Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Relevanta dokument
Sidor i boken

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2

Addition och subtraktion

definitioner och begrepp

IE1204 Digital Design

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Repetitionsuppgifter i matematik

x = x = x = x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x = = 20 x = 65 x + 36 = 46

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok

Sidor i boken

Matris invers, invers linjär transformation.

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

SF1625 Envariabelanalys

9. Vektorrum (linjära rum)

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Exponentiella förändringar

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

SF1625 Envariabelanalys

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

TATA42: Tips inför tentan

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

14. MINSTAKVADRATMETODEN

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj

Övningsuppgifter i matematik

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.


Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

Algebra och rationella uttryck

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

Finaltävling den 20 november 2010

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. Definition. Mängden av alla lösningar till en ekvation kallas ekvationens lösningsmängd.

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI...

============================================================

DOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Induktion LCB 2000/2001

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

Sfärisk trigonometri

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är

Sidor i boken , , 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009

Kan det vara möjligt att med endast

13 Generaliserade dubbelintegraler

Föreläsning 10, Numme K2, GNM Kap 6 Integraler & GNM 8:3C Richardsonextrapolation

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Grundläggande matematisk statistik

Teorifrå gor kåp

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Materiens Struktur. Lösningar

Matematiska uppgifter

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN MaB VT 2002 LÖSNINGAR 3

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

Föreläsning 7: Trigonometri

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Preliminär sammanfattning av erfarenheter från projektet Gymnasieskolans mål och högskolans förväntningar i matematik

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Transkript:

Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing vriler och de grundläggnde räkneopertionern är ddition, subtrktion, multipliktion och division. Även ndr räkneopertioner som procenträkning, potenser, rotutdrgning och logritmer kn förekomm. Här någr exempel på ritmetisk uttryck + + 5 +5) ) +++ +5) +7) 5 + 9 + + 5 7 + 5 All dess uttryck kn ersätts med ett end tl heltl, bråk eller pproximtivt decimltl 5 0.7 5 6 0.8 7 0 0 0.008.880 77 78 0.987 Algebr elementär lgebr) eller, i vår mening, populärt uttryckt bokstvsräkning. Skillnden från ritmetiken är tt mn här ersätter ll eller en del v tlen med vriler med bokstäver). Här någr exempel på lgebrisk uttryck + b + ) b ++ + ) b x+y) b c d x +x+ Algebrisk uttryck kn iblnd förenkls och i undntgsfll led frm till ett end tl. Vi förenklr det som går v uttrycken ovn: b+ 6 b d bc x +xy+y x +x+ En del v uttrycken kn inte förenkls, ndr kn förändrs men det är inte helt klrt om förändringen innebär en förenkling. Resten är verkligen förenklingr. En stor del v vårt rbete frm till KS:en går ut på tt förenkl lgebrisk uttryck. Ekvtioner, i vår mening, är två lgebrisk uttryck som sätts lik med vrndr. Ekvtioner innehåller lltid ett likhetstecken, =). Att lös en ekvtion innebär i llmänhet tt först förenkl de lgebrisk uttrycken på båd sidor om likhetstecknet. Håkn Strömberg KTH STH

En förstgrdsekvtion kn lltid förenkls till x+b = 0 där och b är konstnter. Till exempel kn ekvtionen x+ x++x = 5 x+x+ x förenkls till x = 0, med lösningen x =. En ndrgrdsekvtion kn lltid förenkls till x +bx+c = 0, där, b och c är konstnter till exempel kn ekvtionen x+) +x x ) = +x) förenkls till x 5x 6 = 0. Båd dess ekvtioner kräver förenkling v lgebrisk uttryck. Förenkling v lgebrisk uttryck + 5 6 + 5 6 Om mn inte klrr v tt beräkn uttrycket till vänster ovn klrr mn förmodligen inte v tt förenkl uttrycket till höger. Det vill säg mn måste behärsk ritmetiken för tt kunn t sig n lgebrn. De mest v ritmetiken hr ni med er från tidigre skolår. Här någr exempel som kn behöv fräschs upp. Först ddition v bråk + + 5 6 + + 5 6 + +5 8++0 7 7 I först föreläsningen gick vi igenom hur mn finner en gemensm nämnre, speciellt den minst MGN. Här är MGN=. När vi förlänger bråken med ett lämpligt tl får ll bråken smm nämnre och vi kn dder de ny täljrn. Det är snyggt, om inte nödvändigt, tt förkort resulttet så långt möjligt. 7 9 7 9 7 Dett är ett dubbelbråk. Bråket i täljren multiplicers med det inverterde värdet v bråket i nämnren. + Multipliktion och division) går före ddition och subtrktion). Vill mn tt uttrycket ovn sk bli 0 måste mn nvänd prenteser +) 0 När vi nu sk gå vidre med förenkling v lgebrisk uttryck måste vi kunn förläng, förkort och bryt ut. Bryt ut och förkort. Tre exempel x +x xx+) Håkn Strömberg KTH STH

