Saisiska Insiuionen STA03:2 Lunds Universie HT 2007 Kandidauppsas, 0poäng Konsumenprisindex för kläder och skor 986-2005 Dekomponering och prognosisering Förfaare: Henrik Svansröm 79063-4098 Samuel Roos 830827-4037 Handledare: Mas Hagnell
Absrac The essay iniially inends o find adequae models o describe and forecas monhly daa for he Swedish Consumer Price Index sub group Clohes and Shoes 986-2005. The ime series observaions during 2006 are considered ou of sample period which is used o evaluae he forecass. The purpose is o perform ime series decomposiion and o invesigae and analyze he seasonal paern. The Box-Jenkins approach is used o find adequae ARIMA models. Furher he invesigaion assumes he approach of SCB for seasonal decomposiion and he so called likelihood principal. The saisical program package TRAMO/SEATS is used hroughou he invesigaion. The formulaion of adequae ARIMA models is carried ou hrough he auomaic funcion of TRAMO and seasonal decomposiion is performed by SEATS. On he basis of differen pre-ransformaions four ARIMA-models are composed. Based on he assumed crieria s one of he models proves o be adequae. Non-adequae models are rejeced and he adequae model is used for predicions and seasonal decomposiion. I shows ha a Box-Cox ransformaion using λ = produces a saionary ime-series and furher an ARIMA-model by he form (0,,) (0,,). I shows ha 9 ou 2 monhly predicions made for 2006 are wihin a 95%-predicion inerval. Decomposiion of he ime-series shows ha CPI for Clohes and Shoes is iniially characerised by a relaively even posiive rend, which however declines and gradually passes ino a negaive rend during he laes years. The seasonally decomposed series furher shows an evidenly reduced variance which indicaes a well adaped model. A closer analysis of he seasonal paern indicaes ha he ime series is increasingly influenced by seasonal effecs. Furher, he resuls indicae ha he seasonal paern is changing by affecing more monhs. The invesigaion of he seasonal componen shows ha he las monhs of he year have he highes CPI and he larges posiive seasonal componen. In a corresponding way he early monhs and he monhs during summer are characerised by low prices. The invesigaion suggess ha his is an increasing process. The analysis of he seasonal paerns shows hus far a price level increasingly relaed o season.
Innehåll Inledning. Bakgrund.. Konsumenprisindex.2 Syfe.3 Avgränsning 2.4 Disposiion 2 2 Tillvägagångssä 3 3 Meod 3 3. ARIMA-modeller 3 3.2 Box-Cox ransformering 5 3.3 Auokorrelaion 6 3.4 Durbin-Wason 6 3.5 Ljung-Box es 7 3.6 Löpningses 7 3.7 Normalie 7 3.8 Jarque-Bera 8 3.9 BIC 8 3.0 Exremvärden 9 3. TSW 9 3.. TRAMO 9 3..2 SEATS 9 3.2 Dekomponering 0 4 Daamaerial 5 Resula 5. Modellbesämning 5.. Modell 5..2 Modell 2 2 5..3 Modell 3 3 5..4 Modell 4 4 5.2 Predikioner 5 6 Säsongsrensning 7 7 Sammanfaning och avsluande diskussion 20 8 Lieraur 2 Bilagor
. Inledning. Bakgrund.. Konsumenprisindex Konsumenprisindex är e må vars uppgif är a beskriva prisuveckling och de effeker uvecklingen medför. Avsiken är a ge e allmän må och en indikaion på hur levnadskosnad förändras över id. Även om de ine är en ualad avsik med framagningen, har indexe dessuom sor beydelse inom vissa prakiska användningsområden. Tre huvudsakliga illämpningsområden är; A bilda underlag för jusering, värdesäkring, av.ex. pensioner, bidrag och andra inkomsöverföringar. Omräkning av nominella värdebelopp/värdeförändringar, för a.ex. beräkna hushållens köpkraf eller bilda underlag vid löneförhandlingar. Användning i sabiliseringspoliiska sammanhang, exempelvis vid jämförelse med prisuvecklingen i andra länder eller som e generell må på kronans inhemska köpkraf. (Uredningen om översyn av konsumenprisindex: 999) KPI redovisas i 2 huvudgrupper, som illsammans ugörs av e 90-al undergrupper. Redovisningen sker enlig den inernaionella klassificeringen COICOP (Classificaion of Individual Consumpion by Purpose). Indexe i sin helhe och för respekive huvudgrupp, beräknas med hjälp av prisuppgifer om cirka 200 represenerande produker. Daainsamlingen sker månadsvis från framförall naionalräkenskaperna, men också genom enkäer och lokala mäningar i buiker. KPI beräknas därefer som e kedjeindex med helårslänkar. De innebär a varje årslänk, som kedjar samman årliga observaioner, mäer hur den genomsniliga prisnivån har förändras i jämförelse med genomsnilig nivå under föregående år. För närvarande är KPI:s basår 980. Huvudgruppen COICOP 03 beskriver prisuvecklingen för kläder och skor. Gruppen besår av sammanlag 39 produkyper, varav 27 är klädesproduker och 2 är skoproduker. Prisuvecklingen för samliga skoproduker och vissa kaegorier av kläder beräknas med e konvenionell illvägagångssä, de vill säga analog med konsumenprisindex i övrig. Som en följd av a ubude av kläder snabb förändras, används emellerid speciella beräkningsmeoder för en sor del klädesproduker. Klädernas karakeriserande egenskaper, exempelvis useende, märke eller illverkningsland, ligger ill grund för dummy-variabler som används för a skapa hedoniska modeller. Prisförändringar med upphov i förändra varuubud och evenuella kvaliaiva förändringar, konrolleras på så sä hedonisk. Med säsongsvariaion avses förändringar av priser/kvanieer som under e år påverkas av e mer eller mindre regelbunde säsongsmönser. De bakomliggande orsakerna kan relaeras ill klima och konvenioner förknippade med en viss säsong, ex. julhandel. De är fakorer som påverkar dels illgång och produkionskosnad, men också hushållens eferfrågan och prioriering av olika varor och jänser.
