SAMMANFATTNING TAMS65

SAMMANFATTNING TAMS65 Matematisk statistik, fortsättigskurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 016 Seast reviderad: 016-06-01 Författare: Viktor Cheg

Iehållsförteckig Itroduktio till statistikteori... 4 Modellerig... 4 Lägesmått för stickprov... 4 Spridigsmått för stickprov... 4 Stadardiserad ormalfördelig... 4 Regler för ormalfördelig... 5 Egeskaper hos ormalfördelade stokastiska variabler... 5 Vätevärde, varias och stadardavvikelse för X (oberoede... 5 Räkeregler för vätevärde och varias för oberoede s.v.... 5 Räkeregler för s.v.... 5 Puktskattigar... 6 Vätevärdesriktighet (v.v.r... 6 Kosistet skattig... 6 Effektivitet... 6 Skattig av vätevärde och varias... 7 Skattig av μ... 7 Skattig av σ... 7 Mometmetode (MM... 8 Mista-kvadrat-metode (MK... 8 Maximum-likelihood-metode (ML... 9 ML-skattigar vid ormalfördelig... 9 på medelfel för e skattig... 9 Kofidesitervall... 10 Kostruktio av kofidesitervall... 10 Esidigt kofidesitervall, simulta kofidesgrad... 10 Kofidesitervall för μ... 11 Kofidesitervall för σ eller σ... 1 Modellerig av parvisa skillader... 13 Kofidesitervall vid två stickprov... 13 Jämförelse av variaser... 14 Normalapproximatio... 15 Biomialfördelig kofidesitervall för p... 15 Biomialfördelig kofidesitervall för p1 p... 16 Normalapproximatio via cetrala gräsvärdessatse... 17 Avädig av CGS... 17 Hypergeometrisk fördelig kofidesitervall för p... 18 Sida av 4

Hypotesprövig... 19 E- och tvåsidiga test... 19 Slutsatser frå kofidesmetode... 0 Hypotesprövig uta ormalapproximatio... 0 Jämförelse mella C-metode och p-metode... 0 Hypotesprövig med ormalapproximatio... 1 Normalapproximatio - allmät... 1 Hypotesprövig vid ett stickprov σ käd... Hypotesprövig vid ett stickprov σ okäd... Hypotesprövig vid ett stickprov H0: σ = σ0... Hypotesprövig vid flera stickprov μi... 3 Hypotesprövig vid flera stickprov σi... 3 Stokastiska vektorer... 4 Flerdimesioell ormalfördelig... 4 Kovariasmatris... 4 Regressiosaalys... 4 Sida 3 av 4

Itroduktio till statistikteori Defiitio Beteckig Betydelse Populatio N Samtliga möjliga observatioer Stickprov Utvalt atal ur populatio Observatio x x är ett givet tal, är stickprovet har tagits. Parameter p p är e okäd parameter som ska skattas Puktskattig p Ett tal som är e skattig av p Itervallskattig Kofidesitervall Hypotesprövig Sigifikastest Slumpmässigt stickprov I p Ett itervall som med e viss give säkerhet (% iehåller det okäda värdet p, t.ex. I p = (a b = [a b, a + b] Ställ upp hypotes att p < p 0, där 0 p 0 1 är ett givet tal. Pröva hypotes mha stickprovet, dvs. om stickprovets utseede stämmer överes med hypotese eller om hypotese ska förkastas. Ett slumpmässigt stickprov x 1,, x utgörs av observatioer av oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X Modellerig Verklighet Mätvärde x 1,,x Okäd kostat μ Modell Oberoede s.v. X 1,, X x 1,, x är observatioer av dessa s.v. Kostate μ är vätevärdet för X 1,, X Lägesmått för stickprov Medelvärde x = 1 x i = x 1 + x + + x Spridigsmått för stickprov Varias s = 1 1 (x i x Stadardavvikelse s = 1 1 (x i x Stadardiserad ormalfördelig Låt Φ(y vara (de fyrkatiga fördeligsfuktioe för Y~N(0,1 Låt X vara e s.v. med vätevärde μ och stadardavvikelse σ, dvs. X~N(μ,σ Då kallas Y = Χ μ e stadardiserad s.v. och Y~N(0,1 σ a μ P(a < X b = P ( σ < X μ b μ μ b μ μ μ = P (a < Y = Φ (b Φ (a σ σ σ σ σ σ Sida 4 av 4