och och )+ +) x+ x+ x+) x+) = )+) )+) + För tt mn sk kunn förkort måste ett bråk vr inblndt. I först exemplet finns inget bråk. Ett rtionellt uttryck är division v två lgebrisk uttryck Iblnd kn de förenkls + b+ + b+ x +x+ x+ x+ b b Rtionell uttryck kn förstås också dders och subtrhers b + b Precis som i ritmetiken måste vi finn en gemensm nämnre. Den måste vr eftersom de två nämnrn inte hr någon gemensm fktor. b + b b b +b Om dett resultt kn nses vr en förenkling v det ursprunglig uttrycket är en smksk, men vi hr i ll ddert de två uttrycken Problem. Adder uttrycken + + + Lösning: Uttryckets gemensmm nämnre är +)+). Vi får +) +)+) + +) +)+) +)++) +)+) + +)+) + +++ + ++ Om mn sk låt nämnren stnn vid +)+) eller om mn sk utveckl den till ++ är en smksk. + Svr: ++ Håkn Strömberg KTH STH

Problem. Adder uttrycken b + b + b + b Lösning: Med ddition mens tt termern sk slås smmn till ett rtionellt uttryck. Vi ser direkt tt MGN= Svr: +b + +b b + b + b + b b + b b b + b + b b b b+ b +b + +b Problem. Lös ekvtionen x + = 7 Lösning: En ekvtion innehållnde ett dubbelbråk, men x br på ett ställe. Strt med tt förenkl vänstr ledet. Avslut den förenklingen med tt ersätt divisionen v bråken i täljre och nämnre med multipliktion v täljren och nämnren inverterd. Sedn hr vi nått till en ekvtion, som är enkel tt lös. Svr: x = x + x x x + x 9 x 8+9 x 9 x 7 x 9 5x ) x 7 5xx 9) x 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 5x ) 7 = 5x 7 x 9) = x x 08) = x 7x = 08 x = Håkn Strömberg KTH STH

Problem. Lös ekvtionen Lösning: x + x x x + x x x + = x 8+x x x x 8 = = = = x = x 8) x = 6x 96 x = 96 x = Problem 5. Förenkl så långt möjligt x+ ) x ) x x Lösning: Ett sätt tt lös dett problem är med hjälp v konjugtregeln A B = A B)A+B). Dett ger x+ ) x ) x+ ) x )) x+ ) + x )) x x x x x x x x Självklrt kn problemet löss även den lång vägen. Problem 6. Förenkl Lösning: x xy y + y xy x x xy y + y xy x x yx y) + y xy x) x yx y) x y xyx y) x y)x+y) x+y xyx y) xy y xx y) x xyx y) y xyx y) Håkn Strömberg 5 KTH STH

Läx. Beräkn + Läx. Förenkl så långt möjligt b) +b+) b)) Läx. Vilket är störst: summn, differensen, produkten eller kvoten v 5 och 7 9 Läx. Lös ekvtionen x + x = 8 Läx 5. Lös ekvtionen x+55 = x Läx Lösning. Beräkn + = + = + = 7 = 7 = 7 Kommentr: Ett lite mer komplicert dubbelbråk. Vi hnterr inledningsvis täljre och nämnre för sig. Läx Lösning. b) +b+) b)) +9b )+b ++ ) 6 +8 8 b ) +9b +b ++ 6 8+8+b 6b Svr: 6b Läx Lösning. Summn: Produkten: Diffrensen: Kvoten: 5 + 7 ) 9 5 5 5 7 ) 9 7 ) 9 0.77778 0.66667.7778 0.779 7 9 Svr: Differensen är störst Håkn Strömberg 6 KTH STH

