpunkt (origo) (1 poäng)! 1 (1 + u) u Ledningr (): du = 8 2 1 1 u 5, Isfärisk komponenter är ẑ = ˆr cos θ ˆθ sin θ. I cylindrisk komponenter är ˆr (θ,φ )=ŝ (φ )sinθ + ẑ cos θ. Uppgift 5 En sfärisk behållre v metll är fylld med en lednde vätsk (elektrolyt). Vid topp- och bottenpunktern hr det nslutits två rk isolerde trådr vilk vsluts i en liten (och oisolerd) metllkul centrerd kring behållrens mittpunkt. Vrder tråden för strömmen I i riktningrn mot kuln. Om trådrn är mycket sml blir ders inverkn på strömfördelningen i behållren försumbr, vrur det följer tt strömtätheten i elektrolyten blir J I θ r J(r) = 2I 4πr ˆr 2 Påbehållrens insid sker återledningen vi en ytströmtät som är riktd i ˆθ-led smt rottionssymmetrisk kring -xeln, på vilken trådrn är belägn. I Elektrolyt () Bestäm mgnetfältet B(r, θ, ϕ) i elektrolyten (8 poäng)! (b) Bestäm uttrycken för den lednde termen i B då θ smtdå θ π och kontroller det llmänn resulttet mot dess (2 poäng)! Behållren hr innerrdien och permebiliteten överllt är μ.
Tentmen TENA 29 1 22, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Förslg till lösning. Uppgift 1 Bestäm först konstnten σ instsenσ = σ s. Totl lddningen: Q = σ(r )d s ds =2πσ s =2πσ 2 σ = Q 2π 2 σ(r )= Använd E(r) = 1 σ(r )(r r ) 4πε r r 3 d,där vi hr r = ẑ, r = s ŝ (φ), d = s ds dφ. Således, Svr: E(ẑ) = 1 Q 4πε 2π s ds 2π Q 2πs. ( ẑ s ŝ dφ (φ) ) s ( s 2 + 2) = Qẑ ds 3/2 4πε ( s 2 + 2) = Qẑ 3/2 4πε 2 + 2 Uppgift 2 Wöms = q 1q 2 16π 2 ε = q 1q 2 16π 2 ε ˆR1 R1 2 ˆR 2 R2 2 dτ = q ) 1q 2 ( 1R1 16π 2 ε [ ( ) ˆR2 R 1 R2 2 1 ˆR ] 2 R 1 R2 2 ˆR 2 R2 2 dτ dτ = q 1q 2 16π 2 ε { S ˆR2 R 1 R 2 2 } 1 ˆnd + 4πδ(R 2 )dτ R 1 Pg integrndens vtgnde försvinner ytintgrlen i. Återstår Wöms = q 1q 2 δ(r r2 ) 4πε r r 1 dτ = q 1 q 2 4πε r 1 r 2, V.S.V. Uppgift 3 Guss lg för D ger tt melln ledrn blir D(s, φ) = Q där Q är lddningen på innerledren. 2πsLŝ, Idetförst fllet blir de elektrisk fälten i det inre smt det yttre dielektrikt Q E i (s, φ) = 2πε ε r1 slŝ, E Q y (s, φ) = 2πε ε r2 slŝ 2 3 resulternde i spänningen U = E i ŝds+ E y ŝds = Q [ 1 ln 2 + 1 ln 3 ] och kpcitnsen 2πε L ε r1 ε r2 2 2πε L C 1 = 1 ln 2 + 1 ln 3 ε r1 ε r2 2 I det ndr fllet fås helt nlogt tt C 2 = 2πε Lε r1 ε r2 ε r1 ln 2 + ε r2 ln 3 2 2 Svr: ε C 1 ln 2 C 2 ln 3 r1 = 2 ε r2 C 2 ln 2 C 1 ln 3 2 = 2πε Lε r1 ε r2 ε r2 ln 2 + ε r1 ln 3 2 =.Kvoten C 1 C 2 och rättfrmm räkningr ger C 1 C 2 ln 2 ln 3 2 ln 2 C 1 C 2 ln 3 2
Uppgift 4 Isfärisk komponenter är ẑ = ˆr cos θ ˆθ sin θ. I cylindrisk komponenter är ˆr (θ,φ )=ŝ (φ )sinθ + ẑ cos θ Den bundn rymdlddningen ρ b = P =. Den bundn ytlddningen σ b = P ˆr = P ẑ ˆr = P cos θ. Påsfärens yt är den lokl hstigheten v = ω r = ωẑ r = ω sin θ ˆφ Ytströmtätheten: K = σ b v = P ω sin θ cos θ ˆφ () Biot-Svrts lg, B(r) = μ K(r ) (r r ) 4π r r 3 d,medr = ẑ, r = ˆr = ( ŝ sin θ + ẑ cos θ ), d = 2 sin θ dθ dφ,gertt B = μ ωp 4π = μ ωp 4π2 2 = μ ωp 4 2 ẑ 2π 2π π sin θ dφ π = {cos θ = u} = μ ωp 4 2 ẑ dθ sin θ cos θ ˆφ [ sin θ ŝ +( cos θ ) ẑ ] [ 2 sin 2 θ + 2 + 2 cos 2 θ 2 2 cos θ ] 3/2 π sin θ dφ dθ sin θ cos θ (1 cos θ ) ŝ +sin 2 θ cos θ ẑ (1 cos θ ) 3/2 ( 1 cos 2 θ ) cos θ sin θ dθ = μ π ωp (1 cos θ ) 3/2 4 2 ẑ (1 + cos θ )cosθ sin θ dθ 1 cos θ 1 1 (1 + u) u du = {Ledning ()} = 2μ ωp ẑ = Svr 1 u 5 (b) Ytströmmen är ntisymmetrisk, enär den på norr hlvklotet går i östlig riktning och på södr hlvklotet i västlig riktning. Vid sydpolen dominerr istället de sydlig strömmrn vilket ger motstt riktning på fältet: B = 2μ ωp ẑ = Svr b. 5 (c) I mittpunkten upphäver de nordlig och sydlig bidrgen vrndr, vrigenom B = = Svr c. Uppgift 5 Från rottionssymmetrin kring -xeln följer tt mgnetfältet hr enbrt den imutl komponenten (φ-komponenten), med konstnt värde på vrje med -xeln koxiell cirkel. Således kn problemet löss medelst Ampères cirkultionslg. För en cirkulär Ampère-sling med rdien r sin θ beräkns den omkretsde strömmen enklst genom klottytn r = r, θ θ, ϕ < 2π. Först får vi ett bidrg I från den nedåtgående strömmen i den övre tråden, vilken punkterr klottytns mittpunkt. Därefter lägger vi till bidrget från J. Medd = r 2 sin θ dθ dφ, ˆn = ˆr fås då tt I omkretsd = I + J (r ) ˆr d = 2I θ klott 4πr 2 2πr2 sin θ dθ = I + I (1 cos θ) = I cos θ Cirkultionslgen: B dl =2πr sin θb φ = μ I omkretsd, vilken ger tt B φ = μ I cos θ 2πr sin θ Svr: B(r, θ, φ) = μ I cot θ ˆφ 2πr Med r sin θ = s fås för θ ttb φ μ I 2πs och för θ π tt B φ μ I,iöverensstämmelse med 2πs fältet när en sml tråd. θ r
Tentmen TENA 21 1 11, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik (från institutionen) BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) Miniräknre TETs isskrp med vektorformler (från institutionen) Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 2p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn! Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Tentmensbldet skll lämns in! Uppgift 1 En jordd sfär v metll hr innerrdien. Inuti sfären på vståndet /2 från dess mittpunkt finns en punktlddning q. Bestäm det rbete som erfordrs för tt flytt punktlddningen till sfärens mittpunkt! Uppgift 2 Från en oändligt lång rk linjelddning λ med den två-dimensionell lägeskoordinten s blir den logritmisk potentilen V (s) = λ ln s 2πε S, där s är ett godtyckligt konstnt vstånd och S = s s. Betrkt nu istället två prllell linjelddningr ±λ plcerde kring origo, med skillndsvektorn d från den negtiv till den positiv linjelddningen. () Vis tt för s d blir potentilen V (s) = p l ŝ 2πε s,där linjedipolmomentet p l = λd (6 poäng)! (b) Givet potentilen, vis tt det elektrisk fältet blir E(s) = +λ d λ 1 2πε s 2 [2 (p l ŝ) ŝ p l ](4poäng)! s Vr god vänd!
Uppgift 3 En kvdrtisk plttkondenstor med sidn w och plttvståndet d är fylld med tre olik dielektrisk mteril, enligt figuren (ingen förändring i djupled). Bestäm förhållndet ε 2 /ε 1 så tt kpcitnsen blir oberoende v måttet x! Detförutsätts tt d x, w. d/2 d/2 w ε 1 ε 2ε 2 1 x d Uppgift 4 En tunn skivspole med innerdien och ytterrdien b hr N vrv, vrder förnde strömmen I.Vrvtätheten är sådn tt strömmrn genom lindningrn kn pproximers med ytströmtätheten K(s,φ )=I ˆφ (s ) 2. () Bestäm konstnten I (2 poäng)! (b) Bestäm mgnetfältet B på spolens symmetrixel (8 poäng)! Uppgift 5 En sfär med rdien hr i de sfärisk koordintern r, θ, φ mgnetiseringen r M(r) =M sin θ ˆφ Bestäm mgnetfältet B såväl inuti som utnför sfären!
Tentmen TENA 21 1 11, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F 2A184 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F (äldre kurs) 2A185 TEORETISK ELEKTROTEKNIK ME (äldre kurs) Förslg till lösning. Uppgift 1 Vi beräknr rbetet som A = W efter W före = q 2 (V efter V före ), där potentilen härrör från lddningrn påsfärens insid (vilk kn representers v en spegellddning). Sfären är hel hel tiden på noll-potentil och bidrr ej till energiändringen. Låt lddningen q befinn sig i punkten rˆr, vrvid spegellddningen blir q 2,belägenipunkten r r ˆr. Potentilen vid q: V = q 1 4πε r r 2 r = { >r} = q 4πε [ q2 1 2 Svr: A = r2 8πε 1 ] = q2 3/4 24πε Uppgift 2 () För s d fås tt V (s) = λ ln S 2πε S + = λ s + d/2 ln 2πε s d/2 λ ln s + d ŝ/2 2πε s d ŝ/2 = λ [ ( ln 1+ d ŝ ) ( ln 1 d ŝ )] = λ d ŝ = p l ŝ 2πε 2s 2s 2πε s 2πε s V.S.V. (b) E(s) = V (s) = 1 ( ) pl ŝ = 1 ( pl s ) 2πε s 2πε s 2 = 1 [ 1 2πε s 2 (p l s) 2 ] s 3 s (p l s) 1 = { (p l s) =p l, s = ŝ} = 2πε s 2 [2 (p l ŝ) ŝ p l ] V.S.V. Uppgift 3 Vi bortser ifrån knteffekter smt inre rndfenomen och får då två seriekopplde kondenstorern C 1 = wx ε 1 d/2 =2ε wx wx 1 d,c 1 =2ε 1 d/2 =4ε wx 1 d i prllelkoppling med kondenstorn C w (w x) 2 = ε 2. d Hel kpcitnsen: C = C 1C 1 C 1 + C 1 + C 2 = w [ ] 4 d 3 ε w 2 1x + ε 2 (w x) = ε 2 d + wx ( ) 4ε1 d 3 ε 2 Svr: ε 2 = 4 ε 1 3
Uppgift 4 () NI = b b K ˆφ ds = I ds (s ) 2 = I b b b I = NI b = Svr (b) K(r )= NI b b ˆφ (s ) 2 ;källpunkter: r = ẑ; källpunkter: r = s ŝ ;ytelement:d = s ds dφ. Biot-Svrts lg: B(r) = μ K(r ) (r r ) 4π r r 3 d = μ NIb 4π (b ) = μ b NIb 2(b ) ẑ ds [ 2 +(s ) 2] = 3/2 b μ NIb 2(b ) 2 s ds 2π [ b 2 + b 2 ( dφ ˆφ ẑ s ŝ ) { 2π } [ (s ) 2 2 +(s ) 2] = ŝ dφ = 3/2 2 + 2 ] ẑ = Svr b Uppgift 5 Bundn rymdströmtätheten: J b = M = 2M Bundn ytströmtätheten: K b = M(r =, θ, φ) ˆr = M sin θ ˆθ. ( cos θ ˆr sin θ ˆθ ) = 2M ẑ. Den ström som går uppåt inuti återleds i polvinkelled på utsidn. Situtionen är rottionssymmetrisk och likvärdig med en toroidspole. Enligt Griffiths Exempel 5.1 blir då det rottionssymmetrisk mgnetfältet riktt i φ-led. Vi hr smbnden H = B M, H = J fri,mendå det inte finns någon fri ström tt omkrets blir μ H = B = μ M. Svr: B = μ M r sin θ ˆφ inuti sfären och noll utnför.
