Den vanliga koordinaterna, betecknas (x, y, z) med enhetsvektorerna î, ĵ och. z k

Relevanta dokument
1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem

Kroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)

Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

5 Gauss sats. div. dv = A V. Noterbart är att V AdV = A ˆNdS, dvs Gauss sats, har strukturella likheter med b df

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys

3 Parameterframställningar

15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

TATA44 Lösningar 26/10/2012.

1 Vektorer och tensorer

Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem

Mekanik Föreläsning 8

22 Vektoranalys och flödesintegraler

1.1 Sfäriska koordinater

Allmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan

Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys

Hydrodynamik Mats Persson

* Läsvecka 1 * Läsvecka 2 * Läsvecka 3 * Läsvecka 4 * Läsvecka 5 * Läsvecka 6 * Läsvecka 7 * Tentamenssvecka. Läsvecka 1

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

= 0 vara en given ekvation där F ( x,

Geometriska vektorer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018

Integraler av vektorfält Mats Persson

1 Några elementära operationer.

Mekanik FK2002m. Vektorer

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

En normalvektor till g:s nivåyta i punkten ( 1, 1, f(1, 1) ) är gradienten. Lektion 6, Flervariabelanalys den 27 januari z x=y=1.

4. Beräkna volymen av den tetraeder som stängs inne mellan koordinatplanen x = 0, y = 0 och z = 0 och planet. x F (x, y) = ( x 2 + y 2, y

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Hanno Essén Lagranges metod för en partikel

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

Föreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

i punkten ( 1,2,3). b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten ( 1,2) ut ur Scandinavium genom tak och yttervägg [Scandinaviums tak är ytan ( x, y,

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006

1 Allmänt om vektorer och vektorvärda funktioner

4Funktioner och algebra

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Fall 1. En kurva definierad för positiva x roterar kring z-axeln.

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

En sammanfattning av. En första kurs i mekanik

Cartesiska kooordinater r = xˆx + yŷ + zẑ är de vanligaste men inte nödvändigtvis. Val av koordinatsystem beror på det problem vi vill studera.

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

20 Integralkalkyl i R 3

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson

Mekanik F, del 2 (FFM521)

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

21 Flödesintegraler och Gauss sats

1 VEKTORER OCH KINE- MATIK

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Sammanfattning TATA43

0. Introduktion, matematisk bakgrund

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

OMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

Repetition kapitel 21

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningar till problemtentamen

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

Lösningsförslag till TMA043/MVE085

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht Block 5, översikt

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11

Mekanik SG1108 Mekanikprojekt Dubbelpendel

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.4

DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Föreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara

Tentamen: Lösningsförslag

Laboration i Matlab. Uppgift 1. Beskrivning

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.

TATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Transkript:

Vektorkalkl I fsiken har vektorfält stor betdelse inom bl.a. mekaniken och elektrodnamiken. I ett skalärfält har varje punkt i rmden ett visst värde, t.e. i en vattenbalja kan vi sätta en temperatur i varje punkt, medan det behövs ett vektorfält för att beskriva hur vattnet strömmar i baljan (varje punkt har ett värde och en riktning). För att kunna beskriva dessa fält behövs differentiella vektoroperatorer. 1 Speciella koordinatsstem Ibland är det opraktiskt att beskriva en vektor som rör sig längs med tan på en sfär med hjälp av kartesiska koordinater. Lösningen på fsikaliska problem kan eempelvis leda till kopplade ickelinjära differentialekvationer som oftast måste lösas numeriskt. Därför behöver vi ibland använda oss av koordinatsstem som kan förenkla problemet. De tre vanligaste koordinatsstemen är kartesisk, clindrisk och sfärisk. 1 1.1 Kartesiska koordinater Den vanliga koordinaterna, betecknas (,, ) med enhetsvektorerna î, ĵ och ˆk. k i j Figure 1: Representation av de kartesiska koordinaterna (,, ) med enhetsvektorerna î, ĵ och ˆk. 1 För en komplett genomgång rekommenderas eempelvis Arfken: Mathematical Methods for Phsicists, eller M.L. Boas, Mathematical methods in the Phsical Sciences. 1

