KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)

Relevanta dokument
Kontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12

NÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR. Fördelningsfunk. t 2

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1

Om i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

TNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.

Anmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om

1. Låt M, +,,, 0, 1 vara en Boolesk algebra och x,

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED

arctan x tan x cot x dx dz dx arcsin x x 1 ln x 1 log DERIVERINGSREGLER och några geometriska tillämpningar

24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.

re (potensform eller exponentialform)

ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED

Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said

Lösningar till ( ) = = sin x = VL. VSV. 1 (2p) Lös fullständigt ekvationen. arcsin( Lösning: x x. . (2p)

som gör formeln (*) om vi flyttar första integralen till vänsterledet.

Räkneövning i Termodynamik och statistisk fysik

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 22 dec 2016 Skrivtid 8:00-12:00

Matematisk statistik

Tryckkärl (ej eldberörda) Unfired pressure vessels

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 8 juni 2009 Tid:

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Räkneövningar populationsstruktur, inavel, effektiv populationsstorlek, pedigree-analys - med svar

2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten

Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

(x y) 2 e x2 y 2 da, D. där D är den triangelskiva som har sina hörn i punkterna (0, 0), (0, 2) och (2, 0). dx + y 3 e y dy,

Definition 1a: En talföljd är en reell (eller komplex) funktion vars definitionsmängd är mängden av naturliga tal {0,1,2,3,4, }.

vara en given funktion som är definierad i punkten a. i punkten a och betecknas f (a)

Slumpjusterat nyckeltal för noggrannhet vid timmerklassningen

Vid tentamen måste varje student legitimera sig (fotolegitimation). Om så inte sker kommer skrivningen inte att rättas.

TENTAMEN Datum: 28 maj 08 TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel

Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2017, kl. 9:00-13:00

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA APRIL 2016

Föreläsning 10 Kärnfysiken: del 2

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna

Tentamen 2008_03_10. Tentamen Del 1

TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA?

Föreläsning 5 och 6 Krafter; stark, elektromagnetisk, svag. Kraftförening

spänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA JANUARI 2018

4.1 Förskjutning Töjning

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.

Lektionsuppgifter i regressionsanalys

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment: TEN2 (analys) Datum: Lördag, 9 jan 2016 Skrivtid 13:00-17:00

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA JANUARI 2017

i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.

SF1911: Statistik för bioteknik

247 Hemsjukvårdsinsats för boende i annan kommun

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2018

4.1 Förskjutning Töjning

Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare

Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få

om X har följande sannolikhetsfunktion λ λ . Då gäller a) väntevärdet E(X) = λ b) variansen σ = λ och därmed c) standardavvikelsen σ = λ

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Tentamensskrivning i Mekanik, Del 2 Dynamik för M, Lösningsförslag

Förra gången: fördelningar Omfattande system med många partiklar kan praktiskt bara beskrivas i statistiska termer.

Elementær diskret matematikk, MA0301, våren 2011

Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2

Uppskatta lagerhållningssärkostnader

Umeå Universitet Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e

Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE1025) den 3 juni 2010 kl

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

Tentamen i Kemisk termodynamik kl 8-13

Tryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2017

Del 1 Teoridel utan hjälpmedel

11. Egenvärden och egenvektorer

1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t

ATLAS-experimentet på CERN (web-kamera idag på morgonen) 5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

LINJÄRA SYSTEM repetitions- och tentamensfrågor. Matrisräkning (rep.)

Epipolärgeometri och den fundamentala matrisen. Epipolarlinje. Epipoler. Exempel. vara dess avbildning i två bilder genom

Svar: a) i) Typ: linjär DE med konstanta koefficienter i homogena delen dy men också separabel ( y = 10 4y

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.

Matematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.

Knagge. Knaggarna tillverkas av 2,0 ± 0,13 mm galvaniserad stålplåt och har 5 mm hål för montering med ankarspik eller ankarskruv.

