Dugg i Elektromgnetisk fältteori för F. EEF31 7-11-4 kl. 8.3-1.3 Tillåtn hjälpmedel: BETA, Physics Hndbook, Formelsmling i Elektromgnetisk fältteori, Vlfri klkyltor men ing egn nteckningr utöver egn formler på sist bldet i formelsmlingen i Elektromgnetisk fältteori Förfrågningr: Andres Fhger, 73-673153 Lösningr: nslås på kursens hemsid Resulttet: nslås på kursens hemsid Grnskning: Sker på plts och tid enligt resulttlistn För godkänt: Elektrosttiken (tl 1 och ) och Mgnetosttiken (tl 3 och 4) bedöms vr för sig så mn kn bli godkänd på den en delen utn tt vr godkänd på den ndr. På vr och en v delrn gäller tt mn måste h 6 % v totlpoängen för godkänt, med minst 4 % v totlpoängen på problemlösningsdelen respektive förståelsedelen. Godkänt på elektrosttiken och/eller mgnetosttiken medför tt först och/eller ndr uppgiften på ordinrie tent får hopps över med full poäng. Ej godkänt: Den som inte når upp till gränsen för godkänt får istället t med sig procenten v duggpoängen och sedn välj om mn vill hopp över elektrosttikeller mgnetosttiktlen på ordinrie tentmen med smm procentuell poäng. --------------------------------------------------------------------------------------------------- OBS! Svren på både problemdel och förståelsedelen skll ges direkt på tesen som skll lämns in. Rätt svr i problemlösningsdelen som ej motivers där en motivering efterfrågs ger noll poäng. Rätt svr men felktig motivering ger inte heller poäng. Svren sk få plts på de streckde rdern i tesen. Eventuell svr på lösbld bekts ej. Förståelsefrågorn besvrs genom tt mrker en v rutorn efter vrje påstående till höger. En och endst en rut på vrje rd skll mrkers. De tre svrslterntiven (från vänster till höger är) Rätt, Vet ej och Fel. Riktigt svr ger +.poäng oriktigt svr ger -.p. Vet ej är neutrlt och ger noll poäng. Förståelseuppgiftern ger mximlt 1 poäng och lägst - 1poäng och mn kn därför få 1poäng även med ett vet ej svr. Nmn: Personnummer: Emil:
1 Problemlösningsdel (8 poäng) ) En sinusformd linjelddning med konstnt α ρ l lddningstäthet ρ l ligger längs med x-xeln melln x x = och x = i xy-plnet. Se figur. Förslg på beräkningsgång för tt beräkn E-fältet på y-xeln finns nedn. Källpunkt: R = xxˆ sin( x) yˆ, Fältpunkt: R = yˆ y,uttryck för vinkeln α: 1 + y sin x cosα = och ( y sin x) + x sinα = x ( y sin x) + x, Fältkomponenter i x- och y-riktning: dex = de sinα och de y = de cosα.fältbidrgen kn nu integrers som: E ( y) = 1 4πε ρl ( R1) Rˆ 1 ρl dl = R 1 4πε ) x= cosα yˆ sinα xˆ dx x + ( y sin x Är det föreslgn uttrycket för E-fältet på y-xeln korrekt? Korrekt motivering v svret krävs för poäng. Om nej beskriv i ord hur lösningen sk korrigers. (3 poäng) b) En tunn, icke lednde, cirkulär skiv hr en ytlddningstäthet både på ovnsidn och på undersidn. Lddningstätheten på respektive sid är cirkulärsymmetriskt fördeld, dvs ytlddningen beror br v rdien och skrivs ρ s (r ). Skriv upp en integrl för tt beräkn E-fältet i punkten P som ligger på z-xeln. Använd beteckningr från figuren. Integrlen behöver ej beräkns. (3 poäng) c) En kub med sidn hr en ledningsförmåg som vrierr enligt σ = σ (1+x/). Mn nbringr sedn elektroder så tt de helt täcker sidorn x = och x =. Skriv upp ett integrluttryck på resistnsen melln elektrodern. Uttrycket behöver ej beräkns men förenkls så långt det är möjligt. ( poäng) y
Förståelsedel (4 poäng) d) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej I grunden bygger uppgift på ett och endst ett postult. I grunden bygger uppgift på två och endst två postult. I grunden bygger uppgift på Guss lg och på tt E-fältet är rottionsfritt. I grunden bygger uppgift på Amperes lg och på tt B-fältet är källfritt. I grunden bygger uppgift på tt källn till D-fältet är den fri lddningstätheten och på tt E-fältet är konservtivt. I grunden bygger uppgift på tt rottionen v H-fältet är den fri strömtätheten och på tt B-fältet är divergensfritt. e) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej Coulombs lg härleds ifrån tt E-fältet är konservtivt. Lplces ekvtion kn härleds direkt från postulten i elektrosttiken. På stort vstånd från en elektrisk dipol vtr fältet som 1/R På litet vstånd från en elektrisk dipol vtr potentilen som 1/ R På stort vstånd från en godtycklig lddningsfördelning som endst innehåller positiv lddning vtr fältet som 1/R. På stort vstånd från en godtycklig lddningsfördelning som både innehåller positiv och negtiv lddning vtr fältet som 1/R. f) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej Då divergensen v det elektrosttisk fältet är noll kn den elektrisk potentilen definiers. End sättet tt definier den elektrosttisk potentilen är som E = V Det elektrosttisk fältet i en perfekt ledre är lltid konstnt lik med noll. Vkuum hr den reltiv permittiviteten ε r =1, Luft hr en något lägre reltiv permittiviteten än vkuum. Ju högre permittivitet ett mteril hr desto fler molekyler polrisers då mn lägger på ett externt elektriskt fält. g) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej Källn till förskjutningsfältet D är polristionslddningrn. Polristionsytlddningstätheten beräkns som divergensen v D-fältet. Summn v polristionsytlddningstätheten och polristionslddningstätheten för ett olddt objekt blir lltid noll. Kpcitnsen hos en kondenstor beror på hur stor spänning mn lägger på. Resistns och kpcitns melln två ledre är relterde. Elektrosttiken är en mkroskopisk modell..