.2 Syfe Syfe med uppsasen är a: a fram en adekva ARIMA-modell för a beskriva KPI:s huvudgrupp Kläder och skor. uifrån den framagna modellen genomföra säsongsrensning av serien, sam a analysera säsongsmönsre..3 Avgränsning A priserna på kläder och skor förändras i ak med årsid kan yckas vara en självklar ugångspunk. Emellerid vill vi med uppsasen undersöka om säsongsmönsre uppvisar någon yerliggare och mer sammansa endens än den förvänade. Vidare vill vi a reda på om eller i vilken mening säsongsmönsre förändras. Uppsasen avser a endas undersöka huvudgruppen Kläder och skor, även om de opimala hade vari a analysera fler huvudgrupper ill grund för en jämförelse av säsongsmönser. Vi har val a låa undersökningen omfaa idsperioden 986-2005. Även om de finns illgängliga daa sedan 949 och KPI har 980 som basår, har vi val a avgränsa idsperioden ill de senase 20 åren. Vi menar a en sådan avgränsning är illämplig och medför a undersökningen bygger på de daamaerial som är mes relevan. Undersökningen avgränsas dessuom ill 2005, efersom vi har val a låa observaionerna från 2006 ligga ill grund för en jämförelse med modellens framagna predikioner. Jämförelsen används som en prakisk bedömningsgrund för modellens relevans. Predicering av värden efer den valda idsperioden ugör, enlig Kaiser och Maravall, e avgörande må på modellens illämplighe (Kaiser & Maravall, 2000). Tros a de senase åre uelämnas, menar vi a illvägagångssäe skapar goda förusäningar för a undersöka idsseriens säsongsmönser. Uppsasen använder sig i modellbesämningen av saisikprogrammen TRAMO och SEATS. Programmen används av SCB och rekommenderas av Eurosa för säsongsrensing. En fördel med a använda TRAMO/SEATS är a programmen uppäcker och eliminerar exremvärden. E alernaiv förfaringssä skulle kunna vara a använda fler daorprogram i kombinaion eller jämförelse med TRAMO/SEATS..4 Disposiion Avsni redogör för uppsasens ugångspunker. Kapiel 2 beskriver illvägagångssä och krierier som används i uppsasen. Därefer följer kapiel 3 som beskriver meodiken sam dess eoreiska bakgrund. I kapiel 4 redovisas daamaeriale sam modellbesämning. Avsnie inleds med en redovisning av arbee med a a fram en lämplig ARIMA-modell uifrån e anal modeller framagna genom TRAMO. Modellerna prövas genom diagnosik och adekvaa 2
modeller används därefer för a a fram predikioner genom SEATS. Efer dea följer kapiel 5, som avser a redogöra för dekomponering av idsserien uifrån valda modeller. Kapiel 6 ugörs av en diskussion och sammanfaning av resulae, illsammans med avsluande reflekioner. 2. Tillvägagångssä Undersökningen ugår från SCB:s förfarande för säsongsrensning. Tillvägagångssäe för a finna en adekva ARIMA-modell bygger på den så kallade likelihood-principen. Ugångspunken är a sannolikhesfördelningen för en adekva modell ska följa en normalfördelning, samidig som residualerna är oberoende. Om de inledande förusäningarna är uppfyllda, används BIC som e avgörande må i jämförelsen mellan olika modeller. De modeller som åersår efer den inledande undersökningen, sam har signifikana ARIMA-paramerar, kommer därefer a jämföras med avseende på den säsongsrensade seriens variabilie. Den modell som har mins variabilie kommer därpå a väljas (Öhlén, 2003). De krierier och es som ligger ill grund för vale av modell är därmed: - Maximum-likelihood (BIC) - Tes av residualegenskaper - Auokorrelaioner av residualer - Diagram över residualer - Signifikans hos paramerar i ARIMA-modellen - Variabilie hos den säsongsrensade serien - Diagram över säsongsrensade serier 3. Meod 3. ARIMA-modeller En idsserie kan definieras som en kronologisk följd av observaioner, avseende en besämd variabel. De observerade värdena y av en idsserie, kan enlig Box- Jenkins uppfaas som resulae av underliggande sannolikheer för den variabel som idsserien avser a mäa; de är en realisering av en sokasisk process. För a beskriva de processer som ligger ill grund för en idsserie, har Box- Jenkins uveckla en grupp av ARIMA-modeller: auoregressiv-, glidande medelals- och auoregressiv-glidande medelalsmodell. Modellerna är uformade med ugångspunken a värde av en idsserie kan beskrivas som resulae av dels idigare värden och dels en oberoende slumperm. I avsnie nedan redogörs vidare för de respekive modellerna. En grundläggande förusäning för ARIMA-modellering är a den undersöka idsserien är saionär, de vill säga a seriens vänevärde och varians är konsan över id. Om varians och vänevärde är skifande kan differeniering användas för a göra idsserien saionär. 3
