, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson
Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8 1155... 8 1178... 8 1179... 9 1180... 10 118... 11 1183... 1 1184... 13 1185... 14 11... 15 113... 16 114... 17 10... 18 11... 19 135... 19 136... 0 137... 0 140... 1 141... 157... 3 160... 4 160... 5 161... 6 17... 7 174... 8
3 1333... 8 1334... 9 1335... 9 1336... 9 1341... 31 1343 a)... 31 1343 d)... 3 140... 33 1431... 33 1433... 35 TEST 1:A, UPPGIFT 5... 36 145 b)... 37 155 (Eempel 1)... 38 155 (Eempel )... 39 156... 40 159... 40 160... 41 161... 4 16... 43 TEST :1A, UPPGIFT 10... 44 TEST :1A, UPPGIFT 1 a)... 45 TEST :1A, UPPGIFT 1 b)... 46 37... 47 37... 48 38... 49 39... 50 40... 51 41... 5 46... 53 47... 53 48... 53 49... 54 50... 54 51... 54 5... 55
4 53... 56 54... 56 316... 57 318... 58 317... 60 38... 61 39... 61 330... 61 331... 6 33... 6 333... 6 343... 63 344... 65 345... 67 347... 68 TEST :A, UPPGIFT 4... 69 311... 70 31... 71 315... 7 316... 7 317... 73 318... 74 3130... 74 3131... 75 3140... 75 3141... 76 314... 77 315... 79 3156... 80 3157... 81 3166... 8 3169... 8 3170... 83 3171... 84 317... 85
5 3173... 86 3174... 87 3175... 88 3176... 89 3177 (Alternativ 1)... 90 3177 (Alternativ )... 91 30... 9 33... 93 34... 94 35... 95 37... 96 38... 97 39... 97 330... 98 33... 99 333... 99 334... 10 335... 103 330... 106 3303... 106 3304... 106 3305... 107 3306... 107 334... 108 343... 109 344... 110 345... 111 348... 11 349... 113 3430... 114 3449... 115 3455... 116 3460... 117
6 110 0,75 tan v 0,75 tan v Två fall: 0,75 0,05 1 0,75 0,08 15 9,4 Svar: Längden AB () skall ligga mellan 9,4 m och 15 m. 111 Testar båda trianglarna med Pythagoras sats: ABC: (56^+33^)^(1/) 65 DEF: (45^+8^)^(1/) 53 Av detta ser vi att endast triangeln ABC är rätvinklig. Alltså har Moa rätt och Per fel. (Observera att X^(1/), roten ur.) 11 tan 53 9,5/AD AD 9,5/tan 53 [9,5/tan 53 7,15876347598] tan 37 AB/AD AB AD tan 37 AB 7, tan 37 [7, tan 37 5,4558916074] AB är c:a 5,4 m
7 1130 tan α 5/ [ arctan(5/) 68,1985905136 ] tan β 3/8 [arctan(3/8) 0,556045196 ] arctan(3/8)+arctan(5/) 88,754635733 För att diagonalen i den nedre rektangeln skall vara en rät linje, Så skall summan av dessa båda tangensuttryck bli 90 Eftersom inte detta uppfylls så ser vi att vi är utsatta för en synvilla. 1141 Värdeuttryck Beräknat sin(10) 0,173648177667 sin(0) 0,340014336 sin(30) 0,5 sin(40) 0,64787609687 sin(50) 0,766044443119 sin(60) 0,86605403784 sin(70) 0,9396960786 sin(80) 0,98480775301 cos(90 10) 0,173648177667 cos(90 0) 0,340014336 cos(90 30) 0,5 cos(90 40) 0,64787609687 cos(90 50) 0,766044443119 cos(90 60) 0,86605403784 cos(90 70) 0,9396960786 cos(90 80) 0,98480775301 sin v cos (90 v)
8 114 a) (cos(1))^+(sin(1))^ 1 (cos(10))^+(sin(10))^ 1 (cos(30))^+(sin(30))^ 1 (cos(90))^+(sin(90))^ 1 (cos(180))^+(sin(180))^ 1 1155 tan 60 3 FB 3 tan45 1 DF 3 3 sin 60 CF 1 sin 45 CD 3 3 3 Vinkeln CDF 45 grader Vinkeln DFC 180 60 10 grader Vinkeln DCF 15 grader 1178 tan v 8 1, fås från bilden 8 v tan 1 37 1 [ arctan(8/1) 33,69006756 ]