Revisionsrapport Hylte kommun. Granskning av överförmyndarverksamheten

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 19 nov 07

KONTROLLSKRIVNING 2 Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 14 apr 2014 Skrivtid: 13:15-15:00

Finansiell statistik, vt-05. Kontinuerliga s.v. variabler. Kontinuerliga s.v. F7 Kontinuerliga variabler

Kap 3: Diskreta fördelningar

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2016

Föreläsning 1. Metall: joner + gas av klassiska elektroner =1/ ! E = J U = RI = A L R E = J = I/A. 1 2 mv2 th = 3 2 kt. Likafördelningslagen:

Föreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 28 okt 2015

Föreläsning 6 och 7 Krafter; stark, elektromagnetisk, svag. Kraftförening

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

BILAGOR. till. förslaget till EUROPAPARLAMENTETS OCH RÅDETS FÖRORDNING

Transkript:

Kontinurliga fördlningar KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Allmänt om kontinurliga s.v. Dfinition. En stokastisk variabl ξξ. kallas kontinurlig om fördlningsfunktionn FF ξ är kontinurlig. Egnskar: Fördlningsfunktionn F är n väand funktion: FF lim FF, kkkkkkkkkkkkkk, FF lim FF, kkkkkkkkkkkkkk, FF Sannolikhtn att n kontinurlig s v har värdn i tt intrvall a,b] bräknas nklt md hjäl av F aa < ξξ bb FFbb FFaa. Vi bvisar nu att sannolikhtn att n kontinurlig s.v. ξ antar akt tt givt värd är alltid lika md. Till skillnad från diskrta fördlningar där några unktr bär sannolikhtsmassa Sats. Om ξ är n kontinurlig s.v. och b tt rllt tal då är ξ b. Låt a, b vara rlla tal. Eftrsom { : b} { : a < b} har vi ξ b a < ξ b, dvs ξ b F b F a * Eftrsom F är kontinurlig gällr lim F a F b. Om vi låtr a b får vi från * a b ξ b F b lim F a F b F b llr a b ξ b, md andra ord ξ b V.S.B. Följdsatsn: Om ξ är n kontinurlig s.v. då är aa < ξξ bb aa ξξ bb aa ξξ < bb aa < ξξ < bb av

Kontinurliga fördlningar Vi sr åtrign skillnad mllan diskrta och kontinurliga fördlningar. Dfinition. Om funktionn FF är drivrbar vntullt förutom i ändligt antal unktr då kallas drivatan ff FF täthtsfunktionn llr frkvnsfunktionn för variabln ξξ. Egnskar: Täthtsfunktionnfrkvnsfunktionn ff är n ositiv funktion Från f FF får vi att FF ffttdddd Därmd bb a < ξ bb FFbb Fa ffdddd aa Alltså, om vi har f kan vi bräkna sannolikhtn a < ξ bb md hjäl av intgraln bb aa ffdddd. bb Aran a < ξ bb ffdddd aa Därmd är aran mllan -aln och kurvan yy ff lika md. < ξ ffdddd FF F av

Kontinurliga fördlningar Aroimation av sannolikhtn <ξ om är litt f Δ Om är litt så är skuggad aran aroimativt lika md aran av rktangln md basn och höjdn f. Därför kan vi använda följand aroimation <ξ f. Vi kan diskrtisra n kontinurlig stokastisk variabl ξ gnom att aroimra aran undr frkvnsfunktionn md rktanglar md små basr k. k Vi kan btrakta n diskrt s.v. X som antar värdna k md sannolikhtrna k f k. Då är väntvärdt av dn diskrt s.v. X lika md k k k f k. Om är litt då är k k k f k f d om intgraln istrar. Dtta motivrar följand dfinition. VÄNTEVÄRDET för n kontinurlig s. v.ξ btcknas m, µ llr EEξξ och dfiniras nligt följand µ E f d k av