Problemlösningsdel (8 poäng) ) En homogen linjelddning med tätheten ρ l befinner sig på z-xeln melln punktern z = och z = c, se figur. Beräkn potentilen i punkten P(r,ϕ,z ). Välj ett linjeelement dl längs z-xeln med lddningen dq=ρ l dz 1. Källpunkt: R1 = z 1 zˆ, fältpunkt: R = z ˆ z + rrˆ. Potentilbidrgen ρl 1 från vrje dl ges v dv = dz. 4πε R1 Totl potentilen ges v följnde integrl c 1 ρldz1 V =, med hjälp v följnde integrl för 4πε z = r + ( z z 1 1) dx 1 uträkningen = ln x + u där u = x + b och > fås den u totl potentilen: V = 1 ( z ln 4πε ( z + c) + + ( z + c) c) + r + ( z c) r. Är dett en korrekt lösning? Svr j eller nej! Korrekt motivering v svret krävs för poäng. Om nej hur sk lösningen korrigers och vd är i så fll potentilen i punkten P? (3 poäng) b) Skriv upp en integrl för tt beräkn potentilen rkt ovnför en cirkulär skiv med rdien b som är centrerd i origo och hr en godtycklig ytlddningstäthet, ρ s (r,φ ). Använd beteckningr ur figuren. Integrlen behöver ej beräkns. (3 poäng) c) En sfäriskt symmetrisk lddningsfördelning ger upphov till potentilen V(r) = V (1-r 3 / 3 ) för r och V(r)= för r >. Nedn finns ett lösningsförslg för tt beräkn systemets totl lddning. Uppgiften är tt gå igenom lösningen och se ifll den är korrekt. Om det finns något fel i beräkningen beskriv kort med ord vd felet är och hur mn korrigerr lösningen. Beräkn E-fältet som E = V Lddningsfördelningen ρ fås sedn som Dett ger ρ = E och ger = 1ε V r / förr Q totl 3 ρ och ρ = för R >. = 1ε V r ρdv = 4πr dr + dr = 1ε Vπ. Är dett en korrekt 3 r= r= lösning? Svr j eller nej! Korrekt motivering v svret krävs för poäng. Om nej, hur sk lösningen korrigers och vd är i så fll systemets totl lddning? ( poäng) r=
Förståelsedel (4 poäng) d) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej Guss lg på punktform kn beviss mtemtiskt. Att E-fältet är konservtivt kn beviss mtemtiskt. I grunden bygger uppgift c på Guss lg och på tt E-fältet är rottionsfritt. I grunden bygger uppgift c på Amperes lg och på tt B-fältet är källfritt. I grunden bygger uppgift c på tt källn till D-fältet är den fri lddningstätheten och på tt E-fältet är konservtivt. I grunden bygger uppgift c på tt rottionen v H-fältet är den fri strömtätheten och på tt B-fältet är divergensfritt. e) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej Potentilen från en godtycklig lddningsfördelning vtr som 1/R på stort vstånd. Potentilen från en elektrisk dipol vtr som 1/R 3 på stort vstånd. Potentilen från en godtycklig lddningsfördelning kn beräkns med hjälp Poissons ekvtion. En perfekt lednde metll är en ekvipotentilyt. Speglingsmetoden kn lltid nvänds för tt lös Poissons ekvtion. Den elektrisk suseptibiliteten är en mterilprmeter som relterr potentil till E-fält. f) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej I elektrosttiken är E-fältets tngentilkomponent kontinuerlig i gränsen melln två mteril med olik permittivitet. I elektrosttiken är E-fältets normlkomponent kontinuerlig i gränsen melln två mteril med olik permittivitet. I elektrosttiken är D-fältets tngentilkomponent kontinuerlig i gränsen melln två mteril med olik permittivitet. I elektrosttiken är D-fältets normlkomponent kontinuerlig i gränsen melln två mteril med olik permittivitet. Rndvillkoret för E-fältets tngentilkomponent härleds från tt E-fältet är konservtivt. Rndvillkoret för E-fältets normlkomponent härleds från Guss lg. g) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej En elektrisk monopol nvänds som modell när mn vill beskriv de elektrisk egenskpern hos ett mteril Dipolmomentet hos en elektrisk dipol ökr med vståndet melln lddningrn i kvdrt. E-fältet från en elektrisk dipol är inte rottionsfritt. Ohms lg härleds i kursen för ett mteril där konduktionsströmmr dominerr. Vid resistnsberäkningr kn mn beräkn en pproximtiv undre gräns genom tt lägg in ekvipotentilytor i mterilet. De elektrisk fältlinjern är prllell med en ekvipotentilyt.
