L HOSPITALS REGEL L Hospitals rgl (llr L Hopitals rgl ff( aa gg( ff ( aa gg ( används vid bräkning av obstämda uttryck av typ llr Sats (L Hospitals rgl Låt f och g vara två funktionr md följand gnskapr i närhtn av tt firat rllt tal a a f( och a g( Dt finns n punktrad omgivning (a h, a (a, a+k till punktn a där drivatorna f ( och g ( istrar och ( för a g ( Dt istrar gränsvärdt f ( a g ( A Då istrar också gränsvärdt och dssutom ff( a gg( ff( a gg( ff ( a gg ( Anmärkning L Hospitals rgl gällr ävn för nsidiga gränsvärdn och dssutom om aa rsätts md Anmärkning Vi kan använda l Hospitals rgl flra gångn, mn varj gång måst vi kontrollra om uttryckt är av typ llr Empl Bräkna sin arcsin Lösning: Uttryckt är av typ Enligt l Hospitals rgl har vi Sida av 8
sin arcsin L H cos / ( Empl Bräkna ln ( + + Lösning: Uttryckt är av typ Enligt l Hospitals rgl har vi ln ( + + L H + cos + Empl Bräkna > md hjälp av l Hospitals rgl Lösning: Vi användr l Hospitals rgl flra gångr mn varj gång kontrollrar vi om uttryckt är av typ llr cos + > " " [l Hospital ] sin + " " > cos + " " > [l Hospital ] [l Hospital ] sin " " > [l Hospital ] cos > cos + Svar: > Sida av 8
Empl Bräkna (cos sin > ( + cos arcsin Lösning: Uttryckt är av typ Innan vi börjar md användning av l Hospitals rgl, sparrar vi gränsvärdt i två dlar, n dl som vi bräknar dirkt och andra dln som vi lösr md l Hospitals rgl: (cos sin (cos sin (* > ( + cos arcsin > ( + cos > arcsin Dt första gränsvärdt bräknar vi dirkt (cos > ( + cos Andra gränsvärdt, som är av typ [/] bräknar md hjälp av l Hospitals rgl sin > arcsin L' H cos > Från (* har vi nu (cos sin > ( + cos arcsin Uppgift Bräkna följand gränsvärdn a arcsin > b + > + ln( + c > 8 d + 6 > > + f > + + 99 g > (cos sin h ( + sin( π sin( π > Lösning h Uttryckt är av typ Innan vi börjar md användning av l Hospitals rgl, sparrar vi gränsvärdt i två dlar, n dl som vi bräknar dirkt och andra dln som vi lösr md l Hospitals rgl: ( + sin( π sin( π sin( π sin( π ( + sin( π > > > > ' H π cos( π π > L Sida av 8
Svar: a b c 8 d 9 f g 6 h π UTTRYCK AV TYP [ ] llr [ (-] Anta att funktionn f( går mot och g( går mot Då kan produktn f( g( skrivas som kvotn ff( /gg( gg( llr /ff( Kvotn blir då tt uttryck av typ llr och vi kan använda l Hospitals rgl Empl : Bräkna ( ln( > Lösning: Uttryckt är av typ [ (-] ln( ( ln( [ ], l Hospitals rgl > > /( ( > ( ( ( > UTTRYCK AV TYP [ ], [ ], [ ] Eftrsom a ln a, tt uttryck av typ v u kan vi skriva som u v ln u v v ln u och bräkna gränsvärdt av ponntn Empl 6 Bräkna v ln u (cos > Lösning: Uttryckt är av typ [ ] Sida av 8
(cos > > ln(cos Vi bräknar gränsvärdt av ponntn sin ln(cos ln(cos [, l' Hospital] cos > > > ln(cos Därför (cos > Empl 6 Bräkna > > Lösning: Uttryckt är av typ [ ] > ln( > Vi bräknar gränsvärdt av ponntn ln ln( [, l' Hospital] > > / > / / ( > ln( Därför > > Uppgift Bräkna a b > a + b + > c, där a,b,c> Lösning: ln / (* a > > > Vi bräknar gränsvärdt av ponntn och därftr substiturar i (* Sida av 8
ln ln ( L' hospital > > > Dtta substiturar vi i (* och får : > > ln b a + b + c > > a ln( + b + c (* Vi bräknar gränsvärdt av ponntn och därftr substiturar i (* a ln( + b + c ( L' hospital a + b + c a > > ln a + b ln b + c ln c ( förkorta a > ln a + b ln b + c a + b + c ln c a ln a + b ln b + c a + b + c ln c ln a + ln b + ln c ln( abc / Dtta substiturar vi i (* och får : > a ln( + b + c ln( abc / ( abc / abc Svar: a b abc NÅGRA EXEMPEL DÄR L HOSPTALS REGEL ÄR INTE ANVÄNDBAR Empl 7 Bräkna + + > + Gränsvärdt är av typ Om vi vill använda l Hospitals rgl måst vi drivra gångr Iställt, bräknar vi gränsvärdt dirkt: Sida 6 av 8
+ + > + > ( + + 9 ( + 99 + + 9 > + 99 Empl 8 Bräkna > + Gränsvärdt är av typ Om vi användr l Hospitals rgl två gångr får vi > > > + l' Hospital + + > > + +!!! l' Hospital Alltså, ftr två användningar har vi fått samma uttryck som vi börjad md! Själva gränsvärdt klarar vi nklt utan hjälp av l Hospitals rgl: > + > + > + Empl 9 Bräkna + sin > Gränsvärdt är av typ Om vi försökr använda l Hospitals rgl får vi > f ( g ( + cos > Dtta gränsvärdt istrar int och därför gällr int l Hospitals rgl f ( ( Enligt sats : Om istrar då istrar > g ( > f ( istrar int och därför kan vi int använda satsn > g ( f ( g ( och har samma värd I vårt fall Sida 7 av 8
Notra att gränsvärdt md : + sin > nklt kan bräknas om vi dlar täljarn och nämnarn sin + + sin + > > Sida 8 av 8