Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT Gadienten till en funktion f = f,, K, ) i en punkt P,, K, ) ä ekto som innehålle alla patiella deiato: gad def ( 1 n ( 1 n ( f (, f (,, f ( ) ) f ( = P 1 K n Viktig egenskape: 1 I punkten P äe funktionen snabbast om i föända obeoende aiable i gadientens iktning ds i iktning gad f ( I punkten P ata funktionen snabbast i iktningen gad f ( Uppgift 1 Beäkna gadienten till nedanstående funktione a) f (, = ln(1 + + y ), i punkten (, y b) f (, = actan( ), i punkten ( 1,1 ) c) d) f (, + f = 3 4 = + y, i punkten (, (, ye, i punkten,1,0 ) ( Sa: a) gad ( y f, = (, ) + y + y b) gad y / 1/ 1 1 f (, = (, ) gad f (1,1) = (, ) ( y / ) ( y / ) c) gad 3 f (, = (,3y,4 ) d) gad f (, = ( ye, e, ye ) gad f (,1,0) = (1,,) 1 a 6
Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata Uppgift I ilken iktning ska i föända obeoende aiable i punkten P så att funktionen f äe snabbast a) f (, = + ln(1 + + y ), P = (1,1 ) b) f (, = + actan( + y ) P = (1,,3 ) Lösning: Funktionen äe snabbast i iktningen gad f ( a) ( y gad f, = (, ) gad f (1,1) = (, ) + y + y 3 3 b) gad f y 1, = (,, gad f (1,,3) = (,,6) ( + y ) ( + y ) 13 13 ( 1 Sa: a) I iktningen (, ) b) I iktningen (,,6) 3 3 13 13 RIKTNINGSDERIVATA Riktningsdeiata till en funktion f i en punkt P och i en gien iktning isa funktionens föänding om obeoende aiable föändas i iktningen och betecknas f ( Om = 1 0 = ( a1, a, K, an ) då definieas iktningsdeiatan enligt följande f ( = lim f ( + ta,, + ta deff 1 1 n n 1 n t 0 t ) f (,, ) Riktningsdeiatan i punkten P i iktningen beäknas enklast med hjälp a följande skaläpodukt f ( = gadf ( 1 = 0, dä 0 a 6
Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata Anmäkning: Enligt Cauchy Schwa olikheten gälle gadf ( 0 gadf ( = gadf ( ds 0 ( gadf ( elle f gadf ( f ( gadf ( I R och R 3 kan i da samma slutsats diekt, med hjälp a egenskape fö skaläpodukt : f = gadf ( 0 = = gadf ( cosθ ( ) cos θ 0 = gadf P, dä θ ä inkeln mellan gadienten och iktningsekton Eftesom 1 cosθ 1 se i att : 1 Om funktionen f och punkten P ä gina så ä iktningsdeiatan stöst f = gadf ( om θ = 0 ( ds om ä paallell med gadienten och ha samma iktning Riktningsdeiatan ä minst = gadf ( f om θ = π ( ds i iktning som ä motsatt gadienten) Uppgift 3 3 Funktionen f ges a f (, = y + y Bestäm iktningsdeiatan a f i punkten P (1, 1) i iktning som bestäms a ekton = (1,3) Lösning: a) Riktingsdeiatan kan beäknas med hjälp a gadienten till f, gadf (, = ( + 3y ) gadf ( = (,5) Riktningsekton = (1,3 ) nomeas: 1 1 0 = = (1,3) 10 1 17 f = gadf ( 0 = (,5) (1,3) = 10 10 17 Sa: f = 10 Uppgift 4 Funktionen f ges a f (, = + ye a) Bestäm iktningsdeiatan a f i punkten P (1, 1, 0) i iktning mot punkten 3 a 6
Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata Q(,, 1) b) I ilken iktning ä f:s iktingsdeiata som stöst i punkten (1, 1, 0)? c) Bestäm stösta äde fö iktingsdeiata a f i punkten P d) I ilken iktning ä f:s iktingsdeiata som minst i punkten (1, 1, 0)? e) bestäm minsta äde fö iktingsdeiata a f i punkten P Lösning: a) Riktingsdeiatan kan beäknas med hjälp a gadienten till f, gadf (, = (, e, ye ) gadf ( = (,1,1) Riktningsekton = PQ = (1,1,1 ) nomeas: 1 1 0 = = (1,1,1) 3 1 4 f = gadf ( 0 = (,1,1) (1,1,1) = 3 3 b) Funktionens iktingsdeiata i punkten P ä stöst i iktningen u = gadf ( = (,1,1 ) c) Stösta äde fö iktingsdeiata a f i punkten P ä gadf ( = 6 d) Funktionens iktingsdeiata i punkten P ä minst i iktningen w = gadf ( = (, 1, 1) e) Minsta äde fö iktingsdeiata a f i punkten P ä gadf ( = 6 GRADIENT som en nomalekto till en kua i R Om en kua i R ä gien på eplicit fom F(,=0 ( elle F(,=k, dä k ä en konstant) då ä gad F( en nomalekto till kuan i punkten P som ligge på kuan ( unde föutsättning att gad F( 0 ) Uppgift 5 Bestäm en nomalekto i punkten P till nedansående kua a) = 8 y, P(,) b) 4 sin y =, P(,0) Lösning a) 4 a 6
Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata Föst skie i ekationen + y 8 = 0 = 8 y på fomen F(,=0, alltså Häa gad F = (,, och däfö gad F( = (4,4) ä en ekto ( bland oändligt många) som ä inkelät mot kuan (cikeln) i punkten (,) Lösning b) Vi skie ekationen + sin y 4 = 0 = 4 sin y på fomen F(,=0, ds Häa gad F = (,cos och gad F( = (4,1) som ä en nomalekto till kuan i punkten P GRADIENT som en nomalekto till en yta i R 3 Om en yta i R 3 ä gien på eplicit fom F(,=0 ( elle F(,=k, dä k ä en konstant) då ä gad F( en nomalekto till ytan i punkten P som ligge på ytan ( unde föutsättning att gad F( 0 ) F(,=0 gad F( P Uppgift 6 Bestäm en nomalekto i punkten P till nedansående yta a) + y = + 1, P(1,1,1) b) + y = 4 + e, P(1,,0) Lösning a) Kontollea själ att P ligge på ytan Vi skie ekationen på fomen F(,=0, ds + y 1 = 0 Vi ha gad F = (,4 4 ) och däfö gad F( = (,4, 4) som ä en nomalekto till ytan i punkten P 5 a 6
Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata b) Fån + y 4 e = 0 få i gad F = (, e ) och gad F( = (,4, 1) som ä en nomalekto till ytan i P Uppgift 6 Bestäm en ekation fö tangentplanet i punkten (1,1,1) till ellipsoiden 3 + y + = 6 Lösning: gad F = ( 6,4 En nomalekto ( bland oändligt många) ä gad F( = (6,4,) Vi kan äen anända N = (3,,1) som en nomalekto Tangentplanets ekation bli då 3 ( 1) + ( y 1) + 1( 1) = 0, elle 3 + y + 6 = 0 Sa: 3 + y + 6 = 0 6 a 6