Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare och formelsamling Fullständiga och utförliga lösningar skall lämnas till alla 16 uppgifter. Glöm inte att skriva namn och personnummer på varje sida. Total poängsumma är 4p. För godkänt krävs normalt 2 poäng. Har 4 bonuspoäng uppnåtts krävs således 16 tentapoäng för godkänt. 1. Vilket alternativ är rätt? Hypotenusan c i figuren har längden a) 5 sin 31 cm b) 5 sin 31 d) 5 cos 31 b) är rätt. cm c) 5 cos 31 cm cm e) 5 tan 31 cm (1p) 2. I triangeln ABC är A=37,, AC=15, cm och BC=1, cm. Beräkna vinklarna B och C samt längden av sidan AB. Sinussatsen sin A = sinb a b 15" sin37 sinb = 1 Fall 1: B=64,5 A+B+C=18 = sinc c och AC=b och BC=a ger sin37 1, vilket ger B=64,5 eller B=18-64,5 =115,5 C=18 -A-B C= 18-37 -64,5 C=78,5 Sidan AB=c kan vi då beräkna med sinussatsen: = sinb 15.
c sin78,5 = 1 sin37 Fall 2: B=115,5 C=18-37 -115,5 C=27,5 Sinussatsen ger c=7,7 cm. vilket ger c=16,3 cm Svar: Det finns två trianglar: Triangel 1: C=78,5, B=64,5, AB=16,3 cm. Triangel 2: C= 27,5, B=115,5, AB= 7,7 cm. 3. Beräkna den största vinkeln i en triangel med sidorna 24 cm, 18 cm, och 15 cm. Vi använder oss av cosinussatsen och vet att den största vinkeln står mot den största sidan. 24 2 =15 2 +18 2 " 2 #15 #18 # cos A 54cos A + 24 2 =15 2 +18 2 cos A = 152 +18 2 " 24 2 54 cos A = ".5 A = cos "1 (".5) A = 92,9 Svar: Den största vinkeln är lika med 92,9. 4. Bestäm värdet av sinv om v är en vinkel i tredje kvadranten och cosv = " 24 25. (3p) Vi använder oss av den trigonometriska ettan. sin 2 v + cos 2 v =1 sin 2 v =1" cos 2 v sin 2 v =1" (" 24 25 )2 sin 2 v =1" 576 sin 2 v = " 576 sin 2 v = 49 sinv = ± 49 sinv = ± 7 25
Eftersom vinkeln skall vara i tredje kvadranten, måste både x (cosv) och y (sinv) koordinaterna vara negativa, dvs följande svar: sinv = " 7 25 5. Visa att (sin x + cos x) 2 " (sin x " cos x) 2 = 2sin2x. (3p) sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 x " (sin 2 x " 2sin x cos x + cos 2 x) = 2sin x cos x + 2sin x cos x = 4sin x cos x = Additions/subtraktionssatserna ger oss att sin2u=2sinu cosu. Därav följer att 4sin x cos x = 2sin2x, v.s.v. 6. Lös följande ekvation: cos x(3cos2x " 7) =. (3p) Vi använder oss av nollproduktmetoden. Antigen är cosx= eller (3cos2x-7)=. Därav följer att x = ±9 + n " 36 eller cos2x = 7 3 2x = ±cos "1 ( 7 3 ) Det finns ingen lösning till denna ekvation, eftersom cos(x) aldrig blir större än 1. Svar: x = ±9 + n " 36 7. I figuren har man ritat funktionen y = 2sin x. På kurvan har man markerat två punkter P och Q som har y-koordinaten 1. Beräkna avståndet i grader mellan punkterna P och Q. För att kunna beräkna avståndet melan punkterna P och Q behöver jag punkternas x- koordinat. Jag vet att för både P och Q gäller: 1= 2sin x eftersom y=1 för både P och Q. Då löser jag ekvationen och få både P och Q x-koordinat: (3p)
1= 2sin x sin x =.5 x = sin "1 (.5) x = 3 ;x =18 " 3 =15 Svar: Avståndet i grader mellan punkterna P och Q är således 12. 8. Kurvan i figuren nedan är av typen y = B + Asinkx eller y = B + Acoskx. Anger vilken typ av funktion som är ritad och bestäm konstanterna A,B och k. y=b+asinkx med A=3; B=2; Perioden är 18 vilket ger k=2. (3p) 9. Beräkna (utan derivering) det största värdet för y, där y = 33sin x + 56cos x. Vi vet att y = asin x + bcos x = a 2 + b 2 " sin(x + v). Amplituden av vår funktion bli då lika med 65. Svar: Det största värdet vår funktion anta är lika med 65. 1. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = 2sin x + 3cos x då x = ". (3p) y " = 2cos x # 3sin x y "($) = 2cos$ # 3sin$ y "($) = #2 Rätt linjes ekvation: y=kx+m k = y "(#) För att bestämma m behöver vi veta y för x=π: y = "3 Vi använder oss av följande samband: y " y 1 = k(x " x 1 ) y " ("3) = "2(x " #) y = "2x + 2# " 3 Det sista uttrycket är tangentens ekvation och därmed svaret. 11. Bestäm f "(x) då f (x) = 1 x " ln x 2 Vi använder oss av produktregeln.
f "(x) = 1 x # 1 2 x $ 2 x # ln x 3 f "(x) = 1 x $ 2ln x 3 x 3 f "(x) = 1$ 2ln x x 3 12. Temperaturen i en sjö uppmättes under ett molnigt sommardygn. Temperaturen visade sig följa funktionen y( t) = 15 + 2sin, 26t där t är antalet timmar efter kl. 12.. a) Bestäm y "(t). (1p) b) Bestäm y "(1). (1p) c) Tolka vad y "(1) betyder för vattnets temperatur. a) y "(t) =.26# 2cos(.26t) b) y "(1) =.52cos(2.6) y "(1) = #.45 c) Efter 1 timmar, dvs kl.22., sjönk sjöns vattentemperatur med.45 per timme. 13. Bestäm samtliga primitiva funktioner F( x) till f ( x) =! 8 3 x. f (x) = "8x "3 F(x) = "8 x"2 ("2) F(x) = 4 x 2 Svar: Samtliga primitiva funktioner till f (x) = "8 x 3 är F(x) = 4 x 2 + C. 14. Vilket år dog Gustav Vasa? Genom att beräkna integralens värde får du svaret. Beräkningen skall göras med hjälp av primitiv funktion. 1 Årtalet =! ( 3x + 1x + 6) dx x 3 + 5x 2 1 [ + 6x] = (1 3 + 5 "1 2 + 6"1) # = 2 156 Svar: Gustav Vasa dog år156.
15. Bestäm f!!( 1 ) då ( x) 2 x f = e. Svara exakt. Vi använder oss av kedjeregeln och produktregeln. f "(x) = e x 2 # 2x f " (x) = (e x 2 # 2x) # 2x + e x 2 # 2 f " (1) = 4e + 2e f " (1) = 6e Svar: f " (1) = 6e 16. I figuren har kurvan y = x 2 och linjen y = 9 ritats. Beräkna arean av det streckade området. Integrationsgränserna får tas direkt ur figuren. (3p) 3 A = # (9 " x 2 )dx $ A = 9x " x 3 ' & ) % 3 ( A = 27 " 9 A =18ae 3 Lycka till! (Tentamensresultatet anslås på Ångströmlab och på Studentportalen inom en vecka.)