Tentmen TEN1 21 1 21, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik (från institutionen) BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) Miniräknre TETs isskrp med vektorformler (från institutionen) Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 3p. Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld; skriv ej på bksidn! Uppställd smbnd skll motivers! Ofullständig motiveringr ger poängvdrg! Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Tentmensbldet skll lämns in! Uppgift 1 Vrje delfråg kn ge 1 poäng. --------------------------------------------------------------------- 1.1 Betrkt två lik strk negtiv punktlddningr på ett visst vstånd ifrån vrndr. I punkten mitt emelln lddningrn gäller tt E = och V hr ett loklt mxim. b E och V hr ett loklt minim. c E och V hr ett loklt mxim. d E = och V hr ett loklt minim. e E = och V hr en sdelpunkt. f E och V hr en sdelpunkt. --------------------------------------------------------------------- 1.2 En ledre med ytterytn S yttre hr ett hålrum med ytn S inre. Ledren är belgd med den totl lddningen q. Inutihålrummet finns en punktlddning q. Utnför ledren finns en punktlddning q. För ytlddningstäthetern på debägge ytorn gäller då tt S inre σ inre d = q och S yttre σ yttre d =2q b S inre σ inre d = q och S yttre σ yttre d = q S yttre q c σ inre, S inre σ inre d =och S yttre σ yttre d = q d S inre σ inre d = q och S yttre σ yttre d =2q q S inre q e σ inre, S inre σ inre d =och S yttre σ yttre d = q f σ inre, S inre σ inre d =ochσ yttre, S yttre σ yttre d = ---------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------- 1.3 Utnför en metllsfär med totl lddningen noll finns en tngentiellt riktd dipol p. Ange hur elektrisk fältet E beror v vståndet r långt ifrån konfigurtionen! Svr: Q = r p --------------------------------------------------------------------- 1.4 En uppsättning punktlddningr, ll med smm styrk men omväxlnde tecken, är plcerde i ett pln enligt figuren. Ange hur potentilen V beror v vståndet r långt ifrån konfigurtionen! r Svr: --------------------------------------------------------------------- 1.5 Betrkt en gränsyt melln områden 1 och 2. Ytnormlen ˆn pekr från område 2 mot område 1. Vilket v följnde lterntiv gäller llmänt inom elektrosttiken? ˆn (E 1 E 2 ), ˆn (P 1 P 2 ), ˆn (D 1 D 2 )= b ˆn (E 1 E 2 )=, ˆn (P 1 P 2 ), ˆn (D 1 D 2 )= c ˆn (E 1 E 2 ), ˆn (P 1 P 2 ), ˆn (D 1 D 2 ) d ˆn (E 1 E 2 )=, ˆn (P 1 P 2 )=, ˆn (D 1 D 2 ) e ˆn (E 1 E 2 )=, ˆn (P 1 P 2 )=, ˆn (D 1 D 2 )= f ˆn (E 1 E 2 )=, ˆn (P 1 P 2 ), ˆn (D 1 D 2 ) --------------------------------------------------------------------- 1.6 Två dipolerär plcerde enligt figuren. Krften på p 1 kn skrivs F = kv (k >). Ange vektorn v! y p 1 x p 2 Svr: --------------------------------------------------------------------- 1.7 De två slingorn med strömriktningr enligt figuren kommer tt repeller vrndr! Snt b Flskt --------------------------------------------------------------------- 1.8 En uppsättning likdn strömslingor, ll med smm strömstyrk, är plcerde i ett pln enligt figuren med strömriktningr enligt pilrn. Ange hur mgnetisk fältet B beror v vståndet r långt ifrån konfigurtionen! Svr: ---------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------- 1.9 Vid pssge genom en ytströmtäthet gäller tt vektorpotentilens derivt i normlled är diskontinuerlig, i llmänhet! Snt b Flskt --------------------------------------------------------------------- 1.1 Vilket v följnde lterntiv gäller llmänt inom mgnetosttiken? B, M, H = b B =, M, H c B =, M =, H d B =, M =, H = e B =, M, H = f B, M, H Uppgift 2 En punktlddning q befinner sig i origo. Melln punktern ˆx hẑ och ˆx + hẑ finns en rk stv med längden 2h och linjelddningstätheten λ() = p h 2. Bestäm vridmomentet verknde på stven med vseende på dess mittpunkt, låt därefter h och kommenter resulttet! q λ() x Uppgift 3 En punktlddning q befinner sig utnför en isolerd lednde sfär med totllddningen Q. Sfären hr rdien och punktlddningen befinner sig på vståndet r från sfärens centrum. Vis tt om q och Q hr smm tecken är krften melln punktlddningen och sfären ttrhernde om r blir tillräckligt liten och repellernde om r blir tillräckligt stor! Uppgift 4 En sfärisk kondenstor hr innerrdien och ytterrdien e (e =nturlig logritmbsen) Dielektrikt melln ledrn hr reltiv permittiviteten ε r (r) =3 r. Ytterledren är jordd och kondenstorn hr lddts upp till spänningen U. e Bestäm kondenstorns kpcitns smt den upplgrde energin! ε r (r)
Uppgift 5 En mycket långsml stvmgnet med längden h hr en homogen mgnetisering med totl dipolmomentet m = mẑ i mgnetens längdriktning. Mgneten är belägen på -xeln som är symmetrixeln till en cirkulär strömsling, vilken hr rdien och för strömmen I. Strömslingn är belägen i plnet = och mgnetens mittpunkt hr koordinten ẑ. h m Bestäm den krft som strömslingn utövr på stvmgneten! I Uppgift 6 En stv med ytterrdien = 1 cm hr byggts upp v ett stort ntl tunn koxiell cylindrr v olik lednde och mgnetisk mteril vrigenom stven är lminerd i rdiell riktning. Därmed kn stven led både ström och mgnetiskt flöde i längdriktningen smt i imutlriktningen. ( Stvens effektiv reltiv permebilitet är μ r (s) =μ s 2 s ),där μ s = 5 och s är den rdiell cylinderkoordinten. ( Strömtätheten, i stvens längdriktning, är J(s) =J 2 s ) ẑ och den totl strömmen är I = 2 A. Bestäm den mximl styrkn på mgnetfältet B inuti stven!
Tentmen TEN1 21 1 21, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Förslg till lösning. Uppgift 1 e d r 3 r 3 f ŷ b r 3 b Uppgift 2 Punktlddningens fält längs med stven: E() = q ˆx + ẑ 4πε [ 2 + 2 ]. 3/2 Krften och vridmomentet på längdelementet d: qp 2 ŷ pqŷ df = λe()d, dn = ẑ df = λẑ Ed = 4πε h 2 d = [ 2 + 2 3/2 ] 4πε h 2 d [ 2 + 2 3/2 ] Svr : N = pqŷ h [ ] ( pq 1 2πε h 2 d = [ 2 + 2 3/2 ] 2πε h 2 1 ŷ = pq ( ) ) 2 1/2 h 1 2 + h 2 2πε h 2 1+ ŷ (1) [ ( ( (h ) ))] 4 pq Svr b: lim N = lim h h 2πε h 2 1 1 h2 2 2 + O ŷ = där p = pẑ är stvens dipolmoment och E = Uppgift 3 Med sfärens centrum i origo, lägg q i punkten r (r >). pq 4πε 2 ŷ = p E (2) q ˆx är punktlddningens fält vid stvens centrum. 4πε 2 Sfären representers v spegellddningen 2 q i punkten r r 2 r smt kompenstionslddningen Q + r q i origo. Coulombs lg ger tt krften blir [( F = 1 qq + q 2 /r ) ] [ 4πε r 2 q 2 1 ( r (r 2 /r) 2 ˆr = 4πε r 2 qq q 2 ) 3 2 ( ) 2 ] r ( ) r 1 2 ( ) r 1+ 2 ˆr (3) r I hkprentesen är först termen repellernde medn den ndr är ttrhernde. ( För r är ttrhernde termen O( ) ) 3 r medn den repellernde är O(1), V.S.V. (1 ) ) För r är ttrhernde termen O( 2 r medn den repellernde är O(1), V.S.V. Uppgift 4 Ansätt lddningen Q på innerledren. Guss lg ger tt D r = Q 4πr 2 E r = D r ε r ε = Q 12πε r U = e E r dr = Q 12πε ln e = Q 12πε (4) Svr: C = Q U =12πε, W = 1 2 CU2 =6πε U 2 Alterntivt: W = 1 2 E D dτ = e Q2 4πr 2 dr 96π 2 ε r 3 = Q2 24πε = C2 U 2 24πε =6πε U 2
Uppgift 5 Betrkt mgneten som en stpel med differentiell dipoler, med dipolmomentet dm =dmẑ = m d ẑ. h Biot-Svrts lg ger tt på -xeln blir slingns mgnetfält B(ẑ) = μ 2π I dφ ˆφ ( ẑ ŝ ) = μ 2π I ŝ + 2 ẑ 4π ( 2 + 2 ) 3/2 4π ( 2 + 2 ) 3/2 dφ = μ I 2 ẑ (5) 2 ( 2 + 2 3/2 ) Formeln för krften på en mgnetisk dipol i ett yttre fält: där m betrkts som en konstnt vektor, tillämps enligt F = (m B), (6) df = (dm B) = (dmb (ẑ)) = dm db d ẑ = m db h d d ẑ = m h ẑ db (7) Integrtion längs med mgneten från h/2 till + h/2 ger slutligen Svr: F = m h ẑ [B (( + h/2)ẑ) B (( h/2)ẑ)] = μ Im 2 2h 1 [ 2 +( + h/2) 2] 1 3/2 [ 2 +( h/2) 2] 3/2 ẑ (8) Kontroll: h i mellnledet till (8) ger F = mẑ db d, vilket är resulttet enligt (6) om stvmgneten kn nses som kort (idel = dipol). Alterntiv lösning - krften på slingn. Dipolen dm = m h ẑd vid r = ẑ ger vid punkten r = ŝ på slingn upphov till fältet db = μ [ ( 4πR 3 3 dm ˆR ) ] ˆR dm (9) där R = r r = ŝ ẑ. F=BIL-formeln ger snbbt tt krften på slingn blir F = 2πB s ẑ,såvi behöver endst s-komponenten v mgnetfältet: Integrtion ger db s = ŝ db = 3μ 4πR 5 (dm R)(R ŝ) = 3μ m d 4πh ( 2 + 2 ) 5/2 B s = μ m 4πh 1 [ 2 +( + h/2) 2] 1 3/2 [ 2 +( h/2) 2] 3/2 (1) (11) vrefter multipliktionen med 2πIẑ ger svret med motstt tecken.
Uppgift 6 Först bestäms konstnten J,utifrån den totl strömmen: I =2πJ ( 2 s ) sds = 4πJ 2 J(s) = 3 3I (2 4π 2 s ) ẑ (12) Därefter fås H-fältet (som är imutlt) medelst Ampères cirkultionslg: s s ) (2 s s ds = I 2 I inne (s) =2π J(s ) s ds = 3I 4π 2 2π H φ (s) = I [ 3 s ( s ) ] 2 4π [ ( s ) 2 ( ] s 3 3 = H φ 2πs ) (13) Inför förkortningen u = s/, vrvid I B φ (u) =μ r μ H φ = μ s (2 u) μ 4π ( 3u u 2 ) = μ sμ I 4π [ 6u 5u 2 + u 3] (14) Derivering v hkprentesen 6 1u +3u 2 =där roten inom <u<1är u M = 5 7 3 6u M 5u 2 M + u3 M 2, 1126. I ändlägen ntr hkprentesen värden och 2, sålund ger u M mxvärdet: B mx μ sμ I 4π 2, 1126 = 5 4π 1 7 2 4π 1 1 2, 1126 T, 21 T = Svr (15)
Nmn:... Personnr:... Tentmen TEN1 211 1 12, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik (från institutionen) BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) Miniräknre TETs isskrp med vektorformler (från institutionen) Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 3p. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. På uppgiftern 2-6 skll uppställd smbnd motivers. Ofullständig motiveringr ger poängvdrg. Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Uppgift 1 Denn uppgift löses på tentmensbldet, som skll lämns in! Vrje delfråg ger eller 1 poäng. Kryss i ett svrslterntiv eller ge ett kort svr (på denn uppgift efterfrågs ing motiveringr). --------------------------------------------------------------------- 1.1 Betrkt två punktlddningr med olik tecken, men inte nödvändigtvis smm styrk, på ett visst vstånd ifrån vrndr. När mn rör sig från den positiv mot den negtiv lddningen längs med den rät linjen melln lddningrn gäller tt bsolutbeloppet v det elektrisk fältet växer först för tt sedn vt. b är konstnt. c vtr först för tt sedn väx. d vtr monotont. e växer monotont. --------------------------------------------------------------------- 1.2 Vid pssge genom en ytlddning gäller tt potentilens derivt i normlled lltid är kontinuerlig! Snt b Flskt ---------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------- 1.3 Två hlvoändlig metllpln begränsr ett sektorformt område med öppningsvinkeln α. Inutiområdet finns en punktlddning q. Om α =45 kn problemet löss medelst en speglingsnsts, där ntlet punktlddningr (inklusive orginllddningen) är 2 b 4 c 6 d 12 e 8 f 1 α q --------------------------------------------------------------------- 1.4 Fältenergiintegrlen W = ε E 2 dτ konvergerr om fältet härrör från en i rummet begränsd styckvis 2 R kontinuerlig rymdlddning ρ. 3 Snt b Flskt --------------------------------------------------------------------- 1.5 En uppsättning punktlddningr, ll med smm styrk men omväxlnde tecken, är plcerde i ett pln enligt figuren. Ange hur elektrisk fältet E beror v vståndet r långt ifrån uppsättningen! r Svr: --------------------------------------------------------------------- 1.6 Vilket v följnde lterntiv gäller llmänt inom elektrosttiken? E =, P, D = b E, P, D = c E =, P, D d E =, P =, D = e E =, P =, D f E, P, D --------------------------------------------------------------------- 1.7 Vilken v följnde ytströmtätheter, belägn i plnet =, svrr mot en sttionär ytlddningstäthet? (v dimensionsskäl nts tt x och y är normerde med smm godtycklig längd) K = K (ˆx 4x 3 ŷ) b K = K ( 4x 3 yˆx x 4 ŷ) c K = K (ˆx +4y 3 ŷ) d K = K (4x 3 ˆx ŷ) e K = K ( 2xy 3ˆx +3x 2 y 2 ŷ) ---------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------- 1.8 De två slingorn med strömriktningr enligt figuren kommer tt ttrher vrndr! Snt b Flsk --------------------------------------------------------------------- 1.9 Två mgnetisk dipoler är plcerde enligt figuren. Krften på dipolenm 1 kn skrivs F = kv(k >) där vektorn v = ẑ b ŷ c d ŷ y x m 1 m 2 e ẑ f ˆx g ˆx --------------------------------------------------------------------- 1.1 Vilket v följnde lterntiv gäller llmänt inom mgnetosttiken? H = μ 1 μ 1 r B b H = μ 1 B M c H = μ 1 μ 1 r B M d H = μ 1 (B M) e H = μ 1 (1 χ m)b Uppgift 2 En stv med längden 2 och linjelddningstätheten λ(y) = λ y är centrerd kring punkten hˆx utnför en lednde sfär centrerd kring origo; se figuren. Sfären hr rdien ( <h) och den totl lddningen Q. Bestäm sfärens potentil! Q y λ(y) x
Uppgift 3 En kondenstor består v tvååtskild metllkroppr, med ytorn S + respektive S, vilk ngränsr till ett område D innehållnde ett inhomogent och linjärt dielektriskt mteril med reltiv permittiviteten ε r (r). Kpcitnsen definiers som C = Q fri U där ±Q fri är de fri totl ε Q r (r) lddningrn på metllkropprn och U är spänningen (potentilskillnden) melln metllkropprn. fri D Iområdet D finns det ing fri lddningr. Vis tt den i fältet och dielektrikt upplgrde energin W e = 1 E Ddτ blir W e = 1 2 R 2 CU2! 3 Uppgift 4 S + ˆn S Q fri ˆn Ett elektret i formen v en mycket långsml stv hr längden h och en homogen polristion med totl dipolmomentet p = pẑ ilängdriktningen. Elektretet är beläget på -xeln som är symmetrixeln till en cirkulär ring, vilken hr rdien och lddningen Q, jämnt fördeld runtom. Ringen är belägen i plnet = och elektretets mittpunkt hr koordinten ẑ. h p Bestäm den krft som ringen utövr på elektretet! Q Uppgift 5 y En mycket lång rk ledre hr sitt tvärsnitt i formen v en tunn cirkelbåge, enligt figuren. Ledren för ytströmtätheten K = I ẑ. 2φ I punkten ˆx finns en mgnetisk dipol m = mˆx. Bestäm vridmomentet verknde på dipolen! m φ φ x Uppgift 6 En ring v järn, med reltiv permebiliteten μ r,hrett rektngulärt tvärsnitt med innerrdien, ytterrdien b och höjden h. Längs med ringens symmetrixeln finns en tråd förnde strömmen I. I ringen hr det tgits upp ett litet luftgp i formen v en sektor med öppningsvinkeln δ. Bestäm det mgnetisk flödet genom ringens tvärsnitt! δ I b μ r h I Ledning: Om luftgpet är litet hr mgnetfältet med god pproximtion formen B(r) =B φ (s) ˆφ(φ) (förutom i närheten v luftgpets knter, vilket det bortses ifrån här).