Regler för ormalfördelig Atag att a > 0, b > 0 och Χ~N(0,1. Då gäller: Regel P(Χ a = = Φ( a = 1 Φ(a P(Χ > a = = 1 P(Χ a = 1 Φ(a P( a < Χ b = = Φ(b Φ( a = Φ(b (1 Φ(a = Φ(b + Φ(a 1 Egeskaper hos ormalfördelade stokastiska variabler X~N(μ, σ Y = ax + b Förutsättigar X~N(μ 1,σ 1 Y~N(μ,σ X och Y oberoede X 1,, X är oberoede X 1 ~N(μ 1, σ 1,, X ~N(μ,σ Resultat Y~N(a μ + b, a σ (Χ ± Y~N (μ 1 ± μ, σ 1 + σ ( a i Χ i + b ~N ( a i μ i + b, a i σ i 1 1 1 Vätevärde, varias och stadardavvikelse för X (oberoede Förutsättigar X 1,, X har alla samma vätevärde μ X 1,, X har alla samma varias σ X 1,, X har alla samma stadardavvikelse σ Resultat E[X ] = μ V(X = σ X ~N (μ, σ D(X = σ Räkeregler för vätevärde och varias för oberoede s.v. Vätevärde Varias E(aX + by + C = a E(X + b E(Y + C V(aX + by + C = a V(X + b V(Y Räkeregler för s.v. Diskret sv. Y = g(x E[Y] = E[g(X] = g(k p Χ (k Kotiuerlig sv. Y = g(x E[Y] = E[g(Χ] = g(x f Χ (x dx Varias V(X = E[X ] (E[X] k Sida 5 av 4

Puktskattigar Beteckig Betydelse θ obs θ Puktskattig av okäd parameter θ Är ett utfall av de s.v. θ (dvs. ett tal θ obs är e fuktio av mätdata x 1, x,, x Stickprovsvariabel Är e s.v. som beror av de s.v. X 1, X,, X θ obs = x 1000 = 0.35 θ = X 1000 E(θ Vätevärdet för fördelige av θ E(θ = E ( X 1000 V(θ Variase för fördelige av θ V(θ = V ( X θ(1 θ = 1000 1000 D(θ Stadardavvikelse för fördelige av p D(p = D ( X 1000 = θ(1 θ 1000 d(θ Medelfelet för θ obs d(θ = D(θ obs Numerisk skattig av osäkerhete i skattige θ obs d(θ = θ obs (1 θ obs = 1000 0.35(1 0.35 = 0.015 1000 Vätevärdesriktighet (v.v.r E puktskattig θ obs är vätevärdesriktig om: Dess tillhörade stickprovsvariabel θ har vätevärde θ Det förvätade utfallet av stickprovsvariabel θ är det saa värdet på θ E(θ = θ för alla värde som θ ka ata Kosistet skattig E puktskattig θ obs är kosistet om: P( θ θ > ε 0 då stickprovsstorleke Alterativt: E(θ = θ V(θ 0 då stickprovsstorleke Ju fler observatioer, desto midre blir felet För varje fixt θ som θ ka ata och för varje givet ε > 0 Vätevärdesriktighet Miskad varias (avvikelse frå det saa värdet Effektivitet E skattig θ 1 sägs vara e mer effektiv skattig ä θ om: θ 1,obs och θ,obs är vätevärdesriktiga skattigar θ 1 och θ uppfyller V(θ 1 < V(θ Midre varias bättre/mer effektiv skattig För alla θ som θ ka ata För alla θ som θ ka ata Sida 6 av 4

Skattig av vätevärde och varias Okäd parameter är atige vätevärde μ eller varias σ för de fördelig som stickprovet kommer ifrå Skattig av μ Beräkig Beskrivig Puktskattig Stickprovsvariabel Betrakta de s.v. X i som oberoede och likafördelade med vätevärde μ och stadardavvikelse σ μ obs = 1 x i = x μ = 1 X i = X Aväd stickprovsmedelvärdet som puktskattig Betrakta μ obs = x som e observatio av e s.v. μ = X E(μ = E ( 1 X i = 1 E ( X i = 1 μ = μ V(μ = V ( 1 X i = 1 V ( X i = 1 σ = σ Vätevärde E(μ = μ Vätevärdesriktig Varias V(μ = σ För stora ligger skattige trolige ära det rätta värdet μ Sats 11.1: Stickprovsmedelvärdet M = X är e vätevärdesriktig och kosistet skattig av μ. Skattig av σ Beräkig Beskrivig Puktskattig (σ obs = 1 1 (x i x Stickprovsvariabel (σ = 1 1 (X i X Betrakta de s.v. X i som oberoede och likafördelade med vätevärde μ och stadardavvikelse σ = s = S E(S = E ( 1 1 (X i X = σ Aväd stickprovsvariase som puktskattig Betrakta (σ obs = s som e observatio av e s.v. (σ = S Vätevärde E((σ = σ Vätevärdesriktig Sats 11.: Stickprovsvariase s är e vätevärdesriktig skattig av σ. OBS: Skattige σ obs = s = 1 1 (x i x är ite vätevärdesriktig! Sida 7 av 4

