FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom integrler, den ndr huvuddelen i kursen. 1.1. Denition v integrl. Vår behndling v integrler hr sin grund i två på ytn helt olik problem, nämligen problemet tt hitt en invers opertion till derivering och problemet tt bestämm ren v området under (grfen v) en funktion. Det först problemet är lltså dett: om vi hr en funktion f så kn vi hitt derivtn f v funktionen men ntg tt vi istället vill hitt en funktion F så tt om mn deriverr F så får mn f, det vill säg F (x) = f(x), för ll x. Vi inför ett nmn för en sådn funktion F. Denition 1. Antg tt funktionen f är denierd på intervllet I. En funktion F klls primitiv funktion (eller nti-derivt) till f om F (x) = f(x), för ll x i I. Observer tt den primitiv funktionen, om den nns, inte är unik. Dock, om en funktion f hr två primitiv funktioner F (x) och G(x) så skiljer sig dess åt med en konstnt, det vill säg det nns en konstnt C så tt F (x) = G(x)+C, för ll x i I. För tt se dett kn mn betrkt dierensen (F G)(x) melln de primitiv funktionern. Derivtn v F G är noll på I och lltså är funktionen konstnt. Hur mn kn hitt en primitiv funktion till en given funktion återkommer vi till. Istället sk vi funder på hur mn kn bestämm ren v området melln en funktion och x-xeln (melln två givn x-värden). Den metod vi väljer bygger på tt vi delr in x-xeln i mång små intervll och tt vi på vrje intervll pproximerr ren under kurvn med rektnglr som är ungefär lik stor och vrs re vi lätt kn bestämm. Vi beskriver det hel lite mer formellt: Låt f vr en kontinuerlig funktion på intervllet [, b]. En prtition P v [, b] är en mängd punkter x i så tt P = { = x 1 < x 2 <... < x n = b}. Vi skriver x i = x i+1 x i för bredden på vrje delintervll. 1

2 JONAS ELIASSON Eftersom [x i, x i+1 ] är kompkt och f kontinuerlig så ntr funktion sitt störst och minst värde på intervllet, det vill säg det nns punkter l i, u i [x i, x i+1 ] så tt f(l i ) f(x) f(u i ), för ll x i [x i, x i+1 ]. Det betyder tt om vi betecknr ren v området melln kurvn y = f(x) och x-xeln för x melln x i och x i+1 med A i så är f(l i ) x i A i f(u i ) x i. Givet en funktion f och en prtition P denierr vi under Riemnnsummn L(f, P ) = n över Riemnnsummn U(f, P ) = n 1=1 f(l i) x i. 1=1 f(u i) x i. Denition 2. Om det för en funktion f nns exkt ett tl I så tt för vrje prtition P v intervllet [, b] vi hr tt L(f, P ) I U(f, P ), så säger vi tt f är integrerbr på [, b]. I är integrlen v f och beteckns I = 1.2. Grundläggnde stser om integrler. Att det nns väldigt mång integrerbr funktioner säger följnde sts, som vi tyvärr inte bevisr. Sts 1. Om funktionen f är kontinuerlig på intervllet [, b] så är f integrerbr på [, b]. Mn kn till och med utsträck stsen ovn genom tt säg tt styckvis kontinuerlig funktioner är integrerbr. En styckvis kontinuerlig funktion är en funktion som är denierd på er olik delintervll och kontinuerlig på dess men inte nödvändigtvis på hel intervllet. Integrlen räkns ut genom tt räkn ut integrlen på de olik delintervllen. Noter också tt värdet v en integrl inte beror på värdet hos funktionen i en punkt, det vill säg om mn denierr om funktionen så ändrs inte integrlen. Nu följer någr räkneregler för integrler. De est är gnsk självklr om mn tänker på integrlen som ren v en yt. f(x)dx = (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x)dx = 0. b f(x)dx + B g(x)dx.