Tentmen TEN1 211 1 12, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Förslg till lösning. Uppgift 1 c b e r 3 c g b Uppgift 2 Stvens linjelddning är ntisymmetrisk, vrvid stvens totl lddning blir noll. Pg stvens plcering blir även dess spegelbild i sfären ntisymmetrisk, med totl lddningen noll. Kompenstionslddningen isfärens mittpunkt blir då Q. Stven och dess spegelbild ger noll-potentil på sfärens yt och det återstående bidrget från kompenstionslddningen ger då, Svr: V sfär = Q 4πε Uppgift 3 Iledrnär fälten noll så vi integrerr br över det mellnliggnde området: W e = 1 E Ddτ = {E = V } = 1 V Ddτ = 1 [ (VD) V D]dτ (1) 2 D 2 D 2 D Med D = ρ fri = och Guss sts, där ytnormlern på S ± här pekr in i D, fås tt W e = 1 V D ˆnd + 1 V D ˆnd (2) 2 S 2 + S Rndvillkoret vid en metllyt D ˆn = σ fri smt tt ledrn är ekvipotentilytor ger tt W e = V + S+ σ fri d + V σ fri d = 1 2 2 S 2 V + Q fri + 1 2 V ( Q fri ) = 1 2 Q ( fri V + V ) = 1 2 Q friu = 1 2 CU2 V.S.V. (3) Uppgift 4 Coulombs lg ger tt på -xeln blir ringens elektrisk fält E(ẑ) = Q 4πε 2π 2π ẑ ŝ ( 2 + 2 ) 3/2 dφ = Q ẑ (4) 4πε ( 2 + 2 ) 3/2 Bundn lddningr finns på elektretets ändytor: q = p h i punkten + h 2 smt q = p h i punkten h 2. Svr: F = p h [E( + h/2) E( h/2)] = Qp 4πε h + h/2 ( 2 +( + h/2) 2) h/2 3/2 ( 2 +( h/2) 2) 3/2 ẑ (5) Kontroll: h i mellnledet till (5) ger F = pẑ de d, vilket är resulttet enligt F =(p ) E om = stven är mycket kort (idel dipol). Alterntiv lösning 1 - betrkt elektretet som en stpel med differentiell dipoler, med dipolmomentet dp = dpẑ = p d ẑ. Formeln för krften på en elektrisk dipol i ett yttre fält: df = (dp ) E = h p d h de d = p de. Integrering ger (5). h
Alterntiv lösning 2 - krften på ringen. dp = p hẑd vid r = ẑ ger vid r = ŝ på ringen upphov till de = 1 [ ( 4πε R 3 3 dp ˆR ) ] ˆR dp (6) där R = r r = ŝ ẑ.krftenpå ringen blir QE ẑ,såvibehöver endst -komponenten: de = ẑ de = 1 4πε R 5 [ 3(dp R)(R ẑ) R 2 dp ẑ ] = p 2 2 2 4πε h ( 2 + 2 ) 5/2 d (7) Integrering ger E = p + h/2 4πε h [ 2 +( + h/2) 2] h/2 3/2 [ 2 +( h/2) 2] 3/2 (8) vrefter multipliktionen med Qẑ ger svret med motstt tecken. Uppgift 5 Från en differentiell tråd med båglängden dφ vid den tvådimensionell koordinten s blir mgnetfältet db(s) = μ K dφ 2π ẑ (s s ) ẑ (s s ) 2 (9) Här är s = ˆx, s = cos φ ˆx + sin φ ŷ s s = [(1+cosφ) ˆx +sinφ ŷ] ẑ (s s )= sin φ ˆx (1+cosφ) ŷ ẑ (s s ) 2 = 2 sin 2 φ+ 2 (1+cosφ) 2 =2 2 (1 + cos φ) db = μ I sin φ ˆx (1+cosφ) ŷ 2π 2φ 2 2 dφ (1) (1+cosφ) x-komponenten är udd över det symmetrisk intervllet och fller då bort vid integreringen, vrvid B = μ I 4πŷ Svr: N = m B = μ Im 4π ẑ (11) Kommentr: Mgnetfältet är oberoende v tvärsnittets båglängd. För φ överensstämmer resulttet med fältet på vståndet 2 från en sml tråd. För φ π fås medelvärdet v fältet strx utnför och noll-fältet inuti (mtemtiskt hmnr mn då mitt i det tunn skiktet med ytström). Uppgift 6 Ijärnet blir H = B = B φ(s) B ˆφ och i luftgpet H = = B φ(s) ˆφ. μ r μ μ r μ μ μ Ampères cirkultionslg ett vrv runt en cirkel med rdien s H dl = B φ(s) (2π δ) s + B φ(s) μ r μ I δs = I B φ (s) = μ r μ μ [2π +(μ r 1) δ] s (12) Mgnetisk flödet: Φ = h b B φ (s)ds Svr: Φ= μ r μ Ih [2π +(μ r 1) δ] ln b
Tentmen TEN1 211 1 21, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik årgång 211 BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) Miniräknre TETs isskrp med vektorformler (från institutionen) Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 3p. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. Uppgift 1-2: Begreppsmässig förståelse skll viss (kvntittiv beräkningr efterfrågs ej). Uppgift 3-6: Uppställd smbnd skll motivers. Ofullständig motiveringr ger poängvdrg. Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Uppgift 1 Utnför en sfär v metll finns det två homogent lddde klot enligt figuren. Klotet närmst sfären hr totl lddningen Q och klotet fjärmst sfären hr lddningen +Q. () Sfären jords. Ange och förklr det elektrisk fältets vtgnde på stortvstånd från konfigurtionen! --------------------------------------------------------------------- (b) Sfären ges totl lddningen noll och isolers. Ange och förklr det elektrisk fältets vtgnde på stortvstånd från konfigurtionen! Uppgift 2 () I smm pln befinner sig två cirkulär strömslingor med strömriktningr enligt figuren. Beskriv och förklr krften melln strömslingorn! --------------------------------------------------------------------- (b) Två mgnetisk dipoler är plcerde enligt figuren. Beskriv och förklr krftern på dipolern! y x m 1 m 2
Uppgift 3 q x Ett mycket stort metllpln hr en upphöjning i form v en hlvsfär med rdien. I punkten r = bˆx + dẑ finns en punktlddning q. Detgäller tt b>och tt d b. Bestäm elektrisk fältet vid metllplnet längs med sträckn på x-xeln från hlvsfären och nästn frm till punkten rkt under lddningen q! Kontroller och kommenter resulttet då x =! Uppgift 4 ε r (s) 3 ε r (s) h En cylinderkondenstor hr innerrdien, ytterrdien 3 och längden h, där h 2. Kondenstorn hr ett dielektrik i form v en cylinder som precis ryms melln ledrn. Cylindern hr reltiv permittiviteten ε r = s,där s är vståndet från symmetrixeln. Kondenstorn är nsluten till spänningen U och dielektrikt är inskjutet till hlv längden (se figuren). Bestäm kondenstorns kpcitns och den krft som verkr på dielektrikt! Bortse ifrån rndfenomen vid knter och melln gränsytor dielektrik-luft.
Uppgift 5 M 2h I M b Ienstorjärnpltt med tjockleken 2h hr det, långt ifrån plttns knter, borrts upp ett hål med rdien. Med vseende på hålets symmetrixel hr plttn den rdiellt riktde mgnetiseringen M = M s ŝ där s är vståndet från symmetrixeln. I borrhålet och centrerd kring dess mittpunkt finns en liten cirkulär strömsling förnde strömmen I. Slingn, vrs pln är horisontellt med plåten, hr rdien b (b ). Bestäm krften på strömslingn! Uppgift 6 ˆn 12 B 1 μ r B 2 Betrkt en gränsyt melln luft och ett mteril med reltiv permebiliteten μ r. Det finns ing fri strömtätheter. Vis tt fältvektorern B 1 och B 2,beräknde på vrder sidn v gränsytn, ligger i ett och smm pln innehållnde ytnormlen ˆn 12, smt tt om μ r så blir luftfältet B 1 riktt i normlled! Dett innebär tt mn kn nvänd en pproximtiv mgnetisk speglingsteori för mteril med högt μ r.
Tentmen TEN1 211 1 21, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Svr och förslg till lösningr. Uppgift 1 () Fältet blir monopolärt. (b) Fältet blir dipolärt. Uppgift 2 () Slingorn repellerr vrndr. (b) Nedåt på m 1 och uppåt på m 2. Uppgift 3 q s q x q s q Med d b, där b>>, får vi tt d b. Punktlddningens vstånd från sfärens centrum kn då pproximers som r = r = b 2 + d 2 b. Spegl enligt figuren. Förutom orginllddningen q i punkten r = bˆx + dẑ får vi lddningen q i punkten r s1 = bˆx dẑ, lddningen q s = q b i punkten r s2 = 2 b 2 (bˆx + dẑ) smt lddningen q s = q b i punkten r s3 = 2 (bˆx dẑ). b2 Approximer q och q med dipolen p 1 = qr qr s1 =2qdẑ i punkten r 1 = bˆx och pproximer q s och q s med dipolen p 2 = q s r s2 q s r s3 = 2qd 3 b 3 ẑ i punkten r 2 = 2 b ˆx. Formel (17) i formelsmlingen ger tt [ ] [ ] E = 1 p 1 4πε b x 3 + p 2 x 2 /b 3 = { x<b} = qd 1 2πε (b x) 3 3 1 b 3 (x 2 /b) 3 ẑ [ ] = qd 1 2πε (b x) 3 3 (bx 2 ) 3 ẑ = Svr För x = blir E =, eftersom det blir tngentiellt med hlvsfärens yt (E försvinner lltid där två ledrytor möts under en vinkel < 18 ).
Uppgift 4 Låt dielektrikt vr inskjutet en vribel sträck (räknd från vänstr knten v ledrn). Den v en Guss-cylinder fri inneslutn lddningen finns på innerledren vilket melln ledrn ger D- oche-fält enligt D 1 = λ 1 2πsŝ, E 1 = D 1 ε ε r = λ 1 2πε s 2 ŝ, D 2 = λ 2 2πsŝ, E 2 = D 2 ε = λ 2 2πε sŝ där λ 1 och λ 2 är innerledrens lddning/längd i respektive delområde. Spänningen (som är densmm ovsett delområde blir) Krften fås som F = U 2 U = Med = h/2 fås slutligen 2 3 dc ẑ, där d C = Q U = λ 1 + λ 2 (h ) U Svr: C = πε h Dielektrikt drs in i kondenstorn. E 1 ŝds = λ 1 2πε 2 3 = 3 E 2 ŝds = λ 2 2πε ln 3 [ 3 =2πε 2 + h ] dc [ 3 ln 3 d =2πε 2 1 ] ln 3 [ 3 2 + 1 ] [ 3, F = πε U 2 ln 3 2 1 ] ẑ ln 3 Uppgift 5 Vi väljer origo i centrum och -xeln som symmetrixel. Eftersom mgnetiseringen vtr med vståndet från -xeln ntr vi tt plttn kn pproximers som stor. Beräkn plttns mgnetfält från de bundn strömtäthetern. J b = M =. Bundn ytströmtätheten: K b = M ( ŝ) = på ytn inuti hålet. K b = M ±ẑ = M s { ˆϕ : = h, ovnsidn ˆϕ : = h, undersidn Dess ytströmmr ger ett mgnetfält på formenb(s, ϕ, ) =B s (s, ) ŝ(ϕ)+b (s, ) ẑ Påströmslingn ger inte B någon resulternde krft i s-led medn B s ger en resulternde krft i -led. Strömslingns dipolmoment: m = Iπb 2 ẑ. ( d(m B) Krften beräkns som F = (m B) = ẑ = m db ) ẑ där B beräkns längs med -xeln. d d Först beräknr vi fältet från ytströmmen på ovnsidn.medr = ẑ, r = hẑ + s ŝ, d =ds (s dϕ )får vi medelst Biot-Svrts lg tt B h (ẑ) = μ 4π = μ M 4π = μ M 2 ds 2π s dϕ M s ( ˆϕ ) s ŝ +( h) ẑ [s 2 +( h) 2] 3/2 2π ds dϕ s ẑ ( h) ŝ [ s 2 +( h) 2] = μ M 3/2 2 ẑ 1 = μ M ẑ s 2 +( h) 2 2 ẑ 2 +( h) 2 s ds [s 2 +( h) 2] 3/2
På smm sätt får vi från undersidn B h (ẑ) = μ M ẑ 2 2 +( + h) 2 B(ẑ) =B h (ẑ)+b h(ẑ) = μ M 2 Således: db d = μ M 2 1 2 +( h) 2 h [ 2 +( h) 2] + 3/2 1 2 +( + h) 2 + h [ 2 +( + h) 2] 3/2 ẑ ( Svr: krften F = m db ) d ẑ = μ M hiπb 2 = [ 2 + h 2 ] ẑ 3/2 ẑ Uppgift 6 Normlkomponentern ligger i ll pln innehållnde ytnormlen, så vi måste vis tt tngentilkomponentern är prllell. Utn någon fri ytströmtäthet ger rndvillkoret ˆn 12 (H 1 H 2 )=K fri = vilket är detsmm som tt H 1,tng = H 2,tng B 1,tng μ = B 2,tng μ r μ B 1,tng = B 2,tng μ r Således hr B 1 och B 2 prllell tngentilkomponenter V.S.V. Vidre ser vi tt μ r B 1,tng, dvsb 1 i normlled V.S.V.
Tentmen TEN1 212 2 11, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik årgång 211 BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) TETs isskrp med vektorformler (från institutionen) Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 3p. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. Uppgift 1-2: Begreppsmässig förståelse skll viss (kvntittiv beräkningr efterfrågs ej). Uppgift 3-6: Uppställd smbnd skll motivers. Ofullständig motiveringr ger poängvdrg. Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Uppgift 1 Två elektrisk dipoler är plcerde enligt figuren. p 1 hr en godtycklig riktning i xy-plnets först kvdrnt och p 2 är riktd i positiv y-led. y x p 1 p 2 Beskriv och förklr krftern på dipolern,gärn grfiskt! Uppgift 2 () I (b) I Två cirkulär strömslingor, där den en hr dubbelt så storrdie som den ndr, är plcerde koncentriskt och koxiellt med vrndr. Strömmrn hr smordnde definitionsriktningr, enligt pilrn i figurern. 2I 4I () Med strömmrn enligt den vänstr figuren, nge och förklr det mgnetisk fältets vtgnde påstortvstånd från konfigurtionen! (b) Med strömmrn enligt den högr figuren, nge och förklr det mgnetisk fältets vtgnde på stort vstånd från konfigurtionen! Uppgift 3 En sfäriskt symmetrisk fri rymdlddningsfördelning ρ fri (r) =ρ fri (r) är centrerd inuti ett likledes sfäriskt symmetriskt dielektrikum med reltiv permittivitet ε r (r) =ε r (r). ˆr Vis tt ett llmänt uttryck för det elektrisk fältet är E(r) = ε r (r) ε r 2 där u är den rdiell koordinten. r ρ fri (u) u 2 du,
Uppgift 4 En sluten metllbehållre hr formen v en hlvsfär med innerrdien. Behållren är centrerd kring -xeln enligt figuren. Inuti behållren, när den pln bottenytn, i punkten r = bˆx + dẑ finns en punktlddning q. Det gäller tt b>ochttd b. q x Bestäm elektrisk fältet vid den pln ytn längs med x-xeln! Resulttet skll förenkls utifrån tt d b och vr giltigt för x b d. Kontroller och kommenter resultten då x = ±! Uppgift 5 M 2h I M b Ienstorjärnpltt med tjockleken 2h hr det, långt ifrån plttns knter, borrts ett hål med rdien. Med origo i hålets centrum och ( -xeln som symmetrixel ges (i cylinderkoordinter) plttns inhomogen mgnetisering som M = M 1 ) ŝ, där s är vståndet från symmetrixeln och är koordinten s h ihöjdled, mätt från hålets mittpunkt. I borrhålet och centrerd kring dess mittpunkt finns en liten cirkulär strömsling förnde strömmen I. Slingn, vrs pln är horisontellt med plåten, hr rdien b (b ). () Vis tt på symmetrixeln kn mgnetfältet från plåten skrivs [ B(ẑ) = μ M ] du +h 2h 2 + u du ẑ 2 2 + u 2 (b) Utifrån det givn uttrycket i (), bestäm krften på strömslingn! h Uppgift 6 En toroidspole hr N vrv, tätt och jämnt lindde på en kärn v ett mgnetiskt mteril. Spolen för strömmen I. Kärnn hr innerrdien och ett kvdrtiskt tvärsnitt med sidn. I μ r (s) Kärnns reltiv permebilitet beror på vståndet s från symmetrixeln enligt μ r (s) =k s (k =konstnt). Bestäm det mgnetisk flödet genom toroidspolens kärn!