Mometmetode (MM Förutsättigar Ta fram E(X E(X = μ(θ Beskrivig μ(θ obs = x x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X Täthets- eller saolikhetsfuktio som beror av θ θ obs är MM-skattige av θ Q(θ atar sitt mista värde i θ obs dvs. μ(θ obs = x Amärkigar Fukar alltid att skatta med MM-metode! Dock ite ödvädigtvis alltid e bra skattig Förstamomet: μ 1 = E(X = 1 x 1 i = x Adramomet: μ = E(X = 1 x 1 i Mista-kvadrat-metode (MK Förutsättigar Beskrivig x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X E(X i = μ(θ V(X i = σ Bilda Q(μ(θ = Q(θ Q(θ = (x i μ(θ Söker mista fel/avvikelse miimera Q(θ dq dθ = 0 (x i μ(θ = 0 (x i μ(θ = 0 x i μ(θ = 0 μ(θ = 1 x i = x θ obs är MK-skattige av θ Q(θ atar sitt mista värde i θ obs dvs. μ(θ obs = x Amärkigar Miimum ty fuktioe Q(θ är strikt kovex Sida 8 av 4

Maximum-likelihood-metode (ML Förutsättigar Beskrivig Bilda likelihoodfuktioe L(θ L(θ = Maximera L(θ x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X Täthetsfuktio f(x; θ eller saolikhetsfuktio p(x; θ p(x i ; θ = p(x 1 ; θ p(x ; θ (diskret f(x i ; θ = f(x 1 ; θ f(x ; θ (kotiuerlig { Ofta lättare att maximera l L(θ ty summa istället för produkter Detta bevarar de optimala pukte θ obs Kalla l(θ = l L(θ dl dθ = 0 Betrakta θ som variabel och x i som kostat Lös med avseede på θ θ obs är ML-skattige av θ L(θ atar sitt största värde i θ obs Kotrollera maximum Amärkigar Säkerställ att θ obs verklige är ett maximum mha. d l < 0 dθ I allmähet: θ är kosistet och har goda asymptotiska egeskaper ML-skattigar vid ormalfördelig x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X, där X i ~N(μ, σ μ σ Resultat Okäd Käd μ = x Käd Okäd (σ = 1 (x i μ Okäd Okäd l μ = 0 l { σ = 0 μ = x { (σ = 1 (x i x på medelfel för e skattig X 1,, X är oberoede s.v X i ~N(μ, σ μ, σ är okäda Vill veta medelfel för skattig = stadardavvikelse för skattig. Svårt att ta fram stadardavvikelse direkt ka bero på okäd parameter (ofta σ. Därför: Ta fram eller skatta variase σ för skattige. Aväd D(X = V(X på framtage varias, så fås medelfelet Vi vet att e skattig av μ är μ = x. Vi vill veta medelfelet för dea skattig. E skattig av stadardavvikelse D(θ kallas medelfelet för θ och beteckas d = d(θ Vår skattig har stadardavvikelse D(M = D(X = σ, vilke beror på σ (som är okäd! Därför skattar vi äve variase σ med stickprovsvariase s och medelfelet blir: d(m = d(x = s Sida 9 av 4

Kofidesitervall Itervall I 1 α θ = (θ obs, lower boud, θ obs, upper boud där: o θ obs, lower boud = a 1 (x 1,, x o θ obs, upper boud = a (x 1,, x o α är saolikhete för fel Och sådat att o P(θ obs, lower boud < θ < θ obs, upper boud = 1 α Kallas ett kofidesitervall för θ med kofidesgrad 1 α Kostruktio av kofidesitervall Bestäm e lämplig puktskattig θ obs θ obs = x Ta fram fördelig för motsvarade s.v. θ θ σ = X ~N (θ, Kostruera e hjälpvariabel som iehåller θ me iga adra okäda parametrar (Hjälpvariabel ska ha e käd fördelig Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Beräka gräsera (a etc. mha. tabell Skriv om itervallet till ett villkor på θ (isolera θ På forme P(a 1 (x 1,, x < θ < a (x 1,, x Sätt i observatioer och beräka I θ 1 α Z = X θ σ/ ~N(0,1 P( a Z a = 0.95 P( a Z a = 0.95 P(Z a = 0.975 Φ(a = 0.975 a = 1.96 P( a Z a P ( a X θ σ/ a σ P (X a θ X σ + a I θ 1 α = (a 1 (x 1,, x, a (x 1,, x I θ 1 α = (x 1.96 σ Esidigt kofidesitervall, simulta kofidesgrad Sida 10 av 4