Differenieringsoperaorn I beeckningen av ARIMA-modeller används ofa den bakåskifande operaorn B, som är uryck för idsskifen avseende observaioner i en idsserie. Den bakåskifande operaorn kan definieras; m By och B y = y m = y För a beeckna differeniering av en idsserie på icke-säsongsnivå används differenieringsoperaorn som då kan skrivas; = B På säsongsnivå används differenieringsoperaorn avseende säsongsnivå L ; = B L där L beecknar anale säsonger under e år, de vill säga L=4 för kvaralsvis daa och L=2 för månadsvis daa. Anale differenieringar som används på säsongsoch icke-säsongsnivå för a göra en idsserie saionär, kan därför uryckas generell med; z L D d ( B ) ( B) y D d = L y = där d är anale differenieringar på icke-säsongsnivå och D är uryck för differenieringar avseende säsongsnivå. Auogregressiv modell (AR) AR(p) som är den generella auoregressiva modellen av ordningen p, beskriver en auoregressiv sokasisk process och beecknas: z + a = φ z + φ2 z 2 +... + φ p z p φ, φ2,..., φ p är okända paramerar som relaerar värde z ill idigare värden z, z 2,..., z p och a beecknar en oberoende slumpvariabel. De nuvarande värde z är således en funkion av idigare värden av idsserien, sam felermen a som är en oberoende slumpvariabel med vänevärde 0 och varians som är konsan över id. Med användande av bakåskifande operaor kan AR(p) isälle skrivas: φ ( B ) z = a Glidande medelalsmodell (MA) 4
MA(q), generell glidande medelvärdesmodell av ordningen q, skrivs som: z = a θ a θ a... θ a 2 q q där a är en oberoende slumpvariabel. De okända paramerarna θ, θ 2,..., θ q relaerar de nuvarande värde z ill a,..., a, som är oberoende q idigare slumpvariabler med vänevärde 0 och varians som är konsan över id. MA(q) kan med bakåskifande operaor skrivas: z = θ ( B) a Auoregressiv - Glidande medelalsmodell (ARMA) ARMA(p,q) är den generella kombinaionen av en AR(p)- och MA(q)-modell och skrivs som: z = φ +... + φ y + a θa... θ a p p q q Med användande av bakåskifande operaor kan den generella ARMA-modellen av ordningen (p,q) skrivas; ( B) z θ ( B) a φ = Box-Jenkins modeller kan även inkludera MA- och AR-paramerar på säsongsnivå. Även om dea komplicerar den underliggande maemaiken så är den generella illämpningen analog. AR-, MA- respekive ARMA-modeller beecknas då SAR, SMA sam SARMA. Inegrerad Auoregressiv - Glidande medelalsmodell (ARIMA) Då de generella urycke för differeniering på säsongs- och icke-säsongsnivå z = D L d y inegreras i urycke för den generella ARMA-modellen erhålls urycke; p L D d L ( B) φ p ( B ) L y θ q ( B) θ Q ( B ) a φ =,. I urycke represenerar p och q anale AR- respekive MA-paramerar på ickesäsongsnivå, medan d beecknar anale differenieringar på icke-säsongsnivå. Urycken P, D och Q har analog beydelse på säsongsnivå. som är den generella ARIMA-modellen av ordningen ( p d, q)( P, D, Q) 3.2 Box-Cox ransformering 5
Då en idsserie karakeriseras av icke-normalie eller krafig och ökande varians, ill exempel i form av säsongsvariaion, kan de vara nödvändig med en förransformering för a serien ska bli saionär. Box-Cox illvägagångssä kan då illämpas för a skaa en lämplig ransformeringsparameer. Meoden ugår från en ransformering i form av; z = x λ där x är originalseriens observerade värde och; 0, z ln ( x) λ = då λ = 0 De värde λ som ger lägs residualkvadrasumma vid en maximum likelihoodskaning av modellen ( ) / λ x = x x λ λ λ är opimal för ransformering. 3.3 Auokorrelaion När posiiva felermer över id enderar a följas av fler posiiva felermer, förekommer posiiv auokorrelaion. I en idsserie leder posiiv auokorrelaion i felermer ill a värden sörre än medelvärde för y ofas följs av fler värden sörre än medelvärde för y. Man kan säga a felermer som förekommer över id har en negaiv auokorrelaion om en posiiv felerm i idsperiod enderar a följas av en negaiv felerm i idsperioden + k. Desamma gäller naurligvis för negaiva felermer. Efersom residualer är punkskaningar av felermer kan en residualplo över id användas för a uppäcka auokorrelaion. Om dea är falle kommer residualploen ha e periodisk useende. De finns flera orsaker ill förekomsen av auokorrelaion i en idsserie. Några exempel är: - Uelämnade värden i serien - Ignorering av ickelinearie - Mäfel - Hel slumpmässiga ovänade effeker Ignorering av auokorrelaion kan leda ill a prognoser och förhandsberäkningar visserligen blir konsekvena men ineffekiva. Nedan följer re olika meoder som används för a uppäcka auokorrelaion. 3.4 Durbin Wason Tes 6
Som idigare nämns är residualploer över id e bra sä a uppäcka auokorrelaion. Dea är dock ine illräcklig uan mer formella es krävs för a göra mer exaka beräkningar. E sådan es för auokorrelaion är Durbin Wason es. Formeln för ese ser u på följande sä: d n u u= 2 = n ( e e ) u= e 2 u 2 u Där e u = residual för observaion u och e u = residual för den föregående observaionen i idsordningen. För a esa d säer vi upp nollhypoesen och mohypoesen: H 0 H = Felermerna är ine auokorrelerade. = Felermerna är posiiv auokorrelerade. För a nå en slusas på ese behöver man nu jämföra de framräknade värde på d med de kriiska gränsvärden som finns a häma ur abell. I abellen ar man hänsyn ill urvales sorlek n och anale koefficiener k. Om d är sörre än abellvärdes övre gräns förkasas H 0, posiiv auokorrelaion exiserar. Om d är mindre än den undre gränsen i abellen förkasaas ine H 0, posiiv auokorrelaion kan ej påvisas. Om d ligger mellan de båda gränsvärdena är ese ine avgörande. Tramo räknar auomaisk u värde på d vilke gör de enkel a avgöra om idsserien är korrelerad. 