FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som hålls vid Institutionen för Dtvetenskp, Mälrdlens Högskol. Nottionen som nvänds genomgående är densmm som den som nvänds i kurslitterturen, och definiers på näst uppslg. All uppgifter inklusive de som är märkt med hr en lösning längst k i kompendiet. Uppgifter mrkerde med är testuppgifter. Kompendiet för reguljär språk är upplgt på följnde sätt. Det finns 5 vsnitt; Mtemtisk förkunskper, Reguljär uttryck, Finit utomter, Reguljär grmmtiker smt Ickeregulritet. Vrje vsnitt örjr med någr enkl uppgifter som är r tt öv på när mn lär sig de ny egreppen. Svårighetsgrden ökr sedn stegvis, och på slutet finns testuppgifter. Någr studietips Diskuter er lösningr i gruppen! Din studiekmrter är ditt störst stöd i den här kursen, t vr på den resursen! Försök först tt lös de enkl uppgiftern i örjn på vrje vsnitt! Titt inte i fcit förrän du hr försökt lös en uppgift. Om du inte kn lös en uppgift, titt i fcit på den grundläggnde idén för tt lös uppgiften, och försök sedn igen. Du lär dig ingenting på tt skriv v en lösning! För tt försäkr sig om tt en egenskp gäller för en viss utomt, grmmtik, uttryck etc. så hjälper det tt prov sig frm med olik strängr. Försök konstruer strängr som ryter mot det du försöker vis! Eftersom redovisningsuppgiftern skll redoviss i grupp, så är smrete melln gruppern på dess uppgifter förjudet och etrkts som fusk! Däremot är det nturligtvis tillåtet tt diskuter ndr uppgifter med personer i ndr studiegrupper. Lyck till med kursen! Lennrt Slling, Formell språk, utomter och eräkningr,. Finns tt köp i studentokhndeln.

Innehåll Nottion 4 Mtemtisk suppgifter 5 Testuppgift........................ 7 LÖSNINGAR.................................. 8 Reguljär uttryck Testuppgift........................ 4 LÖSNINGAR........ 5 Finit utomter 7 Testuppgift, 4, 5................................ LÖSNINGAR........ 4 4 Reguljär grmmtiker 4 LÖSNINGAR.................................. 4 5 Ickeregulritet 45 Testuppgift 6....................... 47 LÖSNINGAR........ 48

Nottion Nottion Betydelse Exempel Liktydig nottion Tecknet,,c foo Strängen "foo" r, krumelur r, foo Û Ü Ý Þ Godtycklig sträng Û ¾ Den tomm strängen Numerisk konstnt ½ ¾ Ò Ñ Numerisk vriel Ò ¾Ñ Ä Ë Språk, mängd Ä Den tomm mängden Ett lfete Û foo Mängden v ll Û som uppfyller villkoret Û Û rev Û foo repetitioner v tecknet Û repetitioner v strängen Û Û ÛÛÛ Mängden v strängr med godtycklig ½ ¾ ¾ ½½ ½¾ ¾½ ¾¾ element från mängden Kleenestjärneopertorn på ¼ ½ ¼ ½ ¼¼ ÓÓµ ÓÓ ÓÓÓÓ Plusopertorn på mängden ¼ ½ ¼ ½ ¼¼ ¼½ ½¼ Û rev Reverseringen v strängen Û ÓÓÖµ rev ÖÓÓ Û Ê Ä Komplementspråket till Ä ÄµÄ ¾ Potensmängden v ¾ ¼½ ¼ ½ ¼ ½ Antlet element i (eteckns ilnd ½ ¾ ÙØÓÑØ krdinlitet) Û Antlet :n i strängen Û ÖÖ Ò Ûµ Ûµ ÔÖ Ü Ûµ Mängden v strängr Ü där Û ÜÞ ÔÖ Ü µ ÔÔÖ Ü Ûµ Mängden v äkt prefix till Û ÔÖ Ü µ ÔÖ Ü Äµ Mängden v strängr Û så tt Û är prefix ÔÖ Ü µ i någon sträng i Ä ÙÆÜ Ûµ Mängden v strängr Ü där Û ÞÜ ÙÆÜ µ Ô ÙÆÜ Ûµ Mängden v äkt suffix till Û Ô ÙÆÜ µ ÙÆÜ Äµ Mängden v strängr Û så tt Û är suffix ÙÆÜ µ i någon sträng i Ä Unionen v och ½ ¾ ¾ ½ ¾ Snittet v och ½ ¾ ¾ ¾ ÜÝ Smmnfogningen v strängrn Ü och Ü ÓÓÝ ÖÜÝ ÓÓÖ Ý Mängden vrs element finns i men ½ ¾ ¾ ½ Ò inte i Mängden som fås genom ll komintioner v ett element ur smmnfogt med ett element ur Slut på sträng/stck Æ Mängden v nturlig tl Æ ¼ ½ ¾ Mängden v heltl ¾ ½ ¼ ½ ¾ Ê Mängden v reell tl ¼½½ ¾ Ê µ Av dett följer tt Slut på evis 4

Mtemtisk suppgifter Uppgift.. Konstruer potensmängden (eng. power set) för nednstående mängder. (i) (o) (ii) ¼ ½½ ¾ (iii) Þ (iv) ¼ ½ ¾ ½ (v) ¼ ½ ¾ ½ (vi) (tomm mängden) Uppgift.. Bestäm krdinliteten på följnde språk över lfetet ¼ ½ (dvs. om de är ändlig, oändlig och uppräknelig, eller oändlig och överuppräknelig). Ge informell evis för din svr. (i) ¼ (ii) (iii) ¼ ½ ¾ (iv) ¾ (v) ¾, dvs potensmängden v ll språk över. Uppgift.. Ge ett möjligt lfet för följnde språk. Ett ord foor tolks som en sträng v tecknen f, o, o,, och r. (i) Språket Ä oj fy usch (ii) Språket Ä äpple päron 47 (iii) Språket v ll inär strängr (o) (o) Uppgift.4. Beskriv vd Kleenestjärneopertionen över följnde lfeten ger. (i) ¼ ½ (o4) (ii) (iii) (det tomm lfetet) Uppgift.5. Beskriv vd -opertionen över följnde lfeten ger. (i) ¼ ½ (o5) (ii) (iii) (det tomm lfetet) 5

Uppgift.6. Ge lfetet för följnde språk : (o6) (i) Ä ¼ ½ ¼¼ ¼½ ½¼ ½½ ¼¼¼ ¼¼½ ¼½¼ ¼½½ (ii) Ä (iii) Ä Uppgift.7. Givet tt ¼ ½, konstruer komplementspråken (o7) (i) ¼½¼ ½¼½ ½½ (ii) ½½¼ (iii) Uppgift.8. Skriv ut följnde språk explicit, dvs. genom tt ge mängden v strängr som språket estår v. (o8) (i) ¾ ¾ (ii) ½ ¾ (iii) Ü Ü ¾ Æ Ý ¾ Æ Ý½¼ Ý ¾Üµ (Æ är mängden v ickenegtiv heltl) Uppgift.9. Låt vr ett lfet, och den tomm strängen över. (o9) (i) är i? (ii) är det snt tt? är det snt för där ¾? (iii) Låt Ü och Ý vr två strängr över. är smmnfogningen v Ü och Ý lltid smm sk som smmnfogningen v Ý och Ü? Uppgift.. En sträng är oändlig när dess längd är oändlig. Låt vr ett godtyckligt lfet. (o) (i) Innehåller någr oändlig strängr? (ii) Om vi tillåter tt vr ett oändligt lfet (vilket det egentligen inte får vr), förändrs svret? Uppgift.. Bevis tt Ò ¼ ÑÓ µ för ll heltl Ò ¾. (o74) Uppgift.. (o75) Bevis med induktionsevis tt ¾ Ë ¾ Ë (dvs. tt längden v potensmängden är lik med upphöjt till längden v ursprungsmängden) för ll finit mängder Ë. 6

Uppgift.. (o76) För en sträng Ü, låt Ü rev vr smm sträng fst klänges. Bevis tt Üݵ rev Ý rev Ü rev för godtycklig strängr Ü Ý över ett lfet. (Tips: försök definier Ü rev induktivt) Uppgift.4. Bevis med induktion tt för ll mängder och. TESTUPPGIFT. Bevis tt ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ Ò ¾ Ò ½ ½ för ll heltl Ò ¼. (o) (o) 7