χ -fördelig Förutsättigar X~χ (f Resultat E(X = f X~χ (f 1 Y~χ (f X och Y oberoede X 1,, X oberoede X 1,, X ~N(μ, σ X + Y~χ (f 1 + f 1 σ (X i μ ~χ ( ( 1S σ ~χ ( 1 σ X ~N (μ, X och S är oberoede s.v. t-fördelig Förutsättigar X~t(f Resultat t(f-fördelig kovergerar mot N(0,1-fördelig då f Gossets sats X~N(0,1 Y~χ (f X och Y oberoede X Y/f ~t(f X μ σ/ ~N(0,1 X 1,, X oberoede X 1,, X ~N(μ, σ X μ S/ = = ( 1S σ ~χ ( 1 Gossets sats ger u (X μ/(σ/ ( 1S σ /( 1 ~t( 1 Kofidesitervall för μ x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X, där X i ~N(μ, σ σ käd / okäd σ käd σ okäd Hjälpvariabel X μ σ/ ~N(0,1 X μ ~t( 1 S/ Sida 11 av 4

Kofidesitervall för σ eller σ x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X, där X i ~N(μ, σ μ kät / okät μ kät μ okät Hjälpvariabel 1 σ (X i μ ~χ ( Vid stickprov frå två ormalfördeligar där σ 1 = σ = σ me σ är okäd: s = ( 1 1s 1 + ( 1s ( 1 1 + ( 1 s kallas pooled stadard deviatio ( 1S σ ~χ ( 1 s är de bästa skattige av σ Om ma har två (eller flera stickprov frå ormalfördeligar med samma σ, aväder ma de sammavägda σ -skattige för samtliga stickprov äve om ma t.ex. bara ska kostruera I µ1 Parvisa mätigar x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X, där X i ~N(μ, σ x i mätvärde y i mätvärde X i ~N(μ i,σ 1 Y i ~N(μ i +, σ Bilda differeser d i T.ex. före vs. efter Skatta med d i = y i x i D i = Y i X i ~N(, σ = d Skatta σ med s s = 1 1 (d i d Hjälpvariabel (σ okäd Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Beräka gräsera (a etc. mha. tabell Skriv om itervallet till ett villkor på (isolera På forme P(a 1 (d 1,, d a (d 1,, d Sätt i observatioer och beräka I 1 α s = s, där s, s är obs. av S respektive S Dra slutsatser om (och därigeom μ 1 och μ utifrå I Z = D ~t( 1 S/ P( a Z a = 0.95 P( a Z a = 0.95 P(Z a = 0.975 P( a Z a P ( a D S/ a S P (D a D S + a I 1 α = (a 1 (x 1,,x, a (x 1,, x I 1 α = (d.3 s I = (4.9, 15.6, dvs. med stor saolikhet gäller att > 0 μ i < μ i + μ 1 < μ Sida 1 av 4

Modellerig av parvisa skillader Givet att mätseriera är lika låga och ma vill udersöka om det fis e systematisk skillad Om mätigara häger ihop parvis o bilda differeser o Miskar variase för de skattigsvariabel som beskriver de systematiska skillade Om mätseriera är helt frikopplade frå varadra (dvs. oberoede o bilda I μ1 μ Kofidesitervall vid två stickprov x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X, där X i ~N(μ 1,σ 1 y 1,, y är observatioer av oberoede s.v. Y 1,, Y, där Y i ~N(μ, σ Båda stickprov är helt frikopplade frå varadra (dvs. oberoede Vill udersöka om μ 1 = μ eller μ 1 μ kostruera kofidesitervall för μ 1 μ σ 1 och σ σ 1 = σ eller σ 1 σ? Hjälpvariabel Övrigt Käda σ 1 σ X Y (μ 1 μ ~N(0,1 σ 1 + σ 1 Valig lijärkombiatio Okäda σ 1 = σ = σ ( 1 + S σ ~ χ ( 1 + OBS: För I σ och I σ Via sammavägd σ -skattig Okäda σ 1 = σ = σ X Y (μ 1 μ S 1 1 + 1 ~t( 1 + Frihetsgrader frå ova, för σ Okäda σ 1 = σ = σ c 1 X c Y (c 1 μ 1 c μ ~t( 1 + S c 1 + c 1 OBS: För I c1 μ 1 +c μ Geeraliserig av ova Okäda σ 1 σ X Y (μ 1 μ ( S 1 + S t(v v = 1 S 1 + S (S 1 / 1 1 1 1 + (S / 1 Kallas Welch-Aspis metod Sida 13 av 4