1.2 Clindriska koordinater I det clindriska koordinatsstemet så har vi en smmetri som ges av clindern ρ = 2 + 2 med höjden. Koordinaterna (,, ) uttrcks då med hjälp av (ρ, φ, ) enligt figuren. Enhetsvektorerna i de clindriska koordinaterna ser du också i figuren. k Figure 2: Representation av de clindriska koordinaterna (ρ, θ, ) med enhetsvektorerna ˆρ, ˆθ och ˆk. 1.3 Sfäriska koordinater I det sfäriska koordinatsstemet så har vi en smmetri som ges av en sfär med radien r. Vi behöver då två vinklar φ och θ för att bestämma var på sfären vi befinner oss. Koordinaterna (,, ) uttrcks då med hjälp av (r, φ, θ) enligt figuren. Enhetsvektorerna ges då av ˆr, ˆθ och ˆφ. 2 Partialderivator En partialderivata är en vanlig derivata vars verkan endast går på den specifika variabeln i fråga, ej implicit. Betecknas med där är variabeln i fråga. Partialderivatan opererar på en skalär funktion f(,, ) och de vanliga deriver- 2

r r Figure 3: Representation av de sfäriska koordinaterna (r, θ, φ) med enhetsvektorerna ˆr, ˆθ och ˆφ. ingsreglerna gäller med avseende på den variabel som skall deriveras! Eempel: f(,, ) = 2 2 f(,, ) = f(,, ) = 2 (1) (2) f(,, ) = 2 2 (3) Partialderivatorna beskriver alltså hur en funktion varierar med avseende på ifrågavarande variabel. Vi kan konsturera en totalderivata för funktionen = f( 1, 2, 3 ), dvs hur funktionen varierar som funktion av alla variablerna från partialderivatorna enligt: d = f( 1, 2, 3 ) 1 d 1 + f( 1, 2, 3 ) 2 d 2 + f( 1, 2, 3 ) 3 d 3 (4) Märk att i denna funktion beskriver i, i = 1..3 de tre koordinatetr som behövs för att beskriva en giodtcklig punkt i den tre-dimensionella rmden 3 Vektoroperatorer Vi beskriver tre viktiga operatorer inom vektoranalsen: Gradient: mäter hastighet och riktning av förändringar i ett skalärfält. Rotation: mäter ett vektorfälts tendens att rotera runt en punkt. 3

Divergens: mäter hur ett vektorfält divergerar (eller kontrakterar) från(till) en given punkt. 3.1 Gradient, hur en vektorstorhet (kraften) erhålles ur den skalära potentialenergifunktionen använder vi oss av den så kallade gradienten som beskriver hur en skalär funktion förändras i en viss riktning. Gradienten är en av de vanligaste vektoroperatorerna som betecknas med, (smbolen kallas för nabla ). Gradienten definieras i kartesiska koordinater som = î + ĵ + ˆk (5) I clindriska koordinater blir nabla och i sfäriska koordinater fås = ˆρ ρ + ˆθ 1 ρ θ + ˆk, (6) = ˆr r + ˆθ 1 r θ + ˆφ 1 r sin θ. (7) Låt oss ta ett eempel. Anta att vi känner till potentialenergifunktionen U för ett föremål. För att bestämma rörelseekvationen (ur NII) behöver vi beräkna kraften som potentialen ger upphov till. Dvs vi beräknar F = U och kan därefter använda NII för att bestämma accelerationen. 3.2 Divergens, Divergensen mäter hur mcket något flödar ut (divergerar) från en sluten kropp. Divergensen producerar en skalär när den opererar på en vektor V = V î+v ĵ + V ˆk enligt I clindriska koordinater: V + V + V (8) I sfäriska koordinater: 1 ρ ρ (ρv ρ) + 1 ρ 1 r 2 sin θ V θ θ + V [ sin θ ( r 2 ) V r + r r θ (sin θv θ) + r V ] φ φ (9) (10) 4

3.3 Rotationen, (Curl) Fsikaliskt vetder rotationen hur mcket ett vektorfält ( V ) roterar kring en punkt (,, ) och beskrivs genom att räkna ut determinanten: V î ĵ ˆk = V V V (11) I clindriska koordinater: ˆρ ˆθ ˆk ρ θ V ρ ρv θ V (12) I sfäriska koordinater: ˆr rˆθ r sin θ ˆφ r θ φ V r rv θ r sin θv φ (13) 5