Lösningr Lösning.. (i) ¾ Ë (ii) Ë ¼ ½ ¾ ¾ Ë ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¼ ¾ ½ ¾ ¼ ½ ¾ (iii) ¾ Ë Þ (iv) Ë ½ ¾ Ë ½ ½ (v) Ë ¼ ¾ ¾ Ë ¼ ¾ ¼ ¾ (o) (vi) ¾ Ë Lösning.. (o) (i) ¼ µ Mängden är ändlig. (ii) ¼¼¼¼ ¼¼¼½ ¼¼½¼ ¼¼½½ ¼½¼¼ ¼½¼½ ¼½½¼ ¼½½½ ½¼¼¼ ½¼¼½ ½¼½¼ ½¼½½ ½½¼¼ ½½¼½ ½½½¼ ½½½½ µ Mängden är ändlig. (iii) Vrje mängd i den oändlig och uppräknelig serien är ändlig, och kn därför räkns, genom tt mpp den på nturlig tl. Alltså kn hel mängden li uppräknd. µ Mängden är oändlig och uppräknelig. (iv) ¾ ¼ ½ ¼ ½µ Mängden är ändlig. (v) Antg tt Ä ¾ är uppräkneligt, dvs tt det finns ett sätt tt räkn upp hel språket Ä. Vi kn t.ex gör det som följer. Vi väljer tt kod en delmängd Ô i Ä genom nge en : om motsvrnde element i finns i delmängden, och nnrs. Se nedn. (Ô µ etecknr it, motsvrnde, i delmängden Ô ). Vi räknr lltså upp elementen i Ä uppifrån och ned, där resten v rden etecknr kodningen v elementet ifråg. Tellen nedn skll lltså innehåll ll element i Ä. Det är dett vi skll motevis. Kodning v element ur Delmängd ½ ¾ Ô ½ Ô ½ µ Ô ¾ Ô ¾ µ Ô Ô µ Ô Ô µ............ Ô Ô ½µ Ô ¾µ Ô µ Ô µ Ô µ.................. Vi etrktr nu delmängden i Ä som mn får, genom tt t digonlen v mtrisen för Ä, och neger vrje it i elementet. Vi kllr dett element. Eftersom fktiskt representerr en delmängd v (kodningen är korrekt) så måste finns i Ä, ntg tt den gör det på plts så tt Ô finns i språket. Undersök nu it i elementen och Ô. Kom ihåg tt vi skpde genom tt t digonlen v mtrisen, och neger vrje it. Dvs, på plts i digonlen hr vi iten Ô µ, dvs µ Ô µ 8

Men, eftersom vi tidigre konstterde tt Ô så får vi Ô µ Ô µ vilket är en motsägelse! är lltså ett nytt element som inte finns i uppräkningen v Ä, och dett strider mot tt hel språket Ä skulle finns i tellen! µ Mängden är oändlig och överuppräknelig. Lösning.. (o) (i) o j f y u s c h (ii) ä p l e r o n 4 7 (iii) ¼ ½ Lösning.4. (o4) (i) All inär strängr. (ii) All strängr estående v endst :n (inkl. tomm strängen). (iii) Språket innehållndes endst den tomm strängen. Lösning.5. (o5) (i) Binär strängr med minst ett tecken. (ii) Strängr v endst :n, minst ett tecken. (iii) Språket med endst den tomm strängen. Lösning.6. (o6) (i) ¼ ½ (ii) (iii) Lösning.7. (o7) (i) Ä ¼ ½ ¼¼ ¼½ ½¼ ¼¼¼ ¼¼½ ¼½½ ½¼¼ ½½¼ ½½½ ¼¼¼¼ (ii) Ä ½½¼ (iii) Ä Lösning.8. (i) (o8) (ii) (iii) ¾ ½¼ ½½ 9

Lösning.9. (i) Nej. (o9) (ii) J. J. (iii) Nej, se t.ex Ü Ý ÜÝ ÝÜ. Lösning.. (o) (i) Nej, även fst språket är oändligt så är de strängr som ingår i det v finit (ändlig) längd. (ii) Nej, fortfrnde är vrje symol i lfetet v ändlig längd och vrje sträng är v ändlig längd. Lösning.. Påstående: Ò ¼ ÑÓ µ för ll heltl Ò ¾. (o74) Kontroll: ¾ ßÞÐ heltl ¾½ ¾ ßÞÐ heltl ½¾ ½ ßÞÐ heltl Bssteg: Vi väljer ¾ dvs. Ò ¾som sfll, eftersom dett är det minst Ò för vilket påståendet måste gäll. Eftersom ¾ så gäller påståendet för sfllet. Induktionssteg: Vi ntr tt påståendet är snt för ett visst fll, och försöker vis tt det då är snt i näst fll också. Antg lltså tt Ô är jämnt delrt med 9, dvs. Ô för något heltl. Vi vill nu vis tt i så fll är Ô ½ för något heltl. Om Ô för något Ô och något heltl, så gäller också nednstående. Ô ½ Ô µ ßÞÐ heltl där är ett heltl Smmnfttning: Påståendet gäller för sfllet Ò ¾, och om det gäller för ett visst fll Ô så gäller det även för näst fll Ô ½. Då gäller det i smtlig fll, vilket skulle eviss. Lösning.. Påstående: ¾ Ë ¾ Ë för ll finit mängder Ë. (o75) Kontroll: ¾ ½ ¾ ¼ ¾ ¾ Ü Ü ¾ ¾ ½ ¾ Ü ¾ ÜÝ Ü Ý Ü Ý ¾ ¾ ¾ ÜÝ Bssteg: Vi väljer Ë som sfll, eftersom dett är den minst mängden för vilket påståendet ör gäll. Enligt kontrollen ovn så gäller påståendet för sfllet.

Induktionssteg: Vi ntr tt påståendet är snt för ett visst fll, och försöker vis tt det då är snt i näst fll också. Antg lltså tt ¾ Ë ¾ Ë för någon mängd Ë. Vi vill nu vis tt i så fll är ¾ Ëܵ ¾ ËÜ för ett godtyckligt element Ü ¾ Ë. Om ¾ Ë ¾ Ë för någon mängd Ë, så gäller också nednstående. ¾ Ëܵ ¾ Ë Ì där Ì Ø Ü Ø ¾ ¾ Ë ¾ Ëܵ ¾ Ë Ì ¾ Ë Ì eftersom ¾ Ë och Ì är disjunkt Ü ¾ Ë Ü ¾ ¾ Ë µ ¾ Ë Ø Ü Ø ¾ ¾ Ë ¾ Ë ¾ Ë ¾ ¾ Ë ¾ ¾ Ë (från induktionsntgndet) ¾ Ë ½ ¾ ËÜ eftersom Ü ¾ Ë Smmnfttning: Påståendet gäller för sfllet Ë, och om det gäller för ett visst fll Ë så gäller det även för näst fll Ë Ü där Ü ¾ Ë. Då gäller det i smtlig fll, vilket vr det som skulle eviss. Lösning.. (o76) rev för den tomm strängen. rev för en sträng med ett tecken. För en icketom sträng Ü så kn denn dels upp i två delsträngr Ü Ý där innehåller ett eller noll tecken. Vi definierr då tt ݵ rev Ý rev där ½. Vi sk nu vis tt Üݵ rev Ý rev Ü rev. Antg först tt Ü är den tomm strängen. I så fll är påståendet snt, ty ݵ rev Ý rev Ý rev. Antg nu tt Ü är en sträng med endst ett tecken. Då är påståendet också snt, ty ݵ rev Ý rev enligt definitionen. Dett är vår sfll. Vi ntr nu tt påståendet ÙÚµ rev Ú rev Ù rev gäller för två strängr Ù Ú. Dett är vår induktionshypotes. Vi vill nu vis tt ÙÚµ rev Ú rev Ù rev. ÙÚµ rev ÙÚµ rev enligt definitionen. Vidre gäller ÙÚµ rev Ú rev Ù rev enligt induktionshypotesen, vilket ger oss tt ÙÚµ rev Ú rev Ù rev, vilket vr det vi sökte. Eftersom vi hr vist tt påståendet gäller för ett (två) sfll, och tt det gäller för vrje sträng som kn forms genom tt lägg till ett tecken först i den först strängen, så gäller påståendet för ll strängr. Lösning.4. (o) för den tomm mängden och godtycklig mängd. Påståendet gäller lltså för och godtyckligt. Vi ntr nu tt påståendet gäller för två mängder och (induktionshypotes). Vi vill nu vis tt Ü Ü för ett godtyckligt element Ü ¾ (om Ü ¾ så gäller påståendet trivilt, eftersom Ü ¾ Ü ). Vi örjr med vänsterledet. För kryssprodukten gäller Ü Ü. Eftersom och Ü är disjunkt (eftersom Ü ¾ ) så gäller tt Ü Ü. För högerledet gäller tt Ü ½. Vi hr då lltså Ü ½µ. Men då gäller också tt Ü Ü, vilket skulle viss.