Läx Lösning. x + x 8x x + ) x 8x x + 8x x = 8 = 8x = 8x 8 ) 8 6+ = x x = 8 Svr: x = 8 Läx Lösning 5. x+55 = x x+55 ) = x ) x+55 = x x+ x x 5 = 0 9 x = ± + 5 x = ± 5 x = ± 5 x = 9 x = 6) Vi ser tt x = 6 är en flsk rot eftersom 6+55 7. Däremot är x = 9 en äkt rot eftersom 9+55 9 Svr: x = 9 Problem 7. Lösning: b + c c + b c b c c+ b + c c + b c b c c+ ) b) + c c )c+) + b c)b+c) b c c+ b+ c+ +b+c c+ b+b+c +c Här gäller det tt tänk en liten stund innn mn sätter igång tt hitt en gemensm nämnre. Genom tt nvänd konjugtregeln inte mindre än tre gånger kn vi skriv om uttrycket som i ). Håkn Strömberg 7 KTH STH

Efter möjlig förkortningr får vi ett betydligt enklre uttryck ). De två termern med nämnre tr ut vrndr och kvr blir Svr: +c Problem 8. b b b + +5+b ) Lösning: b b b + +5+b ) 5 b)) b b + +5+b )) ) b)) b)) b)) + +5+b ) b) b)) b+ ) b) +b +)+ +5+b ) b) b)) b+ + + b b b )+ +5+b ) b) b)) b+ b+ b+b + + +5 b+ b 5 b b)) 6 + + b b+ b+5 b b+ + + 5 +b b b)) 7 + b b b)) 8 + b b + b b 9 En riktigt jobbig uppgift. Till tt börj med ser vi tt minst gemensmm nämnren är + b) b) ). Med utgångspunkt från det förlänger vi de tre bråken med lämplig uttryck ) och kn slå smmn hel uttrycket till ett bråk ). Vi står nu inför en mängd beräkningr vrs frmgång prägls v noggrnnhet och en dministrtiv känsl. Håller vi tungn rätt i mun kommer vi så småningom hit 7). Om vi inte visste tt smtlig svr blnd dess 0 uppgifter vr betydligt mindre komplicerde knske vi skulle stnn här. Vår end chns är nu tt utveckl nämnren 8) och se det gv frukt! Svr: Problem 9. Uppgift 5 9 6+ + + ) 9 ) Håkn Strömberg 8 KTH STH

Lösning: 9 6+ + + ) 9 ) ) + + ) )+) ) +) ) + ) ) +) +) ) 5 6 +9 ) +8 )+ +9 ) +) +) ) +9 + 8 + +9 +) ) 9 8 +9 ++ + +) ) 0 +) ) 7 0 Åter en uppgift som kräver precision. För tt finn en lämplig gemensm nämnre behöver mn se tt 9 6+ ) och tt 9 = )+) ). När väl dett är genomskådt får vi den minst gemensmm nämnren +) ) som leder till en del förlängningr innn vi kn skriv hel uttrycket på gemensmt bråkstreck ). Med tålmod och noggrnnhet får vi först ), sedn ) och 5), för tt till slut upptäck tt hel täljren blir 0. Svr: 0. Figur : Håkn Strömberg 9 KTH STH

Problem 0. Lösning: b + b + ) b + b + ) b + + ) b + + ) ) ) Division v två bråk, som vi också kllr dubbelbråk. Vi inleder med tt skriv de tre termern i täljren på gemensmt bråkstreck ). Vi går över från division till multipliktion på ett numer känt sätt ). Vi upptäcker tt b + + ) i ) och vslutr med tt förkort. Svr: Figur : Håkn Strömberg 0 KTH STH