3 Problemlösningsdel (8 poäng) ) Ett mycket långt pltt metllbnd med bredden ligger i xz-plnet och för strömmen i i z- riktningen. Strömmen är jämnt fördeld över x P(x,y,) bndets bredd. För tt beräkn B- fältet i punkten P kn vi integrer upp fältbidrg v µ J sdx1 typen db = ˆ ϕ där vi kn πr1 yˆ ( x x1) xˆ y uttryck ˆ ϕ = i punkten P. R 1 definiers som ( x x ) + y 1 vnligt. Är dett korrekt? Svr j eller nej! Om det är korrekt vd representerr i så fll vriblern x 1 och J s. Om nej, hur sk lösningen korrigers? Korrekt motivering v svret krävs för poäng. ( poäng) b) Efter en eventuell korrigering v uttrycket för db ovn kn vi skriv det totl fältet i µ J s yˆ ( x x1 z) xˆ y punkten P som B( x, y,) = dzdx 1 π? Är dett ( x x z) + y 1 x = z= korrekt? Svr j eller nej! Korrekt motivering v svret krävs för poäng. Om nej, hur sk lösningen korrigers? ( poäng) c) Hur måste vi förändr vår beräkning jämfört med uttrycket i b för tt beräkn fältet i punkten P i det fll tt metllbndet inte är oändligt långt i z-led? Beskriv kortfttt. ( poäng) d) Är det möjligt tt hitt en Amperesling med konstnt mgnetfält i xy-plnet som omsluter metllbndet och som sedn kn nvänds i Amperes lg för tt beräkn mgnetfältet i en godtycklig punkt P? Svr j eller nej. Motiver ditt svr. ( poäng) 1
Förståelsedel (4 poäng) e) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej I grunden bygger problemlösningsdelen på ett och endst ett postult. I grunden bygger problemlösningsdelen på två och endst två postult. I grunden bygger problemlösningsdelen på Guss lg och på tt E-fältet är rottionsfritt. I grunden bygger problemlösningsdelen på Amperes lg och på tt B-fältet är källfritt. I grunden bygger problemlösningsdelen på tt källn till D-fältet är den fri lddningstätheten och på tt E-fältet är konservtivt. I grunden bygger problemlösningsdelen på tt rottionen v H-fältet är den fri strömtätheten och på tt B-fältet är divergensfritt. f) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej Biot-Svrts lg är ett v postulten i mgnetosttiken. Frdys lg är ett v postulten i mgnetosttiken. Att B-fältets tngentilkomponent är kontinuerlig i gränsen melln två mteril är ett resultt v tt B-fältet är källfritt För en given strömfördelning kn Biot-Svrts lg lltid nvänds i mgnetosttiken för tt beräkn mgnetfältet. För en given strömfördelning kn Amperes lg lltid nvänds i mgnetosttiken för tt beräkn mgnetfältet. Biot-Svrts lg kn endst nvänds då mn integrerr över en sluten sling. g) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej Mn kn välj divergensen v den mgnetisk vektorpotentilen fritt En lddd prtikel i vil påverks v en krft som är proportionell mot mgnetfältet Vrje komponent v den mgnetisk vektorpotentilen uppfyller Poissons ekvtion Det mgnetisk flödet genom en yt kn beräkns som en linjeintegrl v den mgnetisk vektorpotentilen längs den sling som begränsr ytn. Den mgnetisk susceptibiliteten uttrycker förhållndet melln mgnetiseringsfältet och H-fältet Mn kn härled Amperes lg med hjälp v tt mn ntr tt mgnetfältet är källfritt h) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej En mgnetisk monopol nvänds som modell när mn vill beskriv de mgnetisk egenskpern hos ett mteril. I ett mgnetisert mteril kn mn h mgnetiseringsströmmr. Dess nvänds för tt beräkn mgnetfältet på smm sätt som fri strömmr i vkuum. H-fältet spelr smm roll i mgnetosttiken som E-fältet i elektrosttiken Permebilitetskonstnten spelr liknnde roll i mgnetosttiken som dielelektricitetskonstnten gör i elektrosttiken. Permnentmgneter hr ett H-fält trots tt ingen extern ström läggs på. Linjeintegrlen v H fältet längs en sluten kurv är noll för en permnentmgnet