LÖSNING TESTUPPGIFT. Påstående: ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ Ò ¾ Ò ½ ½ för ll heltl Ò ¼. (o) Kontroll: ¾ ¼ ½¾ ½ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ½½ ½ ½ Bssteg: Vi väljer Ò ¼som sfll, eftersom dett är det minst tl för vilket påståendet ör gäll. Enligt kontrollen ovn så gäller påståendet för sfllet. Induktionssteg: Vi ntr tt påståendet är snt för ett visst fll, och försöker vis tt det då är snt i näst fll också. Antg lltså tt ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ för något tl. Vi vill nu vis tt i så fll är ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ½. Om ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ för något tl, så gäller också nednstående. ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ½µ ¾ ½ (från induktionssteget) ¾ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ Smmnfttning: Påståendet gäller för sfllet ¼, och om det gäller för ett visst tl så gäller det även för näst fll ½. Då gäller det i smtlig fll, vilket skulle viss.

Reguljär uttryck Uppgift.. Betrkt det reguljär uttrycket µ. (o4) (i) Ge en sträng över som mtchr uttrycket. (ii) Ge en sträng över som inte mtchr uttrycket. Uppgift.. (o) Konstruer reguljär uttryck som är ekvivlent med följnde språk, över lfetet, vrs strängr Û uppfyller följnde krv: (i) Antlet :n i Û är jämnt. (ii) Det finns ½:n i Û. ( ¼) (iii) Û.( ¼) Uppgift.. (o4) Ett reguljärt uttryck är tvetydigt när det finns en sträng som går tt konstruer på två olik sätt ur det reguljär uttrycket. Vilk v följnde reguljär uttryck är tvetydig? (i) µ µ (ii) µ (iii) Uppgift.4. Ge ett reguljärt uttryck för språket vrs strängr estår v lternernde :or och :or. (o4) Uppgift.5. (o4) Ge ett reguljärt uttryck för språket Ä över estående v strängr som innehåller exkt eller exkt :n. Uppgift.6. (o4) Ge ett reguljärt uttryck för språket Ä över lfetet estående v strängr där ntlet :n är jämnt delrt med. Uppgift.7. Beskriv med ord vilk språk följnde reguljär uttryck representerr. (o44) (i) ¼ ½µ ¼½ (ii) ½ ¼½ (iii) ½½µ (iv) ¼ ½¼ ½¼ µ (v) ¼ ½µ ¼½ ¼ ½µ

(vi) ½ ¼ (vii) ½¼ ¼µ ½ ½¼µ (viii) ¼ ½ ¼¼¼ µ ¼ Uppgift.8. Låt vr följnde reguljär uttryck: (o) µ µ (i) är Ä µ? (ii) är Ä µ? TESTUPPGIFT. (o45) Ge ett reguljärt uttryck som representerr mängden v strängr över som innehåller åde delsträngen och. 4

Lösningr Lösning.. (i) mtchr. (o4) (ii) cd mtchr inte, eftersom vrje c måste föregår v ett för tt strängen sk mtch. Lösning.. (i) µ µ ¾ (o) (ii) µ µ µ (iii) µ Lösning.. (i) Tvetydig. T.ex kn strängen fås ur åde µ och µ. (o4) (ii) Tvetydig. Strängen kn fås ur åde och. (iii) Entydig. Lösning.4. Alterntiv : (o4). ¼½µ är språket v noll eller fler.. ½ µ ¼½µ är språket v lternernde :or och :or som slutr på.. ½ µ ¼½µ ¼ µ är språket v lternernde :or och :or. Alterntiv : ¼ µ ½¼µ ½ µ enligt ovn. Lösning.5.. är mängden v strängr med exkt. (o4). är mängden v strängr med exkt.. är mängden v strängr med exkt. 4. Språket Ä lir då. Lösning.6.. är ll strängr med exkt :n. (o4). µ är då språket Ä. 5

Lösning.7. (i) Ett godtyckligt ntl inär tecken ( eller ) föregår delsträngen. (o44) (ii) Strängr som måste innehåll och för övrigt estår v :or. (iii) Strängr v :or vrs längd är jämnt delr med. (iv) Ett godtyckligt ntl repetitioner v en sträng estående v st :or och godtyckligt ntl :or, i godtycklig positioner. (v) Strängr som innehåller delsträngen. (vi) Strängr på formen ½½½ ¼¼¼, dvs strängr som örjr på godtyckligt ntl :or och slutr på godtyckligt ntl :or. även noll ntl :or eller :or är tillåtet. (vii) ½¼ ¼µ är ll strängr som inte innehåller delsträngen. ½ ½¼µ är ll strängr som inte innehåller delsträngen. Så smmnfogningen är ll strängr där vrje förekomst v (även ingen förekomst) kommer före vrje förekomst v. (viii) All strängr som inte innehåller delsträngen. Lösning.8. (i) Nej. Se t.ex strängen som inte går tt producer från det reguljär uttrycket. (o) (ii) J. LÖSNING TESTUPPGIFT. (o45) En sträng som innehåller delsträngen följt v godtycklig tecken, följt v, kn eskrivs med uttrycket µ. Det omvänd fllet där kommer före kn eskrivs med µ. Kominert lir dett µ µ. Dessutom skll godtycklig tecken kunn komm före och efter uttrycken vi hr konstruert., och vi får då det reguljär uttrycket µ µ µ µ 6

Finit utomter Uppgift.. Låt Å vr följnde DFA. (o6) strt 4 (i) Skriv ner fyr strängr som Å ccepterr, och sekvensen v konfigurtioner som visr dett. (ii) Skriv ner fyr strängr som inte ccepters v Å. Uppgift.. Låt Å vr följnde NFA. (o8) strt 5 4 (i) Skriv ner fyr strängr som Å ccepterr, och sekvensen v konfigurtioner som visr dett. (ii) Skriv ner fyr strängr som inte ccepters v Å. Uppgift.. Skp en DFA som känner igen följnde språk: (o5) Ä Û Û ¾ Û innehåller delsträngen ¼½¼½ dvs. Û Ü¼½¼½Ý för två godtycklig strängr Ü och Ý. Uppgift.4. (o6) Konstruer finit utomter, deterministisk eller ickedeterministisk, för nednstående reguljär uttryck. (i) µ (ii) ½ ½ ¼µ ¼ ¼ 7

(iii) ¼ ½¼ (iv) ¼ ½µ ½ ¼ ½µ (v) ¼ ½ µ¼ (vi) ¼ ½µ ¼ ½µ ¼ ½µ (vii) µ µ Uppgift.5. Definier formellt de finit utomter du hr konstruert i uppgift.4. Uppgift.6. Vilk språk ccepters v följnde utomter: (o7) (o7), (i) strt,, 4 strt, (ii), 4 (iii) strt, (iv) strt (v) strt 8

