OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg
rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i först kvdrnten, som dels i två områden och v grfen till en otensfunktion, f =, där >. örhållndet melln reorn v områden och sk beräkns för olik värden å, = /,, /, och. b En sts om hur reförhållndet beror v sk formulers och beviss. c Sedn sk det viss om stsen gäller då kvdrten utvidgs till en rektngel med sidorn och. Svr Ugiften går ut å tt formuler ett smbnd som visr refårhållndet melln två områden i en kvdrt. Kvdrten i först kvdrnten dels v funktionen f = och skr då områden och. Genom tt ställ u olik integrler och beräkn olik värden å kn mn se och definier ett smbnd melln förhållndet v reorn. Genom tt skriv in funktionen i Geogebr och nvänd integrlverktyget går det snbbt och enkelt tt lös ugiften. Lösningr De metoder som hr nvänts för tt lös den här ugiften är: integrlklkyl genom teoretisk härledning och grfisk lösning med Geogebr. Metodbeskrivning Vi räknr ut vd = /,, /, och blir genom tt integrer områden och, som och. Sedn kn vi räkn ut förhållndet melln och. =/ d =/ d örhållndet melln och när = / blir då:
= d = d örhållndet melln och när = blir då: = / d = / d örhållndet melln och när = / blir då: = d = d örhållndet melln och när = blir då: = d = d örhållndet melln och blir då:
= / = / = = = / = / = = = = b Med hjäl v uträkningrn i kn vi bevis och formuler en sts om hur reförhållndet beror v. ren för = och ren för =. d d är lik med förhållndet melln och. c ör tt stsen sk gäll en rektngel med sidorn och sk >. Vi undersöker även hur stsen åverks med olik värden å.
d d Resultt metod I kn vi se tt och blir smm värde å ll som hr beräknts. Dett hr sedn utvecklts i b till en sts som bevisr smbndet. Eftersom tt kvdrten hr sidn l.e. blir kvdrtens re också.e, det ger tt summn v delreorn v och bli.e. Genom tt beräkn efter integrering kn vi se tt smbndet stämmer. När det är en kvdrt kommer lltid vr lik med, då >. När kvdrten sedn utvecklts till en rektngel med sidorn och kn vi se tt stsen stämmer för ll värden å > och >. Metodbeskrivning och b I den här metoden hr jg nvänt Geogebr genom tt rit olik grfer där hr olik värden, d.v.s. = /,, /, och. öljnde illustrtioner visr även tt stsen i metod b stämmer.
Punkten, i ritområde flytts när mn ändrr. Såret som unkten utgör kn skrivs som kurvn y=, riktningskoefficienten blir och vi kn se tt ll > lltid hr smm värde som. c öljnde eemel visr tt stsen även gäller för en rektngel i först kvdrnten, då >.
Genom tt gör smm sk som i b med unkten, fst med en rektngel kn vi se i ritområde tt smbndet även gäller här. åverkr inte unkten och därför kn nt ll värden som är större än.
Resultt metod I den här metoden hr vi bekräftt med grfer från Geogebr tt smbnden stämmer. Genom tt gör två ritområden hr vi illustrert ett grfiskt smbnd som tyder å tt stsen gäller både en kvdrt och en rektngel. Punkten i ritområde skr smm sår i båd fllen, dvs. y. Eftersom tt inte åverkr kurvn y kn vi konstter tt smbndet lltid stämmer för värden som är större än. Diskussion Genom uträkningrn i kn mn se tt det finns ett smbnd melln och. Vidre i b beviss dett med en ekt sts som stämmer även för en rektngel. Det som visr tt stsen stämmer är tt ll värden är ekt, det ustår ing vrundningsfel eller liknnde. Efter tt h löst ugiften kn jg konstter tt den smidigste metoden vr metod. Den gick mycket snbbre och Geogebr räknr ut ll integrler och värden å ett effektivt sätt. Metod där jg räknde ut llting för hnd vr inte lik behändig då det tog längre tid. Men även då den tog tid tycker jg tt den är br för tt få en förståelse vd det är Geogebr gör. Efter tt h utfört metod får mn de kunsker som behövs för tt gör ytterligre metoder i Geogebr. Om mn br nvänder Geogebr kn det ustå en liten böj i kurvn som kn vr svår tt se. Men genom tt gör en lgebrisk lösning får vi ekt värden som bekräftr tt kurvn i Geogebr är korrekt. Därför kn vi vr säkr å tt smbndet stämmer. När vi sk undersök om stsen gäller en rektngel kn vi se tt värdet å inte åverkr unkten i ritområde, det är br och som åverkr. Riktningskoefficienten blir och vi kn då se säkert tt = för ll värden å >. ndr sätt mn kn lös den här ugiften å är tt rit ll figurer och grfer för hnd, den blir dock svår och får mång felkällor. Även då mn ritr sklenligt och rätt blir det svårt tt usktt ren under grfen utn tt ställ u en integrl. Därför tycker jg tt de metoder som hr nvänds är de smidigste och enklste. Det ustår få felkällor och mn får ekt värden.