Tentmen TEN1 212 2 11, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Svr och förslg till lösningr. Uppgift 1 Använd superposition. Del först upp p 1 itvådipoler i x- respektive y-led. För växelverkn melln p 1 -komponentern och p 2, del upp dipolern i lddningspr och superponer krftbidrgen grfiskt. Krften på p 1 är riktd i xy-plnets tredje kvdrnt. Krften på p 2 är riktd i xy-plnets först kvdrnt. Uppgift 2 () Konfigurtionen hr ett resulternde dipolmoment B 1 r 3. (b) Konfigurtionen hr inget resulternde dipolmoment, men kvdrupolmoment B 1 r 4. Uppgift 3 Av den sfärisk symmetrin följer tt E, D ˆr. Inuti en centrerd sfär med rdien r blir den den fri lddningen Q fri = Enligt Guss flödeslg är dett lik med D ˆnd =4πr 2 D r (r) ρ fri dτ = r ρ fri (u)4πu 2 du. Således 4πr 2 D r (r) = r ρ fri (u)4πu 2 du E(r) =E r (r) ˆr = D r(r) r ε r ε = ˆr ε r (r) ε r 2 r ρ fri (u) u 2 du V.S.V. Uppgift 4 q q s x q q s Med d b kn punktlddningens vstånd från centrum pproximers som r = r = b 2 + d 2 b. Spegl enligt figuren. Förutom orginllddningen q i punkten r = bˆx + dẑ får vi lddningen q i punkten r s1 = bˆx dẑ, lddningen q s = q b i punkten r s2 = 2 b 2 (bˆx + dẑ) smt lddningen q s = q b i punkten r s3 = 2 (bˆx dẑ). b2
Approximer q och q med dipolen p 1 = qr qr s1 =2qdẑ i punkten r 1 = bˆx och pproximer q s och q s med dipolen p 2 = q s r s2 q s r s3 = 2qd 3 b 3 ẑ i punkten r 2 = 2 b ˆx. Formel (17) i formelsmlingen ger tt [ ] [ ] E = 1 p 1 4πε x b 3 + p 2 x 2 /b 3 = { x,b<} = qd 1 2πε x b 3 3 1 b 3 ( 2 /b x) 3 ẑ [ ] [ ] = qd 1 2πε x b 3 3 ( 2 bx) 3 ẑ = qd 1 2πε x b 3 1 ( bx/) 3 ẑ = Svr För x = ± blir E =, eftersom det blir tngentiellt med hlvsfärens yt (E försvinner lltid där två ledrytor möts under en vinkel < 18 ). Uppgift 5 Eftersom mgnetiseringen vtr med vståndet från -xeln ntr vi tt plttn kn pproximers som stor. På plttns pln ytor är M = och i hålet är M ytnormlen ŝ ingen bunden ytströmtäthet K b någonstns. Bundn rymdströmtätheten. J b = M = M s ˆϕ = M sign() ˆϕ. sh Strömtätheten är en superposition v koxiell strömslingor och ger således ett mgnetfält på formen B(s, ϕ, ) =B s (s, ) ŝ(ϕ)+b (s, ) ẑ Påströmslingn ger inte B någon resulternde krft i s-led medn B s ger en resulternde krft i -led. Strömslingns dipolmoment: m = Iπb 2 ẑ. ( d(m B) Krften beräkns som F = (m B) = ẑ = m db ) ẑ där B beräkns längs med -xeln. d d () Med r = ẑ, r = ẑ + s ŝ, dτ =d (s dϕ )ds får vi medelst Biot-Svrts lg tt B(ẑ) = μ h 2π d ds s dϕ M 4π h s h sign( ) ( ˆϕ ) s ŝ +( ) ẑ [s 2 +( ) 2] 3/2 = μ M 4πh h h 2π d ds dϕ sign( ) s ẑ ( ) ŝ [s 2 +( ) 2] 3/2 = μ M h 2h ẑ d sign( s ds ) h [s 2 +( ) 2] 3/2 = μ M h 2h ẑ h = μ M 2h ẑ = μ M 2h [ h h d sign( ) 1 s 2 +( ) 2 d 2 +( ) 2 h d 2 +( ) 2 ] du +h 2 + u du ẑ V.S.V. 2 2 + u 2 = μ M h 2h ẑ sign( ) d h 2 +( ) 2 = { = u}
(b) Se t ex BETA, Differentition - of integrl, vrigenom db d = μ M 2 2h 2 + 1 2 2 +( h) 2 ( Svr: krften F = m db ) d ẑ = μ M Iπb 2 = h 1 2 +( + h) 2 [ 1 ẑ 1 1+h2 / 2 ] ẑ Uppgift 6 Ampères cirkultionslg: H dl = I fri ger tt 2πsH ϕ = NI H = NI 2πs ˆϕ B = μ rμ H = k s μ NI 2πs ˆϕ = kμ NI 2π ˆϕ Φ= tvärsnitt B ˆnd = kμ NI 2π 2 = kμ NI = Svr 2π
Tentmen TEN1 212 6 2, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik årgång 212 BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) TETs isskrp med vektorformler (från institutionen) Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 3p. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. Uppgift 1-2: Begreppsmässig förståelse skll viss (kvntittiv beräkningr efterfrågs ej). Uppgift 3-6: Uppställd smbnd skll motivers. Ofullständig motiveringr ger poängvdrg. Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Uppgift 1 Två likdn metllkulor hålls på den konstnt potentilskillnden U. I symmetriplnet melln metllkulorn finns en dielektrisk sfär, enligt figuren. Sfärens reltiv permittivitet ε r > 1. () Ange och förklr krften på den dielektrisk sfären! (b) Dielektrisk sfären flytts så tt den centrers runt punkten mitt emelln metllkulorn. Ange och förklr hur den elektrosttisk energin hr ändrts! U ε r > 1 Uppgift 2 () (b) (c) En mycket lång rk tråd och en kvdrtisk sling plcers i tre olik konfigurtioner: () Tråden befinner sig rkt bkom slingns pln. (b) Tråden och slingn ligger i smm pln. (c) Tråden är vinkelrät mot slingns pln. Med strömriktningr enligt figurern, nge och förklr i vrder fllet krften på slingn! OBS! Krfterns storlek behöver ej beräkns utifrån strömmrn.
Uppgift 3 En lång rk ledre för strömmen I. Koxielltmed ledren hr det plcerts två ringr, v olik sorters järn med reltiv permebilitetern μ r1 respektive μ r2. Ringrn hr smm kvdrtisk tvärsnitt med sidn, med övrig dimensioner och plceringr enligt figuren. I en viss tillämpning är det önskvärt tt ringrn hr lik stor mgnetisk flöden. μ r2 μ r1 I I Bestäm förhållndet μ r1 μ r2! Uppgift 4 P 2h λ() P I en stor elektretpltt med tjockleken 2h hr det, långt ifrån kntern, borrts ett hål med rdien. Med origo i hålets centrum och -xeln som symmetrixel ges (i cylinderkoordinter) plttns inhomogen polristion som P = P ŝ, där s är vståndet från symmetrixeln. s Centrerd kring mitten v hålet finns en koxiellt plcerd kort stv med längden 2d (d ). Stven hr linjelddningstätheten λ() =λ d. Bestäm krften på stven! Uppgift 5 En mycket lång plttledre med bredden 2 är belägen i x-plnet enligt figuren. Plttledren för ytströmtätheten K(x) =K x ẑ. y x Bestäm mgnetfältet B på y-xeln! Uppgift 6 En lång rk linjelddning med konstnt täthet λ befinner sig ovnför ett metllpln, enligt figuren. λ y Vis tt på en med linjelddningen prllell rems i metllplnet blir θ lddningen per längd (i -led) λ p = λ θ,där θ är vinkeln som remsn π upptr sett från linjelddningen! λ p x
Tentmen TEN1 212 6 2, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Svr och förslg till lösningr. Uppgift 1 () Använd superposition. Respektive kul polriserr sfären i smm riktning som kulns eget fält och drr då sfären mot sig. Resulternde krften blir åt vänster. (b) Dielektrisk kuln hr förflyttts i krftens rikting. Med konstnt potentiler på ledrn blir krften F =+ W e elektrosttisk energin hr ökt. Uppgift 2 Trådens fält bildr koxiell ringr runt tråden. Använd krftlgen df = Idl B på de rk sidorn hos slingn. I () och (c) blir det ingen nettokrft på delodrät sidorn. I (b) tr krftern på delodrät sidorn ut vrndr. I (c) tr krftern på devågrät sidorn ut vrndr. I()får de vågrät sidorn smm krftkomposnt neråt medn komposntern i djupled tr ut vrndr. I(b)får den nedre vågrät sidn en repellernde krft som är strkre än den ttrhernde krften på den övre vågrät sidn. Svr: () neråt; (b) uppåt; (c) ingen krft Uppgift 3 Pg symmetrin blir fälten imutlriktde. Ampères cirkultionslg: H dl = I fri ger tt 2πsH ϕ = I H = Således I B 1 = μ r1 μ H = μ r1 μ 2πs ˆϕ Φ 1 = I B 2 = μ r2 μ H = μ r2 μ 2πs ˆϕ Φ 2 = Φ 1 =Φ 2 Svr: μ r1 ln 3 ln 2 1, 1, 7 = = 4 μ r2 ln 2, 7 7 2 3 2 I 2πs ˆϕ B 1ϕ ds = μ r1 μ I 2π ln 2 B 2ϕ ds = μ r2 μ I 2π ln 3 2 Uppgift 4 Eftersom polristionen vtr med vståndet från -xeln ntr vi tt plttn kn pproximers som stor. Beräkn plttns elektrisk fält från de bundn lddningstäthetern. ρ b = P =. Bundn ytlddningstätheten: σ b = P ( ŝ) = P på ytn inuti hålet och σ b = P (±ẑ) =på översidn och undersidn. Stven hr dipolmomentet: p = d d Krften beräkns som F =(p ) E = 2λ d 2 ẑλ()d = λ d d ẑ d 3 de d 2 d = 2λ d 2 ẑ 3 där E beräkns längs med -xeln.
Med r = ẑ, r = ẑ + ŝ, d =d (dϕ )får vi medelst Coulombs lg tt E(ẑ) = 1 h 4πε h d 2π = P +h ẑ 2ε h dϕ ( P ) ŝ +( ) ẑ [ 2 +( ) 2] = P h ẑ 3/2 2ε [ h 2 +( ) 2] 3/2 d u de du [ 2 + u 2 3/2 ] d = P 2ε Svr: krften F = 2λ d 2 3 de d + h [ 2 +( + h) 2] 3/2 = 2P hλ d 2 = 3ε [ 2 + h 2 ] ẑ 3/2 h [ 2 +( h) 2] 3/2 ẑ Uppgift 5 En rems med bredden dx v plttn för strömmen di = K(x ) ẑdx x = K dx i -led. Formel (29) i formelsmlingen (år 212) ger, med û = ẑ, r = yŷ, r = x ˆx db(x )= μ di 2π ẑ (yŷ x ˆx) x 2 + y 2 = μ K 2π x yˆx + x 2ŷ x 2 + y 2 dx Över ledrens bredd är x-komponenten en udd funktion medn y-komponenten är en jämn funktion. Således B = μ K π ŷ x 2 x 2 + y 2 dx = μ ( K π ŷ y 2 ) 1 dx = μ ] K [x x 2 + y 2 π ŷ y rctn x y Svr: På y-xeln blir B = μ K π ( 1 y rctn ) ŷ y Uppgift 6 Med speglingslösningen enligt figuren blir fältet för y> (tillämp Guss lg på respektive linjelddning): [ E = λ ˆR 2πε R ˆR ] s R s λ y dθ På metllplnet y = blir ytlddningstätheten σ = ε ŷ E = λ 2π [ ŷ ˆR R ŷ ˆR s R s ] R dx ŷ x På en differentiell rems med bredden dx blir lddningen/längd [ dλ p = σdx = λ ŷ ˆR 2π R ŷ ˆR ] s dx R s λ R s dθ Differentiell betrktelser ger tt ŷ ˆRdx R = ŷ ˆR s dx R s =dθ dλ p = λ π dθ λ p = λ π θ V.S.V.
Tentmen TEN1 212 8 2, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik årgång 212 BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) TETs isskrp med vektorformler (från institutionen) Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 3p. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Använd inte rödpenn och skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. Uppgift 1-2: Begreppsmässig förståelse skll viss (längre kvntittiv beräkningr efterfrågs ej). Uppgift 3-6: Uppställd smbnd skll motivers. Ofullständig motiveringr ger poängvdrg. Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Uppgift 1 Två likdn metllkulor hr vrder lddningen Q. I symmetriplnet melln metllkulorn finns en dielektrisk sfär, enligt figuren. Sfärens reltiv permittivitet ε r > 1. () Ange och förklr krften på den dielektrisk sfären! (b) Den dielektrisk sfären flytts till en punkt i symmetriplnet längre bort ifrån metllkulorn. Ange och förklr hur den elektrosttisk energin hr ändrts! Q Q ε r > 1 Uppgift 2 Två cirkulär strömslingor är plcerde koxiellt, där den övre slingn hr dubbelt så stor rdie som den undre. Slingorn för strömmrn I 1 och I 2 med definitionsriktningr enligt figuren. () Antg tt I 1 = I 2 = I. Vd blir mgnetfältets r-beroende på stor vstånd r från slingorn? I 1 I 2 (b) Antg tt I 1 = I, men nu vill mn tt fältet på stortvstånd får smm styrk och vståndsberoende som i fll () men med motstt riktning. Bestäm I 2! (c) Antg tt I 1 = I, men nu vill mn tt fältet på stortvstånd vtr en ordning snbbre än i fllen () och (b). Bestäm I 2!
Uppgift 3 En strömkäll i form v en sfär med rdien är belägen i en lednde vätsk med mycket stor utsträckning. I vätskn ger strömkälln upphov till en rottionssymmetrisk kvdrupolär strömtäthet, given i sfärisk koordinter som J(r) = I 2 r 4 [ (3cos 2 θ 1 ) ] ˆr +2cosθsin θˆθ, r > Inuti strömkälln, för r<, specificers ej J närmre än tt den hr smm typ v symmetri som i vätskn. Vätskn hr reltiv permebiliteten μ r =1. Bestäm mgnetfältet B ivätskn, dvs för r>! J Uppgift 4 P 2h λ() P I en stor elektretpltt med tjockleken 2h hr det, långt ifrån kntern, borrts ett hål med rdien. Med origo i hålets centrum( och -xeln som symmetrixel ges (i cylinderkoordinter) plttns inhomogen polristion som P = P 1 ) ẑ, där är koordinten i höjdled, mätt från hålets mittpunkt. h Centrerd kring mitten v hålet finns en koxiellt plcerd kort stv med längden 2d (d ). Stven ( 2. hr linjelddningstätheten λ() =λ d) () Vis tt på symmetrixeln kn elektrisk fältet från plttn skrivs [ E(ẑ) = P ] u +h 2ε h 2 + u du u 2 2 + u du ẑ 2 h (b) Utifrån det givn uttrycket i (), bestäm krften på stven! Uppgift 5 En mycket lång plttledre med bredden 2 är belägen i x-plnet enligt figuren. Plttledren för ytströmtätheten K(x) =I 3x 2 2 3 ẑ. y x Bestäm mgnetfältet B på y-xeln!