Uppgift.7. Ge DFA:er som ccepterr följnde språk: (o) (i) All strängr över som slutr med. (ii) All strängr över som innehåller tre på vrndr följnde :n (innehåller delsträngen ). (iii) All strängr över som inte innehåller strängen. (iv) All strängr över där vrje sträng med längden 5 innehåller åtminstone två :n. Omformulert: Språket innehåller ll strängr över som inte hr längd 5. De strängr över som hr längd 5 finns i språket om och endst om de innehåller minst två :n. (v) All strängr över där det 5:e tecknet från höger är. (vi) Mängden v ll strängr över där ll pr v :n förekommer endst direkt följt v ett pr v :n. (vii) Strängrn ¼¼½ och ¼¼¼½¼½. (viii) Strängr över ¼ ½ som örjr med en : och som, om mn tolkr dem som inär nummer, är jämnt delr med 5. Som exempel ör strängen ½¼½¼ ccepters v DFA:n, eftersom ½¼½¼ ¾ ½¼ ½¼, vilket ju är jämnt delrt med 5. Däremot ör inte strängen ½½½¼ ccepters, ty ½½½¼ ¾ ½ ½¼ vilket inte är jämnt delrt med 5. (ix) Û ¾ Û ¾Ò Û ¾Ñ Ñ Ò ¾ Æ (x) Û ¾ Û Ò Ò ¾ Æ och Û inte innehåller delsträngen. Uppgift.8. Konstruer finit utomter som ccepterr språken definierde v nednstående reguljär uttryck. (i) (ii) µ (iii) µ (o5) Uppgift.9. Konstruer en DFA som är ekvivlent med följnde reguljär uttryck: (o9) ¼¼ ½ ¼½µ ½½ ¼µ ½¼ Uppgift.. Bevis tt följnde utomt ccepterr språket Ä ½. (o9) 9

,c c,,c strt,c 4 6 c c, 5 Uppgift.. (o5) Gör om följnde finit utomter till GFA:er, och t red på vilk reguljär uttryck som eskriver utomterns språk. (i) (ii), (iii) Uppgift.. Konstruer reguljär uttryck som är ekvivlent med följnde (deterministisk) finit utomter: (o7) (i) strt 4

(ii) strt, 4, (iii), strt 4 (iv) strt Uppgift.. Konstruer ett reguljärt uttryck som motsvrr följnde utomt. (o) strt Uppgift.4. Konverter vrje nednstående NFA till en ekvivlent DFA genom delmängdskonstruktion. (o8) (i),

(ii) q q q q Uppgift.5. Gör om följnde NFA till en DFA. (o65),, strt Uppgift.6. Minimer nednstående DFA genom mängdprtitionering eller dul komplementet. (o9) C, E A B D Uppgift.7. (o64) Låt Ä ½ och Ä ¾ vr språk som representers v följnde utomter. Konstruer en miniml DFA som representerr Ä ½ Ä ¾., strt Ä ½, 4 strt Ä ¾ 5 6 7

TESTUPPGIFT. Konstruer reguljär uttryck för utomten definierd i övning.. TESTUPPGIFT 4. Konverter nednstående NFA till en ekvivlent DFA genom delmängdskonstruktion. (o8) (o), ½ ½ 4 TESTUPPGIFT 5. Minimer följnde DFA. (o7) 7 8, 4 5 6

Lösningr Lösning.. (o6) Tecknet # nvänds här nednför för tt eteckn strängslut. (i) (ii). : ½ ¾. : ½. : ½ ¾ 4. : ½ ½ ¾... 4. Lösning.. (o8) (i) (ii). : ½ ¾. : ½. : ½ ¾ 4. : ½ ¾... 4. Lösning.. (o5), 4 Noter tt om inputsträngen Û finns i språket Ä så kommer vi till slut stöt på delsträngen i Û. Vi definierr tillstånden utifrån hur mycket v delsträngen vi hr sett: Tillstånd är strttillståndet. I det här tillståndet hr vi inte sett någon del v delsträngen ännu. I tillstånd hr vi sett den först :n i. Om det nu dyker upp en : så fortsätter vi let efter näst : i delsträngen. I tillstånd hr vi sett från. Om näst tecken är en :, så återgår vi till strttillståndet, eftersom inte är en delsträng v. I tillstånd så hr vi sett. Om vi nu läser en : till, så återgår vi till tillstånd dett eftersom denn ny : kn vr örjn till en ny delsträng. I tillstånd 4 hr vi sett hel delsträngen. Det spelr lltså ingen roll vd för mer tecken som finns på strängen, eftersom vi redn hr vgjort tt strängen finns i språket. Tillstånd 4 är därför ett ccepternde tillstånd. 4

Lösning.4. (o6), (i), (ii) (iii) (iv),, (v) ½, (vi),,, (vii), 4 Lösning.5. Övergångsfunktionen viss som en tell på formen (o7) Æ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ 5

där den överst rden är vilket tecken som konsumers vid övergången (här:, och inget tecken, dvs -övergång), den vänstr kolumnen vilket tillstånd vi är i nu, och i tellen under motsvrnde tecken vilket tillstånd vi kommer till. Om fler tillstånd nges i tellen (t.ex ¾ för tillstånd och tecken ) så finns det övergångr till ll de tillstånd som nges. I tellen finns t.ex övergångr från till åde och, där konsumers. (i) Å ½ ¾ Æ ½ µ Æ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ (ii) Å ½ ¾ ¼ ½Æ ½ µ Æ ¼ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ (iii) Å ½ ¾ ¼ ½Æ ½ ¾µ (iv) Å ½ ¾ ¼ ½Æ ½ ¾µ (v) Å ½ ¾ ¼ ½Æ ½ ¾µ (vi) Å ½ ¾ ¼ ½Æ ½ µ Æ ¼ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ Æ ¼ ½ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Æ ¼ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Æ ¼ ½ ½ ¾ ¾ ¾ (vii) Å ½ ¾ Æ ½ µ Æ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Lösning.6. (i) All strängr med jämnt ntl tecken, med längd minst. (ii) Strängr där det först :et följs v ett udd ntl tecken, och som innehåller minst ett. (iii) Strängr på formen ¼ Ò ½ Ñ ÒÑ ¼. (iv) Tomm strängen och strängr som slutr på. (v) Strängr som inte örjr på. (o7) Lösning.7. (o) (i) 6

(ii), (iii), (iv) 5, 6 7 8 4 9,, (v),,, 4, 5, (vi) 4, (vii) s, 7, 4 5 6 7

, (viii) s ½ ¾ ¼ (ix) 4 (x) 5 6, Lösning.8. (o5) (i) DFA:, 4 (ii) NFA: 8

(iii) NFA: 4 Lösning.9. Gör en NFA från en GFA. (o9). ½ ¼½µ ½½ ¼µ ½¼ ½ ¼½µ ½½ ¼µ. ½½ ¼µ ½ ¼½µ. 4 5 6 4. 4 9

Gör om NFA:n till en DFA (slå smmn de uppenrt ekvivlent tillstånden ¾ smt ). 5 4 Lösning.. (o9) Vi skpr en GFA från den finit utomten.. Eliminer tillstånd och 6, ny övergångr ½ µ ½ µ ½ µ ½ µ.,c strt,c,,c 4 c, 5. Eliminer tillstånd 4. Eftersom ing vägr finns från 4 (skräptillstånd) så kn vi t ort det helt. strt c 5. Skp ett nytt ccepternde tillstånd, nummer 7, och gör ny epsilonövergångr från de tidigre ccepternde tillstånden till 7. Vi gör dett för tt kunn eliminer tillstånd och 5.

strt c 7 5 4. Eliminer tillstånd och 5. strt 7 5. Lägg ihop de två övergångrn från till 7. strt 6 Automten ccepterr lltså språket, vilket är det smm som ½, vilket skulle viss. Lösning.. (i) (o5) (ii) µ (iii) µ µ Lösning.. Konstruer GFA:er för tt skp reguljär uttryck, se Slling sid 48 och frmåt. (i) µ µ (ii) µ µ µ (o7) (iii) µ (iv) µ Lösning.. Vi örjr med tt skp motsvrnde GFA. (o) ¼ ½½ ¼ ½¼. Nytt stopptillstånd, t ort tillstånd. ½¼ strt ½½. T ort tillstånd. ¼ ½½ ½¼ ¼ ½¼µ ½½ ½¼ ¼ ½¼µ strt Vi hr nu det reguljär uttrycket ¼ ½½ ½¼ ¼ ½¼µ ½½ ½¼ ¼ ½¼µ.