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 3 c c f(x)dx + b f(x)dx = f(x)dx = f(t)dt. Om b och f(x) g(x), för ll x [, b] så f(x)dx g(x)dx. Tringelolikheten för integrler: om b så f(x)dx f(x) dx. Om f är en udd funktion, det vill säg f( x) = f(x), så f(x)dx = 0. Om f är en jämn funktion, det vill säg f( x) = f(x), så f(x)dx = 2 0 1.3. Medelvärdestsen för integrler. Följnde sts är Medelvärdestsen för integrler. Sts 2. Låt f vr en kontinuerlig funktion på intervllet I = [, b]. Då nns c I så tt f(x)dx = (b )f(c). Bevis. Eftersom f är kontinuerlig på det slutn och begränsde intervllet I så ntr f sitt mx och min på I. Säg tt mx = M = f(u) och tt min = m = f(l). Betrkt prtitionen P = { = x 1 < x 2 = b}. Enligt denitionen v integrl så är L(f, P ) f(x)dx U(f, P ). I dett fll är L(f, P ) = f(l)(b ) och U(f, P ) = f(u)(b ). Alltså kn vi skriv om olikhetern ovn som f(l) 1 f(x)dx f(u). b Enligt Stsen om mellnliggnde värde nns ett c I så tt f(c) = 1 b Alltså f(x)dx = (b )f(c).

4 JONAS ELIASSON Denition 3. Om f är integrerbr på [, b] så är medelvärdet v f på [, b] f = 1 b 1.4. Anlysens huvudsts. Hittills hr vi inte föreslgit någon metod för tt räkn ut integrlen v en funktion. Men Anlysens huvudsts ger en sådn, och nu kommer också den primitiv funktionen till nvändning. Sts 3. Antg tt funktionen f är kontinuerlig på ett intervll I och tt I. Del 1: Denierd funktionen F på I genom F (x) = x f(t)dt. Då är F deriverbr på I och F (x) = f(x), för ll x I. Med ndr ord d x f(t)dt = f(x). dx Del 2: Låt G(x) vr någon primitiv funktion till f(x) på I (det vill säg G (x) = f(x)). Då är, för vrje b I, Bevis. Del 1: f(x)dx = G(b) G(). F F (x + h) F (x) (x) = lim h 0 h 1 x+h = lim f(t)dt h 0 h 1 = lim h 0 h x+h x f(t)dt x f(t)dt = lim (hf(c)), något c [x, x + h] h = lim f(c), c x när h 0 c x = f(x), f kontinuerlig. h 0 1 Del 2: Om G (x) = f(x) så är F (x) = G(x) + C på I, för någon konstnt C (två primitiv funktioner till smm funktion). Alltså x f(t)dt = F (x) = G(x) + C.

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 5 Sätt x =. Då 0 = G() + C, det vill säg C = G(). Sätt x = b och vi får f(t)dt = G(b) + C = G(b) G(). 1.5. Metoder för integrering. Nu hr vi formellt deniert integrlen smt vist smbndet melln integrl och primitiv funktion. Men tyvärr räcker inte det för tt räkn ut integrlen v mång vnlig funktioner. Istället får mn oft nvänd någon sorts knep eller strtegi och nedn följer en uppräkning v sådn. Primitiv funktion Iblnd kn mn nturligtvis nvänd Anlysens huvudsts för tt räkn ut en integrl. Om F är en primitiv funktion till f så hr vi lltså f(x)dx = [ ] b F (x) = F (b) F (). En nvändbr primitiv funktion tt komm ihåg är f (x) dx = ln f(x) + C. f(x) Vriblebyte Klls också substitution. Vribelbyte är en tillämpning v kedjeregeln för derivtor. Antg tt f är kontinuerlig och tt g är deriverbr. Då kn mn räkn ut integrlen f(g(x))g (x)dx med hjälp v vriblebytet u = g(x). Vi kn nu se u som en (implicit) funktion v x. Om vi deriverr båd sidor med vseende på x får vi du dx = g (x) vilket ger du = g (x)dx. Gränsern för den ny integrlen får vi gonom tt stopp in x = och x = b i g(x). Alltså f(g(x))g (x)dx = g(b) g() f(u)du. Bevis. Låt F vr en primitiv funktion till f, F (t) = f(t). enligt kedjeregeln d dx F (g(x)) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x). Då är