Kontinurliga fördlningar å liknand sätt motivras dfinitionn av variansn av n kontinurlig s.v. VARIANSEN av n kontinurlig s. v.ξ btcknas VVξξ, Var, σσ llr ss V ξ ξ µ f ξ dξ ξ f ξ dξ µ STANDARDAVVIKELSEN : Btcknas σσ llr s, llr D ξ σσ VVVVVVVVVVVVVVVVVV MEDIANEN dfiniras som lösningn till kvationn FF. Mdiann dlar aran undr frkvnsfunktionn llr täthtsfunktionn ff i två lika dlar. Om frkvnsfunktionn är symmtrisk då sammanfallr mdiann och mdlvärdn. VÄNTEVÄRDET för n funktion gx av n s.v. X : E g X g f d Vi sägr att n s.v. X är ositiv om X. INTENSITETEN för n kontinurlig ositiv stokastisk variabl X dfiniras av f λ, för > F ÖVNINGSUGIFTER Ugift. Dn stokastiska variabln ξ har frkvnsfunktionn a, < < f för övrigt a Bstäm aramtrn a. b Bräkna.< ξ<.. av

Kontinurliga fördlningar a aa aa dddd Därmd, < < f för övrigt. b dddd [ ].....6. aa aa Ugift En stokastisk variabl ξ har frkvnsfunktionn, < f a,, > a Bstäm konstantn a. b Vad är sannolikhtn att ξ >? c Bstäm väntvärdt E ξ. a a d a a b > d. c E d d där Svar: a a b. c Ugift. En stokastisk variabl ξ har följand frkvnsfunktion täthtsfunktion π sin f för övrigt. Bstäm väntvärdt EEξ, variansn Varξ och standardavviklsn σσ. / µ E ξ ξsin ξdξ art. int. För variansn användr vi formln Var ξ ξ f ξ dξ µ / [ sin ξ ξ cos ξ] av

Kontinurliga fördlningar / sin d π / art. int. gångr Var ξ ξ sin ξdξ µ π π.9 Standardavviklsn för ξ : / [ cos sin cos ] σ Varξ.76 Ugift. En stokastisk variabl ξ har följand fördlningsfunktion FF fförr fförr < Bstäm a mdiann, b frkvnsfunktion f och c väntvärdt EEξ. d sannolikhtn ξ a Mdiann är lösningn till kvationn FF. / / llll/ llll/ Svar: a Mdiann llll llll b Frkvnsfunktion ff FF c E f d d { artill intgration uu, vv uu, v } dddd uuuu uu vvvvvv dddd Därför Svar: c E ξ dddd d Sannolikhtn ξ FF FF 6 6.7 Svar: d.7 Ugift. Bstäm konstantn c så att 6 av

Kontinurliga fördlningar f blir n täthtsfunktion. c, < för övrigt f måst satisfira villkort: Aran dvs f d. Först bräknar vi intgraln c Aran f d d c ct d ct dt c t Substitution t, d dt, Gränsr : t, t Från kvationn aran har vi Svar: c.7 c c. Ugift 6. En stokastisk variabl X har fördlningsfunktionn F om <. Bräkna a mdiann och b väntvärdt mdlvärdt till s.v. X. a Mdiann bstämmr vi gnom att lösa n av följand kvationr: F. llr f d.. I vårt fall är dt nklar att lösa F.. ± Eftrsom väljr vi.. b Mdlvärdt till s.v. X. bräknas md hjäl av följand forml E X f d. Först måst vi bstämma täthtsfunktionn om > f F <. 7 av

Kontinurliga fördlningar Nu kan vi bräkna d d d f X E Svar: a mdiann är. b väntvärdt mdlvärdt Ugift 7. Livslängd hos n viss transistorty är onntialfördlad s.v. md fördlningsfunktionn <. om / F a Bstäm sannolikhtn att n sådan transistor slumvis vald har livslängdn som är störr än år. b Man kör transistorr. Bstäm sannolikhtn att minst av dm har livslängdn som är störr än år. a.66 / / > F X X b Låt Y btckna antalt transistorr bland dm köta som har livslängdn störr än år. Då är, Bin Y där.66 och.97....66 Y Y Y Svar: a.66 b. Ugift. Dn s.v. X har täthtsfunktionn, f. Bräkna väntvärdt EgX där g. d d d f g X g E Svar: / av