3.5 Ljung Box Tes I den här uppsasen används yerligare e sä a pröva en modell för auokorrelaion i residualerna. Ljung Box es bygger på ploen för auokorrelaion och prövar modellens oala slumpmässighe basera på e anal idsförskjuningar (lags). Tese definieras på följande sä: H 0 H = Residualerna är slumpmässiga. = Residualerna är ej slumpmässiga. k ( ) = K 2 rk LJB = n n + 2 k= n k n = n d, där n är anale observaioner efer de a idsserien blivi differenierad 2 d gånger. r k = Auokorrelaionen vid lag k. LJB är χ fördelad med K n p frihesgrader, där K = anale observaioner och n p = anale skaade 2 paramerar. Om LJB är sörre än de kriiska värde för χ förkasas H 0 och residualerna kan ine berakas som slumpmässiga. Precis som för Durbin Wasons ar TRAMO auomaisk fram modellens värde för LJB. 3.6 Löpningses 7
Löpningsese är e icke-paramerisk es som används för a undersöka slumpmässighe med avseende på ecknen i en följd av observaioner. Anale sekvenser av lika ecken esas mo de anal sekvenser som förvänas i de fall observaionerna är oberoende. E förhållandevis sor eller lie anal sekvenser indikerar negaiv respekive posiiv auokorrelaion. Teses nollhypoes är a ecknen är slumpmässig ordnade och därmed oberoende. 3.7 Normalie Normalie i residualerna är en förusäning för a de skaade koefficienerna i modellen ska bli korreka. Då man genomför e normalieses i TRAMO, undersöks fördelningens symmeri och oppighe. Problem med normalieen uppkommer när den ena svansen i normalfördelningskurvan är mer udragen än den andra. Man brukar säga a fördelningen då lider av skevhe eller asymmeri. För normalfördelning ska värde på skevhe vara 0. Värde definieras enlig: 3 E ( x µ ) ) ( Var( x) ) 3 / 2 En fördelning med spesig oppighe samlad mo mien eller en mer uspridd oppighe lider av kurosis. Kurosis är e må på i vilken usräckning värdena befinner sig nära medelvärde av fördelningen eller i svansarna. För normalfördelning ska värde på kurosis vara 3 och beräknas enlig följande: 4 ( x ) ) ( Var( x) ) 2 E µ 3.8 Jarque-Bera TRAMO genomför yerligare e es, som bygger på värdena för skevhe och kurosis, för a undersöka om residualerna följer normalfördelningen. Tese 2 kallas Jarque-Beras normalieses och är χ - fördela med kriisk värde på 5,99 på 5 % -nivån. 2, α JB = n 6 S + 2 K ( 3) 4 2 där n är anale observaioner i sickprove, S är skevheen och K är värde på kurosis. Om värde på JB är sörre än 5,99 förkasas nollhypoesen a felermerna följer normalfördelning. Dea innebär a fördelningen lider av asymmeri (skevhe) och/eller oppighe (kurosis). 3.9 BIC En meod som används för a a reda på vilken modell som passar daa bäs är Bayes Informaion Crierion (BIC). TRAMO ar auomaisk fram värde för BIC och måle med meoden är a finna högsa likelihood med minsa anale 8
paramerar. Den modell som har de minsa värde på BIC är a föredra. Värde bygger på likelihoodfunkionen, L, och definieras enlig: BIC = 2log( L) + K log( T ) Där K är anale paramerar och T anale observaioner som används vid skaningen av modellens paramerar. Genom a inkludera fler paramerar i modellen kan värde på L ökas, vilke kan leda ill överparamerisering. Värde på BIC ökar för varje parameer, K, som läggs ill modellen. TRAMO ar även fram måe AIC (Akaikes Informaion Crierion). AIC liknar på många sä BIC, men en avgörande skillnad är a sraffe för a lägga ill paramerar ill modellen är mindre än för BIC. Dea kan i en del fall leda ill a AIC godkänner överparameriserade modeller. Måe definieras enlig: AIC = 2 log( L) + 2K 3.0 Exremvärden En observaion som avskiljer mycke från övriga observaioner kallas exremvärde (oulier). Exremvärden kan vara av olika karakär, så som ensaka höga eller låga mävärden eller plösliga förändringar i nivå eller rend. En bra modell bör ine ha för många exremvärden, då anken med modellen är a den ska förklara daa så bra som möjlig. Genom a dekomponera en idsserie kan seriens exremvärden analyseras och säsongsrensningen möjliggör jämförelser mellan inill liggande observaioner i iden. Vid dekomponering kan exremvärden som i själva verke beror på säsong undvikas. En idsseries exremvärden orsakas ofa av exogena effeker eller mäfel och definieras uifrån re skilda yper: - Addiiv exremvärde (AO) karakeriseras av a serien hoppar ill en ny nivå och därefer genas åergår ill ungefär samma nivå som idigare. - Nivåskife (LS) serien hoppar ill en ny nivå och sannar där. - Temporär förändring (TC) serien hoppar ill en ny nivå, och sannar där under en period, innan den åergår ill ugångsnivån. 3. TSW 3.. TRAMO TRAMO (Time series Regression wih ARIMA noise, Missing observaions and Ouliers) är e Forran-program som används på PC under MS-DOS och Windows. Programme används för skaning och prognosisering av regressionsmodeller, vars slumperm specificeras med en ARIMA-modell. 9