Lösning.4. Vi löser uppgiftern med metoden från Slling, sid 4. (o8), R (i) {,} {,,} {,} Steg för steg:. Strttillstånd: ½ ¾ {,},. ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ (skräptillstånd) {,} R {,,},. ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ {,} R {,,} {,}

, R 4. ¾ ½ ¾ ¾ ¾ {,} {,,} {,} {q,q} (ii) {q,q} {q}, {q,q,q} {q,q,q}. Strttillstånd: Õ¼Õ½. Õ¼Õ½ Õ½. Õ¼Õ½ Õ½Õ¾Õ 4. Õ½ (skräp) 5. Õ½ Õ½Õ 6. Õ½Õ Õ¼Õ½Õ 7. Õ½Õ Õ½Õ¾Õ 8. Õ¼Õ½Õ Õ½Õ¾Õ 9. Õ¼Õ½Õ Õ½Õ¾Õ. Õ½Õ¾Õ Õ½Õ¾Õ. Õ½Õ¾Õ Õ½Õ¾Õ Lösning.5. Vi nvänder delmängdskonstruktion. (o65) {} {,} {,,} {,,,} {,} {,,} Steg för steg:. Strttillstånd: ¼

. ¼ ¼ ½. ¼ ¼ 4. ¼ ½ ¼ ½ ¾ 5. ¼ ½ ¼ 6. ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ 7. ¼ ½ ¾ ¼ 8. ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ 9. ¼ ½ ¾ ¼. ¼ ¼ ½. ¼ ¼. ¼ ½ ¼ ½ ¾. ¼ ½ ¼ Lösning.6. Vi visr hur mn löser uppgiften med åde mängdprtitionering och dul komplementet. (o9) Mängdprtitionering: Vi nvänder minimeringslgoritmen från Slling, sid 6. Nivå Nivå Nivå Tillståndet är icke-ccepternde och tillstånden är ccepternde. Alltså särskiljs och v den tomm strängen. Tillståndet drivs till v strängen, men tillstånden drivs till tillstånd i v vilket tecken som helst. Nivå Tillståndet drivs till v strängen, men tillstånden drivs till tillstånd i v vilket tecken som helst. Nivå 4 Ing ytterligre tillstånd kn särskiljs., B, A CDE 4

Duel reversering: Vi nvänder den dul reverseringslgoritmen från Slling, sid 6. Först reverserr vi utomten och får en NFA Å rev. D E, C B A Näst steg är tt gör om Å rev till en DFA Å ¼ med delmängdskonstruktion.. Först skpr vi ett nytt tillstånd från mängden v tillstånd i NFA:n vi kn nå genom konsumtion v från något strttillstånd. Oserver tt det ny tillståndet får ccepterndesttus, eftersom tillstånd är ccepternde. {A,B,C,D,E}. Sedn skpr vi ett nytt tillstånd v mängden v tillstånd vi kn nå från genom konsumtion v. Vi kn nå tillstånden. {A,C,D,E} {A,B,C,D,E}. Vi ser nu vrt vi kn komm genom konsumtion v från något tillstånd i. {A,B,C,D,E} {A,C,D,E} 4. Vi fortsätter på smm sätt fst från något tillstånd i. {A,B,C,D,E} {A,C,D,E} {C,D,E} 5. Smm sk igen fst från något tillstånd i. 5

{A,B,C,D,E} {A,C,D,E} {C,D,E} 6. Nu hr vi en ekvivlent DFA Å ¼ eftersom ing fler övergångr ehöver undersöks. Vi reverserr nu Å ¼ och får en NFA Å ¼ µ rev. Från Å ¼ µ rev skpr vi nu en DFA Å ¼¼ som innn.. {,} {}. {,} {,,} {}. {,} {} {,,} {} 4. {}, {,} {,,} Nu är vi färdig! Oserver tt denn DFA är smm som den vi kom frm till tidigre, förrutom tt tillstånden hr ndr eteckningr. 6

Lösning.7. (o64) Betrkt utomtern som en NFA, och gör om denn med delmängdskonstruktion till en DFA. {,6} {,7}, {4} {,5} {,5,6} {,5} {,5,6} {4,5,6} {4,6} {4,7} {4,5} Steg för steg:. Strttillstånd: ¼. ¼ ¾. ¼ 4. ¾ 5. ¾ 6. 7. 8. Vi döper om tillstånden enligt nedn. 9..... 4. 5. 6. 7. 8. 9..... 7

G, E H K C A B I D F J Minimering: Nivå ¼ À Á ÂÃ ½ Á Â À Ã Accepternde eller inte ¾ ÁÂ ÀÃ ÁÂ ÀÃ AC drivs till ABCDIJ för ll tecken, BDIJ drivs till ABCDIJ för och EFGHK för. F drivs till ABCDIJ godtyckligt tecken, men EGHK drivs till EFGHK för godtyckligt tecken. A drivs till B v, men C drivs till C ovsett tecken. Ing ndr särskiljningr. ÁÂ ÀÃ Ing ytterligre särskiljnden. Ny DFA:, {C} {A}, {B,D,I,J} {E,G,H,K} 8

LÖSNING TESTUPPGIFT. Vi konstruerr en GFA: (o8) strt Vi tr ort ccepterndesttus på tillstånd och genom tt gör -övergångr till ett nytt tillstånd från och. Sen tr vi ort tillstånd 4. strt Tillstånd eliminers genom tt gör ny övergångr från tillstånd till (loop), och. µ strt µ µ µ strt Vi slår först ihop de två övergångrn till tillstånd från tillstånd, och får det ny uttrycket. Vi kn nu eliminer tillstånd, och får en ny loop över tillstånd, och en ny övergång till tillstånd. Här slår vi smmn de övergångr vi hr, och får en GFA som vi kn extrher ett reguljärt uttryck ur. Det reguljär uttryck som representerr DFA:n är lltså µ µ LÖSNING TESTUPPGIFT 4. (o) {,} {,,} {,,,4} Steg för steg:. Strttillstånd: ½ ¾. ½ ¾ ¼ ½ ¾ 9

. ½ ¾ ½ ½ ¾ 4. ½ ¾ ¼ ½ ¾ 5. ½ ¾ ½ ½ ¾ 6. ½ ¾ ¼ ½ ¾ 7. ½ ¾ ½ ½ ¾ LÖSNING TESTUPPGIFT 5. Vi löser uppgiften med delmängdskonstruktion, Slling sid 6. (o7) Nivå ½ ¾ ËØÖØ Nivå ¾ ½ Nivå ¾ ½ Nivå ¾ ½ Tillstånden,4,6 och 8 är ccepternde och tillstånden,,5 och 7 är det inte. Tillstånden och drivs till tillstånd i ½ v strängen, men tillstånden 5 och 7 drivs till tillstånd i ¾ ovsett tecken. Tillstånden i ¾ drivs till tillstånd i ½ ovsett tecken, och kn därför inte särskiljs på denn nivå. Tillstånden och 6 drivs till tillstånd i v strängen, men tillstånden 4 och 8 drivs till tillstånd i ½ v smm sträng. Ing ndr mängder prtitioners. Nivå 4 ¾ ½ Ing ytterligre särskiljningr kn görs. Den miniml DFA:n ser ut som nedn., {4,8} {,6} {5,7} {,} 4

4 Reguljär grmmtiker Uppgift 4.. (o46) Försök konstruer en reguljär grmmtik som genererr språket Ò Ò Ò ¾ Æ. Förklr vrför du inte lycks! Uppgift 4.. (o48) Skp reguljär grmmtiker för följnde språk. Använd Ë som den först icketerminlen. När du hr skpt grmmtikern, konstruer motsvrnde NFA:s. (i) Û Û ¾¼ ½ Û innehåller delsträngen eller (ii) ½ ½¼ ½ ¼ Uppgift 4.. (o49) Skp NFA:s för följnde språk, och konstruer motsvrnde reguljär grmmtiker efter dess. Använd Ë som den först icketerminlen. (i) ½µ ½ ¼µ ¼½ (ii) ½ ¼µ (iii) Û Û ¾¼ ½ Û slutr inte på Uppgift 4.4. (o47) Skp en reguljär grmmtik för språket v strängr över som innehåller delsträngen och. Uppgift 4.5. Konstruer reguljär grmmtiker för följnde språk. (o5) (i) µ µ (ii) Ò Ñ Ò Ñ ¾ ½ Ò Ñ ¾ Æ Uppgift 4.6. (o77) Konstruer en reguljär grmmtik som producerr språket över lfetet estående v ll strängr med som mest :n. Vis hur strängen producers. Uppgift 4.7. Konstruer en reguljär grmmtik som producerr följnde språk över lfetet : (o78) Ä Û Û Û ½ ÑÓ µ Vis sedn hur strängen producers. 4