F-fördelig Förutsättigar Y 1 och Y oberoede Y 1 ~χ (r 1 Y ~χ (r Resultat Z = Y 1 /r 1 Y /r ~ F(r 1, r Jämförelse av variaser σ 1 och σ okäda σ 1 och σ är ite ödvädigtvis lika (detta ska udersökas Ta fram variasskattigar ( 1 1S 1 σ 1 ~ χ ( 1 1 ( 1S σ ~ χ ( 1 Aväd sats om F-fördelig Z = Y 1 /( 1 1 Y /( 1 ~ F( 1 1, 1 Hjälpvariabel blir därmed Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α S 1 /σ 1 S /σ ~ F( 1 1, 1 P(a < Z < b = 0.95 Beräka gräsera (a, b etc. mha. tabell P( a < Z < a = 0.95 Skriv om itervallet till ett villkor på σ 1 /σ (isolera σ 1 /σ På forme P(a 1 (s 1,, x < σ 1 /σ < a (s 1,, x 1 α Sätt i observatioer och beräka I σ1 /σ Dra slutsatser om σ 1 σ (och därigeom σ 1 och σ utifrå I σ1 /σ P( a < Z < a P (a < S 1 /σ 1 S /σ < b P (a σ 1 σ σ 1 σ b σ 1 σ 1 α I σ1 /σ = (a 1 (s 1,, x,a (s 1,, x I 1 α σ1 /σ = (a s 1 s, b s 1 s I σ1 /σ = (0.09, 1.91 OBS: 1 I σ1 /σ, dvs. går ite att utesluta att σ 1 σ = 1 σ 1 ka vara lika med σ Sida 14 av 4

Normalapproximatio Vid observatioer frå adra fördeligar ä ormalfördelig Skattigsvariabel θ N(θ, D Hjälpvariabel: Biomialfördelig kofidesitervall för p θ θ N(0,1, D käd { D θ θ D N(0,1, D okäd Ta fram s.v. och observatio x = 37 är e observatio frå X~Bi(1015,p Skatta p mha. p och ta fram p obs Vill ta fram hjälpvariabel Börja med att hitta e fördelig för X Aväd ormalapproximatio ty 1015 ej med i biomialtabell p = X p obs = x = 37 1015 = 0.036 X~Bi(1015,p N (p, p(1 p eftersom p obs (1 p obs > 10 E(p = E ( X = 1 E(X = 1 p = p Ka u ta fram (approximativ fördelig för p V(p = V ( X = 1 V(X = 1 p(1 p p(1 p = p = X N (p, p(1 p Stadardisera p så fås e hjälpvariabel för p Okäda parametrar i ämare på hjälpvariabel, vilket blir krågligt Bilda y hjälpvariabel: Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Isolera p och beräka gräsera mha. tabell Ersätt med observatioer Detta ger itervallet: p(1 p p N (p, p p N(0,1 p(1 p Z = p p p (1 p N(0,1 eftersom p är e kosistet skattig av p P( a < Z < a = 0.95 P ( a < I p = (p obs p p p (1 p < a = 0.95 1.96 p obs (1 p obs Sida 15 av 4

Biomialfördelig kofidesitervall för p 1 p Puktskattig Ta fram motsvarade s.v. Då gäller att Sök μ Sök σ p 1,obs p,obs = x 1 x 1 p 1 och p är N(p, p(1 p eftersom i p i,obs (1 p i,obs > 10 p 1 p N(μ, σ E(p 1 p = E ( X 1 X = E(X 1 E(X 1 1 = 1 p 1 p = p 1 1 p V(p 1 p = V ( X 1 X = V(X 1 V(X 1 1 = 1 p 1 (1 p 1 p (1 p 1 = p 1 (1 p 1 p (1 p 1 Sammafattigsvis p 1 p N (p 1 p, p 1 (1 p 1 1 p (1 p Stadardiserig ger Z = p 1 p (p 1 p p 1 (1 p 1 p (1 p 1 N(0,1 Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Isolera p och beräka gräsera mha. tabell Ersätt med observatioer Detta ger itervallet: eftersom p i är kosisteta skattigar av p i P( a < Z < a = 0.95 P ( a < I p1 p = (p 1,obs p p p (1 p < a = 0.95 p,obs 1.96 p 1 (1 p 1 p (1 p 1 Dra slutsatser om p 1 p utifrå I p1 p I σ1 /σ = ( 0.0414, 0.0014 OBS: Om 0 I p1 p, dvs. går ite att utesluta att p 1 p = 0 p ka vara lika med p 1 Sida 16 av 4

Normalapproximatio via cetrala gräsvärdessatse x 1,, x är observatioer av oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X X 1,, X är ite ormalfördelade me har E(X i = μ och V(X i = σ Puktskattig μ obs = x Ta fram motsvarade s.v. μ = X = 1 X i Eligt CGS Hjälpvariabel Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Isolera μ och beräka gräsera mha. tabell Ersätt med observatioer σ X N (μ, om 30 X μ N(0,1 om σ är käd σ/ Aars ersätts σ med lämplig skattigsvariabel σ vis σ = S me ite alltid (beror på fördelig för X i P( a < Z < a = 0.95 P ( a < X μ < a = 0.95 σ / I μ = (x a σ Avädig av CGS Puktskattigar Ta fram motsvarade s.v. x 1,, x 1 obs. frå X i ~Exp(μ 1 y 1,, y obs. frå Y i ~Exp(μ μ 1,obs = x och μ,obs μ 1 = X och μ = Y = y Eligt CGS X N (μ 1, och Y N (μ, ty i 30 1 Hjälpvariabel Ka ej isolera μ 1 μ ty kvadrat i ämare Approximera mha. μ 1 = X och μ = Y (OK eftersom de är kosisteta skattigar av μ 1 respektive μ Stäg i hjälpvariabel Isolera μ 1 μ och beräka gräsera mha. tabell Ersätt med observatioer frå puktskattigar Detta ger itervallet: μ 1 X Y (μ 1 μ μ 1 + μ N(0,1 ty käda stadardavvikelser 1 X Y (μ 1 μ N(0,1 X 1 + Y I μ1 μ μ = (μ 1 μ a X 1 + Y I μ1 μ = (x y 1.96 x 1 + y Sida 17 av 4