TRAMO som används.ex. vid SCB, ger e förslag ill säsongsrensning, som sedan uförs av de sammankopplade programme SEATS. I TRAMO kan man skaa olika yper av exremvärden (ouliers) i en idsserie, som negaiv påverkar säsongsrensningens kvalie, såvida dessa effeker ine elimineras före säsongsrensningen. Programme behandlar och skaar dessuom speciella kalendereffeker som.ex. en påskeffek. I den här uppsasen kommer framförall funkionen med auomaisk modellidenifikaion a användas. TRAMO med illäggsprogramme SEATS uvecklades av Augusin Maravall och Vicor Gomez och finns a ladda ner från Spaniens cenralbanks hemsida (www.bde.es). 3..2 SEATS SEATS (Signal Exracion in ARIMA Time Series) är e illäggsprogram ill TRAMO som används för dekomponering av en idsserie. I SEATS säsongsrensas modellen man sedan idigare få fram via TRAMO. Dekomponeringen kan vara addiiv eller muliplikaiv och med hjälp av en ARIMA-baserad meod kan programme, för idsserier, esimera icke observerbara komponener som.ex. rend, säsong och irreguljära. Precis som TRAMO är SEATS inrika på månadsdaa eller daa med lägre frekvens. De olika komponenerna skaas och prognosiseras med signalexraheringseknik applicerad på ARIMA-modeller. 3.2 Dekomponering Dekomponering (säsongsrensning) av en idsserie görs för a dela upp serien i linjära rend och säsongskomponener, exremvärden, cykel, irreguljära effeker och kalendereffeker. Vi kommer i den här uppsasen ine lägga sor vik vid cykel och kalendereffeker uan koncenrera oss på de fyra övriga. Trend innebär seriens långsikiga uveckling, ofa under flera år, medan säsongskomponenen avser förändringar under åre som beror på årsid, semeserider ec. E exempel är konsumionen vad gäller uppvärmning av bosäder, som av naurliga skäl är sörre under vinerhalvåre. E anna exempel är Jordbruksprodukionen som också den uppvisar e sark säsongsberoende. Cykel påminner om rend men avser korare idsperioder medan kalendereffeker innebär plösliga förändringar under enskilda dagar som.ex. påskhelgen. Den variaion som ine fångas upp av modellen represeneras av den irreguljära komponenen. För en bra modell bör den irreguljära komponenen ha så hög varians som möjlig medan variansen för rend och säsong bör vara lien (Kaiser och Maravall 2000). Summan av fakorerna kallas den addiiva dekomposiionsmodellen och skrivs: T + C + S + K + I + E För de flesa idsserier används dock en muliplikaiv modell som skrivs: T * C * S * K * I * E Vid logarimering av den muliplikaiva modellen erhålls en addiiv modell som kan användas vid säsongsrensning (Öhlen 2003). Efer säsongsrensningen kan seriens fakorer analyseras och uesluas från modellen. Dea görs för a få en klarare bild av orsakerna ill förändringar som sker hos en serie över id. 0
4. Daamaeriale Tidsserien beskriver COICOP 03 i KPI, de vill säga konsumenprisindex för huvudgruppen Kläder och skor. Tidsserien bygger på månadsvis daa och sräcker sig över idsperioden 986-2005. Daamaeriale besår därmed av 240 observaioner. Tidsserien illusreras i diagram 3.. Diagram 4. Originalserie, Kläder och skor 986-2005 8 0 7 5 7 0 6 5 6 0 5 5 5 0 4 5 4 0 3 5 3 0 8 6 0 8 8 0 9 0 0 9 2 0 9 4 0 9 6 0 9 8 0 0 0 0 0 2 0 0 4 0 0 6 0 Diagramme visar a prisuvecklingen karakeriseras av en ydlig rend och e ydlig säsongsmönser. Säsongsvariaionen känneecknas av en sörre opp och flera mindre under åre. Mönsre förefaller dessuom a försärkas och sammanage är de uppenbar a prisuvecklingen är beroende av id. Tidsserien kan därmed ine berakas som varken homoskedasisk eller saionär. De verifieras samidig av korrelogram för ACF och PACF som redovisas som bilaga respekive bilaga 2. Korrelogrammen visar a serien karakeriseras av signifikan auokorrelaion och pariell auokorrelaion, som båda avar långsam. 5. Resula 5. Modellbesämning Kapile avser a redogöra för arbee med a a fram en adekva ARIMA-modell för a beskriva idsserien. Vi använder oss inledningsvis av olika förransformeringar för a på så sä göra idsseriens säsongsvariaion konsan. Modellerna uformas därefer med hjälp av TRAMO:s auomaiska funkion. Fullsändig diagnosik för framagna modeller redovisas i bilaga 3. 5.. Modell Vi inleder undersökningen med a låa TRAMO uforma en modell som bygger på originalserien. Programme anpassar ARIMA-modellen (0,,)(0,,). Samliga skaade paramerar visar sig vara signifikana. Modellen ger 6 ouliers, vilke får berakas som e rimlig anal då serien innehåller 240 observaioner. Normaliesese ger e värde på 3,5, vilke därmed översiger 5,99 som är de kriiska värde på 5%-nivån. Resulae innebär a nollhypoesen förkasas; de är uppenbar a modellens residualer lider av icke-normalie. Värdena på skevhe