Lösningr Lösning 4.. (o46) Det är logiskt tt örj med Ë som produktionsregel. Redn här måste vi kunn generer :n för tt kunn få smm ntl :n och :n. Men ing fler terminler får förekomm i en reguljär produktionsregel. Den kontextkänslig grmmtiken Ë Ë genererr däremot språket. Lösning 4.. (o48) (i) Ë ¼Ë ½Ë ½Ì ¼Î Ì ½Í Î ¼Í Í ¼Í ½Í, S, T U V (ii) Ë Ì ½Í Ì ½Ì Í ¼Í Î Î ½Î ¼ S T U V Lösning 4.. (o49) (i) ½µ ½ ¼µ ¼½ ½ ¼µ ¼½, S T Ë ¼Ë ½Ë ¼ Ì ½Ì (ii) ½ ¼µ ½ S Ë ½Ë (iii) S T U Ë ¼Ì ½Ë Ì ¼Ì ½Í Í ¼Ì ½Ë 4

Lösning 4.4. (o47) Ë Ë ½ Ë ¾ Ë ½ Ë ½ Ë ½ Ë ¾ Ë ¾ Ë ¾ À À À À Lösning 4.5. (o5) (i) Ë Ë ½ Ë ¾ Ë ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Ë ½ Ë ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ (ii) Konstruer strängr med udd längd estående v något ntl :n följt v något ntl :n. Ë udd udd udd jämnt jämnt jämnt udd udd udd jämnt jämnt udd Lösning 4.6. (o77) Ë Ë Ë Produktion v strängen : Ë µ Ë µ Ë µ µ µ µ µ µ 4

Lösning 4.7. Ë Ë Ë Strängen producers enligt nednstående. (o78) Ë µ µ Ë µ µ µ Ë µ µ Ë µ µ 44

5 Ickeregulritet Uppgift 5.. (o79) Vis tt om språken Ä ½ och Ä ¾ är reguljär, så är nednstående språk reguljär. Du får nvänd vilken sorts evis du vill, och nvänd evis från kursoken och/eller lektionsmterilet. (i) Ä ½ Ä ¾ (ii) Ä ½ (iii) Ä ½ Ä ¾ (iv) Ä ½, dvs. Ä ½ (v) Ä ½ Ä ¾ (vi) Ä ½ Ä ¾ (vii) Û Û ¾ Ä ½ om och endst om Û ¾ Ä ¾ (viii) ÔÖ Ü Ä ½ µ (se Nottion) (ix) ÙÆÜ Ä ½ µ (se Nottion) (x) Ð ØÖÒ Ä ½ µ där Ð ØÖÒ Äµ Û Ü Ý så tt ÜÛÝ ¾ Ä Uppgift 5.. Vilk v följnde språk är reguljär? (o68) (i) Ò Ñ ÒÑ ÒÑ (ii) Ò Ñ Ò Ñ Ò Ñ (iii) Ò Ñ ÒÑ ÒÑ (iv) Ò Ñ Ò Ñ Ò Ñ Uppgift 5.. Bevis tt om Ä är reguljärt så är Ä rev reguljärt. (o4) Uppgift 5.4. (o7) Vd kn du säg om språket Ä Û ¾ Û Û? är det den tomm mängden? är det reguljärt? Uppgift 5.5. (o) Är det snt tt ett språk inte kn vr reguljärt om det är unionen v språk som är icke-reguljär? Är motsvrnde snt för snittet? För smmnsättning? Om det är snt, evis dett. Annrs, ge motexempel. 45

Uppgift 5.6. (o8) Avgör om följnde språk är reguljär eller ickereguljär. Bevis tt din svr är korrekt. Du får nvänd egenskper för reguljär språk, slutenhetsegenskper över dess, sker du vet om DFA:s, NFA:s eller reguljär uttryck och grmmtiker. (i) Ò ¾Ò (ii) Û Û ¾¼ ½ Û ¼ Û ½ (iii) Û Û ¾ Û ¾Û (iv) Û rev Û ¾ Ä Ò Ñ µ (v) ÜÛÜ rev Ý Ü Û Ý ¾ (vi) Ò Ò Ñ Ñ Ñ ¾ Uppgift 5.7. Bevis tt följnde språk är ickereguljär: (o) (i) ¼ ½ Ò ¼ Ñ Ò Ñ Ò ½ (ii) ÛÛ Û ¾ ¼ ½µ (iii) ¼½µ Ò ½¼µ Ò Ò ¼ (iv) Mängden v ll strängr över ¼ ½ med smm ntl ettor och nollor. (v) Û ¾ ¼ ½µ Û Û rev (vi) ÜÜ rev Û Ü Û ¾ ¼ ½µ (vii) ¼ Ò Ò är ett primtl (viii) ¼ Ò Ò är ett smmnstt tl (ix) ¼ Ñ ½ Ò Ñ Ò Uppgift 5.8. Bevis med pumpstsen tt språket Ä Ò Ò Ò¾ Æ är ickereguljärt. Uppgift 5.9. Bevis tt språket Ä Û ¾¼ ½ Ù ÛÛÛ ÙÙ är ickereguljärt. Uppgift 5.. Låt Ä vr ett reguljärt språk. Vd kn vi säg om följnde språk? (o8) (o6) (o67) Uppgift 5.. Ä ½ Û ÛÛ rev ÛÛ rev ¾ Ä (o7) Ü är en rot till Û om Ò ¼ så tt Û Ü Ò. Vi definierr roten till ett språk Ä som ÖÓØ Äµ Ü Ò ¼Ü Ò ¾ Ä. Bevis tt för vrje språk Ä gäller tt ¾ Ä ÖÓØ Äµ. 46

TESTUPPGIFT 6. Avgör om följnde språk är reguljär eller inte. (o4) (i) Ä (ii) Ä ½ ÑÒ ½ ¾ µ 47

Lösningr Lösning 5.. (i) Reguljär språk är enligt definitionen v dess slutn över smmnfogning. (o79) (ii) Reguljär språk är enligt definitionen v dess slutn över Kleenestjärnekonstruktion. (iii) Reguljär språk är enligt definitionen v dess slutn över unionsopertionen. (iv) Om Ä ½ är reguljärt, så kn mn konstruer en DFA för språket. Antg tt Å ½ É Æ µ är en sådn DFA. Då kn mn konstruer en ny DFA Å ¼ ½ É Æ É µ som förkstr en sträng Û om och endst om Å ½ skulle ccepter Û. µ Ä Å ¼ ½ µ Ä Å ½ µ Ä ½ Ä ½. Eftersom det då finns en DFA som ccepterr språket Ä ½,såärÄ ½ reguljärt om Ä ½ är reguljärt. µ Reguljär språk är slutn över komplementet. (v) DeMorgns lg för mängder ger tt Ä ½ Ä ¾ Ä ½ Ä ¾. Eftersom reguljär språk är slutn över komplementet och union så är reguljär språk dessutom slutn över snittet. (vi) Noter tt Ä ½ Ä ¾ Ä ½ Ä ¾. Eftersom reguljär språk är slutn över snittet och komplementet, så är de slutn över mängddifferens. (vii) Noter tt Û Û ¾ Ä ½ om och endst om Û ¾ Ä ¾ Ä ½ Ä ¾ µ Ä ¾ Ä ½ µ. Eftersom reguljär språk är slutn över mängddifferens och union, så är denn mängd reguljär. (viii) Antg tt Å ½ är en NFA som ccepterr Ä ½. Konstruer en ny NFA Å ¼ ½ som är ekvivlent med Å ½ förrutom tt vi lägger till ett nytt tillstånd Õ, som är det end stopptillståndet i Å ¼ ½. Vi lägger också till -övergångr till Õ från ll tillstånd vrifrån det finns en väg till något stopptillstånd i Å ½.OmÛÞ ¾ Ä ½ så konsumers Û genom de vnlig övergångrn från Å ½, och sedn ts en v de ny -övergångrn till Õ för tt simuler konsumtionen v Þ, utn tt konsumer något egentligen. Så, Ä Å ¼ ½ µ ÔÖ Ü Ä Å ½µµ ÔÖ Ü Ä ½ µ, dvs. om Ä ½ är reguljärt så är ÔÖÜ Ä ½ µ också reguljärt. (ix) Antg tt Å ½ är en NFA som ccepterr Ä ½. Konstruer en ny NFA Å ¼ ½ som är ekvivlent med Å ½ förrutom tt vi lägger till ett nytt strttillstånd Õ ¼. Vi lägger också till -övergångr från Õ ¼ till ll tillstånd vrifrån det finns en väg till något strttillstånd. Om ÜÛ ¾ Ä ½ så simulers konsumtionen v Ü genom tt en övergång från den först mängden -övergångr och Û konsumers genom de vnlig övergångrn från Å ½.SåÄ Å ¼ ½ µ ÙÆÜ Ä Å ½µµ ÙÆÜ Ä ½ µ, och lltså gäller tt om Ä ½ är reguljärt, så är ÙÆÜ Ä ½ µ också reguljärt. (x) Antg tt Å ½ är en NFA som ccepterr Ä ½. Konstruer en ny NFA Å ¼ ½ som är ekvivlent med Å ½ förrutom tt vi lägger till ett nytt strttillstånd Õ ¼ smt ett nytt stopptillstånd Õ, som är det end stopptillståndet i Å ¼. Vi lägger också till -övergångr från Õ ½ ¼ till ll tillstånd vrifrån det finns en väg till något strttillstånd, och -övergångr till Õ från ll tillstånd vrifrån det finns en väg till något stopptillstånd i Å ½.OmÜÛÝ ¾ Ä ½ så simulers konsumtionen v Ü genom tt en övergång från den först mängden -övergångr, Û konsumers genom de vnlig övergångrn från Å ½ och konsumtionen v Ý simulers genom en övergång från den ndr mängden -övergångr. Så Ä Å ¼ ½ µ Ð ØÖÒ Ä Å ½µµ Ð ØÖÒ Ä ½ µ, och lltså gäller tt om Ä ½ är reguljärt, så är Ð ØÖÒ Ä ½ µ också reguljärt. Lösning 5.. (o68) (i) Ej reguljärt. Dett är smm språk som Ò Ñ Ò Ñ vilket är komplementspråk till Ò Ñ Ò Ñ som ej är reguljärt (vilket ni ör h kommit frm till i uppgift 4. och skll evis i uppgift 5.8). Då komplementildning ehåller regulritet kn språket i fråg ej vr reguljärt. (ii) Reguljärt. Språket kn eskrivs v det reguljär uttrycket. 48

