TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte För godkät krävs poäg av möjliga poäg. etgsgräser: För betg,, C, D, E krävs, 9,, respektive poäg. För betget F krävs 9 poäg. F är ett uderkät betg me med möjlighet till kompletterig. Kompletterige ka edast göras upp till betg E. Fullstädiga lösigar skall preseteras på alla uppgifter. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ örja varje uppgift på ett tt blad, detta gör att rättige blir säkrare. Skriv edast på e sida av papperet. Skriv am och persoummer på varje blad. Ilämade uppgifter skall markeras med krss på omslaget. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift ka du som är godkäd på KS hoppa över. Uppgift. a eräka area av triagel C, där,,,,, och C,,. p b estäm vikel mella rmddiagoale av e kub och e av kubes kater. p Uppgift. Vektor v r har lägde lägdeheter och är parallell med vektor,,. p a estäm koordiater för vektor v r. b eräka vikelräta projektioe av v r på riktige,,. p c Dela upp vektor v r i två komposater b r och c r r r r, v b c, på så sätt att b r är de vikelräta projektioe av v r på riktige,,. ge de båda vektorera b r och c r! p Var god väd.
TEN HF9 Uppgift. a E parallellepiped späs upp av vektorera u,,, v,, och w,, t. estäm kostate t så att volme av parallellepipede blir volm ehet. p b estäm det eller de tal a för vilket lijera L och L skär varadra. L : L : a estäm äve skärigspukte P. p Uppgift a Lös följade matrisekvatio, där är e okäd matris: C om, och C p b estäm iverse till följade matris: p Uppgift. För vilka värde på parameter har följade lijära ekvatiossstem, med obekata,, och, e etdig lösig, dvs. eakt e lösig? 7 8 Uppgift. p Givet två parallella lijer L och L : t L : t, L : t s s s a estäm avstådet det kortaste avstådet mella dessa parallella lijer L och L. p b ge ekvatioe för det pla som iehåller de två parallella lijera L och L. p Lcka till!
TEN HF9 Lösigsförslag med prelimiära rättigsmall Uppgift. a eräka area av triagel C, där,,,,, och C,,. p b estäm vikel mella rmddiagoale av e kub och e av kubes kater. p Lösig: a,,, C,,, rea av triagel C är C Eftersom r r r i j k r r r C i j k har vi rea C 8. rea b Rmddiagoale ges av vektor r mella origo och kubes hörpukt a, a, a. r a a a a Vikel α mella rmddiagoal vektor och e av kube sidor som defiieras av t e vektor a,, i -led beloppet a. Detta ger o r cosα r α arccos ο Rättigsmall: a Korrekt vektorprodukt ger p llt korrekt i a-dele p. b p för korrekt uppställt problem. llt korrekt i b dele p.
TEN HF9 Uppgift. Vektor v r har lägde lägdeheter och är parallell med vektor,,. p a estäm koordiater för vektor v r. b eräka vikelräta projektioe av v r på riktige,,. p c Dela upp vektor v r i två komposater b r och c r r r r, v b c, på så sätt att b r är de vikelräta projektioe av v r på riktige,,. ge de båda vektorera b r och c r! p Lösig: estäm först v r på koordiatform.,, har rätt riktig, me fel lägd, eftersom:,, v r har alltså samma riktig som,,, me dubbla lägde, d.v.s v r,,,8,. De vikelräta projektioe, b r, av v r på a r,, ska bestämmas. r r r v o a r,8, o,, 8 b r r a,,,,,, a o a,, o,, 8,,,, 7 7 7 7 De adra komposate ska också bestämmas: r r r v r r v b c c v b 8 8 8 c v,8,,,,,,,,, 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 Svar: b r 8,, och c v,, 7 7 7 7 7 7 Rättigsmall: Felaktig bestämig av v r på koordiatform -p Felaktig bestämig av de vikelräta projektioe, b r -p Felaktig bestämig av komposat c v -p Uppgift. a E parallellepiped späs upp av vektorera u,,, v,, och w,, t. estäm kostate t så att volme av parallellepipede blir volm ehet. p b estäm det eller de tal a för vilket lijera L och L skär varadra. L : L : a estäm äve skärigspukte P. p Lösig: a Volme V ges av
TEN HF9 V u v o w t t t ± t, t Rättigsmall: Estaka räkefel -p aars rätt eller fel. b lterativ : Om lijera skär varadra i e pukt,, då fis det, och som satisfierar alla ekvatioer a som vi ka skriva som fra ekvatioer: ekv, ekv a ekv ekv Vi substituerar och i tredje och fjärde ekv och får: a ekv och ekv Frå ekv har vi / som efter subst i ekv ger /a8/ och a / b lterativ : Skriv om lijeras ekvatio på parameterform t a s s L : t, L : t där s och t är reella tal. s Eftersom lijera skär varadra så,, s 8 t s och ekvatiossstemet har lösige: t s t 8 Isättig i a a Och därmed är skärigspuktes koordiat: P,, Rättigsmall: Rätt kostat a p, rätt skärigspukt P p. slutlige Uppgift
TEN HF9 a Lös följade matrisekvatio, där är e okäd matris: C om, och C p b estäm iverse till följade matris: p Lösig: a. Lös först ut matrise i ekvatioe: C C C C C Nu ka ma sätta i siffervärde i slututtrcket för matrise : C b. Vi iverterar återige med Jacobis metod: elimiera uppåt och edåt frå huvuddiagoale på väster sida multiplicera radera med lämpliga tal 9 8 9
TEN HF9 7 8 9 Iverse blir alltså: Svar: a b Rättigsmall: Korrekt a dele ger p. Korrekt b dele ger p. Uppgift. För vilka värde på parameter har följade lijära ekvatiossstem, med obekata,, och, e etdig lösig, dvs. eakt e lösig? 8 7 Vi beteckar sstemets determiat med D. Sstemet har e etdig lösig, dvs. eakt e lösig om och edast om D. 7 8 8 7 8 7 D [87] [8] [7] för alla SLUTSTS: D oavsett värdet på. dvs det sakas som gör att detta sstem får etdig lösig.
TEN HF9 Rättigsmall: Rätt räkat p. Rätt slutsats p till. Det otdliga svaret: Det fis ige lösig ger poäg om rätt räkat.. Uppgift. Givet två parallella lijer L och L : t L : t, L : t s s s a estäm avstådet det kortaste avstådet mella dessa parallella lijer L och L. p b ge ekvatioe för det pla som iehåller de två parallella lijera L och L. p Lösig: a Lijeras riktigsvektor är r,, Välj e godtcklig pukt t.e. P,, frå de ea lije L som avstådet frå dea pukt till de adra lije, L skall bestämmas. E godtcklig pukt t.e. P,, -/ frå de adra lije L skall äve väljas. P P,, v D där vektor v är de ortogoala projektioe av vektor P P i lijes riktigsvektor, meda avstådet ges via beloppet av vektor D r.,, o,, r o PP v r,, r r D PP v,,,,, 9 9 r D 7 7 7 9 9 7 9 Rättigsmall: Rätt vektor D r p, rätt belopp t e b Frå a-dele: r,, och P P,, P P r plaets ormal,, Plaets ekvatio är: 7, 9,, 7 9 vstådet 9 D 7 7 ger p. 8
TEN HF9 9,, d ger P d d c b a Rättigsmall: Rätt ormalvektor p, rätt plaets ekvatio p.