och kurosis yder på a fördelningen karakeriseras av asymmeri och jocka svansar. Diagramme över modellens residualer anyder på samma sä a de föreligger viss heeroskedasicie. Diagram 5. Residualer, Modell 7,5 5,0 2,5 0,0-2,5-5,0 2 2 4 4 6 6 8 8 0 3 2 5 4 7 6 9 8 2 2 0 Värde för AIC respekive BIC, hamnar på 920,88 och,34. Ljung-Box es för auokorrelerade residualer ger e Q-värde på 37,47. Efersom de översiger de kriiska värde på 33,92 förkasas eses nollhypoes. Residualerna är auokorrelerade och modellen kan därmed ine berakas som adekva. Ljung-Box es i kvadra bekräfar samma sak och visar också a modellen lider av heeroskedasicie. På samma sä anyder de icke-parameriska löpningsese a residualerna är korrelerade, vilke däremo ine påvisas av Durbin-Wasons es. Sammanage visar modellen uppenbara, signifikana briser och kan ine berakas som adekva för a beskriva idsserien. 5..2 Modell 2 Efersom originalserien var ydlig icke-saionär forsäer vi undersökningen med a illämpa olika ransformeringar. Då seriens säsongsvariaion är ydlig ökande, förefaller de som rimlig a inleda med en roransformaion för a på så sä göra säsongsvariaionen konsan. Vi inleder således med en ransformering där λ = 0,5. Åerigen erhåller vi modellen (0,,)(0,,), där den ena parameern emellerid visar sig vara icke-signifikan. Anale ouliers har nu öka ill 7 sycken, vilke knappas kan berakas som rimlig för en adekva modell. E anna problem med den framagna modellen är a residualerna forfarande ine kan berakas som normalfördelade. Värdena för skevhe och kurosis anyder alljäm ickenormalie i form av sned fördelning och jocka svansar. Diagnosiken för Ljung-Box es visar däremo a residualerna ine längre kan berakas som auokorrelerade, vilke illusreras i korrelogramme nedan. A 2
några ensaka korrelaioner översiger de kriiska värde kan illskrivas den slumpmässiga variaionen. Också de icke-parameriska Löpningsese visar på oberoende residualer. Diagram 5.2 Auokorrelaion av residualer, Modell 2, 0 0, 8 0, 6 0, 4 Auocorrelaion 0, 2 0, 0-0, 2-0, 4-0, 6-0, 8 -, 0 5 0 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5 6 0 L a g Även om ransformeringen innebär a probleme med auokorrelaion har försvunni, kan modellen sammanage ine berakas som adekva för a beskriva idsserien. 5..3 Modell 3 Briserna i modell 2 visar e en ransformering i form av λ= 0,5 ine är illräcklig för a jämna u den ökande säsongsvariaionen. Vi forsäer därför undersökningen med a låa TRAMO logarimera originalserien. TRAMO anpassar nu modellen enlig (,,)(0,,). Den nya modellen uppvisar någo färre exremvärden, 2 sycken. Normaliesese ger e väsenlig förbära värde, = 5,035, vilke indikerar a residualerna nu kan berakas som normalfördelade. Även Q-värde för Ljung-Box es har förbäras och ligger på samma sä under de kriiska värde. Modellen visar ine heller några ecken på heeroskedasicie, vilke illusreras i diagramme nedan. 3
Diagram 5.3 Residualer, Modell 3 0, 0 3 0, 0 2 0, 0 0, 0 0-0, 0-0, 0 2-0, 0 3-0, 0 4 2 2 4 4 6 6 8 8 0 3 2 5 4 7 6 9 8 2 2 0 Efersom anale ouliers i modellen är förhållandevis sor, ökar vi de kriiska värde för oulierdeekion i TRAMO:s insällningar. Avsiken är a undersöka om den goda diagnosiken kan bibehållas samidig som fler observerade värden inkluderas i modellen. Som en följd av ändringen anpassar TRAMO en ny modell i form av (2,,)(0,,). Anale ouliers sjunker som förväna; den nya modellen innehåller endas 3 sycken. Däremo visar de sig a normalieen försämras väsenlig, sam a diagnosiken för Ljung-Box es nu varnar för auokorrelaion. Den ursprungliga modellen och TRAMO:s auomaiska jusering av exremvärden visar sig allså vara a föredra. Modell 3 uppfyller undersökningens grundläggande krierier i form av normalfördelning och oberoende residualer. Borse från e relaiv sor anal ouliers, framsår modellen som signifikan och illämplig för säsongsrensning. Diagnosiken för modellens ARIMA-paramerar gör oss emellerid uppmärksamma på e anna problem. Samliga skaade paramerar är visserligen signifikana, men däremo visar korrelaionsmarisen a paramerarna på ickesäsongsnivå kan berakas som korrelerade i allför hög grad. Korrelaionen hamnar på 0,9322 och översiger därmed e kriisk värde på 0,9, vilke rekommenderas av Bowerman-O Connell. Även om parameerkorrelaion ine nödvändigvis försämrar modellen, eller dess predikioner, yder de föregående modellerna på a en AR-parameer ine bör inkluderas. Sammanage bör modellen därför ine heller användas vid predicering och dekomponering. 5..4 Modell 4 Efer a med saisikprogrampakee Miniab och Box-Cox illvägagångssä, ha esa för opimal lambda-värde, uför vi yerliggare en ransformering. De opimala värde visar sig vara λ =, vilke leder oss ill ännu en modell enlig (0,,)(0,,). Som en följd av a modellen saknar AR-parameer har probleme med parameerkorrelaion försvunni. Diagnosiken för AIC och BIC visar emellerid högre värden än mosvarande för modell 3. 4