Uppgift 6 En punktlddning q befinner sig ovnför ett metllpln, enligt figuren. Vis tt i metllplnet på en cirkelyt centrerd rkt under punktlddningen blir den inducerde lddningen q p = q Ω,där Ω är rymdvinkeln 2π för den kon som cirkelytn upptr sett ifrån punktlddningen! q θ θ x q p y Ledning: Uttryckt i sfärisk koordinter med origo i observtionspunkten blir rymdvinkelelementet dω = sin θdθdϕ
Tentmen TEN1 212 8 2, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Svr och förslg till lösningr. Uppgift 1 () Använd superposition. Respektive kul polriserr sfären i smm riktning som kulns eget fält och drr då sfären mot sig. Resulternde krften blir åt vänster. (b) Dielektrisk kuln hr förflyttts i riktningen mot krftens. Med konstnt lddningr på ledrn blir krften F = W e elektrosttisk energin hr ökt. Uppgift 2 Låt slingorn h reorn A 1 =4A, A 2 = A. () Med definitionsriktning uppåt blir dipolmomentet m = IA 1 + IA 2 =5IA B 1 r 3 (b) Teckenbyte på dipolmomentet: m b = IA 1 + I 2 A 2 =4IA + I 2 A = m = 5IA I 2 = 9I (c) Inget dipolmoment m c = I4A + I 2 A = I 2 = 4I B 1 r 4, kvdrupol. Uppgift 3 Pg symmetrin blir fältet imutlriktt. Använd Ampères cirkultionslg, B dl = μ I,på en koxiellt plcerd cirkel med rdien r sin θ. B dl = B ϕ 2πr sin θ = μ I = μ = μ 2π I 2 Svr: B = μ I 2 cos θ sin θ ˆϕ r 3 r 2 θ J ˆnd = μ 2π θ ( 3cos 2 θ 1 ) sin θ dθ = μ 2π I 2 = μ 2π I 2 ( cos θ cos 3 r 2 θ ) = μ 2π I 2 r 2 cos θ sin 2 θ r 2 J r (r, θ ) r 2 sin θ dθ 1 cos θ ( 3x 2 1 ) dx
Uppgift 4 Polristionen vtr inte med vståndet från -xeln men vi ntr tt plttn kn pproximers som stor och chnsr på tt integrlen konvergerr. Beräkn plttns elektrisk fält från de bundn lddningstäthetern. sign() Bundn rymdlddningstätheten: ρ b = P = P. h På de pln ytorn är P = och i hålet är P ( ŝ) =,så det finns ingen bunden ytlddningstäthet. Med r = ẑ, r = ẑ + s ŝ, dτ =d (s dϕ )ds får vi medelst Coulombs lg tt E(ẑ) = 1 h 4πε h 2π d ds = P h ẑ sign( )( )d 2ε h h = P ẑ 2ε h = P 2ε h h [ h s dϕ P sign( ) h d 2 +( ) 2 h s ŝ +( ) ẑ [s 2 +( ) 2] 3/2 s ds [ s 2 +( ) 2] = P ẑ 3/2 2ε h h h d = { = u} 2 +( ) 2 ] u +h 2 + u du u 2 2 + u du ẑ V.S.V. 2 d sign( )( ) 2 +( ) 2 d Stven hr lddningen: Q = λ()d = 2λ d, och eftersom stven är kort pproximers den som en d 3 punktlddning i origo. Vi slutför integrlern i fältutrycket, vrigenom E(ẑ) = P [ 2 ] 2ε h 2 + 2 2 +( h) 2 2 +( + h) 2 ẑ Svr: krften F = QE() = 2λ d 3 P ε h ( ) ( ) 2 + h 2 ẑ = 2λ ( dp ) 2 1+ ẑ 3ε h h Uppgift 5 En rems med bredden dx v plttn för strömmen di = K(x ) ẑdx 3x 2 = I 2 3 dx i -led. Formel (29) i formelsmlingen (år 212) ger, med û = ẑ, r = yŷ, r = x ˆx db(x )= μ di 2π ẑ (yŷ x ˆx) x 2 + y 2 = 3μ I 4π 3 x 2 yˆx + x 3ŷ x 2 + y 2 dx Över ledrens bredd är x-komponenten en jämn funktion medn y-komponenten är en udd funktion. Således B = 3μ I y 2π ˆx x 2 3 x 2 + y 2 dx = 3μ I y ( 2π ˆx y 2 ) 3 1 dx = 3μ ] I y [x x 2 + y 2 2π ˆx 3 y rctn x y Svr: På y-xeln blir B = 3μ I 2π ( y ( y ) ) 2 rctn ˆx y
Uppgift 6 Beteckn punktlddningens höjd, ovnför metllplnet, med h och cirkelområdets rdie med s. Konens rymdvinkel: θ ( ) 2π h Ω= sin θdθ dϕ =2π (1 cos θ )=2π 1 h2 + s 2 Med speglingslösningen enligt figuren blir fältet för >: [ E = q ˆR 4πε R 2 ˆR ] s qh Rs 2 = 2πε [h 2 + s 2 ] ẑ 3/2 På metllplnet y = blir ytlddningstätheten q h h y R R s s ẑ x qh σ(s) =ε ẑ E = 2π [h 2 + s 2 ] 3/2 q Lddningen på cirkelområdet: s s [ ] ( ) s sds 1 h q p =2π σ(s) sds = qh = qh = q 1 = q Ω [h 2 + s 2 3/2 ] h2 + s 2 h2 + s 2 2π V.S.V. Kommentr: i dett specilfll kn rymdvinkeln uttrycks explicit, men resulttet är llmänt - gäller för en godtycklig delyt v metllplnet.
Tentmen TEN1 213 5 2, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Vkthvnde lärre under tentmen: Toms Krlsson, tel. 79 771 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik årgång 213 BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 3p. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Använd inte rödpenn och skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. Uppgift 1-2: Begreppsmässig förståelse skll viss (längre kvntittiv beräkningr efterfrågs ej). Uppgift 3-6: Uppställd smbnd skll motivers. Ofullständig motiveringr ger poängvdrg. Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Uppgift 1. I bilden till höger viss fem fll v rndvärdesproblem: () Punktlddning inuti ett hlvsfäriskt metllskl (b) Metllsfär ovnför ett metllpln () (b) (c) Punktlddning i hlvsfärisk nedsänkning i ett metllpln (d) Punktlddning i 7 sektor melln två metllpln (e) Punktlddning i 36 sektor melln två metllpln Vilk v dess fem fll kn löss medelst ett ändligt ntl spegellddningr? (c) (d) (e) Uppgift 2. Figuren visr genomskärningen v en toroidspole. Spolen som är luftfylld hr två lindningr vilk hr smm ntl vrv. Lindningrn för strömmr med styrkor och riktningr enligt figuren. A B I Beskriv mgnetfälten i områden A respektive B! I
Uppgift 3. Melln de sfärisk ytorn med rdiern r = och r =2 finns en polristion ( ( r )) P (r) =P sin π 1 ˆr P 2 Bestäm elektrisk fältet E och potentilen V,idetreområden r<,<r<2, r > 2! Uppgift 4. Ett klot med rdien och den homogen reltiv permebiliteten μ r plcers in i ett yttre homogent mgnetfält B = B ẑ. Det yttre området hr μ r =1. () Vis tt (den entydig) lösningen blir tt inuti klotet fås ett homogent mgnetfält och tt utnför klotet blir störfältet från klotet ett exkt dipolfält! Ledning: Gör nstser och nvänd rndvillkoren! μ r B (b) Ur smbndet m = αb,där m är det i klotet inducerde dipolmomentet, bestäm klotets polriserbrhet α! Uppgift 5. En hlvoändligt lång cirkulärcylindrisk mntelyt med rdien är belgd med den konstnt ytlddningstätheten σ. Mntelytn är plcerd koxiellt längs med hel negtiv -xeln; se figuren. () Bestäm elektrisk fältet E, som mntelytn ger upphov till, längs med hel -xeln. (b) Om cylindern sluts i plnet = medelst ett cirkulärt lock med rdien och smm konstnt ytlddningstäthet σ försvinner det totl fältet på -xeln omedelbrt under lockets mittpunkt, dvs lim E tot(ẑ) =. Kontroller på detsättet resulttet från () σ Uppgift 6. Ett hlvklot med rdien hr plcerts koxiellt med positiv -xeln så tt den pln delen v ytn är belägen vid =;sefiguren. Hlvklotet hr den rdiellt riktde mgnetiseringen M(r) =M r ˆr M Centrerd i punkten ẑ finns en cirkulär sling vrs pln är prllellt med hlvklotets pln delyt. Slingn hr rdien b, där b, och för strömmen I i positiv led runt -xeln. Bestäm de mgnetisk krftern på slingn och hlvklotet! b, I
Tentmen TEN1 213 5 2, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Svr och förslg till lösningr. Uppgift 1. Svr: () & (e) (): fyr punktlddningr; (b): mång punktlddningr; (c),(d): går ej med punktlddningr; (e): tio punktlddningr Uppgift 2. Lägg in en cirkulär Ampèresling koxiellt med symmetrixeln. Om slingn är belägen i område A psserr genom slingns pln yt den totl strömmen NI i riktning uppåt, där N är ntlet lindningsvrv. Således fås ett imutlt mgnetfält som går ut till vänster och in till höger i figuren. Om slingn är belägen i område B tr de två spolrns strömmr ut vrndr och det psserr ingen totl ström genom slingns yt vrvid mgnetfältet blir noll i område B. Uppgift 3. Vi nvänder Guss lg för D-fältet: D ˆnd = Q fri. Den sfärisk symmetrin ger tt D = D rˆr 4πr 2 D r = Q fri. Men det finns ingen fri lddning tt inneslut D =, överllt. Från definitionen D = ε E + P följer Delsvr: E = för r<och för r>2; E = P = P ( ( r )) sin π ε ε 1 ˆr för <r<2. Potentilen: V (r) = V (r) = P ε 2 r r E r (r )dr.för r>2 fås inget bidrg. För <r<2 blir bidrget ( ( )) r sin π 1 dr = P [ ( ( ))] r 2 cos π ε π 1 = P [ ( ( r ))] 1+cos π r ε π 1 För r<fås inget ytterligre bidrg utöver V () = 2P ε π Delsvr: V =för r>2; V = 2P ε π cos2( π ( r )) 2 1 för 2 >r>; V = 2P ε π för r<.
Uppgift 4. Isfärisk koordinter är ẑ = ˆr cos θ ˆθ sin θ, vrigenom det yttre homogen mgnetfältet blir B = B (ˆr cos θ ˆθ ) sin θ. Det inre homogen mgnetfältet nts bli riktt i -led och nsätts som B inre = B inre (ˆr cos θ ˆθ ) sin θ. Klotets dipolmoment nts också bli riktt i -led, m = mẑ, vrigenom det yttre störfältet nsätts som B stör = μ [ ] m 4πr 3 2cosθˆr +sinθˆθ B hr lltid kontinuerlig normlkomponent, så vidytnr = gäller tt ˆr B inre = ˆr (B + B stör ) B inre = B + μ m 2π 3 (1) Ifrånvron v fri ytströmtäthet hr H = gäller tt ˆθ H inre = ˆθ (H + H stör ) B μ r μ B inre μ r kontinuerlig tngentilkomponent, så vidytnr = = B + μ m 4π 3 (2) (1) och (2) ger tt B inre = 3μ r μ r +2 B, m = 4π3 μr 1 μ μ r +2 B = αb Svr : Anstsen gv, den entydig, lösningen till problemet V.S.V. Svr b: Klotets polriserbrhet α = 4π3 μ μr 1 μ r +2 Ferromgnetisk klot hr μ r 1 α 3V klot μ 1 (V klot = klotets volym) μ r =1+χ m. Pr- och dimgnetisk klot hr χ m 1 α = V klot μ 1 χ m Uppgift 5. () Coulombs lg för E-fältet: E(r) = 1 4πε fås tt E(ẑ) = σ 2π d dϕ ŝ +( ) ẑ 4πε = σ ẑ 2ε u σ du = ( 2 + u 2 3/2 ) σ(r ) ˆR R 2 d.medr = ẑ, r = ŝ + ẑ, d = dϕ d [ 2 +( ) 2] 3/2 = σ [ ẑ 2ε ] 1 2 + u 2 ẑ 2ε [ 2 +( ) 2] 3/2 d = σ 2ε 2 + ẑ = Svr 2 (b) I origo ger mntelytn fältet E() = σ.påenföreläsning visdes tt locket ger fältet 2ε E lock = σ [ ] 2ε ẑ 2 + 2 Utn tt känn till dett kn vi v symmetriskäl slut oss till tt på -xeln ger locket ett rent -riktt fält som är en udd funktion v. Hoppvillkoret vid en ytlddning E 1 E 2 = σ ˆn ger då tt ε E lock ( =+) E lock ( = ) = 2E lock ( = ) = σ ẑ E lock ( ) = σ ẑ ε 2ε Således, E tot ( ) = E() + E lock ( ) =, Stämmer!
Uppgift 6. Vi kn bestämm krften på ntingen slingn eller hlvklotet och sedn nvänd Newtons tredje lg för tt bestämm krften på detåterstående föremålet, men för kontroll bestämmer vi krftern på bägge. Hlvklotets mgnetisering ger upphov till de bundn strömtäthetern J b = M =, K b = M ˆr =, s pådenhlvsfärisk delytn, och K b ( ẑ) =M ŝ ( ẑ) =M s ˆϕ pådenplndelytn.således är hlvklotet likvärdigt med en skivspole i plnet =. b slingn pproximers som den mgnetisk dipolen m = mẑ = Iπb 2 ẑ. Krften på slingn Använd F = (m B), där B är fältet från K b. Med r = ẑ, r = s ŝ, d = s ds dϕ ger Biot-Svrts lg, B(r) = μ 4π B(ẑ) = μ 2π M ds s dϕ (s /) ˆϕ ( ẑ s ŝ ) 4π ( 2 + s 2 ) = μ M 3/2 4π = μ M 2 ẑ = μ M 2 ẑ = μ M 2 s 3 ( 2 + s 2 ) 3/2 ds = μ M 2 ẑ [ 2 + s 2 + [ 2 2 + 2 Krften på dipolen/slingn: = mμ M 2 [ ] 2 = μ M 2 + s 2 2 2 2 + 2 2 ] ẑ F = (m B) =ẑ d d (mb (ẑ)) = mẑ db d = mdb [ ] d 2 2 + + 2 Vi sätter in =, m = Iπb 2 och får Svr: Krften på slingn blir F = μ πb 2 IM 2 2 ( 2 + 2 ) 3/2 2 [ 5 +2 23/2 Kb (r ) ˆR R 2 d, ds s 2 2π s 2 + s 2 s 2 ( 2 + s 2 ) 3/2 [ 2 2 + s 2 ẑ = mμ M 2 ] ẑ = μ πb 2 IM Krften på hlvklotet Använd F = K b Bd, där B är fältet från m. Med m = mẑ, r = ẑ, r = sŝ, R = sŝ + ẑ fås tt B(sŝ) = μ [ ( m 4πR 3 3 ẑ ˆR ) ] ˆR ẑ = μ [ ] m 3 (sŝ + ẑ) 4πR 3 R 2 ẑ = μ m 4πR 3 s K b B = M ˆϕ B = M [ sμ m 4πR 3 3s ( ) ] 3 2 R 2 ẑ + R 2 1 ŝ dϕ ŝ + s ẑ ( 2 + s 2 ) 3/2 ] ds ] s 2 2 + s 2 [ ( 2 2 +3 2) ] ( 2 + 2 ) 2 ẑ 3/2 [ 1 5 ] 4 ẑ 2 [ ( ) ] 3s 3 2 R 2 ŝ + R 2 1 ẑ Vid integreringen i ϕ-led försvinner s-komponenten. Med d =2πsds fås tt krften blir F = 3M μ m s 3 ẑ 2 (s 2 + 2 ) ds = 3M [ ] μ m s ẑ 5/2 2 (s 2 + 2 ) 2 s ds 3/2 (s 2 + 2 ) 5/2 [ ] = 3M μ m 1 ẑ 2 s2 + + 2 = 3M [ μ m ẑ 1 1 +1+ 2 3(s 2 + 2 ) 3/2 2 2 3 2 2 1 ] 3 Vi sätter in m = Iπb 2,förenklr och får Svr: Krften på hlvklotet blir F = μ πb 2 IM [ 1 5 ] 4 ẑ 2
Tentmen TEN1 213 8 2, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik årgång 213 BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) Vrje uppgift ger mximlt 1p. Godkänt grnters på 3p. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Använd inte rödpenn och skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. Uppgift 1-2: Begreppsmässig förståelse skll viss (längre kvntittiv beräkningr efterfrågs ej). Uppgift 3-6: Uppställd smbnd skll motivers. Ofullständig motiveringr ger poängvdrg. Används formler hämtde ur kursboken, skll giltigheten diskuters! Uppgift 1. Två likdn sfäroidformde ledre hr plcerts enligt figuren. Vrder sfäroiden hr lddningen q. Punkten A är på skärningslinjen melln två v symmetriplnen. Punkten B är skärningspunkten melln smtlig symmetripln. Om en punktlddning 2q plcers i A respektive B, förklr hur potentilen V och fältet E beror v vståndet r långt ifrån konfigurtionen! A B Uppgift 2. Krets 1 Krets 2 Krets 3 A A A B B C B C En järnkrets (krets 1) drivs v en spole i vilken strömmen hel tiden hålls konstnt. () Kretsen byggs ut med ett tredje ben så ttvifår krets 2. Förklr förändringen (från krets 1) i mgnetfältets (B) styrk i punktern A och B! (b) Därefter ts det upp ett luftgp i mittenbenet så ttvifår krets 3. Förklr förändringen (från krets 2) i mgnetfältets (B) styrk i punktern A, B och C!