9 1179 OBS! Vinkeln är I grader (DEG) sin 87,73 + 5 ( + 5) sin 87, 73 sin 87,73 + 5 sin 87, 73 5 sin 87,73 sin 87,73 5 sin 87,73 (1 sin 87,73) 5 sin 87,73 1 sin 87,73 (5 sin(87,73))/(1 sin(87,73)) 6366,6736 6400 km
10 1180
11 118
1 1183 tan 1 () arctan
13 1184
14 1185 a) a 90 36 ger: 36/90 0,4 Jag beräknar sin 36 enligt given formel: (11 0,4 3 0,4^3)/(7+0,4^) 0,58770949707 Detta ger att sidan som markerats med 58,771 m b) sin(36) 100 58,778559 Detta ger att sidan som markerats med 58,779 m Diff: 8 mm
15 11
16 113
17 114
18 10
19 11 A 180 (75+40) 65 BC (13*sin(65))/sin(40) Arean (BC 13 sin(75 ))/ ((13*sin(65))/sin(40)*13*sin(75))/ 115,08344731 km² 1 km² 1.000.000 m² 1 ha 10.000 m² 1 km² 100 ha Svar: Skogsområdet är c:a 11.500 ha 135 sin A sin 30 sin A,0 1,,0 sin 30 1, (,0 sin(30))/1, 0,833333333333 Detta ger möjliga vinklar på A: Vinkel 1: arcsin((,0 sin(30))/1,) 56,44690381 Vinkel : 180 56,44690381 13,55730976 Av figuren ser vi att det är vinkeln 56,4 som avses. Vinkeln B: 180 (30+56,4) 93,6 Sträckan AC beräknas: sin 93,6 1, sin 30 1, sin 93,6 sin 30 (1, sin(93,6))/(sin(30)),395641483,4 Svar: Staget bör vara,4 m långt.
0 136 Jag ritar en triangel för att se. Man ser redan nu av bilden att något är fel. Vad? Använder mig av sinussatsen: sin B 3 sin103 3 sin103 sin B 7 7 3 sin103 B sin 1 7 Om jag slår detta på räknaren, så svarar den ERROR. Detta beror helt enkelt på att de givna värdena inte ger en triangel. 137 40 sin 95 A sin 1 34,4 740 B 180 (95 + 34,4) 50, 6 Sträckan AC AC 740 740 sin 50,6 AC 574,007114757... 570 sin 50,6 sin 95 sin 95 Beräkning med rjcalc: (740*sin(50,6))/sin(95) 574,007114757 Svar sträckan AC är 570 meter.
1 140
141
3 157
4 160
5 160 Börja med att ta reda på AB, BC och AC AB 37 + 135 + 10 33994 74 40 37, 10 BC 67,5 + 40 + 37 6355,5 AC 67,5 + 74 + 10 443,5 Vi vill veta vinkeln A Använd cosinussatsen BC AB + AC AB AC cos A ( 6355,5) ( 33994 ) + ( 443,5) 33994 443,5 cos A 6355,5 33994 + 443,5 33994 443,5 cos A 33994 + 443,5 6355,5 cos A -0,088465135999... 33994 443,5 Slå på räknare: [(33994+443,5 6355,5)/(*(33994)^(1/)*(443,5)^(1/)) 0,088465135999 ] A cos 1 (- 0,088465135999) Slå på räknare: arccos( 0,088465135999) 95,0753136335 [ cos ] 1 arccos A 95,1 Svar: Vinkeln A är c:a 95,1
6 161 * CN ( AN ) + ( AB) + ( BC )
7 17
8 174 1333
9 1334 1335 1336
30
31 1341 1343 a)
3 1343 d)
33 140 Lös ekvationen cos cos( 30 ) ± ( 30 ) + n 360 Fall 1 30 + n 360 30 + n 360 Fall ( 30 ) + n 360 + 30 + n 360 3 + 30 + n 360 + 10 + n 10 1431 5 sin 4 3sin Sätt t Skriv om ekvationen 5 sin t 3sint 5 sin t 3sint 0 3 sin t sin t 0 5 Skriv om enligt formeln för dubbla vinkeln 3 sin t cost sin t 0 5 Bryt ut sin t 3 sin t ( cos t ) 0 5
34
35 1433
36 TEST 1:A, UPPGIFT 5
37 145 b)
38 155 (Eempel 1)
39 155 (Eempel )
40 156 159
41 160
4 161
43 16 a) Skriv om uttrycket y 6 sin + 8 cos m 6 + 8 36 + 64 100 10 8 tan v 6 4 3 4 v tan 1 53,13010354... 3 Svar: y 10 sin( + 53,1 ) på formen y m sin( + v).