6 JONAS ELIASSON Alltså är f(g(x))g (x)dx = = [ ] b F (g(x)) = F (g(b)) F (g()) [ ] g(b) g(b) F (x) = f(u)du. g() g() Prtiell integrtion På engelsk integrtion by prts. Prtiell integrtion kn mn nvänd när mn sk integrer produkten v två funktioner. Mn väljer vilken v funktionern mn sk deriver och vilken mn sk hitt en primitiv funktion till och sedn nvänder mn formeln f(x)g(x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx, där G (x) = g(x). Metoden är nvändbr till exempel om en v funktionern är ett polynom (som försvinner när den deriverts någr gånger) och den ndr funktionen är en trigonometrisk funktion eller exponentil funktion (som inte ändrs så mycket om mn tr en primitiv istället). Metoden bygger på räkneregeln för derivtn v en produkt. Bevis. Beräkn derivtn v f(x)g(x): d dx (f(x)g(x)) = f(x)g(x) + f (x)g(x). Integrer båd sidor så får mn: f(x)g(x) = f(x)g(x)dx + f (x)g(x)dx. Bryt ut f(x)g(x)dx och formeln är klr. Invers substitutioner Med invers substitution menr vi en substitution där vi byter ut integrtionsvribeln x mot en funktion v en nnn vribel, g(u). Om x = g(u) så kn vi deriver båd sidor med vseende på u och får dx du = g (u) vilket ger dx = g (u)du. För tt hitt en ny integrtionsgränser istället för x = och x = b får vi hitt u och u b så tt g(u ) = och g(u b ) = b. Alltså får vi följnde omskrivning f(x)dx = ub u f(g(u))g (u)du. I llmänhet ger lltså den invers substitutionen en mer komplicerd integrl än den ursprunglig. Men trots det nns det situtioner när denn typ v vriblebyten är nvändbr i integrtionsräkning.

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 7 Nedn följer någr exempel: Integrnden innehåller ett uttryck v formen 2 x 2, för x. Om mn då gör substitutionen x = sin u, för π/2 u π/2, så blir 2 x 2 = cos u, x 2 x 2 = tn u och dx = cos u du. Integrnden innehåller ett uttryck v formen 2 + x 2. Om mn då gör substitutionen x = tn u så blir 2 + x 2 = cos u och dx = cos 2 u du. Prtilbråksuppdelning På engelsk prttil frctions. Prtilbråksuppdelning är en del v ett llmänt schem för tt integrer rtionell funktioner. En rtionell funktion är en funktion som kn skrivs P (x) Q(x), där P (x) och Q(x) är polynom. Kom ihåg tt grdtlet hos ett polynom (grd(p (x))) är den störst exponenten i polynomet. Schem för tt integrer en rtionell funktion P (x)/q(x): Steg 1. Om grd(p (x)) grd(q(x)) gör polynomdivision. Steg 2. Om grd(p (x)) < grd(q(x)) och grd(q(x)) > 2 gör prtilbråksuppdelning. Steg 3. Om grd(p (x)) < grd(q(x)) och grd(q(x)) 2 integrer med hjälp v känd integrl, logritm som primitiv funktion eller vribelbyte. Prtilbråksuppdelning: syftet med prtilbråksuppdelning är tt skriv om en rtionell funktion som en summ v rtionell funktioner med lägre grdtl. För tt illustrer metoden kommer vi tt titt på fllet där Q(x) hr grd två och P (x) grd ett eller noll