Uppgift 3. Ett klot med rdien och den homogen reltiv permittiviteten ε r plcers in i ett yttre homogent elektriskt fält E = E ẑ. Det yttre området hr ε r =1. () Vis tt (den entydig) lösningen blir tt inuti klotet fås ett homogent elektriskt fält och tt utnför klotet blir störfältet från klotet ett exkt dipolfält! Ledning: Gör nstser och nvänd tillämplig rndvillkor för fälten E och D! ε r E (b) Ur smbndet p = αe,där p är det i klotet inducerde dipolmomentet, bestäm klotets polriserbrhet α! Uppgift 4. En cylinder med rdien, höjden 2 och plcering enligt figuren hr mgnetiseringen (i cylinderkoordinter) ( ) M(r) =M 1 s2 2 ẑ () Bestäm mgnetfältet B i cylinderns mittpunkt (dvs i origo)! (b) Ge ett pproximtivt uttryck för mgnetfältet i punkten 5ˆx! M Uppgift 5. En mycket lång rk urklippt cylinder hr sitt tvärsnitt i formen v en tunn cirkelbåge, enligt figuren. Cylindern är belgd med ytlddningstätheten σ = λ. 2ϕ I punkten ˆx finns en elektrisk dipol p = pŷ. p y ϕ ϕ x Bestäm vridmomentet verknde på dipolen! Uppgift 6. En isolerd sfär v metll hr rdien och totl lddningen q. Bestäm rbetet för tt flytt in en punktlddning q från till vståndet 2 från sfärens centrum! q q
Tentmen TEN1 213 8 2, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Svr och förslg till lösningr. Uppgift 1. Totl lddningen är noll. A: Vi får ett resulternde dipolmoment riktt uppåt i ppperets pln V 1 r 2, E 1 r 3 B: I dett fll tr de (i ppperets pln) horisontellt riktde dipolmenten ut vrndr vi får en kvdrupol V 1 r 3, E 1 r 4 Uppgift 2. Järnet hr högt μ r försumm läckflöden i grenpunktern tillämps strömgreningslgen på de mgnetisk flöden B. Över vrje sling tillämps Ampères cikultionslg för H-fältet, där det i ll tre fllen är smm drivnde fri ström från spolen. För mgnetfältets styrk gäller tt () ökr i A; minskr i B. (b)minskria;minskrib;ökr i C. Uppgift 3. Isfärisk koordinter är ẑ = ˆr cos θ ˆθ sin θ, vrigenom det yttre homogen elektrisk fältet blir E = E (ˆr cos θ ˆθ ) sin θ. Det inre homogen fältet nts bli riktt i -led och nsätts som E inre = E inre (ˆr cos θ ˆθ ) sin θ. Klotets dipolmoment nts också bli riktt i -led, p = pẑ, vrigenom det yttre störfältet nsätts som p [ ] E stör = 4πε r 3 2cosθˆr +sinθˆθ E hr lltid kontinuerlig tngentilkomponent, så vidytnr = gäller tt ˆθ E inre = ˆθ (E + E stör ) p E inre = E + 4πε 3 (1) Ifrånvron v fri ytlddningstäthet hr D = ε r ε E kontinuerlig normlkomponent, så vidytnr = gäller tt ˆr D inre = ˆr (D + D stör ) (1) och (2) ger tt ε r E inre = E + E inre = 3 ε r +2 E, p =4πε 3 εr 1 ε r +2 E = αe Svr : Anstsen gv, den entydig, lösningen till problemet V.S.V. Svr b: Klotets polriserbrhet α =4πε 3 εr 1 ε r +2 p 2πε 3 (2)
Uppgift 4. () På mntelytn är M = och på ändytorn är M normlriktd, så det finns ingen bunden ytströmtäthet, d.v.s. K = M ˆn =. Den bundn rymdströmtätheten blir J b = M = M s ˆϕ = 2M s ˆϕ 2 IBiot-SvrtslgB(r) = μ J b (r ) R 4π R 3 dτ hr vi R = r r = r = s ŝ ẑ, dτ = s ds dϕ d, vrigenom B() = μ 4π 2M 2π 2 s ds dϕ d s ˆϕ ( s ŝ ẑ ) ( s 2 + 2 ) 3/2 = μ M 2π 2 = μ M 2 ẑ 2π s ds dϕ d s 2ẑ s ŝ ( s 2 + 2 ) = μ M 3/2 2 ẑ [ ] s ds = 2μ M s ds ẑ s 2 + 2 s ds s 2 + = 2μ M 2 d s 2 ( s 2 + 2 ) 3/2 [ ] ẑ s 2 + 2 ( ) Svr : B() =2μ M 2 1 ẑ (b) Cylindern hr dipolmomentet m = Mdτ = M ẑ 2π 2 ( 1 s 2 / 2) sds = πm 3 ẑ. Dipolfältet: B(r) = μ [ ] m 4πr 3 2cosθˆr +sinθˆθ. Eftersom det i vårt fll gäller tt r =5ˆx θ = π/2 ˆθ = ẑ Svr b: B(5ˆx) = μ πm 3 4π (5) 3 ( ẑ) = μ M 5 ẑ Uppgift 5. En differentiell sektor med båglängdendϕ kn betrkts som en linjelddning, med linjelddningstätheten σ dϕ = λ dϕ = λdϕ. Det elektrisk fältet från en sådn linjelddning vid den tvådimensionell 2ϕ 2ϕ koordinten s erhålles då urformeln de(s) = λdϕ 2πε 2ϕ s s s s 2 (3) Här är s = ˆx, s = cos ϕ ˆx + sin ϕ ŷ s s = [(1+cosφ) ˆx +sinϕ ŷ] s s 2 = 2 sin 2 ϕ + 2 (1+cosϕ) 2 =2 2 (1+cosϕ) de = λ (1+cosϕ) ˆx + sin ϕ ŷ 2πε 2ϕ 2 2 dϕ (4) (1+cosϕ) Över det symmetrisk integrtionsområdet ϕ ϕ ϕ är y-komponenten en udd funktion och fller då bort vid integreringen, vrvid E = λ ˆx Svr: N = p E = λp 4πε 4πε ẑ (5) Kommentr: Elektrisk fältet är oberoende v tvärsnittets båglängd. För ϕ överensstämmer resulttet med fältet på vståndet 2 från en sml linjelddning. För ϕ π fås medelvärdet v fältet strx utnför och noll-fältet inuti (mtemtiskt hmnr mn då mitt i det tunn skiktet med ytlddning).
Uppgift 6. Arbetet beräkns som ΔW = W efter W före,där W är den upplgrde elektrosttisk energin. Punktlddningens ( ) egenenergi ändrs inte och utelämns således. Energin beräkns enklst som W = 1 q i V i 2 Före Den ensmm sfären representers v en punktlddning q i centrum som ger tt sfären får (den q konstnt) potentilen 4πε, vilket ger tt W före = q2 8πε Efter Inärvron v punktlddningen ger speglingsmetoden tt sfären representers v en spegellddning q/2 påvståndet /2 från centrum smt en kompenstionslddning 3q/2 i centrum. Kompenstionslddningen ger tt sfären får potentilen V sfär = 3q 2 1. Vid punktlddningen ger sfären potentilen 4πε V punkt = 3q 2 1 4πε 2 q 2 Svr: ΔW = W efter W före = Anmärkning: q 2 8πε 1 4πε 3/2 = 5q 12 q2 8πε 11 12 1 4πε W efter = q 2 (V sfär + V punkt )= q2 8πε 23 12 är rbetet om sfären pproximers med en punktlddning i centrum. i
Tentmen TEN1 214 6 2, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) Vrje uppgift kn bidr med mximlt 1 poäng. Godkänt grnters på 3poäng. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Använd inte rödpenn och skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. Uppgiftern 1-2 & 4-6: Uppställd smbnd skll motivers. Bristfällig motiveringr liksom lösningr som är svår tt följ kn medför poängvdrg. Uppgift 3: Endst svr krävs. Uppgift 1. Den här uppgiften är utbytbr mot kontrollskrivningens Uppgift 1. En sfärisk yt med rdien 3 hr den totl lddningen Q jämnt fördeld över ytn. En sfärisk yt med rdien hr den totl lddningen Q jämnt fördeld över ytn. Den mindre sfären är plcerd inuti den större så tt sfärerns ytor tngerr vrndr. Bestäm systemets elektrosttisk energi! Uppgift 2. Den här uppgiften är utbytbr mot kontrollskrivningens Uppgift 2. En metllsfär med rdien hr den totl lddningen Q. Ovnför metllsfären finns ett hlvsfäriskt skl med rdien b och den totl lddningen Q, jämnt fördeld över sklets yt. Bägge rdiern utgår ifrån ett gemensmt origo. Bestäm systemets dipolmoment!
Uppgift 3. Vrje deluppgift kn ge 1 poäng. Ange svrslterntiv eller efterfrågt numeriskt värde. All delsvren skll smmnställs på ett seprt bld (nvänd inte tentmensbldet) och vr nog med tt nge vilken deluppgift vrje svr vser. --------------------------------------------------------------------- I ppperets pln hr två elektrisk dipoler sin plceringr och riktningr på dipolmomenten enligt figuren. 3.1 Krften verknde på p 1 hr komposnter riktde enligt y x p 1 p 2 () +ˆx &+ŷ (b) +ˆx & ŷ (c) ˆx &+ŷ (d) ˆx & ŷ (e) +ŷ &+ẑ (f) +ŷ & ẑ (g) ŷ &+ẑ (h) ŷ & ẑ (i) +ẑ &+ˆx (j) +ẑ & ˆx (k) ẑ &+ˆx (l) ẑ & ˆx 3.2 Vridmomenten på dipolern, med vseende på ders respektive mittpunkter, blir riktde enligt () N 1 +ˆx, N 2 +ˆx (b) N 1 ˆx, N 2 ˆx (c) N 1 +ŷ, N 2 +ŷ (d) N 1 ŷ, N 2 ŷ (e) N 1 +ẑ, N 2 +ẑ (f) N 1 ẑ, N 2 ẑ (g) N 1 +ˆx, N 2 ˆx (h) N 1 ˆx, N 2 +ˆx (i) N 1 +ŷ, N 2 ŷ (j) N 1 ŷ, N 2 +ŷ (k) N 1 +ẑ, N 2 ẑ (l) N 1 ẑ, N 2 +ẑ --------------------------------------------------------------------- En järnkrets enligt figuren består v en homogent mgnetiserd μ r 1 permnentmgnet, ett ok v järn med hög reltiv permebilitet smt ett luftgp som är mycket mindre än övrig dimensioner. M 3.3 Sett inifrån luftgpet gäller över gränsytn järn(j)ochluft(δ) tt styrkorn på B- ochh-fälten förhåller sig som () B j B δ,h j H δ (b) B j B δ,h j H δ (c) B j B δ,h j H δ (d) B j B δ,h j H δ (e) B j B δ,h j H δ (f) B j B δ,h j H δ (g) B j B δ,h j H δ (h) B j B δ,h j H δ (i) B j B δ,h j H δ 3.4 För cirkultionsintegrlern v B- ochh-fälten enligt den streckde bnn gäller tt () B dl =, H dl = (c) B dl, H dl = (b) B dl =, H dl (d) B dl, H dl ---------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------- En luftfylld plttkondenstor, med likdn och prllell plttor, hr lddts upp till lddningen Q +Q och därefter frånkopplts sin spänningskäll. Utnför kondenstorn finns en homogen dielektrisk sfär med ε r > 1 sitt centrum i symmetriplnet melln kondenstorplttorn. Sfärens reltiv permittivitet ε r > 1. Q 3.5 Krften på den dielektrisk sfären blir () noll. (b) riktd från kondenstorn (rkt åt höger). (c) riktd mot kondenstorn (rkt åt vänster). (d) i någon nnn riktning 3.6 Om sfären förflytts åt höger kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. 3.7 Om sfären förflytts åt vänster kommer kpcitnsen tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. --------------------------------------------------------------------- 3.8 I en sling som bockts i rät vinklr enligt figuren cirkulerr en ström i pilens riktning. Enhetsriktningen för det mgnetisk dipolmomentet blir 2 () 1 (2ˆx +3ŷ +6ẑ) (d) 1 ( 2ˆx 6ŷ 3ẑ) (g) 1 ( 6ˆx 2ŷ 3ẑ) 7 7 7 (b) 1 (3ˆx 6ŷ +2ẑ) 7 (c) 1 (6ˆx +2ŷ +3ẑ) 7 (e) 1 ( 6ˆx +3ŷ +2ẑ) 7 (f) 1 ( 3ˆx 2ŷ +6ẑ) 7 (h) 1 (2ˆx 3ŷ +6ẑ) 7 (i) 1 (3ˆx +6ŷ +2ẑ) 7 --------------------------------------------------------------------- x y 3 () (b) 3.9 Figur () beskriver en homogent lddd cirkulärcylindrisk stv med lddningen Q kring vilken det befinner sig en koxiellt centrerd homogent lddd ring med totl lddningen +Q. Påstorvstånd r är den elektrisk potentilen V 1. Vd blir l? rl 3.1 Figur (b) beskriver sex punktlddningr plcerde så tt de bildr hörnen i en regelbunden hexgon. Lddningrn hr smm styrk men omväxlnde tecken enligt figur (b). På storvstånd r gäller för det elektrisk fältet tt E 1. Vd blir l? rl
Uppgift 4. En pltt med godtycklig form på ren hr höjden h och den konstnt polristionen P = P ˆn i normlriktningen ˆn. Antg tt h övrig dimensioner, så tt plttn kn nses vr tunn. r Vis tt för vstånd h från plttn kn den elektrisk potentilen uttrycks som V (r) = P h Ω, där Ω är den rymdvinkel som ε 4π plttn upptr sett ifrån punkten r! Ledning: Plttn kn ses som en yttäthet v elektriskt dipolmoment. h P, ˆn Ω Uppgift 5. Inuti en lång rk strömförnde tråd med cirkulärt tvärsnitt hr det uppstått en defekt i form v ett sfäriskt hålrum, med rdien. Hålrummet är centrert kring trådens symmetrixel, som smmnfller med -xeln. Om hålrummets rdie är betydligt minde än trådens rdie blir strömtätheten [ ( J(r) =J ẑ 3 r 3 cos θˆr + 1 )] sin θˆθ, r > 2 och noll för r<(i hålrummet). J ẑ är strömtätheten på stortvstånd från hålrummet. Permebiliteten är μ överllt. Bestäm mgnetfältet B inuti tråden (även inuti hålrummet)! Uppgift 6. Hlvklotet, enligt figuren, hr mgnetiseringen ( ) M(r) =M 1 r2 2 ẑ Bestäm mgnetfältet B i origo! M
Tentmen TEN1 214 6 2, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Svr och förslg till lösningr. Uppgift 1. Ett homogent lddt sfäriskt skl ger inget inre fält. Således ger inte sfärern någr resulternde krfter på vrndr, sålängeden minde sfären befinner sig helt och hållet inuti den större. Utn tt behöv utför något rbete kn vi centrer sfärern och beräkn energin för det fllet. Guss lg ger tt sfärerns yttre fält blir punktlddningsfält. Superposition v fälten ger tt : r<,r>3 E = Q 4πε r ˆr 2 : <r<3 Fältenergitätheten w e = ε E 2 Q 2 = 2 32π 2 ε r 4. Rymdelementet dτ =4πr2 dr 3 Svr: elektrosttisk energin W e = w e dτ = Q2 dr 8πε r 2 = Q2 12πε Uppgift 2. Medelst speglingsmetoden fås en spegld hlvsfär smt en kompenstionslddning i origo. Eftersom systemets totl lddning är noll kn momentpunkten väljs godtyckligt. Vi väljer origo, vrigenom kompenstionslddningen inte ger något bidrg till dipolmomentet. Låt symmetrixeln smmnfll med -xeln. Hlvsfären hr ytlddningstätheten σ = Q. Ett ytelement i form v en koxiellt plcerd ringformd rems får lddningen dq = σ 2πb sin θ bdθ = Q sin 2πb2 θdθ. dq ger en spegld ring med lddningen dq s = dq b = Q b sin θdθ och med periferin på vståndet 2 /b från origo. Resulternde dipolmomentet blir i -led, i vilken momentrmrn projicers med fktorn cos θ. Bidrget till dipolmomentet blir dp = (dq 2 ) ) b+dq s cos θẑ = Q (b 3 b b 2 ẑ sin θ cos θdθ π/2 sin θ cos θdθ = 1 ) Qb Svr: p = (1 3 2 2 b 3 ẑ Uppgift 3. 3.1: (b), 3.2: (f), 3.3: (), 3.4: (c), 3.5: (c), 3.6: (c), 3.7: (c), 3.8: (g), 3.9: l = 3, 3.1: l =4 Uppgift 4. Vi integrerr P ihöjdled och får tt yttätheten v dipolmoment blir p s = P h. Ett ytelement d får dipolmomentet dp(r )=p s d = P hˆn d. Uttrycket för dipolpotentilen ger tt V (r) = 1 dp(r ) ˆR 4πε R 2 = P h ˆn ˆR 4πε R 2 d = {ˆn d =d } = P h ˆR 4πε S R 2 d. ˆR R 2 d =dωär projiceringen och normeringen v vektoriell ytelementet d till enhetssfären, dvs den differentiell rymdvinkel som d upptr sett ifrån r. Således, V (r) = P h 4πε dω = P h ε Ω 4π, V.S.V.