Hypergeometrisk fördelig kofidesitervall för p Ta fram s.v. och observatio Ta fram approximatio (via tabell x är e observatio frå X~Hyp(N,, p N X~Hyp(N., p N (p, p(1 p N 1 Skatta p mha. p och ta fram p obs p = X p obs = x Vill ta fram hjälpvariabel Börja med att hitta e fördelig för X Aväd ormalapproximatio N X~Hyp(N,, p N (p, p(1 p N 1 eftersom N p(1 p 10 N 1 Ka u ta fram (approximativ fördelig för p E(p = E ( X = 1 E(X = 1 p = p V(p = V ( X = 1 V(X = 1 N p(1 p N 1 N p(1 p = N 1 p = X N (p, N N 1 p(1 p Stadardisera p så fås e hjälpvariabel för p Okäda parametrar i ämare på hjälpvariabel, vilket blir krågligt Bilda y hjälpvariabel: Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Isolera p och beräka gräsera mha. tabell Ersätt med observatioer Detta ger itervallet: p N N (p, N 1 p(1 p Z = p p N N 1 p (1 p N(0,1 eftersom p är e kosistet skattig av p P( a < Z < a = 0.95 P ( a < I p = (p obs p p N N 1 p (1 p p p N p(1 p N 1 < a = 0.95 N 1.96 N 1 p obs (1 p obs N(0,1 Sida 18 av 4

Hypotesprövig Observatioer x 1,, x av oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X (iblad är = 1 Beteckig Betydelse H 0 Nollhypotes Påståede om att parameter θ har ett bestämt värde θ 0 I regel det ma tror är falskt Mothypotes H o : θ = θ 0 H 1 t(x 1,, x Påståede om att parameter θ har ett aat värde ä θ 0 I regel det ma vill visa Teststorhet (TS observatio frå s.v. Teststorhetes s.v. då H 0 är sa T(x 1,, x Teststorhetes s.v. C = [a,b] α h(θ Fel av typ I Fel av typ II P-värde E- och tvåsidiga test Kritiskt område (C H 0 förkastas om t(x 1,, x C H 0 förkastas ej om t(x 1,, x C Sigifikasivå α = P(H 0 förkastas om H 0 är sa α = P(t(X 1,, X C om H 0 är sa Styrka för ett värde θ 1 (i H 1 P(H 0 förkastas om θ 1 ärdet saa värdet P(t(X 1,, X C om θ 1 är detsaa värdet Styrkefuktio P(H 0 förkastas om θ ärdet saa värdet P(t(X 1,, X C om θ ärdet saa värdet Styrkefuktioe ska vara stor för p-värde som tillhör mothypotes Att förkasta H 0 då de är sa Sigifikasivå α = risk för fel av typ I Att ite förkasta H 0 då de är falsk P är saolikhete (då H 0 är sa att få ett mist lika extremt värde på TS som det ma har observerat. Lågt P-värde tyder på stor avvikelse frå H 0 H 1 : θ > θ 0 eller θ < θ 0 z = x μ 0 σ/ då H 0 är sa Z = X μ σ/ ~N(0,1 då H 0 är sa C = I θ = [a, [ 10 α = 5% Styrka = 81% h(θ = ( 10 k θk (1 θ 10 k k=6 H 0 förkastas P < α Fall Kriterium Metod H 1 : θ > θ 0 eller θ < θ 0 H 1 : θ θ 0 H 0 förkastas om t(x 1,, X > a respektive t(x 1,, X < a H 0 förkastas om t(x 1,, X < b 1 eller t(x 1,, X > b Sida 19 av 4 Nedåt/uppåt begräsat kofidesitervall för θ H 0 förkastas om θ 0 I θ Kofidesgrad = 1 α α = P(t(X 1,, X < b 1 om θ = θ 0 α = P(t(X 1,, X > b om θ = θ 0 Gör tvåsidigt kofidesitervall för θ H 0 förkastas om θ 0 I θ