4 Problemlösningsdel (8 poäng) ) En mgnetisk dipol, med dipolmomentet mˆ z, och en metlltrådsring är rrngerde enligt figuren. Skriv upp ett uttryck för den mgnetisk vektorpotentilen, A, från dipolen på metlltrådsringen uttryckt i de storheter som är definierde i figuren. ( poäng) b) Skriv upp ett integrluttryck på det elektromgnetisk flödet, Ф, som omsluts v metlltrådsringen. Uttrycket sk skrivs som en integrl v vektorpotentilen A och uttrycks i storhetern i figuren. ( poäng) c) En permnentmgnet hr formen v en puck, mått enligt figur. Mgnetens mgnetisering är konstnt med M = Mˆ z. För tt beräkn mgnetfältet på z-xeln gör vi enligt följnde: Mgnetiseringsströmtätheten: J m = Ytmgnetiseringsströmtätheten: J ms = M ϕˆ då r =. Källpunkten: R 1 = r 1ˆ r + z1zˆ Fältpunkten: R = z zˆ Fältet kn nu rent llmänt integrers frm med Biot-Svrts µ J m ( R 1) R 1 µ J ms ( R1) R 1 lg som: B( z) = dv + ds 3 3 4π R 4π R V 1 Uttryck denn integrl i termer v måtten i figuren och de vektorer som är givn här ovn. Integrnden och gränsern på integrlen sk nges, nvänd cylindrisk koordinter. Du behöver inte räkn ut integrlen. ( poäng) S 1 d) Utn tt räkn. Vilken riktning hr B-fältet i uppgift c på den positiv z-xeln för z > h/. Motiver ditt svr. ( poäng)
Förståelsedel (4 poäng) e) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej I grunden bygger uppgift och b på ett och endst ett postult. I grunden bygger uppgift och b på två och endst två postult. I grunden bygger uppgift och b på Guss lg och på tt E-fältet är rottionsfritt. I grunden bygger uppgift och b på Amperes lg och på tt B-fältet är källfritt. I grunden bygger uppgift och b på tt källn till D-fältet är den fri lddningstätheten och på tt E-fältet är konservtivt. I grunden bygger uppgift och b på tt rottionen v H-fältet är den fri strömtätheten och på tt B-fältet är divergensfritt. f) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej Lorentz krften beror mr på B-fältet. En lddd prtikel som rör sig i ett konstnt B-fält ccelerers i sin rörelseriktning. En lddd prtikel som ligger still i ett konstnt B-fält känner en krft i fältets riktning. Om vi nvänder metoden med virtuell förflyttningr för tt beräkn den mgnetisk krften kn både flöde och ström hålls konstnt under den tänkt förflyttningen. Om mn håller strömmen konstnt blir krften större än om mn håller flödet konstnt eftersom btteriet i det fllet levererr energi till systemet för tt håll strömmen konstnt. Om vi håller det mgnetisk flödet konstnt sk vi h ett minustecken frmför derivtn v energin. g) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej Den mgnetisk vektorpotentilen är entydigt bestämd v B-fältet. Den mgnetisk susecptibiliteten är en mterilegenskp Den mgnetisk permebiliteten är en mterilegenskp Vrje komponent v den mgnetisk vektorpotentilen uppfyller Poissons ekvtion H-fältet och B-fältet är lltid riktde åt smm håll i en permnentmgnet H-fältets tngentilkomponent är ldrig kontinuerlig melln två mgnetisk mteril h) Vilket eller vilk (om något) v följnde påståenden är riktig? j? nej Ferromgnetisk mteril hr små reltiv permebilitetstl Prmgnetisk mteril hr stor reltiv permebilitetstl Mgnetisk mteril kn ses som homogen mteril där mgnetiseringsvektorn pekr åt smm håll i ll delr v mterilet. Hystereskurvns bredd är ett mått på energiförluster när mn vrierr mgnetiseringen i ett mteril Den mgnetosttisk energin för en ensm sling beror på strömmen i slingn i kvdrt Den mgnetosttisk energin för en ensm sling beror på flödet genom slingn i kvdrt