Uppgift 5. Lägg in en koxiell cirkulär Ampèresling med rdien r sin θ. Längs med slingn blir mgnetfältet B = B ϕ (r, θ) ˆϕ(ϕ) För r>kommerden klottformde ytn till slingn tt pssers v strömmen I = J r d = =2πr 2 θ { ẑ = ˆr cos θ ˆθ } sin θ ( ) ) J 1 3 r 3 cos θ sin θ dθ =2πJ (r 2 3 sin 2 θ r 2 r θ För r<blir I =. Ampères cirkultionslg ger tt 2πr sin θb ϕ = μ I, vilket ger Svr: B = μ ) J (r 3 2 r 2 sin θ ˆϕ för r>och B = för r<. Uppgift 6. ẑ = ˆr cos θ ˆθ sin θ M ϕ =ochttm r och M θ är ϕ-oberoende. Bundn strömtätheten J b = M = 1 r [ (rmθ ) r M ] r ˆϕ = 1 θ r [ M (1 3r2 2 ) sin θ + M (1 r2 2 ) ] sin θ r ˆϕ =2M sin θ ˆϕ 2 M = pådenhlvsfärisk ytn och M ˆn = pådenplnytn bundn ytströmtätheten K b =. Biot-Svrts lg: B(r) = μ J b (r ) ˆR 4π R 2 dτ. r = R = r = ẑ cos θ ŝ sin θ ˆϕ ˆR = ẑ sin θ ŝ cos θ. Endst ŝ beror v ϕ och ger inget bidrg efter integrtionen i ϕ -led. B() = μ 4π 2M 2 2π = μ M 2 ẑ r 2 dr r dr π/2 π/2 sin θ dθ r ẑ sin θ sin θ r 2 ( 1 cos 2 θ ) sin θ dθ = μ M 2 ẑ 2 2 2 3 Svr: B() = μ M ẑ 3
Tentmen TEN1 214 8 19, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen Formelsmling teoretisk elektroteknik BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) Vrje uppgift kn bidr med mximlt 1 poäng. Godkänt grnters på 3poäng. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Använd inte rödpenn och skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. Uppgiftern 1-2 & 4-6: Uppställd smbnd skll motivers. Bristfällig motiveringr liksom lösningr som är svår tt följ kn medför poängvdrg. Uppgift 3: Endst svr krävs. Uppgift 1 Den här uppgiften är utbytbr mot kontrollskrivningens Uppgift 1. En sfärisk yt med rdien 3 hr den totl lddningen Q jämnt fördeld över ytn. En sfärisk yt med rdien hr den totl lddningen Q jämnt fördeld över ytn. Den mindre sfären är plcerd utnför den större såttsfärerns ytor tngerr vrndr. Bestäm systemets elektrosttisk energi! Uppgift 2 Den här uppgiften är utbytbr mot kontrollskrivningens Uppgift 2. En metllsfär med rdien hr den totl lddningen Q. Ovnpå metllsfären är det ställt ett sfäriskt skl med rdien b och den totl lddningen Q, jämnt fördeld över sklets yt. Förhållndet melln och b är godtyckligt. Bestäm systemets elektrisk dipolmoment!
Uppgift 3 Vrje deluppgift kn ge 1 poäng. Ange svrslterntiv eller efterfrågt numeriskt värde. All delsvren skll smmnställs på ett seprt bld (nvänd inte tentmensbldet) och vr nog med tt nge vilken deluppgift vrje svr vser. --------------------------------------------------------------------- I ppperets pln hr två elektrisk dipoler sin plceringr och riktningr på dipolmomenten enligt figuren. 3.1 Krften verknde på p 2 hr komposnter riktde enligt y x p 1 p 2 () +ˆx &+ŷ (b) +ˆx & ŷ (c) ˆx &+ŷ (d) ˆx & ŷ (e) +ŷ &+ẑ (f) +ŷ & ẑ (g) ŷ &+ẑ (h) ŷ & ẑ (i) +ẑ &+ˆx (j) +ẑ & ˆx (k) ẑ &+ˆx (l) ẑ & ˆx 3.2 Vridmomenten på dipolern, med vseende på ders respektive mittpunkter, blir riktde enligt () N 1 +ˆx, N 2 +ˆx (b) N 1 ˆx, N 2 ˆx (c) N 1 +ŷ, N 2 +ŷ (d) N 1 ŷ, N 2 ŷ (e) N 1 +ẑ, N 2 +ẑ (f) N 1 ẑ, N 2 ẑ (g) N 1 +ˆx, N 2 ˆx (h) N 1 ˆx, N 2 +ˆx (i) N 1 +ŷ, N 2 ŷ (j) N 1 ŷ, N 2 +ŷ (k) N 1 +ẑ, N 2 ẑ (l) N 1 ẑ, N 2 +ẑ --------------------------------------------------------------------- En mgnetisk krets består v järn med hög reltiv permebilitet. Kretsen drivs v en homogent mgnetiserd permnentmgnet smt en strömförnde lindning på ett v benen. Mgnetiseringen och strömmen hr riktningr enligt figuren. 3.3 För den vänstr slingn i kretsen gäller tt H dl M μ r 1 I () =. (b). (c)knejvgörs. 3.4 För den högr slingn i kretsen gäller tt H dl () =. (b). (c)knejvgörs. 3.5 Ett vrv runt i den yttre delen v kretsen (dvs ej vi mittenbenet) gäller tt B dl () =. (b). (c)knejvgörs. ---------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------- En luftfylld plttkondenstor, med likdn och prllell plttor, är nsluten till spänningen U. Utnför 2 V =+ U kondenstorn finns en homogen dielektrisk sfär med ε r > 1 sitt centrum i symmetriplnet melln kondenstorplttorn. Sfärens reltiv permittivitet ε r > 1. V = U 2 3.6 Krften på den dielektrisk sfären blir () noll. (b) riktd från kondenstorn (rkt åt höger). (c) riktd mot kondenstorn (rkt åt vänster). (d) i någon nnn riktning 3.7 Om sfären förflytts åt höger kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. 3.8 Om sfären förflytts åt höger kommer kpcitnsen tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. --------------------------------------------------------------------- () (b) Figurern beskriver lddningr med smm styrk och omväxlnde tecken. All lddningr hr smm vstånd till sin närmste grnnr. 3.9 För lddningrn i figur () gäller på storvstånd r tt elektrisk fältets belopp E 1. Vd blir l? rl 3.1 För lddningrn i figur (b) gäller på storvstånd r tt elektrisk potentilen V 1. Vd blir l? rl
Uppgift 4 En pln yt belgd med den konstnt ytlddningstätheten σ hr ytnormlen ẑ. Ytns rndkurv hr en godtycklig form. r Vis tt den med ytnormlen prllell elektrisk fältkomponenten E kn skrivs E (r) = σ ε Ω 4π, ẑ Ω där Ω är rymdvinkeln som ytn upptr sett ifrån fältpunkten r! σ Uppgift 5 På prmeterform ges formen på en pln sling som s(ϕ) = 1+5 ϕ /π, y s ϕ I x där π ϕ π. Slingn för strömmen I enligt figuren. Bestäm mgnetfältet B i origo! Uppgift 6 En mycket lång cirkulär stv med rdien hr i sin längdriktning den homogen mgnetiseringen M = M ẑ.längs med en sträck h hr stven frästs ur till ett hlvcirkelformt tvärsnitt; se figuren. M Bestäm mgnetfältet B, såväl inuti som utnför stven, på vstånd, h från urfräsningen! h
Tentmen TEN1 214 8 19, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Svr och förslg till lösningr. Uppgift 1 Utnför sig själv ger de respektive sfärern upphov till punktlddningsfält med tillhörnde potentiler. Summn v sfärerns egenenergier blir W 1 = 1 [ ] Q Q 2 4πε 3 Q Q = Q2 4πε 6πε. När de är åtskild så påverkr sfärern vrndr som två punktlddningr i respektive centrum. Arbetet för tt smmnför sfärern till centrumvståndet 4 blir W 2 = 4πε 4 = 16πε. Svr: elektrosttisk energin W e = W 1 + W 2 = 5Q2 48πε Q2 Q2 Uppgift 2 Det homogent lddde sklet ger ett yttre punktlddningsfält, vrs påverkn på metllsfären kn beskrivs medelst en spegellddnig q s = Q + b påvståndet d s = 2 från metllsfärens centrum smt en + b kompenstionslddning i metllsfärens centrum. Eftersom systemets totl lddning är noll kn momentpunkten väljs godtyckligt. Vi väljer centrum v metllsfären, vrigenom kompenstionslddningen inte ger något bidrg till dipolmomentet. Låt symmetrixeln smmnfll med -xeln. [ ] 3 Svr: p = Q ( + b) ẑ + q s d s ẑ = Q + b ( + b) 2 = Qb b2 +3b +3 2 ( + b) 2 ẑ Uppgift 3 3.1: (d), 3.2: (e), 3.3: (), 3.4: (b), 3.5: (c), 3.6: (c), 3.7: (b), 3.8: (b), 3.9: l = 4, 3.1: l =2 Uppgift 4 Coulombs lg ger tt E(r) = 1 σ(r ) ˆR 4πε R 2 d = σ ˆR 4πε R 2 d E (r) =ẑ E(r) = σ ẑ ˆR 4πε R 2 d = σ ˆR 4πε R 2 (ẑd )={ẑd =d } = σ 4πε ˆR R 2 d, eftersom ẑ är ytnorml till ytelementen. ˆR R 2 d =dωär projiceringen och normeringen v vektoriell ytelementet d till enhetssfären, dvs den differentiell rymdvinkel som d upptr sett ifrån r. Således, E (r) = σ dω = σ Ω 4πε ε 4π, V.S.V.
Uppgift 5 Biot-Svrts lg: B(r) = μ I dl ˆR 4π R 2. r =, r = s ŝ R = s ŝ B() = μ I dl ŝ 4π s 2 dl =dr =d [ s (ϕ ) ŝ (ϕ ) ] [ ] ds = dϕ ŝ + s ˆϕ dϕ dl ŝ = s ẑdϕ Slingns övre och undre hlv ger lik stor bidrg. Vi får B() = μ I 2π ẑ π dϕ s (ϕ ) = μ I 2πẑ π (1+5ϕ /π)dϕ = 7μ I 4 ẑ = Svr Uppgift 6 Vi nvänder superposition och delr upp i en cirkelformd lång stv med mgnetiseringen M ẑ smt en hlvcirkelformd stv med längden h och mgnetiseringen M ẑ. Den cirkelformde stven ger upphov till de bundn strömtäthetern J b = M =, inuti,smt K b = M ŝ = M ˆϕ, på ytn. Griffiths Exempel 5.9 ger tt fältbidrget blir μ M ẑ inuti stven och utnför stven. Den hlvcirkelformde stven pproximers som en dipol med momentet m = M ẑ 1 2 π2 h. { Svr: B = μ M 2 h ( ) μ M ẑ, inuti stven 8r 3 2cosθˆr +sinθˆθ +, utnför stven
Tentmen TEN1 215 6 9, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen: Formelsmling teoretisk elektroteknik BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) Vrje uppgift kn bidr med mximlt 1 poäng. Godkänt grnters på 3 poäng. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Använd inte rödpenn och skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. Uppgiftern 1-2 & 4-6: Uppställd smbnd skll motivers. Bristfällig motiveringr liksom lösningr som är svår tt följ kn medför poängvdrg. Uppgift 3: Endst svr krävs. Uppgift 1. Den här uppgiften är utbytbr mot Uppgift 1 från kontrollskrivningen 1542. U x d 1 d d 2 En cell Så kllde kmkondenstorer med rörlig kmmr nvänds i elektromeknisk ställdon där mn vill tt krften i hög grd blir oberoende v ställdonets läge. Figuren till vänster visr en cell i kmkondenstor och figuren till höger visr den fullständig kondenstorn, bestående v N celler. Kondenstorn hr djupet h (inåt i ppperet) och i en enskild cell gäller för vstånden tt d d 1,d 2,x, x. () Bestäm kpcitnsen för hel kondenstorn! (6 p) Ledning: Bortse ifrån rndfenomen. (b)kondenstorn nsluts till en spänningskäll som upprätthåller den konstnt potentilskillnden U melln kondenstorns kmmr. Bestäm den horisontell komponenten (F x ) v krften verknde på den högr kmmen, som funktion v isärskjutningsvståndet x och kommenter resulttet! (4 p)
Uppgift 2. Den här uppgiften är utbytbr mot Uppgift 2 från kontrollskrivningen 1542. En metllsfär med rdien hr den totl lddningen Q. Sfären är centrerd i origo. Tngentiellt ut från sfärens topp utgår en stv med den totl lddningen Q, jämnt fördeld över stvens längd 3; se figuren. Bestäm konfigurtionens elektrisk dipolmoment! Ledning: Del upp stven i differentiell delsträckor. Q Q 3 x Uppgift 3. Vrje deluppgift kn ge 1 poäng. Ange svrslterntiv. All delsvren skll smmnställs på ett seprt bld (nvänd inte tentmensbldet) och vr nog med tt nge vilken deluppgift vrje svr vser. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Två likdn metllsfärer hr de totl lddningrn ±Q. Mitt emelln metllsfärern hr det plcerts ett klot med den homogen och föreskrivn polristion P så tt P är vinkelrät mot symmetrilinjen genom metllsfärern. Q P +Q 3.1 Om det polriserde klotet(med bibehållen riktning) förflytts rkt åt vänster kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. 3.2 Om det polriserde klotet (med bibehållen riktning) förflytts rkt nedåt kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. 3.3 Om det polriserde klotet (på stället) roters 9 medurs kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. 3.4 Om det polriserde klotet (på stället) roters 9 moturs kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Två likdn metllsfärer hr bägge de totl lddningrn Q. Mitt emelln metllsfärern hr det plcerts ett dielektriskt klot med den homogen reltiv permittiviteten ε r > Q ε r Q 1. 3.5 Om det dielektrisk klotet förflytts horisontellt kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. 3.6 Om det dielektrisk klotet förflytts vertiklt kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Två pln cirkulär strömslingor befinner sig i xy-plnet centerde i origo. Den stor slingn hålls hel tiden fixerd. 3.7 Om slingorn hr smordnde strömriktningr är jämviktsläget som den lill slingn befinner sig i () stbilt. (b) stbilt om rörelsefriheten begränss till i x-led och y-led. (c) stbilt om rörelsefriheten begränss till enbrt i -led. (d) lbilt. 3.8 Om slingorn hr motriktde strömmr är jämviktsläget som den lill slingn befinner sig i () stbilt. (b) stbilt om rörelsefriheten begränss till i x-led och y-led. (c) stbilt om rörelsefriheten begränss till enbrt i -led. (d) lbilt. y x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - En mgnetisk krets består v järn med hög reltiv permebilitet (µ r 1) i serie med ett luftgp. Kretsen drivs v en homogent mgnetiserd permnentmgnet med längden l m. l m M 3.9 Ett vrv runt i kretsen gäller tt H dl () =. (b) = Ml m. (c) > Ml m. (d) kn ej vgörs. 3.1 Ett vrv runt i kretsen gäller tt B dl () =. (b) = µ Ml m. (c) > µ Ml m. (d) kn ej vgörs.