I övrig har normalieen yerliggare förbäras, esvärdena för både skevhe och kurosis har reduceras beydlig. Diagnosiken visar ine heller några ecken på auokorrelaion, varken i Ljung-Box es eller ese för de kvadrerade residualerna. Modellen innehåller vidare 7 ouliers, vilke även de är en förbäring i jämförelse med modell 3. Diagramme över oal oulier-effek ser u a beonas av nivåskifen. Serien inleds emellerid med vå addiiva exremvärden, vilke innebär a serien anar högre värden är normal, för a sedan direk åergå. Därefer följer en emporär förändring vid observaion 8, då serien under korare period ligger över normal nivå. Seriens senare del präglas av nivåskifen då observerade värden ligger över normal nivå under längre period. Diagram 5.4 Oulier-effek, Modell 4 0, 3 0, 2 0, 0, 0-0, -0, 2-0, 3-0, 4 8 6 0 8 8 0 9 0 0 9 2 0 9 4 0 9 6 0 9 8 0 0 0 0 0 2 0 0 4 0 0 6 0 Sammanage framsår modell 4 som den enda modell som uppfyller samliga diagnosiska krierier. Modellen är därför den enda som används för framagande av predikioner och vid dekomponering av idsserien. 5.2 Predikioner Uifrån den valda modellen har vi låi TRAMO a fram predikioner avseende 2006. De givna prognosvärdena har åerransformeras för a på så sä kunna jämföras med fakiska observaioner för samma idsperiod. I jämförelsen visar de sig a modellen enderar a underskaa prisnivån. E 95%-ig predikionsinervall, som ges av programme, visar emellerid a 9 av 2 predikioner ligger inom inervalles gränser. E predikionsinervall uifrån givna predikioner illusreras i diagramme nedan, där fakiska värden represeneras av en heldragen linje. Numeriska värden för predikionerna, sam inervalles gränser redovisas i bilaga 4. 5
Diagram 5.5 Predikioner, Modell 4 8 5 8 0 7 5 7 0 6 5 6 0 5 5 5 0 4 5 0 6 0 0 6 0 2 0 6 0 3 0 6 0 4 0 6 0 5 0 6 0 6 0 6 0 7 0 6 0 8 0 6 0 9 0 6 0 0 6 0 6 2 6
6. Säsongsrensning Vi genomför säsongsrensningen av vår valda modell med hjälp av SEATS. Diagram för a beskriva seriens rendkomponen redovisas i bilaga 5. Vi kan konsaera a KPI för kläder och skor inledningsvis karakeriseras av en relaiv jämn, posiiv rend, som emellerid avar eferhand och därefer övergår ill negaiv rend under de senase åren. En jämförelse mellan originalserien och den säsongsrensade serien visar på e ydlig sä a idsserien har en märkbar säsongskomponen. Vidare åskådliggör diagramme över den säsongsrensade serien en krafig reducerad varians. Dea är en önskvärd effek enlig de principer som redovisas i kapiel 2. Den säsongsrensade seriens jämnhe och låga variabilie yder på a den valda modellen är adekva. Diagram 6. Originalserie, Kläder och skor 986-2005 8 0 7 5 7 0 6 5 6 0 5 5 5 0 4 5 4 0 3 5 3 0 8 6 0 8 8 0 9 0 0 9 2 0 9 4 0 9 6 0 9 8 0 0 0 0 0 2 0 0 4 0 0 6 0 Diagram 6.2 Säsongsrensad serie, Kläder och skor 986-2005 8 0 7 5 7 0 6 5 6 0 5 5 5 0 4 5 4 0 3 5 3 0 8 6 0 8 8 0 9 0 0 9 2 0 9 4 0 9 6 0 9 8 0 0 0 0 0 2 0 0 4 0 0 6 0 7
Diagramme nedan visar säsongskomponenens uveckling över id. Som synes ökar variansen påaglig. Dea innebär a vi kan dra slusasen a idsserien i ökande grad influeras av säsongspåverkan. På samma sä anyder grafen a säsongsmönsre förändras genom a också inkludera fler månader. Säsongspåverkan undersryks även av diagnosiken i SEATS, där månader visar sig vara signifikan säsongsbeonade, se över hela idsperioden. Diagram 6.3 Säsongskomponen, Kläder och skor 986-2005 0,00050 0,00025 0,00000-0,00025-0,00050 860 880 900 920 940 960 980 000 020 040 060 De förändrade säsongsmönsre för respekive månad under perioden 986-2005 beskrivs i diagram 6.4. De flesa månaderna visar, som idigare anys, en ökande säsongsbeoning. De framsår ydlig a månaderna okober, november och december beonas av en sark, posiiv säsongskomponen, se över hela idsperioden. Diagramme visar a priserna under dessa månader förefaller vara som högs och a de är en uveckling som också enderar a krafig försärkas. På mosvarande sä visar månaderna februari, juli och augusi en krafig, negaiv säsongskomponen som dessuom forsäer a minska. Dea anyder a KPI för Kläder och skor under dessa månader är som lägs och samidig beonas av en negaiv uveckling. Som vi kan se i diagram 6.5 nedan, så uppvisar den irreguljära komponenen e konsan medelvärde samidig som variansen är relaiv konsan. De ger söd å e anagande om homoskedasicie. A den irreguljära komponenen även ser u a vara icke-symmerisk, ger enlig Maravall och Kaiser en anydan om a den kan berakas som vi brus och a den valda modellen därmed är väl anpassad (Maravall & Kaiser). Vär a noera är a addiiva exremvärden sam emporära förändringar av SEATS inkluderas i den irreguljära komponenen, medan nivåskifen inbegrips i rendkomponenen (Maravall, 2005). 8
Diagram 6.4 Säsongskomponen per månad, Kläder och skor 986-2005 januari februari mars april maj juni juli augusi sepember okober november december Diagram 6.5 Irreguljär komponen, Kläder och skor 986-2005 0,0 00 4 0,0 00 3 0,0 00 2 0,0 00 0,0 00 0-0,0 00-0,0 00 2-0,0 00 3 8 60 8 80 90 0 9 2 0 94 0 96 0 9 80 00 0 0 20 0 40 0 6 0 9