44 TEST :1A, UPPGIFT 10
45 TEST :1A, UPPGIFT 1 a)
46 TEST :1A, UPPGIFT 1 b)
47 37 a) π 1000 5000 cos t 100 6 π 5000cos t 1000 100 6 π 1000 100 cos t 6 5000 π cos t 0,04 6 Detta ger alternativ I och II I π 6 t 1,6109... 6 t ( 1,6109...) π t 3,1 II π π t 1,6109... 6 π t π (1,6109...) 6 6 t ( π 1,6109...) π t 8,9
48 37 b) π π 50 + 50 cos t 400 10 cos 400 50 π t π 0,6 10 50 Detta ger alternativ I och II I π t π 0,97... 10 π 10 t 0,97... + π t 7,95167... t 8,0 II π π t 0,97... 10 π π t + 0,97... 10 π t π 0,97... 10 π t 0,97... 10 π t,0483... t,0
49 38 a) NEJ! sin är detsamma som b) JA! (sin ) 1 tan är detsamma som arctan 1 1 (tan ) är detsamma som tan
50 39
51 40
5 41
53 46 1 0 s h 3 π v r 1, 3 3 Bågen b v r b π 1,3,7 3 Svar:,7 cm (Se sid 100) 47 b v/360 pi r 0,5/360 pi 384000 3351,0316383 3000 [ 3 10³] 48
54 49 15 15 π π 5,9 rad 16 8 50 51 Jordens radie + satellitens höjd 7600 km. Detta är radie i den cirkel på vars rand satelliten färdas. Diametern, d är 7600 km 1500 km Omkretsen, o d π 1500π km Tiden är 90 min, vilket är 1,5h Hastigheten är sträcka/tid Detta ger Hastigheten 1500π km / h 31834,80556... km/ h 3000km/ h 1,5
55 5 a) 60 km/h 1 km/min 1000 m/min Radien är 0,3 meter. Det betyder att vinkelhastigheten är 1000/0,3 3,3 10³ 3 b) Hjulets omkrets är 0,6 π π meter 5 3 1000 / π 530 varv 5
56 53 Se lösning i boken sid 53 54
57 316 cos( + h) cos h cos cosh sin sinh cos h cosh 1 sinh cos sin h h sin OBS! cos( a + b) cos a cosb sin asin b Se formelsamling
58 Kommentar: När h 0 så: cosh 1 0 h sinh och 1 h Se sid. 10 i boken. 318 + a, < 0 f ( ) cos, 0 a) cos + a där 0 cos 0 0 + a a 1 Svar: Ja det blir en sammanhängande graf om a 1.
59 b) f () 1 där < 0 [rät linje, + a] f (0) 0 eftersom sin 0 0 OBS! y cos har derivatan y sin Svar: Nej
60 317
61 38 39 330
6 331 33 333
63 343
64
65 344
66
67 345
68 347
69 TEST :A, UPPGIFT 4
70 311 a) y e y' 1 e e (första derivatan) y' ' 4 e e (andra derivatan) y' '' 3 8 e e (tredje derivatan) Vi ser av mönstret att den n:te derivatan får följande utseende: y ( n) n e b) 1 1 y y ' ( 1 1) y'' 3 y''' 3 4 ( 1) ( 1) 3 3 3 4 y IV 1 5 ( 1) 4 3 4 5 Mönstret ger följande utseende på den n:te derivatan: y ( n) ( 1) n n! ( n+ 1) Obs! n! Kallas n fakultet och fungerar på följande sätt: E: 4! 4 3 ( 1) 314 Att slå på TI 84 : MATH + nderiv((000)/(1 + 999*e^(-0,5)),X,1) + ENTER Resultat i ögat på räknaren: 139,764547
71 Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D 31 1 ) ( f + h h h f 1 ) ( 1 0 ) ( Multiplicera täljare och nämnare med ( h) + + + + + h h h h h h f ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( + + + + + ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( h h h h h h h h f + + + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( h h h h h h h h h h h h h h h f Om h går mot 0 (noll) så får vi: 3 4 ) ( ) ( f Svar: Derivatan till 1 går mot 3 då h går mot 0.