Uppgift 4. En brick med innerdien, ytterrdien 2 och tjockleken h är centrerd i origo och orienterd med symmetrixeln smmnfllnde med -xeln. Brickn är tunn, dvs h. Brickn, som hr den rdiellt riktde polristionen P(r ) = P 2 (s )(2 s )ŝ, P h ω 2 brings tt roter runt sin symmetrixel med den konstnt vinkelhstigheten ω = ωẑ. Bestäm den elektrisk potentilen V smt det mgnetisk fältet B i brickns mittpunkt (origo)! Ledning: I det här fllet påverks inte P v tt brickn roterr. Uppgift 5. Två prllell och mycket lång rk ledre med inbördes vståndet 2 för lik stor strömmr I i y-riktningen, enligt figuren. Det gäller tt = 1m och tt I = 1A. () Bestäm uttrycket för det mgnetisk fältet B i x-plnet! (6 p) I I x (b) Bestäm längs med -xeln de punkter där det mgnetisk fältet är strkst till beloppet och nge det numerisk värdet för fältet i dess punkter! (3 p) (c)antg tt de två ledrn utgör en förenkld modell v en krftledning. Osquld är på utflykt och ställer sig med huvudet på vståndet h = 6m mitt under ledrn. Jämför styrkn på det fält krftledningen utsätter Osqulds huvud för med styrkn på det jordmgnetisk fältets horisontell komponent, vilken är på cirk 2 ñt! (1 p) h Uppgift 6. Vid gränsytn melln två linjär, isotrop och homogen mgnetisk mteril böjs de mgnetisk fältlinjern enligt figuren. Vis tt tnθ 1 = µ 1, förutstt tt gränsytn inte innehåller någon tnθ 2 µ 2 fri ytströmtäthet!
Tentmen TEN1 215 6 9, kl 8:-13: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Svr och förslg till lösningr. Uppgift 1. () De störst bidrgen till kpcitnsen fås där stor ytor befinner sig när vrndr. Om vi bortser ifrån rndfenomen får vi inom vrje cell två plttkondenstorer med kpcitnsern C 1 = ε h( x) d 1, C 2 = ε h( x) d 2 Eftersom dess är prllellkopplde får vrje cell kpcitnsen C cell = C 1 +C 2. För hel kondenstorn är smtlig N celler prllellkopplde, vilket ger oss [ 1 Delsvr: C = NC cell = N (C 1 +C 2 ) = ε Nh( x) + 1 ] d 1 d 2 (b) Enligt virtuell rbetets princip (Griffiths vsnitt 4.4.4) blir krften i x-led Delsvr: F x = U2 2 dc dx = ε NhU 2 [ 1 + 1 ] 2 d 1 d 2 dvs kmmrn drs mot vrndr och krften blir oberoende v läget x. Uppgift 2. Den totl lddningen är noll så dipolmomentet p är oberoende v momentpunkten. Vi väljer origo, så tt vi kn strunt i kompenstionslddningen som hmnr där vid spegellösningen v problemet. Vid punkten r = xˆx+ẑ bären kortsträckdx vstven lddningen dq = Q 3 dx. Vidre hr vi tt r = x 2 + 2,ˆr = xˆx+ẑ x2 + 2. dq hr spegellddningen dq s = r dq = Q 3 x2 + 2dx, belägen i spegelpunkten r s = 2 r ˆr = 2 (xˆx+ẑ) x 2 + 2. Ders bidrg till dipolmomentet blir [ ] dp = rdq+r s dq s = Q xˆx+ẑ 3 (xˆx+ẑ) dx 3 (x 2 + 2 ) 3/2 p = dp = Q [ ] 3 xˆx+ẑ 3 (xˆx+ẑ) dx = Q [ x 2 3 (x 2 + 2 ) 3/2 3 2 ˆx+xẑ + 3 x2 + ˆx 2 ] 3 x 2 x2 + 2ẑ [ = Q ] [ 2ˆx+ 3 1 3 ˆx 3ẑ + ˆx 3 2ˆx 2 ẑ = Q 3 + ẑ ] = Svr 2 dq s dq r 3 x Uppgift 3. 3.1: (), 3.2: (), 3.3: (c), 3.4: (b), 3.5: (b), 3.6: (c), 3.7: (c), 3.8: (b), 3.9: (), 3.1: (c)
Uppgift 4. Polristionen ger upphov till den bundn rymdlddningstätheten ρ b (r ) = P = 1 (s P s ) s s = P ( ) ( 2 s s 2 2 s +3s 2 s 3 2 = P s 6 ) + 3s 2 smt ing bundn ytlddningstätheter på ytorn. Eftersom brickn är tunn (h ( ) kn den, om V och B söks i origo, pproximers som ytlddningstätheten σ(r ) = ρ b h = P h 2 s 6 ) + 3s 2 belägen i plnet =. σ påverks inte v tt brickn roterr men ger då upphov till ytströmtätheten K = σv, där lokl hstigheten v = ω r = (ωẑ) ( s ŝ ) = ωs ˆϕ K(r ) = σ(r )ωs ˆϕ Elektrisk potentilen blir V(r) = 1 σ(r ) 4πε R d och mgnetfältet blir B(r) = µ K(r ) ˆR 4π R 2 d, där r =, r = s ŝ och R = r r. Således, Delsvr: V() = 1 4πε = P h 2ε Delsvr: B() = µ 4π 2 2π ds ( 2ln2 6+ 9 2 2 = µ P hω 4π 2π ds s dϕ 1 2 s dϕ 1 ( 2 s P h ) = P h ε 2π ds dϕ ẑ s 6 ) + 3s ) 2 ( ln2 3 4 s 2 ωs ˆϕ ( ŝ ) ( 2 P h ) ( 2 s 6 + 3s 2 = { smm integrl igen } = µ P hω ( ln2 3 4 = P h 2ε 2 s 6 ) + 3s 2 = µ P hωẑ 2 ) 2 ( 2 s 6 ) + 3s 2 ds ( 2 s 6 ) + 3s 2 ds
Uppgift 5. () Vi nvänder FS (29) för tt beräkn B-fältet från en lång rk tråd. Ledrn är belägn vid r 1 = ˆx+yŷ smt r 2 = ˆx+yŷ. Enhetsriktningen, för bägge strömmrn, blir û = ŷ. Fältet söks vid r = xˆx+ẑ. û (r r 1 ) = ˆx (x+)ẑ û (r r 1 ) 2 = 2 +(x+) 2 û (r r 2 ) = ˆx (x )ẑ û (r r 2 ) 2 = 2 +(x ) 2 [ ] Delsvr: B(xˆx+ẑ) = µ I ˆx (x+)ẑ 2π 2 +(x+) 2 + ˆx (x )ẑ 2 +(x ) 2 (b) På -xeln är x = och vi får B(ẑ) = µ I π Vi hr tt B x är noll för ± och db x d = µ I π Delsvr: B(ẑ) mx = µ I = 2 ñt 2π 2 + 2 ˆx (c) Delsvr: Genom Osqulds huvud fås B( hẑ) = än jordmgnetisk fältets horisontlkomponent. 2 2 ( 2 + 2 2 = för = ± = ±1m ) µ Ih π( 2 +h 2 6 ñt, vilket är c tre gånger svgre ) Uppgift 6. I mterilen uppfyller B- och H-fälten smbndet B = µh. Låt ˆn vr enhetsnormlen till gränsytn. För en fältlinje gäller för dess lutningsvinkel θ tt tnθ = B tng B norm = ˆn B = µ ˆn H tnθ ˆn B ˆn B µ = ˆn H ˆn B ˆn B är lltid kontinuerlig och utn fri ytströmtäthet är även ˆn H kontinuerlig. Således fås tt tnθ 1 µ 1 = tnθ 2 µ 2 tnθ 1 tnθ 2 = µ 1 µ 2 V.S.V.
Tentmen TEN1 215 8 18, kl 14:-19: EI124 TEORETISK ELEKTROTEKNIK F Exmintor: Mrtin Norgren, tel. 79 741 Hjälpmedel: Endst följnde hjälpmedel är tillåtn på tentmen: Formelsmling teoretisk elektroteknik BETA Mthemtics Hndbook (Råde & Westergren) Vrje uppgift kn bidr med mximlt 1 poäng. Godkänt grnters på 3 poäng. Läs följnde noggrnt: Nmn och personnummer på vrje bld. Endst en uppgift per bld - fler uppgifter på smm bld ogiltigförklrs. Använd inte rödpenn och skriv endst på frmsidn - skrift på bksidn bekts ej. Uppgiftern 1-2 & 4-6: Uppställd smbnd skll motivers. Bristfällig motiveringr liksom lösningr som är svår tt följ kn medför poängvdrg. Uppgift 3: Endst svr krävs. Uppgift 1. Den här uppgiften är utbytbr mot Uppgift 1 från kontrollskrivningen 1542. En sfärisk kondenstor består v tre koncentrisk ledre med rdier enligt figuren. De inre och yttre ledrn är jordde till potentilen V =. Mellnledrenhålls på den konstntpotentilen V = U. V = U Utifrån tt rdiern och b är givn, bestäm rdien r så tt kondenstorns kpcitns blir miniml och nge uttrycket för den miniml kpcitnsen. r b Ledningr: Kpcitnsen definiers som mellnledrens totl lddning genom spänningen U. Uppgift 2. Den här uppgiften är utbytbr mot Uppgift 2 från kontrollskrivningen 1542. I ett mycket stort metllpln finns en upphöjning i form v en hlvsfär med rdien. Mitt på upphöjningen står en stv med längden och lddningen Q, jämnt fördeld över stvens längd. Q Bestäm konfigurtionens elektrisk dipolmoment! Ledning: Del upp stven i differentiell delsträckor.
Uppgift 3. Vrje deluppgift kn ge 1 poäng. Ange svrslterntiv eller efterfrågt numeriskt värde. All delsvren skll smmnställs på ett seprt bld (nvänd inte tentmensbldet) och vr nog med tt nge vilken deluppgift vrje svr vser. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Två likdn klot hr bägge den totl lddningen Q jämnt fördeld över volymern. Mitt emelln kloten hr det plcerts ett klot med den homogen och föreskrivn polristionen P så tt P är vinkelrät mot symmetrilinjen genom kloten. Q P Q 3.1 Om det polriserde klotet (med bibehållen polristionsriktning) förflytts rkt åt vänster kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. 3.2 Om det polriserde klotet (med bibehållen polristionsriktning) förflytts rkt nedåt kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. 3.3 Om det polriserde klotet (med bibehållen polristionsriktning) förflytts rkt uppåt kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. 3.4 Om det polriserde klotet (på stället) roters 9 moturs kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Två likdn klot hr de totl lddningrn ±Q jämnt fördelde över volymern. Mitt emelln kloten hr det plcerts ett dielektriskt klot med den homogen reltiv permittiviteten ε r > 1. +Q ε r Q 3.5 Om det dielektrisk klotet förflytts horisontellt kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. 3.6 Om det dielektrisk klotet förflytts vertiklt kommer den elektrosttisk energin tt () förbli densmm. (b) minsk. (c) ök. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Två likdn cirkulär strömslingor är plcerde koxiellt med vrndr. Slingorn för motriktde strömmr v smm styrk. 3.7På stort vstånd från slingorn är vektorpotentilen A r l. Ange värdet på l! 3.8På stort vstånd från slingorn är mgnetisk fältet B r l. Ange värdet på l! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - En cirkulär strömförnde sling hr centrerts koxiellt med en cylindrisk stv v järn med reltiv permebiliteten µ r. 1 2 µ r 3.9För cirkultionsintegrlen I B = B dl, v B-fältet, gäller för de två cirkultionsbnorn 1 och 2 i figuren tt: () I B1 > I B2 ; (b) I B1 < I B2 ; (c) I B1 = I B2. 3.1För cirkultionsintegrlen, I H = H dl, v H-fältet gäller för de två cirkultionsbnorn 1 och 2 i figuren tt: () I H1 > I H2 ; (b) I H1 < I H2 ; (c) I H1 = I H2. Uppgift 4. En cylinderformd permnentmgnet med rdien och längden 2h är plcerd koxiellt med -xeln längs med sträckn h. Cylindern hr mgnetiseringen M = M hẑ. Bestäm mgnetfältet B på -xeln på stor vstånd från cylindern, dvs då,h, och förklr beroendet v! Ledning: pproximer integrnden innn integrering utförs. Uppgift 5. 2I I b I x B? Bilden ovn till vänster visr en krftledning för trefs växelström. Nätfrekvensen, 5 H, är så pss låg tt det omgivnde mgnetfältet kn beräkns från strömmrns momentnvärden medelst mgnetosttisk metoder. När strömmen i mittenledren ntr sitt toppvärde fås de momentn strömmrn enligt figuren. ()Bestäm det mgnetisk fältet B, som funktion v x och! (6 p) (b)härled ett pproximtivt uttryck för B giltigt på stor vstånd s = x 2 + 2 från krftledningen, dvs då s,b! (4 p) Ledning: Serieutveckl resulttet från () och behåll termer upp till först ordningen i och b. Uppgift 6. Vid gränsytn melln två linjär, isotrop och homogen dielektrisk mteril böjs de elektrisk fältlinjern enligt figuren. θ 1 E 1 Vis tt tnθ 1 = ε 1, förutstt tt gränsytn inte innehåller någon tnθ 2 ε 2 fri ytlddningstäthet! E 2 θ 2 ε 1 ε 2