Slutsatser frå kofidesmetode Teststorhet Beslut Betydelse Lågt borta, Osaolikt Har fuit e sigifikat avvikelse frå H t C H 0 förkastas (till förmå för H 1 0 Avvikelse är på ivå α Med felrisk α så gäller H 1 Ite tillräckligt lågt borta eller osaolikt Ige sigifikat avvikelse frå H t C H 0 förkastas ej 0 Sett till ivå α H 0 ka vara sa (eller falsk Hypotesprövig uta ormalapproximatio Observatioer Hypoteser Sigifikasivå Ta fram observatio av p Välj teststorhet Ställ upp uttryck för att se om t(x > a ( förkasta H 0 Beräka tröskelvärdet a Jämför tröskelvärde med teststorhet Tolka resultat x = 7 är e observatio frå X~Bi(, p H 0 : p = 0.3, H 1 : p > 0.3 α = 5% p obs = x 10 = 7 10 = 0.7 t(x: x P(X a om H 0 är sa 0.05 P(X a om p = 0.3 0.05 Bi(10,0.3 ger P(X 6 = P(X = 10 + + P(X = 6 = 0.0473 0.05 x = 7 > 6 = a H 0 förkastas Med felrisk 4.73% 5% ka vi påstå att H 1 : p > 0.3 gäller Jämförelse mella C-metode och p-metode C-metode Ata att H 0 är sa: Detta leder till e give fördelig för teststorhete X Ata att vi får resultatet (observatioe x Är saolikhete att vi fick detta resultat tillräckligt lite? Beräka α: P(X a = α eller P(X a = α (där vi söker a så att saolikhete blir α Om x a eller x a: Beräka p-värdet: p = P(X x eller p = P(X x Om p α eller p α: p-metode Resultatet är osaolikt uder H 0 Detta är sigifikat H 0 ka förkastas Aars: Resultatet är ej tillräckligt osaolikt uder H 0 Detta är ej sigifikat H 0 ka ej förkastas Resultatet är osaolikt uder H 0 Detta är sigifikat H 0 ka förkastas Aars: Resultatet är ej tillräckligt osaolikt uder H 0 Detta är ej sigifikat H 0 ka ej förkastas Sida 0 av 4

Hypotesprövig med ormalapproximatio Observatioer Hypoteser Sigifikasivå x = 7 är e observatio frå X~Bi(, p H 0 : p = p 0, H 1 : p p 0 α = 5% X~Bi(, p 0 N (p 0, p 0 (1 p 0 Ta fram fördelig för X (uder H 0 p = X N (p 0, p (1 0 p 0 Bilda hjälpvariabel Z Välj teststorhet z Ställ upp uttryck för att se om p stor ( förkasta H 0 p stor z stor testa z Beräka tröskelvärdet a Jämför tröskelvärde med teststorhet Tolka resultat p p Z = 0 p 0 (1 p 0 / N(0,1, då H 0 är sa p t: z = obs p 0 p 0 (1 p 0 / P( Z > a om H 0 är sa α = 0.05 P( Z > a om p = p 0 0.05 N(0,1 ger P( Z > a = P( a < Z < a = 0.05 a = 1.96 z > a eller z < a H 0 förkastas Med felrisk α ka vi påstå att H 1 : p p 0 gäller Normalapproximatio - allmät E eller flera stickprov ger e puktskattig θ obs Tillhörade s.v. θ N(θ, D Vill pröva H 0 : θ = θ 0 Bilda hjälpvariabel och teststorhet: o Teststorhete är i pricip hjälpvariabel för I θ fast med villkoret att H 0 är sat θ θ N(0,1, D käd Z = { D θ θ D N(0,1, D okäd z = { där d är e skattig av D som gäller då H 0 är sa θ obs θ obs θ N(0,1, D θ N(0,1, d Esidigt eller tvåsidigt test beror på hur mothypotese ser ut om D käd då H 0 är sa om D okäd Sida 1 av 4

Hypotesprövig vid ett stickprov σ käd Observatioer S.v. x 1,, x frå oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X X i = μ + ε i och ε i ~N(0, σ Hypoteser H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0 Sigifikasivå Puktskattig Tillhörade s.v. Bilda hjälpvariabel Z Bilda därefter teststorhet z (Z uder villkoret att H 0 är sat Ställ upp uttryck för att se om μ obs avviker μ obs stor x stor z stor testa z α μ obs = x μ σ = X ~N (μ, μ σ = X ~N (μ 0, då H 0 är sa (ty H 0 μ = μ 0 Z = X μ σ/ ~N(0,1 då H 0 är sa z = x μ 0 σ/ observatio frå Z~N(0,1 om H 0 är sa P( Z > a om H 0 är sa α Tvåsidigt med α på vardera sida pga. H 1: μ μ 0 Beräka tröskelvärdet a N(0,1 ger P( Z > a = P( a < Z < a = α a = λ α/ Jämför tröskelvärde med teststorhet z Tolka resultat Om z > a eller z < a H 0 förkastas Med felrisk α ka vi påstå att H 1 : p p 0 gäller Ekvivalet: riske att teststorhet av slump hamar i kritiska området Z > a är lika med α Hypotesprövig vid ett stickprov σ okäd Bilda hjälpvariabel Z Bilda därefter teststorhet z (Z uder villkoret att H 0 är sat T = X μ S/ ~t( 1 då H 0 är sa t = x μ 0 s/ observatio frå T~t( 1 om H 0 är sa Hypotesprövig vid ett stickprov H 0 : σ = σ 0 Bilda hjälpvariabel S Bilda därefter teststorhet s Atag att H 1 : σ > σ 0 Förkasta H 0 då s > c Bestäm c mha. följade: S = 1 1 (X i X s = 1 1 (x i x α = P(S > c om H 0 är sa {( 1S ~χ ( 1 om H 0 är sa σ 0 α = P ( ( 1S σ 0 > ( 1c σ 0 om H 0 är sa Sida av 4