7 315 316
73 317
74 318 3130
75 3131 3140 b) f ( ) e 4 4 4 f '( ) 4e + e 4 e 4 + e 4 4 e (4 + ) 4 + 0 ( 4 + ) 0 0 1 0,5 OBS! e 4 kan inte bli 0 (noll) för något.
76 3141 a) A ( t) ( + cost)(3 + sin t) A '( t) ( + cost)(cos t) + (3 + sin t)( sin t) A '( t) ( + cost)(4cos t) + (3 + sin t)( sin t) A' ( t) 8cos t + 8cost cos t 6sin t 4sin t sin t b) A (5) 8cos(10)+8cos(5) cos(10) 6sin(5) 4sin(10) sin(5) 4,9498969086 4,9 OBS! Glöm ej att ha miniräknaren inställd på radianer!
77 314 a) ( f + g) ( f 4 g) Enligt kvadreringsreglerna: f + fg + g ( f 4 fg + fg 4 fg 4 4 fg + g fg f g ) f + fg + g 4 f + fg g b) y f g ( f + g) ( f g) y {Se uppg 314 a)} 4 Derivering enligt produktregeln: 1 y ' (( f + g)( f ' + g') ( f g)( f ' g' ) 4 Hur kan derivatan till Vi testar: z ( f + g) ( f + g)( f + g) ( f + g) vara detsamma som ( f + g)( f ' + g')? z ' ( f + g)( f ' + g') + ( f + g)( f ' + g' ) {Enligt produktregeln} ( ff ' + fg' + gf ' + gg') + ( ff ' + fg' + gf ' + gg' ) ( ff ' + fg' + gf ' + gg') ( f + g)( f ' + g') Gör på samma sätt för att kontrollera att Vi fortsätter: 1 y ' (( f + g)( f ' + g') ( f g)( f ' g' ) 4 y ' ( ff ' + fg' + gf ' + gg') ( ff ' fg' gf ' + gg' ) 4 1 y ' ( ff ' + fg' + gf ' + gg' ff ' + fg' + gf ' gg' ) ( f g) är detsamma som ( f g)( f ' g' ).
78 1 y ' ( fg' + gf ' + fg' + gf ') 1 y ' ( fg' + gf ') y ' fg' + gf '
79 315 a) y tan sin cos y tan Här använder vi oss av trigonometriska ettan. 1 cos cos b) 1 cos cos cos 1 cos 1 vsv. y cos 1 1 (cos ) 1 y y' (cos) 3 ( sin ) sin y y' OBS! 3 cos y sin cos sin sin sin y' y' 3 cos cos cos sin 3 cos Förkortning med sin ger y' cos 1 3 cos Multiplicering med cos ger 1 ' cos y vsv.
80 3156
81 3157
8 3166 I y ln II y' y Derivera I enligt produktregeln: 1 y' + 1 ln 1+ ln II VL y' y Ersätt y med ln och y med 1+ ln. Då får vi ( 1+ ln ) ln + ln ln HL vsv. 3169
83 3170
84 3171
85 317
86 3173
87 3174
88 3175
89 3176
90 3177 (Alternativ 1)
91 3177 (Alternativ )
9 30 4 a) Jag har funktionen y. Jag skriver om den så att den går att skriva in i programmet + 1 RJGRAPH. (Tanka ned gratis från Dennis KunDa sida) y 4*(^+1)^( 1) [funktionen] Jag deriverar denna funktion och får då Y 4*(^+1)^( )* 48(^+1)^( ) [första derivatan] Jag deriverar även denna funktion och får då (Produktregeln) Y 48( (^+1)^( 3)*)+( 48(^+1)^( ) [andra derivatan] 48( 4(^+1)^( 3))+( 48(^+1)^( ) 19*^*(^+1)^( 3) 48*(^+1)^( ) Kan även skrivas: 144*(+)*( )/((^+1)^(3)) Jag låter programmet rita upp dessa kurvor: Av grafen framgår att funktionen att när andraderivatan är negativ så är funktionen skålad nedåt. I detta fall i intervallet: < <