7. Sammanfaning och avsluande diskussion De inledande syfe med uppsasen var a genom TRAMO a fram en adekva ARIMA-modell för a beskriva en av huvudgrupperna i KPI, Kläder och skor. Vi kunde vid en inledande undersökning se a originalserien karakeriseras av en posiiv rendkomponen och e ydlig säsongsmönser. Efersom serien är ydlig icke-saionär med ökande variaion, genomförde vi vidare re förransformeringar och lä därefer TRAMO:s auomaiska funkion a fram modeller med illhörande diagnosik. De visade sig a serien bäs och mes adekva kunde beskrivas av en airline-modell (0,,)(0,,), efer ransformeringen λ =. Vi kan därmed dra slusasen a de uöver förransformering krävs en reguljär differeniering och en säsongsdiffereniering, för a göra serien saionär. Diagnosiken visar a den valda modellen ger oberoende, normalfördelade residualer sam signifikana paramerar. Den valda modellen användes därefer ill a a fram predikioner för år 2006. Dessa predikioner jämförde vi med verkliga värden och de visade sig a 9 av 2 värden hamnade inom e 95%-ig predikionsinervall. Reserande värden visar sig emellerid ligga väldig nära skaningens inervall. Uifrån resulae drar vi slusasen a den framagna modellen kan berakas som rimlig och adekva för a beskriva idsserien. Vår andra syfe med uppsasen var a uifrån vår valda modell genomföra säsongsrensning och undersöka förändringar i säsongsmönsre över id. Efer a ha sudera diagram över säsongsmönsre kunde vi snabb konsaera a idsserien i ökande grad influeras av säsongspåverkan. Diagrammen anyder vidare a fler och fler månader karakeriseras av signifikan säsongsberoende, se över id. Via diagnosiken i SEATS kunde vi konsaera a av 2 månader kan anses signifikan säsongsberoende, se över hela idsperioden. De kanske mes inressana diagramme visar de enskilda månadernas uveckling vad gäller säsongsberoende. Diagramme visar ydlig a åres avsluande månader har högs KPI och mes markan säsongskomponen. På mosvarande sä karakeriseras åres inledande månader sam sommarmånaderna av låga priser. Resulae är i många avseenden väna. Exempelvis bör den växande julhandeln ugöra en krafig bidragande orsak ill allmer ökande priser under slue av åre. De förefaller naurlig a den genomsniliga prisnivån är högre under denna period. Andra månader som visar sark säsongsberoende är sommarmånaderna juli och augusi. Under dessa månader var KPI som lägs, se över hela idsperioden. Även dea kan ses som e naurlig resula, som en följd av exempelvis sommarrealisaioner och en allmän minskad konsumion. Vad vi kan sammanfaningsvis kan uppfaa är en prisnivå som i all högre grad kan relaeras ill säsong. 20
8. Lieraur Bowerman, B. L.,R. T. O'Connell, A.B. Koehler (979) "Forecasing, ime series, and regression : an applied approach, (Cole, Thomson Brooks, 4. upplagan 2004) Box, G.E.P., och Jenkins, G.M. (970) Time Series Analysis Forecasing and Conrol, (Holden-Day, San Francisco, 2. upplagan 976). Cabrero, A. Seasonal adjusmen in economic ime series: he experience of he Banco de España (wih he modelbased mehod) (Banco de España - Servicio de Esudios Documeno de Trabajo nr 0002) Gómez, V., Maravall, A. (998) Guide for using he programs TRAMO and SEATS (Bea version June 998) Gómez, V., Maravall, A. (992) Time Series Regression wih ARIMA Noise and Missing Observaions - Program TRAMO, EUI Working Paper ECO No. 92/8, Deparmen of Economics, European Universiy Insiue. Kaiser, R., Maravall, A. (2000) Noes on ime series analysis ARIMA models and signal exracion, (Banco de España - Servicio de Esudios Documeno de Trabajo nr. 002) Maravall, A. (2005) Brief descripion of he programs (TRAMO and SEATS) Ramanahan, R. (989) "Inroducory economerics wih applicaions",(harcour College Publishers, For Worh, 5. upplagan 2002) SCB (2004) Den svenska konsumenprisindexserien (KPI), 955-2004 : en empirisk sudie av säsongsmönsre : en illämpning av TRAMO/SEATS. Sockholm : Avdelningen för ekonomisk saisik, Saisiska cenralbyrån (SCB) SCB (200) The Swedish Consumer price index a handbook of mehods. Sockholm: Saisiska cenralbyrån (SCB) Uredningen om översyn av konsumenprisindex (999) Konsumenprisindex : beänkande av Uredningen om översyn av konsumenprisindex. Sockholm : Faka info direk, 999 Öhlén, S. (2003), Säsongsrensning av naionalräkenskaperna, (SCB) 2
Bilaga Korrelogram över auokorrelaion för originalserien,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8 -,0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 50 55 60 22
Bilaga 2 Korrelogram över pariell auokorrelaion för originalserien,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8 -,0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 50 55 60 23
Bilaga 3 ARIMA (0,, )(0,, ) 3,30 3,80 Modell Modell 2 Modell 3 Modell 4 (0,, )(0,, ) (,, )(0,, ) (0,, )(0,, ) 5,04,58 3,02 8,78 4,43 4,64 5,43 ormalie 3,5(5,99) 0,4(5,99) 5,035(5,99),948(5,99) Ljung-Box 37,47(33,92) 32,95(33,92) 30,23(32,67) 30,04(33,92) BIC AIC Run-es Durbin- Wason,3359-5,3806-8,9295,998 920,882-642,000-432,7338-3667,8529 2,0227(,65),245(,65),0938(,65),628(,65),9835(,69),9323(,69) 2,0342(,69),998(,69) Ouliers 6 7 2 7 Anm. Siffror under ARIMA-paramrar avser -värden. Vidare anges krisiska värden, α = 0, 05, inom paranes. 24
Bilaga 4 Fakiska värden Predikioner Undre gräns Övre gräns 20060 50,78 5,057 49,428 52,723 200602 54,35 52,207 50,2 54,269 200603 66,06 6,29 58,705 63,96 200604 69,96 65,289 62,259 68,435 200605 67,57 65,563 62,259 69,005 200606 62,42 60 56,666 63,479 200607 50,64 48,588 45,58 5,79 200608 54,63 5,745 48,346 55,304 200609 73,04 72,72 68,095 77,588 20060 76,06 75,747 70,765 8,028 2006 76 75,3 69,952 80,636 20062 74,58 73,0 67,757 78,603 25
Bilaga 5 Trendkomponen för den säsongsrensade serien 70 60 50 40 30 24 48 72 96 20 44 68 92 26 240 26