Hypotesprövig vid flera stickprov μ i Observatioer S.v. Hypoteser Kofidesitervall-metode Teststorhet-metode x 1,, x frå oberoede och likafördelade s.v. X i ~N(μ 1,σ 1 y 1,, y frå oberoede och likafördelade s.v. Y i ~N(μ, σ H 0 : μ 1 = μ μ 1 μ = 0 H 1 : μ 1 μ eller H 1 : μ 1 > μ eller H 1 : μ 1 < μ Kostruera kofidesitervall för μ 1 μ Förkasta H 0 om 0 I μ1 μ Esidigt itervall { Tvåsidigt itervall { H 1 : μ 1 > μ eller H 1 : μ 1 < μ H 1 : μ 1 μ Vid flera stickprov jämför kofidesitervall Teststorhet: T = X Y S 1 + 1 ~t( 1 + uder H 0 1 Förkasta H 0 om T < c och/eller T > c (beroede på H 1 Hypotesprövig vid flera stickprov σ i Hypoteser H 0 : σ 1 = σ 1 = σ (alterativt σ 1 = σ = σ Bilda hjälpvariabel V Bilda därefter teststorhet v (V uder villkoret att H 0 är sat H 1 : μ 1 μ eller H 1 : μ 1 > μ eller H 1 : μ 1 < μ ( 1 1S 1 σ /( 1 1 V = 1 ~F( ( 1S 1 1, 1 då H 0 är sa σ /( 1 1 v = s 1 s obs. frå V~F( 1 1, 1 om H 0 är sa Esidigt eller tvåsidigt test { H 1: σ 1 > σ eller H 1 : σ 1 < σ H 1 : σ 1 σ 1 Esidigt itervall { Tvåsidigt itervall Jämför tröskelvärde c med teststorhet Förkasta H 0 om T < c och/eller T > c (beroede på H 1 Sida 3 av 4

Stokastiska vektorer Vätevärde E[X + Y] = E[X] + E[Y] Varias V(X + Y = V(X + Cov(X,Y + V(Y E[aX + by + c] = a E[X] + b E[Y] + c V(aX + by + c = a V(X + ab Cov(X,Y + b V(Y E[X Y] = E[X] E[Y] om Χ och Y är oberoede V(X + Y = V(X + V(Y om Χ och Y är oberoede Kovarias Korrelatio Cov(Χ, Y = E[Χ Y] E[Χ] E[Y] ρ(χ, Y = Cov(X, X = V(X Cov(X, Y = Cov(Y,X Cov(aX,bY = a b Cov(X, Y Cov(X, Y = 0 om Χ och Y är oberoede Cov(Χ, Y D(X D(Y = Cov(Χ, Y V(Χ V(Y Mått på lijärt beroede mella Χ och Y 1 ρ 1 gäller alltid! Täk X är 100% respektive 100% beroede av Y Χ och Y är oberoede Cov(X, Y = 0 Χ och Y är okorrelerade ρ(χ, Y = 0 Flerdimesioell ormalfördelig Kovariasmatris Täk V(aX + by + c = a V(X + ab Cov(X,Y + b V(Y o Fast geeraliserat till tre eller fler dimesioer i form av X, Y, Z, Därav matrisform C(X, X C(X, Y C(X, Z V(X C(X, Y C(X, Z C X = ( C(Y, X C(Y, Y C(Y, Z = ( C(Y, X V(Y C(Y, Z C(Z, X C(Z, Y C(Z, Z C(Z, X C(Z, Y V(Z Notera symmetri pga. C(X, Y = C(Y,X samt att C(X, X = V(X Regressiosaalys Sats: Kompoetera i e ormalfördelad vektor är oberoede kovariasmatrise är e diagoalmatris. Följdsats: Två simultat ormalfördelade s.v. X, Y är oberoede X, Y är okorrelerade, ρ(χ, Y = 0 Sats: Om Y = AX + B där X har flerdimesioell ormalfördelig Y är ormalfördelad E lijärkombiatio av oberoede ormalvariabler, som är kompoeter i e ormalfördelad vektor, är ormalfördelad Sida 4 av 4