93 33 a) Kalla talen för och N (eftersom talens summa är N) 0 och 0 ger Alltså är: 0 s summan av de båda talens kvadrater s + ( N ) + N N + N + N Jag deriverar s: s' 4 N s ' 0 ger 4 N 0, N Jag deriverar igen (för att få andra derivatan): s' ' 4 Fyra är positivt, vilket medför att funktionen s har ett minimivärde. ( Glad mun ) Jag sätter in N/ i s för att få reda på funktionens lägsta värde: N N N s N + N N 4 N + N N N + N N N Funktionens lägsta värde är. Största värde fås vid s(0) s(n), vilket är värdet i ändpunkterna. Funktionens största värde är S(N) N² [ s ( N) N N N + N N ] a) N² b) N²/
94 34 a) sin v 1sin v [uttryck för kortsidan] 1 z cos v z 1cosv [uttryck för halva långsidan] 1 Hela långsidan z 1cosv Area kortsida långsida A 1 s1sin v 1cosv 1 1 sin v cosv 144 sin v cosv 144 sin v [dubbla vinkeln] OBS! π 0 < v < b) Med Pythagoras sats: z 144 Hela långsidan z 144 Area kortsida långsida A 144 144 OBS! 0 < < 1 c) Största area Uttryck för arean: 144 sin v Största arean fås där sin v 1 M a o är den största arean 144 cm²
95 35
96 37
97 38 39
98 330
99 33 y e > 0 a) y 0, 4 e 0,4 3 e 0,4 Jag ritar grafen till denna funktion med min TI 84 och tracar sedan fram svaret. 1,1 eller 6, 5 333
100
101 Höjden är alltså 1
10 334 1 Punkten,1 ligger på grafen. Det betyder att: 3 a b e 1 3 a e b b 3 b a e 3 e a a e 3 b e b b 3 e ( upphöjt till minus ett genom ) y '
103 335 Pythagoras sats ger: A: y + u (16 ) + z B,C: u ( u z) + 16 Lös ut z² ur B D: z 3 16 Lös ut u ur C E: u z +16 z Det ger ( z + 16 ) F: u 4z Sätt in z 3 16 i F u (3 16 + 16 ) 4(3 16 ) Efter diverse förkortningar fås u 16 16 Sätt in u² i A y 16 + 16 ( 16) + 16 16 3 16 + 16 16 3 16 {patrik.erion@telia.com, den 9 januari 009 13:18:05}
104 3 y, 8 < 16 16 Vi letar reda på minsta värde på y² Sätter y² q och söker minsta värde för q 3 q, 8 < 16 16 Gör ett förtydligande här! q 3 ( 16) 1 För att derivera denna sammansatta funktion delar jag upp den i f() och g() Derivering utförs enligt produktregeln (sid. 18) f ( ) 3 1 g( ) ( 16) 16 f '( ) 6 g'( ) ( 16) q' 3 ( ( 16) 1 ) + ( 16) 1 6 q' 3 ( 16) 6 + 16 q' 3 ( 16) 6 + 16 q' 3 4 + 6 ( 16) ( 16)
105 q' 3 3 4 + 1 96 ( 16) 3 1 96 4 ( 16) 3 3 8 96 ( 16) 8 ( 1) ( 16) q 0 om 1 i det givna intervallet. [ 8 < 16 ] Med hjälp av att studera tecken av q ser vi att det blir ett maimum. Svar: 1 ger y min Graf av derivatan, q 009 0 05 & 009 0 13 // Dennis Jonsson
106 330 y 5 e y' 10e y ' + y 0 ger 10e + (5 e ) 0 10e + 10 e 0 v.s.v 3303 y ' y y y e y' e + e 1 e + e e ( + 1) ( e + e ) y y e + e y y e ( + 1) y y Sätt in: y y ( + 1) y y y + y y y y y v.s.v. 3304 e i e ( + 1) y y
107 3305 3306
108 334 Ledning: Enligt formeln för dubbla vinkeln: cos cos 1 ger 1+ cos cos Alltså kan funktionen skrivas så här: 1 cos f ( ) + 1 sin sin F ( ) + + 4 4 Är sin F ( ) en primitiv funktion till 4 cos f ( ) Vi testar genom att derivera sin F ( ) 4 cos cos 1 cos cos F '( ) vsv. 4 4
109 343
110 344
111 345
11 348
113 349
114 3430
115 3449
116 3455
117 3460