(iii) Reguljärt. Dett språk innehåller ing strängr och är därmed reguljärt. (iv) Ej reguljärt. Smm språk som det icke-reguljär språket Ò Ñ Ò Ñ. Lösning 5.. (o4) Eftersom Ä är reguljärt så finns det en som känner igen dett språk. Om vi vänder på ll ågr i denn utomt, vilket gör strttillståndet till ccepternde tillstånd och de ccepternde tillstånden till strttillstånd, så lir resulttet tt vi kör den ursprunglig utomten klänges och den ny utomten kommer då tt känn igen språket Ä rev. Då det finns en finit utomt som känner igen Ä rev är språket reguljärt. Lösning 5.4. (o7) Det är inte den tomm mängden eftersom t.ex. Û och Û uppfyller Û Û. Omvi tittr lite närmre på dett villkor så ser vi tt Û måste örj med eftersom dett är prefixet till vänster om likhetstecknet. På smm sätt måste strängrn slut med då dett är postfix till höger. Vi kn dock gör ett undntg för strängen som får funger som åde inlednde och vslutnde och så tt säg lånr sin :n från prefix- och postfixsträngrn i villkoret. Strängen uppfyller lltså villkoret då. Vi försöker nu hitt någr längre exempel. Strängrn skulle lltså örj med så vi måste lägg till ett till vår miniml sträng. Vi hde ju även krvet tt de skulle slut på men vi kn låt det vslutnde :et vr smm som det inlednde och får då strängen.omvi fortsätter tt ygg på denn sträng så leder oss krvet tt de sk slut på frm till följnde strängr. Det finns som synes en regulritet i strängrn som kn smmnftts med: strängrn estår v ett inlednde följt v noll eller fler. Eller om vi formulerr oss med ett reguljärt uttryck: µ. Eftersom det finns ett reguljärt uttryck för språket så är det reguljärt. Lösning 5.5. (o) Språk som ilds vi union v två icke-reguljär språk kn vr reguljär. Dett är t.ex. fllet med språket som ilds vi union v de två icke-reguljär språken Ò Ñ Ò Ñ och Ò Ñ Ò Ñ som eskrivs v det reguljär uttrycket. Även snittet v två icke-reguljär språk kn ge ett reguljärt språk, exempelvis de ickereguljär språken Ò Ò och Ò Ò vrs snitt endst innehåller den tomm strängen vilket är reguljärt. Smmnsättning v två icke-reguljär språk ger dock lltid ett ickereguljärt språk. Om vi ntr motstsen, dvs. tt det gick tt skp ett reguljärt språk genom smmnsättning v två icke-reguljär språk, så skulle det finns en finit utomt som ccepterde dett språk. Smmnsättning v språk motsvrr seriekoppling v de finit utomter som ccepterr respektive språk, lltså skulle det vr möjligt tt del denn finit utomten i två seprt utomter som ccepterde vrt och ett v de ursprunglig språken vilket är en motsägelse då dess språk vr icke-reguljär och det då inte kn finns någr finit utomter som ccepterr dem. Lösning 5.6. (o8) (i) Ej reguljärt. Antg tt Ä Ò ¾Ò är ett reguljärt språk. Då finns det en Å som ccepterr Ä. Skp en ny Å ¼ som ser likdn ut som Å förutom tt ll pr v övergångr Æ Õ½µ Õ¾ och Æ Õ¾µ Õ yts ut till en enskild övergång Æ Õ½µ Õ (två ågr i Å som konsumerr två :n ersätts med en övergång som konsumerr ett ). Å ¼ konsumerr hälften så mång :n som Å, Ä Å ¼ µ Ò Ò vilket då måste vr reguljärt eftersom det finns en som ccepterr dett spår vilket är en motsägelse eftersom vi vet tt Ò Ò är ickereguljärt. Alltså är även Ä ickereguljärt. (ii) Ej reguljärt. Antg tt Ä Û Û ¾¼ ½ Û ¼ Û ½ är reguljärt. Eftersom reguljär språk är slutn över komplement och snitt så är även ÄÄ ¼ ½ µ reguljärt. Men ÄÄ ¼ ½ µ ¼ Ò ½ Ò, vilket inte är reguljärt, lltså är ej heller Ä reguljärt. 49