8 JONAS ELIASSON (konstnt). Börj med tt fktoriser Q(x). Vi får då tre fll: Fll 1. Q(x) = (x 1 )(x 2 ), 1 2. Vi gör nu nsättningen P (x) Q(x) = A 1 x 1 + A 2 x 2. Vi kn nu sätt upp termern på högersidn på gemensmt bråkstreck. P (x) Q(x) = (A 1)(x 2 ) + (A 2 )(x 1 ). (x 1 )(x 2 ) Eftersom nämnren är lik på båd sidor måste täljrn vr lik. Om P (x) = px + q får vi ekvtionssystemet { p = A1 + A 2 q = A 1 2 A 2 1 Eftersom p och q och 1 och 2 är känd så kn vi hitt A 1 och A 2 och därmed skriv den rtionell funktionen P (x)/q(x) som summn v två rtionell funktioner där nämnrn hr grdtl ett. Fll 2. Q(x) = (x ) 2. Om vi skulle gör nsättningen ovn skulle båd termern i högerledet vr smm. Istället gör vi nsättningen P (x) Q(x) = A 1 x + A 2 (x ) 2. Sen fortsätter vi som i fll 1 (sätt upp på gemensmt bråkstreck, lös ekvtionssystem). Fll 3. Q(x) = x 2 + x + b (t.ex. x 2 + 1). Nu gör vi nsättningen P (x) Q(x) = A 1x + B x 2 + x + b. Sen fortsätter vi som i fll 1. För rtionell funktioner där nämnren hr högre grdtl än två är det br tt fktoriser nämnren och sen kombiner fllen ovn. 1.6. Generliserde integrler. All de integrler vi stött på hitills hr vrit v begränsde funktioner på slutn och begränsde intervll. Fktum är tt själv denitionen v integrl som vi sett br fungerr i sådn fll. Men det är lätt tt utök dentionen till så kllde generliserde integrler. Dess nns v två typer: integrlen över ett oändligt intervll eller integrlen v en obegränsd funktion. Denitionern ser ut som följer: f(x)dx = lim R Integrlen nns om gränsvärdet nns. R

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 9 Antg tt funktionen f(x) är obegränsd eller odenierd i punkten. Då är f(x)dx = lim c c 1.7. Volymen hos en rottionskropp. När vi denierde integrlen så gjorde vi det som ren under en kurv. Det betyder inte tt llt mn räknr ut som integrl är en re. I fysiken nns det nturligtvis mång tillämpningr där resulttet v tt beräkn en integrl inte hr enheten kvdrtmeter. Men även i den ren mtemtiken kn mn räkn ut nnt med integrler: till exempel volymer. För tt beräkn llmän volymer nvänder mn nturligtvis helst så kllde dubbelintegrler (motsvrigheten till integrler för funktioner v två vribler). Dubbelintegrlen hr smm direkt förhållnde till volymen som (enkel-)integrlen hr till ren. Men för speciell typer v kroppr i tre dimensioner kn mn bestämm ders volym med hjälp v enkelintegrlen. Dess kroppr är rottionskropprn. En rottionskropp uppstår när mn tr en kurv i två dimensioner (y = f(x), för x b) och roterr den kring x- eller y-xeln (i princip kn mn roter den kring vilken linje som helst men vi håller oss till det enklste fllet). Vi kommer nu tt presenter två formler för tt beräkn volymen v en rottionskropp (beroende på om kurvn roterts kring x- eller y-xeln) som båd bygger på smm princip: vi kn bestämm voymen genom tt skiv upp kroppen i oändligt tunn skivor, bestämm ren v vrje skiv, och sedn integrer över dess reor. Mn kn se dett som en generlisering v enkelintegrlen: vi delr upp ren under lurvn i oändligt sml streck, bestämmer höjden v strecket (som är f(x)), och integrerr över höjdern för tt få ren. De två formlern heter skivformeln och sklformeln. Skivformeln: ntg tt en kropp K i tre dimensioner uppstått genom tt kurvn y = f(x), för x b, roterts kring x-xeln. Då ges volymen V v K v V = π (f(x)) 2 dx. Motivtion för formeln: för vrje c melln och b vill vi bestämm ren v den oändligt tunn skivn vid c. Eftersom kroppen uppstått genom tt y = f(x) roterts kring x-xeln så är skivn en disk. Disken hr rdie f(c) eftersom det är vståndet från x-xeln till kurvn vid c. Alltså hr disken re π(f(x)) 2. Nu integrerr vi ren för ll punkter melln och b och får formeln ovn.

10 JONAS ELIASSON Sklformeln: ntg tt en kropp K i tre dimensioner uppstått genom tt kurvn y = f(x), för x b, roterts kring y-xeln. Då ges volymen V v K v V = 2π x Motivtion för formeln: vi tänker på K som en lök och sklr v den skl efter skl. Vrje tunn skiv är nu istället en ihålig cylinder. För vrje c melln och b uppstår, när vi roterr kurvn kring y-xeln, ett ihåligt cylinderskl. Dess cylinderskl bildr tillsmmns hel K. För vrje c hr cylindersklet höjden f(c) och omkretsen är smm som för en cirkel med rdie c, lltså 2πc. Aren blir då 2πcf(c) och vi får formeln ovn.