(iii) Ej reguljärt. Antg tt Ä Û Û ¾ Û ¾Û är reguljärt. Från slutenhetsegenskpern över reguljär språk vet vi tt även ÄÄ µ är reguljärt. Men ÄÄ µ Ò ¾Ò, vilket inte är reguljärt, lltså är ej heller Ä reguljärt. (iv) Reguljärt. Det reguljär uttrycket eskriver dett språk. (v) Reguljärt. Det reguljär uttrycket µ µ µ µ eskriver dett språk. Noter tt Û kn vr godtyckligt lång, så den kn ät upp slutet på Ü och örjn på Ü rev. Det end egentlig krvet är tt det först tecknet i Ü (som måste innehåll minst ett tecken) förekommer längre frm i strängen. (vi) Ej reguljärt. Dett språk kn också skrivs Ä Ò Ò Ò Ò ½ Ò Ò ¾ ¾. Antg tt Ä är reguljärt. Ä måste då också vr reguljärt. Men Ä Ò Ò vilket är ickereguljärt, lltså är ej heller Ä reguljärt. Lösning 5.7. (o) (i) ¼½ Ò ¼ Ò Ñ Ñ Ò ½ ¼½ Ò ¼ Ò ¼ Ñ och då vi vet tt ½ Ò ¼ Ò och ¼ Ñ är ickereguljär och tt smmnsättning v icke-reguljär språk ger ett nytt ickereguljärt språk, så kn språket i uppgiften inte vr reguljärt. (ii) Språket är ickereguljärt. Ty vrje pr v de oändligt mång strängrn över ¼ ½µ särskiljs v språket, d.v.s. vrje pr Ü Ý ¾ ¼ ½µ där Ü Ý särskiljs då ÜÜ tillhör språket men inte ÝÜ. (iii) Att dett språk är ickereguljärt ses knske enklre om vi sätter ¼½och ½¼då vi får språket Ò Ò Ò ¼ vilket vi vet är ickereguljärt. (iv) Vi kllr språket Ä och ntr tt det är reguljärt. Då är även Ä ¼ ½ µ reguljärt, då reguljär språk är slutn över snittildning, men dett är en motsägelse eftersom Ä Ä ¼ ½ µ¼ Ò ½ Ò vilket är ickereguljärt. Alltså kn ej heller Ä vr reguljärt. (v) Dett språk särskiljer oändligt mång strängr och är därför ickereguljärt. Ty vrje pr v de oändligt mång strängrn Ü Ý ¾ ¼ ½µ, där Ü Ý, särskiljs då ÜÜ rev tillhör språket men inte ÝÜ rev. (vi) Språket måste särskilj ändligt mång strängr. Beviset är nlogt med lösningen ovn. Vrje pr v de oändligt mång strängrn Ü Ý ¾ ¼ ½µ där Ü Ý, då det finns en sträng Þ Ü rev sådn tt ÜÞÛ tillhör språket men inte ÝÞÛ, särskiljs oändligt mång strängr v språket vilket då inte är reguljärt. (vii) Även här är det lämpligt tt nvänd särskiljndestsen. Vi ehöver dock strm upp vår krv på strängrn något då det nnrs inte är uppenrt tt språket särskiljer dem åt. T två strängr Ü ¼ Ò och Ý ¼ Ò ½, ntlet sån strängr är oändligt. Då även ntlet primtl är oändligt finns det en sträng Þ ¼ Ñ sådn tt Ò Ñ är ett primtl men inte Ò ½µ Ñ (förutom för Ò Ñ ½då åde och är primtl). ÜÞ tillhör lltså språket men inte ÝÞ. Språket särskiljer då oändligt mång strängr vilket gör det ickereguljärt. (viii) Smmnstt tl är ll tl som inte är primtl. Dett språk är lltså komplementspråk till språket v primtlssträngr i föregående uppgift, vilket lltså vr ickereguljärt. Från dett smt från slutenhetsegenskpern för komplementildning vet vi tt inte heller dett språk är reguljärt. (ix) Dett språk är komplementspråk till ¼ Ò ½ Ò vilket är ickereguljärt, från slutenhetsegenskpern för komplement så vet vi då tt även dett språk är ickereguljärt. 5

Lösning 5.8. (o8) Vi örjr med tt t en titt på pumpstsen. Pumpstsen uttrycker egenskper som måste gäll för ll strängr i ett reguljärt språk (med oändligt mång strängr). Stsen säger tt ll strängr i ett sådnt språk, som är längre än ett visst tl, innehåller en delsträng (som inte är tom) som kn åde pumps ur en gång (ts ort) och pumps upp ett godtyckligt ntl gånger (repeters), och den resulternde strängen ligger fortfrnde i språket. Dessutom gäller tt en sådn delsträng finns i vrje delsträng v en sträng i språket, om delsträngen hr längd större än eller lik med tlet som nämndes ovn. Omformulert så gäller lltså tt ll strängr Û ¾ Ä där Û Æ kn skrivs som Û ÜÝÞ där Ý ¼, och för ll ¾ Æ så gäller tt ÜÝ Þ ¾ Ä. Dessutom gäller tt ll delsträngr v Û där Û Æ hr ett sådnt pumplock Ý. För tt evis tt ett språk är ickereguljärt med pumpstsen så är det lättst tt försök konstruer en motsägelse. Alltså örjr vi med tt nt tt språket Ä Ò Ò är reguljärt, och försöker komm frm till motstsen. Vi kommer gör dett genom tt titt på en enskild sträng i Ä och vis tt denn inte går tt pump enligt pumpstsen. Så, enligt pumpstsen så gäller tt vrje sträng i Ä som hr längd större än eller lik med ett okänt tl Æ sk h ett pumplock Ý som kn pumps. Eftersom vi inte hr en ning om vd Æ skulle kunn tänks vr, så måste vi vr försiktig och välj en sträng som grntert hr längd större än eller lik med Æ. Det end sättet vi kn gör dett på är tt välj en sträng som är prmetriserd på Æ. T.ex kn vi titt på strängen Û Æ Æ, där det grntert gäller tt Û Æ. Näst steg är tt titt på exkt vr någonstns i strängen Û ÜÝÞ pumplocket Ý ligger. Här kn vi dr nytt v tt ett pumplock måste finns i ll delsträngr v Û där Û Æ. Vi tittr på delsträngen Æ, för vilken det gäller tt Æ Æ. Alltså måste det i Æ finns ett Ý så tt Û ÜÝ Þ ¾ Æ. Vi hr lltså Û Æ Æ där Ü Æ, Ý och Þ Æ.Vi provr tt pump ur pumplocket Ý en gång, och får strängen Æ Æ där ¼. Denn sträng sk enligt pumpstsen finns i språket Ä (enligt ntgndet tt Ä är reguljärt). Men eftersom vi nu hr olik ntl :n och :n så ligger inte den pumpde strängen i språket! Vi hr hittt en motsägelse, och lltså måste vårt ntgnde tt Ä är reguljärt vr flskt. Ä är lltså ickereguljärt. Lösning 5.9. (o6) Vi nvänder oss v pumpstsen även i dett evis. Strängen Û ½¼ Æ ½½¼ Æ ½ tillhör språket, ty ÛÛÛ ÙÙ med Ù ½¼ Æ ½½¼ Æ ½½¼ Æ ½, men pumpr mn t.ex. den inlednde sekvensen v nollor, vilket enligt pumpstsen sk vr möjligt då längden på denn sträng är större eller lik med Æ, så fller strängen ur språket, d.v.s. om Û ½¼ ¾Æ ½½¼ Æ ½ så är ÛÛÛ ÙÙ. Språket är lltså inte reguljärt. Lösning 5.. (o67) Strängrn i språket estår v ett smmnstt pr v delsträngen ÛÛ rev. Strängrn är då lik ovsett om vi läser dem frm eller klänges, de är lltså så kllde plindrom. Plindromspråk är ej reguljär och som vi såg i uppgift 5.5, så kn mn inte få ett reguljärt språk genom smmnsättning v två ickereguljär språk. Lösning 5.. (o7) Vi hr ÖÓØ Äµ Ü Ò ¼Ü Ò ¾ Ä. Antg tt ¾ Ä och välj Ò ¼. Vi får då ÖÓØ Äµ Ü Ü ¼ ¾ Ä Ü ¾ Ä, och eftersom vi inte längre hr någon egränsning på vilk strängr Ü som skll ingå i ÖÓØ Äµ så är ÖÓØ Äµ. Vi hr lltså vist tt ¾ Ä µ ÖÓØ Äµ. Antg nu tt ÖÓØ Äµ. Vi vill vis tt då gäller ¾ Ä. Eftersom ¾ så måste det gäll tt Ò ¼ Ò ¾ Ä. Ovsett hur mång gånger vi än repeterr så får vi resulttet, dvs Ò ¼ Ò. Alltså måste det gäll tt ¾ Ä. Vi hr då vist tt ¾ Ä ÖÓØ Äµ, och tillsmmns med ovnstående stycke så får vi då tt ¾ Ä ÖÓØ Äµ. 5

LÖSNING TESTUPPGIFT 6. (o4) (i) Ä är ickereguljärt. Antg tt Ä är reguljärt. Då sk det finns ett tl Æ sådnt tt om Û ¾ Ä och Û Æ så innehåller Û en icketom delsträng Ý som kn pumps utn tt Û fller ur språket. En sådn pumpsträng finns i själv verket i vrje delsträng v Û som är minst Æ tecken lång. Se då på strängen Æ Æ ¾Æ som tillhör språket eftersom Æ Æ ¾Æ. Låt den inlednde sekvensen v :n vr vår pumpsträng Ý, vilken uppfyller villkoret i pumpstsen då Ý Æ. Om vi pumpr Ý en gång så fller strängen ur språket då ¾Æ Æ ¾Æ. Vi hr fått en motsägelse, lltså kn inte Ä vr reguljärt. (ii) Ä är reguljärt. Vrje sträng i Ä kn som mest h 8 v vrder :n, :n och :n. Dett gör ntlet strängr i Ä ändligt och språket är därmed reguljärt. 5